Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 2312 984961 975035 2026-07-20T06:17:08Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984961 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 4 | niveau = 14 | précédent = [[../Types/]] | suivant = [[../Syntaxe C++/]] }} == Les Opérateurs C++ == Les opérateurs sont des symboles permettant d'effectuer des opérations sur des valeurs. Ils sont classés dans trois catégories. === Opérateurs d'affectation === ==== L'opérateur d'affectation simple "=" ==== L'opérateur d'affectation simple est "=" il signifie "affecter à". Syntaxe : <nowiki><Destination> = <Source>; Où <Source> et <Destination> doivent être de même nature et où <Source> est une expression et <Destination> une variable ; </nowiki> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y; x = 5; //x = 5 y = 3; //y = 3 x = y; //x = 3 (valeur de y) </syntaxhighlight> }} ==== L'opérateur d'affectation additionneur "+=" ==== L'opérateur d'affectation additionneur est "+=" il signifie "affecter en additionnant à". Syntaxe : <nowiki><Destination> += <Source>; Où <Source> et <Destination> doivent être de même nature et où <Source> est une expression et <Destination> une variable ; </nowiki> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y; x = 5; y = 3; x += y; //x = 8 </syntaxhighlight> }} ==== L'opérateur d'affectation soustracteur "-=" ==== L'opérateur d'affectation soustracteur est "-=" il signifie "affecter en soustrayant à". Syntaxe : <nowiki><Destination> -= <Source>; Où <Source> et <Destination> doivent être de même nature et où <Source> est une expression et <Destination> une variable ; </nowiki> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y; x = 5; y = 3; x -= y; //x = 2 </syntaxhighlight> }} ==== L'opérateur d'affectation multiplicateur "*=" ==== L'opérateur d'affectation multiplicateur est "*=" il signifie "affecter en multipliant à". Syntaxe : <nowiki><Destination> *= <Source>; Où <Destination> et le résultat de l'opération doivent être de même nature et où <Source> est une expression et <Destination> une variable ; </nowiki> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp" > int x, y; x = 5; y = 3; x *= y; //x = 15 </syntaxhighlight> }} ==== L'opérateur d'affectation diviseur "/=" ==== L'opérateur d'affectation diviseur est "/=" il signifie "affecter en divisant à". Syntaxe : <nowiki><Destination> /= <Source>; Où <Destination> et le résultat de l'opération doivent être de même nature et où <Source> est une expression et <Destination> une variable ; </nowiki> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y; x = 5; y = 3; x /= y; //x = 1 (voir l'opérateur "/") </syntaxhighlight> }} ==== L'opérateur d'affectation modulo "%=" ==== L'opérateur d'affectation modulo est "%=" il signifie "affecter le modulo de, à". Syntaxe : <nowiki><Destination> %= <Source>; Où <Destination> et le résultat de l'opération doivent être de même nature et où <Source> est une expression et <Destination> une variable ; </nowiki> {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y; x = 5; y = 3; x %= y; //x = 2 (voir l'opérateur "%") </syntaxhighlight> }} === Les opérateurs mathématiques === ==== Opérateur d'addition "+" ==== L'opérateur permettant l'addition est "+" il permet d'additionner un nombre ou le résultat numérique d’une expression à un autre. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y, z; x = 5; y = 3; z = x + y; //z = 8 </syntaxhighlight> }} ==== Opérateur de soustraction "-" ==== L'opérateur permettant la soustraction est "-" il permet de soustraire un nombre ou le résultat numérique d’une expression à un autre. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y, z; x = 5; y = 3; z = x - y; //z = 2 </syntaxhighlight> }} ==== Opérateur de multiplication "*" ==== L'opérateur permettant la multiplication est "*" il permet de multiplier un nombre ou le résultat numérique d’une expression à un autre. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y, z; x = 2; y = 3; z = x * y; //z = 6 </syntaxhighlight> }} ==== Opérateur de division "/" ==== L'opérateur permettant la division est "/" il permet de diviser un nombre ou le résultat numérique d’une expression à un autre. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y, z; x = 5; y = 3; z = x / y; //z = 1 float r, o, p; r = 5.0; o = 3.0; p = r / o; // p ~= 1.666666… </syntaxhighlight> En c++ la division est entière si les deux opérandes sont entiers. Si l'un des opérandes est codé sur un format réel alors le résultat sera réel. }} ==== Opérateur de modulo "%" ==== L'opérateur permettant de récupérer le reste de la division entière d’un nombre ou du résultat numérique d’une expression par un autre, est "%". {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int x, y, z; x = 5; y = 3; z = x % y; // = 2 (5 / 3 => quotient 1, reste 2) </syntaxhighlight> }} === Les opérateurs comparatifs === Ils servent essentiellement à effectuer des tests logiques entre plusieurs valeurs numériques. ==== Comparateur d'égalité "<nowiki>==</nowiki>" ==== Le comparateur C++ d'égalité <nowiki>==</nowiki> permet de vérifier si la valeur de gauche est strictement égale à la valeur de droite. Cela revient à faire une inversion de l'opérateur logique ''XOR'' (soit ''NOT XOR''). Voici la table de vérité du comparateur <nowiki>==</nowiki> pour l'opération (x <nowiki>==</nowiki> y) : {| class="wikitable" ! <nowiki>==</nowiki> (NOT XOR) ! y = false ! y = true |----- | x = false | true | false |- | x = true | false | true |} ==== Comparateur "!=" (différent de) ==== Le comparateur C++ différentiel "!=" permet de vérifier si la valeur de gauche est strictement différente de la valeur de droite. Cela revient à appliquer l'opérateur logique XOR. ==== Comparateur "<" (strictement inférieur à) ==== Le comparateur "<" (strictement inférieur à) permet de vérifier si la valeur numérique de gauche est strictement inférieure à la valeur numérique de droite. Cet opérateur renvoie ''true'' uniquement si la valeur numérique de gauche est strictement inférieure à la valeur numérique de droite. ==== Comparateur "<=" (inférieur à) ==== Le comparateur "<=" (inférieurs à) permet de vérifier si la valeur numérique de gauche est inférieure ou égale à la valeur numérique de droite. Cet opérateur renvoie ''true'' uniquement si la valeur numérique de gauche est inférieure ou égale à la valeur numérique de droite. ==== Comparateur ">=" (supérieur à) ==== Le comparateur ">=" (supérieur à) permet de vérifier si la valeur numérique de gauche est supérieure ou égale à la valeur numérique de droite. Cet opérateur renvoie ''true'' uniquement si la valeur numérique de gauche est supérieure ou égale à la valeur numérique de droite. ==== Comparateur ">" (strictement supérieur à) ==== Le comparateur ">" (strictement supérieur à) permet de vérifier si la valeur numérique de gauche est strictement supérieure à la valeur numérique de droite. Cet opérateur renvoie ''true'' uniquement si la valeur numérique de gauche est strictement supérieure à la valeur numérique de droite. === Opérateurs logiques === Les opérateurs logiques représentent les manipulations et comparaisons possibles que l’on peut faire sur des données de types booléen et/ou binaire. {{Attention|Avec_fond = oui|'''''Attention :''' les opérateurs &, <nowiki>|</nowiki> et ^ sont des opérateurs bit à bit ! Les opérateurs logiques correspondant au & et au <nowiki>|</nowiki> sont respectivement && et <nowiki>||</nowiki>.''}} ==== Les opérateurs logiques ==== Cette sous-catégorie représente les opérateurs logiques que nous avons vu en introduction en leur spécifiant une syntaxe. Il est à noter que l'opérateur logique ''YES'' n'a pas de représentation en C++. En effet le C++ utilise le postulat que les opérations doivent retourner ''true'' pour être vraies. Partant de ce principe, il n'est plus nécessaire d’avoir un opérateur ''YES''. ===== Opérateur "!" (NOT) ===== L'opérateur logique inverseur ''NOT'' a pour syntaxe en C++ le symbole "!" (point d'exclamation) ou l'expression "not". Pour inverser une valeur on écrira donc en C++ {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> bool x, y; x = true; y = ! x; // y = false // ou alors y = not x; // mais cette syntaxe n'est plus utilisée </syntaxhighlight> }} ===== Opérateur "&&" (AND) ===== Le comparateur C++ ''AND'', représenté par "&&" (double "et commercial"), permet de vérifier si les 2 valeurs soumises sont vraies. Ce comparateur est souvent utilisé dans les tests car il permet une optimisation du code. Contrairement à l'opérateur logique "&" le comparateur "&&" teste la première valeur et si elle est ''false'' il renvoie directement ''false'' sans tester la deuxième valeur. Ce comportement permet un gain de temps sur les procédures de comparaison et permet d’éviter l'exécution d’un code qui serait invalide si le test de la première valeur renvoyait ''false''. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> bool x = true, y = true, z = false; bool a, b, c; a = x && y; // a = true b = x && z; // b = false c = x && !z; // c = true //ou a = x and y; // a = true //mais cette syntaxe n'est plus utilisée. </syntaxhighlight> }} ===== Opérateur "<nowiki>||</nowiki>" (OR) ===== Le comparateur C++ ''OR'' "<nowiki>||</nowiki>" permet de vérifier si au moins une des valeurs soumises est vraie. Ce comparateur est souvent utilisé dans les tests car il permet une optimisation du code. Contrairement à l'opérateur logique "<nowiki>|</nowiki>", le comparateur "<nowiki>||</nowiki>" teste la première valeur, et si elle est à vrai, il renvoie directement ''true'' sans tester la deuxième valeur. Ce comportement permet un gain de temps sur les procédures de comparaison et permet d’éviter l'exécution d’un code qui serait invalide si le test de la première valeur renvoyait vrai. ==== Opérateurs bit à bit ==== Les opérateurs bit à bit travaillent sur les variables en s'appliquant bit à bit<ref>https://www.miniwebtool.com/bitwise-calculator/?data_type=10&number1=6&number2=12&operator=OR</ref>. ===== Opérateur "&" (AND) ===== L'opérateur ''AND'' a pour syntaxe en C++ le symbole "&" (l’esperluette ou et commercial). Pour effectuer un ''AND'' sur des valeurs on écrira donc en C++ {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 2, b = 6, c = 12, d, e; d = a & b ; // d = 2 e = b & c ; // e = 4 </syntaxhighlight> }} ===== Opérateur "<nowiki>|</nowiki>" (OR) ===== L'opérateur ''OR'' a pour syntaxe en C++ le symbole "|" (la barre verticale). Pour effectuer un OR sur des valeurs on écrira donc en C++ : {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 2, b = 6, c = 12, d, e; d = a | b ; // d = 6 e = b | c ; // e = 14 </syntaxhighlight> }} ===== Opérateur "^" (XOR) ===== L'opérateur ''XOR'' a pour syntaxe en C++ le symbole "^" (Accent circonflexe). Pour effectuer un XOR sur des valeurs on écrira donc en C++ : {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 2, b = 6, c = 12, d, e, f; d = a ^ b ; // d = 4 e = a ^ a ; // e = 0 f = a ^ c ; // f = 14 </syntaxhighlight> }} ===== Opérateur "~" (NOT) ===== L'opérateur ''NOT'' a pour syntaxe en C++ le symbole "~" (tilde). Pour effectuer un ''NOT'' sur des valeurs on écrira donc en C++ : {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 2, b = -6, c = 0; a = ~a ; // a = -3 b = ~b ; // b = 5 c = ~c ; // c = -1 </syntaxhighlight> }} === Opérateurs unaires === En C++, il existe des opérateurs qui ne nécessitent qu'un opérande. Ils sont appelés opérateurs unaires. ==== Opérateurs "++" (incrémentation) ==== L'opérateur "++" est un peu particulier car il possède 2 formes et des effets indésirables. Je n'en parle que pour vous permettre d’éviter les cas problématiques. ===== Forme préfixée ===== Dans sa forme préfixée la théorie veut que l'opérande associé soit d’abord incrémenté puis renvoyé. {{Définition | contenu = '''Syntaxe :''' <syntaxhighlight lang="cpp"> ++<operande> </syntaxhighlight> }} Où ''operande'' est la valeur à incrémenter puis à renvoyer. ===== Forme suffixée ===== Dans sa forme suffixée la théorie veut que l'opérande associé soit d’abord renvoyé puis incrémenté. {{Définition | contenu = '''Syntaxe :''' <syntaxhighlight lang="cpp"> <operande>++ </syntaxhighlight> }} Où ''operande'' est la valeur à renvoyer puis à incrémenter. ==== Opérateurs "--" (décrémentation) ==== L'opérateur "--" est un peu particulier car il possède 2 formes et des effets indésirables. Je n'en parle que pour vous permettre d’éviter les cas problématiques. ===== Forme préfixée ===== Dans sa forme préfixée la théorie veut que l'opérande associé soit d’abord décrémenté puis renvoyé. {{Définition | contenu = '''Syntaxe :''' <syntaxhighlight lang="cpp"> --<operande> </syntaxhighlight> }} Où ''operande'' est la valeur à décrémenter puis à renvoyer. ===== Forme suffixée ===== Dans sa forme suffixée la théorie veut que l'opérande associé soit d’abord renvoyé puis décrémenté. {{Définition | contenu = '''Syntaxe :''' <syntaxhighlight lang="cpp"> <operande>-- </syntaxhighlight> }} Où ''operande'' est la valeur à renvoyer puis à décrémenter. ===== Effets secondaires ===== En C++ il existe un effet secondaire avec certains opérateurs. Si l’on utilise plusieurs opérateurs unaires ou d'affectation dans la même ligne de commande, le résultat est indéterminé par les spécifications du langage<ref>[http://books.google.fr/books?id=j5YKqVNo_C8C&pg=PA38&dq=c%2B%2B+effet+%22plusieurs+opérateurs%22&hl=fr&sa=X&ei=2zu9T7a4EYq_0QW2pOA2&ved=0CDUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22néanmoins%2C%20lorsque%20deux%20opérateurs%20sont%20théoriquement%20commutatifs%22&f=false ''Programmer en langage C++, Claude Delannoy, 2011]</ref>. Ce qui veut dire que le compilateur fait ce qu’il veut. En fait ce problème survient car l'opérateur lit et modifie la valeur de ses opérandes. {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 0; ++a = a++; // <-- résultat indéterminé </syntaxhighlight> }} Dans ce cas, "a" peut valoir 1 ou 2 selon comment le compilateur a traité les opérateurs. Autre exemple {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 0; a = a++ + ++a + a++; // <-- résultat indéterminé </syntaxhighlight> }} Dans ce cas, "a" peut valoir 0, 1 ou 3 selon comment le compilateur a traité les opérateurs. autre exemple : {{Exemple | contenu = <syntaxhighlight lang="cpp"> int a = 0; int b = 5; printf("%d, %d", a++, a = --b); // <-- résultat indéterminé </syntaxhighlight> }} (en c++ la fonction printf est toujour accessible mais elle vient d'origine du c en c++ on utilise plutot ) std::cout<< a++ << a = --b << std::endl; Ici l’affichage peut avoir bien des valeurs.Il est donc recommandé d’utiliser ces opérateurs avec précaution et d’éviter toute expression trop complexe(comme ci-dessus). D'ailleurs, de telles expressions ont plutôt tendance à rendre le code moins lisible - ce qui est l'inverse du but initial - et cache souvent une mauvaise conception. Néanmoins, une utilisation raisonnable de ces opérateurs permet de rendre un code plus concis, sans perdre en lisibilité. {{Exemple | contenu = Le code ci-dessous filtre dans tab les entiers superieurs à 5 et les place dans filtered_tab. <syntaxhighlight lang="cpp"> int tab[10]; /* initialisation de tab */ int filtered_tab[10]; int filtered_count = 0; for(int i = 0; i < 10; ++i) { if(array[i] > 5) filtered_array[filtered_count++] = array[i]; /* au lieu de if(array[i] > 5 { filtered_array[filtered_count] = array[i]; filtered_count++; } */ } </syntaxhighlight> }}\n, signifie une le line-feed. \t, signifie la tabulation horizontale. Et leurs origines viennent des ordinateurs qui existaient avant la démocratisation des écrans. Et ils étaient destinés aux imprimantes. Le \n est un caractère spéciale que les imprimantes interprétaient comme instruction de faire avancer le papier d’une ligne verticalement. Le \t est un caractère spéciale qui donnait l’instruction d’avancer la tête d’impression de 1 à 8 espaces horizontalement. Soit la position divisible par huit sans reste la plus près de sa position actuelle. == Références == <references/> == Voir aussi == * {{WB|Programmation C-C++/Priorités des opérateurs|Priorités des opérateurs}} {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Types/]] | suivant = [[../Syntaxe C++/]] }} brpx04ojwludaoqw0rjj3yxxvr4ah84 0 2313 984962 911353 2026-07-20T06:17:18Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984962 wikitext text/x-wiki <noinclude> __NOTOC__ {{Sommaire compact}} </noinclude> {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = informatique | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Types/]] }} == Les Mots Clés == En C++, comme en C d'ailleurs, il existe une série de mots qui ne peuvent et ne doivent être, en aucun cas, utilisés autrement que pour ce à quoi ils sont destinés. Ces mots sont dit "mots clés" et, dans certains cas, appelés "instructions", ou encore opérateurs, ou mots réservés et ont une signification particulière pour le compilateur. Voici une liste des mots clés/mot réservés du C++ : === * === {| class="wikitable" ! Mots clés ! Utilisation |----- | +, -, /, *, =, ., <, <=, ==, >=, > &&, <nowiki>||</nowiki>, &, <nowiki>|</nowiki>, !, ~, != , ()(parenthèses), [] (Crochets)… (Triples Points), , (Virgule) | Opérateurs |- | &, * | Opérateur de référencement/déréferencement (référence/pointeur) |----- | # | Préfixe de directives préprocesseur |- | 0x (Zéro-x) | Préfixe de nombre hexadécimal |----- | 0 (Chiffre zéro) | Préfixe de nombre octal |- | {} (Accolades) | Délimitation de portée |----- | :: (double deux points) | Opérateur de déréférencement de portée |} === A === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | asm | Déclarateur de code assembleur ! |- | auto | Déclarateur de variable à désallocation automatique "Pile"(stack). |} === B === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | break | Instruction de branchement dans une boucle ou un traitement de cas. |- | bool | Type de donnée logique dit "booléen". Prend la valeur vrai (true) ou faux (false). |} === C === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | case | Déclarateur de cas dans une instruction switch. |- | catch | Récupérateur d'erreur. |----- | char | Type de donnée entier dit "caractère". En programmation structurée ce type est déconseillé à l’utilisation mais il permet de rendre certains services. |- | class | Déclarateur de définition de classe. |----- | const | Déclarateur de constantes. |- | continue | Instruction de branchement dans une boucle imbriquée. |} === D === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | default | Déclarateur de cas par défaut dans une instruction switch. |- | delete | Désallocateur de mémoire dynamique "Tas"(heap). |----- | do | Déclarateur de boucle. Ne peut être utilisé qu'en association avec while. |- | double | Type de donnée nombre flottant à double précision. |} === E === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | else | Déclarateur de cas par défaut dans une instruction if. |- | enum | Structure de donnée énuméré. |----- | extern | Déclarateur d’une variable déclarée dans un autre fichier. |- | explicit | Interdit les constructeurs pour casts implicites. |} === F === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | false | Valeur logique (Faux) |- | float | Type de donnée nombre flottant à simple précision. |----- | for | Déclarateur de boucle paramétrée. |- | friend | Déclarateur de classe ou de fonction ayant accès aux données privées. |} === G === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | goto | Instruction de branchement, en développement structuré son utilisation est interdite car elle rend la compréhension du code plus difficile. |} === I === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | if | Déclarateur de traitement conditionnel. |- | inline | Déclarateur de MACRO |----- | int | Type de donnée entier. En programmation structurée ce type est déconseillé à l’utilisation mais il permet de rendre certains services. |} === L === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | long | Modificateur de longueur de type. |} === M === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | main | Méthode point d'entrée du programme. |- | mutable | Rend une partie d’un objet constant modifiable. |} === N === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | new | Allocateur de mémoire dynamique "Tas"(heap). |} === O === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | operator | Déclarateur de surcharge d'opérateur. |} === P === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | private | Déclarateur de membre privé. |- | protected | Déclarateur de membre protégé. |----- | public | Déclarateur de membre public. |} === R === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | register | Déclarateur de variable registre. |- | return | Instruction de branchement. |} === S === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | short | Modificateur de longueur de type. |- | signed | Modificateur d'interprétation de signe de type entier. |----- | sizeof | Opérateur spécial permettant de renvoyer la taille d’une variable stockée en pile(stack). |- | static | Déclarateur de variable statique dite "de classe". En programmation structurée, il est déconseillé à l’utilisation mais permet de rendre certains services. |----- | struct | Déclarateur de structure. En programmation structurée il est déconseillé à l’utilisation il est préférable d’utiliser des classes à la place. |- | switch | Déclarateur de traitement conditionnel cardinal. |} === T === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | template | Declarateur de paramétrage. |- | this | Pointeur spécial désignant l'instance en cours de l'objet. En programmation structurée il est systématiquement et presque obligatoirement utilisé car il améliore la lisibilité. |----- | throw | Déclencheur d'exceptions. |- | try | Déclarateur de section à déclenchement d'exceptions. |----- | true | Valeur logique (Vrai) |- | typedef | Déclarateur de type. |} === U === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | unsigned | Modificateur d'interprétation de signe de type entier. |- | union | Déclarateur d'union. En programmation structurée, il est très fortement déconseillé à l’utilisation il n'est utilisé que dans des cas très rares et pour des applications très spécifiques. |} === V === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | virtual | Déclarateur de méthode virtuelle. |- | void | Indicateur d’une absence de type (là où un type serait attendu). |----- | volatile | Déclarateur de membre critique nécessitant un traitement d'actualisation particulier notamment lors de l’utilisation de threads. |} === W === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | while | Déclarateur de boucle conditionnelle. |} === Instructions du langage C === {| class="wikitable" ! Mot Clé ! Utilisation |----- | include, define, ifdef, ifndef, pragma, error | [[Langage C/Le préprocesseur|Directives préprocesseur]] |- | malloc, realloc, calloc, free | [[Langage C/Allocation dynamique de mémoire|Opérateurs C d'allocation/désallocation de mémoire dynamique]]. |} {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Types/]] }} <noinclude> [[Catégorie:Mots réservés]] </noinclude> 2hytd17sq30wb43zwxyowjp7aez909u 106 23290 984957 984358 2026-07-19T20:56:37Z Guillaume FOUCART 39841 /* Dépôt des nouveaux travaux */ 984957 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{index de travaux de recherche | nom = Mathématiques | idfaculté = mathématiques }} Bienvenue dans le département de recherche en mathématiques. == Travaux == Remarque : Il se peut qu'il y ait encore des travaux qui ne devraient pas figurer dans la liste des « Travaux mathématiques supposés non fantaisistes et ayant un certain intérêt ». ===Dépôt des nouveaux travaux=== * [[Recherche:Décomposition en poids × niveau + saut|Décomposition en poids × niveau + saut]] * [[Recherche:La Logique Contextuelle|La Logique Contextuelle]] : contribution à la recherche d'un formalisme fédérateur des langages logiques * [[Recherche:Cardinal quantitatif|Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne|Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] * [[Recherche:Principe de complétude|Principe de complétude]] * [[Recherche:L'espace_hypercomplexe|L'espace hypercomplexe]] * [[Recherche:Réduction de fonction et/ou de données]] * [[ Modélisation : Processus de méthode d'analyse harmonique ]] * [[ Modélisation Classement des fonctions selon la parité]] * [[ Modélisation par dichotomie paritaire]] * [[ Modélisation Mixte Harmonique Hyperbolique par 5 ou 7 points]] * [[Recherche:Étude probabiliste du tarot africain|Étude probabiliste du tarot africain]] * [[Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible|L’énigme de Fermat passée au crible]] ===Travaux mathématiques supposés non fantaisistes et ayant un certain intérêt=== </noinclude> * [[Recherche:Constante d'Einstein|Constante d'Einstein]] * [[Recherche:Formule explicite des nombres de Bernoulli|Formule explicite des nombres de Bernoulli]] * [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente|Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente]] * [[Recherche:Théorie des matrices logiques|Théorie des matrices logiques]] Auteur : Michel Olivier. * [[Recherche:Étude: La structure des nombres|Étude: La structure des nombres]] * [[Recherche:Méthode de Sotta|Méthode de Sotta]] * [[Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible|L’énigme de Fermat passée au crible]] <noinclude> ===Travaux apparemment non mathématiques ou fantaisistes ou sans intérêt=== </noinclude> * [[Recherche:Fabeleblaĵo|Fabeleblaĵo]] * [[Recherche:L’ensemble de toutes les classes|L’ensemble de toutes les classes]] * [[Recherche:Sur la représentation de chiffres par des figures dont une des propriétés a une valeur numérique équivalente au nombre qu’il représente|Sur la représentation de chiffres par des figures dont une des propriétés a une valeur numérique équivalente au nombre qu’il représente]] * [[Recherche:Sécante modifiée ou méthode de Marouane Rhafli|Sécante modifiée ou méthode de Marouane Rhafli]] * [[Recherche:Une recherche sur quelques nombres premiers|Une recherche sur quelques nombres premiers]] * [[Recherche:Multiplier sans savoir ses tables de multiplications|Méthode Guérin sur les multiplications]] * [[Recherche:Nombres premiers et modèle des boules rouges et des boules bleues|Nombres premiers et modèle des boules rouges et des boules bleues]] * [[Recherche:Polynômes de Boubaker|Polynômes de Boubaker]] <noinclude> == Participants == * {{U'|Ereduverseau|Patrick Bréjon}} * [[Discussion utilisateur:TML's dad|Michel Olivier]] * {{U'|Marouane rhafli|Marouane Rhafli}} * {{U'|Supreme assis}} * {{U'|Guillaume FOUCART}} * {{U'|Loicmarly|Loïc Fabiou}} [[Catégorie:Mathématiques]]</noinclude> knb9o0k27fkd2bzvaiedlxnx8qkvh8y 984958 984957 2026-07-19T20:56:55Z Guillaume FOUCART 39841 /* Travaux mathématiques supposés non fantaisistes et ayant un certain intérêt */ 984958 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{index de travaux de recherche | nom = Mathématiques | idfaculté = mathématiques }} Bienvenue dans le département de recherche en mathématiques. == Travaux == Remarque : Il se peut qu'il y ait encore des travaux qui ne devraient pas figurer dans la liste des « Travaux mathématiques supposés non fantaisistes et ayant un certain intérêt ». ===Dépôt des nouveaux travaux=== * [[Recherche:Décomposition en poids × niveau + saut|Décomposition en poids × niveau + saut]] * [[Recherche:La Logique Contextuelle|La Logique Contextuelle]] : contribution à la recherche d'un formalisme fédérateur des langages logiques * [[Recherche:Cardinal quantitatif|Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne|Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] * [[Recherche:Principe de complétude|Principe de complétude]] * [[Recherche:L'espace_hypercomplexe|L'espace hypercomplexe]] * [[Recherche:Réduction de fonction et/ou de données]] * [[ Modélisation : Processus de méthode d'analyse harmonique ]] * [[ Modélisation Classement des fonctions selon la parité]] * [[ Modélisation par dichotomie paritaire]] * [[ Modélisation Mixte Harmonique Hyperbolique par 5 ou 7 points]] * [[Recherche:Étude probabiliste du tarot africain|Étude probabiliste du tarot africain]] * [[Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible|L’énigme de Fermat passée au crible]] ===Travaux mathématiques supposés non fantaisistes et ayant un certain intérêt=== </noinclude> * [[Recherche:Constante d'Einstein|Constante d'Einstein]] * [[Recherche:Formule explicite des nombres de Bernoulli|Formule explicite des nombres de Bernoulli]] * [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente|Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente]] * [[Recherche:Théorie des matrices logiques|Théorie des matrices logiques]] Auteur : Michel Olivier. * [[Recherche:Étude: La structure des nombres|Étude: La structure des nombres]] * [[Recherche:Méthode de Sotta|Méthode de Sotta]] <noinclude> ===Travaux apparemment non mathématiques ou fantaisistes ou sans intérêt=== </noinclude> * [[Recherche:Fabeleblaĵo|Fabeleblaĵo]] * [[Recherche:L’ensemble de toutes les classes|L’ensemble de toutes les classes]] * [[Recherche:Sur la représentation de chiffres par des figures dont une des propriétés a une valeur numérique équivalente au nombre qu’il représente|Sur la représentation de chiffres par des figures dont une des propriétés a une valeur numérique équivalente au nombre qu’il représente]] * [[Recherche:Sécante modifiée ou méthode de Marouane Rhafli|Sécante modifiée ou méthode de Marouane Rhafli]] * [[Recherche:Une recherche sur quelques nombres premiers|Une recherche sur quelques nombres premiers]] * [[Recherche:Multiplier sans savoir ses tables de multiplications|Méthode Guérin sur les multiplications]] * [[Recherche:Nombres premiers et modèle des boules rouges et des boules bleues|Nombres premiers et modèle des boules rouges et des boules bleues]] * [[Recherche:Polynômes de Boubaker|Polynômes de Boubaker]] <noinclude> == Participants == * {{U'|Ereduverseau|Patrick Bréjon}} * [[Discussion utilisateur:TML's dad|Michel Olivier]] * {{U'|Marouane rhafli|Marouane Rhafli}} * {{U'|Supreme assis}} * {{U'|Guillaume FOUCART}} * {{U'|Loicmarly|Loïc Fabiou}} [[Catégorie:Mathématiques]]</noinclude> k93kyjc7x363eggyihvdm75as6sxgh9 104 67660 984948 984942 2026-07-19T12:16:25Z Guillaume FOUCART 39841 /* Introduction */ 984948 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.1</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord (*) puis (**)''' '''où (*) : <math>''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p73\mbox{-}79''</math>''' '''et où (**) : <math>''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 5mc5o12j6jan4gkc2xd2dz0rss9trbm 984952 984948 2026-07-19T12:31:30Z Guillaume FOUCART 39841 984952 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.1</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord (*) puis (**)''' '''où (*) : <math>''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p73\mbox{-}79''</math>''' '''et où (**) : <math>''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 5i7x5h7cec43nqiqallv0a8v8nzbsxk 984953 984952 2026-07-19T13:18:00Z Guillaume FOUCART 39841 /* Avant propos */ 984953 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} fdmqz8nnu3px8o3nr6nssuzo34c6zc2 984955 984953 2026-07-19T15:40:23Z Guillaume FOUCART 39841 /* Avant propos */ 984955 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} ls6t3x7dzybw546c5w6xak7k6fq3cfz 104 78623 984946 984945 2026-07-19T12:01:06Z Guillaume FOUCART 39841 /* Introduction */ 984946 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.1</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord (*) puis (**)''' '''où (*) : <math>''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\,p73\mbox{-}79''</math>''' '''et où (**) : <math>''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, totalement, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 90p27fykoqjkkynszoej88uxvww9ep9 984947 984946 2026-07-19T12:06:14Z Guillaume FOUCART 39841 /* Introduction */ 984947 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.1</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord (*) puis (**)''' '''où (*) : <math>''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\,p73\mbox{-}79''</math>''' '''et où (**) : <math>''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, totalement, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} m9z0y8w8y6fvtjtrxjsnrgfit4q5rps 984950 984947 2026-07-19T12:25:59Z Guillaume FOUCART 39841 984950 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.1</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord (*) puis (**)''' '''où (*) : <math>''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\,p73\mbox{-}79''</math>''' '''et où (**) : <math>''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est donc, totalement, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} jygwu48lh0gg1awe4q4hc4akii2esq1 984951 984950 2026-07-19T12:28:41Z Guillaume FOUCART 39841 984951 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.1</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord (*) puis (**)''' '''où (*) : <math>''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\,p73\mbox{-}79''</math>''' '''et où (**) : <math>''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} canqy022wetofxfvxih74275q3513u4 984954 984951 2026-07-19T13:21:40Z Guillaume FOUCART 39841 /* Avant propos */ 984954 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur d'université voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} bmh0hkc1251anygugq2bz4wu6fstvku 984956 984954 2026-07-19T15:42:30Z Guillaume FOUCART 39841 /* Avant propos */ 984956 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} lkjjhcz34egbjehxgfjmhlw1jp02a58 105 81189 984959 979236 2026-07-19T21:38:26Z Guillaume FOUCART 39841 /* L'énigme de Fermat... */ 984959 wikitext text/x-wiki == Importance de l'article (évaluation par l'auteur) == * '''''Histoire des sciences''''' : <span style="color:blue">Maximum</span> * '''''Mathématiques''''' : Concernant le théorème en lui-même, à la suite aussi du gros travail de décryptage de l’''OBSERVATIO'' par Monsieur Roland Franquart : <span style="color:blue">Maximum</span><ref>Il est probable qu'aucun mathématicien n'a réussi à suivre Fermat dans sa formidable et très elliptique explication. Quoi qu'il en soit, une ''[[w:Évaluation par les pairs|peer review]]'' risque de se faire attendre, très, très, très longtemps... (“jamais” serait plus exact)</ref>. Ma note ''<u>personnelle</u>'' pour cette étude, en toute immodestie et honnêteté : * 19,75. Je ne doute pas qu'une forte proximité psychologique et spirituelle avec Pierre de Fermat m'a beaucoup motivé. Merci encore à vous, Monsieur de Fermat, du fond du cœur. En toute immodestie toujours, si j'avais eu à donner une note sur le fond, j'aurais mis 20/20 (on n'est jamais mieux servi que par soi-même). Sur la forme, au vu de certaines imperfections de style qui doivent persister, et de certains passages peut-être un peu longs : optimiste, j'attribuerais la note de 18/20. J'ai presque fait une moyenne : selon moi le fond prime sur la forme.<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 janvier 2022 à 16:44 (UTC) == L'énigme de Fermat et l'arithmétique élémentaire. == Je vous propose deux preuves élémentaires du DTF / TFW : Preuve A : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a, b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul ab(z^n-y^n) par (az^(n-1)-by^(n-1)) donne un seul reste nul et valide : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Preuve B : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a,b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), dans la division directe de reste nul: ab(z^n-y^n)=(az^(n-1)-by^(n-1))(bz+ay)+b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1), le reste doit être nul par application de l'équivalence D=d*q <=> r=0 : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Et Fermat pouvait faire mieux. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui [[Utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|Ahmed Idrissi Bouyahyaoui]] ([[Discussion utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|discuter]]) 31 octobre 2022 à 15:50 (UTC) :Mettez au moins des balises ''math'' ! :Preuve A : :Avec <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math>, Corollaire du Théorème de Bachet (1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul <math>ab(z^n-y^n)</math> par <math>(az^{n-1}-by^{n-1})</math> donne un seul reste nul et valide : <math>b^2zy^{n-1}-a^2yz^{n-1}=0</math>, soit <math>b^2y^{n-2}=a^2z^{n-2}</math>, :égalité impossible pour n>2 puisque <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math> et <math> (x,y,z) \in \mathbb{N} </math> sont premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:53 (UTC) == Commentaires de lecteurs == « Il faut enlever les complexités mentales pour réussir dans toute entreprise. C'est pourquoi Fermat est assez difficile à comprendre : on a des pensées parasites qui n'amènent rien, et on tend à en déduire qu'il n'y a rien d'intéressant d'écrit là car on ne comprend pas ce qui est là. Mais c'est un raisonnement personnel que de découvrir les complexités chez soi. » Jean-Francisque Léo, mai 2022. :Complètement d'accord avec toi. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:39 (UTC) == L'énigme de Fermat... == Pourquoi Pierre de Fermat se serait-il justifié ? [[Spécial:Contributions/92.184.100.25|92.184.100.25]] 6 décembre 2022 à 06:22 (UTC) :Bonjour. Il n'avait en effet aucune raison pour cela. Taquin comme il l'était, très déçu que l'on ne veuille pas comprendre toute la portée de découvertes qui feraient beaucoup progresser la science, il avait toutes les raisons au contraire de faire ce mémorable pied de nez. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 09:40 (UTC) :Votre question est ambigüe, j'y ai vu l'interprétation à mes yeux la plus logique. Maintenant si votre question, plus précisément, est : ''« Pourquoi Fermat aurait-il éprouvé le besoin de dévoiler sa preuve (en la cryptant) ? »'' c'est que vous n'avez lu que quelques bribes de l'article. Et la réponse à votre question figure aussi, en partie, dans mon post précédent. Je suis prêt à entendre vos arguments. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 14:36 (UTC) :Voyez [[Recherche:L’énigme_de_Fermat_passée_au_crible#Préambule|ICI]], j'ai résumé pour vous {{Sourire}}. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] 8 décembre 2022 à 19:32 (UTC). Vous ne me dites pas si ce Préambule que j'ai étoffé vous convient ! Merci en tout cas de votre question qui m'a permis ''d'annoncer la couleur'' dès le début de l'article, et peut-être d'encourager les lecteurs qui comme vous n'en auraient lu que des bribes. Je reconnais qu'il est très long, mais une étude si fouillée sur un sujet aussi important (Fermat et son théorème !) se devait d'être traitée de la façon la plus exhaustive'' (même si, je le reconnais, il persiste encore des longueurs qui peuvent gêner la lecture ― il faudra bien que je continue de faire le ménage''). Si vous avez encore des doutes sur le fait que ''« Fermat fut contristé, amer et particulièrement fâché'' » que plus aucun mathématicien ne veuille coopérer avec lui, je vous suggère de lire '''vraiment''' l'étude ''complète'', je vous assure que vous pourrez découvrir non seulement tout '''l'humour''' de Fermat, mais surtout, une INGÉNIOSITÉ JAMAIS VUE auparavant et que jamais on ne reverra. Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki. Merci encore à vous ! Cordialement, ----[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:38 (UTC) 9 décembre 2022 à 23:59 (UTC) :: Bonjour ! ::Je venais parcourir l'article (scientifique) pour le recommander à un ami mathématicien. ::Dès que je trouve moi-même un intérêt dans un article, je cherche le débat sur la page de discussion afin de m'éclairer sur les points qui justifient qu'il y ait débat. Ici, ::j'ai lu jusqu'à cette phrase qui m'invite au débat : ''''''Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki''''''. Les Wikimédiens ont retenu que les Wikis sont ''modifiables et donc appropriables'' sans autres formes de procès. ::Je ne suis pas de cet avis. Ne devons-nous pas y réfléchir avant d'affirmer ? ::La plupart des Wikis de l'espace Wikimedia sont '' « modifiables et donc appropriables » ''. Mais, tous les Wikis ne le sont pas, même dans l'espace Wikimedia. Que les Wikis pionniers aient adopté l'hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' », comme Wikipedia, Commons, Wikisource, Wikidata, l'hypothèse n'est pas généralisable. ::De mon point de vue, cette hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' » relève du « '''don contre don''' ». ::Réfléchir en mathématiciens sur ce qui est « ''modifiable et donc appropriable'' » est un énorme travail pour l'historienne que je suis. A ce point du « '''don contre don''' », j'irai poursuivre le débat sur ma page de discussion pour ne pas polluer votre espace. ::Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 11:01 (UTC) : Re-bonjour Ambre ! Mais vous ne "polluez" pas du tout mon espace, voyons ! Je suis assez convaincu que le mathématicien que vous avez contacté n'a pas dû apprécier mon texte. Mais peut-être me trompé-je... (chi lo sa ? Pas moi en tout cas). Cordialement, Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:33 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre]]. Merci de ta venue et de ton commentaire. Je suis d'accord avec toi. A dire vrai, si j'ai écrit cette phrase ''Et libre à vous bien sûr […]'', c'est que je pense avoir deviné qui est la personne qui m'avait écrit (en signant par son IP bien localisable, elle avait fait en sorte qu'il en soit ainsi). J'ai donc répondu de cette manière par gentillesse, pour adoucir un début de conflit mineur que nous avions eu ailleurs, mais je me doutais bien qu'elle ne ''supprimerait pas […]'', elle ne se le serait pas permis. Bien cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 février 2023 à 12:19 (UTC) :: Merci [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]].<br />Je propose de transformer le conflit en débat scientifique pluridisciplinaire sur ma pdd. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 20:09 (UTC) J'ai déplacé vos travaux dans une catégorie plus appropriée et encore j'ai été gentil. Vos travaux sont extrêmement et même supra spéculatifs et donc extrêmement fragiles. De plus, tous vos superlatifs employés pour qualifier Fermat ne sont sans doute pas objectifs mais reflètent plutôt votre amour aveugle et inconditionnel envers lui. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 19 juillet 2026 à 21:37 (UTC) == Roland Franquart == Qu'est devenu Roland Franquart? La boite mail indiquée sur son site (ideedefermat) est fermée. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:11 (UTC) : La dernière fois que je l'ai eu au téléphone, il y a lgtps déjà, il n'était pas en bonne santé. Il est possible hélas qu'il soit décédé. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:20 (UTC) ::Mince. Pour ce tissage, c'est incroyable mais ça va dans le même sens de mes trouvailles. ::J'aurais bien voulu qu'il voit ça: ::Pour vous, je vais prendre le cas <math>n=5</math> à titre d'exemple. ::Le binôme donne: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x^5}+5x^4y+{\color{red}10x^3y^2}+10x^2y^3+{\color{red}5xy^4 }+y^5</math> ::Effectivement, le regroupements qui va nous intéresser est de prendre successivement un terme sur deux, et de former alors 2 blocs: ::<math>(x+y)^5={\color{red}(x^5 + 10x^3y^2+5xy^4)} + (5x^4y + 10x^2y^3 +y^5 )</math> ::C'est là que ne comprenais plus ce que faisait Franquart ::Moi je factorise: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(5x^4 + 10x^2y^2 +y^4 )</math> ::Je vous réécris à l'envers le groupe des <math>y</math> pour bien montrer la symétrie de l'écriture: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(y^4 + 10x^2y^2 + 5x^4 )</math> ::Voilà. ::On a donc la forme voulue: ::<math>(x+y)^5={\color{red}xf(x^2,y^2)} + yf(y^2,x^2) )</math> avec <math>f(u,v)=u^2 + 10uv+5v^2</math> ::Et c'est là qu'intervient une loi vérifiée pour <u>toutes les puissances premières</u>: ::Ici avec 5, les facteurs premiers de <math>f(u^2,v^2)</math> sont tous congrus à 1 modulo 5 pour <math>(u,v)</math> premier entre eux de parité différente. De nombreux essais avec plein de valeurs, jamais de puissance. Mieux! Il semble toujours y avoir un des facteurs sans puissance. ::Quelques exemples: ::<math>f_{ 5 }( 2 ^2, 1 ^2) = 61 \equiv1[ 5 ] </math> ::<math>f_{ 5 }( 18 ^2, 35 ^2) = 11577101 =641\times18061 \equiv1\times1 [ 5 ]</math> ::Je pense que c'est ça qu'avait découvert Fermat ::Ensuite, vu que la somme de puissances impaires s'écrit toujours ::<math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)</math>, alors bingo. La lecture de Diophante a dû être ce fameux interrupteur dont parle Wiles. Fermat a dû avoir une fulgurance. Du moins c'est ma théorie. Pour les puissances paires, il n'y a rien à chercher: Fermat a réussit en en démontrer l'impossibilité. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 13:53 (UTC) :Mince, comme tu dis. J'aurais aussi voulu qu'il te lise. Je ne suis pas matheux, il faudrait que je réfléchisse où on pourrait mettre ton texte très intéressant, pour l'instant je ne vois rien d'autre qu'ici, et c'est déjà très bien ! {{Clin}}<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:38 (UTC) :Et je viens de voir sur le net, il est décédé en effet. Paix à son âme. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:42 (UTC) ::Merci. C'est dommage. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:12 (UTC) :Oui. Ici c'est déjà bien. Il reste du travail avant de savoir s'il existe une preuve "accessible" autour des facteurs premiers. :En tout cas, cela signifierait que la note de Fermat était bien codée?! Même si tu n'es pas matheux, tu peux quand même vérifier si les 't' et les 'u' ont un sens par rapport au fait de prendre un terme sur 2. :Par conséquent la traduction ''"j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante"'' est plutôt plausible. Faut que je regarde plus en détail les termes du binôme que Franquart a utilisés. Car je n'explique pas la suite: "''Le manque de la bordure ne la contiendrait pas''". :Ou alors si! Pour construire la fonction <math>f_n(u,v)</math>, en fait, on va sur la <math>n^{ieme}</math> ligne du triangle de Pascal. On part du 1 et on n'en prend que 1 sur 2. Par conséquent, le 1 final (bord?) n'est pas dedans. :exemple avec n=5: :le triangle de Pascal: 1 5 10 10 5 1 :Du coup, on prend 1 - 10 - 5 - :résultat: la fonction est <math>f_5(u,v)=1u^2+10uv+5v^2</math> :pour n=7: :le triangle de Pascal: 1 7 21 35 35 21 7 1 :Idem, on prend 1 - 21 - 35 - 7 - :La fonction est bien <math>f_7(u,v)=1u^3+21u^2v+35uv^2+7v^3</math> :Oui, ça se tient! ça tu le peux vérifier! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:02 (UTC) == Peut-être une piste == Bonjour. Je vous site dans un travail de recherche. Peut-être une piste prometteuse, un possible début d'explication sur la façon dont Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème. On est loin d'une preuve, mais Je pense avoir débusqué une idée intéressante. Car elle aboutit sur des généralités pour toute les puissances (pour l'instant impaires). Surtout, elle exploite le ré-agencement des termes du binôme, un peu ce qu'avait recherché Franquart. C'est ici:[[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] . En vous saluant. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:33 (UTC) : Bonjour Alain, et merci d'avoir cité mon texte (où il y a qd-même une trentaine d'arguments — voir ici, au 2/3 de la page [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Dernier_Probl%C3%A8me] — montrant que Fermat avait bien une preuve). J'adore les nombres (voir ici, « Les nombres et Dieu ») :<br /> :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_Nombres_et_Dieu, mais je n'ai fait que peu de math (en 4 lettres, je préfère, c'est plus “carré” - !!!) dans ma jeunesse, je ne peux hélas comprendre le vôtre.<br /> :Cordialement, :Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 07:02 (UTC) ::Je comprends. J'ai envie de vous dire pareillement: Je ne comprends rien à la preuve de Wiles. Elle me sera toujours inaccessible. C'est terrible. Quel dommage! :Mais non voyons Alain ce n'est pas terrible du tout ! Vous savez très bien qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas... sur Terre ! {{sourire}} ::J'ai adoré ce qu'il a dit dans une de ses interview:''la recherche mathématique, c'est entrer dans une pièce sans lumière. Dans l'obscurité on avance, on se cogne, on bute sur des objets, on les tâte à l'aveugle, on recule, change de direction, et au fil du temps on se construit ainsi une carte mentale de l'endroit. Et ce jour où on tombe sur l'interrupteur: tout s'éclaire. Et c'est merveilleux''. ::Votre texte est remarquable. Il m'a vraiment inspiré et m'a été d'une grande aide. Ce qui m'intéresse avant tout de mon côté est l'<u>intuition</u>. Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant. Chez Fermat, l'apparition du théorème a eu l'air d'être assez fulgurante. Vu le style de sa note de lecture, c'est comme si immédiatement son théorème lui était venu à l'esprit pendant la lecture de Diophante. Il y avait une telle évidence! Que s'est-il passé? Il s'était forcément forgé des outils et des techniques des années auparavant. On ne peut pas conjecturer une généralité pareille sans un esprit préparé et formaté par un précédent travail sur les puissances. Il ne peut pas y avoir de bluff. C'est impossible. Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre. Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 08:12 (UTC) Oui, la citation de Wiles est admirable. Merci pour votre compliment, ça me touche beaucoup. Vos 2 phrases : « ''Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant », «Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire »'' sont bien sûr à méditer très, très longuement. Et puisque nous en sommes aux compliments, votre post aussi est remarquable. De mon côté aussi c'est l'intuition qui compte énormément. Concernant Pierre Fermat, je suis personnellement certain qu'il avait '''une intuition extraordinaire''', et ''peut-être'' est-ce là une réponse à votre phrase ''« Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre »'' ? (Je suis mal réveillé, je ne sais si je vous ai bien compris et si je suis clair). Bien à vous, Claude Mariotti [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:00 (UTC) :Juste cette précision d'actualité. De nos jours, le théorème de Fermat n'est plus qu'un tout petit <u>cas particulie</u>r d'une <u>conjecture</u> beaucoup plus vaste. Et ça Fermat aurait pu le conjecturer si vraiment il y avait eu l'idée d'ajouter des puissances quelconques. Mais cette idée complètement farfelue ne lui est pas venue. Ce qui prouve bien qu'il réfléchissait dans un cadre particulier, avec des outils particuliers, liés à ce "partage" des puissances. Ma théorie est qu'il a pu repérer le problème pour les mêmes puissances <math>p</math> (premières), parce que dans ce cas les deux nombres qui émergent du partage sont composés uniquement de facteurs premiers en <math>1[p] </math>. Ce qu'il a dû voir. Et ainsi leur factorisation beaucoup plus facile à faire (mentalement) afin qu'un esprit vif et entrainé en déduise que ce ne seront jamais des puissances. Est-ce qu'il l'a déduit par de nombreux essais, par habitude des nombres qui sortent, par encore une autre technique qu'il utilisait? En avait-il une preuve ou a-t-il procédé par induction? C'est là tout le travail qu'il (me) reste à faire. :Voici pour ''Fermat'': : <math>\quad x^p+y^p=z^p </math> n'a aucune solution avec <math>p</math> supérieur à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. :Et aujourd'hui pour ''Tidjman et Zagier'': : <math>\quad x^p+y^q=z^r </math> n'a aucune solution avec <math>(p, q, r)</math> tous supérieurs à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:04 (UTC) Intéressant... Merci et bonne journée à vous, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:16 (UTC) Vous avez déjà dû le lire mais je le remets ici : 2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « ''[…] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, '''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques.''''' » Et je suis très heureux que mon texte ait pu vous inspirer et vous aider, ça me fait vraiment plaisir. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:04 (UTC) :"''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines''". Non. ça je n'y crois pas une minute. Et du latin, j'en avais fait jusqu'en Terminale. Que les langues "façonnent" notre esprit et nos pensées, j'y ai cru un temps, mais cette théorie m'a rapidement quitté. Par contre, ce que je sais, c'est que la mathématique (vous avez raison, pourquoi au pluriel) est une langue universelle. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Personnellement j'y crois un peu.<br/> P-S : Heureusement que les hommes ne sont pas tous du même avis... {{Clin}}. Ce serait bien triste sinon... [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:23 (UTC) :Oui. Et j'ai peu d'arguments à donner pour étayer ma pensée. L'expérience tranchera. Si vous avez raison, à mesure que le genre s'impose, toutes les langues genrées vont disparaître. Ne resteront que l'anglais, le chinois, et les autres que je connais pas. ;-). Personnellement je tiens au français parce que les sons sont tellement agréables à l'oreille, comparés aux précédentes citées. Par contre, niveau grammaire et orthographe, il y aurait beaucoup de travail d'élagage à faire! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:40 (UTC) Je suis d'origine italienne par mes parents. Pour moi, la langue italienne est encore plus agréable à entendre que la langue française ― c'est encore plus remarquable quand on écoute une chanson italienne ― encore davantage quand c'est une ''chanteuse.'' --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:04 (UTC) On se tutoie Alain, surtout que tous les 2 nous sommes admiratifs du travail de Fermat et de l'homme lui-même ? D'accord ?<br /> Dans cette page : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Le_coup_de_bluff]Le paragraphe — '''ce n'est que mon hypothèse mais j'y crois personnellement assez fort''' (on y croit ou on n'y croit pas) — qui comprend ces mots (tu peux faire une recherche avec Ctrl/F(ind) sur 3 ou 4 mots) parmi ceux-ci :<br /> La formulation : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse», '''<u>qui fait doublon</u>.''' Continuons donc à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité et, tout comme lui, « considérons la question ». La formulation du paragraphe a un double sens : la recherche qu'il évoque, ce n'est pas seulement celle, arithmétique, concernant cette proposition, c'est surtout une recherche de subtilités dans tout ce qu'il écrit. On aura alors avantage à comprendre ainsi le début de la phrase :<br /> « Cette dernière question, dans sa formulation, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. Cette idée, il ne m'a pas fallu moins de <u>'''18 ans !'''</u> pour la mettre au jour, après avoir lu son texte je ne sais combien de fois, 100 fois peut-être. Je ne sais si ''ma'' formulation est bien compréhensible pour d'autres que moi. (Qui a dit que Fermat n'est pas un génie ? Personne ? Ah bon, je préfère {{sourire}}) Tu pourrais me donner ton avis ? : Est-ce qu'elle est bien compréhensible ?. D'avance, merci. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 12:43 (UTC) :Je ne vois pas bien où tu veux en venir? Je ne crois pas bien saisir ton idée? [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:05 (UTC) Grand merci pour ta réponse, ça veut dire que je n'ai pas été assez clair. Là maintenant je suis un peu fatigué (bcp même, j'ai pas arrêté de courir auj.), mais j'y reviendrai. Encore merci. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:27 (UTC) C'est vraiment difficile de travailler sur les travaux de ce génie. « Cette dernière question, '''dans sa formulation''', est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […]. L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. »<br /> Je veux dire par là, avec ces mots de Fermat : (“ ''[... ] Et bien qu'elle soit conçue affirmativement, '''elle est négative''', puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il '''ne peut''' (pas) être divisé par aucun nombre''). » >>> ''“Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers”'' , = “Un nombre premier est un entier naturel qui admet '''seulement''' deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et le nombre considéré lui-même”. Donc il n'y a '''pas''' d'autres diviseurs. Fermat dit : « J’ay ensuite considéré certaines '''questions''' [...] ». Et donc la réponse à la « '''question''' » est '''négative'''. Ça te convient à peu près ? Désolé si je ne suis pas clair, je suis fatigué.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:39 (UTC)<br /> Concernant ta question sur les 't' et les 'u', je ne peux pas te répondre, trop crevé aujourd'hui.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:48 (UTC) :J'avoue être troublé par la formulation de Fermat. :Dans l'intro, il invite le lecteur à y essayer sa nouvelle méthode de la '''descente''' , qui permet d'infirmer une proposition positive par l'absurde, comme par exemple "''Il existe un cube divisible en deux cubes''". Et ainsi la rendre négative, donc "''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''" . Ce que je comprends, c'est qu'il sait déjà qu'il n'y a aucun cube divisible en deux cubes, mais qu'il n'arrive pas à y appliquer sa descente. (ce qu'arrivera à faire Euler en 1753, un siècle plus tard!). :Pour les "''Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.''", je ne pige pas [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:08 (UTC) ::Je comprends ceci: il invente le lecteur à essayer de prouver que ce sont des nombres premiers (en gros d'essayer de faire la décomposition). <u>Fermat sait qu'il ne sont pas tous premiers</u> (c'est "négatif"). Mais prévient le lecteur qu'il va devoir utiliser de très subtiles et très ingénieuses techniques pour y arriver. Ce que Fermat a dû et su développer au cours du temps. ::On sait que ces nombres valent 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... ::et la polémique autour de 4294967297=641 × 6700417, qui du coup n'aurait plus lieu d'être dès 1659, puisqu'il a dû 'enfin) découvrir la fausseté de sa conjecture. ::Mais je ne comprends pas ce que cela vient faire avec sa technique de la descente. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:27 (UTC) Ta première question, Fermat écrit pourtant : « ''la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera <big>aisé d’éprouver.</big> »'' Ta dernière question, vois sur Wikipédia "nombre de Fermat". [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:41 (UTC) :-------------------- :OK. Téléchargé le doc de Jean-René Joly (IGR83035.pdf): donc mon interprétation serait fausse. Voici sa conclusion: "''Il n'est pas surprenant qu'il ait fallu près d'un siècle (disons : de 1645 à 1732) pour que ce facteur premier [641] soit dé­couvert : les travaux arithmétiques de Fermât étaient tombés (avant même sa mort en 1665) dans le manque d'intérêt puis l'oubli le plus profonds, et Euler est en fait le premier grand mathématicien à s'y être passionnément et efficacement intéressé.''" :-------------------- :"Aisé d'éprouver"? ... c'est vraiment pas clair. Il faudrait contextualiser: c'est quoi ce "diverse des <u>précédentes</u>" [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Tape sur ton moteur de recherche : "AUTOUR DU PETIT THEOREME DE FERMAT par Jean-René JOLY" Tu as remarqué qu'à la suite de tes remarques j'ai un peu modifié l'“article” ? --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:00 (UTC) :Re-bonjour Claude ! :Je suis resté silencieux, j'ai un peu délaissé le GTF, mais j'y ai pensé tous les jours au-moins une fois ! :J Francisque Léo [[Spécial:Contributions/87.49.147.192|87.49.147.192]] 17 août 2024 à 19:11 (UTC) ihabi2ed9hxg3wrfqyyzwh3uavzf0y7 984960 984959 2026-07-19T22:12:16Z Guillaume FOUCART 39841 /* L'énigme de Fermat... */ 984960 wikitext text/x-wiki == Importance de l'article (évaluation par l'auteur) == * '''''Histoire des sciences''''' : <span style="color:blue">Maximum</span> * '''''Mathématiques''''' : Concernant le théorème en lui-même, à la suite aussi du gros travail de décryptage de l’''OBSERVATIO'' par Monsieur Roland Franquart : <span style="color:blue">Maximum</span><ref>Il est probable qu'aucun mathématicien n'a réussi à suivre Fermat dans sa formidable et très elliptique explication. Quoi qu'il en soit, une ''[[w:Évaluation par les pairs|peer review]]'' risque de se faire attendre, très, très, très longtemps... (“jamais” serait plus exact)</ref>. Ma note ''<u>personnelle</u>'' pour cette étude, en toute immodestie et honnêteté : * 19,75. Je ne doute pas qu'une forte proximité psychologique et spirituelle avec Pierre de Fermat m'a beaucoup motivé. Merci encore à vous, Monsieur de Fermat, du fond du cœur. En toute immodestie toujours, si j'avais eu à donner une note sur le fond, j'aurais mis 20/20 (on n'est jamais mieux servi que par soi-même). Sur la forme, au vu de certaines imperfections de style qui doivent persister, et de certains passages peut-être un peu longs : optimiste, j'attribuerais la note de 18/20. J'ai presque fait une moyenne : selon moi le fond prime sur la forme.<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 janvier 2022 à 16:44 (UTC) == L'énigme de Fermat et l'arithmétique élémentaire. == Je vous propose deux preuves élémentaires du DTF / TFW : Preuve A : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a, b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul ab(z^n-y^n) par (az^(n-1)-by^(n-1)) donne un seul reste nul et valide : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Preuve B : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a,b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), dans la division directe de reste nul: ab(z^n-y^n)=(az^(n-1)-by^(n-1))(bz+ay)+b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1), le reste doit être nul par application de l'équivalence D=d*q <=> r=0 : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Et Fermat pouvait faire mieux. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui [[Utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|Ahmed Idrissi Bouyahyaoui]] ([[Discussion utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|discuter]]) 31 octobre 2022 à 15:50 (UTC) :Mettez au moins des balises ''math'' ! :Preuve A : :Avec <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math>, Corollaire du Théorème de Bachet (1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul <math>ab(z^n-y^n)</math> par <math>(az^{n-1}-by^{n-1})</math> donne un seul reste nul et valide : <math>b^2zy^{n-1}-a^2yz^{n-1}=0</math>, soit <math>b^2y^{n-2}=a^2z^{n-2}</math>, :égalité impossible pour n>2 puisque <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math> et <math> (x,y,z) \in \mathbb{N} </math> sont premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:53 (UTC) == Commentaires de lecteurs == « Il faut enlever les complexités mentales pour réussir dans toute entreprise. C'est pourquoi Fermat est assez difficile à comprendre : on a des pensées parasites qui n'amènent rien, et on tend à en déduire qu'il n'y a rien d'intéressant d'écrit là car on ne comprend pas ce qui est là. Mais c'est un raisonnement personnel que de découvrir les complexités chez soi. » Jean-Francisque Léo, mai 2022. :Complètement d'accord avec toi. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:39 (UTC) == L'énigme de Fermat... == Pourquoi Pierre de Fermat se serait-il justifié ? [[Spécial:Contributions/92.184.100.25|92.184.100.25]] 6 décembre 2022 à 06:22 (UTC) :Bonjour. Il n'avait en effet aucune raison pour cela. Taquin comme il l'était, très déçu que l'on ne veuille pas comprendre toute la portée de découvertes qui feraient beaucoup progresser la science, il avait toutes les raisons au contraire de faire ce mémorable pied de nez. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 09:40 (UTC) :Votre question est ambigüe, j'y ai vu l'interprétation à mes yeux la plus logique. Maintenant si votre question, plus précisément, est : ''« Pourquoi Fermat aurait-il éprouvé le besoin de dévoiler sa preuve (en la cryptant) ? »'' c'est que vous n'avez lu que quelques bribes de l'article. Et la réponse à votre question figure aussi, en partie, dans mon post précédent. Je suis prêt à entendre vos arguments. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 14:36 (UTC) :Voyez [[Recherche:L’énigme_de_Fermat_passée_au_crible#Préambule|ICI]], j'ai résumé pour vous {{Sourire}}. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] 8 décembre 2022 à 19:32 (UTC). Vous ne me dites pas si ce Préambule que j'ai étoffé vous convient ! Merci en tout cas de votre question qui m'a permis ''d'annoncer la couleur'' dès le début de l'article, et peut-être d'encourager les lecteurs qui comme vous n'en auraient lu que des bribes. Je reconnais qu'il est très long, mais une étude si fouillée sur un sujet aussi important (Fermat et son théorème !) se devait d'être traitée de la façon la plus exhaustive'' (même si, je le reconnais, il persiste encore des longueurs qui peuvent gêner la lecture ― il faudra bien que je continue de faire le ménage''). Si vous avez encore des doutes sur le fait que ''« Fermat fut contristé, amer et particulièrement fâché'' » que plus aucun mathématicien ne veuille coopérer avec lui, je vous suggère de lire '''vraiment''' l'étude ''complète'', je vous assure que vous pourrez découvrir non seulement tout '''l'humour''' de Fermat, mais surtout, une INGÉNIOSITÉ JAMAIS VUE auparavant et que jamais on ne reverra. Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki. Merci encore à vous ! Cordialement, ----[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:38 (UTC) 9 décembre 2022 à 23:59 (UTC) :: Bonjour ! ::Je venais parcourir l'article (scientifique) pour le recommander à un ami mathématicien. ::Dès que je trouve moi-même un intérêt dans un article, je cherche le débat sur la page de discussion afin de m'éclairer sur les points qui justifient qu'il y ait débat. Ici, ::j'ai lu jusqu'à cette phrase qui m'invite au débat : ''''''Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki''''''. Les Wikimédiens ont retenu que les Wikis sont ''modifiables et donc appropriables'' sans autres formes de procès. ::Je ne suis pas de cet avis. Ne devons-nous pas y réfléchir avant d'affirmer ? ::La plupart des Wikis de l'espace Wikimedia sont '' « modifiables et donc appropriables » ''. Mais, tous les Wikis ne le sont pas, même dans l'espace Wikimedia. Que les Wikis pionniers aient adopté l'hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' », comme Wikipedia, Commons, Wikisource, Wikidata, l'hypothèse n'est pas généralisable. ::De mon point de vue, cette hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' » relève du « '''don contre don''' ». ::Réfléchir en mathématiciens sur ce qui est « ''modifiable et donc appropriable'' » est un énorme travail pour l'historienne que je suis. A ce point du « '''don contre don''' », j'irai poursuivre le débat sur ma page de discussion pour ne pas polluer votre espace. ::Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 11:01 (UTC) : Re-bonjour Ambre ! Mais vous ne "polluez" pas du tout mon espace, voyons ! Je suis assez convaincu que le mathématicien que vous avez contacté n'a pas dû apprécier mon texte. Mais peut-être me trompé-je... (chi lo sa ? Pas moi en tout cas). Cordialement, Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:33 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre]]. Merci de ta venue et de ton commentaire. Je suis d'accord avec toi. A dire vrai, si j'ai écrit cette phrase ''Et libre à vous bien sûr […]'', c'est que je pense avoir deviné qui est la personne qui m'avait écrit (en signant par son IP bien localisable, elle avait fait en sorte qu'il en soit ainsi). J'ai donc répondu de cette manière par gentillesse, pour adoucir un début de conflit mineur que nous avions eu ailleurs, mais je me doutais bien qu'elle ne ''supprimerait pas […]'', elle ne se le serait pas permis. Bien cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 février 2023 à 12:19 (UTC) :: Merci [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]].<br />Je propose de transformer le conflit en débat scientifique pluridisciplinaire sur ma pdd. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 20:09 (UTC) J'ai déplacé vos travaux dans une catégorie plus appropriée et encore j'ai été gentil. Vos travaux sont extrêmement et même supra spéculatifs et donc extrêmement fragiles. De plus, tous vos superlatifs employés pour qualifier Fermat ne sont sans doute pas objectifs mais reflètent plutôt votre amour aveugle, béat et inconditionnel envers lui. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 19 juillet 2026 à 21:37 (UTC) == Roland Franquart == Qu'est devenu Roland Franquart? La boite mail indiquée sur son site (ideedefermat) est fermée. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:11 (UTC) : La dernière fois que je l'ai eu au téléphone, il y a lgtps déjà, il n'était pas en bonne santé. Il est possible hélas qu'il soit décédé. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:20 (UTC) ::Mince. Pour ce tissage, c'est incroyable mais ça va dans le même sens de mes trouvailles. ::J'aurais bien voulu qu'il voit ça: ::Pour vous, je vais prendre le cas <math>n=5</math> à titre d'exemple. ::Le binôme donne: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x^5}+5x^4y+{\color{red}10x^3y^2}+10x^2y^3+{\color{red}5xy^4 }+y^5</math> ::Effectivement, le regroupements qui va nous intéresser est de prendre successivement un terme sur deux, et de former alors 2 blocs: ::<math>(x+y)^5={\color{red}(x^5 + 10x^3y^2+5xy^4)} + (5x^4y + 10x^2y^3 +y^5 )</math> ::C'est là que ne comprenais plus ce que faisait Franquart ::Moi je factorise: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(5x^4 + 10x^2y^2 +y^4 )</math> ::Je vous réécris à l'envers le groupe des <math>y</math> pour bien montrer la symétrie de l'écriture: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(y^4 + 10x^2y^2 + 5x^4 )</math> ::Voilà. ::On a donc la forme voulue: ::<math>(x+y)^5={\color{red}xf(x^2,y^2)} + yf(y^2,x^2) )</math> avec <math>f(u,v)=u^2 + 10uv+5v^2</math> ::Et c'est là qu'intervient une loi vérifiée pour <u>toutes les puissances premières</u>: ::Ici avec 5, les facteurs premiers de <math>f(u^2,v^2)</math> sont tous congrus à 1 modulo 5 pour <math>(u,v)</math> premier entre eux de parité différente. De nombreux essais avec plein de valeurs, jamais de puissance. Mieux! Il semble toujours y avoir un des facteurs sans puissance. ::Quelques exemples: ::<math>f_{ 5 }( 2 ^2, 1 ^2) = 61 \equiv1[ 5 ] </math> ::<math>f_{ 5 }( 18 ^2, 35 ^2) = 11577101 =641\times18061 \equiv1\times1 [ 5 ]</math> ::Je pense que c'est ça qu'avait découvert Fermat ::Ensuite, vu que la somme de puissances impaires s'écrit toujours ::<math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)</math>, alors bingo. La lecture de Diophante a dû être ce fameux interrupteur dont parle Wiles. Fermat a dû avoir une fulgurance. Du moins c'est ma théorie. Pour les puissances paires, il n'y a rien à chercher: Fermat a réussit en en démontrer l'impossibilité. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 13:53 (UTC) :Mince, comme tu dis. J'aurais aussi voulu qu'il te lise. Je ne suis pas matheux, il faudrait que je réfléchisse où on pourrait mettre ton texte très intéressant, pour l'instant je ne vois rien d'autre qu'ici, et c'est déjà très bien ! {{Clin}}<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:38 (UTC) :Et je viens de voir sur le net, il est décédé en effet. Paix à son âme. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:42 (UTC) ::Merci. C'est dommage. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:12 (UTC) :Oui. Ici c'est déjà bien. Il reste du travail avant de savoir s'il existe une preuve "accessible" autour des facteurs premiers. :En tout cas, cela signifierait que la note de Fermat était bien codée?! Même si tu n'es pas matheux, tu peux quand même vérifier si les 't' et les 'u' ont un sens par rapport au fait de prendre un terme sur 2. :Par conséquent la traduction ''"j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante"'' est plutôt plausible. Faut que je regarde plus en détail les termes du binôme que Franquart a utilisés. Car je n'explique pas la suite: "''Le manque de la bordure ne la contiendrait pas''". :Ou alors si! Pour construire la fonction <math>f_n(u,v)</math>, en fait, on va sur la <math>n^{ieme}</math> ligne du triangle de Pascal. On part du 1 et on n'en prend que 1 sur 2. Par conséquent, le 1 final (bord?) n'est pas dedans. :exemple avec n=5: :le triangle de Pascal: 1 5 10 10 5 1 :Du coup, on prend 1 - 10 - 5 - :résultat: la fonction est <math>f_5(u,v)=1u^2+10uv+5v^2</math> :pour n=7: :le triangle de Pascal: 1 7 21 35 35 21 7 1 :Idem, on prend 1 - 21 - 35 - 7 - :La fonction est bien <math>f_7(u,v)=1u^3+21u^2v+35uv^2+7v^3</math> :Oui, ça se tient! ça tu le peux vérifier! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:02 (UTC) == Peut-être une piste == Bonjour. Je vous site dans un travail de recherche. Peut-être une piste prometteuse, un possible début d'explication sur la façon dont Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème. On est loin d'une preuve, mais Je pense avoir débusqué une idée intéressante. Car elle aboutit sur des généralités pour toute les puissances (pour l'instant impaires). Surtout, elle exploite le ré-agencement des termes du binôme, un peu ce qu'avait recherché Franquart. C'est ici:[[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] . En vous saluant. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:33 (UTC) : Bonjour Alain, et merci d'avoir cité mon texte (où il y a qd-même une trentaine d'arguments — voir ici, au 2/3 de la page [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Dernier_Probl%C3%A8me] — montrant que Fermat avait bien une preuve). J'adore les nombres (voir ici, « Les nombres et Dieu ») :<br /> :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_Nombres_et_Dieu, mais je n'ai fait que peu de math (en 4 lettres, je préfère, c'est plus “carré” - !!!) dans ma jeunesse, je ne peux hélas comprendre le vôtre.<br /> :Cordialement, :Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 07:02 (UTC) ::Je comprends. J'ai envie de vous dire pareillement: Je ne comprends rien à la preuve de Wiles. Elle me sera toujours inaccessible. C'est terrible. Quel dommage! :Mais non voyons Alain ce n'est pas terrible du tout ! Vous savez très bien qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas... sur Terre ! {{sourire}} ::J'ai adoré ce qu'il a dit dans une de ses interview:''la recherche mathématique, c'est entrer dans une pièce sans lumière. Dans l'obscurité on avance, on se cogne, on bute sur des objets, on les tâte à l'aveugle, on recule, change de direction, et au fil du temps on se construit ainsi une carte mentale de l'endroit. Et ce jour où on tombe sur l'interrupteur: tout s'éclaire. Et c'est merveilleux''. ::Votre texte est remarquable. Il m'a vraiment inspiré et m'a été d'une grande aide. Ce qui m'intéresse avant tout de mon côté est l'<u>intuition</u>. Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant. Chez Fermat, l'apparition du théorème a eu l'air d'être assez fulgurante. Vu le style de sa note de lecture, c'est comme si immédiatement son théorème lui était venu à l'esprit pendant la lecture de Diophante. Il y avait une telle évidence! Que s'est-il passé? Il s'était forcément forgé des outils et des techniques des années auparavant. On ne peut pas conjecturer une généralité pareille sans un esprit préparé et formaté par un précédent travail sur les puissances. Il ne peut pas y avoir de bluff. C'est impossible. Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre. Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 08:12 (UTC) Oui, la citation de Wiles est admirable. Merci pour votre compliment, ça me touche beaucoup. Vos 2 phrases : « ''Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant », «Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire »'' sont bien sûr à méditer très, très longuement. Et puisque nous en sommes aux compliments, votre post aussi est remarquable. De mon côté aussi c'est l'intuition qui compte énormément. Concernant Pierre Fermat, je suis personnellement certain qu'il avait '''une intuition extraordinaire''', et ''peut-être'' est-ce là une réponse à votre phrase ''« Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre »'' ? (Je suis mal réveillé, je ne sais si je vous ai bien compris et si je suis clair). Bien à vous, Claude Mariotti [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:00 (UTC) :Juste cette précision d'actualité. De nos jours, le théorème de Fermat n'est plus qu'un tout petit <u>cas particulie</u>r d'une <u>conjecture</u> beaucoup plus vaste. Et ça Fermat aurait pu le conjecturer si vraiment il y avait eu l'idée d'ajouter des puissances quelconques. Mais cette idée complètement farfelue ne lui est pas venue. Ce qui prouve bien qu'il réfléchissait dans un cadre particulier, avec des outils particuliers, liés à ce "partage" des puissances. Ma théorie est qu'il a pu repérer le problème pour les mêmes puissances <math>p</math> (premières), parce que dans ce cas les deux nombres qui émergent du partage sont composés uniquement de facteurs premiers en <math>1[p] </math>. Ce qu'il a dû voir. Et ainsi leur factorisation beaucoup plus facile à faire (mentalement) afin qu'un esprit vif et entrainé en déduise que ce ne seront jamais des puissances. Est-ce qu'il l'a déduit par de nombreux essais, par habitude des nombres qui sortent, par encore une autre technique qu'il utilisait? En avait-il une preuve ou a-t-il procédé par induction? C'est là tout le travail qu'il (me) reste à faire. :Voici pour ''Fermat'': : <math>\quad x^p+y^p=z^p </math> n'a aucune solution avec <math>p</math> supérieur à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. :Et aujourd'hui pour ''Tidjman et Zagier'': : <math>\quad x^p+y^q=z^r </math> n'a aucune solution avec <math>(p, q, r)</math> tous supérieurs à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:04 (UTC) Intéressant... Merci et bonne journée à vous, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:16 (UTC) Vous avez déjà dû le lire mais je le remets ici : 2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « ''[…] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, '''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques.''''' » Et je suis très heureux que mon texte ait pu vous inspirer et vous aider, ça me fait vraiment plaisir. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:04 (UTC) :"''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines''". Non. ça je n'y crois pas une minute. Et du latin, j'en avais fait jusqu'en Terminale. Que les langues "façonnent" notre esprit et nos pensées, j'y ai cru un temps, mais cette théorie m'a rapidement quitté. Par contre, ce que je sais, c'est que la mathématique (vous avez raison, pourquoi au pluriel) est une langue universelle. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Personnellement j'y crois un peu.<br/> P-S : Heureusement que les hommes ne sont pas tous du même avis... {{Clin}}. Ce serait bien triste sinon... [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:23 (UTC) :Oui. Et j'ai peu d'arguments à donner pour étayer ma pensée. L'expérience tranchera. Si vous avez raison, à mesure que le genre s'impose, toutes les langues genrées vont disparaître. Ne resteront que l'anglais, le chinois, et les autres que je connais pas. ;-). Personnellement je tiens au français parce que les sons sont tellement agréables à l'oreille, comparés aux précédentes citées. Par contre, niveau grammaire et orthographe, il y aurait beaucoup de travail d'élagage à faire! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:40 (UTC) Je suis d'origine italienne par mes parents. Pour moi, la langue italienne est encore plus agréable à entendre que la langue française ― c'est encore plus remarquable quand on écoute une chanson italienne ― encore davantage quand c'est une ''chanteuse.'' --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:04 (UTC) On se tutoie Alain, surtout que tous les 2 nous sommes admiratifs du travail de Fermat et de l'homme lui-même ? D'accord ?<br /> Dans cette page : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Le_coup_de_bluff]Le paragraphe — '''ce n'est que mon hypothèse mais j'y crois personnellement assez fort''' (on y croit ou on n'y croit pas) — qui comprend ces mots (tu peux faire une recherche avec Ctrl/F(ind) sur 3 ou 4 mots) parmi ceux-ci :<br /> La formulation : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse», '''<u>qui fait doublon</u>.''' Continuons donc à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité et, tout comme lui, « considérons la question ». La formulation du paragraphe a un double sens : la recherche qu'il évoque, ce n'est pas seulement celle, arithmétique, concernant cette proposition, c'est surtout une recherche de subtilités dans tout ce qu'il écrit. On aura alors avantage à comprendre ainsi le début de la phrase :<br /> « Cette dernière question, dans sa formulation, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. Cette idée, il ne m'a pas fallu moins de <u>'''18 ans !'''</u> pour la mettre au jour, après avoir lu son texte je ne sais combien de fois, 100 fois peut-être. Je ne sais si ''ma'' formulation est bien compréhensible pour d'autres que moi. (Qui a dit que Fermat n'est pas un génie ? Personne ? Ah bon, je préfère {{sourire}}) Tu pourrais me donner ton avis ? : Est-ce qu'elle est bien compréhensible ?. D'avance, merci. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 12:43 (UTC) :Je ne vois pas bien où tu veux en venir? Je ne crois pas bien saisir ton idée? [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:05 (UTC) Grand merci pour ta réponse, ça veut dire que je n'ai pas été assez clair. Là maintenant je suis un peu fatigué (bcp même, j'ai pas arrêté de courir auj.), mais j'y reviendrai. Encore merci. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:27 (UTC) C'est vraiment difficile de travailler sur les travaux de ce génie. « Cette dernière question, '''dans sa formulation''', est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […]. L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. »<br /> Je veux dire par là, avec ces mots de Fermat : (“ ''[... ] Et bien qu'elle soit conçue affirmativement, '''elle est négative''', puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il '''ne peut''' (pas) être divisé par aucun nombre''). » >>> ''“Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers”'' , = “Un nombre premier est un entier naturel qui admet '''seulement''' deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et le nombre considéré lui-même”. Donc il n'y a '''pas''' d'autres diviseurs. Fermat dit : « J’ay ensuite considéré certaines '''questions''' [...] ». Et donc la réponse à la « '''question''' » est '''négative'''. Ça te convient à peu près ? Désolé si je ne suis pas clair, je suis fatigué.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:39 (UTC)<br /> Concernant ta question sur les 't' et les 'u', je ne peux pas te répondre, trop crevé aujourd'hui.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:48 (UTC) :J'avoue être troublé par la formulation de Fermat. :Dans l'intro, il invite le lecteur à y essayer sa nouvelle méthode de la '''descente''' , qui permet d'infirmer une proposition positive par l'absurde, comme par exemple "''Il existe un cube divisible en deux cubes''". Et ainsi la rendre négative, donc "''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''" . Ce que je comprends, c'est qu'il sait déjà qu'il n'y a aucun cube divisible en deux cubes, mais qu'il n'arrive pas à y appliquer sa descente. (ce qu'arrivera à faire Euler en 1753, un siècle plus tard!). :Pour les "''Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.''", je ne pige pas [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:08 (UTC) ::Je comprends ceci: il invente le lecteur à essayer de prouver que ce sont des nombres premiers (en gros d'essayer de faire la décomposition). <u>Fermat sait qu'il ne sont pas tous premiers</u> (c'est "négatif"). Mais prévient le lecteur qu'il va devoir utiliser de très subtiles et très ingénieuses techniques pour y arriver. Ce que Fermat a dû et su développer au cours du temps. ::On sait que ces nombres valent 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... ::et la polémique autour de 4294967297=641 × 6700417, qui du coup n'aurait plus lieu d'être dès 1659, puisqu'il a dû 'enfin) découvrir la fausseté de sa conjecture. ::Mais je ne comprends pas ce que cela vient faire avec sa technique de la descente. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:27 (UTC) Ta première question, Fermat écrit pourtant : « ''la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera <big>aisé d’éprouver.</big> »'' Ta dernière question, vois sur Wikipédia "nombre de Fermat". [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:41 (UTC) :-------------------- :OK. Téléchargé le doc de Jean-René Joly (IGR83035.pdf): donc mon interprétation serait fausse. Voici sa conclusion: "''Il n'est pas surprenant qu'il ait fallu près d'un siècle (disons : de 1645 à 1732) pour que ce facteur premier [641] soit dé­couvert : les travaux arithmétiques de Fermât étaient tombés (avant même sa mort en 1665) dans le manque d'intérêt puis l'oubli le plus profonds, et Euler est en fait le premier grand mathématicien à s'y être passionnément et efficacement intéressé.''" :-------------------- :"Aisé d'éprouver"? ... c'est vraiment pas clair. Il faudrait contextualiser: c'est quoi ce "diverse des <u>précédentes</u>" [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Tape sur ton moteur de recherche : "AUTOUR DU PETIT THEOREME DE FERMAT par Jean-René JOLY" Tu as remarqué qu'à la suite de tes remarques j'ai un peu modifié l'“article” ? --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:00 (UTC) :Re-bonjour Claude ! :Je suis resté silencieux, j'ai un peu délaissé le GTF, mais j'y ai pensé tous les jours au-moins une fois ! :J Francisque Léo [[Spécial:Contributions/87.49.147.192|87.49.147.192]] 17 août 2024 à 19:11 (UTC) 3w6gu1ri7gki91lbgwi7xlhggwezk4l 104 86219 984949 984913 2026-07-19T12:22:42Z Rbmn 54342 984949 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = Histoire | département = | niveau = 16 | titre = Arthur Constantin KREBS (1850-1935) - Pionnier de l'aéronautique, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, de l'automobile et gestionnaire de grands projets technologiques | parent = | image = }} {{Travail de recherche | idfaculté = Sciences de l'ingénieur }} {| class="wikitable centre" style="border:left; border:right; text-align:center; width:50%;" ! colspan="2"|Biographie intellectuelle |- !style="background: #C0C0C0;" colspan="2"| '''<big>Arthur Constantin Krebs </big>'''(1850-1935) |- |style="border:none;" colspan="2"|[[File:Arthur Constantin Krebs.png]] |- |style="border:none;" colspan="2"|'''Officier et industriel français, pionnier de la navigation aérienne et sous-marine et de l'ingénierie automobile'''<br> |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Naissance''' ||style="border:none; text-align:left;"| 16 novembre 1850 à Vesoul |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Décès''' ||style="border:none; text-align:left;"| 21 mars 1935 à Quimperlé |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Sépulture''' ||style="border:none; text-align:left;"| Cimetière Saint-David de Quimperlé |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Nationalité''' ||style="border:none; text-align:left;"| Française |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Domiciles''' ||style="border:none; text-align:left;"| Parc aérostatique de Chalais-Meudon<br>État-major des Pompiers (9 Bd du Palais, Paris)<br>Usine Panhard & Levassor (19 av. d'Ivry, Paris) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Formation''' ||style="border:none; text-align:left;"| École spéciale militaire de Saint-Cyr (1872-1873) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Activités''' || style="border:none; text-align:left;"| Inventeur, ingénieur militaire, aviateur, ingénieur aéronautique, ingénieur en construction automobile, industriel, motorboat racer, pompier |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Œuvres notables''' ||style="border:none; text-align:left;"| Les [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#A._C._KREBS_pilote_les_premiers_vols_pleinement_contr%C3%B4l%C3%A9s premiers vols aériens contrôlés] avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_dirigeable_%22La_France%22_avec_Charles_RENARD_et_Henri_DUPUY-de-L%C3%94ME le dirigeable '''''La France''''']<br>Le premier sous-marin pleinement fonctionnel avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_sous-marin_%22Gymnote%22_avec_Gustave_ZEDE le sous-marin expérimental '''''Gymnote''''']<br>Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_%22carburateur_Krebs%22 premier '''''carburateur automatique''''']<br>Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_joint_%C3%A9lastique_FLECTOR joint élastique '''''FLECTOR'''''] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Distinctions'''||style="border:none; text-align:left;"| Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 '''''prix Ponti'''''] de l'[[W:Académie des sciences (France)|académie des sciences]] (avec [[W:Charles_Renard|C. Renard]])<br>Commandeur de la Légion d'honneur |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Employé par''' ||style="border:none; text-align:left;"| Armée de terre française<br>Brigade de sapeurs-pompiers de Paris<br>Panhard & Levassor |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"|'''Conjoint'''||style="border:none; text-align:left;"| Marie de Fréminville (1858-1938) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Enfants''' ||style="border:none; text-align:left;"| Antoine, Hervé, [[W:Louis Krebs|'''Louis''']], Anne-Marie, Arthur, [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Jean_Krebs_(1896-1916)_et_Georges_GUYNEMER_(1894-1917) '''Jean'''], Alain, [[W:Petit Navire|'''Marguerite''']] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Parentèle''' ||style="border:none; text-align:left;"| [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) '''Commandant Léonce Krebs''']<small>(frère aîné)</small><br>[[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Charles de Fréminville''']] <small>(beau-frère)</small> |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"|'''Signature'''||style="border:none;|[[File:1902 - Panhard & Levassor - signature A. C. KREBS.png|250px]] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Site Web'''||style="border:none; text-align:left;"| [http://rbmn.free.fr ''rbmn.free.fr''] |- |} [[File:La france vd66w081t 0 h702q745p.tiff |thumb|right|250px|Artist's depiction of ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'', 1884]] [[Image:Gymnote1889.jpg|thumb|250px|Le sous-marin ''[[w:Gymnote|Gymnote]]'' en 1888. Arthur Krebs tient le mât d'aération. Le périscope est visible]] '''Arthur Constantin Krebs''' (16 November 1850 à [[w:Vesoul|Vesoul]] ([[w:Haute-Saône|Haute-Saône]]), [[w:France|France]] – 22 mars [[w:1935|1935]] à [[w:Quimperlé|Quimperlé]] ([[w:Finistère|Finistère]]), [[w:France|France]]) est un officier et industriel français, pionnier de l'aéronautique, des moteurs électriques, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, des bateaux à moteur, de l'ingénierie automobile et gestionnaire de grands projets technologiques.<br> '''Catégorie''' : [[commons:Category:Arthur Constantin Krebs|'''''Arthur Constantin Krebs''''']] == Enfance et jeunesse == '''Voir aussi''' : [[w:Philosophie naturelle|Philosophie naturelle]], [[w:Géométrie descriptive|Géométrie descriptive]], [[w:Dessin technique|Dessin technique]] :::[https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=true&exactSearch=false&query=%28%28dc.creator%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Physique%20exp%C3%A9rimentale%22%20%29%20sortby%20dc.date%2Fsort.ascending Adolphe GANOT] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58470644/f1.item.r=lotz%20locomotive La locomotive routière de M. LOTZ] "''Mon cher cousin, vous me demandez, dans votre aimable lettre du 25 mai ''[1924]'', de vous expliquer comment, simple officier d'infanterie, j'ai été amené à remplir les rôles et effectuer des travaux peu en rapport avec la carrière où j'étais entré.'' ''Ceci m’oblige à faire remonter mes souvenirs et à me rappeler que dès l’âge où je commençais à apprécier les jouets mécaniques, ma plus grande distraction consistait à réparer et mettre en état tous ceux qui me tombaient entre les mains''. '''1861''' - ''Plus tard mes lectures portaient toujours sur des livres décrivant des mécaniques, si bien qu’à 11 ans, la Physique de [[w:Adolphe_Ganot|Ganot]] m’étant tombée sous la main, je l’étudiai avec le plus grand intérêt, m’initiant à tous les mystères de la machine à vapeur et de ses applications.''" <ref name="Krebs_1924" /> "''Etant enfant, le jeune Krebs avait fait une machine à vapeur qui faisait marcher toute une scierie mécanique installée dans une vieille machine à coudre.''" <ref name=1884_de-Grilleau /> <gallery> 1850 Arthur Constantin KREBS=acte de naissance.pdf|'''1850''' - [https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta7633bbf978e35653/daogrp/0#id:527817281?gallery=true&center=1435.927,-2845.150&zoom=9&rotation=0.000&brightness=100.00&contrast=100.00 Acte de naissance] de Arthur Constantin KREBS. 1862~Famille-Constantin-KREBS=Léonce+Arthur+Marie.jpg|'''1862 ~''' Les enfants de Constantin & Elodie KREBS : Léonce-Vital (~14), Arthur (~12), Marie (~10). <ref name=Krebs-archives /> 1868_Ganot-Adolphe='Traité_élémentaire_de_physique_expérimentale_et_appliquée_et_de_météorologie'.jpg |'''1860''' - [[w:Adolphe_Ganot |'''Adolphe Ganot''']] : [https://archive.org/details/introductorycou00unkngoog/page/n8/mode/2up ''Introductory course of natural philosophy: for the use of high schools and academies, edited from GANOT'S POPULAR PHYSICS.''] </gallery> "''Cette aptitude particulière ne fut pas sans nuire, un peu, à mes études classiques, car mon esprit, plus préoccupé de ce qu’il avait appris par lui-même, cherchait à les réaliser pratiquement. ''Ceci me conduisit naturellement, à dessiner avec précision ce qui, par la suite, me rendit les plus grands services. Un croquis bien fait traduit mieux, pour les autres, la pensée de l’auteur, que toutes les descriptions ou explications qui peuvent être données quand il s’agit d’une construction ou d’une machine quelconque.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1875 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Palais(Belle-île) dessin de machine à coudre les voiles.jpg|'''1875''' - '''Dessin d'imitation''' d'une machine à coudre les voiles des thoniers de ''Belle-île'' par A. C. KREBS qui a eu '''20/20 à St Cyr'''.<ref name=Krebs-archives /> 1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la machine à éprouver les cordages de Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''machine à éprouver les cordages''' de Renard, signé "Krebs". <ref name=Krebs-archives /> 1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la soupape Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''soupape de ballon Renard''', signé "Krebs". <ref name=Krebs-archives /> </gallery> "''En '''1867''' j'ai vu pour la première fois le véhicule automobile de M. [[W:Brissonneau_et_Lotz|Lotz]]. ''[...]'' Le véhicule de Lotz consistait essentiellement en une chaudière à vapeur portée par un avant-train avec une cinquième roue <ref>'''Le concept de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.image.r=locomotive "cinquième roue"]''' semble dû, en France, à M. Lotz de Nantes qui a développé des "locomotives routières" dans les années '''1860'''. Il définit ce concept comme " [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.item.r=locomotive ''une cinquième roue, roue directrice, au moyen de laquelle le cocher pourra tourner ou obliquer à discrétion'']". Confronté aux problèmes de direction de ses engins, il dépose le 03/01/'''1865''' un brevet ([https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf '''FR'''65729]) pour l’ "[https://archives.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=65729&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=25&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=1033&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 ''application de la roue hélicoïdale à la direction des locomotives pour routes ordinaires'']". Dans ce brevet Lotz expose très précisément son souhait de rendre la direction irréversible face aux cahots de la route. Il s’agit d’un "[[w:Volant directionnel|volant]] de manœuvre" vertical, comme la [[w:Barre (bateau)|barre à roue]] d’un navire. A. C. Krebs reprendra ce concept d’irréversibilité avec son système de direction à secteur denté et vis sans fin en '''1898'''. Il faut noter que le concept de cinquième roue n’est pas le même en Amérique. Le "[https://en.wikipedia.org/wiki/Fifth-wheel_coupling fifth wheel coupling]" était un système de plateforme pour l’attelage d’une calèche avec un chariot à quatre roues, apparu dès '''1850'''. Ce système est aujourd’hui le standard de liaison entre une semi-remorque et son tracteur routier. Il est désigné en français par le terme "[[w:Sellette (transport)|Sellette]]". Dans son [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/002617903/publication/US549160A?q=pn%3DUS549160 brevet], [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden Selden] utilise l’expression "fifth-wheel" pour décrire la plateforme horizontale munie d’un engrenage à vis sans fin entraîné par le volant de direction ([https://en.wikipedia.org/wiki/Steering_wheel steering wheel]) et permettant d’orienter les roues directrices. A. C. Krebs utilise ici la notion de cinquième roue dans le même sens que Selden. Noter que, pour désigner cette plateforme mécanique, dans son brevet Lotz utilise le terme de "cercle", et que A. C. Krebs utilise le terme de "rond" dans son brevet de '''1896''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344].</ref> d'accouplement à pivot central <ref>Le système de direction d’un véhicule où le train-avant complet tourne est dit à "[[w:Direction_(automobile)#Historique|cheville ouvrière]]". A. C. Krebs conservera ce système issu de la traction hippomobile sur sa voiture de '''1896''', et en '''1898''' sur la voiture [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#La_%22Voiture_Cl%C3%A9ment-Panhard_(VCP)%22_et_Adolphe_CLEMENT Clément-Panhard (VCP)] qui en est la version commerciale. De son côté, sur sa voiture à vapeur, Bollée utilisera le système de l’ "essieu brisé".</ref> et une remorque composée d'un arbre et de deux roues. L'une d'elles pouvant être connectée ou déconnectée de l'arbre de façon à permettre à une vis sans fin de s'engrener avec une roue dentée munie de chaînes aux extrémités de l'arbre avant. J'ai vu ce véhicule rouler à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]], en vue d'un essai réalisé avec cette machine sous la direction de M. Lotz, lors d'un voyage effectué à des fins publicitaires en 1867.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1868''' - "''Cette habitude à traduire ma pensée par un dessin avait développé en moi la faculté de bien voir dans l'espace, et je me souviens qu'en Math-spé, mon professeur m’envoyait toujours au tableau pour l’exécution des épures de descriptive dans lesquelles il s’embrouillait souvent.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1864-1867 Locomotive routière LOTZ=vue par Krebs.png|La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53749599/f118.item.r=lotz locomotive routière] de [[W:Brissonneau_et_Lotz|M. LOTZ]] que A. C. KREBS vit à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]] en '''1867'''. 1868 Arthur Constantin Krebs=projet de voiture automobile.jpg|'''1868''' - A. C. KREBS :'' "'''Projet de voiture automobile'''" : ''sans doute pour un cours de math-spé. La colonne de direction très inclinée suggère une réelle intention de vitesse'''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> == La guerre franco-allemande de '''1870''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Guerre franco-allemande de 1870|'''''Guerre franco-allemande de 1870''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Guerre franco-allemande de 1870|Guerre franco-allemande de 1870]] <br>"''En '''1870''', je me présentais aux examens de [[w:École_Polytechnique|Polytechnique]], et à ceux de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. Mais la [[w:Guerre franco-allemande de 1870|guerre]] survenue avant que les examens oraux d’admissibilité pour l’[[w:École_Polytechnique|X]] furent passés à [[w:Besançon|Besançon]], où je terminais mes études, je ne pus les subir et suivis le sort des admissibles à St-Cyr''". <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1871-01 Sous-lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Villefranche-sur-mer près de Nice.png|'''1871-01''' - '''Le sous-lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[W:Villefranche-sur-Mer|Villefranche-sur-mer]] près de [[W:Nice|Nice]]. <ref name=Krebs-archives /> 1871-01-04 Aquarelle d'A-C KREBS=Baie de Villefranche vue de la route de la corniche.pdf|'''1871-01-04''' - '''Aquarelle''' de A. C. KREBS : ''"'''Baie de Villefranche vue de la route de la corniche'''"''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> == '''Ingénieur Militaire''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:École spéciale militaire de Saint-Cyr|'''''École spéciale militaire de Saint-Cyr''''']], [[commons:Category:Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest|'''''Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest''''']], [[commons:Category:Plateau des Capucins|'''''Plateau des Capucins''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:École spéciale militaire de Saint-Cyr|École spéciale militaire de Saint-Cyr]], [[w:Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan|Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan]], [[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]] <br>'''1873''' - "''Après la guerre et le temps passé à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]], je vins en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]]. Comme officier, l’[[w:arsenal|arsenal]] m’était ouvert. J’en profitais largement pour approfondir mes connaissances en mécanique et continuer mes études techniques.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Brest, vue des ateliers des Capucins num-2006-5-11-a-2.jpg|L' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314587/f87.item.r=brest '''arsenal militaire de Brest''']: Les ateliers des Capucins, l'atelier de la mâture et le viaduc. File:1873-1874 carnet de dessins=Brest et Nantes.pdf|page 3|'''1873-1874''' - A. C. KREBS : '''carnets de dessins''' de [[w:Brest,_France|Brest]] et [[W:Nantes|Nantes]]: La '''grue revolver''' de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. <ref name=Krebs-archives /> File:Btv1b531186107 port militaire de Brest.jpg|'''1900''' - La [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Num-2009-2-51-a-0313-4.jpg '''grue revolver'''] de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. File:Viaduc de la grue revolver-Capucins-BREST.jpg|'''2011''' - Le Viaduc de la '''grue revolver''' du [[W:Ateliers_du_Plateau_des_Capucins_(Brest)|Plateau des Capucins]]. File:1875 le Lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Brest.png|'''1875''' - Le '''Lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]] après sa formation à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. File:Chantiers Goün, Prairie-au-Duc.jpg|'''1875''' - Le [[W:Ernest_Go%C3%BCin_et_Cie|chantier Ernest Goüin]] à Nantes sur l'[[W:%C3%8Ele_de_la_Prairie-au-Duc|"Île de la Prairie-au-Duc"]] sur la [[W:Histoire_de_la_construction_navale_dans_l%27estuaire_de_la_Loire|Loire]]. File:1878 - Exposition Universelle de Paris - Chantiers Jollet et Babin.png|'''1878''' - Exposition Universelle de Paris : Le '''chantier Jollet and Babin''' à Nantes. <ref>'''1878''' - '''Les chantiers Jollet et Babin''' : "''P. D. JOLLET et L. BABIN, Constructeurs-Mécaniciens à Nantes. Navires en Bois et en Fer - Armements complets de navires. La maison P. D. Jollet et Babin (ancienne maison Jollet et Fils) remonte à plus d'un siècle. Mais depuis 20 ans la nouvelle maison s'est progressivement développée en prévision de la construction de grands bâtiments de mer, en bois et en fer, de la construction de machines à vapeur, marines et autres, et de tous les travaux métallurgiques. Aujourd'hui, son matériel, son personnel, ses ateliers de forge, de chaudronnerie, d'ajustage, de menuiserie, de pouliage et de gréement, lui permettent d'entreprendre la construction et la livraison complète, barre en main, des bâtiments en fer et en bois du plus grand tonnage. Elle peut livrer des machins à vapeur marines et des machines de terre (système Corliss ou autres), jusqu'à une puissance de huit cent chevaux, indiqués. Enfin, grâce à un outillage très-complet, elle entreprend les gros travaux de chaudronnerie, les ponts, les charpentes, les travaux d'artillerie, tous les travaux de chaudronnerie en cuivre pour les raffineries et les autres usines. Elle possède, en outre, un atelier de galvanisage, une fabrication de chaînes spéciales pour la marine, les chemins de fer, les fonderies, etc., etc. MM. Jollet et Babin ont une succursale pour les réparations à Saint-Nazaire et sont fermiers du bassin de carénage de Paimboeuf. En temps de travail ordinaire ils occupent 800 ouvriers.''"</ref> <ref>'''1881''' - À la fin du roman de '''Jules Verne''' "[[w:La_Jangada|La Jangada]]", son frère Paul Verne décrit son bateau le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6513563v/f339.item.r=jollet Saint-Michel III], construit par le chantier '''[[W:Louis_Mathurin_Babin-Chevaye|Jollet et Babin]]'''. </ref> File:1885~St-CYR=uniforme.png|'''1885''' - Uniforme d'un '''élève de l'école spéciale militaire de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]'''. File:1875 Ecole Militaire de Saint-Cyr.jpg |'''1893''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1412878r/f1.item "''Exercices gradués de dessin topographique à l'usage des candidats à l'Ecole spéciale militaire de Saint-Cyr''."] </gallery> === Cartes de Brest === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Maps of Brest, France by Arthur Constantin Krebs|'''''Cartes de Brest par A. C. KREBS''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:cartographie|cartographie]], [[w:Hachures#Cartographie|Hachures]], [[w:Carte|Carte]] <br>'''1873''' - "''Pendant mon séjour à Brest, j'ai relevé des plans de Brest et de ses environs, et j'eus l'autorisation de fabriquer, avec l'aide d'ouvriers du régiment, une presse <ref>'''1860''' - '''Dictionnaire français illustré et encyclopédie universelle''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58175678/f314.image.r=lithographie Litographie] : "''Le tirage lithographique exige des précautions très-minutieuses; en outre, ses résultats sont entièrement subordonnés à l'habileté de l'ouvrier. Ainsi, par ex., en ce qui concerne le nombre des épreuves, le bon ouvrier réussit à en obtenir 4 à 5000 avec la même pierre, tandis qu'un autre peut à peine arriver à 5 ou 600''."</ref> avec laquelle je pus tirer à quelques milliers d'exemplaires la carte que j'avais établie et qui servit pendant de nombreuses années.''" <ref name="1935_Dépêche_de_Brest /> <gallery> 1873 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=carte de Brest (centre).jpg |'''1873''' - '''Carte du centre de [[w:Brest,_France|Brest]]''' gravée et imprimée par A. C. KREBS. <ref name=Krebs-archives /> 1873 Arthur Constantin KREBS=Carte topographique de Brest.jpg|'''1873''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84439718.r '''''Carte topographique des environs de Brest'''''] gravée par A. C. KREBS quand il était au 19ème Regiment d'infanterie (signée A. Krebs). <ref name=Krebs-archives /> </gallery> === Dessin de carènes === '''Catégories''' : [[commons:Category:Construction navale|'''''Construction navale''''']], [[commons:Category:Architecture navale|'''''Architecture navale''''']], [[commons:Category:Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement|'''''Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement''''']], [[commons:Category:Vehicle hulls|'''''Coques de véhicules''''']], [[commons:Category:Cross sections of ships|'''''Sections transversales de navires''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carène (bateau)|Carène (bateau)]], [[w:Coque (bateau)|Coque (bateau)]], [[w:Proue|Proue]], [[w:Étrave|Étrave]], [[w:Construction navale|Construction navale]], [[w:Génie maritime|Génie maritime]], [[w:Corps des ingénieurs de l'armement|Corps des ingénieurs de l'armement]] <br>'''1875''' - "''Mon futur beau-père ''[[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]]'', camarade d’enfance de mon père, m’avait donné des ouvrages sur les '''Machines à vapeur marines''' <ref>'''1861''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f9.item Cours pratique de machines à vapeur marines] : professé à l'École d'application du génie maritime / par M. A. de Fréminville. '''1870''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k146769f.r= Cours de machines à vapeur : année 1870-1871] par M. de Fréminville, professeur à l'École centrale des arts et manufactures.</ref> et la '''construction des navires''' <ref> '''1863''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97347690.r Guide du marin] : résumé des connaissances les plus utiles aux marins. '''1864''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p.r= Traité pratique de construction navale] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858754f.r ATLAS]) par Mr. A. de Fréminville.</ref> qu’il professait à l’École du Génie Maritime à [[w:Brest|Brest]]. ''J’en fit mon profit et plus tard, en garnison à [[w:Nantes|Nantes]], en ''[[w:1875|1875]]'', je rédigeai les plans d’un navire qui fut construit par un industriel avec lequel j’avais fait connaissance.''" <ref name="Krebs_1924" /> ''Une difficulté s'étant présentée un jour dans la construction d'un nouveau modèle, ce fut le lieutenant Krebs qui se chargea de la résoudre. Il fit à lui seul les plans du navire, et son projet fut exécuté de point en point.''" <ref name=1884_de-Grilleau /> <gallery> File:1883-ALBUM-16 SHD-DE-2014-PA-40 Carène du canot l'Ampère.jpg|'''1883''' - '''La coque à bulbe du canot électrique "L'Ampère"''' : Ce canot est conçu et construit par A. C. KREBS '''pour tirer dans l'eau les maquettes du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - L'enveloppe du dirigeable "La France" gonflée à l'air.jpg|'''1884''' - '''L'enveloppe du dirigeable "La France"''' gonflée à l'air, dont '''les fuseaux ont été tracés par A. C. KREBS'''. File:1888-04-17 - Sous-marin Gymnote - le canot électrique d'essai préalable.pdf|'''17/04/1888''' - '''Sous-marin Gymnote''' - le '''canot électrique d'essai''' préalable : '''Spécifications rédigées par A. C. KREBS'''. File:1889 Le-bateau-L'Etincelle=dessiné par A.C.KREBS.pdf|'''1889''' - Le bateau à vapeur "L'Etincelle"''' dessiné par A. C. KREBS''', propulsé avec un moteur à vapeur '''Durenne & Krebs'''. File:1899-06-03 Le Yacht=KREBS dessine les plans du canot PHOENIX.jpg|'''1899-12-16''' - "Le '''''PHOENIX - Canot à essence de pétrole'''''" : "''L'auteur de ces plans, ainsi que de ceux du moteur est'' '''''M. le commandant Krebs''''' [...]" <ref>'''1899-12-16''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7123311z/f4.image.r=krebs '''Le Yacht''']: "''Le PHOENIX - Canot à essence de pétrole à la société des anciens établissements Panhard and Levassor''" : "Il évolue facilement, grâce aux formes spéciales que l'auteur des plans a donné à sa carène, le gratifiant ainsi d'une vitesse, d'une stabilité et d'une facilité d'évolution parfaites."</ref> File:1903-1911 Les-bateaux à essence L'Etincelle=dessinés par A.C.KREBS.pdf|'''1903-1911''' - '''Les bateaux à pétrole''' "''L'Etincelle" I et II''" '''dessinés par A. C. KREBS''', qui a également conçu les moteurs alors qu'il est directeur de '''Panhard & Levassor'''. File:1913 - Panhard & Levassor - le bateau "Parcifal" dessiné par A. C. KREBS et construit par les chantiers KRAFF à Quimper.jpg|'''1913''' - '''Le bateau''' "Parcifal" '''de 14 mètres dessiné par A. C. KREBS''' et construit par les [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t557169x/f7.image.r=kraff chantiers Kraff] de Quimper. </gallery> == '''Le parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''' avec '''[[w:Charles_Renard|Charles RENARD]]''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|'''''Parc aérostatique de Chalais-Meudon''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Chalais-Meudon|Chalais-Meudon]], [[w:Aérostation|Aérostation]], [[w:Dirigeable militaire|Dirigeable militaire]], [[w:Aérostat|Aérostat]], [[w:Dirigeable à enveloppe souple|Dirigeable à enveloppe souple]], [[w:Flottabilité|Flottabilité]], [[w:Portance|Portance]], [[w:Ballonnet|Ballonnet]], [[w:Hangar Y|Hangar Y]], [[w:Histoire de l'aérostation|Histoire de l'aérostation]], [[w:Histoire de l'aviation|Histoire de l'aviation]], [[w:Chronologie de l'aéronautique|Chronologie de l'aéronautique]] :::[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55364253/f6.item.r=krebs 1884-10-01 - Les aérostats dirigeables] '''1876''' - "''À la fin de [[w:1876|1876]], mon bataillon vint à [[w:Paris|Paris]]. Mis en rapport par un ami commun, avec le [[w:Charles_Renard|Capitaine Renard]], j’entrai en relation avec lui et il me mit au courant des travaux qu’il avait entrepris à la Commission des Communications Aériennes et me demanda ma collaboration.'' ''Le [[w:Aimé_Laussedat|Colonel Laussedat]], qui présidait cette commission, m’y fit nommer par le ministre, et je fus détaché à la Direction du Génie, de laquelle dépendaient les Ateliers de Chalais-Meudon. Mes vœux les plus chers étaient ainsi comblés, mais pour donner confiance et obtenir des crédits, il fallait réussir et ne promettre que ce que l’on était sûr de pouvoir réaliser.'' ''Renard avait déjà construit un [[w:Ballon captif|ballon captif]], seule la partie mécanique permettant d’effectuer des ascensions, n’était qu’à l’état embryonnaire. Je me chargeai de la réaliser, et grâce à l’[[w:Exposition universelle de 1878|Exposition de 1878]], je réunis rapidement tous les éléments nécessaires à l’établissement d’un treuil à vapeur'' [fixe] ''qui fonctionna à notre plus grande satisfaction dès le mois d’août.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Train de ballons captifs === '''Catégories''' : [[commons:Category:Type ou modèle d'aérostat|'''''Type ou modèle d'aérostat''''']], [[commons:Category:Aerostation|'''''Aérostation''''']], [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']], [[commons:Category:Aerostats|'''''Aérostats''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Aérostat|Ballon captif]] <br>"''Les expériences et les démonstrations se succédèrent alors brillamment en toute sécurité et nous permirent d’y intéresser des membres de la Commission du budget, car il fallait obtenir des crédits pour pouvoir continuer les études et réaliser les projets faisant l’objet de la Commission des Communications Aériennes''. ''[[w:Léon_Gambetta | Gambetta]], puis [[w:Georges_Clemenceau | Clémenceau]], vinrent successivement assister aux expériences et promirent leur appuis''." '''1880''' - '''Rapport de la Commission du budget''' de la Chambre des députés "''Sur le budget des dépenses extraordinaires sur ressources extraordinaires de l'exercice 1880''" : "''Pour le ministère de la Guerre, reconstitution du matériel militaire'' [...] ''Votre Commission estime que l'oeuvre entreprise doit être complétée. C'est dans cet esprit qu'elle a examiné les diverses demandes présentées s'efforçant de maintenir les crédits dans les limites absolument nécessaires pour arriver à ce complet achèvement.'' [...] '''''Télégraphie militaire et communications aériennes''''' [...] ''Nous avons visité, Messieurs, l'école d'aérostation militaire du parc de Chalais. Nous avons constaté avec le plus vif intérêt les progrès accomplis, les résultats obtenus, dus aux constantes études de '''''deux jeunes officiers, aussi modestes que distingués et capables'''''. Vous ne sauriez faire des fonds de l'État un emploi plus judicieux qu'en encourageant, par l'adoption du crédit demandé, des efforts qui permettent d'espérer encore dans l'avenir des résultats précieux pour la science et pour l'art de la guerre''." "''Deux buts étaient à poursuivre : :''1/ Étude et construction d’un matériel de ballon captif transportable en campagne ; :''2/ Étude et construction d’un ballon dirigeable. ''Le premier me parut facile à réaliser. Il se réduisit à la construction d’un treuil à vapeur sur roues pour les manœuvres de ballons, et à celle de deux autres voitures pour le transport des agrès et des accessoires de la machine à vapeur (eau et charbon), puis d’un appareil, également sur roues, pour la production du gaz hydrogène. Renard s’occupa de cette dernière question et je pris la première.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Charles Renard.jpg|'''1876''' - '''Charles Renard''' (1847-1905) directeur de l'établissement aérostatique de Chalais-meudon. File:1879 - LA NATURE (1884) - expériences de [[w:Victor Tatin|Victor TATIN] (1843-1913)] à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs.png|thumb|1879 - LA NATURE (1884) : expériences de Victor TATIN à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs]]|'''1879''' - Expériences de '''Victor TATIN''' à Chalais-Meudon ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.23/333/100/432/8/420 en présence de Renard et Krebs]'''. File:1880~Aimé-Laussédat (1819-1907) par A. Gerschel.jpg|'''1880''' ~ '''Aimé Laussédat''' (1819-1907) directeur de la commission des communications aériennes. File:Gambetta par Étienne Carjat (photo recadrée).jpg|'''1881''' - [[w:Léon_Gambetta |'''Léon Gambetta''']] (1838-1882) vient assister aux expériences de Krebs & Renard et promet son soutien financier. File:Georges Clemenceau Nadar.jpg|'''1881''' - [[w:Georges_Clemenceau | '''Georges Clémenceau''']] (1841-1929) vient assister aux expériences de Krebs & Renard et promet son soutien financier. File:1882-ALBUM-14 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Chaudière Krebs.jpg | '''1882''' - '''Chaudière à vapeur système KREBS''' pour la manœuvre du treuil de campagne pour ballons captifs. <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-07 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=treuil à vapeur.jpg | '''1882''' - '''Voiture treuil de A. C. KREBS''' pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. Le treuil met en oeuvre, pour la première fois en aérostation, le principe du touage à 2 tambours parallèles. <ref name=Krebs-archives /> File:1883-ALBUM-08 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Fourgon.jpg | '''1883''' - '''Voiture fourgon''' conçue par A.C. KREBS pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. <ref name=Krebs-archives /> File:1883-ALBUM-09 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=voiture aux agrais.jpg | '''1883''' - '''Voiture d'agrés''' designed by A.C. KREBS for the captive balloon train in the field. <ref name=Krebs-archives /> File:1906~Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 en opération.jpg|'''1906''' - Treuil d'aérostation à vapeur modèle '''1882''' de KREBS en opération.'''. File:1916 - The A. C. KREBS Aerostation Steam Winch System of 1882 practical mechanics course.png|'''1916''' - Le système KREBS de treuil à vapeur d'aérostation modèle 1882 : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1916_-_The_1882_A._C._KREBS_steam_winch_system.pdf&page=2 '''''Cours de mécanique pratique''''']. <ref name=Krebs-archives /> File:1914GDOC 01418B - SERIE SPECIALE (SUITE)=treuil à vapeur système Krebs (modèle 1882).webm|'''1914-1918''' - '''Vidéo''' : ''Le '''treuil d'aérostation à vapeur système A. C. Krebs''' (modèle '''1882''') en action''. '''Vitesse du câble''' : 10 m/s. </gallery> === Générateur d'hydrogène === '''Catégories''' : [[commons:Category:Hydrogen production|'''''Production d'hydrogène''''']], [[commons:Category:Mobile engine-generators|'''''Groupe électrogène''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de la production d'hydrogène|Histoire de la production d'hydrogène]], [[w:Technologie de l'hydrogène|Technologie de l'hydrogène]], [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]], [[w:Groupe électrogène|Groupe électrogène]] <br>'''1879-1880''' - Ch. RENARD conçoit des générateurs d'hydrogène stationnaires ou mobiles, et A. C. KREBS conçoit les machines à vapeur qui les animent. <gallery> 1878 A-C Krebs=machine électrique à lumière.jpg|'''1878''' - '''Groupe électrogène mobile à vapeur de A. C. KREBS''' : "''Machine électrique à lumière''" destinée en particulier à l' '''électrolyse de l'eau''' (signé Krebs). <ref name=Krebs-archives /> File:1879-11-00 MAE Lettre-Rapport-Hydrogène.jpg | '''1879-11''' - '''Ch. RENARD : Générateur d'hydrogène stationnaire''' à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur qui l'anime. <ref name=Krebs-archives /> File:1880-10 MAE cahiers-Krebs Hydrogène moteur-vapeur.pdf | '''1880-10''' - '''A. C. KREBS''' conçoit la '''machine à vapeur''' qui anime le générateur d'hydrogène conçu par Ch. RENARD à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. <ref name=Krebs-archives /> File:1882 C.RENARD et A.C.KREBS = voiture générateur d'hydrogène.jpg | '''1882''' - '''Voiture à hydrogène de Ch. RENARD & A. C.KREBS''' pour le gonflement des ballons en campagne. <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-13 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Production de gaz.jpg | '''1882''' - '''Production de gaz hydrogène en campagne''' avec le train de ballons captifs de A. C. KREBS & Ch. RENARD. Le treuil à vapeur de A. C. KREBS est visible en arrière-plan. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> "''Pour mener à bien et rapidement ces travaux, nous fûmes conduits à établir '''un laboratoire''' et à installer '''un atelier mécanique''' pourvus l’un et l’autre des outils et outillages nécessaires. Nous avions comme ouvriers des Sapeurs du Génie provenant du Régiment de Versailles. <ref name="Krebs_1924" /> '''1906''' - "''Tous les travaux de mécanique ont fait l'objet d'une étude particulière de ma part, et pour y parvenir j'ai construit et organisé un atelier situé dans [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Parc_a%C3%A9rostatique_de_Chalais-Meudon le parc de Chalais-Meudon], atelier qui existe toujours''". <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1879-1880''' - "''L’année suivante ('''juin 1879'''), un premier parc était réalisé et permit de faire des expériences de transport de ballons et d’ascensions sur le plateau qui domine [[w:Meudon|Meudon]] au sud. À la suite de ces essais, le ministre décida que ce parc assisterait aux Grandes Manœuvres qui devaient se dérouler aux environs de Silliers-le-Guillaume ('''22 et 23 septembre 1880'''). Pendant ces manœuvres, les renseignements donnés par le ballon sur la marche des opérations, contrôlé par un officier d’État-major'' [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) [Léonce Krebs]] ''qui avait été adjoint au parc, furent si probants que la construction de 4 parcs semblables fut décidée et nous fut confiée.''" "''Les crédits alloués nous permirent d’agrandir les ateliers, de perfectionner l’outillage et d’établir une fabrication qui a servi de modèle aux 25 parcs de ballons captifs qui se trouvaient dans les différents Corps d’Armée et places fortes en 1914.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Ascensions libres === <gallery> 1878-06 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=le ballon captif à Chalais-Meudon.jpg |'''1878-06''' - Album photo de A. C. KREBS : "''Le ballon captif à Chalais-Meudon''". <ref name=Krebs-archives /> File:1868 L'AERONAUTE=page de garde.jpg |'''1879-08-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699161r/f22.image.r=krebs '''Ascension libre''' de C. RENARD et A. C. KREBS]. File:1882 Aéronaute-article-Renard&Krebs-KREBS signature.jpg |'''1882''' - L'Aéronaute : "'''''Considérations générales sur les ascensions de longue durée'''''" (signé KREBS.) <ref>"'''''Mr Poitevin a signé cet article pour moi''''' ''qui, n'ayant pas deandé d'autorisation au ministre de la Guerre ne pouvait faire paraître mon nom'' (signé KREBS.)</ref> [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58276296/f1.item#] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827634h/f5.item.r=] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827635x/f4.item] </gallery> === Mariage === '''1881''' - A. C. KREBS se marie avec Marie de Fréminville, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. <gallery> File:1881-A-C-KREBS=portrait de mariage.jpg|'''1881''' - '''A. C. KREBS''' portrait de mariage. <ref name=Krebs-archives /> File:1881 portrait Marie de Fréminville.jpg|'''1881''' - '''Melle Marie de Fréminville''' portrait de mariage, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. <ref name=Krebs-archives /> File:1881 - A. C. KREBS - "mon habitation à Chalais-Meudon".jpg|'''1881''' - A. C. KREBS: "'''''Mon habitation à Chalais-Meudon'''''" dans le parc de recherche aérostatique. <ref>Il faut souligner que A. C. KREBS a toujours habité, avec sa famille, sur son lieu de travail : dans le parc de Chalais-meudon, à l'état-major des pompiers au 9 Bd du Palais sur l'île de la cité à Paris, et dans la maison de Levassor agrandie, dans l'usine Panhard, avenue d'Ivry.</ref> </gallery> === Le dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" avec [[w:Charles_Renard|Charles RENARD]] et [[w:Henri_Dupuy_de_Lôme|'''Henri DUPUY-de-LÔME''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:La France (airship)|'''''Le dirigeable "La France"''''']], [[commons:Category:Balloon history|'''''Histoire des ballons''''']], [[commons:Category:Airship technology|'''''Technologie aérostatique''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ballon dirigeable|Ballon dirigeable]], [[w:Base aérienne 107 Villacoublay|Base aérienne 107 Villacoublay]] <br>'''1884''' - Collaborant avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], il pilote [[w:XIXe siècle en aéronautique|le premier vol pleinement contrôlé]] en 1884, effectué à bord du [[w:dirigeable|dirigeable]] militaire français "''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''", qu'ils ont conçu. Le vol <ref>[http://rbmn.free.fr/Ballon_photos_10.html Plans, croquis et photos du dirigeable "La France"].</ref> a parcouru 8 km en 23 minutes. Ce fut <ref>'''XIX° siècle en aéronautique''' : [[w:XIXe_siècle_en_aéronautique|le 9 août 1884]], le dirigeable "La France" réalise [http://rbmn.free.fr/Dirigeable_LA_FRANCE_1884.HTML Le premier vol pleinement dirigé].</ref> le premier vol mécanisé avec retour au point de départ. Sur sept vols, le dirigeable "''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''" reviendra cinq fois à son point de départ. "''Entre temps, se poursuivaient les études et expériences pour la construction du ballon dirigeable. Sa réalisation était pour nous le comble de nos aspirations et faisait l’objet de nos plus profondes méditations. La forme du ballon, la disposition de la nacelle et la détermination de l’espèce d’énergie à employer pour constituer la force motrice nécessaire à sa propulsion, firent l'objet d'un long examen et de discussions approfondies.''" ==== Recherche d'un moteur léger : vapeur, hydrogène, électricité ==== '''Voir aussi''' : [[w:Machine à vapeur|Machine à vapeur]], [[w:Histoire de la machine à vapeur|Histoire de la machine à vapeur]], [[w:Chaudière à tubes de fumées|Chaudière à tubes de fumées]], [[w:Chaudière à tubes d'eau|Chaudière à tubes d'eau]], [[w:Locomotive compound|Locomotive compound]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à hydrogène|Moteur à hydrogène]], [[w:Machine électrique|Machine électrique]] <gallery> File:1876 - moteur à gaz Otto construit par Périn-Panhard.png|'''1876''' - '''[https://www.youtube.com/watch?v=5F6q-i_nuYs Moteur à gaz Otto]''' acheté par A.C. KREBS et construit par '''Périn-Panhard'''. File:1878-04-25 MAE A-C-KREBS=Brevet-FR124.078 Générateur de vapeur à circulation directe dit générateur RENHAYE Renard+Krebs+Delahaye.pdf|'''25-04-1878''' - A. C. KREBS : Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=124078&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''124078] "''Générateur de vapeur à circulation directe, dit'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs '''''générateur RENHAYE''''']''" de de la Haye, Renard et Krebs. File:1882-SHD-DE-2014-PA-40=moteur à hydrogène de A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - Le '''moteur à hydrogène''' conçu par A. C. KREBS. 1883-12 Arthur Constantin KREBS=Cahier de recherche 'Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'.pdf|'''1883-12''' - A. C. KREBS : Cahier de recherche "'''Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'''" pour le moteur électrique du dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" de '''1884'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - A. C. KREBS electric motor for the 'La France' airship.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS : Le '''moteur électrique''' pour le dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''". </gallery> '''1878''' - "''Avant l'Exposition de 1878, alors que j'étais au parc aéronautique, j'ai acheté et accepté, aux ateliers [[w:Panhard & Levassor|Panhard & Levassor]], un moteur à quatre temps Otto de deux chevaux ''[au gaz de ville]'' pour l'installer dans l'atelier de couture des ballons.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1879''' - "''Ainsi, MM. Renard et Krebs ont obtenu'' '''''une machine de trois chevaux qui contient à peine trois litres d'eau''''', ce qui leur donne '''''une chaudière légère et non à faible surface'''''. ''Des organes d'une grande sensibilité règlent et assurent le jeu de la machine, bien que peu d'eau soit employée''. '''''La pompe alimentaire a été étudiée avec soin par M. Krebs''''' ; ''le thermo-régulateur actuel s'appuie sur le même principe que celui indiqué au brevet ; mais il emploie la dilatation du mercure''". <ref>'''01/06/1879''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs L'Aéronaute].</ref> '''1881''' - "''À cette époque, l’industrie électrique se développait. Le [[w:Exposition internationale d'Électricité | Congrès International de l’Électricité]] de '''1881''' venait de déterminer les unités de mesure nécessaires à l’étude et aux applications de cette branche nouvelle d’énergie. Les moteurs à essence, si répandus maintenant, n’étaient pas encore connus, nous décidâmes l’emploi de l’électricité pour constituer la force motrice du ballon.''" "''Renard se consacra à la recherche de la source électrique capable de développer dans un poids très faible l’énergie nécessaire au fonctionnement pendant 2 heures environ, d’un moteur de 10 CV. Moi, '''''je me chargeai de l’établissement du moteur et de tous les organes mécaniques faisant manœuvrer l’hélice'''''. C’est ainsi que je fus conduit à étudier l’électricité au moment où cette science se développait industriellement.''" <ref name="Krebs_1924" /> '''1882''' - "''En 1882, dans le but de propulser un ballon dirigeable, qui était alors étudié par le ministère de la Guerre'', '''''j'entrepris la mise au point d'un moteur à combustion interne qui devait utiliser comme combustible l'hydrogène qui gonflait le ballon'''''. ''C'est à cette occasion que j'abordai pour la première fois de manière approfondie une étude complète des moteurs à combustion interne.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1884''' - "''C'est donc vers 1884 que j'ai suivi avec grand intérêt la construction des [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0058/100/512/10/458 petits moteurs à essence] de Mr [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1878''' || [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=610115&positionResult=32&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B1%5D=haye&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afba49a2c3d/arko_default_63f47e41d68c8/image/591913|0|5 '''FR'''124078] || De la Haye, Renard et Krebs: ''Générateur de vapeur à circulation directe, dit générateur RENHAYE'' |- |} ==== Recherches aérodynamiques : la forme du ballon ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Aerodynamics diagrams|'''''Diagrammes d'aérodynamique''''']], [[commons:Category:Fluid_dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']], [[commons:Category:Aircraft_wake_turbulence |'''''Turbulences de sillage d'aéronefs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Bulbe d'étrave|Bulbe d'étrave]], [[w:Aérodynamique|Aérodynamique]], [[w:Maquette|Maquette]], [[w:Modèle|Modèle]], [[w:Aérodynamique de la pointe avant|Aérodynamique de la pointe avant]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]], [[w:Corps de moindre traînée|Corps de moindre traînée]], [[w:Empennage|Empennage]], [[w:Dérive (empennage)|Dérive (empennage)]], [[w:Aérostatique|Aérostatique]] <br>'''1883''' - "''Ce ne fut pas sans peine que M. Renard consentit à abandonner le ballon tubulaire, dont la forme le séduisait à cause de ses avantages théoriques. Pour décider son collègue, '''''M. Krebs fit faire des modèles en bois de diverses formes''''', que l'on essaya successivement dans l'étang de Chalais : ces essais prouvèrent que pour obtenir de la régularité dans la marche,'' '''''il est nécessaire de donner au mobile une forme dissymétrique'''''. ''C'est ainsi que la forme ovoïde, proposée par le capitaine Krebs, fut définitivement adoptée pour l'aéronef de Chalais'' [...] ''L'aéronef doit nager dans l'air, comme poisson dans l'eau, dit le capitaine Krebs. La nature nous démontre que nous avons choisi pour notre aérostat une forme rationnelle''". <ref>[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 1884-de-Grilleau]: ''Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir. Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''.</ref> '''1884''' - "''L'évaluation du travail nécessaire pour imprimer à l'aérostat une vitesse donnée a été faite de deux manières :<br> :"''1° En partant des données posées par [[w:Henri Dupuy de Lôme|Dupuy de Lôme]] et sensiblement vérifiées dans [[w:Aérostat dirigeable Dupuy de Lôme|ses expériences de février 1872]] ;<br> :"''2° En appliquant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f53.image.r=carene la formule admise dans la marine] pour passer d'un navire connu à un autre de formes très peu différentes et en admettant que, dans le cas du ballon, les travaux sont dans le rapport des densités des deux fluides.''" <ref name=1884_ACAD-Krebs /> <ref>'''1864''' - [[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]], (beau-père de A. C. KREBS) : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p/f84.image.r=carene ''Traité pratique de construction navale'']".</ref> <gallery> File:1883-ALBUM-17 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=L'Ampère sur l'étang.jpg|'''1883''' - "''L'Ampère sur l'étang ''". Ce canot électrique est conçu et construit par A. C. KREBS pour tirer des modèles en bois du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique (voir supra). <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-26 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Modèle en bois de La France.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS: ''Modèle en bois du ballon [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''. Ce modèle est conçu et construit par A. C. KREBS pour être tiré par le canot l'Ampère, et déterminer sa forme aérodynamique. <ref name=Krebs-archives /> File:1882 - Machine à découper les fuseaux des ballons conçues par A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - '''Machine à découper les fuseaux des ballons''' conçue par A. C. KREBS. File:1883 - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon La France gonflé à l'air.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon '''''La France''''' gonflé à l'air, et dont il a tracé les fuseaux'''. File:1883-SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS-to-do book='Boat test in front of Mr. Dupuy de Lôme and Zédé'.pdf|'''1883-03-24''' - '''Carnet''' de A. C. KREBS : ''"Essai du bateau devant MM. '''[[w:Henri_Dupuy_de_Lôme| Dupuy-de-Lôme]]''' et '''[[w:Gustave_Zédé|Zédé]]'''"''. <ref name=Krebs-archives /> File:Henri Dupuy de Lôme.png|'''1883''' - '''Henri Dupuy de Lôme''' (1816-1885) : Architecte naval. <ref>'''1872''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046138b/f9.image.r=dupuy%20de%20lome Les Ballons dirigeables], par Gaston Tissandier.</ref> File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur, gendre de M. Dupuy de Lôme. </gallery> '''Catégories''' : [[commons:Category:Hélice|'''''Hélice''''']], [[commons:Category:Propellers|'''''Hélices''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Nacelles|Nacelles]], [[w:Hélice|Hélice]], [[w:Hélice (aéronautique)|Hélice (aéronautique)]] <gallery> File:1884-design of La-France dirigible of Renard & Krebs-first fully controlled airtrip.pdf|'''1884''' - La conception du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' de Ch. RENARD & A. C. KREBS. <ref name=Krebs-archives /> File:1884-ALBUM-29 SHD-DE-2014-PA-40 = A-C-KREBS pose devant l'hélice du dirigeable La France.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS pose devant l'hélice du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''', qu'il a conçue et construite lui-même. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - Dirigeable "La France" - Plan de la nacelle de A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''": '''Plans de la nacelle par A. C. KREBS'''. File:1884 - Dirigeable "La France" - La nacelle conçue par A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''": '''La nacelle conçue par A. C. KREBS'''. </gallery> ==== '''A. C. KREBS pilote les [https://archive.org/details/americanengineer67newy/page/472/mode/2up?q=krebs premiers vols pleinement contrôlés]''' ==== '''Voir aussi''' : [[w:Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air|Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air]] <br>'''1884''' - "''La première ascension du ballon "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''", qui eut lieu le 9 août 1884, et dans laquelle'' '''''un aérostat décrivit pour la première fois par ses propres moyens une courbe fermée en revenant à son point de départ''''', ''fut le couronnement de nos travaux. On ne pouvait alors prétendre obtenir une durée de fonctionnement dépassant 2 h à cause du poids des moteurs. Ce ne fut donc qu’une expérience intéressante mais sans lendemain''." "''En effet, 15 ans devaient s’écouler avant que, grâce aux perfectionnements apportés par l’automobile aux moteurs à essence, on put doter un ballon semblable à "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" d’un moteur assez léger'' [[w:Lebaudy_Frères|[voir Ballons Lebaudy]]] ''pour lui permettre de tenir l’air pendant 10 heures''." <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1884 Arthur Constantin KREBS=portrait.jpg|'''1884''' - Arthur Constantin KREBS. File:The 1884 Krebs & Renard first fully controllable free-flights with the LA FRANCE dirigible near Paris (Krebs arch.).jpg |Les '''premiers vols pleinement contrôlés de Krebs & Renard de 1884''' avec le dirigeable électrique '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' près de Paris (Krebs arch.). File:1884-09-27 Scientific-American=Renard & Krebs first fully controlled free-flight (from l'Illustration).pdf |'''1884-09-27''' - Scientific-American: Renard & Krebs '''first fully controlled free-flight''' (from l'Illustration). File:Popular science monthly (1872) (14763679411).jpg |'''1884''' - THE POPULAR SCIENCE MONTHLY: "''the balloon returning each time to its point of departure, and attaining a speed of nearly fifteen miles an hour''". 1884-de-Grilleau=Les aérostats dirigeables leur passé, leur présent, leur avenir. Le ballon de Meudon.gif|'''1884''' - de Grilleau: "'''''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, un contraste frappant''''' [...] <ref name=1884_de-Grilleau /> File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris. File:1884 A-C-KREBS=portrait en gravure.jpg|'''1886''' - '''A. C. KREBS & Ch. RENARD''' reçoivent le ''' Prix Ponti''' de '''l'Académie des sciences''' : "''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''" <ref>'''1886''' - '''A. C. KREBS & C. RENARD''' reçoivent [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 le '''Prix Ponti'''] de '''l'Académie des sciences''' : "''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''"</ref> File:Gill Hugo.jpg | '''23-08-1884''' - [[w:Victor Hugo|'''Victor Hugo''']] - La direction des ballons : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7540223d/f1.item.r=%22victor%20hugo%22.zoom "''Est-ce l'aimant qui s'est fait aider par l'éclair Pour bâtir un esquif céleste avec de l'air ?''"] File:'Robur the Conqueror' by Léon Benett 48.jpg|'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''', dans son roman '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : "[...] ''même après les expériences retentissantes des '''capitaines Krebs et Renard''' '' [...]" <ref>'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''' dans '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : "''Il était donc constant que, même après les expériences retentissantes des [https://fr.wikisource.org/wiki/Robur_le_conqu%C3%A9rant/2 '''capitaines Krebs et Renard'''], si les aérostats dirigeables avaient gagné un peu de vitesse, c’était juste ce qu’il fallait pour se maintenir contre une simple brise. D’où [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t51169574w/f98.image.r=krebs l’impossibilité d’user pratiquement jusqu’alors de ce mode de locomotion aérienne].''"</ref> File:1886 - Catalogue plantes John-Saul - Géranium 'capitaine Krebs'.png|'''1886''' - [https://archive.org/details/johnsaulscatalog18john_12/page/4/mode/2up?q=capitaine+krebs '''Geranium "''capitaine Krebs''"''']: "''Fine, large, well-shaped trusses, cinnabar-crimson, white centre, extra''". </gallery> == Le sous-marin "'''''[[w:Gymnote (1888)|Gymnote]]'''''" avec [[w:Gustave_Zédé|'''Gustave ZEDE''']] == '''Catégories''' : [[commons:Category:Gymnote (submarine, 1888)|'''''Gymnote (1888)''''']], [[commons:Category:Gustave Zédé|'''''Gustave Zédé''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Gymnote (1888)|Gymnote (1888)]], [[w:Histoire des sous-marins|Histoire des sous-marins]], [[w:Coque_(bateau)#Sous-marins|Coque de sous-marins]] <br>'''1884''' - "''L’expérience du dirigeable était révolue sans laisser l’espoir de pouvoir mieux faire à courte échéance. C’est alors que le général Zédé, frère de [[w:Gustave_Zédé | M. Zédé]], directeur des Constructions Navales, dont j’avais fait la connaissance par mon beau-père, me proposa de quitter la Direction du Génie, où je n’avais aucun avenir à espérer, et de me nommer au Régiment des Sapeurs-Pompiers dont on voulait modifier et perfectionner les moyens d’action pour les mettre à la hauteur de ce qui existait à l’étranger.''" '''1885''' - "''M. Gustave Zédé, ancien Directeur des Constructions Navales et Administrateur à la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]], avait entrepris'', en 1885, '''''l’étude d’un sous-marin''''' ''pour le compte de la Marine militaire''. '''''Ce navire devait être propulsé par un moteur électrique alimenté par des [[w:Camille_Desmazures#L’inventeur_d’un_nouveau_type_d’accumulateur_électrique|accumulateurs]]'''''. ''Toute cette partie mécanique était à étudier et à exécuter. Il me fit part de son projet et me demanda de collaborer avec lui.''" "''La coque était construite par l’Arsenal de Toulon, et toute la partie mécanique et électrique devait être exécutée dans les Ateliers des [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Forges et Chantiers]] au Havre.''" <ref name="Krebs_1924"/> === Le moteur électrique du sous-marin ''Gymnote'' === "''J’acceptai l’offre avec plaisir bien que'' '''''les conditions de construction d’une machine électrique de 50 CV à 200 tours''''' [exigé par Zédé] ''''' présentât de sérieuses difficultés'''''. ''Il y avait, en réalité, à réaliser des dispositions tout à fait nouvelles pour arriver à disposer, dans un espace très restreint : machine, accumulateurs et appareils de manœuvres. Sur la demande du Ministre de la Marine, je fus autorisé par le Ministre de la Guerre à prêter mon concours à la Marine tout en conservant mes fonctions au Régiment des Sapeurs-Pompiers.''" <ref name="Krebs_1924"/> <ref>Noter que les règlements actuels sur le personnel militaire n'autoriseraient plus ce type de mise à disposition interarmées.</ref> <gallery> File:1886-01-12 Brevet A-C-KREBS FR173487=Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires.pdf|page 6|'''1886-01-12''' - Brevet A. C. KREBS [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487] : "'''''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'''''". File:1888 - Plans du moteur électrique multipolaire KREBS du Sous-marin GYMNOTE.pdf|'''1888''' - Plans du '''moteur électrique multipôlaire de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1880-1889-ALBUM-41 SHD-DE-2014-PA-40 (moteur Gymnote).jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique à 16 pôles et 2 balais de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1888-04 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Plans de l'atelier d'essai''' du moteur électrique multipôlaire pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France). File:1888-04 - SHD-DE-2014-PA-40 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Essais du moteur électrique multipôlaire A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France). File:1886-1889 - Moteur électrique de A. C. KREBS en place dans le sous-marin Gymnote.jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place dans le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1889 - "Gymnote" submarine plan - cutaway view.png|thumb|'''1889''' - Vue en coupe du '''sous-marin GYMNOTE''' avec le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1886''' || [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487A] || ''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'' |- |} === [[w:Canot|Le canot électrique d'essai]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Launch (boat)|'''''Canot''''']] <br>'''1887''' - "''Une première expérience, consistant à propulser un'' [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1887-12-10_24_623/page/9954/mode/2up?q=krebs '''''canot de la Marine'''''] ''au moyen d’une dynamo et d’accumulateurs, dut d’abord être préparée pour convaincre le Ministre de la Marine de la possibilité du fonctionnement. Cette première expérience (1887) eut lieu au Havre et réussit pleinement. Les travaux pour le sous-marin purent alors être entrepris.''" <ref name="Krebs_1924" /> <br>'''1888''' - "'''''Note sur un canot de 7 mètres avec machine électrique et accumulateurs''''' : [...] ''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis''." <gallery> File:1887-10-15 LA-NATURE-n°750 Canot de la marine p309.jpg|'''1887''' - '''[https://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?4KY28.29/313/100/432/5/420 Le canot électrique de la marine]'''. La coque (métallique) et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t513859334/f13.item.r=krebs '''le moteur électrique conçu par A. C. KREBS'''] ont servi de test avant le sous-marin '''[[w:Gymnote (1888)|''Gymnote'']]'''. <ref>'''1887''' - L'Année scientifique et industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201116k/f174.item.r=krebs "''Le canot électrique''"]. '''Le Génie civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64825793/f9.image.r=krebs "''Canot électrique de 8m85''"].</ref> File:Théophile Aube.jpg|'''1886''' - Le vice-admiral [[w:Théophile_Aube|Theophile Aube (1826-1890)]], ministre de la marine. File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur (Atelier Nadar). </gallery> === '''Le premier sous-marin pleinement fonctionnel''' === "''Les années '''1887''' et '''1888''' furent employées à leur exécution. Le montage des machines, essayées préalablement au Havre où elles donnèrent entière satisfaction, eut lieu à Toulon sous la direction de [[w:Gaston_Romazzotti | M. Romazzotti]], ingénieur de la Marine chargé de la construction du sous-marin 'Le Gymnote'.''" "''En '''décembre 1888''', je fus envoyé à Toulon pour assister aux essais. L’année '''1889''', fut employée à doter le sous-marin de dispositions particulières pour '''améliorer la vision''', et d‘un '''gyroscope électrique''' dont je fournit les plans, pour remplacer la boussole qui se trouve indifférente quand elle est à l’intérieur d’une coque en fer." "''En '''décembre 1889''' j’assistai de nouveaux à différents essais, tout à fait concluants, à la suite desquels on mit en chantier un navire plus grand, étudié et construit directement par les Constructions Navales.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Gymnote1889.jpg|'''1888''' - 1ère version du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4774644w/f1.image.r=submarine '''sous-marin GYMNOTE''']. '''A. C. KREBS tient le mât d'aération'''. Il est peint au minium pour être mieux aperçu en plongée. <ref>'''1888-02-23''' - Scientific American: "[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1889-02-23_27_686/page/10952/mode/2up '''''The torpedoe boat Gymnotus''''']"</ref> File:1889 Arthur Krebs & Jean Rey periscope for the french Gymnote submarine.jpg|'''1889''' - Le périscope de A. C. KREBS & [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.image.r=gymnote| Jean REY] '''à lentille torique''' pour le sous-marin GYMNOTE. File:1889 Gymnote Gyroscope.jpg|'''1889''' - A. C. KREBS ajoute un moteur électrique de sa conception sur le [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n112/mode/2up?q=gyroscope '''gyroscope'''] de marine manuel [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&page=428 Dumoulin] pour doter d'un [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n108/mode/2up?q=gyroscope gyrocompas] le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:Gaston ROMAZZOTTI (1855-1915).jpg|'''Gaston ROMAZZOTTI''' (1855-1915) : ingénieur du génie maritime. File:1880-1889 - Essais du sous-marin Gymnote en rade de Toulon.pdf|'''1888-1889''' - Essais du '''sous-marin Gymnote en rade de Toulon'''. <ref>'''1890-02-02''' - The Daily Colonist: "[https://archive.org/details/dailycolonist18900202uvic/page/n3/mode/2up?q=gunboat '''''A Submarine Gunboat''''']"</ref> File:1890 - Sous-marin Gymnote - Forçage d'un blocus en rade de Toulon.tif|'''1890''' - Sous-marin Gymnote : '''Succès d'un forçage de blocus naval''' en rade de Toulon, '''grâce au gyroscope électrique conçu par A. C. KREBS'''. <ref>'''1894-09-08''' - Scientific American: "'''''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up The problem of submarine navigation] [...] is in the hands of electrical engineers'''''".</ref> File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''', le grand [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|'''''Gustave Zédé''''']] est construit par la marine : ici côte-à-côte dans le bassin de Toulon. <ref>'''1894-09-08''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up "'''''French submarine torpedo boats (Gymnote & Gustave Zédé)'''''"].</ref> File:Verne-face.jpg|'''1896''' - [[w:Jules Verne|Jules VERNE]] - "[https://fr.wikisource.org/wiki/Face_au_drapeau/Chapitre_X '''''Face au drapeau''''']": "''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:%27Facing_the_Flag%27_by_L%C3%A9on_Benett_22.jpg il dépassait, et de beaucoup, les successeurs] des [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goubet_submarine Goubet], [[w:Gymnote (1888)|Gymnote]], [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|Zédé]]''". File:1899-11-04 - Le Rire - le député veut faire un tour sur le sous-marin Gymnote mais il est trop gros.png|'''1899''' - '''Le Rire''' : Le député veut faire '''un tour sur le sous-marin Gymnote''' mais '''il est trop gros'''. File:FMIB 47799 Sous-Marin Gymnote, construit en 1888, sur les plans de l'ingenieur Zede.jpeg|'''1902''' - Le sous-marin GYMNOTE '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-11-01_87_18/page/292/mode/2up?q=gymnote torpille avec succès] le [[w:Jauréguiberry (cuirassé)|cuirassé "Jaureguiberry"]] et le [[w:Amiral Charner (croiseur cuirassé)|croiseur "Amiral Charner"]]'''. </gallery> === Le moteur électrique transportable === '''Catégories''' : [[commons:Category:Canet artillery|'''''Artillerie Canet''''']], [[commons:Category:Arme militaire fabriquée en France|'''''Arme militaire fabriquée en France''''']] '''1885-1890''' - "''C’est pendant cette période que j’étudiai un moteur électrique portatif pour actionner les perceuses employées sur les navires en construction à percer les trous dans les tôles qui doivent être ensuite réunies par des rivets. De même, des moteurs électriques actionnant les ventilateurs faisant circuler l’air dans toutes les parties des navires etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1885-03-18 - Moteur électrique transportable 60kgm - plans de A. C .KREBS.pdf|'''1885-03-18''' - '''Moteur électrique transportable''' de 60 kgm : Plans de A. C.KREBS. File:1886-03-21 Brevet A-C-KREBS FR175023=Moteurs dynamo-électriques légers transportables.pdf|page 6|'''1886-03-21''' - Brevet A. C. KREBS '''FR'''175023 : '''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'''. File:1890-10-18 Génie-Civil canon-CANET moteur-électrique-Krebs.png|'''1890''' - Génie-Civil : Le [[w:Canon Canet|'''canon de marine CANET''']] de 15 cm à tir rapide avec '''les moteurs de pointage électriques''' conçus par A. C. KREBS'''. <ref>'''1890''' - Le Génie civil : '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6473131x/f1.item.r=krebs ''Application de l'électricité au pointage des canons''.]'''</ref> File:1893-05-20 - Moteur électrique transportable pour perceuses de A. C .KREBS.pdf|'''1893-05-20''' - Moteur électrique transportable '''pour perceuses''' de A. C. KREBS. <ref>'''07/01/1893''' - La revue industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98228384/f114.item Les perceuses électriques]. </ref> File:1896 - Ventilateur électrique de A. C. KREBS sur les navires de guerre.jpg|'''1896''' - '''Ventilateur électrique''' de A. C. KREBS '''sur les navires de guerre'''. <ref>'''1896''' - Les applications mécaniques de l'énergie électrique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k124730z/f278.item "'''Ventilateur électrique''' à bord du croiseur ''Dupuy-de-Lôme''"]</ref> </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1886''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1886-03-21_Brevet_A-C-KREBS_FR175023%3DMoteurs_dynamo-%C3%A9lectriques_l%C3%A9gers_transportables.pdf '''FR'''175023A] || ''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'' |- |} == [[w:Exposition universelle de 1889|'''L'Exposition Universelle de Paris - 1889''']] == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1889)|'''''Exposition Universelle (1889)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de 1889]] <gallery> File:1888-09-17 - Pelurier de KREBS - dynamo de l'Exposition Universelle de 1889.pdf|page 2|'''1888''' - Pelurier de A. C. KREBS: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f266.image.r=krebs '''dynamo de l'Exposition universelle de 1889''']. File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - La chaudière à vapeur DURENNE & KREBS de l'Exposition de 1889.jpg|'''1888''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f287.image.r= '''La chaudière DURENNE & KREBS'''] de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']]. File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - Machine à vapeur compound et dynamo électrique de A. C. KREBS.jpg|'''1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f306.item.r=krebs&durenne '''Le moteur à vapeur compound et la dynamo'''] de A. C. KREBS de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']]. File:Béroud - Le dôme central de la galerie des machines à l'exposition universelle de 1889 - P2314 - Musée Carnavalet.jpg |'''1889''' - A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur et la dynamo qui ont produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines''']. File:Exposition Universelle, Paris, France, 1889 (2852571017).jpg|'''1889''' - Exposition Universelle de Paris : '''Le dôme central du Palais de l'industrie''' et de la Galerie des Machines. File:Alexandre-Georges Roux - Fête de nuit à l'Exposition universelle de 1889, sous la tour Eiffel - P1994 - Musée Carnavalet.jpg | Fête de nuit à l' [https://archive.org/details/cu31924107177093/page/n7/mode/2up?q=krebs Exposition universelle de '''1889'''] sous la Tour Eiffel. File:Panorama du Champ de Mars, Paris Exposition, 1889 (illuminated) (14197259007).jpg|'''Panorama du Champ de Mars''', [https://www.loc.gov/pictures/search/?q=exposition+1889&sp=1&sg=true&st=gallery Exposition Universelle de Paris, '''1889'''] avec la Tour Eiffel illuminée. File:Eiffel Tower and Exposition Universelle at night, Paris, 1889.jpg|'''1889''' - Vue de la Tour Eiffel et du terrain de l'Exposition Universelle du Champ de Mars la nuit. File:Georges Garen embrasement tour Eiffel.jpg|'''1889''' - "'''''Embrasement de la Tour Eiffel pendant l’Exposition universelle de 1889'''''": tableau de Georges Garen. File:L'Exposition universelle de 1889 - grand ouvrage illustré, historique, encyclopédique, descriptif (IA lexpositionunive02mono).pdf|page 36|'''1889''' - Exposition de '''l'établissement central d'aérostation militaire''' de Chalais-Meudon avec '''le dirigeable de Renard et Krebs'''. </gallery> '''1889''' - Lors de l'Exposition Universelle , A. C. KREBS : * Est membre du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476583z/f15.image.r=krebs "Comité Technique des Machines"]. * Organise [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f436.image.r=pompiers la sécurité incendie dans toute l'Exposition] et saisit cette occasion pour tester son nouvel avertisseur d'incendie. * Est nommé membre du comité d'organisation du [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8XAE331.24/5/100/38/0/0 Congrès International des pompiers officiers et sous-officiers]. * Conçoit le '''moteur à vapeur compound''' DURENNE & KREBS et la '''dynamo électrique''' construite par la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]] dont [[w:Gustave Zédé|Gustave Zédé]] est administrateur, qui produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''] de l'Exposition Universelle de Paris en '''1889''', exposition qui inaugure la tour de l'ingénieur [[w:Tour Eiffel|'''Gustave EIFFEL''']]. == La réorganisation du service incendie de la "'''''Ville de Paris'''''" == '''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|'''''Brigade de sapeurs-pompiers de Paris''''']], [[commons:Category:History of firefighting|'''''Histoire de la lutte contre l'incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|Brigade de sapeurs-pompiers de Paris]], [[w:Lutte contre l'incendie|Lutte contre l'incendie]] <br>'''1884-1897''' - "''Il serait trop long de m’étendre sur les travaux réalisés pendant les 12 années (1885-1897) que j’ai passées dans ce corps. Après [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Voyages_d'%C3%A9tudes_en_Europe_et_en_Am%C3%A9rique plusieurs voyages d’études aux États-Unis d’Amérique] ''['''1885''' and '''1895''']'' et en Europe ''['''1884''', '''1885''' et '''1891''']'', je fus conduit à faire des propositions : mais cette fois, la tâche n’était plus la même.''" "''Les propositions étaient discutées dans des commissions et, avant d’arriver à l’exécution, il fallait les faire triompher. Je réussit à les faire accepter et le résultat fut'' ''''' de transformer complètement l’organisation du Service Incendie ainsi que son matériel'''''." <ref name="Krebs_1924" /> <ref>'''1901''' - Revue municipale : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61398922/f1.item.r=%22sapeurs-pompiers%22 Sapeurs-pompiers de la ville de Paris]", [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k54352216/f2.item.r=casque suite.] .</ref><ref>'''2023''' - '''Damien Grenèche''' (thèse) : "[https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1 ''Sapeurs-Pompiers de Paris, '''1811-1967''' : construction d'une élite et d'une identité singulière]." </ref> <gallery> File:1891-A-C-KREBS=portrait en uniforme de pompier.jpg |'''1891''' - '''A. C. KREBS''' : portrait en uniforme de pompier à l'occasion de ses 10 ans de mariage et de sa nomination de '''Major Ingénieur''' au Régiment de sapeurs-pompiers de Paris. File:1900~Pompiers=sauvetage-1.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Sauvetage'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=la grande échelle-2.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''La grande échelle'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=manoeuvre d'ensemble-3.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''manœuvres d'ensemble'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=poste central-4.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Poste central, appel au feu'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=le gymnase-6.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Le gymnase'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. <ref>Depuis '''1895''' réussir le test de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96376025/f89.image la planche à rétablissement] est devenu [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940510p/f365.item.r=planche obligatoire chaque matin] pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5422697h/f5.item.r=%22planche%20a%20retablissement%22 les pompiers parisiens], jusqu'à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BSPP_-_Test_de_la_planche_%C3%A0_r%C3%A9tablissement.webp aujourd'hui].</ref> </gallery> === La pompe d'incendie à vapeur '''[https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/130621 DURENNE] & KREBS''' === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Durenne & Krebs fire engine|'''''Pompe d'incendie Durenne & Krebs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]] <gallery> File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-1.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-2.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-3.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-4.jpg| '''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:1892 Portefeuille-économique=Pompe Durenne & Krebs 1888.pdf|'''1892''' - "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f243.item.r Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle de '''1888''')]'' de '''MM. Durenne & Krebs'''." File:Jean-François Durenne Durenne Constructeur 1897.jpg|'''1897''' - '''Jean-François DURENNE''' (1821-1909) près du moteur à vapeur DURENNE & KREBS File:La voiture Pompe à vapeur Durenne et Krebs.jpg|'''1900''' ~ La voiture Pompe à vapeur DURENNE & KREBS '''attelée'''. File:1903 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS.pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris utilise la chaudière à vapeur '''DURENNE & KREBS'''. <ref>'''1904''' - The Engineering Magazine - The International Automobile Exposition at Paris : '''''[https://archive.org/details/factoryindustria27newy/page/76/mode/2up?view=theater Automobile Fire Engine of the Paris Fire Department]'''''.</ref> <ref>'''1904''' - The Engineer: "''The boiler is of the type invented by [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/130/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 M. Durenne and Commandant Krebs] and improved by M.M. [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/n3/mode/2up?q=weyher Weyher et Richemond] to facilitate the cleaning of the tubes''".</ref> <ref>'''1904''' - La Nature: ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.62/238/70/536/5/420 Les pompes à incendie automobiles]'''.</ref> File:1904 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS (schemas).pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris ('''schemas''') qui utilise la chaudière DURENNE & KREBS. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1888''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf '''FR'''189962] || ''Chaudière multitubulaire à tubes curvilignes dilatables à circulation automatique et rapide'' |- | '''1889''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-21_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] || |- | || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-29_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] |- | '''1890''' || [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=208718&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''208718] || [https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n104/mode/2up?q=durenne ''M. DURENNE, pour une pompe à vapeur, système Durenne & Krebs''] ([https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n182/mode/2up?q=durenne Dessins]). |- |} === [https://archive.org/details/BSG_8VSUP2176 Voyages d'études en Europe et en Amérique] === '''1885-11-26''' - '''New York Times''' : "''Parmi les passagers du paquebot français [[w:La_Normandie_(paquebot_de_1883)|'''Normandie''']], qui ont embarqué hier pour le Havre, on comptait le Contre-amiral Baldwin, de la marine américaine ; [[w:Auguste Bartholdi|'''A. Bartholdi''']], le scuplteur ; le baron Hulot, le '''Capt. Krebs''', l'Abbé Gaudin, le Capt. Garcin, M. Martin Clerc, M. [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']].''" '''1895-09-10''' - '''New York Times''' : "''Trois Français qui étudieront les méthodes utilisées dans ce pays: le [https://fr.wikipedia.org/wiki/Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris#Liste_des_chefs_de_corps_commandant_le_r%C3%A9giment_de_sapeurs_pompiers_de_Paris_(de_1866_%C3%A0_1967) Col. Varigault], le '''Commandant Krebs''', et le [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/90324#show Capt. Cordier], officiers du [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|corps des sapeurs-pompiers de Paris]], arrivés dans cette ville samedi dernier avec le paquebot [[w:La Touraine (paquebot)|'''La Touraine''']] pour commencer une tournée des principales villes des États-Unis dans le but d'enquêter sur les méthodes adoptées dans divers services d'incendie.''" '''1895-11-06'''- '''Quebec Morning Chronicle''' : "Le ''Colonel Varigault, le '''Commandant Krebs''' et le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Capitaine Cordier], du Service des sapeurs-pompiers de Paris, sont revenus hier à New York après une tournée de deux mois aux États-Unis et au Canada dans le but d’inspecter les services d’incendie des grandes villes. Le colonel Varigault a été vu ce matin. Il a déclaré : « Nous avons visité New York, Boston, Montréal, Cleveland, Chicago, Saint-Louis, la Nouvelle-Orléans, Cincinnati, Pittsburg et Washington. Nous avons été reçus partout avec la plus grande gentillesse et notre voyage a été un succès complet. Le Service des sapeurs-pompiers de New York est bien en avance sur tous ceux que nous avons vus dans ce pays, tant en termes d’équipement que de discipline. Ensuite, je devrais nommer Boston, bien que Montréal ne soit pas loin derrière. Chicago et San Francisco sont également bons. Mais je ne vois pas comment le Service des sapeurs-pompiers de Chicago pourrait lutter contre un incendie dans l’un de ses hauts immeubles. »''" <gallery> File:1885-10-03=1885-11-25 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1885''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Couston, du capitaine-ingénieur A. C. Krebs des pompiers de Paris, et de son beau-frère [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]], '''du 3 octobre au 18 novembre 1885'''. File:1895 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1895''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Varigault, du Commandant A. C. Krebs et du capitaine-ingénieur Cordier des pompiers de Paris, '''d'août à octobre 1895'''. File:1895-10-31-Evening-Star=voyage des pompiers de Paris en Amérique=Varigault+Krebs+Cordier 'amis-des-cubains'.png |'''1895-10-31''' - Evening-Star (Washington) : Col. Varigault, Commandant Krebs and Capitan Cordier "'''''leaders among the friends of Cuban freedom in the south'''''". File:1895-11-18 The New York herald-Paris='Changes for Paris firemen'.png |'''1895-11-18''' - The_New-York herald Paris: "'''''Changers for Paris firemen'''''" (Colonel Varigault, Commander Arthur Constantin Krebs and Captain Cordier). </gallery> ==== L'avertisseur d'incendie ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Fire alarms|'''''Alarmes incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Alarme incendie|Alarme incendie]], [[w:Téléphone|Téléphone]], [[w:Louis_Lépine|Louis_Lépine]] <gallery> File:1888 A-C-KREBS=système Krebs de téléphone pour les avertisseurs du service incendie de la ville de Paris.jpg|'''1888''' - [https://archive.org/details/electricalengin05unkngoog/page/n14/mode/2up?q=krebs Le '''téléphone système A. C. KREBS'''] pour les bornes d'appel incendie de la ville de Paris, sert aussi de "'''ronfleur'''" pour prévenir les passants de son utilisation. File:1888-07-27 Brevet A-C-KREBS FR192070=Système de téléphone.pdf|page=7|'''1888-07-27''' - A. C. KREBS Brevet '''FR'''192070: "''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques, concentriques égales''". File:1892-05-28 Génie-Civil Pompiers=avertisseur-Digeon+téléphone-Krebs.jpg|'''1892''' - '''Col. Varigault''' :"''A Paris, chacun de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6474130t/f2.item.r=krebs '''nos avertisseurs publics d'incendie'''] est relié à un centre de secours qui, en même temps que l'alarme est donnée, reçoit, grâce à un téléphone ''[A. C. KREBS]'' installé dans l'avertisseur lui-même, des informations sur la nature du sinistre et le lieu où il s'est déclaré.''" <ref>'''1896-03-19''' - Procès verbal du '''Comité de perfectionnement''' du régiment de sapeurs-pompiers de Paris : [http://rytmo.net/ACK/1896-03-19_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf Rapport du voyage du colonel Varigault, du commandant Krebs et du capitaine Cordier en Amérique pour les pompiers de Paris en '''1895'''].</ref> <ref>'''1893-11-25''' - Scientific American: [https://archive.org/details/scientific-american-1893-11-25/page/n3/mode/2up?q=alarms '''New Fire Alarm'''].</ref> File:1894-12-27 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=plan de la répartition des avertisseurs.jpg|'''1894-12-27''' - Comité de perfectionnement des sapeurs-pompiers de Paris : plan de la '''répartition des avertisseurs d'incendie conçus par A. C. KREBS'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1888''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-07-27_Brevet_A-C-KREBS_FR192070%3DSyst%C3%A8me_de_t%C3%A9l%C3%A9phone.pdf '''FR'''192070A] || ''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques concentriques égales'' |- |} ==== Le compresseur d'air hydraulique ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Trompes|'''''Trompes hydrauliques''''']], [[commons:Category:Venturi effect|'''''Effet Venturit''''']], [[commons:Category:Bernoulli's principle|'''''Théorème de Bernoulli''''']], [[commons:Category:Fluid dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Trompe hydraulique|Trompe hydraulique]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]] <gallery> File:1889-02-16 Brevet A-C-KREBS FR196134=Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels.pdf|page 10|'''1889''' - Pompiers de Paris : Le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS (Brevet [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] ). File:1893 - Pompiers de Paris - casque respiratoire.png|'''1893''' - Pompiers de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f244.image.r=casque%20respiratoire '''le casque respiratoire'''] alimenté avec le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS. File:1900 ~ Pompiers de Paris - Le compresseur d'air pour 'un feu de cave'.jpg|'''1900''' ~ Pompiers de Paris - Le '''compresseur d'air''' pour "'''un feu de cave'''" conçu par A. C. KREBS'''. File:1900_-_Le_mat%C3%A9riel_des_Pompiers_%C3%A0_l%27Exposition_Universelle.jpg|'''1900''' - La lampe électrique, '''le compresseur d'air et le ventilateur hydrauliques conçus par A. C. KREBS''', le casque respiratoire. File:St. Nicholas (serial) (IA stnicholasserial402dodg).pdf|page 552|'''1913''' - Coups-d'œil sur les services incendies à l'étranger : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASt._Nicholas_(serial)_(IA_stnicholasserial402dodg).pdf&page=551 "'''''Un casque respiratoire à Paris'''''"]. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1889''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] || ''Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels'' |- |} ==== Théorie de la pompe [à piston creux] à un seul clapet ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Pumps|'''''Pompes''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Pompe|Pompe]] <gallery> File:1888-11-03 Revue-Industrielle=Pompe mono-clapet.jpg |'''1886-01''' - Alors qu'il est major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9788785q/f449.image.r=krebs A. C. KREBS décrit '''la théorie complète de la pompe à un seul clapet''']. File:1886 LA-NATURE=Théorie de Arthur Constantin KREBS de la pompe à un seul clapet.png |'''1886''' - A. C. KREBS, major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris décrit '''la théorie de [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/265/100/432/5/420 la pompe à piston creux à un seul clapet]'''. <ref>'''1885''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.24/115/100/432/8/420 La pompe sans piston] ou pompe chinoise. '''1886''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/179/100/432/5/420 La pompe sans piston].</ref> </gallery> ==== Autres appareils d'incendie ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris equipment|'''''Équipement de la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris ''''']], [[commons:Category:Équipement anti-incendie|'''''Équipement anti-incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Hydrant|Hydrant]], [[w:Tuyau d'incendie|Tuyau d'incendie]] <gallery> File:1900 - Exposition Universelle - La chèvre de levage des Pompiers de Paris.png|'''1900''' - La '''chèvre de levage''' et le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.item.r=krebs matériel d'incendie exposé lors de l'Exposition universelle] de Paris. File:La voiture Grande échelle.jpg|'''1900''' ~ La voiture Grande échelle. File:Grande échelle Gugumus en action.jpg|'''1900''' ~ La grande échelle en action. File:Lances à l'exercice.jpg|'''1900''' ~ Lances à l'exercice. File:Le départ attelé réglementaire.jpg|'''1900''' ~ Le départ attelé réglementaire. File:Le dévidoir.jpg|'''1900''' ~ Le dévidoir. File:10 Entretien des tuyaux.jpg|'''1900''' ~ Entretien des tuyaux. File:1900~Pompiers=Le ventilateur hydraulique inventé par A-C KREBS.jpg| '''1895''' ~ Le '''ventilateur hydraulique''' conçu par A. C. KREBS restera utilisé jusqu'en '''1935'''. </gallery> === La réorganisation des périmètres d'incendie === '''Catégories''' : [[commons:Category:Firefighting|'''''La lutte contre l’incendie''''']], [[commons:Category:Pompier|'''''Pompier''''']], [[commons:Category:Service de secours en France|'''''Service de secours en France''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Service départemental d'incendie et de secours|Service départemental d'incendie et de secours]], [[w:Lutte contre l’incendie|Lutte contre l’incendie]], [[w:Pompier|Pompier]], [[w:Sapeur (pompier)|Sapeur (pompier)]] <br>'''2015''' - "''La réponse que Krebs propose pour résoudre l’équation porteuse de toutes les variables qu’il a identifiées se nomme « vitesse ». Ce n’est plus la position de proximité physique du pompier près du sinistre qui va lui assurer son efficacité maximum, c’est la vitesse avec laquelle l’organisation globale du service saura faire parvenir sur les lieux du sinistre la juste quantité de matériel et de personnel, d’où que proviennent ce matériel et ce personnel. Si la proximité fige l’organisation et limite les possibilités d’adaptation, les capacités de la vitesse sont, quant à elles, potentiellement illimitées''." <ref>'''2015''' - Philippe Krebs, "'''''L’ingénieur Krebs (1850-1935) ou comment traduire le fluide électrique'''''", Artefact [En ligne], HS 01 | 2015, mis en ligne le 30 avril 2021, consulté le 09 avril 2026. URL : http://journals.openedition.org/artefact/7663 ; DOI : https://doi.org/10.4000/artefact.7663</ref> <br> '''1889''' - '''Comité de perfectionnement du régiment de sapeurs-pompiers de Paris''' : "''Les surfaces des périmètres défendus chacun par un poste sont proportionnelles au carré des vitesses avec lesquelles ces postes peuvent se transporter et, comme conséquence immédiate et très importante, le nombre des postes à placer sur une surface donnée est inversement proportionnel au carré de ces mêmes vitesses de déplacement. Ainsi, un système de transport qui permettrait d'aller deux fois plus vite qu'un autre exigera quatre fois moins de postes pour arriver dans le même temps.''" <ref name=1889_Comité /> '''1896-05-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7510386f/f2.item.zoom '''L'accident de l'Opéra'''] - Le câble d'un contre-poids de 625 kg du lustre de l' [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|Opéra de Paris]] se rompt au milieu d'une représentation et fait une chute de 12m en traversant plusieurs niveaux et en tuant une personne : "''La version du major Krebs, du régiment des sapeurs-pompiers, paraît toutefois des plus vraisemblable : sous l'action d'un contact de courant, les fils supportant le contrepoids de l'appareil de ventilation se sont échauffés, sont devenus élastiques et, chaque fil, n'ayant plus que la consistance de macaroni cuit, s'est rempu sous le poids qu'il était chargé de supporter. Les fils du câble n'ont pas été chauffés jusqu'à la fusion, mais ils sont étirés et les sections sont inégalement placées.''" <ref>'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4683851/f2.item.r=krebs Journal des débats politiques et littéraires]: "''Accident à l'Opéra''".</ref> "''Par une coïncidence bizarre, [[w:Charles Garnier (architecte)|M. Garnier]], l'architecte de l'Opéra, est rentré à Paris ce matin. Il a assisté aux délibérations de la commission.''" <ref>'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k548084f/f4.image.r=garnier La Presse]: "''L'accident de l'Opéra''".</ref> <br><br>'''2023''' - Le plan Krebs de réorganisation des secours est toujours en application à Paris : "'''Couverture opérationnelle''' : ''Stratégie mise en place dès '''1885''' avec l’adoption d’un plan de modernisation matérielle et organisationnelle. Le découpage de la capitale en 24 secteurs, le maillage formé par les bornes avertisseurs et les bouches incendie, la mise en place du départ attelé et la construction des nouveaux postes de secours ont contribué à élever ce plan de défense contre les incendies''." <ref>'''Damien Grenèche'''. ''Sapeurs-Pompiers de Paris, 1811-1967 : construction d’une élite et d’une identité singulière''. Thèse d'Histoire. Université de Lorraine, 2023. Français. NNT : 2023LORR0323. tel-04661041 : https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1</ref> <gallery> 1881 'Le Feu à Paris et en Amérique' par le colonel Paris commandant le régiment des sapeurs-pompiers de Paris-.png|'''1881''' - "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f237.item.r=%22Le%20Feu%20%C3%A0%20Paris%20et%20en%20Am%C3%A9rique%22 '''''Le Feu à Paris et en Amérique''''']" par le colonel Paris commandant le régiment des Sapeurs-pompuiers de Paris - carte de la répartition des secours incendie à Paris avant la réorganisation de A. C. KREBS : "''Les parties teintées sont celles qui sont incomplètement protégées aujourd'hui''". 1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''. File:1903 Larousse=Pompiers.png |'''1903''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris. File:1923 Larousse=Pompiers.jpg |'''1923''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris (suite). File:1894-04-28 Pompiers tableau-Detaille 'Victimes-du-devoir' esquisse-couleur RMN.png |'''1894-04-28''' [http://www2.culture.gouv.fr/Wave/image/archim/0007/dafanch99_76630603_2.jpg "''Victimes-du-devoir''"] esquisse du [https://archive.org/details/douarddetaille00detauoft/page/n25/mode/2up tableau] de [[W:%C3%89douard_Detaille|Edouard Detaille]] qui représente une intervention des sapeurs-pompiers de Paris à l'époque de la réorganisation de A. C. KREBS. Deux pompes Durenne & Krebs sont visibles en arrière-plan. <ref>''Les victimes du devoir'' - [https://www.photo.rmn.fr/CS.aspx?VP3=SearchResult&VBID=2CMFCI7M9AE4D&SMLS=1&RW=1600&RH=789 Detaille Jean-Baptiste-Edouard (1848-1912)] - Réunion des musées nationaux - Grand-Palais (Paris)</ref> File:The Opera House, Paris, France ca. 1890-1900.jpg |'''1896-05-20''' - Un contrepoids de 625 kg counterweight du [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|chandelier]] de [[W:Op%C3%A9ra_national_de_Paris|l'Opéra de Paris]] chute en pleine représentation et tue une personne. [[W:Gaston_Leroux|Gaston Leroux]] reprendra cet événement dans son roman [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Phantom_of_the_Opera "'''Le fantôme de l'Opéra'''"]. File:Le Petit Journal - Bazar de la Charité.jpg | '''1897-05-04''' - '''[[w:Bazar de la Charité|L'incendie du Bazar de la Charité]]''' : "''Les sapeurs-pompiers de Paris arrivent sur les lieux en à peine dix minutes pendant que des grappes humaines surgissent du bazar transformé en brasier, par les deux seules portes d'accès dont l'une, celle de gauche, sera rapidement bloquée par des corps.''" File:Btv1b8433337w-p014.jpg |'''1900-03-08''' - "''L'incendie du Théâtre-Français''": La pompe d'incendie [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Durenne_%26_Krebs_fire_engine '''"Durenne & Krebs"'''] (fabriquée par [https://data.bnf.fr/14536469/societe_des_etablissements_weyher_et_richemond/ Weyher & Richemond]) en opération. File:Btv1b8433337w-p015.jpg |'''1900-03-08''' - "''L'incendie du Théâtre-Français''": La '''grande échelle "[[W:Gugumus|Gugumus]] & Krebs"''' en opération. </gallery> === La '''voiture système KREBS''' et [[w:Émile_Levassor|'''Émile LEVASSOR''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Voiture système Krebs|'''''Voiture système Krebs''''']] <br>'''1894''' - [[w:Paris-Rouen (automobile)|'''La course Paris-Rouen''']] : "''J'étais présent le 18 juillet 1894, le matin, au départ des véhicules automobiles engagés dans la course du Petit Journal. Le départ a eu lieu à la Porte Maillot. Au moins 20 véhicules se sont présentés au départ.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> Le 28 novembre '''1894''', le Conseil municipal de Paris accepte la proposition de A. C. KREBS d’étudier l’application des moteurs à pétrole à la traction des voitures d’incendie, en remplacement des chevaux. Le Conseil alloue les crédits et ajoute : "''Il ne faut pas craindre de demander largement le nécessaire''." <ref> '''28/11/1894''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des sapeurs pompiers de Paris.</ref> '''1895''' - A. C. KREBS est '''présent lors du retour de Levassor''' pour la '''course Paris-Bordeaux-Paris'''. <ref>'''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=30 '''Témoignage d'A. C. KREBS'''] lors du '''procès Selden à New-York''' :'' '''Q35'''. Were you at one or more automobile races in 1895? '''A35'''. Yes, I recall well in the Paris-Bordeaux-Paris race the return of the two passenger vehicle which was driven by Monsieur Levassor. That vehicle and its driver had made the trip there and return, 1175 kilometers, without stops other than those necessary to replenish with fuel, in about 48 hours. Unfortunately the first prize for the performance could not be given to it because it could not be awarded a vehicle with two passengers. Nevertheless the performance of this vehicle was considered most successful''.</ref> '''1896''' - "''Vers 1894 parurent les premières voitures automobiles mues par des moteurs à essence. La locomotion automobile ayant déjà frappé mon imagination au point de vue de son application au Service Incendie, je me procurai un petit moteur auprès de la maison Panhard & Levassor pour en bien étudier le fonctionnement et construisis dans l’atelier des Sapeurs-Pompiers une petite voiture d’expérience dont les changements de vitesse étaient obtenus par des embrayages magnétiques'' [brevetée en 1896]. ''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1896-05-02 A.C.KREBS automobile-patent=FR256344.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : Dessin du '''brevet d'automobile'''. File:1896-05-13 A.C.KREBS=Brevet FR256344-'voiture-automobile'.pdf|page=10|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet d'automobile''' ('''FR'''256344). File:Krebs Electromagnetic-Gear 1896.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Boîte de vitesse électromagnétique''' du brevet d'automobile ('''GB'''189619774A). File:1896-11-09 BE124538=brevet belge de la voiture de A. C. KREBS.pdf|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet belge''' ('''BE'''124538). File:Voiture système Krebs 1896.jpg |'''1896''' - '''A. C. KREBS est au guidon''' de sa voiture au Bois de Boulogne à Paris. File:1900~Grde-Encycl=Velocipede-Angle-de-chasse.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS introduit '''l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]]''' dans la technologie de '''la direction automobile'''. File:1882-1898 – A. C. KREBS metallic wheel hubs.pdf|'''1882-1898''' – A. C. KREBS introduit [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9810086j/f94.item '''le moyeu métallique d'artillerie français'''] dans la '''technologie automobile mondiale'''. <ref>'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n298/mode/2up '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]]: "'''Raisons d'adopter des roues en bois''' : ''Le public, cependant, finit par apprendre et, une fois informé, ses préférences sont généralement judicieuses ; ainsi, en quelques années, la roue à fil de fer fut condamnée, non pas parce qu'elle était impossible à fabriquer de façon satisfaisante, mais parce qu'elle ne l'était pas, et la roue en bois devint la forme acceptée. En se tournant vers la roue en bois, cependant, les fabricants tombèrent dans l'autre extrême et adoptèrent généralement la roue désormais universelle [https://en.wikipedia.org/wiki/Artillery_wheel du type artillerie]'''''. Cette roue est utilisée pour sa robustesse, plutôt que pour sa légèreté ou son faible coût, et '''''a été largement adoptée en raison de son utilisation à l'étranger.'''''."</ref> File:1899 - Panhard-Levassor - roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. <ref name=Rolls-1899/> File:1899 - Panhard-Levassor - artillery wheel axle stub of C. S. Rolls' car.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Arbre de la Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. <ref name=Rolls-1899/> File:Roue.jpg|'''1900''' ~ '''Roue d'artillerie''' de type français sur un essieu d'automobile. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 72|'''1913''' - La stabilité de route : "'''''L'angle de chasse'''''". File:Émile Levassor peu avant sa mort.jpg|'''1896-09-03''' - '''Émile Levassor''' (1843-1897) achète la licence du '''brevet d'automobile système Krebs'''. File:WP-Rene Panhard.jpg|'''René Panhard''' (1841-1908). </gallery> ==== Sept innovations dans la technologie automobile ==== :Brevets de la voiture système Krebs : '''FR'''256344, '''GB'''189619774A, '''BE'''124538 * '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' : (voir infra) : "''Puisque l'on sait que 3 points suffisent pour déterminer un plan.''" <ref name=1896_voiturette_Krebs/> : "''Suspension de bâti du mécanisme au châssis de la voiture par 3 points munis d'articulations, à l'effet de soustraire le mécanisme aux déformations que le châssis de la voiture peut avoir à supporter pendant le roulement du véhicule.''" * '''La boîte de vitesse électromagnétique avec les engrenages toujours en prise''' : : "''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''" * '''Le changement de vitesses au volant''' : : "''Le régulateur de vitesse comprend un commutateur électrique disposé sur un disque fixé au-dessous du guidon de direction sur un tube fixe renfermant la tige de direction. Un plateau mobile, muni d'un bourrelet à sa circonférence, recouvre le commutateur et établit suivant 5 positions, les communications et embrayages suivants : 1° - position de repos, circuit coupé, aucun embrayage ; 2° - 1er cran à droite, petite vitesse ; 3° - 2ème cran à droite, vitesse moyenne ; 4° - 3ème cran à droite, grande vitesse ; 5° - cran à gauche de la position de repos, marche en arrière.''" * '''La direction à crémaillère amortie''' : : "''La direction est obtenue au moyen d'un pignon denté monté sur le rond supérieur engrenant avec un secteur denté fixé au rond inférieur. L'axe du pignon porte une roue à dents logée dans une boîte cylindrique reliée par deux tubes à la caisse de la voiture. Une seconde roue à dents, montée sur la tige de direction située à la portée du conducteur, est reliée à la première au moyen d'une chaîne sans fin passant dans les deux tubes indiqués plus haut. Dans la partie rectiligne des tubes, la chaîne est remplacée par deux tiges élestiques formées de tubes contenant des ressorts à boudin. Cette disposition a pour but de maintenir constamment la chaîne tendue et de créer un amortisseur entre les vibrations transmises à la chaîne par le roulement des roues d'avant sur un sol inégal et la tige de direction placée dans les mains du conducteur.''" * '''L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur le train avant''' : : "''L'avant-train est formé du rond inférieur, de deux armons, de 3 ressorts et d'un essieu situé en arrière de la projection de l'axe de la cheville ouvrière d'une quantité qui peut varier du 1/7 au 1/20 de la distance qui sépare les points de contact des 2 roues d'avant avec le sol. Cette disposition a pour objet d'assurer la stabilité de route, c'est-à-dire de ramener automatiquement, en marche, le parallélisme des deux essieux, lorqu'aucune force ne tend à les maintenir dans une autre position ou qu'un effort momentané les en a écartés.''([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538]) * '''La roue d'artillerie française à moyeu métallique''' : voir supra. **'''1896''' - '''Émile LEVASSOR''' à '''A. C KREBS''' : "''Vous nous autoriseriez gracieusement à employer '''votre système de moyeux de roues''' <ref>'''1890''' - Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=706217&positionResult=19&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=durenne&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afd8be44c19/arko_default_63f47e41d68c8/image/687860|0|8 '''FR2'''00439] - "'''Pompe, à incendie à vapeur, système Durenne et Krebs'''" : "''Le moyeu est en bronze, il porte deux tourteaux tournés sur le périmètre desquels sont percés des trous taraudés pour recevoir les rais. L'extrémité du moyeu du côté intérieur porte une gorge formant réservoir d'huile, entre cette extrémité et la rondelle d'essieu on interpose un cuir d'étanchéité destiné à retenir l'huile et à empêcher la rentrée des sables. L'autre extrémité porte une fraisure et un filetage dans lequel on visse un écrou complètement étanche à l'huile dans laquelle frotte la fusée d'essieu. Les rais sont en acier filetés à un bout s'implantant dans le moyeu, l'autre bout est terminé par une tête tournée, noyée sur le pourtour de la jante en fer profilé. La jante entre librement dans le bandage en fer laminé, l'embattage se faisant à froid. La jante et le bandage sont reliés par autant de boulons à têtes fraisées qu'il y a de rais, l'écrou étant à l'intérieur du bandage''". </ref> pour lequel, puisque vous dites qu'il est très bon, il pourrait être intéressant de prendre un brevet.''" <ref name=1896_Krebs_Levassor /> ** '''1897''' - '''Levassor''' introduit [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 le moyeu] [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 métallique] de A. C. KREBS [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf&page=4 dans son catalogue], et la roue d'artillerie sur sa [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-07_-_Panhard_et_Levassor_-_voiture_de_la_course_Paris-Dieppe_6cv,_2cyl_et_roues_d%27artillerie.jpg voiture de course Paris-Dieppe] en juillet. ** '''1898''' - '''A. C. KREBS''' introduit son propre système de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898_A.C.KREBS_Album-Courses%3D8cv-4cyl_-_Paris-Amsterdam.jpg?uselang=fr roue d'artillerie pour sa voiture de course Paris-Amsterdam]. ** '''1900''' - '''La controverse au sujet des roulements à billes''' ::'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rolling element bearings|'''''Roulements à billes''''']] <br> ::"''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes ne donnaient aucun gain'' [...] ''Sans aucun doute, les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes défectueuses de roulements à billes.''" <ref> '''1900''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/349/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F349%2FstTxt%2F%26&catsel1=stTxt&mot_cat1=krebs&ope5=AND&catsel5=id&mot_cat5=8XAE505&var_solr_qs=2#l-349 '''Congrès International d'automobilisme''']: "''M. le commandant Krebs prétend qu’il a fait monter en course 5 voitures dont deux étaient munies d’essieux patents et trois d’essieux à billes et qu’il n’a trouvé aucune espèce de différence. Les essieux à billes ne présenteraient d’avantages que dans les petites vitesses, ce qui est original''". '''1900''' - [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/794/mode/2up?q=panhard '''Automobile Magazine''']: "''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail réel et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes n'apportaient aucun gain à basse vitesse, et ont également annoncé en termes généraux que la résistance de frottement des roulements de voiture ne constituait qu'une très petite partie de la résistance totale à la propulsion des voitures et que les roulements à billes pour les pièces de voiture, de moteur et de transmission sont presque universellement considérés comme inadaptés à toute utilisation dans les voitures, sauf dans les véhicules les plus légers. Il est certain qu'aucun cycliste n'utiliserait une bicyclette sans roulements à billes, et nos voitures légères américaines à vapeur, qui peuvent être considérées comme ayant atteint une forme standard plus que tout autre véhicule à propulsion mécanique, utilisent des roulements à billes dans les roues, pour le régulateur, pour le vilebrequin et pour les extrémités des manivelles des bielles. Il ne fait aucun doute que les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes de roulements défectueuses''". '''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f49.item.r=l '''OMNIA'''] - "[...] ''Or l'on s'accorde à juger que l'amélioration d'une friction par les billes est de 10 pour 100. Par conséquent le bénéfice procuré par les billes dans ce cas ne pouvait s'appliquer qu'à 500 grammes sur 15000, c'est-à-dire faire descendre l'effort de 15 kilogrammes à 14.950 ''[?!?]''. Le résultat est donc assez pitoyable. Mais la bille ne vaut pas seulement par cette amélioration illusoire du rendement. Son mérite principal consiste dans la commodité de son emploi ; elle rend le roulement pratique. Non seulement elle permet le raccourcissement de la fusée, diminue par conséquent l'encombrement et les chances d'accrochage, mais elle n'exige plus (dans la forme "annulaire" tout au moins) aucun réglage ni pour l'ouvrier qui monte le roulement, ni pour le client qui l'emploie. Son entretien est à peu près nul puisque, si la fusée Brevet demande une nouvelle charge d'huile tous les 150 à 200 kilomètres environ, une fusée à billes roule parfaitement 2 à 3000 kilomètres sans qu'on ait à se soucier d'elle.''"</ref> * '''L'abaissement du centre de gravité du châssis''' : '''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne & Krebs''' : "''Rapprocher le plus possible, du centre de gravité de la voiture, les masses qui la composent, afin de diminuer le moment d'inertie du véhicule dans le plan horizontal. Il en résulte pendant la traction, et, surtout dans les tournants aux grandes allures, une moindre fatigue des essieux et des roues.'''.''" <ref name=portefeuille/> '''1896-09-03''' - '''Emile LEVASSOR''' achète la licence du brevet d'automobile ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538]) de A. C. KREBS avec la boîte de vitesses électromagnétique, la suspension par 3 points, l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] et d'autres innovations. <ref name=1896_Krebs_Levassor /> '''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : "''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique'' [...] ''en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''" <ref>'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : "''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique, je vous assure que c'est une chose à examiner. Et il est bien fâcheux qu'à votre dernier voyage vous n'ayez pu avoir le temps nécessaire pour cet examen. Nous pensons que vous pourriez traiter avec l'inventeur en donnant une somme fixe et en payant une Royalty par voiture. C'est ainsi que nous avons traité. J'espère que vous trouverez occasion de venir à Paris pour établir votre jugement et en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''" ([https://recherche-anmt.culture.gouv.fr/archives/archives/fonds/FRANMT_IR_186_AQ_2006_47/view:fonds/n:3 Archives Nationales du monde du Travail])</ref> ==== La suspension par trois points ==== *'''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne & Krebs''' : "''Le mécanisme est relié au châssis par trois points avec interposition d'une matière élastique permettant la déformation des châssis sans fausser les pièces de l'ensemble. La chaudière est aussi fixée par '''trois points seulement'''.''" <ref name=portefeuille/> *'''1896''' - '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' sur la ''voiture système Krebs'' (voir supra). *'''1898''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) (voir infra). *'''1901''' - Brevet de la boîte de vitesses suspendue par trois points (voir infra). ==== Les systèmes de direction des véhicules ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Steering|'''''Direction (automobile)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Direction (automobile)|Direction (automobile)]] <br>En '''1898''' A. C. KREBS remplace '''la queue de vache de Levassor''' par '''un volant incliné''' dans les voitures de course qu'il conçoit pour la course [[W:Paris-Amsterdam-Paris|'''Paris-Amsterdam-Paris''']] qui se déroule du 7 au 13 juillet 1898. Fernand Charron gagne cette course sur une 4 cylindres Panhard & Levassor. <ref>'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n18/mode/2up?q=lever+steering '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]] : '''''Direction au volant et à levier''''' — "''La direction au volant est la forme la plus répandue et la plus adaptée à la vitesse ou au service en ligne droite, mais pour une utilisation en ville ou sur de courts trajets, le levier, utilisé sur pratiquement tous les véhicules électriques, est le plus pratique. L'impression que la direction à levier ne convient pas, sauf pour les véhicules les plus légers, est fausse, comme le prouve cette utilisation électrique. La maniabilité avec laquelle on peut accélérer avec un levier le place loin devant le volant, tandis que son action est plus rapide et plus sûre en ville et en conduite rapprochée. Qu'il ne faille pas le craindre pour les travaux rapides est prouvé par le fait que la voiture à vapeur Stanley qui a fait le mile le plus rapide en ligne droite il y a quelques années, à Ormond Beach, était une voiture à direction par levier.''"</ref> A cette occasion A. C. KREBS introduit [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard '''la direction irréversible'''] dans la technologie automobile. <gallery> File:1896 - A. C. KREBS Steering-Systems - the electromagnetic gearbox.pdf| '''1896-1903''' - Les systèmes de direction de A. C. KREBS : La [https://www.babordnum.fr/items/show/14115 boîte de vitesse électromagnétique (p. 473)] et [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=US757815A%20panhard le contrôle des vitesses au volant]. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 77|'''1913''' - La "'''''direction irréversible à vis'''''" de A. C. KREBS (p.77). </gallery> === '''Le fourgon électrique d'incendie''' === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Véhicule de lutte contre l'incendie|'''''Véhicule de lutte contre l'incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]], [https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fire_engine Camion de pompier électrique] <br>Dès le 5 juillet '''1895''' A. C. KREBS annonce au Conseil de Paris : "''L’industrie ne construit actuellement que des moteurs de 2 à 3 chevaux. Or, c’est d‘une force de 12 à 15 chevaux qu’il faut au Corps''." <ref> '''05/07/1895''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1895-07-05_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des sapeurs pompiers de Paris.</ref> En conséquuence il conçoit le '''fourgon électrique d'incendie des sapeurs-pompiers de Paris''' qui entrera en service en '''1899''', date de la fin du contrat avec le loueur de chevaux. <gallery> File:Le fourgon électrique (face avant).jpg|'''1899''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.53/0321/100/532/5/416 Le fourgon électrique] (face avant) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''. File:Le fourgon électrique (face arrière).jpg|'''1899''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55325271/f21.item Le fourgon électrique] (face arrière) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''. File:1899 - Pompiers de Paris - Le fourgon d'incendie électrique en reconnaissance avec des lampes à arcs.jpg|'''1899''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62201848/f14.image.r=sapeurs%20pompiers '''fourgon d'incendie électrique'''] conçu par A. C. KREBS '''en reconnaissance avec des lampes à arcs'''. File:1899-The Automobile MAGAZINE The Horseless Fire Engine By Captain Cordier-French Electric Fire Department Wagon.pdf |'''1899''' - "'''The Horseless Fire Engine''' By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier] - '''''French Electric Fire Department Wagon'''''". <ref>'''1899''' - [https://archive.org/details/automobilemaga1189919newy/page/234 The Automobile MAGAZINE]: "''The Horseless Fire Engine By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier]'' - French Electric Fire Department Wagon: '''French Electric Fire Department Wagon''' : "''Paris firemen have also lately been out making successful experiments with the automotor constructed especially for the fire service, after the plans of Colonel Krebs.''".</ref> </gallery> == L'ingénierie automobile chez '''[[w:Panhard|Panhard & Levassor]]''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor|'''''Panhard & Levassor''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Panhard|Panhard]], [[w:Paris-Rouen (automobile)|Paris-Rouen (automobile)]], [[w:Transmission non synchronisée|Transmission non synchronisée]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]], [[w:Chronologie de l'automobile|Chronologie de l'automobile]] <br>'''A. C. KREBS succède à Emile LEVASSOR''' à la direction générale de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f474.image.r=krebs Panhard & Levassor]. De '''1897''' à '''1916''' il transforme la société Panhard & Levassor en fabricant d'automobile le plus profitable avant la 1ère guerre mondiale. "''Au début de '''1897''' ''[en fait le '''03/09/1896'''] <ref name="1896_Krebs_Levassor" />'', je montrai ma voiture terminée et fonctionnant à M. Levassor. Il en fut vivement frappé et me demanda de lui permettre d’en mettre plusieurs en construction dans ses ateliers et de bien vouloir en suivre la fabrication. <ref name=1896_Krebs_Levassor /> Deux mois plus tard ''[le 14/03/1897],'' M. Levassor mourait subitement. Son associé, M. Panhard, transforma son association en Société Anonyme et me demanda d’en prendre la direction.''" <ref name="Krebs_1924" /> Le jour même de cette entrevue [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf '''Emile LEVASSOR achète la licence'''] de la boîte de vitesses électromagnétique du brevet de A. C. KREBS. Cette boîte de vitesses sera construite au moins jusqu'en '''1903'''. "''L’industrie automobile était à ses débuts, son avenir n’était pas douteux et la Maison Panhard & Levassor tenait la tête. Encouragé par la réussite de mes travaux antérieurs et mes goûts personnels'', '''je n’hésitai pas à accepter et à abandonner la carrière militaire pour entrer dans l’industrie'''". <ref name="Krebs_1924" /> <ref> '''1897''' - '''Les dernières appréciations hiérarchiques''' sur A. C. KREBS lors de l'inspection générale des pompiers de Paris. '''Le chef de corps''' : "''Officier supérieur d’une grande valeur qui, sans négliger en rien son instruction militaire, continue à faire bénéficier le régiment de sapeurs-pompiers de ses connaissances scientifiques variées et très étendues en apportant au matériel d’incendie tous les perfectionnements dont il est susceptible. M. le Commandant Krebs est, en somme, un très bon militaire doublé d’un ingénieur distingué''". '''Le général de brigade''' : "''Intelligence vive. Connaissances scientifiques très étendues. Possède, au point de vue de leur application, des aptitudes remarquables. Vigoureux, actif, décidé, et très bien doué aussi, sous le rapport de l’aptitude au commandement, des qualités militaires et des connaissances professionnelles. En résumé c’est un officier d’un mérite supérieur qu’il y a intérêt à faire avancer rapidement.''"</ref> "''J'ai connu '''M. [[w:Gottlieb Daimler|Daimler]] en 1897, lorsque je suis allé lui rendre visite à Cannstadt, en Allemagne''', en octobre. Dans la maison où il habitait, il m'a montré le laboratoire et l'atelier où il avait étudié et construit son premier petit moteur, puis le premier véhicule sur lequel il a fait ses premiers essais.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> === '''Voitures de course''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor racing automobiles|'''''Voitures de course Panhard & Levassor''''']], [[commons:Category:Compétition automobile|'''''Compétition automobile''''']], [[commons:Category:Sport automobile en France|'''''Sport automobile en France''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Compétition_automobile#Histoire|Histoire de la compétition_automobile]], [[w:Compétition automobile avant 1906|Compétition automobile avant 1906]] <br>"''Les débuts ne furent pas sans difficulté. Il fallut d’abord acquérir la sympathie d’un personnel technique très fermé et jaloux de son expérience. Quelques perfectionnements que j’introduisais de suite dans certains organes mécaniques et l’année suivante le succès des 4 voitures de la Maison dans la course "[[w:Paris-Amsterdam-Paris|Paris-Amsterdam]]" (les voitures arrivant premières à toutes les étapes), me gagnèrent la confiance du personnel.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1898 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl - Paris-Amsterdam.jpg|'''1898''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl - Paris-Amsterdam'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''12cv Paris-Bordeaux'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl-80x120-1000rpm.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl 80x120 1000rpm'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=16cv Tour de France.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''16cv Tour de France'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=20cv Paris-Toulouse.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''20cv Paris-Toulouse'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère Paris-Bordeaux.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère - Paris-Bordeaux'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-1.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-2.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=60cv-avec ressort AV transversal.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''60cv with transverse front spring'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=70cv Paris-Madrid.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=vue du moteur.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid - view of the engine'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903~A.C.KREBS Album-Courses=40cv.jpg|'''1903''' ~ Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv'''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> '''Catégories''' : [[commons:Category:1898_Paris-Amsterdam-Paris_race|'''''1898 course Paris-Amsterdam-Paris''''']], [[commons:Category:1904 Vanderbilt Cup|'''''1904 Coupe Vanderbilt''''']], [[commons:Category:1906 French Grand Prix (photographs)|'''''1906 Grand Prix''''']], [[commons:Category:1907 French Grand Prix|'''''1907 Grand Prix''''']], [[commons:Category:Panhard & Levassor type 120CV (1908)|'''''Panhard & Levassor type 120CV (1908)''''']] ==== '''1898''' - [[w:Paris-Amsterdam-Paris|Course '''Paris-Amsterdam-Paris''']] ==== Premiers perfectionnements : * Le volant de direction * La [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0155/100/512/10/458 direction irréversible à vis sans fin et secteur denté] * L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur l'essieu directeur * Les pneus * L'abaissement du centre de gravité ==== '''1904''' - 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] ==== L'américain [[w:George Heath|George Heath]] gagne la 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] à New York sur une [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/search/catch_all_fields_mt%3A%28vanderbilt%201904%29%20OR%20catch_all_fields_et%3A%28vanderbilt%201904%29 voiture Panhard & Levassor] à cardan conçue par A. C. KREBS. <gallery> File:Maurice Farman, vainqueur du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur Panhard.jpg|'''1901''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur une Panhard. File:Maurice Farman, vainqueur du circuit du Nord en mai 1902 (sur Panhard).jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du 'Circuit du Nord' en mai 1902 sur une Panhard. File:Maurice Farman sur Panhard, cinquième au Paris-Vienne 1902.jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], 5° sur la [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Paris-Vienna_race course Paris-Vienne] sur une Panhard. File:Pierre de Crawhez, vainqueur du Circuit des Ardennes en juin 1903.jpg|'''1903''' - Pierre de Crawhez, vainqueur du [[w:Circuit_automobile_des_Ardennes|'''Circuit des Ardennes''']] sur voiture Panhard & Levassor. File:Henri Farman, sur Panhard 100 hp en 1904.jpg|'''1904''' - La [[w:Coupe_automobile_Gordon_Bennett|'''coupe Gordon Bennett''']] : Henri Farman sur Panhard 100 hp. File:George Heath, vainqueur de la première Coupe Vanderbilt 1904 sur Panhard, au circuit de Manhattan (La Vie au Grand Air du 27 octobre 1904).jpg|'''1904''' - '''[[w:George Heath|George Heath]] (N°7), gagnant''' de la première [[w:https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_Vanderbilt|'''coupe Vanderbilt]] sur une Panhard à cardan''', à Manhattan.<ref>'''1904''' - The Automobile MAGAZINE : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1904-11_6_11/page/n5/mode/2up ''"Winning of the Vanderbilt Cup"''].</ref> File:1904 Vanderbilt-Cup=Heath winner on n°7.png|'''1904''' - '''Video''' : [https://www.loc.gov/item/00564552/ Automobile race for the '''Vanderbilt Cup'''] in New-York. File:1905-01-07 - La Vie Parisienne - caricature Heath sur Panhard & Levassor.jpg|'''1905''' - Caricature du '''conducteur de voitures américain, [[w:George Heath|George Heath]]''' sur Panhard & Levassor. File:1905-01 - The AUTOMOTOR JOURNAL - The 120-h.p. Four-cylinder engine of the Panhard-Levassor Gordon-Bennett race car.pdf|'''1905''' - La voiture '''120hp Panhard-Levassor avec transmission à cardan''' de la course Gordon-Bennett. File:Principales victoires Panhard de 1894 à 1905.jpg |'''1894-1905''' - '''Histoire de l'automobile''' ([[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]]) : ''"'''Principales victoires Panhard & Levassor'''"''. <ref>'''1907''' - [[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]] : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5495467j/f784.item.r ''Histoire de l'automobile'']</ref> File:Henry Farman, George Heath and Henri Cissac at the 1908 French Grand Prix at Dieppe.jpg|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henry Farman], [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath] et [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] au '''Grand Prix de Dieppe''' de 1908 sur voitures de course Panhard de 120cv. File:Panhard & Levassor "Biplace Course" - 1908.jpg|'''1908''' - '''Video''' : Le moteur de [https://www.youtube.com/watch?v=JBDunOxO8IY la voiture de course Panhard du Grand Prix] '''conçu par A. C. KREBS'''. File:Paris - Retromobile 2012 - Grand Prix Panhard – Levassor 12.5 Litres - 1908 - 005.jpg|'''1908''' - '''Video''' : [https://www.youtube.com/watch?v=1CmYKxIhJU8 la voiture de course Panhard & Levassor du Grand Prix] '''conçue par A. C. KREBS'''. </gallery> "''Pendant mes 18 années de Direction, je n’ai eu qu’à me louer du concours dévoué de tous mes collaborateurs, que j’ai toujours trouvés disposés à me seconder pour mener à bien les modifications ou dispositions nouvelles introduites dans les organes mécaniques des voitures. ''Il est inutile de les rappeler ici en détail. Celles que je signale volontiers parce qu’elles m’ont procuré de grandes satisfactions personnelles sont : * ''L'[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/121/100/512/10/458 '''équilibrage des moteurs''']; * ''Le '''carburateur automatique''' permettant de faire varier la vitesse du moteur et de lui donner une souplesse que le réglage par tout ou rien ne permettait pas ; * ''Le '''frein dynamométrique''' pour l’essai des moteurs à grande vitesse de rotation, donnant la mesure du travail sur l’arbre suivant la formule de [[w:Frein de Prony|Prony]], en récupérant sous forme électrique 90% environ de l’énergie produite, etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Equilibrage des moteurs === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Mechanical vibrations|'''''Vibrations méchaniques''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Vilebrequin (moteur)|Vilebrequin (moteur)]], [[w:Vibration|Vibration]], [[w:Système bielle-manivelle|Système bielle-manivelle]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1901''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-08_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR306968_-_%27Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quilibrage_des_moteurs_%C3%A0_deux_cylindres%27.pdf '''FR'''306968A] || ''Système d'équilibrage des moteurs à deux cylindres'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423830/publication/GB190114881A?q=GB190114881A '''GB'''190114881A] || ''A System of Equilibrium for Motors Having Two Cylinders'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513025/publication/AT13992B?q=AT13992B '''AT'''13992B] || ''Device for balancing masses in engines with two adjacent cylinders'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002847027/publication/US778542A?q=US778542A '''US'''778542A] || ''System of Equilibrium For Motors'' |- |} === Le "'''''carburateur Krebs'''''" === '''Catégories''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']], [[commons:Category:Engine fuel system technology|'''''Systèmes d'alimentation des moteurs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]] <br>Le carburateur Krebs peut être considéré comme '''le premier [[w:Carburateur|carburateur automatique]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A brevet 1902]) et '''le premier [[W:Carburateur#Carburateur_%C3%A0_d%C3%A9pression|carburateur à membrane]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A brevet 1908]). '''1906''' - "''A l'heure actuelle nous ne maîtrisons pas suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il est possible de transformer en travail seulement une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''" <ref>'''1906''' - Le : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=61 témoignade de A. C. KREBS au procès Selden à New York] : "''XQ96. Vous n'avez cité que le nom de Beau de Rochas. Connaissez-vous d'autres autorités ? R96. Tous ceux qui étudient ce sujet en vue d'en établir la théorie sont intéressants, mais nous ne possédons pas encore suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il n'est possible de transformer en travail qu'une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''" </ref> <gallery> File:1902-11-24 – Académie des sciences - la théorie du carburateur KREBS.jpg|'''1902-11-24''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&page=900 '''La théorie du carburateur Krebs''']: En permettant au moteur à combustion de développer sa puissance en fonction du nombre de tours, le carburateur Krebs lui permet en 1902 '''de gagner la bataille contre les moteurs électriques et à vapeur'''. <ref>Nous pourrions également dire que le carburateur KREBS introduit "'''l'épure de la Tour Eiffel dans la carburation automobile'''".</ref> File:1902-10-11 Krebs Automatic Carburetor (FR325241, GB190222655, US734421A).png|'''1902''' - Le "'''carburateur Krebs'''" est le premier carburateur à dépression constante automatique. File:1903-02-14. scientific-american-v88-n07=Krebs carburetor.pdf |'''1903-02-14''' - '''Scientific-American''' : "The Krebs '''automatic carbureter''' for gasoline engines". File:1910-11-24 motor-age 1910-11-24 18 21=le carburateur Krebs de 1908 est en vogue aux US.png|'''1910''' - '''Motor Age''' : Le [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''carburateur Krebs de 1908'''] avec '''"metering pin"''' est "'''''en vogue'''''" en Amérique. <ref>[https://archive.org/details/sim_motor-age_1910-11-24_18_21/mode/2up?q=krebs '''1910'''-11-24 - '''Motor-Age'''] : "''Le carburateur de type Krebs est en vogue ; il est conçu pour réguler le débit d'essence au moyen d'un pointeau relié à une soupape à membrane.''."</ref> File:1915-09-02 motor-age 1915-09-02 28 10=pub carburateur Longuemare aux US 'En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile' - Copie.png|'''1915''' - '''Motor-Age''' - Publicité [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65121561/f66.image.r=Longuemare Longuemare] : '''En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile'''"''. File:1912 - Brevet Panhard & Levassor FR458736A - Carburateur Krebs sans pièce mobile.pdf|page 3|'''1912''' - Brevet A. C. Krebs de '''carburateur sans pièce mobile''' : [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A]. File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manoeuvre=le carburateur double-corps.pdf|'''1913''' - Le '''carburateur double-corps''' de A. C. KREBS. </gallery> '''1903''' - '''The automobile''' : "''Le but visé est '''un degré constant de carburation à toutes les vitesses''', chaque coup de piston développant la même quantité de puissance, et '''la puissance totale du moteur étant par conséquent directement proportionnelle à sa vitesse'''. De plus, la carburation peut être maintenue à ses limites les plus basses possibles, et elle est parfaitement automatique et indépendante des variations de la température atmosphérique. La carburation est toujours bonne. Le réglage habituel du tableau de bord pour l'air supplémentaire et une alimentation spéciale en air chaud ne sont pas nécessaires : le réchauffement de la chambre de mélange avec l'eau de la chemise du moteur maintient une température constante. '''Le moteur peut fonctionner à une très faible vitesse sans diminuer son efficacité'''. Par exemple, comme le rapporte le ''Automotor Journal'', si le levier de changement de vitesse est placé sur la troisième vitesse, ce qui pourrait normalement donner une vitesse de 50 km à l'heure, et que l'on souhaite tourner à seulement un cinquième de cette vitesse, la vitesse du moteur est réduite à un cinquième, disons de 1 000 à 200 tours par minute ; Bien sûr, la puissance totale est diminuée, mais '''la puissance de chaque coup reste la même'''. '''Le nouveau carburateur Krebs répond donc largement à l'un des principaux besoins du moteur à essence : la flexibilité'''.''" <ref>'''1903''' - '''The automobile''' : [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/140/mode/2up?q=krebs ''The Krebs carburetter''.]</ref> '''1913-05-26''' - Comité de direction Panhard & Levassor : "'' '''Les États-Unis demandent à acheter notre brevet de carburateur 1903''', brevet qui a encore une validité de 5 ans. Nous adressons 2 propositions : 1° Vente du brevet pour 10.000 $, 2° licence pour cash 2000 $, plus 1 $ par carburateur''." <ref>'''1913-05-26''' - [http://rytmo.net/ACK/1913-1915_P&L_CR.html Comité de direction Panhard & Levassor]</ref> '''1919''' - "''Au début du XXe siècle, l'ingénieur français '''Krebs''' inventa ce que l'on peut appeler '''le premier carburateur automatique''' dans lequel le mélange était réglé automatiquement par la vitesse du moteur ; '''une souplesse''' jusqu'alors insoupçonnée était ainsi obtenue. Cette invention a ouvert la voie et inspiré un grand nombre d'autres inventions plus ou moins méritantes'' [...] '''Le type Krebs peut aujourd'hui être considéré comme la forme la plus simple de carburateur qui fonctionne de manière satisfaisante''' et il existe aujourd'hui plusieurs modèles différents fabriqués sur la base du seul principe de la soupape d'air auxiliaire. Dans ces modèles, le problème est résolu de différentes manières.'' [...] ''Bien qu'ils diffèrent tous dans les détails de la conception, ils sont néanmoins '''basés sur le principe de la soupape d'air auxiliaire telle qu'elle a été élaborée à l'origine par Krebs'''. <ref>'''1919''' - '''Motor truck and automobile motors and mechanism''' : "[https://archive.org/details/motortruckandau01rathgoog/page/n90/mode/2up?q=krebs ''A practical illustrated treatise on the power plant and motive parts of the modern vehicle, for owners, operators and repairmen'']."</ref> voir infra: [[w:Arthur_Constantin_Krebs#Carburateurs|Tous les brevets de carburateurs de A. C. KREBS]]. {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] || '''Le carburateur Krebs ''' ([https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 voir supra]) : ''Un carburateur à réglage automatique'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A] || ''Improvements in Oil Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C] || ''A carburator for internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A] || ''Fuel-governor for oil-engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''778542A + '''CA'''83889A] || ''Oil Machine'' |- |} === Frein dynamométrique === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Dynamometers|'''''Dynamomètres''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Dynamomètre|Dynamomètre]], [[w:Frein de Prony|Frein de Prony]] <br>'''1905-11-13''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&page=757 '''Académie des sciences''']: "''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé.''". <gallery> File:1905-12-09 La-Revue-Industrielle=le dynamo-dynamomètre de Krebs.jpg|'''1905''' - La Revue Industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774687p/f572.image.r=krebs '''Le dynamo-dynamomètre de A. C. KREBS''' chez Panhard & Levassor]. File:1907-1908 - Cashier's Magazine - the A. C. KREBS dynamo-dynamometer at Panhard & Levassor.png|'''1907''' - Le '''dynamo-dynamomètre''' de A. C. KREBS : "''Le moteur Panhard & Levassor 24 CV 4 cylindres [https://archive.org/details/cassiersmagazi331907newy/page/272/mode/2up?q=panhard ''connecté au frein et à la dynamo dans la salle d'essai'']". <ref>'''1906-12''' - '''The Electrician''' Vol 58 : [https://archive.org/details/the-electrician-vol-58/page/302/mode/2up?q=%22commander+krebs%22 "'''UN DYNAMOMETRE ELECTRIQUE'''"]. </ref> File:1909-09-02 MOTOR-AGE=SKETCH OF ELECTRIC CRADLE DYNAMOMETER.pdf|'''1909''' - '''MOTOR-AGE''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs Schéma d'un dynamomètre à berceau électrique]: "Le '''''commandant Krebs''''' ''semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau.''". <ref>'''1909-08-26''' - '''Motor Age''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs SCHÉMA D'UN DYNAMOMÈTRE ÉLECTRIQUE À BERCEAU] [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-09-02_16_10/page/30/mode/2up?q=dynamometer suite] : "''Le commandant Krebs, de la société Panhard & Levassor, semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau pour tester les moteurs à essence de voitures, et plusieurs membres de cette société l'ont utilisé avec succès pendant de nombreuses années.''". </ref> File:ITALTEC=5180=dynamomètre.jpg|'''Aujourd'hui''' - De nombreux [http://www.italtec.it/enemm07.htm '''freins et & couplemètres'''] utilisent les principes du frein dynamométrique de A. C. KREBS. </gallery> === La "'''''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''''" et [[w:Adolphe_Clément-Bayard|'''Adolphe CLEMENT''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Clément-Panhard vehicles|'''''Véhicules Clément-Panhard''''']], [[commons:Category:Adolphe Clément-Bayard|'''''Adolphe Clément-Bayard''''']] '''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f516 ''La voiturette Krebs (Panhard & Levassor)''] avec une carrosserie en [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/38/100/512/10/458 partinium]. '''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333426/f16.item 2 VCP au stand Clément] du salon de l'auto à Paris. '''1902-05''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f103.item une VCP exposée au Salon de l'alcool] sur le stand P&L. <gallery> File:Adolphe Clément au Tour de France auto 1899 (cropped).jpg|'''1899''' - '''Adolphe Clément-Bayard''' (1855-1928). File:1899-05-06 THE-AUTOCAR='The light Panhard car' la VCP de P&L.pdf |'''1899-05-06''' - THE-AUTOCAR: "''The light Panhard car''". La ''Voiture Clément-Panhard'' (VCP) est la version mécanique de la voiture système A. C. KREBS à boîte de vitesses électromagnétique. File:1900 VCP=Voiturette Clément créée par le commandant Krebs (Ferrus et Genty=photo du bloc-moteur.jpg |'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v/f177.image.r=krebs Photo du bloc-moteur de la VCP] : "''La Voiturette Clément-Panhard créée par le Commandant Krebs possède les mêmes qualités de fond que les grosses voitures construites dans l'usine dirigée par ce savant ingénieur.''" File:1900~Clément-Panhard-on-1900~the-web=Herbert Farthing collected his Clément-Panhard from the docks at Southampton.jpg |'''1900''' - M. Herbert Farthing a récupéré sa Clément-Panhard (VCP) sur les quais de Southampton. <ref name=VCP /> File:1901 Cycles Automobiles Clément=pub VCP.jpg |'''1901''' - "''Cycles Automobiles Clément''" - Catalogue des voitures '''Clément-Panhard''' (Brevets Panhard & Levassor) conçues par A. C. KREBS. <ref>'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52503781s/f1.item.zoom '''Cycles Automobiles Clément'''] - Publicité pour les voitures '''Clément-Panhard (VCP)''' conçues par A. C. KREBS.</ref> File:1901 - Voiture Clément-Panhard (VCP) - manuel complet et nouvelle carrosserie.pdf|'''1901''' - Voiture Clément-Panhard (VCP) : '''Manuel d'utilisation complet et nouvelle carrosserie'''. File:1901 Panhard & Levassor - advertising postcards for the Voiture Clément-Panhard (VCP).png |'''1901''' - Cartes postales publicitaires pour la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) : "''Qu'attendent-ils ? Ah ! ça ne peut être qu'une ... voiture Clément-Panhard''". File:1899 Panhard et Levassor - la Voiture Clement-Panhard 'The mechanical nightmare'.webm |'''2004''' - Panhard & Levassor '''1899''' - la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) de A. C. KREBS : "'''''Un cauchemard mécanique !'''''".<ref name=VCP /> File:Clement-Panhard Phaeton VGP (1900) jm63708.jpg|'''1898-1902''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) : [http://rbmn.free.fr/TheVoitureClement-Panhard.pdf '''''Article détaillé''''']. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] || '''L'embrayage Krebs à friction''' : ''Perfectionnements aux embrayages'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] || ''Improvements in Friction Couplings'' |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || '''La boîte de vitesses mécanique Krebs [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f235.image.r=panhard à engrenages toujours en prise]''' : ''Perfectionnements aux transmissions avec changement de vitesse'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars'' |- | '''1898''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] || '''Le brevet de Voiture Clément-Panhard avec la régulation du moteur sur l'admission''' : ''Un système de voiture légère à moteur à pétrole'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] || ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- |} === La "''stabilité de route''" === '''Catégories''' : [[commons:Category:Steering|Direction]], [[commons:Category:Direction_(automobile)|'''''Direction (automobile)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Direction_(automobile)|Direction_(automobile)]], [[w:Sécurité active|Sécurité active]], [[w:Tenue de route|Tenue de route]] <br>"''La question de la direction est une de celles que j'ai abordées vers la fin de 1897, dès que j'eus acquis une connaissance suffisante du fonctionnement et de l'organisation de la maison Panhard & Levassor. Ce nouveau dispositif de direction [[w:Panhard|P&L]] n'était autre chose qu'une adaptation de moyens déjà connus et utilisés depuis fort longtemps pour le même objet.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> En ce qui concerne la direction automobile '''A. C. KREBS préconise''' : * La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f389 '''direction irreversible'''] * Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476571r/f8.item '''quadrilatère Jeantaud extérieur'''] de Panhard & Levassor * '''1898''' - A. C. KREBS implémente ses solutions sur ses voitures de la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f662.item.r=panhard '''course Paris-Amsterdam-Paris'''] (cf. infra). === '''L'Exposition Universelle de Paris - 1900''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1900)|'''''Exposition Universelle (1900)''''']], [[commons:Category:Moving sidewalk, Exposition Universelle (1900)|'''''Trottoir roulant, Exposition Universelle (1900)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1900|Exposition universelle de 1900]] <gallery> File:S03 06 01 015 image 1918.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : Vue aérienne, Paris, France. File:Historical images of Place de la Concorde.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : '''Place de la Concorde'''. File:Paris Exposition rolling platform, Paris, France, 1900.jpg|'''1900''' - '''Le trottoir roulant''' à 7 mètres de hauteur, doublé par un chemin de fer électrique circulant en sens inverse. File:Plateforme_mobile,_station_du_pont_des_Invalides.jpg|'''1900''' - '''Plateforme mobile, station du pont des Invalides''' : Les deux trottoirs ne se déplacent pas à la même vitesse. File:1900 - The Paris Exposition Universelle.webm|'''1900''' - '''Video''' : Compilation de séquences de l' '''Exposition universelle de Paris''' constituées de bobines subsistantes. File:Exposition Universelle internationale de 1900 (11Fi 1289).jpg|'''1900''' - '''Hall des Machines''' : La section française. File:1900 - Pompiers de Paris - Les fourgons électriques.jpg|'''1900''' - Sapeurs-pompiers de Paris - '''Les fourgons électriques''' conçus par A. C. KREBS. <ref>'''1901''' - [https://archive.org/details/reportofcommissi05unit_0/page/n285/mode/2up Report of the Commissioner-General for the United States] to the '''International universal exposition, Paris, 1900''' : "''Les véhicules de pompiers exposés en France étaient très nombreux, mais en règle générale, ils n'étaient pas à la hauteur des normes établies par d'autres nations. La seule exception était l'exposition de la ville de Paris, qui contenait plusieurs '''bonnes machines fabriquées dans les ateliers des pompiers'''. Une nouveauté dans cette exposition était '''le véhicule de pompiers électrique'''. La pompe était entraînée électriquement et sur le fourgon se trouvait une batterie de stockage capable de fournir un courant suffisant pour faire fonctionner la pompe pendant dix minutes, après quoi on espère pouvoir établir une connexion avec des fils électriques à proximité de l'incendie et conserver un courant approprié. L'appareil fonctionnait de manière très satisfaisante et il semble à l'auteur '''que de telles pompes électriques devraient trouver un usage étendu dans les villes où les fils électriques se trouvent presque partout'''. La ville de Paris a également exposé une échelle à incendie de fabrication française qui était un modèle à bien des égards.''".</ref> File:S03 06 01 015 image 9903.jpg|'''1900''' - '''La Tour Eiffel''' illuminée. File:Les courses de ballons à Vincennes.jpg|'''1900''' - Les '''courses de ballons''' à Vincennes. File:1908 - Pierre Bonnard et Octave Mirbeau - La-628-E8.jpg|'''1905''' - '''[[w:La 628-E8|La 628-E8]]''' : Premiers raids automobiles. </gallery> ==== Pendant l'Exposition A. C. KREBS est ... ==== * Membre de la [https://archive.org/details/reportofcommissi06unit_0/page/346/mode/2up?q=krebs '''Commission scientifique d'aérostation'''] (Classe 34, Groupe VI) * Membre du comité d'études des [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.image.r=krebs '''mesures de sécurité contre l'incendie'''] * Membre des [https://digital.la84.org/digital/collection/p17103coll8/id/6432 Concours Internationaux d'exercices physiques et de sports]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v.r=%22%20%20Les%20Automobiles%20%C3%A0%20l%27Exposition%20de%201900%22?rk=64378;0# '''Automobilisme'''] (Section VII) * Membre de la '''Commission Internationale de courses Automobiles''' * Secretaire du '''Jury de la commission de mécanique générale, des matériaux et procédés''' (Classe 20, group IV) : Panhard & Levassor standout * Membre du '''Jury des compétitions nautiques''' * Licencié du brevet de voiture [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9395781/f113.item.r=lohner '''pétrole-electrique Lohner-Porsche'''] pour Panhard & Levassor. * Membre du [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/7/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F6%2FstTxt%2F%26&catsel1=stTxt&mot_cat1=krebs&ope5=AND&catsel5=id&mot_cat5=8XAE505&var_solr_qs=2#l-7 '''Congrès international d'automobilisme''' de 1900] et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f10.image.r=krebs 1903] * Nommé '''officier de la Légion d'honneur'''. ==== La rumeur sur le moteur extra-léger du commandant Krebs ==== * '''22/07/1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96060679/f3.image.r=krebs '''La Vie au grand air'''] : "''Il paraît que le commandant Krebs vient de mettre la dernière main à un moteur fort curieux, basé sur des principes tout à fait originaux. Le moteur qui pèseerait à peine le poids d'un douze chevaux ordinaire ferait cinquante bons chevaux''.[...]" * '''27/07/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k560406z/f4.item '''Le Petit parisien'''] : "[...] ''Laissant aujourd'hui de côté le ballon gonflé de gaz et, partant, plus léger que l'air, le commandant Krebs adopte la théorie du plus lourd que l'air. L'aéroplane c'est tout ce que nous avons pu savoir sera composé de plans inclinés et d'hélices mues par un moteur à pétrole de grande puissance. Et, c'est la que réside la difficulté, et qui, nous assure-t-on serait résolue ce moteur extra-léger, ne pèsera que cinq kilos par cheval de force. Disons enfin que l'appareil une fois construit sera probablement piloté par Maurice Farman, bien connu déjà pour ses nombreuses ascensions en hallons libres et ses tentatives de records aéronautiques. Est-ce cette fois que l'atmosphère définitivement vaincue devra, comme les autres éléments, se plier à la volonté du génie humain ? Souhaitons-le, en attendant les expériences du nouveau navire aérien !''" * '''07/08/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5381135s/f2.item '''L'Express du Midi'''] : "[...] ''En l'absence de M. Krebs, un de ses intimes [Ch. de Fréminville] a déclaré à notre confrère [le Figaro] que le commandant a complètement cessé de s'occuper de navigation aérienne, qu'il ne se soucie donc pas de prendre part à la lutte ouverte par les différentes personnalités qui travaillaient à découvrir la direction des ballons. Enfin, que le moteur dont a parlé le Figaro fonctionne déjà, mais n'est pas autre chose qu'un moteur de voiture que les aéronautes évidemment pourront, s'ils le veulent, employer''." ==== La polémique entre les ballons de Santos-Dumont et de Renard & Krebs ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Alberto Santos-Dumont|'''''Alberto Santos-Dumont''''']] * '''11/06/1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6508500m/f13.item '''Le Génie civil'''] - "[...] ''Laissons à chacun son mérite : à [[w:Alberto_Santos-Dumont|M. Santos-Dumont]], le sang-froid, l'agilité qui le font sortir indemne de tous les périls, et que surexite sans doute un certain amour de la renommée ; à MM. Renard et Krebs, la science réfléchie qui n'accepte que les solutions mûries sagement et ne sacrifie pas à la vaine réclame. On aura beau faire et dire, ce n'est pas ce qui leur enlèvera l'honneur d'être, et pour toujours, les véritables créateurs du ballon automobile'' [...]." * '''1905''' - [https://archive.org/details/standardlibraryo00unse/page/36/mode/2up?q=krebs '''Standard libray of knowledge'''] : "''Not only M. Santos-Dumont, but the whole body of airship inventors through¬ out the world are profoundly interested in the subject. France is the leading country in practical aerial navigation, but Germany,England and other countries are giving much attention to the subject. One of the most notable air vehicles is the balloon “ La France,” the invention of the brothers Colonel and Major Renard and of Major Krebs, of the French army. '''It is claimed that this machine in 1884 fulfilled the conditions established for the Deutsch prize, which Santos-Dumont won in Paris'''. Motors were at that time only in a rudimentary stage of develop¬ ment. Many Frenchmen declare that if “La France”could have taken part in this competition it would incontestably have won the prize of twenty thousand dollars. Colonel Renard was occupied with his military duties and was absolutely prevented from taking part''." === Recherches métallurgiques avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de FREMINVILLE''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Fractography|'''''Fractographie''''']], [[commons:Category:Material cracks|'''''Rupture des matériaux''''']], [[commons:Category:Vanadium|'''''Vanadium''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fragilité|Fragilité]], [[w:Faciès de rupture|Faciès de rupture]], [[w:Fatigue (matériau)|Fatigue (matériau)]], [[w:Rupture (matériau)|Rupture (matériau)]], [[w:Vanadium|Vanadium]] <br>"''En '''1898''', je pris auprès de moi, pour me seconder, mon beau-frère M. [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|Charles de Fréminville]], ingénieur des Arts et Manufactures, qui s’occupa plus spécialement de la partie administrative des ateliers, de l’organisation du travail, du choix et traitement des métaux employés dans la fabrication, etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> "''Il lui fallut faire son choix parmi des métaux alors nouveaux et dont les qualités et les défauts étaient peu connus et souvent mal compris. La construction et le fonctionnement de l'automobile firent naître une nouvelle conception de la résistance des matériaux.''." <ref> '''1926''' - '''Mechanical engineering''' : [https://archive.org/details/mechanicalengine42amer/page/72/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 CHARLES DE FREMINVILLE ÉLU MEMBRE HONORAIRE DE LA A.S.M.E.]</ref> <gallery> File:1909 FORD-T=publicité avec l'acier au vanadium.png|'''1905''' - '''Henry FORD''' : ''"'''Il me semblait que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que ce que nous pensions.'''. Après l'accident ''['''d'une voiture de course Panhard''']'' J'ai récupéré une petite tige de soupape ''['''fabriquée avec du vanadium''']''. C'était très léger et très solide.''" <ref name=vanadium /> File:1906-12-06 Motor-Age=analyse des métaux utilisés dans les voitures P&L.png|'''1906''' - '''TEST OF A PANHARD GEAR''' : "''Il arriva bientôt que les ingénieurs automobiles américains commencèrent à se demander pourquoi, dans une voiture étrangère, une pièce donnée fonctionnait parfaitement alors que dans une voiture américaine, la même pièce de même taille, effectuant un travail identique, se déformait.''" [<small>...</small>] <ref>[https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-06_10_23/page/n113/mode/2up?q=panhard '''1906'''-12-06 - '''Motor-Age'''], [https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-13_10_24/page/16/mode/2up (Suite)] : "''Produits sidérurgiques étrangers pour moteurs''".</ref> File:1913-03-20 Ch-de-Fréminville=croquis de la vue de sa chambre du 12° étage de l'hôtel Belmont à New York.jpg|'''1913''' - While in the United States to study the Taylor method, '''Ch. de Fréminville''' to his wife:"'''''All these people''''' [the Packard factory in Detroit] '''''slavishly copied the parts that Arthur ''[KREBS]'' designed, and executed them with the metals that I chose'''''". [<small>...</small>] <ref name=Fréminville /> File:1919 - Charles de Fréminville=Portrait.jpg|'''1919''' - '''Charles de Fréminville''' (1856-1936) : Ce portrait a été exécuté par un photographe américain pendant son séjour aux USA dans le cadre de ses recherches sur la méthode Taylor, peu après son départ des usines '''Panhard & Levassor''' où il travaillait depuis '''1899''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''. [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville'']. File:2009 G. Quinn='A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS'=chronology with Charles de Fréminville.jpg|'''2009''' - [https://www.scientific.net/KEM.409.1 'A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS' (G. Quinn)]: Chronologie avec '''Charles de Fréminville''' quand il travaillait chez '''Panhard & Levassor''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''. </gallery> '''1904''' - '''The brittleness of steel''' ([[w:Henry_Le_Chatelier|H. Le Chatelier]]) : "''M. '''de Fréminville''' a découvert cette particularité qu'après avoir été soumis à un certain traitement thermique, certains aciers spéciaux nécessitaient pour être rompus transversalement au choc, une quantité d'énergie bien supérieure à celle requise dans les essais de traction ordinaires''." <ref>'''1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61950g/f9.item.r=freminville '''The brittleness of steel'''] (H. Le Chatelier)</ref> '''1913-04-04''' - '''Ch. de Fréminville à sa femme''' : "J'ai réalisé ''' le projet que j'avais fait de mouler le trou fait par une balle dans la glace du [https://carriagemuseumlibrary.org/wp-content/uploads/2014/06/heal16.jpg building du Général Healey] [à New York]'''. Le [https://carriagemuseumlibrary.org/home/library-archives/carriage-manufacturers/healey-company-of-new-york/ General Healey] m'a du reste fait remarquer qu'il y en avait autant sur presque toutes les glaces de son building. Il y a un grand choix. J'avais été hier faire ma provision de plâtre chez un italien. Quel quartier ! C'est pourtant à deux pas du quartier chic et ce n'est pas un quartier mal réputé. Mon moulage a admirablement réussi. J'ai cru qu'il allait y avoir un attroupement considérable derrière la glace pendant que j'opérais en manches de chemise - comme un bon Américain. '''Et tous ces gens là ne savaient pas ce qu'ils regardaient et n'auraient jamais regardé une cassure'''. Heureusement que deux pompes à vapeur [d'incendie] ont passé coup sur coup. Tous ces admirateurs m'ont abandonné." <ref name=Fréminville /> '''1915''' - C. DE FREMINVILLE quitte Panhard & Levassor <ref name=CdF/> Chevalier légion d'honneur * 1899: Laboratoire de mécanique et laboratoire de chimie * 1900: Essais de résistance des aciers durs aux chocs * 1901-06-03 - L'acier au nickel * 1902: cylindres en acier forgé * L'acier au vanadium * L'acier au cobalt (stellite) {| class="wikitable" |- ! Date !! Review !! Article |- | '''1903''' || Association internationale des Méthodes d'essais des matériaux de construction || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475620g/f15.image.r=FREl%20IINVILLE L'essai au choc ou choix des métaux] |- | '''1906''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/07/metal19060307p423/metal19060307p423.html Essai d'une scie sans dents pour le sectionnement d'aciers durs ordinaires et d'aciers à outils] |- | '''1906''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/03/metal19060303p109/metal19060303p109.html Influence des vibrations dans les phénomènes de fragilité] |- | '''1907''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1907/09/metal19070409p833/metal19070409p833.html Caractères des vibrations accompagnant le choc déduits de l'examen des cassures] |- | '''1908''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1908/06/metal19080506p329/metal19080506p329.html Remarques sur les rebondissements d’une bille et les renseignements qu’ils peuvent donner sur la dureté et l’élasticité des corps] |- | '''1914''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1914/09/metal19141109p971/metal19141109p971.html Recherches sur la fragilité — L’Éclatement] |- |- | '''1918''' || Scientific American Supplement || [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] |- |- | || || [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-26_86_2234/page/264/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—II - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] |} === Bateaux à moteur et bateaux de course avec [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_aéronautique)|'''Alphonse TELLIER''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Motorboats|'''''Bateaux à moteur''''']], [[commons:Category:Hull speed|'''''Vitesse de coque''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Bateau à moteur|Bateau à moteur]], [[w:Motonautisme (sport)|Motonautisme (sport)]], [[w:Coque_(bateau)|Coque_(bateau)]], [[w:Vitesse de coque|Vitesse de coque]], [[w:Hélice#Hélice_marine|Hélice_marine]], [[w:Hélice à pas variable (marine)|Hélice à pas variable (marine)]] <br>'''1895''' - A. C. KREBS fut le principal promoteur de la navigation automobile en Europe dès '''1895'''. <ref>'''1902''' - [https://archive.org/details/lemondemoderne15pari/page/344/mode/2up?q=krebs '''Le Monde moderne''', p345]: "''Il faut attendre '''1895''' pour assister à l'entrée en scène sensationnelle d'un canot automobile dans les concours. '''Le commandant Krebs fut l'un des promoteurs les plus hardis de la navigation mécanique''' : ce fut en effet grâce à ses études et à ses encouragements que la société Panhard et Levassor construisit un moteur de 16 chevaux, capable de donner une vitesse de 18 kilomètres au canot sur lequel il était monté ; le jour où on le vit à Meulan, aux régates du "[https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_la_voile_de_Paris Cercle de la Voile]", fut une date importante dans l'histoire de ce sport.''"</ref> '''1903-12''' - '''Automobile Magazine''' : "''Là où la vitesse prime : Prenons comme excellent exemple ce nouveau type de bateau de course, le '''Lutece'''''".<ref>'''1903-12''' - Automobile Magazine : " [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1903-12_5_12/page/1128/mode/2up?q=panhard ''Là où la vitesse prime'']."</ref> 1904-02-27_10_The-Automobile='Auto Boats at the Sportsmen’s Show.' : The Panhard boat furnishes the same tune in its engines as in automobiles. When running, the four-cylinder motor throbs with that rythmic sound so soothing to the motorist. <gallery> File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - le canot PHENIX à moteur Panhard & Levassor.jpg|'''1900''' - Industrial '''uses of alcohol''' : the '''''PHENIX launch''''' with Panhard & Levassor motor '''designed by A. C. KREBS'''. File:1901-11-08 - Yachting-gazette - le canot automobile "Rolla V" à moteur Panhard & Levassor.png|'''1901''' - Yachting-gazette: the motorboat "'''''Rolla V'''''" with '''Panhard & Levassor engine''' designed by A. C. KREBS. <ref>'''1902-03-01''' - Scientific American - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard '''THE MARINE AUTOMOBILE''']: ''LA RÉCENTE INVENTION FRANÇAISE DU CANOT AUTOMOBILE''.</ref> File:Btv1b84333441-p094.jpg |'''1902-05-20''' - A. C. KREBS est à la barre du canot de course '''''Centaure''''' à moteur Panhard & Levassor. <ref>'''1902''' - [[w:Jules_Beau|Jules Beau]] - Photographie sportive : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f93.item '''LUTECE'''] 60cv (Panhard & Levassor), "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f92.item ''La course des bateaux automobiles.] Sont présents : MM. Rives, [[W:Louis_Pierron|Pierron]], venus en automobile avec le '''Commandant Krebs''', Famechon, [[W:Charles_Renard|Colonel Renard]] ''[en chapeau clair]'', [[W:Auguste_Trillat|Trillat]], Amiot, [[W:Gaston_Menier|Gaston Menier]] venu avec son Yacht, [[W:Henri_Paillard|Paillard]], [[W:Pierre_Lafitte|Lafitte]], [[W:Alfred_Morel-Fatio|Morel-Fatio]], etc.''"</ref> File:1902 A. C. KREBS=Hélice réversible (FR306968).jpg|'''1902''' - Le système Krebs d' '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs hélice à pas variable] : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A]. File:1902-03-01 - Scientific American (v86-n09) - canot Rollo à moteur Panhard & Levassor.png|'''1902''' - Scientific American : Le canot "'''Rollo'''" à moteur Panhard & Levassor. <ref>'''1902-03-01''' - '''Scientific American''' : [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard The Marine Automobile] : "''Il est tout à fait naturel que le sport des courses de vedettes ait été baptisé en France, berceau de l'automobile pour les Français, même si, en tant que nation, ils ne sont pas très doués en voile, mais jouissent d'une réputation bien méritée dans le domaine des embarcations légères de plaisance''.".</ref> File:1903-11 - Panhard & Levassor - Motorboat 'Vingt et Un'.jpg|'''1903''' - Four views of the motorboat '''''Vingt et Un Ist''''' in '''New-York''' while A. C. KREBS was managing the '''Panhard & Levassor''' Co. <ref>'''1903-11''' - '''''Vingt-et-un I''''' motorboat : 4 cyl. '''Panhard & Levassor''' conçu par A. C. KREBS - '''42 km à l'heure'''. Architecte : [https://hydroplanehistory.com/other/clinton_cranes_yachting_memories_1952.html#1 Clinton CRANE]. Propriétaire : [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/object/islandora%3A226649 Smith & Mabley].</ref> File:1904 the PANHARD II motor-boat plans.jpg |'''1904''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-03-12_90_11/page/212/mode/2up?q=panhard '''''PANHARD II''''' : "''A complete French auto boat equipment in an American hull.''"] <ref>[[W:Mystic_Seaport|'''Mystic Seaport Museum''']] : "''Le [https://store.mysticseaport.org/products/panhard-i-racing-launch canot de course Panhard de 1904] est un bateau en bois construit à la main, dont '''la coque en forme de nacelle, parfaitement arrondie, semble d'une modernité incroyable pour une construction de cette époque'''. Il illustre comment les formes nécessaires à la vitesse, fruit naturel de l'ingénierie hydrodynamique, sont devenues aussi belles que fonctionnelles. Utiliser les bateaux de la collection pour montrer l'évolution de ces formes et leur influence sur les innovations dans la conception des avions, des bus, des trains et des automobiles est une excellente façon de relier la collection au monde extérieur. Le Panhard vaut à lui seul le détour lors de cette exposition. D'une beauté à couper le souffle, il est unique en son genre parmi les vestiges de 1904. Il m'a fait reconsidérer complètement ma conception du démodé''."</ref> File:1904 Jules-Beau - La Rapée III aux courses de canots automobiles à Juvisy.jpg|'''1904''' - La '''''Rapée III''''' à '''moteurs Panhard & Levassor''' aux courses de canots automobiles à Juvisy. File:Hydroplane, comte de Lambert (essais sur la Seine) - btv1b53114139t.jpg|'''1904''' - '''Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46265842/f3.image.r=krebs bateau glisseur] du [[w:Charles_de_Lambert|comte de Lambert]]''' avec '''l'hélice à pas variable''' de A. C. KREBS. File:1904 'Auto boat race on the Hudson'.jpg |'''1905''' - Video: The motor-boat '''''PANHARD II''''' participating in '''nautical races in America'''. <ref>'''1905''' - "[https://www.loc.gov/item/00563586/ ''Auto boat race on the hudson'']."</ref> File:1905 - AUTOMOTOR - The new 6-cylinder Panhard-Levassor petrol marine engine 150HP.png|'''1905''' - The '''6-cylinder''' Panhard-Levassor petrol '''marine engine 150HP''' for racingboats. File:1905-04-20 - La Vie Au Grand Ai - les canots "Panhard & Levassor" et "Rapière I" à Monaco.jpg|'''1905''' - La Vie Au Grand Air - The launchs "'''Panhard & Levassor'''" and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96066073.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=21459;2# "'''Rapière I'''"] in Monaco. File:1906-01-05 - La Locomotion Automobile - le bateau de course "La Rapière I".jpg|'''1906''' - Automobile Locomotion: the racing boat [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53730474/f240.image.r=rapiere “'''La Rapière I'''”]. File:1907-01-01 Le Monde Illustré - le bateau de course Panhard-Tellier I et La Rapière II à Monaco.jpg|'''1907''' - Le Monde Illustré: the racing boats [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f280.image.r=rapiere '''''Panhard-Tellier I'''''] and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96395619.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=171674;4 '''''La Rapière II'''''] in Monaco with '''Panhard & Levassor engines'''. File:1907-01-05 Le Monde illustré - la vedette Récopé avec l'hélice réversible de A. C. Krebs.jpg|'''1907''' - Le Monde illustré : "'''''La vedette lance-torpille du [[w:Edmond_Récopé|Comte Récopé]]'''''" avec '''l'hélice réversible de A. C. KREBS'''. <ref>'''1907''' - '''''Le Monde illustré''''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f386.image.r=recope# La vedette lance-torpille du Comte Récopé]". '''''La Nature''''' : "[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.72/240/60/671/5/660 La vedette : lance-torpille]". '''''La Locomotion automobile''''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f13.image.r=recope La vedette Récopé en vitesse]" ; "Une application de la locomotion automobile : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f39.image.r=recope la vedette Récopé]". '''''Scientific American Supplement''''' : "[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs A torpedo-boat driven by kerozene]".</ref> File:1907-1908 - The Alphonse Tellier glider « La Rapière III » with 1 Panhard & Levassor engine.pdf|'''1907-1908''' - The Alphonse Tellier glider '''''La Rapière III''''' with a '''Panhard & Levassor engine''' designed by A. C KREBS. File:1908-04-09 - 1er tour du Panhard-Tellier (la-Rapière III) à Monaco.jpg|'''1908''' - 1st lap of the Panhard-Tellier '''''la Rapière III''''' glider in Monaco. File:1909-04-02 - Pall Mall illustration - Le Panhard & Levassor 56,250 kmh.jpg|'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4522079j/f1.item.r=rapiere Pall Mall illustration]: The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98156242/f257.image.r=panhard "'''Panhard & Levassor'''"] (35 mi/h) in Monaco. File:Meeting de Reims - le constructeur Tellier - btv1b9019310s.jpg|'''1910''' - '''Alphonse Tellier''' (1879-1929). File:1913 - Monaco - l'hydroplane 'MOTOCRATIC' avec 2x8cyl. 75kmh Panhard & Levassor.jpg|'''1913''' - Monaco: the hydroplane '''''MOTOCRATIE''''' with '''2x8cyl. 75kmh Panhard & Levassor''' designed by A. C. KREBS. File:1914-04-18 - La Vi e Au Grand Air - Le canot Panhard-Tellier II à moteur 24cyl.pdf|'''1914''' - La Vie Au Grand Air : The '''''Panhard-Tellier II''''' racer. 2 Panhard & Levassor 12cyl. engines: '''24cyl''', '''1400hp'''. </gallery> '''1902''' - L' '''hélice à pas variable''' system A. C. KREBS : {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1903''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382609/publication/FR332993A?q=FR332993A '''FR'''306968A] || The Krebs variable pitch propeller: ''Variable -to -step propeller'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A] || ''Improvements in and relating to Screw Propellers'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A] || ''Screw-Propeller'' |- |} === La voiture hybride avec [[w:Ferdinand_Porsche|'''Ferdinand PORSCHE''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Hybrid-powered vehicles|'''''Véhicules hybrides''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Véhicule hybride|Véhicule hybride]], [[w:Automobile hybride électrique|Automobile hybride électrique]], [[w:Liste d'automobiles hybrides électriques|Liste d'automobiles hybrides électriques]] <br>'''07-07-1900''' - A. C. KREBS dépose le brevt [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] : "''Système de régulateur électromagnétique agissant sur les soupapes d'admission pour moteurs à hydrocarbure''" ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 '''US'''691638], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149303/publication/GB190016291A?q=GB190016291 '''GB'''190016291]). '''10-1900''' - A l' '''Exposition Universelle de Paris''' A. C. KREBS remarque la voiture hybride "''Semper vivus''" de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lohner%E2%80%93Porsche Lohner-Porsche] et achète la license du brevet de moteur électrique dans les roues [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149816/publication/GB190018099A?q=pn%3DGB190018099A ('''GB'''190018099)] pour Panhard & Levassor, pour la France, la Grande-Bretagne et l'Italie. <ref>'''1903''' - Le congrès international de l'automobile de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f368 Rapport de M. Louis Lohner sur les voitures pétroléo-électriques].</ref> '''24/01/1903''' Scientific-american - '''La Panhard et Levassor système Lohner-Porsche''' : "''... La plus novatrice de toutes est une voiture-tonneau '''Lohner-Porsche''', de 28 chevaux, à essence et électrique, avec des moteurs électriques dans les moyeux des roues avant, qui dirigent également la machine. Un moteur à essence directement relié à une dynamo fournit l'énergie nécessaire à la production d'électricité pour faire fonctionner la voiture, tout courant superflu étant envoyé dans une batterie de stockage, qui fournit l'énergie supplémentaire en fonction des besoins. La voiture aurait 14 vitesses différentes, dont la vitesse maximale est de 77 km par heure. Ce système a connu un tel succès que la '''société Panhard''' a acheté les brevets et fabrique des machines''". <ref>'''1903-01-24''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1903-01-24_88_4/page/62/mode/2up?q=lohner Scientific American] : "''[...] La voiture posséderait 14 vitesses différentes, la vitesse maximale étant de 77 km à l'heure''."</ref> <gallery> File:Ferdinand Porsche.jpg|'''Ferdinand porsche''' (1875-1951). File:1903 Lohner-Porsche=Krebs achète la licence du brevet Lohner-Porsche.pdf |'''1900''' - The [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GenevaMotorShow2011.jpg "''Semper Vivus''" hybrid car] seen by A. C. KREBS during the Paris Exposition Universelle. Krebs acquired the Brevet licence for Panhard & Levassor. File:1903-01 AUTOMOTOR-JOURNAL= "A 15-HP LOHNER-PORSCHE PETROL-ELECTRIC CAR" with Panhard & Levassor engine.jpg |'''1903-01''' - "''A 15-HP Lohner-Porsche petrol-electric car''" with Panhard & Levassor engine and [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 the KREBS "''Electromagnetic regulator for admission-valves''" (Brevet '''US'''691638)]. <ref>'''1904''' - YEARBOOK OF THE AUTOMOTIVE AND MOTORBOAT INDUSTRY (Berlin) : [https://archive.org/details/bub_gb_aTpNAAAAMAAJ/page/285/mode/2up?q=panhard '''Automobiles à transmission électrique de Lohner-Porsche et Panhard & Levassor''']</ref> </gallery> === [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard La '''technologie automobile'''] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:History of technology|'''''History of technology''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de l'automobile|Histoire de l'automobile]] et [https://en.wikipedia.org/wiki/Brass_Era_car Brass Era car] ===='''A. C. KREBS perfectionne le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f473.image.r=panhard "Type Panhard"''']==== :{| class="wikitable" |- | '''Moteur vertical à l'avant''' || Levassor |- | '''Radiateur devant le moteur''' || Krebs |- | '''Transmission en ligne''' || Levassor |- | '''Embrayage dans le volant moteur''' || Levassor |- | '''Moteur équilibré''' || Krebs |- | '''Volant de direction''' || Krebs |- | '''Direction irréversible''' || Krebs |- | '''Boîte de vitesses à train baladeur''' || Levassor |- | '''Emplacement des pédales''' || Levassor |- | '''Levier de changement de vitesse''' || Levassor |- | '''Chassis en bois armé''' || Levassor |- | '''Roues en bois''' || Levassor |- | '''Roue d'artillerie''' || Krebs |- | '''Freins à mâchoires''' || Krebs |- | '''Carburateur automatique''' || Krebs |- |} '''1899''' - A. C. KREBS introduit dans l'architecture de l'automobile '''le radiateur à l'avant, devant le moteur''' sur sa voiture de course Paris-Bordeaux. Il étend ce choix à toute la gamme Panhard & Levassor, alors que [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f58.image.r=radiateur l'affaire n'est pas tranchée] avant la guerre de 1914. <gallery> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - La voiture de course Paris-Bordeaux conçue par A. C. KREBS avec '''le radiateur à l'avant'''. </gallery> '''1904''' - "[...] ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai conduit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. '''Sans fausse modestie, '''je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme'''. ''[...] ''Répétons-le constamment, soyez prudents''." <ref>'''1904-07-09''' - '''L'Auto-vélo''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4626643g/f3.image.r=krebs '''L'Enquête sur le pneumatique'''] : ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai condit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme''. [...] Malheureusement, je dois le dire, beaucoup de chauffeurs connaissent peu ou prou leur voiture. Sur une belle route de campagne, ils cèdent à la griserie de vitesse, perdant la notion exacte des choses, virent court sans ralentir, sont ebntraînés par la force centrifuge, le pneu, cette fois, subit un travail d'échauffement et d'arrachement ausuel il semble naturel qu'il ne puisse résister. Alors, dans ce cas, c'est évident, l'homme devient encore plus affolé que sa machine, et c'est la cabriole finale qui se termine plus ou moins mal. En somme s'il n'y avait pas de pneumatiques, les imprudents ou les maladroits seraient victimes des mêmes accidents. Répétons-le constamment, soyez prudents''."</ref> '''1911''' - Panhard & Levassor introduit en France la '''''"voiture complète"''''', avec '''carrosserie de série'''. ==== Recherches sur la régulation des moteurs à essence ==== * '''1898''' - La régulation sur l'admission : '''FR'''284596 : Sur son moteur de la Voiture Clément-Panhard A. C. KREBS ajoute sur la soupape d'admission automatique un étranglement commandé par un régulateur à boule. * '''1899''' - Le carburateur à niveau constant : '''FR'''295792 * '''1900''' - La régulation électromagnétique des soupapes d'admission : '''FR'''301991 * '''1900''' - Le carburateur Centaure à étranglement : '''GB'''190016467A * '''1902''' - Les soupapes à cames extensibles : '''FR'''322489A * '''1902''' - Le carburateur automatique : '''FR'''325241A * '''1902''' - L'avance à l'allumage au volant : '''FR'''327527A * '''1903''' - Perfectionnements au carburateur automatique : '''FR'''333127A * '''1906''' - Le régulateur hydraulique sur le carburateur * '''1908''' - Le carburateur automatique à aiguille : '''FR'''401546A * '''1909''' - Les soupapes concentriques pour l'aviation : '''FR'''414413A * '''1912''' - Le système de sans-soupapes à boisseaux : '''FR'''440438A * '''1913''' - Le carburateur automatique sans pièce mobile : '''FR'''458736A * '''1913''' - Le carburateur double-corps : cf. infra ==== [https://fra.wiki/wiki/Categoria:Motori_Panhard Moteurs] ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']], [[commons:Category:Internal combustion engine|'''''Internal combustion engine''''']], [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à quatre temps|Moteur à quatre temps]] <br>In '''1900''', A. C. KREBS designed the '''''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure Centaure engine]''''' with the aim of freeing itself from the royalties owed to Mme Levassor on the Daimler engine. '''1902''' - À la demande d'une commission parlementaire, A. C. KREBS fait [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64676929/f871.image.r=krebs '''une étude sur l'utilisation de l'alcool dans l'automobile''']. Suite à ce rapport il est décoré [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k286013f/f3.image.r=krebs chevalier du Mérite agricole]. In '''1909''', he became interested in the '''Knight Brevet''' ([[w:Soupape_(moteur)#Système_Charles_Yale_Knight|moteur sans-soupape]] engine) and was first in France to build that type of engine which Panhard et Levassor would produce during the thirty years leading up to World War II. <gallery> File:1900 - Manuel théorique et pratique de l'automobile (Lavergne) - moteur Phenix.jpg|'''1895''' - The Daimler-Maybach [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&page=164 '''Panhard-Phenix''' engine]. <ref>'''1897''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1897-01-30_43_1100/page/17588/mode/2up?q=panhard Some '''New Horseless Carriages''' - "''Le Phénix de MM. Panhard & Levassor, qui, de l'avis des experts en la matière, peut être considéré comme approchant la perfection''"]. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/306/mode/2up?q=phenix Self-propelled vehicles].</ref> File:1900 - Les automobiles à l'Exposition - Le moteur KREBS.jpg|'''1898''' - "'''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9780698h/f613.image.r=krebs The KREBS engine]" with intake regulation''' before the appearance of the butterfly valve. File:1900-07-21 - Brevet du moteur "Centaure" Panhard & Levassor (FR302402, GB190200673A).png|'''1900''' - Panhard & Levassor "[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/214/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']" motor Brevet ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''FR'''302402] , [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] ) designed par A. C. KREBS. File:1901 - Moteur Centaure de Panhard & Levassor.jpg|'''1901''' - " [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']" engine from Panhard & Levassor '''designed by A. C. KREBS'''.<ref>'''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=centaure Self-propelled vehicles]: "''La demande de voitures rapides et puissantes a très vite conduit à la production de moteurs à quatre cylindres, parmi lesquels https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=centaure '''''le Centaure de Panhard-Levassor est le type]'''''." </ref> File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 57|'''1901''' - The A. C. KREBS "'''''engine three points suspension system'''''". File:1903-1916 - Cours complet d'automobilisme - le moteur 3 cyl. Panhard & Levassor.jpg|'''1903''' - The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5863731g/f22.item.r=panhard# Panhard & Levassor '''3 cyl. engine'''] designed by A. C. KREBS. <ref>'''1904'''-01-30- Scientific American: "''Les avantages du moteur à trois cylindres sont depuis longtemps mis en avant dans ce pays par M. '''Charles E. Duryea''', qui utilise ce type de moteur avec succès depuis sept ans ; tandis qu’en France,[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-01-30_90_5/page/80/mode/2up?q=panhard '''Panhard & Levassor''' a lancé l’année dernière une voiture à trois cylindres], et '''la déclaration en faveur du moteur à trois cylindres par cette firme renommée a largement contribué à attirer l’attention des automobilistes sur ses atouts'''''."</ref> File:1905 - Les Sports Modernes - le moteur Panhard & Levassor Centaure allégé.jpg|'''1905''' - The Panhard & Levassor '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure_all%C3%A9g%C3%A9 lightweight Centaure engine]''' designed by A. C. KREBS. File:1909 - Salon de l'Olympia - le moteur 6 cylindres de Panhard & Levassor.jpg|'''1909''' - le moteur 6 cylindres Panhard & Levassor, conçu par A. C. Krebs, au Salon de l'Olympia File:1910-07-15 - La Locomotion - Le moteur Sans-soupapes Panhard & Levassor.pdf|'''1910''' - [https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_avalve_Panhard_a_4_cilindri The Panhard & Levassor '''valveless engine'''] chain driven designed by A. C. KREBS from the Knight Brevet. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 36|'''1910''' - Panhard & Levassor valveless engine "'''''distribution plan'''''". File:1911 - FR440438A - A. C. KREBS valveless engine patent.pdf|'''1911''' - [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A]: The '''valveless engine Brevet of A. C. KREBS''' for Panhard & Levassor. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 53|'''1912''' - Panhard & Levassor valveless engine "'''''splash lubrication'''''". File:1912-07 - Omnia - 18 HP 6-cyl Panhard & Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f42.image.r=panhard 18 HP 6-cyl.] Panhard & Levassor. File:1912-07 - Omnia - 10 HP (X19) Panhard & Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805926n/f246.item.r=panhard 12 HP] the first A. C. KREBS "'''Motor block'''". File:Panhard & Levassor 6 Zyl. Motor um 1913 2.pdf|'''1913''' - [https://bibliotheques-specialisees.paris.fr/ark:/73873/pf0002119031/v0053 28-35 HP 6-cyl.] Panhard & Levassor. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || ''Improvements to transmissions with speed change '' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars'' |- | '''1898''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] || '''The VCP Brevet''' (voir supra) : ''A petroleum-powered light car system'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] || ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f389.image.r=panhard '''Electromagnetic intake valves''']: ''Electromagnetic regulator system acting on the intake valves for hydrocarbon engines'' (voir supra) |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003503578/publication/AT9519B?q=AT9519B '''AT'''9519B] || ''Electromagnetic control device for hydrocarbon engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638A '''US'''691638A] || ''ELECTROMAGNETIC REGULATOR FOR ADMISSION-VALVES OF HYDROCARBON-MOTORS'' |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''FR'''302402] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/168/100/512/10/458 '''Le moteur Centaure de A. C. KREBS'''] : ''New internal combustion engine consuming gas, petroleum gasoline or ordinary petroleum'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k17077f/f819.item.r=panhard '''The CENTAURE carburetor''']: ''voir supra'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516552/publication/AT15838B?q=AT15838B '''AT'''15838B] || ''Valve control for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149365/publication/GB190016627A?q=GB190016627A '''GB'''190016627A] || ''Improvements in Gas or Oil Motors'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003506585/publication/AT11006B?q=AT11006B '''AT'''11006B] || '''Suspension of the gearbox by three points''' : ''Suspension of the housing enclosing the change and reversing gear of motor vehicles'' (voir supra) |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] || '''Centaure engine lightened & Water-jackets''' : ''Improvements in Internal Combustion Engines'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001372844/publication/FR322489A?q=FR322489A '''FR'''322489A] || '''Stretch cams''' :''Improvement in the construction of internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513981/publication/AT14430B?q=AT14430B '''AT'''14430B] || ''Controllable valve control for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032621397/publication/GB190224250A?q=GB190224250A '''GB'''190224250A] || ''Improvement in the Construction of Explosion Motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002801728/publication/US733220A?q=US733220A '''US'''733220A] || ''VALVE-GEAR FOR EXPLOSIVE-ENGINES'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001376300/publication/FR326199A?q=pn%3DFR326199A '''FR'''326199A] || '''Engine cooling''' : ''A device for cooling internal combustion engines'' |- | '''1909''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001453744/publication/FR409630A?q=pn%3DFR409630A '''FR'''409630A] || '''Valve cooling''' : ''Improvement in internal combustion engines'' |- | '''1909''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001458114/publication/FR414413A?q=FR414413A '''FR'''414413A] || '''Krebs concentric valves''' : ''Device for suction and exhaust valves and their control for internal combustion engines operating on combustible gases or liquids'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004290136/publication/CH52317A?q=pn%3DCH52317A '''CH'''52317A] || ''Arrangement and control of the inflow and outflow valves on explosion or internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008686590/publication/AT51827B?q=AT51827B '''AT'''51827B] || ''Control for combined intake and exhaust valves of internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525746/publication/GB191014278A?q=GB191014278A '''GB'''191014278A] || ''Improvements in or relating to Valves and Valve-gear for Internal-combustion Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003087787/publication/US1019488A?q=US1019488A '''US'''1019488A] || ''VALVE FOR EXPLOSION-ENGINES'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A] || '''Krebs valveless engine''' : ''Internal combustion engine distribution'' |- | '''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001500505/publication/FR461176A?q=FR461176A '''FR'''461176A] || '''Helical gear transmission''' : ''Internal combustion engine transmission'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001517855/publication/FR480650A?q=FR480650A '''FR'''480650A] || ''Connection device between connecting rod and piston'' |- | '''1916''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001520866/publication/FR484035A?q=FR484035A '''FR'''484035A] || ''Valve train'' |- |} ==== Carburateurs ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]], [[w:Papillon (mécanique)|Papillon (mécanique)]], [[w:Boîtier papillon|Boîtier papillon]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]] <br>Voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 ''Krebs carburetor'']. '''1866-1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39790g/f376.item.r=carburateur# Dictionnaire Larousse du XIX° siècle] : "'''Carburateur, trice adj.''' Se dit des appareils destinés à carburer certains corps et particulièrement le gaz d'éclairage." '''1900''' - Automobile Magazine: '''Alcohol in Automobile Practice''' : "''In December, at the instance of the Society for the Industrial Utilization of Alcohol, M. '''Krebs''', of the '''Panhard et Levassor''' Company, experimented with a three horse-power Phoenix auto mobile, the only alteration being the widening of the opening to the carbureter. With the Dusart alcohol 4.2 horse-power was developed, and with ordinary 95 per cent. alcohol 3.6 horse- power; with benzine at full speed, 4.4 horse-power. According to Araschaquene it would be sufficient to abolish the tax on alcohol in order to cause it to replace benzine''". <ref>'''1900-05''' - Automobile Magazine: [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1900-05_2_2/page/178/mode/2up?q=krebs ''L'alcool dans la pratique automobile''].</ref> '''1916''' – Panhard & Levassor catalog: "''We have adopted on all our engines a carburetor based on '''an entirely new principle of automaticity''', which rigorously doses the mixture at all speeds and offers the advantage of no longer having any intake additional air, no moving parts. The rubber membrane of our old models is thereby eliminated. In our '''20 HP''' and '''35 HP''' engines, '''the carburetor is double''' and controlled by two accelerator pedals. The ordinary accelerator pedal ensures walking in town and at medium speeds, while the second pedal, actuated with the left foot, brings into play the second carburetor which is added to the first to provide very high speeds, and at this time to provide additional lubrication.''" {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1899''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-12-30_Brevet_KREBS_pour_Panhard_%26_Levassor_-_%22Carburateur_%C3%A0_niveau_constant%22.pdf '''FR'''295792] || ''A constant level carburettor for petrol engines'' |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] || '''The CENTAURE carburetor''' : ''A self-adjusting carburetor'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''GB'''190000471A] || ''An Improved in Air Carburators for Petroleum Motors'' |- | || || voir infra: '''Alcohol in Automobile Practice''' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032420366/publication/GB190016467A?q=GB190016467A '''GB'''190016467A] || ''A Regulating Charging Valve for Gas or Oil Motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003500824/publication/AT8337B?q=AT8337B '''AT'''8337B] || ''Adjustable input device for explosion power machines from the controller'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] || '''The Krebs automatic carburetor''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=panhard ''A self-adjusting carburetor''] (voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 Krebs carburetor].) |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C] || ''A carburator for internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064172006/publication/ES30512A1?q=ES30512A1 '''ES'''30512A1] || ''A graduation and automatic action carburetor'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A] || ''Improvements in Oil Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A] || ''Fuel-governor for oil-engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''83889A] || ''Oil Machine'' |- | '''1903''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382733/publication/FR333127A?q=FR333127A '''FR'''333127A] || '''Improvements to the Krebs carburetor''' : ''Improvements to carburettors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000424916/publication/DE158769C?q=DE158769C '''DE'''158769C] || ''Device for automatic regulation of secondary air in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516141/publication/AT15655B?q=AT15655B '''AT'''15655B] || ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516518/publication/AT15822B?q=AT15822B '''AT'''15822B] || ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A '''US'''785558A] || ''Oil-engine'' |- | '''1908''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001446345/publication/FR401546A?q=FR401546A '''FR'''401546A] || '''The Krebs metering pin carburetor''' : ''Improvements to carburettors for motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064221871/publication/ES45533A1?q=ES45533A1 '''ES'''45533A1] || ''Engine Carburetor Improvements'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''GB'''190912043A] || ''Improvements in Carburettors for Explosion Motors'' |- | '''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A] || '''Le carburateur hydrostatique''' sans pièces mobiles : ''Perfectionnement apporté aux carburateurs pour moteurs à explosions'' |- | '''1913''' || || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_Artillerie_St-Chamond_R%C3%A8glement_de_manoeuvre%3Dle_carburateur_double-corps.pdf '''The double barrel Krebs carburetor'''] (voir infra : 1916–Panhard & Levassor catalog) |- | '''1916''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008906792/publication/FR502997A?q=num%20%3D%20%22FR502997A%22%20AND%20ia%20%3D%20%22PANHARD%22 '''FR'''502997A] || '''The Krebs carburetor for airships and aiplanes''' : ''Automatic carburetion corrector for internal combustion engine operating at different altitudes.'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001522872/publication/FR486245A?q=FR486245A '''FR'''486245A ] || ''Improvement brought to the constant level of the carburettors'' |- | '''1917''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001529312/publication/FR493577A?q=pn%3DFR493577A '''FR'''493577A] || '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/008921858/publication/FR528180A?q=pn%3DFR528180A '''FR'''528180A] || '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.'' |- |} ==== Allumage ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Ignition|Ignition]], [[commons:Category:Ignition systems|Ignition systems]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Allumage (moteur)|Allumage (moteur)]] <br>'''1903''' - "''[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/216/mode/2up?q=panhard Panhard & Levassor firm has a new method of distributing] or directing the current successively to the induction coils of a multicylinder motor''." {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' || || '''L'allumage électrique Krebs''' : ''[https://www.babordnum.fr/items/show/14115 Allumage électrique mixte pour moteurs à explosion (p. 432)]'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426473/publication/GB190200452A?q=GB190200452A '''GB'''190200452A] || ''An Improvement in Electrical Ignition Apparatus for Internal Combustion Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003514525/publication/AT14673B?q=AT14673B '''AT'''14673B] || ''Switching device for the primary current in electric ignition devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002776582/publication/US708053A?q=US708053A '''US'''708053A] || ''Apparatus for distributing the primary current for electric ignition by coils and igniters in explosive-engines'' |- | '''1904''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/043348598/publication/FR343448A?q=FR343448A '''FR'''343448A] || '''The Krebs magneto ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348105/publication/FR4936E?q=FR4936E '''FR'''4936E] || Addition: ''Mixed electrical ignition for explosion motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032626177/publication/GB190412741A?q=GB190412741A '''GB'''190412741A] || ''Improvements in Electric Ignition Apparatus for Internal Combustion Motors'' |- |} ==== Embrayages ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Clutches|Embrayages]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Embrayage|Embrayage]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57007322/f446.image.r=panhard '''The Krebs friction clutch''']: ''Improvements in clutches'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] || '' Improvements in Friction Couplings'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002762089/publication/US693551A?q=US693551A '''US'''693551A] || ''Cone clutch'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003497343/publication/AT6940B?q=AT6940B '''AT'''6940B] || ''Friction clutch, especially for motor vehicles'' |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] || ''An Improvement in Cone Clutches'' |- |'''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426525/publication/GB190200574A?q=GB190200574A '''GB'''190200574A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9782584r/f469.image.r=krebs ''Improvements in Cone Clutches''] |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002803400/publication/US734893A?q=pn%3DUS734893A '''US'''734893A] || ''CONE-CLUTCH'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513026/publication/AT13993B?q=AT13993B '''AT'''734893A] || ''cone friction clutch'' |- |'''1904''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389315/publication/FR340185A?q=FR340185A '''FR'''340185A] || '''Multidisk clutch''' : ''Friction washer clutch'' |- |'''1906''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] || '''The Krebs ''Panhard type'' gearbox''' : ''Improvements to claw clutches'' |- |'''1907''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] || '''Multidisk coupling''' : ''Clutch connecting two shafts, one of which rotates at a variable speed and the other at a constant speed'' |- |'''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485567/publication/FR444601A?q=FR444601A '''FR'''444601A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f57.image.r=panhard '''Multidisk clutches''']: ''Improvements to disc clutches'' |- |'''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001490629/publication/FR450180A?q=FR450180A '''FR'''450180A] || ''Improvement brought to the construction of the clutches'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526219/publication/GB191226137A?q=GB191226137A '''GB'''191226137A] || ''Improvements in or relating to Clutches'' |- |} ==== Boîtes de vitesses et transmission ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Transmission|Transmission]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Transmission (mécanique)|Transmission (mécanique)]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]] <br>The '''Panhard Type''' of Gearbox is enhanced by A. C. KREBS. <gallery> File:1901-07 - Automobile-Magazine - boite de vitesse Panhard & Levassor 'The Panhard system'.jpg| '''1901-07''' - Automobile Magazine: "''Transmission gears of some European cars - [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1901-07_3_7/page/612/mode/2up?q=panhard the Panhard system]''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 61|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''single-plate clutch and gearbox'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 67|'''1913''' - The 35HP Panhard & Levassor "'''''double disc clutch'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 81|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''differential with bevel satellites and conical couple'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 83|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''differential with straight satellites and conical couple'''''". File:1917 The original Panhard transmission.png|'''1917''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Study_and_test_to_confirm_automobile_drivetrain_components_to_improve_fuel_economy_-_interim_report_(IA_studytesttoconfi00hurt).pdf&page=12 The Original '''Panhard transmission''']: "''It came into nearly '''universal use''' in the United States by the '''1920's for cars, trucks and buses'''.''" </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0148/100/512/10/458 '''La boîte de vitesses mécanique Krebs "à verrou" à engrenages toujours en prise''']: ''Improvements to transmissions with speed change'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791A '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''Un nuevo sistema de transmisión, particularmente aplicable a los coches automáticos'' |- | '''1898''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960] || '''VCP''' : ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- | '''1899''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-11-11_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR294232_-_%27Syst%C3%A8me_combin%C3%A9_de_changement_de_marche_et_changement_de_vitesse_pour_voiture_automobile%27.pdf '''FR'''294232] || ''Combined shifting and gear shifting system for motor car'' <ref>'''1900''' - Revue de mécanique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5700759q/f661.item.r=PANHARD La transmission Panhard & Levassor].</ref> |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032537942/publication/GB189923564A?q=GB189923564A '''GB'''189923564A] || ''Improvements in Driving Gear for Motor Cars''<ref>'''1902''' - The automobile: "[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/386/mode/2up?q=panhard ''The Panhard type'']". '''1904''' - Self-propelled vehicles: "[https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/354/mode/2up?q=panhard ''Détails du changement de vitesse Panhard-Levassor'']".</ref> |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] || ''An Improvement in Cone Clutches'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423811/publication/GB190114824A?q=GB190114824A '''GB'''190114824A] || ''Improvements in connection with the Mechanism for Change of Speed and Direction of Motion of Motor Cars'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950A '''US'''700950A ] || '''Change speed box''' : ''MOTOR-VEHICLE'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR351743A '''FR'''351743A] || ''Automatic locking system'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003534007/publication/AT24197B?q=AT24197B '''AT'''24197B] || ''Coupling device'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032188031/publication/GB190515737A?q=GB190515737A '''GB'''190515737A] || ''Improvements in Interlocking Mechanism for Change Speed Gears and the like'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002890537/publication/US822057A?q=US822057A '''US'''822057A] || ''SYSTEM OF LOCKING'' |- | || [[w:Engrenage|'''''Harmonic gears''''']] || "''In certain cars, particularly '''Panhards''', [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:California_Digital_Library_(IA_completemotorist00youn).pdf&page=334 '''''the musical note caused by the gear wheels'''''] is itself a very fair guide to the changing of speed''." |- |'''1906''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f300.image.r=panhard '''The Krebs Panhard type gearbox''']: ''Improvements to claw clutches'' |- | '''1910''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001472555/publication/FR430298A?q=pn%3DFR430298A '''FR'''430298A] || ''Automobile tipping dumper with front-wheel drive and steering'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525843/publication/GB191113942A?q=pn%3DGB191113942A '''GB'''191113942A] || ''Improvements in and relating to Tip Wagons and the like'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480297/publication/FR438815A?q=FR438815A '''FR'''438815A] || ''Device for shifting and declutching using a single lever'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008695767/publication/AT62323B?q=AT62323B '''AT'''62323B] || ''Speed change gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032339729/publication/GB191200983A?q=GB191200983A '''GB'''191200983A] || ''Improvements in and relating to Variable Speed Transmission Mechanism'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003180995/publication/US1112810A?q=US1112810A '''US'''1112810A] || ''Clutch and Gear Shifter'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480878/publication/FR439445A?q=FR439445A '''FR'''439445A] || ''Direct drive device applicable to fluid gear shifting devices'' |- | '''1913''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001511415/publication/FR473344A?q=FR473344A '''FR'''473344A] || ''Improvement in motion transmissions in motor cars'' |- | '''1914''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513323/publication/FR475432A?q=FR475432A '''FR'''475432A ] || ''Transmission system for driving and steering vehicle wheels'' |- | '''1915''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519384/publication/FR482374A?q=FR482374A '''FR'''482374A ] || ''Cardan joint lubrication device by oil circulation'' |- | || || ''The globoïd worm gear rear axle differential'' |- |} ==== Freins ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Brakes|Brakes]], [[commons:Category:Automobile drum brakes|Automobile drum brakes]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Frein à tambour|Frein à tambour]], [[w:Frein moteur|Frein moteur]] <gallery> File:1900 Lavergne- Gérard Manuel théorique et pratique de l'automobile sur route='the double-acting krebs brake'p433.png|''The '''1898''' [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&page=381 '''Krebs double-acting brake on the differential axle.'''] File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 91|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''double brake on rear wheels'''''". </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1898''' ||[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf&page=1 '''FR'''284596] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/157/100/512/10/458 '''Le frein à double effet sur l'arbre du différentiel'''] : "''A two-pronged clamp fixed to the frame, which clamps a pulley mounted on the differential shaft''" |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960A '''GB'''189902960A] || ''A two armed clamp fixed to the frame which grips the periphery of a disc mounted on the shaft of the differential coupling'' |- | '''1900''' || || [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/172/mode/2up?q=panhard "'''The water-cooled Krebs brake'''"] |- | '''1901''' ||[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-14_Brevet_A.C.KREBS_FR307114%3Dsuspension_par_3_points_%2B_frein_sur_le_diff%C3%A9rentiel.pdf '''FR'''30714] || '''Three point suspension gearbox''' : "Improvements in shifting and running mechanisms'' (voir supra) |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950 '''US'''700950A] || ''MOTOR-VEHICLE'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369586/publication/FR318975A?q=FR318975 '''FR'''318975] || '''Cam brake''' : ''Brake for automobile or other car wheels'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032116936/publication/GB190304167A?q=GB190304167A '''GB'''190304167A] || ''Improvements in Brakes for Vehicles'' |- | '''1904''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389316/publication/FR340186A?q=FR340186 '''FR'''340186] || '''Expansion brake''' : ''Brake on rear wheels'' |- | || || [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/148/mode/2up?q=panhard Slack adjuster brake.] |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422561/publication/FR376040A?q=FR376040 '''FR'''376040] || '''Krebs motor brake''' : ''Device for obtaining the braking of a motor vehicle by the engine'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003548691/publication/AT33177B?q=AT33177B '''AT'''33177B] || ''Method and device for braking motor vehicles by means of the prime mover'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] || ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117222/publication/GB190802328A?q=GB190802328A '''GB'''190802328A] || ''Improvements in and relating to Braking Means for Automobile Vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003002970/publication/US934547A?q=US934547A '''US'''934547A] || ''Braking means for automobile vehicles'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001430057/publication/FR384090A?q=FR384090 '''FR'''384090A] || ''Brake lever'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003553988/publication/AT36868B?q=AT36868B '''AT'''36868B] || ''Device for the simultaneous activation of two brakes for all types of vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525450/publication/GB190818853A?q=GB190818853 '''GB'''190818853] || ''Improvements in or relating to Braking Mechanism'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] || ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine'' |- | '''1911''' || || [https://archive.org/details/TheAutomotorJournal2ndHalf1904/page/n643/mode/2up "''Rear-brake drums with a second pair of shoes in their interior.''"] |- |} ==== Graissage ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:lubrication|lubrication]], [[commons:Category:Internal combustion piston engine lubrication systems|Internal combustion piston engine lubrication systems]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Lubrification|Lubrification]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369628/publication/FR319026A?q=FR319026A '''FR'''319026A] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/159/100/512/10/458 ''Système de graissage des moteurs par une pompe actionnée au moyen des gaz de l'échappement''] |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606192/publication/GB190304379A?q=GB190304379A '''GB'''190304379A] || ''Improved Method of Lubricating Motors and Apparatus therefor'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002821059/publication/US752566A?q=US752566A '''US'''752566A] || ''Device for Lubricating Motors and Machinery Driven Thereby'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377157/publication/FR327150A?q=FR327150A '''FR'''327150A] || ''Lubrication system for engines and components'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422632/publication/FR376118A?q=FR376118A '''FR'''376118A] || ''Lubricator with adjustable flow for internal combustion engine proportioning the oil flow to the developed power'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003549848/publication/AT33929B?q=AT33929B '''AT'''33929B] || ''Device for controlling the supply of lubricant for internal combustion engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117223/publication/GB190802334A?q=GB190802334A '''GB'''190802334A] || ''Improvements in and relating to the Lubrication of Internal Combustion Engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002995978/publication/US927552A?q=US927552A '''US'''927552A] || ''Engine-Lubricating Device'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=CH42771A '''CH'''42771A] || ''Lubricator for internal combustion engine'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429283/publication/FR383261A?q=FR383261A '''FR'''383261A] || ''Engine lubricating oil cooling system'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525449/publication/GB190818852A?q=GB190818852 '''GB'''190818852A] || ''Improvements in or relating to the Lubrication of Moving Parts of Engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004277622/publication/CH45206A?q=CH45206A '''CH'''45206A] || ''Device for cooling the lubricating oil contained in the crankcase of an engine'' |- | '''1912''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001494995/publication/FR455065A?q=FR455065A '''FR'''455065A] || ''Improvements to engine lubrication'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526351/publication/GB191305951A?q=GB191305951A '''GB'''191305951A] || ''Improvements in or relating to the Lubrication of Engines'' |- | '''1915''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519141/publication/FR482110A?q=FR482110A '''FR'''482110A] || ''Automatic lubricating device by oil circulation of wheel hubs'' |- | '''1915''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519143/publication/FR482112A?q=FR482112A '''FR'''482112A] || ''Device for lubricating the bearings of a heat engine, by oil circulation at an equal flow rate for all the bearings and at variable pressure'' |- |} ==== Direction et Suspension ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive suspension technologies|Automotive suspension technologies]], [[commons:Category:Shock absorbers|Shock absorbers]], [[commons:Category:Vehicle dynamics|Vehicle dynamics]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Suspension de véhicule|Suspension de véhicule]], [[w:Dynamique du véhicule|Dynamique du véhicule]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001370512/publication/FR319975A?q=FR319975A '''FR'''319975A] || '''Transversal spring suspension''' : ''Axle system and fore-carriage spring for motor vehicles'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377508/publication/FR327527A?q=FR327527A4 '''FR'''327527A] || '''Steering wheel controls''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/288/mode/2up?q=panhard ''A maneuvering device for the control of the motor car engines''] |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=pn%3DUS757815A '''US'''757815A] || ''APPARATUS FOR CONTROLLING THE SPEED OF MOTOR-CAR ENGINES'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525118/publication/GB190309077A?q=GB190309077A '''GB'''190309077A] || ''Improvements in Apparatus for Controlling the Speed of Motor Car Engines'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404739/publication/FR356801A?q=FR356801A '''FR'''356801A] || '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804444j/f52.item Multidisk friction shock absorber]''' : ''Suspension brake for vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348928/publication/FR5900E?q=FR5900E '''FR'''5900E] || Addition: ''Suspension brake for vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032198455/publication/GB190516354A?q=GB190516354A '''GB'''190516354A] || ''Improvements in the Method of Checking the Vibrations Imparted to Vehicles Suspended by Springs and in Apparatus therefor'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002928275/publication/US859822A?q=pn%3DUS859822A '''US'''859822A] || ''SHOCK-ABSORBER'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002941272/publication/US872825A?q=US872825A '''US'''872825A] || ''APPARATUS FOR CHECKING OR DEADENING THE VIBRATIONS IMPARTED TO SUSPENDED VEHICLES'' |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481137/publication/FR439730A?q=FR439730A '''FR'''439730A] || ''Screw and nut steering for motor vehicles'' |- | '''1914''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513700/publication/FR475854A?q=FR475854A '''FR'''475854A] || ''Suspension system for four-wheel motor cars'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513396/publication/FR475517A?q=FR475517A '''FR'''475517A] || ''Improvement in the construction of automobile steering axles'' |- | '''1915''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519144/publication/FR482114A?q=FR482114A '''FR'''482114A] || '''Disk hub''' : ''Driving device for driving wheels of motor vehicles'' |- |} ==== '''Accouplements flexibles''' ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Accouplement (mécanique)|Accouplements]], [[commons:Category:Rotating shaft couplers|Accouplements d'arbres]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement (mécanique)|Accouplement (mécanique)]], [[w:Joint de transmission|Joint de transmission]] ===== Premières recherches ===== {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-04-09_Brevet_KREBS-P%26L_FR299088_-_%27Palier_%C3%A0_rotule%27.pdf '''FR'''299088] || ''Palier à rotule'' |- | '''1905''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001399995/publication/FR351702A?q=pn%3DFR351702A '''FR'''351702A] || ''Palier de butée à billes et à rotule'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003533722/publication/AT24046B?q=AT24046B '''AT'''24046B] || ''Thrust bearing'' |- |'''1907''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] || ''Embrayage reliant deux arbres dont l'un tourne à une vitesse variable et l'autre à une vitesse constante'' |- |} ===== Le joint monodisque ===== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Disc couplings|Accouplements à disque]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement_(mécanique)#Accouplement_à_disque|Accouplement_à_disque]] <br>'''1909''' - '''The single disc coupling''' : "''The device in question is substantially as follows: The ends of the shafts to be joined, facing each other, are provided with circular or cylindrical extended portions to which is secured alternately a membrane of suitable shape, '''of strong and flexible material such as leather, flexible fiber, suitably woven and prepared canvas''' or any other similar material. The dimensions of the said widened portions and the number of the points at which the material used for effecting the connection indicated is secured to them are in proportion to the strain to be transmitted.''" <gallery> File:1910-11-22 US976187A=device for coupling two transmission shafts=first FLECTOR invented by A.C. KREBS.png | [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=US976187A '''1909''' - first FLECTOR Brevet '''US'''976187A "'''''Device for coupling two transmission-shafts'''''".] File:1933-10-01 La Dépêche de Brest=PEUGEOT 'le joint FLECTOR de direction'.jpg | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348891q/f8 '''1933''' PEUGEOT advertising: "'''''the steering FLECTOR joint'''''" invented by A. C. KREBS (Brevet 1910-11-22 US976187A).] File:1937-1938 Cours d'automobile=disc coupling+FLECTOR.jpg |'''1937''' - Automobile course'' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9758588f/f124.item.r=%22Cours%20d'automobile%22 "'''Deformation joints are the Flectors''']. They consist of a stack of discs made of thin sheet steel, rubberized canvas or leather, on which are bolted forks with two or three branches carried by the shafts.''" File:Single Disk Coupling (with metal disc), invented by A.C. KREBS (patent 1910-11-22 US976187A).webm|Video: '''The single Disk Coupling''' (with metal disc) invented by A.C. KREBS '''is universally used today'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1909''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-01-04_Brevet_KREBS-P%26L_FR407594_-_%27Dispositif_de_connexion_de_deux_arbres_de_transmission%27.pdf '''FR'''407594] || '''Disc coupling''' : ''Device for connecting two transmission shafts'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032407241/publication/GB190926602A?q=GB190926602 '''GB'''190926602] || ''Improvements in or relating to Shaft Couplings'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=pd%20%3D%20%221910-11-22%22%20AND%20ctxt%20%3D%20%22KREBS%22 '''US'''976187A] || ''Device for coupling two transmission-shafts'' |- |} ===== Le joint élastique '''FLECTOR''' ===== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Rag joints|Rag joints]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Joint_de_transmission#Joints_à_axes_concourants|Joints à axes concourants]] <br>'''1911''' - '''Le joint FLECTOR''' : "''Dans nos modèles 10, 12 et 16 HP Tourisme, ce joint universel est constitué par l'organe élastique que nous nommons "Flector" et qui, formé de toile et de caoutchouc, permet le déplacement relatif des arbres '''sans frottement, sans usure et sans bruit'''. Son adoption donne à la voiture qui en est munie une grande douceur d'entraînement, et il ne réclame aucun entretien''." <ref>'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor'''].</ref> <gallery> File:1911-09-04 Flector joint invented by A. C. KREBS (patents FR445.494, GB17.174, US1.107.315).jpg|'''1911''' - '''FLECTOR Brevet''' [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''. |'''1911''' - '''FLECTOR Brevet''' [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''. File:1913-02-25 La Revue Commerciale=le joint FLECTOR inventé par A. C. KREBS.pdf | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805914f/f6.item '''1913''' - The '''FLECTOR joint''' on the 10hp Panhard & Levassor]: "'''''no friction, no wear, no noise, no lubrication'''''" File:Tyre-coupling.jpg |'''The flexible FLECTOR joint''' invented by A. C. KREBS (Brevet [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A]) '''is universally used today under the name of ''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FLECTOR_-_Tyre-Couplings.ogg '''Tire coupling (Video)''']. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001486381/publication/FR445494A?q=FR445494A '''FR'''445494A] || '''Tire coupling''' : ''Flexible joint for connecting two drive shafts'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606753/publication/GB191217174A?q=GB191217174 '''GB'''191217174A] || ''Improvements in or relating to Shaft Couplings'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] || ''Flexible joint for coupling two transmission-shafts'' |- |} ==== Camions et moteurs industriels ==== <gallery> File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - camion Panhard & Levassor.jpg|'''1903''' - Industrial '''uses of alcohol''' : '''Panhard & Levassor truck'''. File:1904 - Panhard & Levassor - moteur fixe 3cyl.jpg|'''1904''' - Panhard & Levassor: '''3cyl stationary engine designed by A. C. KREBS'''. File:1906 - Panhard & Levassor - Groupe moto-pompe industriel.jpg|'''1906''' - Panhard & Levassor - '''Industrial motor-pump unit'''. File:1907-01-05 Omnia - camion Panhard & Levassor au concours de véhicules industriels.jpg|'''1907''' - '''Panhard & Levassor truck''' at the industrial vehicle competition. File:1908 - Panhard & Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard & Levassor '''trucks catalog''']. File:1910 - Groupe moteur Panhard & Levassor - "Force motrice et lumière".jpg|'''1910''' - Groupe moteur Panhard & Levassor: "'''''Force motrice et lumière'''''". <ref>'''1910''' - '''Groupe moteur''' Panhard & Levassor : "'''''Force motrice et lumière'''''". "''Ville - Campagne - Atelier : MAXIMUM Rendement, Simplicité, Solidité - MINIMUM Consommation, Usure, Encombrement - FONCTIONNE SANS SURVEILLANCE au gaz de ville, à l'alcool, benzol, à l'essence de pétrole, gaz pauvre''".</ref> File:1910-07-10 - La Revue Commerciale - Le groupe électrogène et le moteur industriel Panhard & Levassor.jpg|'''1910''' - The Panhard & Levassor [https://archive.org/details/Theautomobile22/theautomobile16/page/n583/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''generator'''] and the '''industrial engine'''. File:Chatillon-Panhard heavy artillery tractor prototype 1911.jpg|'''1911''' - '''Prototype of the Châtillon-Panhard heavy artillery tractor''', all wheel drive and all wheel steering. File:1913 - Panhard & Levassor - voiture de Livraison.jpg|'''1913''' - Panhard & Levassor: '''Delivery van'''. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 88|'''1913''' - The 16HP van chassis Panhard & Levassor: "'''''engine block and swing axle'''''". File:1914-1918 - Panhard & Levassor - camion K16.jpg|'''1914-1918''' - Panhard & Levassor: '''K15 truck'''. File:1919 - Panhard Motors Co - the Panhard-truck.pdf|'''1918''' - Motor-age: The [https://archive.org/details/sim_motor-age_1918-11-28_34_22/page/34/mode/2up?q=%22panhard+truck%22 '''Panhard Truck Built for Durability'''] : usurpateurs américains du nom de Panhard. <ref>'''1919''' - '''Apex''' ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton_(automobile_company) Hamilton Motors Company]) - [https://archive.org/details/saturdayeveningp1922unse/page/384/mode/2up?q=%22Panhard+Motors+Co%22 The twin-frame truck]: ''"At the request of the Panhard-Levassor Co., of Paris, France, we have relinquished the name "Panhard", and since September 1, '''1919''', our truck has been known as the "Apex". Hamilton Motors Co., formerly '''Panhard Motors Co.'''"''</ref> </gallery> ==== Machines à bois ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Scierie|Scierie]], [[commons:Category:Sciage|Sciage]], [[commons:Category:Scie pour le bois et l'ameublement|Scie pour le bois et l'ameublement]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Scierie|Scierie]], [[w:Sciage|Sciage]], [[w:Débit (bois)|Débit (bois)]], [[w:Usine_municipale_Pavage_de_bois|Usine municipale Pavage de bois]] <gallery> File:1889 - Panhard & Levassor Large band saw for metal cutting.pdf|'''1889''' - Panhard & Levassor: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Reports_of_the_United_States_Commissioners_to_the_Universal_Exposition_of_1889_at_Paris_(IA_cu31924107177085).pdf&page=364 "'''Large band saw for metal cutting'''"] at the Paris universal exposition. File:1905 - Panhard & Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (cartes postales) - machines à bois.pdf|page=7|'''1905''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1905_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_anniversaire-50-ans_usine_(cartes_postales)_-_machines_%C3%A0_bois.pdf&page=1 '''Wood working machine tools''' and '''Band Saws''']. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf&page=1 '''Catalog of woodworking machine-tools for car wheels''']. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines-à-bois - scies à ruban.pdf|'''1906''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C KREBS: Catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines-%C3%A0-bois_-_scies_%C3%A0_ruban.pdf '''woodworking machine-tools - band saws''']. File:1915 - Publicité en Amérique pour les scies à ruban Périn fabriquées à Paris par les usines Panhard & Levassor dirigées par A. C. KREBS.pdf|'''1915''' - Advertisement in America for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915_-_Publicit%C3%A9_en_Am%C3%A9rique_pour_les_scies_%C3%A0_ruban_P%C3%A9rin_fabriqu%C3%A9es_%C3%A0_Paris_par_les_usines_Panhard_%26_Levassor_dirig%C3%A9es_par_A._C._KREBS.pdf '''Périn band-saws'''] manufactured in Paris by the '''Panhard & Levassor works''' managed by A. C. KREBS. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1899''' ||[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f243.image.r=panhard '''FR'''288849A] || ''Sharpener'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR359604A '''FR'''359604A] || ''Automatic circuit breaker'' |- | '''1906''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR362842A '''FR'''362842A] || ''Locking system for tool trolleys and others'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR365473A '''FR'''365473A] || ''Automatic tool release system in trolley machines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003539644/publication/AT27469B?q=AT27469B '''AT'''27469B] || ''Device for automatically removing the tool from the workpiece in machine tools with a reciprocating carriage'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/027826630/publication/DK10576C?q=DK10576C '''DK'''10576C] || ''Self-propelled device for putting the tool out of business in machine tools with reciprocating carriage'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DCH40671A '''CH'''40671A] || ''Machine tool carriage with device for automatically disengaging tool and work piece'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DGB190707906A '''GB'''190707906A] || ''Improvements in or relating to Machine Tools with Sliding Tables or Carriages'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002961283/publication/US892854A?q=US892854A '''US'''892854A] || ''SLIDING TABLE OR CARRIAGE FOR METAL-CUTTING MACHINES'' |- | '''1908''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001449977/publication/FR405501A?q=pn%3DFR405501A '''FR'''405501A] || ''Protective finger for sawing machines for wood or any other material'' |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485566/publication/FR444600A?q=pn%3DFR444600A '''FR'''444600A] || ''Gear Profile Checking Machine'' |- | '''1912''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032242055/publication/FR451001A?q=pn%3DFR451001A '''FR'''451001A] || ''Log sawing machine, automatic'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191214154A?q=GB191214154A '''GB'''191214154A] || ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber'' |- | '''1913''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032299533/publication/FR19438E?q=FR19438E '''FR'''19438E] || Addition: ''Log sawing machine, automatic'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191324475A?q=GB191324475A '''GB'''191324475A] || ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001512578/publication/FR474617A?q=pn%3DFR474617A '''FR'''474617A] || ''Apparatus for grinding the teeth of band saw blades'' |- |} ==== Autres brevets ==== {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1903''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001379309/publication/FR329471A?q=FR329471A '''FR'''329471A] || ''Silent exhaust tank'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002815022/publication/US746527A?q=US746527A '''US'''746527A] || ''EXHAUST-BOX OR SILENCER FOR EXPLOSION-ENGINES'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032541423/publication/GB190306365A?q=GB190306365A '''GB'''190306365A] || ''Improvements in Exhaust Boxes or Silencers for Explosion Engines'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001423213/publication/FR376739A?q=pn%3DFR376739A '''FR'''376739A] || ''Detachable tire rim'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032633977/publication/GB190715724A?q=GB190715724A '''GB'''190715724A] || ''An Improved Fitting or Attachment for the Wheels of Motor Cars and similar Vehicles'' |- | '''1913''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001498438/publication/FR458896A?q=FR458896A '''FR'''458896A] || ''Removable wheel fixing device'' |- |} === '''Aviation''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Aéronautique|Aéronautique]], [[commons:Category:Activité aérienne|Activité aérienne]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Aéronautique|Aéronautique]], [[w:Aviation|Aviation]] <br>'''1910''' - [https://archive.org/details/aircraft219111912newy/page/200/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Aircraft''']: "''On June 14th. among the visitors to the Farman School at Buc, was '''Commandant Krebs''', the director of the Panhard-Levassor firm. He was taken for a lenthy trip by Mr. '''Maurice Farman''', who afterwards carried M. Defly, an engineer of the Panhard firm.''" ==== Le moteur du monoplan Tellier ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Alphonse Tellier|Alphonse Tellier]], [[commons:Category:Tellier 1910 monoplane|Tellier 1910 monoplane]], [[commons:Category:Tellier aircraft|Tellier aircraft]], [[commons:Category:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]] :[[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Alphonse Tellier (constructeur aéronautique)]] <gallery> File:1909 - Le moteur d'aviation Panhard & Levassor à soupapes concentriques de A. C. KREBS.pdf|'''1909''' - The Panhard & Levassor '''aviation engine with concentric valves''' designed by A. C. KREBS. File:1910-04-23 - Dubonnet survole Paris sur avion Tellier à moteur Panhard & Levassor.png|'''1910''' - '''Dubonnet flies over Paris''' on a Tellier plane with a Panhard & Levassor engine designed by A. C. KREBS. File:1910-04-26 - Théodore-Roosevelt regardant voler Dubonnet à Issy.jpg|'''1910''' - '''Theodore Roosevelt watching Dubonnet fly''' to Issy on '''Tellier plane''' with '''Panhard & Levassor''' engine. File:1910-04-23 - A. C. Krebs et Emile Dubonnet à Bagatelle après la traversée de Paris sur avion Tellier.png|'''1910''' - '''A. C. KREBS''' (left) and '''Emile DUBONNET''' (1882-1950) '''after crossing Paris on a Tellier plane''' with the Panhard & Levassor engine designed by KREBS. File:1910-05-25 - Avion Tellier modifié - le moteur Panhard & Levassor de A. C. KREBS.png|'''1910''' - '''Modified Tellier aircraft''' : the Panhard & Levassor engine with concentric valves designed by A. C. KREBS. File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard & Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - '''''Dubonnet wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a Tellier monoplane powered by Panhard & Levassor''''', whose engine is designed by A. C. KREBS (by GAMY). File:1911 - Monoplanes and biplanes - The Tellier monoplane.pdf|'''1911''' - '''Monoplanes and biplanes''' : The '''Tellier monoplane''' powered with the Panhard & Levassor concentric valves engine designed by A. C. KREBS. </gallery> ==== Moteurs d'avions ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:'''''Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs]] <br>'''1902''' - '''Wilbur Wright''' to '''Octave Chanute''' : "''I also enclose a letter from France which I take to be from '''Capt. Krebs''', though my acquaintance with foreign customs of signing names leaves me in some doubt as to who it is from. Can you enlighten me?''" <ref> [https://www.loc.gov/item/wright002807/ '''1902'''-04-12 - W. Wright to O. Chanute letter]</ref> '''O. Chanute''' to '''W. Wright''' : "''I return the French letter, which is from '''Commandant Krebs''', formerly associated with [[w:Charles_Renard|Colonel Renard]].''" <ref>[https://archive.org/details/correspondenceo00chan '''1902'''-05-05 - O Chanute to W. Wright letter]</ref> <gallery> File:1909-08-13 - Biplan Obre à moteur Panhard & Levassor 60cv.png|'''1909''' - Obre biplane with '''Panhard & Levassor 60hp engine''' designed by A. C. KREBS. File:1909 - Moteur Panhard & Levassor 100cv pour l'avion Voisin-Bolotoff.png|'''1909''' - Panhard & Levassor 100hp engine designed by A. C. KREBS for the '''Voisin-Bolotoff aircraft'''. File:1909 - Moteur Panhard & Levassor 120cv sur le Biplan-Henry FARMAN.png|'''1909''' - Panhard & Levassor 120hp engine designed by A. C. KREBS on the '''Henry FARMAN biplane'''. File:1909-09-25 - 1ère Exposition de Locomotion Aérienne - le stand Panhard & Levassor.png|'''1909''' - '''1st Air Locomotion Exhibition''' : the '''concentric valve engine''' designed by A. C. KREBS on the Panhard & Levassor stand. File:1910-11-01 - La Revue de l'Aviation à Paris.jpg|'''1910-11-01''' - The '''Revue de l'Aviation in Paris''' - Exhibition of aircraft manufacturers. File:1910 - Panhard & Levassor - moteur-120HP du dirigeable Morning Post.jpg|'''1910''' - L'un des 2 moteurs Panhard & Levassor de '''120HP''' pour le dirigeable '''Morning-Post'''. File:1912 - Moteur d'aviation Panhard & Levassor V8 100HP.jpg|'''1912''' - Panhard & Levassor '''V8 100HP aviation engine''' designed by A. C. KREBS. File:1917 - Panhard & Levassor - Moteur V12J du Glisseur Tellier.jpg|'''1915''' - Panhard & Levassor [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98100943/f220.image.r=panhard '''V12J aviation engine'''] of the '''Glisseur Tellier''' designed by A. C. KREBS. </gallery> ==== Hélicoptères avec [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/300955 Gustave PLAISANT] ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Helicopters|'''''Helicopters''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Hélicoptère|Hélicoptère]] <br>'''1912''' - Gustave PLAISANT: "''During fixed-point tensile tests that I recently carried out on a cycloidal thruster '''at the Laboratoire des Etablissements Panhard et Levassor''' with the gracious authorization of '''Commander Krebs''', I was led to study different combinations of propellers [...]''" <ref> '''1912-01-01''' - L'Aérophile: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6552332d/f276.image.r=krebs ''Vers l'hélicoptère''].</ref> <gallery> File:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 155, 1912.djvu|page 1608|'''1912''' - Académie des Sciences - '''Aeronautics''' : "''On a cycloidal air attack mode by M. '''Gustave PLAISANT'''.''" File:1913-01-01 L'Aérophile=essais d'hélicoptères à l'usine P&L avec Gustave PLAISANT.jpg|'''1912''' - L'Aérophile: '''helicopter tests in the laboratory of the Panhard & Levassor factory''' by Gustave PLAISANT with the help of Arthur Constantin KREBS </gallery> === '''Le procès [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden SELDEN]''' avec [[w:Henry_Ford|'''Henry FORD''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:US549160|'''''US549160''''']], [[commons:Category:Association of licenced Automobile Manufacturers|'''''Association of licenced Automobile Manufacturers''''']], [[commons:Category:Henry Ford|'''''Henry Ford''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:George_Brayton#Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden|Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden]] <br>En '''1906''' A. C. Krebs s'est rendu aux États-Unis pour témoigner dans l'affaire Selden, dans laquelle Panhard & Levassor était associé à Henry Ford en tant que partie adverse. Il a probablement rencontré Henry Ford lors de la présentation des preuves pour le brevet Selden ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002617903/publication/US549160A?q=US549160 '''US'''549160]) les 29-30 octobre 1906 dans un garage de New York. <ref>'''1906''' [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=192 témoignage de A. C. Krebs au procès Selden]: "''XQ426. Vous n'aviez jamais vu les moteurs Selden, ni le moteur à trois cylindres ni le moteur à un cylindre que vous avez inspecté au garage de New York les 29 et 30 octobre, en fonctionnement, n'est-ce pas ?''" </ref> Il convient de noter les nombreuses similitudes de principe entre la '''voiture Clément-Panhard''' de '''1898''' et la [[W:Ford_T|'''Ford model T''']] of '''1908''' (voir supra). <gallery> File:1877 Brevet-Rosenwald FR116871'=système de locomotion par le gaz'.pdf|'''1877''' - '''Brevet Rosenwald''' ('''FR'''116871) : "'''''Système de locomotion par le gaz'''''" est cité dans l'affaire Selden. File:1882-1884 - Delamare Deboutteville Malandin car.pdf|'''1882-1884''' - [[w:Édouard_Delamare-Deboutteville|Édouard Delamare-Deboutteville & Malandin]]: '''La première voiture à 4 roues avec un moteur à 4 temps brevetée''' : [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Delamare-Debouttevile-et-Malandrin_vehicles Brevet '''FR'''160267 du 12-02-1884] – ( [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9803886z/f152.image.r=deboutteville '''8cv - 10km/h avec allumage électrique et volant''']). File:1906 Arthur Constantin KREBS testimony during the Selden case (annotated transcript).pdf|'''1906''' - '''Témoignage de A. C. KREBS à New-York''' lors de l'affaire Selden ('''transcription annotée'''). File:Portrait of Henry Ford.jpg|'''1913''' - '''Henry Ford''' (1863-1947). </gallery> === L'Organisation scientifique du travail avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Ch. de Fréminville]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]] '''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Organisation scientifique du travail|Organisation scientifique du travail]] <br>'''1904''' - '''Ways to combat or prevent dust''' : [https://archive.org/details/mmoiresetcompte04unkngoog/page/716/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Commandant Krebs''' requests the tarring of the street of the establishments on Avenue d'Ivry.]. {| class="wikitable" |- ! Date !! Review !! Article |- | '''1911''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1911/10/metal19110810p786/metal19110810p786.html Le jeune ingénieur] |- | '''1914''' || Société d'économie sociale (in ''La Réforme Sociale'') || [https://archive.org/details/etudessociales6719unse/page/316/mode/2up?q=fr%C3%A9minville+panhard Le Système Taylor et l'orqanisation scientifique du travail dans les ateliers] |- |- | '''1915''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1915/09/metal19151209p729/metal19151209p729.html James Hartness: Le facteur humain dans l’organisation du travail (Translation and introduction by charles de Fréminville)] |- |- | '''1917''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1917/07/metal19171407p586/metal19171407p586.html L’utilisation des mutilés pour l’organisation du travail] |- |- | '''1926''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/04/metal19262304p199/metal19262304p199.html 1-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] |- |- | || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/05/metal19262305p269/metal19262305p269.html 2-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] |- |} === Les innovations avec le [[w:Arsène d'Arsonval|'''Pr Arsène d'ARSONVAL''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]] <br>A. C. KREBS et [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Pr Arsène d'ARSONVAL]], médecin, physicien et académicien, sont amis de longue date. <gallery> File:1889~Album Course 01 'première voiture de course'.jpg | '''1891''' - '''D'Arsonval''' : "''Nous décidâmes, un beau jour de 1891, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile'''"[...] <ref>'''1937''' - [https://archive.org/details/d-arsonval-soixante-cinq-ans-a-travers-la-science/page/232/mode/2up?q=panhard "D'Arsonval - 65 ans à travers la science"], Louis Chauvois, Paris.: "''Dans les ateliers ''[[W:Panhard|Panhard & Levassor]]'' un moteur à essence '''[[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]]''' de 2CV établi sur un bâti fixe, faisait fonctionner la scie débitant les pièces de bois. Qu'à cela ne tienne ! "Nous décidâmes, un beau jour de 1891'' [plutôt 1890]'', nous dit M. d'Arsonval, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile''' et nous construisîmes ainsi l'un des premiers engins à rouler sur le sol".</ref> File:Collège de France. M. le professeur d'Arsonval, membre de l'Institut.jpg| '''1902''' - ''A. D'Arsonval (1851-1940) prète son laboratoire au Collège de France à A. C. KREBS pour lui permettre de développer sa théorie sur le carburateur automatique pour automobiles''. File:Panhard & Levassor Break 1898 (CNAM-IMG 0624).jpg |[[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Arsène d'ARSONVAL]] commande cette voiture à son ami A. C. KREBS, directeur des usines '''Panhard & Levassor''' le [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AGetty_Research_Institute_(IA_laretrospectived00expo).pdf&page=56 '''07-09-1897'''], en demandant qu'une dynamo soit ajoutée pour permettre de générer de l'électricité pour ses expériences. <ref>'''1898''' Panhard-M2F d'Arsène d'ARSONVAL presentée au [https://collections.arts-et-metiers.net/?queryId=28f7ab4d-a8b2-45e9-82f1-785523e4f7c6 musée du Cnam (Paris)].</ref> File:1905 LA-NATURE=Voiture-radiologique-Gaiffe-d'Arsonval-Panhard.jpg |'''1904''' - A. C. KREBS construit la '''voiture radiologique''' GAIFFE et d'ARSONVAL qui produit le courant alternatif et le courant continu pour les appareils médicaux. <ref>'''1905''' - [http://cnum.cnam.fr/CGI/sresrech.cgi?4KY28.64/104 La voiture radiologique Gaiffe-Panhard], ''[[W:La_Nature|LA NATURE]]'', p100, Paris]. </ref> File:1909 Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques = Documents sur Eusapia Palladino avec d'Arsonval Krebs (1905) Curie.pdf|page 11|'''1905''' - A. C. Krebs participe à des '''séances de spiritisme scientifique''' organisées par [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|A. d'Arsonval]], aux côtés de personnalités scientifique comme [[W:Marie_Curie|Mme Curie]]. <ref>'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57730276/f82.image.r=krebs Institut général psychologique]: Section des recherches psychiques et physiologiques : documents sur [[w:Eusapia Palladino|Eusapia Palladino]] : "''[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf&page=83 J'ai senti une pression faite sur mon bras gauche, comme avec une boule de coton]''".</ref> </gallery> '''1891''' : Pr s'Arsonval aide Levassor pour son brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=719065&positionResult=20&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=levassor&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afdc541dd82/arko_default_63f47e41d68c8/image/700691|0|2 '''FR'''215695] du 21-08-'''1891''' : "'''Perfectionnements aux moteurs à gaz'''". '''1894''' - [https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=arsonval '''Société Française de Physique''']: Pr d'Arsonval demonstrates that the Panhard & Levassor petroleum engine is "''the real engine applicable to road traction''". <ref>[https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=panhard '''1894-03-02''' - '''Société française de physique''']: "''M. d'Arsonval operates in front of the Company a petroleum engine built by the Panhard and Levassor Cy on the data of M. [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''"</ref> '''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL ayant prouvé que le [[w:benzol|benzol]] ne présentait pas de risque d'explosion dans un environnement confiné, la Marine commande des '''moteurs au benzol''' à A. C. KREBS pour ses sous-marins de la [[w:Classe Naïade|classe Naïade]] (voir infra). '''1902''' - A. d'ARSONVAL prète son laboratoire au '''Collège de France''' à A. C. KREBS pour effectuer ses expériences sur son '''carburateur automatique'''. '''1905''' - A. d'Arsonval présente à l'Académie des sciences la note d'A. C. KREBS sur son '''frein dynamométrique électrique''' (voir ci-dessus) permettant de mesurer précisément la puissance des moteurs à pétrole. <ref>'''1905-11-13''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3095m/f757.item.r=krebs Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]: ''MÉCANIQUE APPLIQUÉE. Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé. Note de M. A. Krebs, presentée par M. d'Arsonval''. </ref> '''1905''' - A. C. KREBS a participé à des séances de spiritualisme scientifique organisées par l'académicien A. d'ARSONVAL dans le cadre de l' '''Institut Général de psychologie'''. <ref>'''1909''' - Séances de spiritualisme organisées par l'académicien Arsène d'Arsonval dans le cadre de l' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf "'''Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques'''"].</ref> === Le '''Rhéomètre''' de A. C. KREBS === '''Voir aussi''' : [[w:Rhéomètre|Rhéomètre]], [[w:Viscosimètre|Viscosimètre]], [[w:Rhéologie|Rhéologie]], [[w:Fluide (matière)|Fluide (matière)]] <gallery> File:1907-04-20 Génie-Civil - le rhéomètre de A. C. KREBS.jpg|''''1907''' - '''Le Génie Civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488843c/f12.image.r=krebs "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"] (rhéomètre). File:1909-01-15 La Technique Automobile - le voluliquimètre (rhéomètre) de Krebs.jpg|'''1909''' - '''La technique Automobile''' : "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''" (rhéomètre). </gallery> '''1907''' – '''Communication à l'académie des Sciences''' de A. C. KREBS (cf. infra) : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&page=747 "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"]. '''1909''' - '''La Technique automobile''' : "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''". === A. C. KREBS et [[w:Ettore Bugatti|'''Ettore BUGATTI''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Ettore Bugatti|'''''Ettore Bugatti''''']], [[commons:Category:Bugatti|'''''Bugatti''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ettore Bugatti|Ettore Bugatti]] <br>'''1913-01-24''' : '''Panhard & Levassor board''' - "Mr. Director [A. C. KREBS] reports '''on the visit he made to Mr. Bugatti in his factory''' in Molsheim [Alsace] where he was able to test the cars built by Mr. Bugatti and engines on dynamometric break. Mr. Director noticed different '''very interesting construction processes'''; However, he thinks that Mr. Bugatti, to achieve this result, '''makes the material work at its greatest limit of resistance''', which is contrary to the ways of proceeding in our company which always tend to keep a fairly large margin in the resistance of the metal". === Les '''véhicules militaires''' === Krebs utilized his former military membership to supply the French Army with engines and vehicles including the '''1904''' Genty [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]], the '''1911''' Châtillon-Panhard 4x4 truck, the [[w:Saint-Chamond (char)|'''1916''' char Saint-Chamond]], and others. ==== Les automobiles à Madagascar pour le '''Général Galliéni''' ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Joseph Gallieni|'''''Joseph Gallieni''''']], [[commons:Category:French Madagascar|'''''French Madagascar''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Joseph Gallieni|Joseph Gallieni]] <br>'''1899''' - General Gallieni, governor of Madagascar, brought three Panhard & Levassor cars from Paris, two 12hp cars and one 6hp car. <ref>'''1908''' - Neuf ans à Madagascar (General Galliéni) : "''[https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/170/mode/2up?q=panhard Le premier essai d'automobilisme en pays malgache]'' [...] ''Une voiturette six-chevaux et deux voitures douze-chevaux Panhard-Levassor, essayées sur les deux routes de Tamatave et de Majunga, donnèrent [https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/n371/mode/2up?q=panhard des résultats aussi satisfaisants que je pouvais l'espérer]''". </ref> <gallery> File:Gallieni.jpg|'''1897''' - '''Gallieni''' (1849-1916) (seated) and his staff in Madagascar: Hubert '''Lyautey''' (left) and Jean-Noël '''Savelli''' (center). File:1900 - Panhard & Levassor - Construction d'une route avec une rampe à 15% à Madagascar.jpg|'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5687124k/f2.item '''Construction of a road'''] with a 15% ramp in Madagascar. File:1900 - Panhard & Levassor - Arrivée des officiels à Tananarive.jpg|'''1900''' - Arrival of General Galliéni in Tananarive with the '''6cv Panhard & Levassor'''. File:1901 - Panhard & Levassor sur la route de l'est.jpg|'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k104768j/f80.image.r=panhard '''Panhard & Levassor 12hp car'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni on the eastern route. File:1902 - Panhard & Levassor - Personnel et matériel à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://archive.org/details/sim_industrial-management-1916_engineering-magazine_1905-03_28_6/page/910/mode/2up?q=panhard '''Panhard & Levassor vehicles'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni in Madagascar. File:1902 - Panhard & Levassor - Service de la Poste à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5737277x/f119.image.r=panhard Postal service in Madagascar] with a '''Panhard & Levassor break 15hp adapted to high temperatures'''. </gallery> ==== Les moteurs pour '''les dirigeables [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy]]''' & [[w:Société Astra|Astra]] ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Lebaudy airships|'''''Lebaudy airships''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy Frères]] A. C. KREBS built all the '''engines for Lebaudy military airships'''. <gallery> File:Lebaudy airship RAE-O426.jpg|'''1910''' - The Lebaudy airship [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65639070/f565.image "'''''Morning Post '''''"], with '''2 Panhard & Levassor engines''', in flight. File:1968 Chitty-Chitty-Bang-Bang dirigible inspired by the French Lebaudy dirigible.pdf|'''1968''' - '''A. C. KREBS''' will provide all the '''Panhard & Levassor engines''' for the '''Lebaudy-type french military airships'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Year !! Airship !! Comments |- | '''1905''' || '''Jaune III''' || '''Lebaudy''', 2950m3, '''50HP Panhard & Levassor''', 33km/h |- | '''1906''' || '''Jaune IV''' || '''Lebaudy''', 3300m3, '''50HP Panhard & Levassor''', 36km/h |- | '''1906''' || [[w:Patrie (dirigeable)|'''Patrie''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m30 diam., 3250m3, '''70HP Panhard & Levassor''', 41km/h |- | '''1908''' || [[w:République (dirigeable)|'''République''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard & Levassor''', 42km/h |- | '''1909''' || '''Russie''' || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard & Levassor''' |- | '''1909''' || '''Liberté''' || '''Lebaudy''', 65m80, 11m45 diam., 4600m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 41km/h |- | '''1909''' || '''Colonel Renard''' || '''Astra''', 65m50, 10m80 diam., 4200m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 38km/h |- | '''1909''' || '''España''' || '''Astra''', 65m50, 12m66 diam., 4200m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 40km/h |- | '''1910''' || [[w:Lebaudy Morning Post|'''Morning Post''']] || '''Lebaudy''', 103m, 12m diam., 10000m3, '''2x135HP Panhard & Levassor''' |- | '''1910''' || '''Lebedi''' || '''Lebaudy''', 61m, 11m diam., 3700m3, '''2x70HP Panhard & Levassor''' |- | '''1911''' || '''Capitaine Marchal''' || '''Lebaudy''', 85m, 12m80 diam., 7200m3, '''2x70HP Panhard & Levassor''', 45km/h |- | '''1911''' || '''Lieutenant Selle de Beauchamp''' || '''Lebaudy''', 89m, 14m60 diam., 10000m3, '''2x80HP Panhard & Levassor''', 45km/h |- | '''1912''' || '''Adjudant Réau''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard & Levassor''', 50km/h |- | '''1912''' || '''Lieutenant Chauré''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard & Levassor''', 50km/h |- |} ==== Les moteurs pour '''sous-marins''' au benzol ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Naiade class submarine (1903)|Naiade class submarine (1903)]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]] <br>A. C. KREBS built all the engines for the '''Naïade class submarines'''. <gallery> File:Sous-marin Thon.JPG|'''1908''' - Naïade-class submarine '''Thon'''. </gallery> '''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade||sous-marins]. {| class="wikitable nowraplinks" |+ '''''Naïade''-class submarines equiped with Panhard & Levassor benzol engines''' ! Name !! Pennant number !! Namesake !! Builder !! Launched !! Comments |- | [[w:Alose (sous-marin)|Alose]] || Q33 || "[[w:Shad]]" || [[w:Arsenal de Toulon]] || 12 October 1904 || [[w:Navy List|Stricken]] May 1914; preserved as museum ship |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Anguille_(1904) Anguille] || Q32 || "[[w:Eel]]" || Arsenal de Toulon || 8 August 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Bonite_(1904) Bonite] || Q19 || "[[w:Bonito]]" || Arsenal de Toulon || 6 February 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Castor_(1903) Castor] || Q26 || "[[w:Castor (genus)|Beaver]]" || [[w:Arsenal de Rochefort]] || 5 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Dorade_(1903) Dorade] || Q22 || "[[w:Dolphinfish|Dorado]]" || Arsenal de Toulon || 5 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Esturgeon_(1904) Esturgeon] || Q18 || "[[w:Sturgeon]]" || Arsenal de Toulon || 8 January 1904 || Stricken 1912 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Grondin_(1904) Grondin] || Q31 || "[[w:Sea robin|Gurnard]]" || Arsenal de Toulon || 15 July 1904 || Stricken 1913 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Loutre_(1903) Loutre] || Q25 || "[[w:Otter]]" || Arsenal de Rochefort || 25 August 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludion_(1904) Ludion] || Q24 || "[[w:Cartesian diver|Diver]]" || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lynx_(1903) Lynx] || Q23 || "[[w:Lynx]]" || [[w:Arsenal de Cherbourg]] || 24 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9duse_(1904) Méduse] || Q29 || "[[w:Medusa (biology)|Jellyfish]]" || Arsenal de Rochefort || 15 June 1904 || Stricken May 1914 |- | [[w:Naïade (1904)|Naïade]] || Q15 || "[[w:Naiad]]" || Arsenal de Cherbourg || 20 February 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Otarie_(1904) Otarie] || Q28 || "[[w:Sea lion|Sealion]]" || Arsenal de Rochefort || 16 April 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Oursin_(1904) Oursin] || Q30 || "[[w:Sea urchin|Urchin]]" || Arsenal de Rochefort || 26 September 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Perle_(1903) Perle]|| Q17 || "[[w:Pearl]]" || Arsenal de Toulon || 1 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Phoque_(1904) Phoque] || Q27 || "[[w:Pinniped|Seal]]" || Arsenal de Rochefort || 16 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%A9e_(1903) Protée] || Q16 || "[[w:Proteus]]" || Arsenal de Cherbourg || 8 October 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Souffleur_(1903) Souffleur] || Q21 || "[[Common bottlenose dolphin|Dolphin]]" (lit. "Blower") || Arsenal de Toulon || 20 April 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Thon_(1904) Thon] || Q20 || "[[w:Tuna]]" || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Truite_(1905) Truite] || Q34 || "[[w:Trout]]" || Arsenal de Toulon || 14 April 1905 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/X_(1904) X (Dauphin)]|| Q35 || "[[w:Dolphin]]" || Arsenal de Toulon || 15 November 1904 || '''First french submarine equipped with two propellers'''. Stricken May 1914 |- |} ==== L'automitrailleuse '''Genty''' pour le '''Général Lyautey''' au Maroc ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard-Genty 24 HP|Panhard-Genty 24 HP]], [[commons:Category:Henri Genty|Henri Genty]], [[commons:Category:Automitrailleuse|Automitrailleuse]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]] <br>A. C. KREBS construit les automitrailleuses Genty. <gallery> File:De la Touloubre (au volant d'une Bayard-Clément) - btv1b53225700r.jpg|'''1906''' - '''Henri Genty De la Touloubre''' racing driver on Bayard-Clément. File:Иллюстрация к статье «Автомобиль». Фиг. № 8. Военная энциклопедия Сытина. Том 1 (СПб., 1911—1915).jpg|'''1906''' - [[W:Panhard-Genty_24_HP|The Panhard 24 HP Automitrailleuse]] '''built by A. C. KREBS''' at the Panhard & Levassor factory '''as a former officer'''. File:1907-12-21 - La Vie Au Grand Air - auto-mitrailleuse Panhard & Levassor du Cap. Genty.jpg| '''1907''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97968382/f9.image.r=genty La Vie Au Grand Air] - '''Panhard & Levassor Automitrailleuse of Cap. Genty''' in operation '''in Morocco'''. File:1907 - Général Lyautey - Commandant général d'Algérie.png|'''1907''' - '''[[w:Hubert Lyautey|General Lyautey]]''' (1854-1934) : General Commander of [[w:Algérie française|Algerie]]. File:Photos-General-Dalbiez-Boite-4-008.jpg|'''1912-07''' - Appointed Resident General of Morocco '''General Lyautey''' visited Fez and Meknes with the '''Genty automobile'''. File:Lyautey reaches Marrakesh in armored car (1912, Le Petit Journal).jpg|'''1912-10''' - "'''General Lyautey''' went to Marrakech in '''an auto-machine gun'''". </gallery> '''1913''' - [https://armoredcars-ww-one.blogspot.com/2012/04/panhard-genty-machine-gun-car.html L'automitrailleuse Panhard-Genty]: "''Modification de '''1912''' sur le modèle Panhard 24 HP '''1907'''.''" Une [[W:Panhard-Genty_24_HP|Panhard 24 HP]] fut acquise par le ministère de la Guerre en '''1904''' afin d'expérimenter les capacités militaires des automobiles, notamment pour la reconnaissance. Suite aux manœuvres militaires de septembre '''1905''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] fut autorisé à installer des affûts de mitrailleuses sur la Panhard 24 HP, dont il était le pilote. Après transformation en '''1906''', la Panhard 24 HP fut envoyée en décembre '''1907''' au Maroc et mise en service à la frontière algéro-marocaine. Le général Maurice Bailloud, du 19e corps d'armée algérien, réclama de nouveaux véhicules. Des voitures [[w:Adolphe_Clément-Bayard|Clément-Bayard]] furent expédiées en '''1908''' et '''1910''', mais se révélèrent inadaptées. '''Trois Panhard 24 HP''' furent alors livrées à nouveau en '''1912'''. En '''1903''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] proposa, conjointement avec A. C. KREBS, de modifier un châssis Panhard & Levassor pour en faire '''une automitrailleuse opérationnelle'''. Il surélève la garde au sol du châssis de 32 cm grâce à des ressorts de 0,90 m à l'avant et de 1,30 m à l'arrière. L'essence est répartie dans deux réservoirs cylindriques indépendants de 45 litres formant les sièges, offrant une autonomie de 400 km sur route en bon état et de 250 km sur route en mauvais état. Le moteur de 35 ch permet au véhicule d'atteindre 65 km/h en vitesse de pointe. Il est équipé d'un carburateur automatique Krebs, d'un double allumage (batterie et magnéto), d'une lubrification automatique, d'un refroidissement par pompe et radiateur avec réservoir isolé, d'un échappement libre "à la demande", d'un embrayage à cône de cuir, d'une boîte de vitesses à baladeur et d'une transmission par chaîne. La direction est irréversible, avec un angle de braquage de 25°. Le freinage est assuré par des freins à mâchoires sur le différentiel et des freins à ruban sur les roues arrière. Les roues sont équipées de jantes démontables, système Michelin, permettant un changement de pneu en 4 minutes maximum. Le risque de crevaison est réduit grâce au choix de pneus 920 x 120 à semelle renforcée, résistants aux pierres et aux épines. Deux roues de secours sont fixées à droite du véhicule. L'armement du véhicule comprenait '''2 mitrailleuses Hotchkiss''' : une sur son affût et une de rechange sur ses supports, à droite du véhicule. La mitrailleuse utilisée pouvait être placée sur l'un des deux supports situés à l'arrière et au centre du véhicule. Les munitions étaient réparties dans neuf caisses d'une capacité totale de '''20.000 cartouches''', dont 3.600 dans les coffres du véhicule. ==== Le tracteur d'artillerie '''Châtillon-Panhard''' ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Tracteur Panhard-Châtillon|'''''Tracteur Châtillon-Panhard''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Châtillon-Panhard|Châtillon-Panhard]] <br>En '''1911''' - A. C. KREBS conçoit, conjointement avec la Sté Chatillon, un '''véhicule tout terrain''' à quatre roues motrices et directrices ["'''''à adhérence totale'''''", '''avec un seul différentiel'''. Ce camion destiné à des fins militaires et civiles, a été utilisé pendant la Première Guerre mondiale comme '''tracteur d'artillerie'''. <gallery> File:Artillery Tractor Chatillon-Panhard 1914.jpg|Le [[w:Châtillon-Panhard|'''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' à quatre roues motrices et directrices]]. File:1913 Tracteur-Chatillon-Panhard=plans.jpg|'''1911''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f282.image '''tracteur 4X4 Châtillon-Panhard''' à "adhérence totale"]. <ref>'''1914''' - '''The Field Artillery Journal''' : [https://archive.org/details/sim_field-artillery_october-december-1914_4_4/page/526/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 "The Châtillon-Panhard traction-motor of total adhesion"], par le Commandant L. Ferrus.</ref> File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 109|'''1913''' - La "'''''transmission à vis'''''" du Châtillon-Panhard. File:1914-1918 Tracteur-Chatillon-Panhard - Artillerie lourde, un groupe de 120 long.ogg|'''Video''' : '''1916''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://imagesdefense.gouv.fr/fr/artillerie-lourde-un-groupe-de-120-long-a-tracteur.html# "'''''Artillerie lourde, un groupe de 120 long'''''"]. File:WWI French army Panhard truck.jpg|'''1916''' - '''Tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' : 35HP K11. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 16|'''1917''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f313.image.r=panhard# "'''''Transmission par vis sans fin et engrenages coniques'''''"]. </gallery> ==== Le char '''Saint-Chamond''' ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Saint_Chamond_tank|'''''Char Saint-Chamond''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]] <br>A. C. KREBS construit les moteurs sans soupapes des chars Saint-Chamond. <gallery> File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manœuvre - gravure.jpg|'''1916''' - Le '''Char Saint-Chamond''' à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65523451/f13.item.r=Artillerie%20St-Chamond '''moteur Panhard & Levassor sans-soupape''']. File:1914-1918 - P&L- Char-Saint-Chamond.pdf|'''1916-1918''' - Le [[w:Saint-Chamond (char)|'''Char Saint-Chamond''']] à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:1914-1918_-_P%26L-_Char-Saint-Chamond.pdf moteur '''Panhard & Levassor''']. File:St. Chamond.jpg|'''1917''' ~ '''chars St. Chamond''' à l'exercice. </gallery> ==== Les '''treuils de ballons captifs''' à moteurs à essence ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ballon captif|Ballon captif]] <br>'''1916''' - A. C. Krebs transpose son treuil à vapeur hippomobile de '''1882''' sur ses camions Panhard & Levassor, en ajoutant un bloc-moteur et un poste de manœuvre du ballon afin de permettre au dispositif de rester opérationnel au cours du déplacement. <ref name=treuil-Krebs/> <ref name=treuil-Krebs>. '''1921''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555734j/f22.item.r=panhard# '''Treuils de ballons captifs'''] : toutes les variantes de treuils basées sur le système Krebs de touage à 2 tambours parallèles. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555735z/f45.image.r=treuil (Suite)].</ref> '''1921''' - "''Avant la guerre il était couramment admis que, seule la machine à vapeur possédait l'élasticité de puissance nécessaire pour manœuvrer un ballon captif''." <ref name=treuil-Krebs/> <gallery> File:1916 - Poste d'aérostation=Treuil A. C.KREBS à vapeur modèle 1882.jpg|'''1916''' - Poste d'aérostation : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_%C3%A0_vapeur.pdf '''Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882 en opération'''] en France (voir supra). File:Aérostation - la voiture-treuil permettant de monter et descendre le ballon captif, avec le générateur d'hydrogène pour le gonfler - Marasesti - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - AP62T122957.jpg|'''1917''' - Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882''' (voir supra) '''en opération en Roumanie'''. File:1916-07-24 Près de La Neuville-au-Pont=un camion treuil Panhard K19 SS camouflé de l'aérostation sort de son abri=treuil Krebs.jpg|'''1916''' - Près de La Neuville-au-Pont, un '''camion treuil''' d'aérostation ('''treuil système KREBS''') '''PANHARD K19 SS''' camouflé, sort de son abri. File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&L.jpg|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_Panhard_%26_Levassor.pdf '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence adapté par lui-même] sur son camion T4 RKV '''Panhard & Levassor'''. File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&L en opération.png|'''1916''' - '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence '''sur son camion T4 RKV Panhard & Levassor''' en operation. </gallery> ==== La '''locomotive automotrice''' Leroux ==== '''Voir aussi''' : [[w:Crochat|Crochat]] <br>A. C. KREBS poursuit l'orientation de Levassor vers '''le petit matériel ferroviaire''' dès '''1896'''. <br>'''1898''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5711501d/f6.item '''Notes sur les voitures automobile'''] : Le "''camion à marchandises''", et l' "''automobile postale du Nord''" avec son schéma. <br>'''1913''' - A. C. KREBS construit la [https://www.musee-du-genie-angers.fr/fpdb/202922-42-locotracteurblindecrochattypelc81916.pdf '''locomotive automotrice pétroléo-électrique'''] Leroux destinée au ministère de la guerre : moteur de 150 cv et transmission électrique. <ref>'''1913''' - '''Comité de direction P&L''' - '''1913-13-01''' - "''Monsieur Krebs donne connaissance d’un projet de contrat entre la Sté P&L et M. Leroux de Valenciennes pour la construction de locomotives automotrices. Les clauses de ce projet de contrat sont analogues à celles du projet de contrat relatif aux accumulateurs Edison''". '''1913-12-22''' - "''La locomotive pour la Guerre étudiée avec le concours de M. Leroux (agent Fives) est commandée. Cette locomotive doit être livrée le 22 juin. On prendra, pour arriver à faire la livraison en temps voulu, l’un des moteurs [de canot de course] de 150 chevaux en construction pour M. Despujols. Malicet et Blin pourrait se charger de la taille des engrenages de la boîte''". '''1914-05-12''' - '''État de Production''' : "''Locomotive BT4N²-BT4 - Commande des ventilateurs de radiateurs avec débrayage automatique. Boîte BT4 - Dessins d’exécution terminés. BT4N² - Hausse pour essai du moteur sur VIMA. BS3-4MF - Groupe électrogène dynamo [https://fr.wikipedia.org/wiki/Compagnie_fran%C3%A7aise_pour_l'exploitation_des_proc%C3%A9d%C3%A9s_Thomson-Houston Thomson Houston]''". '''1914-07-22''' - "''M. Leroux nous demande de presser la construction des locomotives militaires. Il aurait voulu voir devancer la date de livraison en vue des manoeuvres d’Epinal.''" [...] "''On nous demande de faire des propositions pour une automotrice pour voie de 0,60 m pour le Maroc. Le prix de revient d’une pareille automotrice serait de 15.629 frs. Nous demanderons 20.000 frs. Nous n’avons pas un grand intérêt à nous lancer dans cette voie nouvelle''". </ref> <gallery> File:1899 - Panhard & Levassor - catalogue avec bateau, draisine postale et tramway.pdf|page=42|'''1897''' - La '''draisine postale''' P&L pour la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5527474m/f5.item Compagnie du chemin de fer du Nord]. File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|page=41|'''1899''' - '''Tramway à 24 places''' de Panhard & Levassor. File:1901-01-19 - Scientific-American-v84-n03 - la draisine à pétrole Panhard & Levassor.png|'''1901''' - Une '''draisine postale à pétrole''' conçue par A. C. KREBS. File:Crochat Type L.jpg|'''1913''' - Cette [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6244610g/f49# '''locomotive Crochat'''] date de la même année que la '''locomotive Leroux''' à moteur Panhard de A. C. KREBS. </gallery> == '''Gestionnaire de grands projets technologiques (1876-1916)''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor|'''''Panhard & Levassor''''']] <br>'''Voir aussi''' : [https://de.wikipedia.org/wiki/Panhard_%26_Levassor Panhard & Levassor] (Deutsch), [https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Panhard%26Levassor-Pkw liste des types]. <br>'''1871''' - "''Après la guerre, j'ai été détaché à l'école de Saint-Cyr, où je suis resté un an ''[18 mois]'' pour compléter mon éducation militaire. Depuis lors, je me suis continuellement occupé de questions mécaniques et '''je me suis consacré à des études me permettant de me former en tant qu'ingénieur, par mes propres efforts, en me tenant au courant des nouveaux développements dans les arts mécaniques'''.''" <ref> '''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf&page=11 Témoignage de A. C. KREBS au procès Selden] : "''After the war I was transferred to St. Cyr School, where I remained for one year in order to complete my military education. Since then I have continually been occupied with mechanical matters, and I applied myself to studies to equip myself as engineer, by my own efforts, keeping myself in close touch with new developments in the mechanical arts''."</ref> '''1877''' - '''A. C. KREBS (27 ans)''' à '''Ch. Renard (30 ans)''' : "''Il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'' [...]". <ref>'''Fin 1877''' - '''A. C. KREBS''' à '''Ch. Renard''' : "''Mon cher capitaine, Venez demain à Poissy ''[où stationne le régiment de A. C. KREBS]'' dans la soirée dîner avec moi, parce qu'il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. '''Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'''. C’est pourquoi, si vous pouviez venir demain, nous arrêterions définitivement la forme du moteur à exécuter immédiatement, puis les études seront poursuivies ensuite. J’ai complètement fini la chaudière. Je vous ferai voir les tentatives et les résultats des derniers essais, soit de distribution, soit de dispositifs de machines, et '''les avantages et inconvénients''' qui en résultent. Ceci est très important à savoir '''pour ne pas recommencer inutilement des choses déjà faites'''. C’est surtout comme distribution par robinet que l’on est exposé à des consommations de vapeur énormes ou à des usures prématurées. Pour moi, en ce moment, l’idéal comme machine est celle fonctionnant avec une vapeur légèrement surchauffée pour éviter à l’intérieur du cylindre toute espèce de condensation et obtenir ainsi une économie de combustible. Il ne faudrait pas dépasser, comme température, 200°. On aurait à craindre aucun grippement, et '''en équilibrant par des ressorts les masses en mouvement on pourrait atteindre de grandes vitesses de rotation, en faisant vibrer pour ainsi dire à l’unissons toutes les pièces en mouvement'''. Enfin, à demain. Tout à vous. Venez avec de la Haye.''"</ref> '''1888-04-17''' - '''A. C. KREBS''' : "''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis.''" '''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : "''L'attitude du constructeur britannique a en effet été bien décrite comme celle d'un '''marché aux portes de Panhard''', une position également avantageuse pour le constructeur américain.''. <ref>'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : ''Indeed the attitude of the British maker has been well described as [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-02_4_2/page/n3/mode/2up?q=panhard 'sitting on '''Panhard''''s doorstep'], a good place also for the American maker''".</ref> '''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : "''L'automobile française est le fruit d'une longue expérimentation et d'une réflexion approfondie consacrée à chaque pièce, de l'axe, du boulon de blocage et de la rondelle, jusqu'au moulage du cylindre et aux segments de piston''". <ref>'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-04_4_4/page/320/mode/2up?q=panhard "''Le soin du travail français''"] By C. R. Mabley.</ref> <gallery> File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris. File:1886 Renard & Krebs plan du parc aérostatique de Chalais-Meudon.jpg |'''1886''' - Renard & Krebs : plan du [[W:Chalais-Meudon|'''Parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''']]. 1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''. File:1900~Pompiers depart-attele.jpg| '''1895''' - '''Pompiers de Paris''' : Le départ attelé de la réorganisation de A. C. KREBS avec la '''pompe à vapeur Durenne & Krebs''' (modèle 1888) visible en arrière plan. File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental "'''''Gymnote'''''" (à gauche), le grand sous-marin "'''''Gustave Zédé'''''" (à droite) est construit par la Marine française. File:1895 - Panhard & Levassor - 'The first Petrol car introduced into England' by Hon. Evelyn Ellis.png|'''1895''' - Panhard & Levassor - "'''''La première voiture à essence introduite en Angleterre'''''" par l'honorable Evelyn Ellis. <ref>'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMotors_and_motor-driving_(IA_motorsmotordrivi00nortiala).pdf&page=45 Motors and motor-driving]: "'''''The first Petrol car introduced into England", the Hon. Evelyn Ellis's 4HP Panhard & Levassor Car'''''".</ref> File:1896-09-03 rencontre Levassor-Krebs=prise de licence sur le brevet Krebs.pdf |'''1896-09-03''' - Lettre de prise de licence de '''Émile LEVASSOR''' adressée à Arthur C. KREBS pour son brevet d'automobile '''FR'''256344. File:Panhard & Levassor catalogue 1896-7.pdf|'''1897''' - catalogue des voitures [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf '''Panhard & Levassor''']. File:Automotive diagrams 01 En.png|'''1898''' - A. C. KREBS complète le "[[W:Moteur_%C3%A0_l%27avant_et_roues_arri%C3%A8re_motrices|'''système panhard''']]". File:1898-04-16 - La France Automobile - 'The first car in Japan'.pdf|'''1898''' - La France Automobile : '''''[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E8%87%AA%E5%8B%95%E8%BB%8A%E3%81%AE%E6%B8%A1%E6%9D%A5 La première voiture à pétrole au Japon]''''', une Panhard & Levassor type M2E, n°941, livrée le 11-08-'''1897'''. File:Panhard & Levassor catalogue 1898.pdf|'''1898''' - Catalogue des [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1898.pdf voitures '''Panhard & Levassor'''] alors que A.C. KREBS dirige la société. File:1898-Panhard race car=The first car in Britain fitted with wheel steering.png |'''1898''' - La '''voiture de course Paris-Amsterdam-Paris''' Panhard & Levassor 6HP exportée de France par Henry Rolls : "'''''Première voiture en Grande-Bretagne équipée d'un volant'''''". <ref name=Rolls /> File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|'''1899''' - Catalogue des voitures Panhard & Levassor avec '''bateau''', '''draisine postale''' et '''tramway'''. File:1899-10 - Horseless age - Steinway Daimler-Panhard Phenix advertisement.png|'''1899''' - [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Steinway#Daimler_cars '''Steinway'''] : publicité '''Daimler-Panhard Phénix''' : "'''''Le standard automobile mondial'''''". File:Les usines Panhard d'Ivry en 1900.jpg |'''1900-05-27''' - La Vie au Grand Air: "'''les usines Panhard'''". File:1900 VCP=1° en Espagne (PM-1 + PM-2 + PM-5).jpg|'''1900''' - La [https://en.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9ment-Panhard '''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''] est la 1ère voiture à pétrole à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900_VCP%3D1%C2%B0_en_Espagne_(PM-1_%2B_PM-2_%2B_PM-5).jpg Palma de Majorque], au [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Santa_Casa_de_Miseric%C3%B3rdia_Salvador_Bahia_VCP_Voiture_Cl%C3%A9ment_Panhard_1898-0553.jpg Brésil], en [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_P%26L_VCP_Capitaine_Fjodorovi_1%C2%B0-Tallin_Estonie.jpg Estonie] etc. File:1904 - Self-propelled vehicles - Panhard & Levassor - "the foremost in the automobile world".jpg|'''1901''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1901-02-16_51_1311/page/21014/mode/2up?q=panhard Scientific American] : "'''''L'automobile Panhard & Levassor'''''". '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/350/mode/2up?q=panhard Véhicules automoteurs] : "'''''Le leader du monde automobile'''''". 1901-04-13 The Autocar='A visit to the Panhard works'.pdf |'''1901-04-13''' - The Autocar: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-04-13_The_Autocar%3D%27A_visit_to_the_Panhard_works%27.pdf "'''Une visite aux usines Panhard''']: ''Il ne faut pas s'imaginer que nous désespérons de l'industrie anglaise ; loin de là, car il existe chez nous des entreprises qui produisent un travail au moins égal à celui de '''Panhard and Levassor''', mais '''aucune entreprise n'est comparable à elle en termes d'ampleur'''.''" File:1902 Fiat 12-16 HP Museo Nazionale dell'Automobile di Torino 01.jpg|'''1901-06-21''' - [[W:Fiat|'''FIAT''']] prend la décision '''de copier la voiture légère Panhard & Levassor''', ainsi l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Giovanni Enrico] conçoit la [[W:Fiat|'''FIAT 12HP''']]. <ref>[https://www.byterfly.eu/islandora/object/librib%3A632795#page/166/mode/2up '''Procès-verbaux du conseil d'administration FIAT (1899-1915)''']. '''1900-10-09''' - <small>"[L'ingénieur Marchesi] ''estime qu'il serait judicieux d'acheter une bonne voiture française, et peut-être même une Panhard Levassor de dernier modèle, afin de pouvoir les étudier, notamment les détails de leur construction''". '''1900-10-16''' - "''Faccioli dit que bien que le système actuel fonctionne correctement, il estime qu'il y aurait d'énormes avantages à placer le moteur à l'avant, tant pour des raisons de facilité que pour des raisons de perfectionnement de la construction, et pour standardiser les modèles. Il affirme avoir déjà étudié un projet qui répondrait aux besoins actuels. Agnelli propose de conserver le type Panhard Levassor. Après une longue et animée discussion, le Président demande l'avis du Conseil sur les deux propositions''". La proposition de Faccioli est approuvée. '''1901-11-12''' - "''Goria Gatti partageait l'avis de Ceriana, mais après avoir étudié la question en profondeur, il était convaincu de la validité des arguments du Président. Notre usine, occupée à produire 100 Fiat cette année, ne serait absolument pas en mesure de fabriquer la petite voiture. Or, les petites voitures étant très recherchées et le marché saturé de voitures étrangères, il est nécessaire de leur proposer un modèle tout aussi performant et moins cher, afin d'attirer une nouvelle clientèle, qui serait alors peut-être disposée à acheter une Fiat. Il fut donc judicieux de faire construire pour nous, par une usine étrangère, une voiture équipée d'une boîte de vitesses de type Darracq et d'un moteur De Dion de 4,2 CV. C'est une question d'opportunité, et il estime qu'il n'est pas pertinent de parler du caractère italien de l'usine ni de la simple revente de voitures. Même le grand constructeur français, Panhard-Levassor, avait une petite voiture anglaise, la Krebs, fabriquée par les ateliers Clément''[pour ce faux bruit voir la Voiture Clément-Panhard supra]''. Quoi qu'il en soit, puisque nous n'abandonnerons pas le modèle Fiat, mais le limiterons aux grandes voitures, personne ne pourra dire que nous avons renié notre propre moteur. Il conseille de ne pas engager plus de 50 petites voitures.''". '''1901-06-21''' - "''Le président informe le Conseil que le conseiller Agnelli et l'ingénieur Enrico, s'étant rendus à Paris, ont examiné un véhicule léger qu'ils comptaient acquérir auprès de l'usine comme modèle pour l'année suivante. Cependant, faute d'explications de la part du fournisseur, l'achat n'a pu être effectué. Il demande à M. Agnelli de s'expliquer. ''[[W:Giovanni_Agnelli_(1866-1945)|'''M. Agnelli''']] explique que, lors de son séjour à Paris en compagnie de l'ingénieur Enrico, envoyé par l'usine sur ordre du président, ils ont examiné un nouveau véhicule léger provenant de l'une des meilleures usines parisiennes (Panhard & Levassor). Ce véhicule, très simple, économique, pratique et facile à construire, leur a semblé opportun. Ils ont donc jugé bon de proposer son acquisition par télégramme au Conseil. Cette proposition visait à mettre fin à des études interminables et coûteuses, et à pouvoir entreprendre sans délai une production sérieuse, productive tant en quantité qu'en qualité. Il se souvient avoir déjà formulé une proposition similaire à plusieurs reprises, notamment en juin et septembre de l'année dernière et en mars de cette année. Il estime cependant qu'il n'appartient pas au Conseil de délibérer sur le fond de la question, cette décision relevant de la compétence exclusive de la Direction technique''".</small></ref> File:1902 Catalogue Panhard & Levassor.pdf|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_Catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1902-03-01 - Scientific American supplement - "THE NEW LIGHT PANHARD & LEVASSOR AUTOMOBILE".pdf|'''1902''' - Scientific American : [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1902-03-01_53_1365/page/21873/mode/1up?q=panhard "'''THE NEW LIGHT PANHARD & LEVASSOR AUTOMOBILE'''"]. File:1902 - The Panhard & Levassor car of Dr-LEHWESS for his word tour.png|'''1902''' - La voiture Panhard & Levassor du Dr LEHWESS pour son '''tour du monde''' : "[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:The_Enterprise_1902-10-04_(IA_cssf_000378).pdf&page=2 '''''La voiture doit être capable de bien grimper les côtes pour franchir les Rocheuses !''''']". File:1903-04-09 - Counterfeiting by Mercedes of the Panhard & Levassor Centaure carburetor transaction between the parties.pdf|'''1903''' - '''contrefaçon par Mercedes''' du '''carburateur Centaure''' de Panhard & Levassor (transaction). File:1912 - Panhard & Levassor - usine de Reims.jpg|'''1904''' - A. C KREBS fonde '''l'[[W:Usine_Panhard-Levassor_de_Reims|usine Panhard & Levassor de Reims]]'''. File:1909 NYPL=P&L agence-New-York american-branch-Broadway+62°rue-NW US-01.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS crée '''''l'American Branch''''' située '''sur Broadway à New York'''. File:1905 - Panhard & Levassor - Manuel de conduite et d'entretien Phénix, Centaure, modèle 1904.pdf|'''1905''' - Manuel de conduite et d'entretien '''''Phénix''''', '''''Centaure''''', '''''Type 1904'''''. File:1905-08-04 The-Engineer=The Panhard & Levassor Motor Car Works.jpg|'''1905''' - The Engineer : [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up "'''''Quelques usines automobiles françaises'''''"] - PANHARD AND LEVASSOR. <ref>'''1905-08-04''' - [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up?q=panhard '''The Engineer'''] : "''L'industrie automobile s'est donc développée très lentement jusqu'à ce qu'il soit constaté que le '''type Panhard original''' de '''moteur vertical''' et de '''boîte de vitesses''' représentait véritablement '''une norme de conception permanente'''.''"</ref> File:1905 P&L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|'''1905''' - Panhard & Levassor : ''' catalogue anniversaire des 50 ans de l'usine''' dirigée par A. C. KREBS. <ref>'''1905''' - [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/The_Engineering_and_Mining_Journal_1905-05-25-_Vol_79_Iss_21_%28IA_sim_engineering-and-mining-journal_1905-05-25_79_21%29.pdf The Engineering and Mining Journal]: "''La machine à vapeur a été utilisée pour le transport de marchandises sur les vastes plaines du Sud-Ouest, notamment pour le commerce du borax. Plus récemment, l'automobile a été mise en service au Nevada, et l'un de nos confrères nous a confié effectuer le trajet de 160 kilomètres (100 miles) entre Tonopah et Bullfrog en sept heures. Cela nous rappelle les voyages d'inspection de plusieurs centaines de kilomètres (plusieurs centaines de miles) que MM. H. C. Hoover et J. H. Curie ont effectués l'an dernier '''à bord d'une Panhard, sur le plateau désertique d'Australie-Occidentale'''. L'idée même d'un tel confort de déplacement adoucira les mauvais souvenirs de ceux qui ont dû chevaucher le chameau à bascule ou la mule récalcitrante sur le sable et les spinifex d'Australie-Occidentale, ou encore sur les terres alcalines et les armoises du Grand Bassin.''".</ref> File:1905 P&L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|page 23|'''1905''' - A. C. KREBS introduit '''l'entrée latérale dans la carrosserie automobile'''. <ref>'''1906''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906-01-06_-_OMNIA_-_Standardisation_des_carrosseries_%C3%A0_entr%C3%A9e_lat%C3%A9rale_demand%C3%A9e_par_A._C._KREBS_en_1904.pdf&page=4 OMNIA] : "''À l’heure actuelle, on peut dire que toute carrosserie, de route ou de ville, couverte ou découverte, doit être à entrée latérale. Cette disposition présente de tels agréments pour le voyageur, que l’on se demande comment on a pu s’en passer si longtemps ! ''". '''01/1933''' - '''Le carrossier Labourdette''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3067216z/f38.image.r=krebs "''L'entrée latérale fut réalisée sur l'insistance de plusieurs constructeurs. Je me souviens des conversations que mon père eut alors, sur ce sujet, avec le commandant Krebs de la maison Panhard''"]. Notons qu'au XXI° siècle l'entrée latérale avec échancrure sur le passage de roues arrière reste le standard de la carrosserie automobile.</ref> File:1905 - Palais de l'Automobile - catalogue Panhard & Levassor (New-York).pdf|thumb|'''1905''' - '''Palais de l'Automobile''' : catalogue Panhard & Levassor à ('''New-York'''). File:1905-11-18 – The AUTOMOTOR JOURNAL - The 50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine.pdf|'''1905''' – The AUTOMOTOR JOURNAL: [https://archive.org/details/AutomotorJournalSecondHalf1905/page/n665/mode/2up?q=panhard voiture Panhard-Levassor 50-h.p. 6 cyl.]. File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf|page 2|'''1906''' - A. C. KREBS se rend '''à New York''' pour témoigner en tant qu'expert dans le cadre du procès Selden qui oppose les propriétaires du '''brevet Selden''' et conjointement '''Ford''' et '''Panhard & Levassor''' ([https://hal.science/hal-05527435 transcription traduite et annotée]). File:1910 Le jeune premier de l'Europe=caricature du roi Alphonse XIII d'Espagne qui vient de visiter les usines P&L avec KREBS.jpg|'''1905-11''' - Caricature du jeune [https://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso_XIII '''roi Alphonse XIII d'Espagne'''] qui vient de visiter les '''usines Panhard & Levassor''' guidé par '''A. C. KREBS'''. <ref>'''1905-11-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46271521/f1.image.r=krebs '''L'Auto-vélo''']: "''Le '''nouvel amortisseur progressif''' que la maison Panhard adapte sur ses véhicules de '''1906''' intéresse particulièrement le Roi'' ['''[[W:Alphonse_XIII|Alfonse XIII]] d'Espagne''']. ''À deux reprises il sollicite du commandant Krebs le nom de l'inventeur de cet ingénieux dispositif, mais le commandant - dont la modestie bien connue a durci l'oreille - néglige de répondre...''"</ref> File:1905 - P&L catalogue-Harvey-du-Cros GB - 'HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS'.pdf|'''1905''' - Catalogue Panhard & Levassor de '''Harvey-du-Cros - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf "''HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS''"] au Royaume-Uni''' quand A. C. KREBS dirige la société. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - Panhard & Levassor : "[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf '''Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures''']". File:1906-04-22 La Stampa Sportiva=leçon d'automobilisme chez P&L.jpg|'''1906''' - "''L' [https://www.byterfly.eu/islandora/object/libria%3A37036#mode/2up '''école moderne de l'automobiliste''']: Une leçon pratique donnée aux élèves de '''l'école du mécanicien et du conducteur d'automobile de Paris''', visitant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46272650/f1.image.r=%22nos%20cours%20d# '''l'usine Panhard and Levassor''']" dirigée par '''A. C. KREBS'''. File:1907 - Panhard & Levassor catalogue in New-York.pdf|'''1907''' - La gamme des '''voitures Panhard & Levassor''' proposée par A. C. Krebs '''à New York'''. File:1907 The Highland Association Bazaar - Panhard advertisement.pdf|'''1907''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASouvenir_and_handbook_of_Feill_a%27_Chomuinn_Ghaidhealaich_(The_Highland_Association_Bazaar)_1907_(IA_souvenirhandbook00comu).pdf&page=12 Publicité à Glasgow] : "'''''PANHARD—Best French Car. Runs well after 120,000 miles'''''". File:1908 - Panhard & Levassor- catalogue.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1908 - Panhard & Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf '''catalogue des poids lourds'''] Panhard & Levassor. File:1909 - Panhard & Levassor - catalogue.pdf|'''1909''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1909-Panhard & Levassor automobile catalogue for the 'American Branch' in Broadway in NewYork.pdf|'''1909''' - Panhard & Levassor : Catalogue de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-Panhard_%26_Levassor_automobile_catalogue_for_the_%27American_Branch%27_in_Broadway_in_NewYork.pdf '''l'American Branch''']. File:1910 Salon-de-l'Automobile-de-Paris=le nouveau moteur sans-soupapes au stand Panhard&Levassor.jpg|'''1910''' - '''Salon de l'auto de Paris''' : présentation du '''nouveau moteur sans soupapes''' au stand Panhard & Levassor. Ce moteur est '''conçu par A. C. KREBS sous licence Knight'''. File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard & Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - [[w:Émile Dubonne|Émile Dubonnet]] gagne le prix de [[W:La_Nature|LA NATURE]] sur un avion monoplan [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Tellier]] à moteur Panhard & Levassor conçu par A. C. KREBS (GAMY). File:1910 - Usine Panhard & Levassor vue depuis un ballon à 700m d'altitude.png|'''1910''' - '''L'usine Panhard & Levassor''' vue depuis un ballon à 700m d'altitude. File:1910 - Panhard & Levassor - Catalogue de pièces de rechange.pdf|'''1910''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1910_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_pi%C3%A8ces_de_rechange.pdf '''Catalogue de pièces de rechange'''] Panhard & Levassor. File:1911 - Life Magazine - The Silent-Knight.pdf|'''1911''' - '''A. C. KREBS''' developpe la version Panhard & Levassor du brevet '''Knight : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404174/publication/FR356196A?q=FR356196 '''FR'''356196], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032197949/publication/GB190514729A?q=GB190514729 '''GB'''190514729], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003159208/publication/US1090991A?q=pn%3DUS1090991A '''US'''1090991A]'''. File:1911 - Exposition de Turin - catalogue Panhard & Levassor.pdf|'''1911''' - '''Catalogue Panhard & Levassor''' pour [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1911_-_Exposition_de_Turin_-_catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''l'Exposition de Turin''']. File:Dassault Marcel.jpg|'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' (1892-1986) décide de faire un stage dans l'usine '''Panhard & Levassor'''. <ref>'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' décide de faire un stage chez '''Panhard''', et note : "''Pendant les grandes vacances suivantes, je fis un stage comme ouvrier chez Panhard. Après être passé par les différents ateliers, j'arrivai au stade de la mise au point des voitures 24CV sans soupapes. Ce travail consistait, après réglage du moteur, à faire un essai sur route du châssis, le siège étant composé d'une simple caisse à outils. J'ai ainsi appris à connaître l'organisation d'une grande usine de mécanique. J'ai aussi apprécié le travail des ouvriers, leur esprit d'équipe, leur joie quand la firme gagnait une course ou battait un record, ou lors de la sortie d'un nouveau type de voiture particulièrement réussi.''" ([https://archive.org/details/talismanautobiog0000dass/page/n3/mode/2up 'Le Talisman'], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1970_Marcel-DASSAULT%3D%27Le_Talisman%27_(ed._J%27ai_Lu).jpg Paris, 1970, ed. J'ai Lu]).</ref> File:1912 Panhard & Levassor - Arthur Constantin KREBS entouré de Charles de Fréminville de Paul Panhard et de ses directeurs.jpg|'''1912''' - Panhard & Levassor : '''A. C. KREBS''' entouré de [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|'''Charles de Fréminville''']] (à sa droite), par '''Paul Panhard''' (à sa gauche) et d'autres directeurs. <ref>[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''1912''' - '''Usines Panhard & Levassor''' dirigées par A. C. KREBS]: les ateliers et le personnel de Paris (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).</ref> File:1912 Usine-Panhard et Levassor - les ateliers et le personnel de Paris.pdf|'''1912''' - Les usines Panhard & Levassor dirigées par A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''Les ateliers et le personnel de Paris'''] (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers). File:1912 - Panhard & Levassor - Catalogue couleur.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_couleur.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor''']. File:1912 - Panhard & Levassor - Catalogue-luxe.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue-luxe.pdf ''' Catalogue de luxe Panhard & Levassor''']. File:1913 - Panhard & Levassor - catalogue de luxe.pdf|'''1913''' - Catalogue de luxe Panhard & Levassor : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1913_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_de_luxe.pdf '''"''S'ils avaient eu l'automobile !''"''']. File:1914 - Panhard & Levassor - Catalogue de luxe.pdf|'''1914''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_luxe.pdf '''Catalogue de luxe Panhard & Levassor''']. File:Gazette du Bon Ton, 1914 - No. 7, Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée (titel op object), RP-P-2009-1940-12.jpg|'''1914''' - Publicité Panhard & Levassor : "''Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée''". File:1914 - Panhard & Levassor - Tracteur d'artillerie (aquarelle Gamy).jpg|'''1914''' - Le '''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' (aquarelle Gamy) conçu A. C. KREBS. File:Panhard Oil-Motoring Magazine-1915-031.jpg|'''1915''' - Publicité : '''L'huile Panhard pour cylindres'''", "'''''La logique d'une bonne huile pour cylindres'''''". File:1916 - Panhard & Levassor - Catalogue.pdf|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor''']. File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg Une voiture Panhard & Levassor 24HP de 1908] est transformée en '''véhicule ferroviaire''' pour le transport de personnes et de marchandises sur la ligne [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 Normanton-Croydon en northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') jusqu'en '''1929'''. File:1915-1917 - Panhard & Levassor - usine en guerre.pdf|'''1914-1918''' - '''WWI''' : Panhard & Levassor: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915-1917_-_Panhard_%26_Levassor_-_usine_en_guerre.pdf?uselang=fr '''Usine en guerre dirigée par A. C. Krebs''']. File:1917-05-17 - Automotive-industries - The Chatillon-Panhard truck in Italy.jpg|'''1917''' - Automotive-industries : '''Le [https://archive.org/details/sim_country-life_1915-06-26_37_964/page/n293/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 camion Châtillon-Panhard] en Italie'''. File:1914-1918 - WWI - voiture Panhard & Levassor.webm|Video: '''1918''' - '''WWI''' : Une '''voiture Panhard & Levassor démarre'''. File:Ant-pen-map-Danco.PNG|'''1960''' - Le [[w:Krebs Glacier|'''Glacier Krebs''']] : s'écoulant dans [[w:Charlotte Bay|Charlotte Bay]], nommé d'après [[w:Arthur Constantin Krebs|A. C. Krebs]], "''qui a construit et piloté le premier [[w:Ballon dirigeable|dirigeable]] capable d'un vol stable et contrôlé, en '''1884'''"''. File:Alose french submarine 1907 02.jpg|'''1975''' - Sous-marin [[w:Alose (sous-marin)|'''Alose''']] (1904), '''renfloué et restauré''' (France). File:Saint-Chamond.Saumur.0004fq2z.jpg|'''2006''' - '''Tank Saint-Chamond''' exposé au ''[[w:Musée des Blindés de Saumur|Musée des Blindés]]'' de [[w:Saumur|Saumur]]. File:Panhard & Levassor Type E im Museum Valencay.JPG|'''2011''' - '''Panhard & Levassor Type E''' au [[w:Musée de l'automobile de Valençay|'''Musée de l'automobile''']] de [[w:Valençay|Valençay]]. File:Panhard & Levassor Type X 25 1914.JPG|'''2011''' - '''Véhicule d'incendie Panhard & Levassor Type X 25''' (1914) au [http://www.musee-sapeurs-pompiers.org/ '''Musée des Sapeurs-Pompiers'''] à Montville. File:1901 Panhard & Levassor type B2 in Toyota Automobile Museum (6817203419).jpg|'''2012''' - '''Panhard & Levassor type B2''' (1901) au [https://toyota-automobile-museum.jp/en/ '''Toyota Automobile Museum'''], Nagakute, Aichi Prefecture (Japon). File:Panhard & Levassor Type X19 at Den Haag Louwman Museum 061.jpg|'''2015''' - '''Panhard & Levassor X19''' (1912) Labourdette Skiff-Torpedo au [https://www.louwmanmuseum.nl/en/ '''Louwman Museum'''] (Pays-bas). File:1900 Clement-Panhard Phaeton VCP, 765cc 3,5cv 35kmh (inv 1901) photo 2.jpg|'''2016''' - '''Clement-Panhard (VCP)''' Phaeton (1900) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse (France). File:Panhard & Levassor Type U2 1907 at Monaco Top Cars Collection 2016-537.jpg|'''2016''' - '''Panhard & Levassor Type U2''' (1907) dans la [https://www.mtcc.mc/galerie-automobile/#* '''Collection de voitures anciennes'''] de Monaco. File:2017 - Durenne & Krebs 1888 lightweight fire steam pump at the fire headquarters in Paris.png|'''2017''' - '''Pompe à vapeur d'incendie légère Durenne & Krebs''' (1888) exposée à [[w:Caserne_Champerret|'''l'état-major des pompiers de Paris''']. File:Panhard-Levassor Biplace Course (1908) jm64358.jpg|'''2018''' - '''Panhard-Levassor biplace de course''' (1908) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse. File:Panhard & Levassor Landaulet Type A1 (1898) jm63748.jpg|'''2018''' - '''Panhard & Levassor type A2''' (1899) tonneau fermé au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France). File:Panhard & Levassor Coupé Chauffeur Type X8 (1912) jm63952.jpg|'''2018''' - '''Panhard & Levassor type X8 coupé chauffeur''' (1911) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse. File:1899 - Panhard-Levassor owned by C. S. Rolls restored.jpg|'''2019''' La '''Panhard-Levassor''' (1899) '''de C. S. Rolls''' est au [https://www.museums.norfolk.gov.uk/gressenhall-farm-and-workhouse '''Gressenhall Farm and Workhouse Museum''']. <ref name=Rolls-1899/> File:Hangar Y mai 2023 (27).jpg|'''2023''' - Le [[w:Hangar Y|'''Hangar Y''']] du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' est '''restauré et ouvert au public''' à Meudon. File:Balloon winch vehicule, Musee de l'Air et de l'Espace, Le Bourget, Paris. (8127530854).jpg|'''2024''' - '''Voiture treuil à ballons (WWI)''' ([[w:Musée_de_l'Air_et_de_l'Espace|Musée de l'Air et de l'Espace]], Le Bourget, Paris) utilisant le '''système de touage à 2 tambours parallèles de A. C. KREBS'''. File:Panhard & Levassor, BL 539, London to Brighton Veteran Car Run 2011, 15 CV 1904 (6323222535).jpg|'''2026''' - Video : "[https://www.youtube.com/watch?v=t2Ygu-IsLeg '''Comment se servir d'une Panhard & Levassor 1904''']". </gallery> == Communications à '''l'Académie des sciences''' == <br>'''1886''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_Lefebvre_de_Laboulaye#XIXe_si%C3%A8cle Charles-Pierre Lefebvre de LABOULAYE (1813-1886)], membre de la parentèle de Fréminville ([https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=LEFEBVRE-LABOULAYE&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 brevets]) : "'''''LA SCIENCE ET L'ART SONT LES DEUX BASES DE L'INDUSTRIE'''''". <ref>'''1886''' - Charles LABOULAYE - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3041024d/f1131.item.r= '''Dictionnaire des arts et manufactures'''].</ref> <br>'''1898''' - [[w:Henry_Le_Chatelier|Henri Le Chatelier]] (collaborateur de Charles de Fréminville pour la recherche sur la chimie des métaux) et la '''''Science industrielle''''' : "'''''En fait il n'y a pas de différence essentielle entre les besoins de la science pure et ceux de la science étudiée en vue de ses applications'''''." <br>'''1901''' - "''Les préoccupations d'ordre pratique, en maintenant forcément l'attention tournée vers l'observation des phénomènes naturels, obligent l'homme, en quelque sorte malgré lui, à voir les lois du monde matériel et à ne pas laisser son esprit se concentrer exclusivement, comme il est porté à le faire, sur ses propres imaginations''." <ref>'''1898''' - Henri Le Chatelier : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170732/f102.image.r=le%20chatelier '''L'enseignement scientifique général dans ses rapports avec l'industrie''']". '''1901''' - "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170763/f1103.image.r=le%20chatelier '''Du rôle des préoccupations industrielles dans les progès de la science pure''']."</ref> * 1884-08-18 – A. C. KREBS & Ch. RENARD : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=316 "''On an airship''"]. Au sujet du dirigeable "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]" . * 1884-08-25 - M. DUPUY de LÔME : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_099,_1884.djvu&page=341 "''Note sur les aérostats dirigeables''"]. * 1884-08-31 - M. A. LAUSSEDAT : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=413 "''Sur les tentatives effectuées à diverses époques pour la direction des aérostats''"]. * 1884-11-10 - M. Hervé MANGON : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=772 "''Note sur l'aérostat dirigeable de MM. Renard et Krebs''"]. * 1886 - Prix PONTI : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_103%2C_1886.djvu&page=1395 "''pour les progrès accomplis dans la navigation aérienne.''"] * 1886-04-05 - M. ZEDE : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_102%2C_1886.djvu&page=808 "''Sur les navires sous-marins''"]. * 1888-07-30 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_107%2C_1888.djvu&page=325 "''Sur un téléphone à champ magnétique fermé, avec plaque à sections cylindriques, concentriques égales''"]. * 1888-03-26 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_106%2C_1888.djvu&page=932 "''Essai d'un moteur électrique alimenté par des accumulateurs destinés à un bateau sous-marin''"]. * 1890-09-15 – MM. Dumoulin-Froment and Dubois: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&page=428 Sur le premier gyrocompas électrique pour le sous-marin Gymnote conçu par A. C. KREBS]. * 1902-11-24 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&page=900 "''Sur un carburateur automatique pour moteurs à explosions''"]. * 1905-11-13 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&page=757 "''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé''"]. * 1906-01-15 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_142%2C_1906.djvu&page=143 "''Conditions d'établissement d'un amortisseur progressif à la suspension des véhicules sur route''"]. * 1907-04-08 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&page=747 "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"]. * 1931-12-07 - M. Jean Rey : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.item# "''De l'invention du périscope''], au sujet du périscope commandé par A. C. KREBS pour le sous-marin '''''Gymnote'''''. == Retraite == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Retirement by country|Retraite par pays]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Retraite|Retraite]] <br>"''En '''1916''', arrivé à l’âge où le besoin de repos commence à se faire sentir et où on ne peut plus développer la même activité physique, je résiliai mes fonctions de Directeur en conservant celles d’ingénieur conseil. ''L’année précédente M. de Fréminville devait quitter la Maison Panhard & Levassor pour entrer au Creusot.''" <ref name="Krebs_1924" /> === A. C. KREBS et [[w:André Citroën|André CITROËN]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:André Citroën|André Citroën]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:André Citroën|André Citroën]] <br>A la demande des banques, A. C. KREBS établit un rapport sur le projet de première automobile construite à la chaîne par André Citroën après la Première Guerre mondiale. A. C. KREBS établit un rapport favorable et André Citroën a pu lancer la fabrication de son '''Type A'''. <gallery> File:Citroen1921typeA.jpg|'''1921''' - André Citroën construit sa '''type A''' avec l'aide de A. C. KREBS. File:André Citroën 1932.jpg|'''1932''' - '''André CITROËN''' (1878-1935). </gallery> === Administrateur de la société '''Savary-Rivière''' === Dans les années 1920, A. C. KREBS est administrateur de la société Savary-Rivière, dont il est actionnaire, et qui est un fabricant de machines agricoles et de mobilier scolaire à Quimperlé, où il prend sa retraite. Sous sa direction, la compagnie diversifie ses activités vers la fabrication de matériel ferroviaire, de matériel militaire, de postes et télégraphes.<ref>'''1935-03-26''' - Lettre de '''Georges Rivière''' à Marie Krebs veuve de A. C. Krebs : "''Le colonel Krebs avait accepté de présider aux destinées des Ets Savary-Rivière pendant plusieurs années et j'ai eu l'honneur de pouvoir apprécier '''ses exceptionnelles qualités d'intelligence'''. Sa vie restera l'exemple parfait de droiture et de dignité dans toutes leurs manifestations.''"</ref> <gallery> File:1901 Savary Gautier=Machines agricoles (Quimperlé).jpg|'''1901''' - Savary et Gautier - '''Machines Agricoles''' (Quimperlé). File:1925~Sté Savary et Rivière.pdf|'''1925''' ~ '''A. C. KREBS''' dirige la société '''Savary-Rivière''' pendant plusieurs années pendant sa retraite à '''Quimperlé'''. File:1928 Savary-Rivière=catalogue mobilier scolaire.pdf|'''1928''' - Savary et Rivière - '''Catalogue de mobiliers scolaires''' (Quimperlé). </gallery> === La commémoration des '''50 ans du dirigeable "[[w:La France (ballon dirigeable)|'''''La France''''']]"''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Legion of Honour|Légion d'honneur]], [[commons:Category:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]] <br>'''1934''' - À 83 ans, A. C. KREBS voyage de Quimperlé (Bretagne) à Paris pour assister à la commémoration du 50ème anniversaire du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] en '''1884'''. Il est alors le seul survivant de cette épopée technologique historique. <gallery> File:1934 - 50 ans du dirigeable La France en présence de A. C. KREBS à Meudon.jpg|'''1934''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4610494z/f1.image.r=krebs Les 50 ans du dirigeable ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''] en présence de '''A. C. KREBS, à Meudon'''. File:Chevalier légion d'honneur 2.png | '''1935''' - A. C. KREBS est [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201840 '''décoré Commandeur de la Légion d'honneur''']. File:1935~Arthur-Constantin-KREBS=portrait à Quimperlé.jpg|'''1935''' ~ Arthur Constantin KREBS: '''Portrait à Quimperlé'''. </gallery> '''1935''' - Deux mois avant son décès, A. C. KREBS est nommé '''Commandeur de la [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Légion d'honneur]]''' : "''Pour son travail en Aéronautique et pour sa contribution à l'industrie automobile''". === Le glacier Krebs === '''Catégories''' : [[commons:Category:Antarctica|Antarctique]], [[commons:Category:Peninsulas of Antarctica|Péninsule Antarctique]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Côte de Danco|Côte de Danco]], [https://archive.org/details/GeographicNamesOfTheAntarctic2ndEdition/page/n405/mode/2up?q=%22krebs+glacier%22 Geographic Names of the Antarctic], [https://en.wikipedia.org/wiki/UK_Antarctic_Place-Names_Committee UK Antarctic Place-Names Committee], [https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay Charlotte Bay] <br>'''1960''' - Le '''United Kingdom Antarctic Place-Names Committee''' (UK-APC) nomme "[https://en.wikipedia.org/wiki/Krebs_Glacier glacier Krebs]" un glacier s'écoulant vers l'ouest, à la pointe de la '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay baie de Charlotte]''' sur la côte ouest de la '''Terre de Graham''' sur le continent '''Antarctique''', d'après le nom de "'''''Arthur C. Krebs qui a construit et piloté, avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], le premier dirigeable capable d'un vol stable et contrôlé, en 1884'''''". == Famille == <gallery> File:Konstantinpaulowrussland(crop).jpg|'''1812''' - '''Nicolas Krebs''' (grand-père de A. C. KREBS) est précepteur des enfants du '''[[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie Grand|Duc Constantin de Russie]]''' à '''Saint Pétersbourg'''. File:1894-07-07 Cmdt-Léonce-Krebs chalet-Bellevue St-Gervais-les-bains Haute-Savoie Paul-Lancrenon.jpg |'''1894-07-07''' Silhouette du '''Commandant Léonce KREBS''' (1849-1922), frère aîné de A. C. KREBS, au chalet de Bellevue à Saint-Gervais-les-Bains (Haute-Savoie) [https://www.pop.culture.gouv.fr/notice/memoire/APLCR03619?auteur=%5B%22Lancrenon%2C%20Paul%20%281857-1922%29%22%5D&mainSearch=%22krebs%22&last_view=%22list%22&idQuery=%22c46e1b2-f281-ddf4-f145-3300fbc003%22 par Paul LANCRENON] File:1915-1916 Jean-KREBS+Georges GUYNEMER EN.pdf |'''1914-1916''' - '''Jean KREBS''' et '''[[W:Georges_GuynemerGeorges|Georges GUYNEMER]]''' amis de collège : [https://archive.org/details/cu31924027834732/page/n47/mode/2up?q=krebs "''Jean Krebs a cristallisé la vocation de Georges GUYNEMER''"]. File:1918-05-30 Motor-Age='France's Greatest Aviator Georges Guynemer'+Jean-KREBS.jpg|'''1918-05-30''' - Motor-Age: "''France's Greatest Aviator '''Georges GUYNEMER'''" and '''Jean KREBS''', son of A. C. KREBS''". File:1939-04 - Revue générale du froid - La chambre froide Krebs & Alliot (1931) pour la conservation du poisson sur les thoniers.jpg|'''1939-04''' - Revue générale du froid - La '''chambre froide Krebs & Alliot (1931)''' pour la conservation du poisson sur les thoniers. File:Marie Chamming's.jpg|'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, résistante et autrice. File:Thon Germon.jpg|Le logo de la boîte [[W:Petit_Navire|'''Petit Navire''']], d'après l'aquarelle de '''Marguerite Paulet''', fille de A. C. Krebs. File:Manureva StMalo 1978-11 2.jpeg|'''Dominique Paulet''' dirige les CAP du '''chantier naval La Perrière''' de 1960 à 1971, qui conçoit et construit les '''Pen Duick''' d''''Eric Tabarly'''. </gallery> === '''Nicolas Krebs''' (1786-1839) === [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3050419f/f462.image.r=krebs Nicolas KREBS] est un grand-père de A. C. KREBS. Né à [[W:Boppard|Boppard]] sur la rive gauche du [[W:Rhin|Rhin]] en '''1786''', il s'engage dans la garde impériale de [[W:Napoléon Ier|Napoléon]] et prend part à ses [[W:Guerres napoléoniennes|campagnes]] militaires. Blessé à [[W:Vilnius|Wilna]] en '''1812''', il est recueilli et retenu prisonnier par le [[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie|Grand Duc Constantin de Russie]], et devient le précepteur de ses enfants pendant 2 ans à [[W:Saint-Pétersbourg|Saint-Pétersbourg]]. De retour en France [[W:France|France]] en '''1814''' il se marie avec Elisa Marie [[W:Liste_des_maires_d%27%C3%89vreux#XIXe_si%C3%A8cle|Dureau de la Buffardière]]. Il a été décoré de la [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201850#show ''Legion d'honneur''] le 05/06/'''1809'''. === [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13204050f '''Commandant Léonce Krebs'''] (1849-1922) === * '''1878''' - Officier d'état-major * '''1891''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9608718v.r=%22l%C3%A9once%20krebs%22?rk=21459;2 '''Campagnes dans les Alpes pendant la Révolution'''], d'après les archives des états-majors français et austro-sarde, avec Henri Moris. <ref>[[w:Armée d'Italie|Armée d'Italie]].</ref> * '''1898''' - [https://bmvr.nice.fr/Default/search.aspx?SC=DEFAULT&QUERY=Authority_id_idx%3a72405&QUERY_LABEL=Krebs%2c+Leonce.+Auteur#/Search/(query:(InitialSearch:!t,Page:0,PageRange:3,QueryString:'Authority_id_idx:72405',ResultSize:-1,ScenarioCode:DEFAULT,SearchContext:0,SearchLabel:'Krebs,%20Leonce.%20Auteur')) Archiviste de la ville de Nice] * '''1909''' - [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201854 Commandeur de la Légion d'honneur]. === '''Jean Krebs''' (1896-1916) et [[w:Georges_Guynemer|'''Georges GUYNEMER''']] (1894-1917) === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Georges Guynemer|Georges Guynemer]] '''1918''' - '''Henry Bordeaux''' : “'''''Jean Krebs''''' ''a orienté la vocation de [[W:Georges_Guynemer|'''Georges Guynemer''']]. Il a précisé et développé le goût de celui-ci pour la mécanique. Il l'a sorti des vagues abstractions pour le précipiter vers les réalisations matérielles, pour lui faire désirer l'élargissement de vie qu'elles procurent. Il méritait d'être cité dans une biographie de Guynemer. Avant de le quitter, ne convient-il pas de déplorer sa perte prématurée ? Aviateur estimé au cours de la guerre, il trouva dans l'observation l'emploi de ses facultés solides et sûres. La chasse ne l'attirait pas, mais il savait regarder. Il fut tué d'un accident d'atterrissage presque dans le même temps que disparaissait Guynemer. Un de ses compagnons d'escadrille le juge ainsi : — D'une intelligence remarquable, d'un caractère toujours égal, il avait su s'imposer à ses chefs par son sang-froid, son coup d'oeil, la connaissance exacte des services qu'il pouvait rendre. Toutes les fois qu'on lui confiait une mission, on était sûr qu'il revenait l'ayant remplie, quelles que fussent les conditions dans lesquelles il la fallait accomplir. Il avait eu souvent à tenir tête à des avions ennemis mieux armés que lui, et avait même été blessé au cours d'un vol par éclat d'obus à la cuisse. Il n'en avait pas moins continué à voler et n'était rentré que longtemps après et seulement sa tâche terminée. Sa mort a fait un grand vide dans cette escadrille. Des hommes comme celui-là sont difficiles à remplacer...''" <ref>'''1918''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9807613m/f50.image.r=krebs# '''Henry Bordeaux''']: "''Jean Krebs a orienté la vocation de Georges Guynemer''".</ref> === [[W:Louis_Krebs|'''Louis Krebs''']] (1886-1944) : le chantier naval à Concarneau === '''Voir aussi''' : [[w:Construction navale|Construction navale]] <br>'''1911''' - Louis krebs presente une thèse en droit pour laquelle il est aidé par son oncle, Charles de Fréminville, intitulée [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5521697f/f6.item.r=KREBS "Le rendement du travail dans les arsenaux"]. En '''1933''', Louis Krebs rachète le chantier ''Le Roy Frères'' à Concarneau, qu'il nomme [https://studiolemerdy-collection.com/?s=krebs&post_type=product "Chantier Krebs"]. Nous lui devons [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97160383/f123.image.r=krebs en '''1931''', avec le spécialiste de la réfrigération Henri Alliot], l'idée et la conception [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348885w/f7.image.r=KREBS de la chambre froide des thoniers], de même que la création du concept de chalutiers-thoniers, ces "bateaux mixtes" qui pratiquaient la pêche au chalut pendant l'hiver et la pêche au thon en été. <ref> ['''1933'''-08-02 - L'Ouest-Éclair : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k659358k/f10.image.r=KREBS "A propos de la conservation du thon à bord"]. ''1936''-11-07 - Le Génie civil : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64923180/f3.image.r=krebs "Installation d'une chambre froide sur un bateau thonier"].</ref> '''1943'''-'''1944''' : Il est élu maire de [[W:Lanriec|Lanriec]]. '''Marie Krebs-Chamming's''' : "''Il a un rôle très actif dans la résistance dès le début de la guerre en étant en liaison avec Alex, l'agent du réseau Notre-Dame Castille du Colonel Rémy pour les départs clandestins en Angleterre par bateau, allant jusqu'à faire des cachettes dans deux thoniers, et fournissant tous les renseignements qu'il peut obtenir. Et il remplace le Docteur Nicolas à la tête de Libération-Nord à Concarneau, quand celui-ci est fusillé par les Allemands, devenant Monsieur Charles. Avec le professeur Legendre, il discute inlassablement avec le Capitaine Otto, commandant de la place, pour épargner des vies et éviter des destructions qui auraient pu être catastrophiques; s'occupant sans relâche des populations, en particulier de celles de Lanriec et de Douric-ar-Zin, et restant en liaison avec Quimper. Il était appelé à jouer un rôle important dans toute la région après la libération, qu'il n'a pas connue, ayant été tué chez lui par une balle de fusil-mitrailleur dirigé sur sa maison, le matin où les Allemands sont partis par mer pour Lorient le 24 août 1944.''" <ref>'''1945'''-04-01 - Le Yacht : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83719510/f12.image.r=krebs "La mort tragique de Mr. Louis krebs"]</ref> '''1962''' - Vidéo de la construction d'un thonier en bois au Passage-Lanriec au chantier Krebs : [https://www.youtube.com/watch?v=CGRF0d8Mo4k le Porsguir], thonier canneur à l'appât vivant, commandé par l'armement Dhellemmes de Concarneau. === [[w:Marie Chamming's|'''Marie Krebs-Chamming's''']] (1923-2022) : résistante et autrice === '''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, décrit ses années au service de la [[w:Résistance intérieure française|Résistance intérieure française]] pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] dans son livre [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3384299k.r=%22louis%20krebs%22?rk=1502153;2 "J'ai choisi la tempête"] qui recevra le prix Vérité en '''1964'''. === [http://mp.forumfamilia.net/Biographie-de-Marguerite-Paulet-b1.html '''Marguerite Paulet''', née Krebs (1900-1979)] : les œuvres remarquables === * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-jeunesse-jusqu-en-1920-p1.html Jeunesse, jusqu'en 1920] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-port-de-bouc-sous-le-soleil-mediterranee-p2.html Port de Bouc, sous le soleil méditerranéen, 1920/1922] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-quimperle-et-un-peu-nantes-23-30-p3.html Quimperlé (et un peu Nantes), 1923/1930] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-douarnenez-essentiellement-les-beaux-bat-p4.html Douarnenez essentiellement, les beaux bateaux, 1930/1940] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-l-apres-guerre-40-55-p5.html L'après-guerre 1940/1955] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-fleurs-et-arbres-56-79-p6.html Fleurs et arbres ... 1956/1979] === [https://www.ouest-france.fr/bretagne/lorient-56100/d-paulet-architecte-naval-et-humaniste-5174463 '''Dominique Paulet''' (1931-2017)] : architecte naval pour '''Éric Tabarly''' === Petit-fils d'Arthur Constantin KREBS, Dominique Paulet est un architecte naval et ingénieur de formation. Il a été responsable de la conception de navires au sein de plusieurs chantiers navals dont [[w:Chantiers_et_ateliers_de_la_Perrière|La Perriere]] à [[w:Lorient|Lorient]] et [[W:Chantiers_Dubigeon|Dubigeon-Normandie]]. Il a enseigné à l'Ecole centrale de Nantes et à l'Ecole nationale supérieure des techniques avancées de Paris. Il a notamment travaillé pour la marine et les [[w:Pen_Duick_III|'''Pen Duick III''']] (aluminium), [[w:Pen_Duick_IV|'''Pen Duick IV''']] (multicoque en aluminium) et [[w:Pen_Duick_V|'''Pen Duick V''']] (avec ballasts) d'[[W:Éric_Tabarly|'''Éric Tabarly''']]. <ref>Dominique Paulet : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2007_-_Dominique_PAULET_-_%22Tabarly_et_Lorient%22_aux_chantiers_La_Perri%C3%A8re.pdf#%7B%7Bint%3Afiledesc%7D%7D '''Tabarly et Lorient'''] </ref> <ref>La cité de la voile à Lorient : [https://www.citevoile-tabarly.com/fr/pen-duick "''Trois des Pen Duick furent construits aux Chantiers de la Perrière à Lorient''"]</ref> Il a développé une méthode universelle de calcul des navires à partir d'un ensemble restreint de variables : '''''Architecture navale - Connaissance et pratique''''' <ref>'''2023''' - Dunod : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 "''C’est la bible de l’architecture navale. Un ouvrage complet, pointu, écrit par des architectes aussi reconnus pour leur talent que pour leur pédagogie''"].</ref> * '''1998''' : [https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/architecture-navale-9782903539467/ 1ère édition chez Eyrolles] * '''2023''' : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 2nde édition chez Dunod] '''Voir aussi''' : * '''1971''' - '''Dominique Paulet''' : [https://03c7d5f4-b82d-47fb-af48-cbbdfcd3d2e9.filesusr.com/ugd/4f0a4d_aca70bb3be0f4a6fb05f5edcb49ba7ba.pdf l'architecte naval aux chantiers La perrière] * '''Dominique Paulet''' : [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=%22dominique+paulet%22&title=Sp%C3%A9cial:Recherche&profile=advanced&fulltext=1&ns0=1 dans Wikipedia] == Voir aussi == * [[w:Dirigeable fantôme|Dirigeable fantôme]] * [[w:Blimp|Blimp]] * [[w:Charles Renard|Charles Renard]] * [[w:Pierre Jules César Janssen|Pierre Jules César Janssen]] * [[w:XIXe siècle en aéronautique|XIXe siècle en aéronautique]] * [[w:Panhard|Panhard et Levassor]] * [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]] * [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]] == References == <ref name=Krebs-archives>Archives de la famille Krebs déposées au [https://www.servicehistorique.sga.defense.gouv.fr/ark/1643327 Service historique de la Défense (DE 2014 PA 40 1)].</ref> <ref name=1884_ACAD-Krebs> '''1884-08''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h/f316 '''Académie des sciences'''] : NAVIGATION AÉRIENNE. ''Sur un aérostat dirigeable''. Note de MM. CH. RENARD and A. C. KREBS, presentée par M. Hervé Mangon.</ref> <ref name=portefeuille> '''1892''' - '''Portefeuille économique des machines''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1892_Portefeuille-%C3%A9conomique%3DPompe_Durenne_%26_Krebs_1888.pdf "''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris ('''modèle de 1888''')''] - ''Chaudière à vapeur multitubulaire à tubes curvilignes à circulation automatique et dilatation libre de MM. Durenne & Krebs''".</ref> <ref name=1889_Comité> '''28/02/1889''' - Comptes-rendus du [http://rytmo.net/ACK/1889-02-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des Pompiers de Paris.</ref> <ref name=1896_Krebs_Levassor> '''1896-09-03''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf Lettre de prise de license d''''Émile LEVASSOR'''] adressée à Arthur C. KREBS pour son '''Brevet d'automobile''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538].</ref> <ref name=1896_voiturette_Krebs> "'''LA VOITURETTE KREBS'''" par Louis Lockaert, ingénieur École Centrale de Paris, LA FRANCE AUTOMOBILE, p.305, Paris, '''1896'''.</ref> <ref name=Rolls> Site: [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&screenwidth=1600&pixperpage=50&searchtxtkeys=Panhard&lastsearchtxtkeys=&withinresults=&searchphotographer=&wwwflag=&lstformats=&lstorients=All+Orientations&captions= '''Science & Society''' - Picture Library:] ''C. S. ROLLS et ses voitures de course Panhard & Levassor''.</ref> <ref name=Rolls-1899>Photos de 1900 de la voiture de C. S. Rolls de 1899 conçue par A. C. KREBS sur [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&screenwidth=1600&pixperpage=50&searchtxtkeys=Panhard&lastsearchtxtkeys=&withinresults=&searchphotographer=&wwwflag=&lstformats=&lstorients=All+Orientations&captions science and society].</ref> <ref name=1906_Krebs_Selden> '''1906''' - [https://hal.science/hal-05527435 Témoignage d'Arthur Constantin KREBS] lors du procès Selden à New-York. </ref> <ref name=1884_de-Grilleau> '''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]": "''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''"</ref> '''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]": "''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''"</ref> <ref name=Fréminville>'''2001''' - Voyages de Charles de Fréminville aux Etats-Unis: 1885-1898-1913-1919 (Yves Le Quesne).</ref> <ref name=vanadium>[https://archive.org/details/mylifeandwork00crowgoog/page/n78/mode/2up?q=vanadium '''1923''' - '''Henry Ford''' "''Ma vie et mon œuvre"]: "''En '''1905''', j'assistais à une course automobile à Palm Beach. Un grave carambolage se produisit et une voiture française [une voiture de course Panhard] fut détruite. Nous avions engagé notre "[https://fr.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_K Modèle K]" — la six cylindres à grande puissance. Je pensais que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que celles que nous connaissions. Après l'accident, je ramassai une petite tige de soupape. Elle était très légère et très résistante. Je demandai de quoi elle était faite. Personne ne le savait. Je confiai la tige à mon assistant. 'Renseignez-vous sur ce matériau', lui dis-je. 'C'est le genre de matériau que nous devrions utiliser dans nos voitures.' Il finit par découvrir qu'il s'agissait d'un acier français contenant du vanadium. Nous avons contacté tous les aciéristes américains — aucun n'était capable de produire de l'acier au vanadium. J'ai fait venir d'Angleterre un homme qui savait comment fabriquer cet acier à l'échelle industrielle. L'étape suivante consistait à trouver une usine'' ['''la [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_kr%C3%B3m-van%C3%A1diumac%C3%A9l_sz%C3%BClet%C3%A9se.jpg United Alloy Steel de Canton, Ohio'''] ]'' pour le produire.''"</ref> <ref name=Krebs_1924> '''1924-06''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1924-06_SHD-DE-2014-PA-40_Lettre-Arthur-KREBS_au_G%C3%A9n%C3%A9ral_de_Montluisant.pdf Lettre autobiographique] d'Arthur Constantin KREBS à son cousin le Général de Montluisant (SHD-DE-2014-PA-40) lui demandant d'expliquer sa carrière, suite à l'article de Paul Renard dans la "Revue Aéronautique" à l'occasion des 40 ans du dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" (Arch. Krebs).</ref> <ref name=1935_Dépêche_de_Brest> '''1935-02-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3478635/f3.image.r=krebs ''La Dépêche de Brest'']: "Une visite à M. Arthur Krebs, qui vient d'être promu commandeur de la Légion d'honneur".</ref> <ref name=VCP> Site: [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web].</ref> <ref name=CdF>'''1915-11-11''' - Lettre de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']] à [[w:René_de_Knyff|René_de_Knyff]] (administrateur de Panhard & Levassor).</ref> == Liens externes == * Charles Renard and Arthur Krebs in the [https://web.archive.org/web/20100528024835/http://www.centennialofflight.gov/essay/Lighter_than_air/Beginning_of_the_Dirigible/LTA6.htm US Centennial of Flight Commission] * [http://rbmn.free.fr/Krebs_EN.html The site dedicated to Arthur KREBS (in English)] * [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web] * Hydroplane History: [http://www.lesliefield.com/other_history/development_of_the_high.htm The Development of the High-Speed Launch or Automobile Boat – 1904] * Jules Verne: [http://www.gutenberg.org/ebooks/3808 ''Robur The Conqueror''] * ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum]], Le Bourget, Paris) : [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/328-dirigeable-renard-et-kreps-la-france museum reserves-1], [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/53-equipements-d-aerostation-militaire-renard museum reserves-2] == Autres categories == [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Births_in_Vesoul Births_in_Vesoul] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Deaths_in_Quimperlé Deaths_in_Quimperlé] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Knights_of_the_Legion_of_Honour_Knights_of_the_Legion_of_Honour] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Dupuy_de_L%C3%B4me Henri Dupuy de Lôme] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gustave_Z%C3%A9d%C3%A9 Gustave zédé] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Charles_Renard_(aviation_pioneer) Charles_Renard_(aviation_pioneer)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:La_France_(airship) La France (airship)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Société_Nouvelle_des_Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée Société_Nouvelle_des_Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Canet_artillery Canet_artillery] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gymnote_(submarine,_1888) Gymnote_(submarine,_1888)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_people Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_people] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_equipment Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_equipment] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Steam_engine_inventors Steam_engine_inventors] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Jean-François_Durenne Jean-François_Durenne] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Automobile_industry_entrepreneurs Automobile_industry_entrepreneurs] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:People_associated_with_the_automotive_industry People_associated_with_the_automotive_industry] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Designers_of_automobiles Designers_of_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:People_associated_with_automobile_racing People_associated_with_automobile_racing] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Émile_Levassor Émile_Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Monument_à_Émile_Levassor Monument à Émile Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:René_Panhard René_Panhard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hippolyte_Panhard Hippolyte Panhard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Émile_Mayade Émile Mayade] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor Panhard_&_Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:History_of_automobiles History of automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Panhard_&_Levassor_automobiles Panhard_&_Levassor_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Anciennes_usines_Panhard_et_Levassor Anciennes usines Panhard et Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_vehicles Panhard_&_Levassor_vehicles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Clément-Panhard_vehicles Clément-Panhard_vehicles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_automobile_engines Panhard_&_Levassor_automobile_engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_racing_automobiles Panhard_&_Levassor_racing_automobiles] 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d'Arsonval] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ettore_Bugatti Ettore Bugatti] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:André_Citroën André Citroën] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Georges_Guynemer Georges Guynemer] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henri Farman] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath (racing driver)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Robert_de_Vogüé_1870-1936) Robert de Vogüé (1870-1936)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Antarctica Antarctica] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Steering_wheels Steering_wheels] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Sleeve_valve_engines Sleeve valve engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gyrocompasses Gyrocompasses] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differentials Differentials] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Worm_gears Worm gears] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Couplings Couplings] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rag_joints Rag joints] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Giubo Giubo] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rotating_shaft_couplers Rotating shaft couplers] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Transmissions Transmissions] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Final_drives Final drives] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Automobile_axles Automobile axles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Mechanisms_(engineering) Mechanisms (engineering)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Glaciers Glaciers] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hydrogen_technologies Hydrogen technologies] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vélizy-Villacoublay Vélizy-Villacoublay] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alberto_Santos-Dumont Alberto Santos-Dumont] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Santos_Dumont_Collection Santos Dumont Collection] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Early_aircraft Early aircraft] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Historical_gas_balloons Historical gas balloons] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Internal_combustion_engines Internal combustion engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Combustion_engine_inventors Combustion engine inventors] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Chalais-Meudon Chalais-Meudon] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Type_ou_modèle_de_dirigeable Type ou modèle de dirigeable] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Dirigeable Dirigeable] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Office_national_d'études_et_de_recherches_aérospatiales_in_Meudon_Office national d'études et de recherches aérospatiales in Meudon] <!-- Commentaire [[Catégorie:19th-century French inventors]] [[Catégorie:20th-century French inventors]] [[Catégorie:French automotive pioneers]] [[Catégorie:French inventors]] [[Catégorie:1850 births]] [[Catégorie:People from Vesoul]] [[Catégorie:1935 deaths]] [[Catégorie:Aéronaute]] [[Catégorie:Dirigeable]] [[Catégorie:Pilote de dirigeable]] [[Catégorie:Aviation pioneers]] [[Catégorie:Automotive pioneers]] [[Catégorie:French automotive engineers]] [[Catégorie:French automotive pioneers]] [[Catégorie:École Spéciale Militaire de Saint-Cyr alumni]] [[Catégorie:Officers of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Knights of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Commanders of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Ballooning]] [[Catégorie:Parc aérostatique de Chalais-Meudon]] [[Catégorie:Jules Verne]] [[Catégorie:Automotive engineers]] [[Catégorie:Car layouts]] [[Catégorie:Ferdinand Porsche]] [[Catégorie:Henry Ford]] --> q6wc2auae6cdepwuqbpxnso5kw6n17w 104 87244 984963 984752 2026-07-20T07:02:06Z Psychoslave 2753 984963 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''balèse, blèse, bouganèse, mèse, Mèse, obèse''. ====== Biotiques haplogestes ====== * un érèse, arachnide&nbsp;; cgha3clt2it67g4h3je1wt5mddqhrd5 984964 984963 2026-07-20T07:03:33Z Psychoslave 2753 /* Biotiques haplogestes */ 984964 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''balèse, blèse, bouganèse, mèse, Mèse, obèse''. ====== Biotiques haplogestes ====== * un érèse, arachnide&nbsp;; * une fontainèse, arbre&nbsp;; pkmmhdstw559w0kqinkye4np2m2cwvr 984965 984964 2026-07-20T07:12:22Z Psychoslave 2753 984965 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''balèse, blèse, bouganèse, jèse, mèse, Mèse, obèse''. ====== Biotiques haplogestes ====== * un érèse, arachnide&nbsp;; * une fontainèse, arbre&nbsp;; k7ywf1qlpoofvmyd2iv5ni3uw9t7ie5 984966 984965 2026-07-20T07:12:58Z Psychoslave 2753 /* Biotiques haplogestes */ 984966 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''balèse, blèse, bouganèse, jèse, mèse, Mèse, obèse''. ====== Biotiques haplogestes ====== * un érèse, arachnide&nbsp;; * une fontainèse, arbre&nbsp;; * une lavanèse, plante&nbsp;; 998jvc3biwinq9uj196j29wbvjbk7rv 984967 984966 2026-07-20T07:38:46Z Psychoslave 2753 984967 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''balèse, blèse, bouganèse, jèse, mèse, Mèse, obèse''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== ====== Biotiques haplogestes ====== * un érèse, arachnide&nbsp;; * une fontainèse, arbre&nbsp;; * une lavanèse, plante&nbsp;; * un riminèse, cépage. 0pkjodnurx8n7le9v71u87qjo1siu1d