Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.12 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 882 985102 967493 2026-07-22T11:59:59Z Zetud 1978 Orth. 985102 wikitext text/x-wiki {{à scinder}} {{Chapitre | niveau = 16 | idfaculté = mathématiques | numéro = 3 | précédent = [[../La logique/]] | suivant = [[../L'incomplétude mathématique/]] }} Ce chapitre expose les problèmes de l’existence des êtres mathématiques. Qu’est-ce qui existe au sens mathématique ? == L’ontologie mathématique == La question de l’existence est aussi nommée la question ontologique. L’ontologie d’une théorie, c’est l’ensemble de tous les énoncés d’existence des objets qu’elle étudie. L’ontologie des mathématiques a été très controversée. Les nouveaux êtres mathématiques, les nombres négatifs, complexes, infinis, les lignes continues non différentiables, les espaces abstraits et beaucoup d’autres ont tous rencontré des résistances avant d’être assez généralement acceptés. On dispose aujourd’hui de méthodes ontologiques très tolérantes, les théories des ensembles, qui sont suffisantes pour la grande majorité des besoins des mathématiciens. Elles permettent d’attribuer l’existence à presque tous les êtres abstraits concevables. Mais cette section et les suivantes montreront qu’on ne peut pas supprimer le « presque » dans la phrase précédente, que l’incomplétude ontologique est fondamentale. Si on définit les mathématiques comme la science des formes de déduction, la question ontologique ne se pose pas. On suppose que les prémisses sont vraies. Tous les énoncés d’existence qu’elles contiennent sont des hypothèses dont la vérité dépend des objets (non-mathématiques) auxquels elles sont appliquées. Autrement dit tous les énoncés d’existence mathématique auraient un caractère hypothétique. Mais cette approche ne rend pas complètement compte des questions qui se posent aux mathématiciens. Quand on a prouvé par exemple qu’il existe un corps ordonné, archimédien et complet, à savoir l’ensemble des nombres réels, on interprète en général ce théorème comme une vérité absolue, qui ne dépend pas d’hypothèses sur l’existence des êtres non-mathématiques. Cela revient à croire d’une certaine façon en l’existence d’un monde idéal, platonicien, où les êtres mathématiques existent vraiment et où ils sont comme nous disons qu’ils sont. Mais comment savoir que ce monde idéal existe vraiment ? La théorie des modèles apporte une réponse plus prudente. Elle ne dit pas qu’il existe un monde idéal mais seulement qu’on peut l’imaginer. On interprète alors le théorème d’existence de l’ensemble des nombres réels, non comme une affirmation sur un mystérieux au-delà, mais seulement comme l’affirmation qu’il est possible de développer une théorie cohérente à propos d’un corps (au sens de l’algèbre), ordonné, archimédien et complet. De ce point de vue, la théorie des ensembles est interprétée non en référence à l’au-delà mais seulement à l’ici-bas, parce qu’ici nous sommes bien sûrs qu’il y a des êtres humains qui font des théories. On peut alors voir les théories des ensembles comme des théories de toutes les théories, ou de tous les mondes possibles, ceux-ci étant déterminés par celles-là. Les théories des ensembles apportent donc un point de vue très général. En fait, tous les théorèmes mathématiques peuvent être démontrés à l’intérieur d’une théorie des ensembles. Mais la puissance de ces théories posent des difficultés. Nous allons voir qu’il n’est pas facile de les formuler d’une façon cohérente. == L’existence des extensions conceptuelles, Frege et le paradoxe de Russell == Frege est l’un des premiers à avoir proposé une liste explicite des principes d’existence des ensembles. Il l’avait incorporée à une œuvre destinée à fonder l’ensemble des mathématiques sur des méthodes complètement formalisées. Son principal axiome dit que pour tout concept C il existe un ensemble, l’ensemble E des êtres pour lesquels ce concept est vrai. E est l’extension conceptuelle de C. L’axiome de Frege semble assez naturel, et il est adopté sous une forme restreinte dans toutes les théories modernes des ensembles. Mais Bertrand Russell a montré que sous la forme originale proposée par Frege, l’axiome conduit à une contradiction. Quand Frege a reçu la lettre de Russell, il eut le sentiment injustifié que toute son œuvre s’était effondrée d’un seul coup. En vérité Frege a été et demeure l’un des plus grands logiciens de tous les temps. On lui doit l’une des premières formulations complètes du calcul des prédicats et de son application aux fondements des mathématiques. Son erreur était assez naturelle, elle a révélé des aspects jusque là inconnus de la raison, et elle peut être corrigée tout en conservant l’essentiel du système. Le concept, ou prédicat, qui a posé problème pour l’axiome de Frege est celui des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, (x est un ensemble et x n’est pas dans x). En général les ensembles n’appartiennent pas à eux-mêmes. Un ensemble de nombres n’est pas lui-même un nombre, un ensemble de personnes n’est pas une personne… Les éléments existent en un sens avant l’ensemble. L’ensemble ne fait que réunir des éléments préexistants. Mais on peut trouver des exceptions, l’ensemble de tous les ensembles, par exemple, peut être considéré comme un ensemble, il est donc élément de lui-même. D’après l’axiome de Frege, il devrait exister un ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. Cet ensemble contiendrait la plupart des ensembles usuels mais il ne contiendrait pas l’ensemble de tous les ensembles ni quelques autres un peu bizarres. Cet ensemble, appelons le BR, est il élément de lui-même ? Si BR est élément de BR alors il n’est pas élément de lui-même par définition de BR, puisque BR contient tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. On a donc dans ce cas une contradiction. BR appartient à BR et BR n’appartient pas à BR. Si BR n’est pas élément de BR alors il est élément de lui-même, toujours par définition de BR. On a donc également une contradiction. Le principe du tiers exclu, la règle de disjonction des hypothèses et la règle du détachement permettent alors de conclure à (BR appartient à BR et BR n’appartient pas à BR). Comme tous ces principes étaient acceptés par Frege, son système contenait une contradiction. Pour un logicien, c’est une catastrophe, parce qu’un système contradictoire permet de démontrer n’importe quoi, qu’il soit vrai ou faux, à l’aide du principe du raisonnement par l’absurde. Un système qui permet de démontrer des faussetés ne démontre rien du tout. On peut donner au paradoxe de Russell la forme plus intuitive suivante : un barbier rase tous les hommes de son village qui ne se rasent pas eux-mêmes. Ce barbier se rase-t-il ? De l’examen des réponses il faut conclure qu’un tel barbier ne peut pas exister. De la même façon, un ensemble qui contiendrait tous les ensembles qui ne sont pas dans eux-mêmes ne peut pas exister. Autrement dit, toute ontologie des extensions conceptuelles ne peut pas donner l’existence à l’extension du concept de ne pas être élément de soi-même sous peine d’être contradictoire. On peut noter ici une différence entre l’exemple du barbier et BR. Le concept d’un tel barbier dans un tel village existe, mais c’est un concept vide. De même, le concept d’un univers d’ensembles et d’un ensemble qui contiendrait tous les ensembles qui ne sont pas dans eux-mêmes existe. Russell a prouvé que c’est un concept vide. Mais que faut-il dire du concept « ne pas être élément de soi-même » ? Est-ce qu’il existe ? Un concept existe dès qu’il fait partie d’une théorie sensée. L’ensemble des nombres entiers n’est pas un nombre entier et n’est donc pas élément de lui-même. C’est sensé. Le concept de ne pas être élément de soi-même existe donc. Seule son extension conceptuelle ne peut pas exister. Le concept du barbier ci-dessus existe et a une extension conceptuelle. Elle est tout simplement vide. Le concept de ne pas être élément de soi-même existe mais n’a pas d’extension conceptuelle. S’il en avait une, elle ne pourrait pas être vide, puisqu’il y a des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. Appelons concepts extensionnels les concepts qui ont une extension. Russell a prouvé qu’une théorie générale des concepts ne peut pas se limiter aux concepts extensionnels. == Qu’est-ce qu’un ensemble ? == Pour faire un ensemble il suffit d’avoir des objets et de donner un critère d’appartenance à l’ensemble que l’on définit. Le critère d’appartenance est en général un prédicat unaire, c’est-à-dire une formule qui contient une seule variable libre. Un prédicat unaire est un concept qualitatif. C’est pourquoi toute ontologie des ensembles incorpore sous une forme plus ou moins restreinte l’axiome de Frege. Il y a des concepts qui ont une extension. Plus il y en a, plus l’ontologie est tolérante. Mais si elle est trop tolérante, elle tombe dans l’absurdité. Un même ensemble peut être défini et nommé de plusieurs façons. Comment sait-on qu’il s’agit toujours du même ensemble ? Il suffit de montrer qu’il y a toujours les mêmes éléments. Plus précisément, deux ensembles E et F sont égaux lorsque tout élément de E est élément de F et réciproquement. C’est l’axiome d’extensionalité. Ce nom vient de la distinction entre la signification et l’extension d’un concept, ou prédicat. Par exemple « être humain » et « être humain avec {{abréviation|ADN|Acide DésoxyriboNucléique}} » sont deux prédicats qui ont la même extension, parce que tous les êtres humains ont de l’{{abréviation|ADN|Acide DésoxyriboNucléique}}, mais ils n’ont pas la même signification, parce que quelqu’un qui ne connait pas la biologie moléculaire ne sait pas qu’un être humain est toujours un être humain avec {{abréviation|ADN|Acide DésoxyriboNucléique}}. L’extension d’un prédicat, c’est l’ensemble de tous les êtres pour lesquels ce prédicat est vrai. L’axiome d’extensionnalité ne fait qu’énoncer la propriété essentielle des extensions, c’est-à-dire des ensembles. == Les ensembles indicibles == La fin de cette section prouvera qu’une théorie ne peut pas donner l’existence à tous les ensembles. Elle ne contient pas assez de noms. Quel que soit l’ensemble infini des ensembles nommés dans une théorie, il est toujours incomplet. Qu’on puisse prouver que l’incomplétude ontologique est une propriété nécessaire de toutes les théories montre que la raison est capable de connaître ses propres limites. Il n’y a pas de théorie qui contienne assez de noms pour tous les ensembles. Cela ne veut pas dire forcément que le concept d’ensemble n’a pas d’extension, parce qu’on peut parler de l’ensemble de tous les ensembles . Mais cela veut quand même dire que cette extension ne peut jamais être bien définie, qu’on ne peut jamais donner un nom à tous ses éléments. Tant qu’on peut donner un nom à tous ses éléments, l’ensemble est dicible, sinon il est indicible. Le paradoxe de Russell oblige à renoncer à l’axiome de Frege sous sa forme trop générale. Mais on n’a pas besoin de l’ensemble BR. L’ensemble de tous les ensembles n’est pas non plus nécessaire, au moins dans les mathématiques élémentaires. Quand on développe une théorie, on se contente en général d’ensembles relativement petits, comme l’ensemble des nombres entiers, et de principes d’existence qui permettent de définir de nouveaux ensembles à partir de ceux qui sont déjà définis. Il en va de même que pour les nombres entiers eux-mêmes. Il suffit de partir de 0 et on peut définir tous les autres nombres entiers positifs simplement en ajoutant 1 à ceux qui ont déjà été définis. En général, on n’a pas besoin d’ensembles aussi grands que l’ensemble de tous les ensembles, parce qu’on se contente des ensembles de nombres et de ceux que l’on peut définir à partir d’eux. On pourrait donc songer à limiter les mathématiques à des ensembles dicibles tels que celui des entiers. On pourrait vouloir exclure de notre ontologie tous les ensembles indicibles, sous prétexte qu’ils sont problématiques. Mais ce serait une erreur aussi grave que de vouloir arranger nos vies pour ne plus jamais avoir de problèmes. Les êtres rationnels sont assez forts pour résoudre des problèmes. Il ne faut pas nous prendre pour des incapables. La théorie cantorienne des nombres infinis montre que même des ensembles beaucoup plus petits que l’ensemble de tous les ensembles sont également indicibles. Deux des plus petits sont l’ensemble des nombres réels et l’ensemble P(N) de tous les ensembles de nombres entiers positifs, ou ensemble des parties de N. Les parties sont ici les sous-ensembles. N est l’ensemble des entiers naturels, ou positifs. L’ensemble P(N) est très important. Il est fondamental pour définir l’ensemble des nombres réels. À priori l’existence de l’ensemble de tous les ensembles n’est pas interdite. On peut accepter n’importe quelle théorie des ensembles pourvu qu’elle n’ait pas de conséquences contradictoires et qu’elle respecte les significations usuelles que l’on attribue à la notion d’ensemble. La théorie du zig-zag interdit de Quine donne l’existence à l’ensemble de tous les ensembles et elle respecte les significations usuelles de la notion d’ensemble. La stratégie ontologique de cette encyclopédie est progressive. On commencera par les ensembles dicibles. Les ensembles dicibles fondamentaux sont les systèmes formels, ou ensembles d’expressions formelles. Les autres ensembles sont définis à partir des systèmes formels avec des règles de construction. == Les systèmes formels == Un système formel est un ensemble de formules, ou expressions formelles, que l’on peut interpréter comme des noms, des phrases, ou de toute autre façon. * Les ensembles de nombres, entiers, rationnels, algébriques, peuvent être définis comme des systèmes formels, mais pas les ensembles qui contiennent tous les nombres transcendants, réels ou complexes. * La nomenclature de la chimie organique est un système formel. * Une théorie est un ensemble de phrases et est donc un système formel. Les théories générales des systèmes formels ont été conçues par des logiciens surtout pour étudier les théories. De ce point de vue on peut les considérer comme des métathéories générales, des théories de toutes les théories. Comme une formule peut toujours être nommée, les systèmes formels sont toujours dicibles. Il y a de nombreuses façons de nommer les formules. La plus économique consiste à considérer qu’une formule est un nom pour elle-même. L’ensemble des noms des éléments d’un ensemble E relativement à une théorie est un système formel. Mais même s’il est dicible, E lui-même n’est pas forcément un système formel, si ses éléments sont interprétés non comme des expressions formelles mais comme des ensembles ou d’autres objets. Le point de vue formel introduit une limitation. On se soucie peu de la signification des mots ou des symboles. Les théories n’y sont pas considérées comme des fenêtres sur le monde réel. Elles sont opaques. Elles ne contiennent que des assemblages de mots et on se soucie d’abord de leurs formes, pas de leurs significations. D’où le nom de point de vue formaliste. Les systèmes formels de base sont des ensembles énumérables. Intuitivement, ce sont tous les ensembles pour lesquels on peut donner un procédé mécanique d’énumération de tous leurs éléments. Le chapitre suivant (l’incomplétude) donnera deux définitions équivalentes de cette notion fondamentale d’énumérabilité. == L’existence des non-ensembles == Une méthode couramment acceptée en mathématiques fondamentales consiste à limiter l’ontologie aux ensembles. Les seuls êtres mathématiques sont des ensembles. La raison de cette méthode, c’est qu’il semble qu’on ne gagne rien à accueillir les non-ensembles. Tous les non- ensembles peuvent être représentés fidèlement dans une théorie des ensembles. Cela peut surprendre le débutant, parce que les non-ensembles, les nombres et la plupart des objets sont premiers par rapport aux ensembles. Les ensembles ne font que réunir des êtres qui existent déjà. Cependant, si l’on part de l’ensemble vide, et que l’on forme d’autres ensembles, tels que l’ensemble qui contient l’ensemble vide comme unique élément, l’ensemble qui contient les deux précédents, l’ensemble qui contient les trois précédents et ainsi de suite, on obtient une ontologie réduite aux ensembles et cependant assez riche pour définir des représentations de tous les êtres mathématiques. L’économie des moyens justifie donc cette réduction ontologique. Mais cette méthode de réduction ne sera pas suivie dans les pages qui suivent pour plusieurs raisons. Avant l’existence des ensembles on accepte celle des expressions formelles. Celles-ci pourraient être représentées par des ensembles, mais cette représentation fait perdre à la théorie son caractère naturel. L’évidence des principes de la théorie des systèmes formels est un critère important pour évaluer sa fiabilité. Tant que ces principes sont évidents, nous pouvons être sûrs de la qualité des preuves autant que nous pouvons l’être de toute preuve fondée sur des principes élémentaires. Comme elle fait perdre aux principes une partie de leur évidence, la réduction ontologique ensembliste ne me semble pas souhaitable si on s’interroge sur la fiabilité des principes. En plus des expressions formelles et des ensembles, on accepte l’existence des fonctions. On a une fonction quand on sait associer à chaque être x d’une catégorie un être f(x) défini de façon univoque. L’ensemble ou la classe des x pour lesquels f(x) existe est le domaine de la fonction f. f(x) est l’image par f de x. On le note aussi parfois fx. Le domaine d’une fonction n’est pas toujours un ensemble. Par exemple, soit f la fonction qui à un ensemble x associe l’ensemble Singleton de x, qui contient x comme unique élément. Le domaine de f est la classe de tous les ensembles. Je dis ici la classe et non l’ensemble, parce que dans de nombreuses théories, l’ensemble de tous les ensembles n’existe pas et ne peut pas exister sous peine de contradiction. Lorsque le domaine de f est un ensemble, f elle-même peut être considérée comme l’ensemble de tous les couples (x, fx) pour lesquels fx existe. Un ensemble de couples est en général défini comme l’extension conceptuelle d’un prédicat binaire, ou formule à deux variables libres, ou relation binaire. Un ensemble F de couples est considéré comme une fonction si et seulement si pour tous x, y, et z, si (x, y) et (x, z) sont dans F alors y=z. Cette propriété traduit l’univocité de la relation définie par F. On dit aussi que F définit une relation fonctionnelle. C’est en accord avec la signification courante que x est fonction de y lorsque y suffit pour déterminer x, lorsque x ne dépend que de y. Comme les sciences consistent toujours à établir de tels liens de dépendance entre les êtres ou les évènements, les fonctions sont des êtres abstraits d’une importance considérable. Tant que le domaine d’une fonction est un ensemble, l’ontologie des fonctions peut être réduite à celle des ensembles. Mais ce n’est pas toujours le cas. De telles fonctions, ou superfonctions, dont le domaine n’est pas un ensemble, sont utilisées dans toutes les théories des ensembles, parce qu’elles sont indispensables, mais elles ne sont pas considérées comme des fonctions ni vraiment comme des êtres mathématiques, mais seulement comme des auxiliaires du raisonnement, parce que l’ontologie strictement ensembliste interdit de leur donner l’existence. Telles sont par exemple, les fonctions de réunion et d’intersection d’ensembles. Quand on adopte une démarche ontologique progressive, les fonctions sont parfois plus fondamentales que les ensembles. Il n’y a aucune difficulté à considérer « Singleton de… » comme une fonction. En revanche, il y a beaucoup de difficultés à considérer son domaine comme un ensemble. Dans certaines théories, on veut que tous les êtres soient définis à partir d’objets déjà définis. Comme les fonctions jouent un rôle de premier plan dans la construction, ou définition, des ensembles, leur existence est établie de façon prioritaire. == La théorie cantorienne des nombres infinis == Les nombres entiers positifs suffisent pour se faire une idée de l’infini. On peut écrire des nombres aussi grands que l’on veut. Il n’y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres. On peut le démontrer par l’absurde. Supposons qu’il y ait un nombre plus grand que tous les autres. Appelons-le N. N+1 est plus grand que N contrairement à l’hypothèse, qui doit donc être rejetée, ce qu’il fallait démontrer. Montrons que l’on peut formaliser cette démonstration avec les règles de la déduction naturelle. 1 pour tout x, x est plus petit que x+1 (Axiome) 2 pour tout x et tout y, si x est plus petit qu'y alors y n’est pas plus petit que x (Axiome) 3 z est plus petit que z+1 4 si z est plus petit que z+1 alors z+1 n’est pas plus petit que z 5 z+1 n’est pas plus petit que z 6 pour tout w, w+1 n’est pas plus petit que w 7 °°°°° pour tout x, x est plus petit que N (Hypothèse) 8 °°°°° n’est pas plus petit que N 9 °°°°° N+1 est plus petit que N 10 °°°°° N+1 est plus petit que N et N+1 n’est pas plus petit que N 11 non(pour tout x, x est plus petit que N) 12 pour tout N, non( pour tout x, x est plus petit que N) CQFD (ce qu’il fallait démontrer) 3 est obtenu de 1 en remplaçant la variable x par le terme z en accord avec la règle de singularisation. 4 est obtenu de 2 en appliquant deux fois la règle de singularisation, on remplace d’abord x par z, puis y par z+1. 5 est obtenu de 3 et 4 par la règle du détachement. 6 est obtenu de 5 par la règle de généralisation. 6 est un théorème intermédiaire, ou lemme. 7 est l’hypothèse provisoire sur N dont on va montrer l’absurdité. 8 est obtenu de 6 par la règle de singularisation en remplaçant w par N. L’application de la règle est autorisée parce que 6 n’est pas décalé sur la droite par rapport à 8. 9 est obtenu de 7 par la règle de singularisation en remplaçant x par N+1. 10 est obtenu de 8 et 9 par la règle de synthèse. 11 est obtenu de 7 et 10 par la définition de la négation. 12 est obtenu de 11 par la règle de généralisation, parce que 11 ne dépend pas de l’hypothèse sur N faite en 7. Dans la suite les nombres entiers sont les nombres entiers positifs, dits aussi nombres naturels. Y a-t-il un sens à parler d’un nombre infini, du nombre de tous les nombres entiers par exemple ? Sous l’influence d’Aristote, on a longtemps considéré que c’était impossible. On disait que la notion d’infini a un sens quand il s’agit d’un infini potentiel, quand cela veut dire qu’une progression n’est pas limitée, mais que l’infini actuel n’a pas de sens, qu’on ne peut pas considérer un ensemble infini comme un tout. S’il n’y avait pas eu l’autorité d’Aristote, cette opinion n’aurait probablement pas été prise autant au sérieux, parce qu’il n’y a pas de difficulté à parler de l’ensemble de tous les nombres entiers et à dire des vérités à son sujet. L’idée du nombre des nombres entiers posait cependant des paradoxes. Par exemple l’ensemble des entiers est en un sens plus grand que l’ensemble des entiers pairs puisqu’il contient aussi l’ensemble des entiers impairs. On pourrait même être tenté de dire qu’il est deux fois plus grand. Cependant en un autre sens ces deux ensembles sont également grands puisqu’on peut obtenir l’un à partir de l’autre en remplaçant un à un chacun de ses éléments. Il suffit de remplacer chaque entier par son double pour avoir l’ensemble des entiers pairs à partir de l’ensemble des entiers. Ce paradoxe était connu de Galilée. Cantor a résolu le problème en adoptant la seconde définition et en affirmant sans crainte que le nombre des entiers est égal au nombre des entiers pairs. On appelle ce nombre l’infini dénombrable. Les ensembles infinis dénombrables sont aussi grands que l’ensemble des entiers. Deux ensembles E et F ont le même nombre d’éléments lorsqu’il existe une relation, ou correspondance, biunivoque entre leurs éléments. On dit aussi une fonction inversible ou une bijection. Une relation binaire R est biunivoque lorsqu’elle est une fonction dans les deux directions, lorsque chaque élément de E est relié à un élément et un seul de F et inversement. On dit aussi qu'E et F ont le même cardinal. Il y a deux définitions cantoriennes des nombres infinis, les cardinaux et les ordinaux. Les ordinaux sont très importants, plus que les cardinaux à bien des égards, et ils seront présentés dans le chapitre 5, mais pour prouver l’existence des ensembles indicibles, c’est la théorie des cardinaux qui permet de conclure. Y a-t-il des ensembles infinis (strictement) plus grands que l’ensemble des entiers ? Oui. C’est la grande découverte de Cantor. Le nombre des nombres réels en particulier est un infini plus grand que le nombre des nombres entiers. On peut définir des nombres infinis toujours plus grands. Le grand théorème de Cantor permet de le comprendre : l’ensemble P(E) des sous-ensembles d’un ensemble E est toujours plus grand qu'E. Sa démonstration n’est pas très difficile. Elle se fait par l’absurde. Supposons qu’il existe une fonction inversible f entre E et P(E). Définissons le sous-ensemble C de E par x appartient à C si et seulement si x n’est pas élément de f(x). Comme C est élément de P(E) il existe c tel que C=f(c). c est-il élément de f(c) ? Le raisonnement est semblable à celui du paradoxe de Russell. Si c est élément de f(c)=C alors c n’est pas élément de C par définition de C, et de même si c n’est pas élément de f(c). Il faut donc rejeter l’hypothèse. La fonction f ne peut pas exister. E ne peut donc pas être aussi grand que P(E) et il est forcément plus petit puisque P(E) contient tous les sous-ensembles de E qui ne contiennent qu’un seul élément. L’ensemble P(N) des ensembles de nombres entiers est donc plus grand que l’ensemble N des nombres entiers. Pour montrer que l’ensemble des nombres réels est plus grand que celui des entiers, Cantor avait proposé une version particulière de la méthode précédente. Supposons qu’il existe une bijection entre les réels et les entiers. On pourrait alors écrire la liste de tous les nombres réels dans le même ordre que celui des entiers. Supposons que cette liste soit écrite en notation décimale et que toutes les virgules soient placées sur une même verticale. Définissons alors le nombre réel GC. Le seul chiffre de GC avant la virgule est zéro. Si la première décimale du premier nombre réel listé est 1 alors la première décimale de GC est 2 sinon elle est 1. Si la deuxième décimale du deuxième nombre réel listé est 1 alors la deuxième décimale de GC est 2 sinon elle est 1. On applique la même règle pour toutes les décimales de GC en suivant la diagonale des décimales de la liste des nombres réels. C’est la méthode de la diagonale de Cantor. GC est un nombre réel bien défini puisqu’on a défini toutes ses décimales. GC n’appartient pas à la liste puisqu’il y a au moins une décimale de différence entre GC et chacun des nombres listés. La liste ne contient donc pas tous les nombres réels, contrairement à l’hypothèse. Il ne peut donc pas exister de fonction inversible entre les entiers et les réels. On appelle le nombre des nombres réels la puissance du continu. Le théorème précédent affirme que la puissance du continu est plus grande (strictement) que l’infini dénombrable, qu’elle est indénombrable. == Le théorème de l’incomplétude ontologique : il existe des ensembles indicibles == Si un ensemble n’est ni fini, ni dénombrable, on dit qu’il est indénombrable. Le théorème de l’incomplétude ontologique est une conséquence des théorèmes de Cantor, parce qu’un ensemble indénombrable est indicible. Pour le prouver, il suffit de montrer que l’ensemble de tous les noms dans une théorie est toujours au plus dénombrable. La définition d’une théorie respecte deux conditions. a) L’alphabet, ou liste des symboles fondamentaux, ou lettres, est toujours fini. b) Les mots, ou expressions formelles, sont des suites finies de lettres. Pour prouver que l’ensemble infini de tous les mots est dénombrable il suffit de définir un ordre, par exemple un ordre de type lexicographique, sur cet ensemble. L’existence de la fonction inversible qui associe à chaque mot son numéro d’ordre suffit pour terminer la preuve. Certains logiciens ont défini des « théories » pour lesquelles l’une ou l’autre des conditions a et b n’est pas vraie. Alors l’ensemble des mots peut être indénombrable. Mais ce ne sont pas des théories au sens ordinaire du mot. Même lorsque la condition a est relâchée et qu’on autorise un alphabet infini dénombrable, l’ensemble de tous les mots est encore dénombrable. À partir des théorèmes de Cantor et de la dénombrabilité de tout ensemble de noms, on peut conclure que si un ensemble E est infini, alors l’ensemble P(E) de ses parties est indicible. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../La logique/]] | suivant = [[../L'incomplétude mathématique/]] }} 3lcsow74ojl1grq9pg9si0dxy15t0s3 0 885 985103 984609 2026-07-22T12:05:25Z Zetud 1978 Orth. 985103 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 16 | idfaculté = mathématiques | numéro = 6 | précédent = [[../Les axiomes des théories des ensembles/]] | suivant = [[../Preuve naturelle de la cohérence de l'arithmétique formelle/]] }} Ce chapitre expose des preuves de cohérence des principes mathématiques. Il est plus audacieux que les précédents, pour lesquels presque tous les résultats présentés sont connus et prouvés depuis des décennies. == Comment prouver la fiabilité des principes ? == Les preuves de la vérité et de la fiabilité des principes sont confrontées à un problème de circularité : à partir de quels principes peut-on prouver la fiabilité des principes ? L’examen de ce problème requiert quelques préliminaires. === Qu’est-ce qu’une preuve ? === L’un des principes mathématiques les plus importants est que les vérités doivent être prouvées. Une part importante du travail mathématique consiste précisément à imaginer et à écrire des preuves. La façon la plus ordinaire de penser à une preuve est de la définir comme une progression par étapes de prémisses vers une conclusion. Si les prémisses sont vraies et si la progression est logique alors la conclusion est prouvée. La logique du premier ordre donne une définition précise et complète de la notion de progression logique et de preuve formelle. Quand elles sont définies de cette façon, les preuves sont définies avec précision, mais elles sont seulement des moyens pour trouver de nouvelles vérités à partir de vérités déjà connues. Dans une théorie mathématique, tous les théorèmes sont ainsi prouvés à partir des axiomes. Si nous voulons que les théorèmes soient vrais, il nous faut des axiomes vrais. Mais comment savoir que les axiomes sont vrais ? === Comment prouver la vérité des axiomes ? === Leibniz a posé en principe que tout axiome, tout principe, doit être prouvé. Mais il n’a pas dit très précisément comment le faire. À partir de quels principes peut-on prouver la vérité des principes ? Pour prouver que quelque chose est vrai, il faut avoir une idée de la vérité. La théorie des modèles donne une telle idée et un moyen de prouver qu’un axiome est vrai. Un système d’axiomes est vrai quand il y a un modèle pour lui. Il suffit de trouver un modèle et la vérité de tous les axiomes est automatiquement établie. C’est vrai pour toutes les formules, pas seulement les axiomes. Pour prouver la vérité d’une formule, il faut prouver qu’elle est vraie dans un modèle. Mais habituellement une formule est prouvée à partir d’axiomes et le modèle, s’il existe, est seulement implicite. Cela suffit pour prouver la vérité de cette formule dans le modèle pourvu que l’on sache déjà que les axiomes y sont vrais et que les déductions logiques soient valides. Cette définition de la vérité par la théorie des modèles laisse cependant des questions sans réponses. Comment prouve-t-on que des axiomes sont vrais dans un modèle ? Un modèle est défini avec des ensembles et des fonctions. Si on veut prouver qu’un modèle existe pour un système d’axiomes, on a besoin d’une théorie des ensembles et des fonctions. Il semble qu’il y a un cercle vicieux dans cette approche de la vérité mathématique. Pour prouver qu’une théorie est vraie, il faut prouver l’existence d’un modèle. Mais pour cela, on a besoin d’une théorie des ensembles, et plus précisément d’une vraie théorie des ensembles. Mais comment sait-on que cette théorie est vraie ? Quand on dit qu’une théorie des ensembles est vraie, on veut dire bien sûr qu’elle est cohérente, mais on veut dire plus que cela. Une théorie cohérente n’est pas forcément une théorie des ensembles. La notion première, ou concept fondamental, des théories des ensembles est la relation binaire d’appartenance. Tout être rationnel a une compréhension intuitive de cette notion. Rien qu’avec les ensembles finis on peut lui trouver de nombreuses applications. L’axiome d’extensionalité, selon lequel deux ensembles sont égaux s’ils ont les mêmes éléments, et d’autres lois générales sur les constructions élémentaires des ensembles sont connus de façon intuitive. On peut formuler des théories axiomatiques en accord avec ces connaissances intuitives du concept d’appartenance à un ensemble. Les connaissances intuitives conduisent parfois à des contradictions, même quand on fait attention à supprimer toute équivoque. Qu’une théorie des ensembles est intuitive ne prouve donc pas qu’elle est vraie. Si en revanche on a prouvé pour une théorie des ensembles qu’elle est cohérente, et si en plus elle est en accord avec nos connaissances intuitives sur les ensembles, alors on peut estimer que cela suffit pour prouver la vérité de cette théorie. On peut alors se reposer sur elle pour prouver l’existence de modèles et donc la vérité d’autres théories. Une théorie des ensembles est une sorte de théorie universelle, au sens où elle permet de raisonner sur toutes les théories. Mais il y a ici une circularité. Pour prouver qu’une théorie des ensembles est cohérente par la théorie des modèles, il faut prouver l’existence d’un modèle, c’est-à-dire un ensemble, qui est un univers de tous les ensembles de cette théorie. Pour échapper à cette circularité, on pourrait songer à prouver la cohérence de la théorie d’une façon directe, sans passer par la preuve d’existence d’un modèle. Mais on n’y échapperait pas non plus, parce qu’alors il faut raisonner sur toutes les conséquences que l‘on peut déduire logiquement des axiomes et cela revient à définir l’ensemble de toutes ces conséquences et à prouver qu’il ne contient pas de contradiction. Dans ce cas aussi, on a donc besoin d’une théorie des ensembles. Toute preuve de la fiabilité des principes de preuve a quelque chose de circulaire. Mais ce cercle n’est pas vicieux, ou pas trop, au sens où il ne remet pas en question la vérité de nos principes. S’il l’était alors on ne pourrait rien connaître avec certitude en mathématiques. Même les théories les plus élémentaires seraient douteuses. Par exemple, il est facile de définir une théorie qui contient toutes les égalités de la forme n + p = q où n, p et q sont des entiers positifs. Que cette théorie ne contient pas 2+2 = 5 peut être prouvé à partir de sa définition. Mais dans cette preuve, on raisonne sur l’ensemble de toutes les égalités qui définit la théorie. Ce serait cependant un absurde excès de rigueur logique d’avoir le moindre doute sur sa validité. Les seuls problèmes que posent cette preuve et d’autres semblables sont d’une part la portée des principes utilisés et d’autre part la façon de les formuler avec précision. Tant qu’on se limite à des techniques élémentaires, on peut être sûr de leur fiabilité, mais qu’en est-il quand on veut étendre leur puissance ? Avant de définir la moindre théorie axiomatique des ensembles, nous savons qu’il y a des systèmes d’axiomes cohérents pour les ensembles parce que nous savons que les ensembles existent d’une façon idéale. Il y a parfois des doutes sur la justesse d’une théorie particulière. Russell a prouvé que la théorie fregeienne des ensembles est contradictoire. On peut aussi avoir des doutes sur le choix de règles formelles particulières. Des logiciens se sont déjà trompés dans l’énoncé des règles pour les variables, par exemple, en omettant de mentionner des contraintes sur les occurrences libres et liées dans les règles de déduction. Mais il n’y a pas de raison d’être plus sceptique sur l’existence idéale de nombreux ensembles élémentaires que sur l’existence des nombres entiers. Avant de définir des méthodes formelles, nous savons que certains de nos raisonnements naturels sont fiables, parce que leurs principes sont nécessaires pour tout être rationnel, au sens où toute personne qui prend le temps d’y penser tombe d’accord sur leur nécessité. Si nous n’étions pas convaincus par la vérité de ces principes élémentaires (règles de déduction, vérités sur les mots, les formules et leurs ensembles…) alors nous ne pourrions pas être rationnels. Nous sommes convaincus que certaines preuves ont quelque chose à voir avec la vérité. Avant d’énoncer formellement nos principes, nous savons ou nous croyons qu’ils ont une part de vérité. Pourrions-nous avoir tort ? Que les principes fondamentaux de la raison soient faux ne pourra jamais être prouvé parce que cette preuve affirmerait qu’il n’y a aucune preuve valide et se contredirait elle-même. Est-ce que cet argument prouve que les principes fondamentaux de la raison contiennent une part de vérité ? Il peut être considéré comme une sorte de confirmation, mais le point important est que la preuve de la fiabilité des principes de preuve n’est pas une étape préliminaire obligatoire pour établir la validité d’une preuve. Cette interprétation du principe de Leibniz conduirait à une régression à l’infini et serait donc absurde. À chaque fois que nous donnons une preuve, nous pouvons supposer une sorte d’accord tacite et préalable sur la validité d’au moins quelques principes de preuve, même s’ils ne sont pas clairement formulés. Les découvertes scientifiques sont en vérité de bien meilleures preuves de la validité de nos principes de preuve que tout argument ''a priori''. Tant qu’on se limite aux cas les plus élémentaires, on peut se fier à nos connaissances intuitives sur les principes de preuve. Mais si on veut aller plus loin, alors il faut s’interroger de façon critique sur la fiabilité de nos méthodes et prouver avec des moyens élémentaires que des méthodes non-élémentaires sont fiables. Ce point est développé dans ce chapitre. Il résume à lui seul tout l’esprit de cette approche des fondements des mathématiques. C’est l’histoire du lion, la vérité, qui se fait aider par une souris, les évidences élémentaires. === À quoi servent les méthodes formelles ? === Quand on se limite à des questions élémentaires, on peut être sûr que les preuves informelles sont valides. On n’a pas besoin des méthodes formelles pour s’assurer de l’absolue vérité de ce qu’on dit, les évidences naturelles suffisent. Mais ce n’est qu’un commencement. Les méthodes formelles permettent d’aller beaucoup plus loin, pour plusieurs raisons. Les façons naturelles de parler et de raisonner marchent bien quand le sujet étudié n’est pas trop compliqué. Quand ce n’est pas le cas, on a besoin de moyens d’expression plus précis que ceux des langues naturelles. Les méthodes formelles permettent de combiner avec justesse des étapes simples, élémentaires, mais qui ensemble permettent de répondre à des questions précises sur des objets très complexes. L’inefficacité des raisonnements courants vient dans ce cas de leur manque de précision. Les sophismes et les paradoxes montrent que les évidences naturelles peuvent conduire à des absurdités. Les prémisses choisies comme point de départ semblent vraies, ou au moins acceptables, les étapes du raisonnement semblent correctes et pourtant la conclusion est absurde. Dans les sophismes on arrive à reconnaître une sorte de malveillance à l’égard du langage. L’indétermination partielle des significations des notions familières est utilisée pour duper l’auditoire. Typiquement pour faire un sophisme il suffit de se servir du même mot en deux sens différents sans souligner cette nécessaire distinction. Les méthodes formelles permettent de se protéger contre les sophismes parce qu’elles imposent de tout expliciter. La confusion des significations n’est alors plus possible. Les sophismes n’épuisent pas toutes les absurdités que l’on peut trouver à partir des évidences naturelles. Dans certains cas très importants, le raisonnement qui conduit à une conclusion absurde résiste aux efforts de clarification des significations. Dans ce cas, il s’agit d’un paradoxe. Donnons un exemple. Que toute phrase qui a un sens précis et non-équivoque soit nécessairement ou bien vraie, ou bien non, semble être un principe naturel de la raison. Considérons alors la phrase suivante. Cette phrase est fausse. Elle a un sens précis et non équivoque quand son sujet, « cette phrase » renvoie à la phrase complète. Est-elle vraie ? Si elle était vraie, elle serait fausse. On voudrait en conclure qu’elle n’est pas vraie mais cette option aussi est interdite parce qu’alors elle serait vraie. Elle ne peut donc être ni vraie, ni fausse, contrairement au principe pourtant naturel qui a été précédemment énoncé. Le paradoxe du menteur, qui vient d’être présenté, est comme beaucoup d’autres paradoxes, très important pour la recherche des vérités. Le chapitre 4 a rappelé son importance dans les preuves d’incomplétude des principes mathématiques. À la fin du {{s|19}}, la recherche de principes généraux pour toutes les mathématiques est devenue une question centrale. La théorie des ensembles de Cantor et les progrès de la logique mathématique ont fait espérer une théorie mathématique générale et complète. Il s’agissait de trouver un nombre fini d’axiomes à partir desquels on aurait pu prouver toutes les vérités sur tous les êtres mathématiques concevables. Cependant la théorie de Cantor a des aspects paradoxaux et la fiabilité des raisonnements généraux sur les ensembles laissait une place au doute. Frege, parmi d’autres logiciens, a développé des méthodes formelles qui permettaient de formuler avec précision tous les énoncés mathématiques sur les ensembles et tous les axiomes qui semblaient naturels pour fixer la signification des notions fondamentales. La méthode formaliste de Frege lui a permis d’éviter tous les sophismes, mais il est tombé sur un paradoxe. Russell lui a prouvé que ses axiomes, pourtant naturels, conduisent à une contradiction. Cette preuve a été présentée dans le chapitre 3. Sans les méthodes formelles, on ne peut pas espérer répondre au problème de la fiabilité ou de la cohérence des principes mathématiques. Il faut être précis, comme Frege, sur ce qu’on prend comme axiomes et sur ce qu’on admet comme règle de déduction, pour pouvoir alors prouver que les principes sont cohérents. On ne peut pas le faire pour les principes naturels parce qu’ils sont incohérents. Bien naïf est celui qui n’a pas compris qu’on peut toujours tout prouver, à la fois une chose et son contraire, il suffit de quelques phrases bien tournées. Mais il n’est souvent pas difficile de se protéger contre cette absurdité de la raison naturelle. Pour les raisonnements courants, il suffit en général de préciser un peu les significations. Si on rencontre un paradoxe, on sait alors qu’on a besoin d’une théorie plus prudente quant au choix de ses principes. On est conduit à développer une théorie formelle avec des axiomes et des règles clairement explicitées. === Le programme de Hilbert === Le paradoxe de Russell, comme de nombreux autres paradoxes ensemblistes, se pose à propos de grands ensembles, tels que l’ensemble de tous les ensembles, l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas dans eux-mêmes, l’ensemble de tous les ordinaux, et quelques autres. Cette situation avait jeté un soupçon sur les découvertes de Cantor. Certains mathématiciens restaient sceptiques quant à la signification et à la portée de ses théorèmes. Mais d’autres plus audacieux ont compris que Cantor avait livré les clés d’un paradis parce qu’il a donné les moyens de raisonner avec justesse sur tous les ensembles concevables et que cela permettait de développer des théories beaucoup plus puissantes que tout ce qui avait été conçu jusque là. Les paradoxes de la théorie des ensembles ne remettaient pas en question la vérité des principes élémentaires, tels que ceux des théories des nombres entiers. Tant qu’on se limite aux nombres entiers, l’évidence des principes n’est pas contestable. Les théories sont des ensembles de formules et peuvent être définies avec des principes semblables à ceux qui sont utilisés en arithmétique. Dans les deux cas, on peut raisonner comme si l’on parlait de suites finies de signes graphiques. Hilbert faisait remarquer que les nombres peuvent être identifiés à des suites de barres par exemple : 1=/, 2=//, 3=///, 4=////… Les formules peuvent de même être identifiées à des suites de lettres, ou symboles. Les ensembles de nombres ou de formules sont des systèmes formels. Tant qu’on se limite aux systèmes formels et à quelques autres ensembles que l’on peut construire à partir d’eux, les mathématiques sont finitaires. On peut formaliser la théorie de Cantor, c’est-à-dire définir avec précision un ensemble de formules prouvables à partir d’axiomes. On obtient ainsi un ensemble finitaire de formules destinées à dire des vérités sur tous les ensembles, et pas seulement ceux qui peuvent être identifiés à des ensembles finitaires déjà construits. Pour développer la théorie générale des ensembles sans tomber dans des contradictions, on est conduit à étudier un ensemble finitaire. On peut alors espérer prouver avec des méthodes finitaires que la théorie est cohérente. Cela place les mathématiques finitaires au cœur de toutes les mathématiques, parce que si on a prouvé qu’une théorie est cohérente on a établi du même coup l’existence mathématique des êtres qu’elle définit. La fiabilité des méthodes générales peut ainsi être prouvée avec des méthodes finitaires. Hilbert a espéré trouver une théorie finitaire telle que toutes les questions mathématiques y reçoivent une réponse. Cet espoir était justifié en partie, parce que la cohérence de toute théorie est une question finitaire. Gödel a prouvé que ce programme complet de Hilbert n’est pas réalisable. Quelles que soient les théories finitaires que l’on se donne, elles seront toujours insuffisantes pour prouver toutes les vérités. Gödel a aussi prouvé un second théorème d’incomplétude qui a été mal interprété. Il dit qu’en général une théorie mathématique ne peut pas prouver sa propre cohérence. L’interprétation erronée consiste à en conclure que les méthodes finitaires ne suffisent pas pour prouver la cohérence des théories finitaires et qu’il faut abandonner à la fois le programme de Hilbert et la croyance en la prééminence des méthodes élémentaires. Les sections suivantes prouveront que le programme de Hilbert est réalisable, pourvu qu’on abandonne l’espoir de complétude, qu’on demande seulement des preuves de cohérence, qu’on fasse attention dans le développement de l’ontologie des ensembles et des fonctions, et qu’on fasse confiance à la capacité de la raison à connaître les ensembles infinis, au moins quand ils sont définis avec des moyens élémentaires. Ce programme est considéré ici comme une forme moderne du programme de Leibniz, selon lequel il faut prouver la vérité des principes. == Les preuves de cohérence par la théorie des modèles == On peut prouver la cohérence d’une théorie T en construisant un modèle de T, c’est-à-dire un ensemble de formules atomiques telles que tous les axiomes de T sont vrais pour elles. L’ensemble des vérités atomiques de l’arithmétique élémentaire permet par exemple de prouver la cohérence des théories arithmétiques. Une théorie T est cohérente lorsqu’on ne peut pas déduire de contradiction à partir de ses axiomes. Si T a un modèle, tous les axiomes et toutes leurs conséquences logiques sont vrais dans ce modèle. Une contradiction est fausse dans tous les modèles. Elle ne peut donc pas être une conséquence des axiomes. Une théorie qui a un modèle est donc nécessairement cohérente. Le théorème de complétude de la logique du premier ordre montre qu’inversement une théorie cohérente a toujours un modèle. La construction d’un modèle peut être donnée avec un langage et un raisonnement naturels parce qu’elle est souvent très élémentaire. On peut être aussi sûr de la validité de ces constructions qu’on l’est de la validité de tous les principes élémentaires de raisonnement. Il est cependant souhaitable de formaliser les preuves naturelles. Il ne s’agit pas toujours de les rendre plus sûres, parce que certains raisonnements naturels peuvent être plus fiables que les calculs formalisés, étant plus compréhensibles. On peut se tromper dans les options de formalisation, mais, on ne se trompe pas si on applique avec attention des principes élémentaires et naturels sur des questions simples. Formaliser des preuves naturelles présente un intérêt plus pour montrer la justesse et l’efficacité de la formalisation que pour montrer la justesse des preuves elles-mêmes. Les théories formalisées permettent de dépasser les limites des raisonnements naturels et de formaliser des preuves difficiles. Pour formaliser des preuves de cohérence par la théorie des modèles on a besoin d’une théorie T des ensembles. Pour que ces preuves soient valables, il faut que T soit elle-même cohérente. On est donc conduit à chercher une preuve de la cohérence de T. Nous présenterons à la fin de ce chapitre la preuve de Gödel que sous des conditions générales, une théorie T ne permet pas de formaliser la preuve de la cohérence de T. Nous montrerons que cette improuvabilité a une racine ontologique. T ne contient jamais les bons ensembles qui permettent de formaliser la preuve de sa cohérence. Nous donnerons d’abord une preuve naturelle de la cohérence de l’arithmétique formelle AF. L’ontologie de l’arithmétique formelle n’est pas adaptée à la formalisation de cette preuve, mais celle de Finitaire1 oui. Nous montrerons que la théorie Finitaire1 permet de formaliser la preuve naturelle de la cohérence de l’arithmétique formelle. L’ontologie de Finitaire1 est limitée mais elle est cependant très riche. Elle permet de définir beaucoup plus d’ensembles que l’arithmétique formelle, qui est déjà elle-même très riche. Finitaire1 met à profit des méthodes élémentaires et cependant très puissantes et très générales pour construire et connaître des ensembles infinis. On donnera ensuite une preuve de la cohérence de Finitaire1 et on complétera son ontologie pour définir une théorie Finitaire2 qui permet de formaliser la preuve de la cohérence de Finitaire1. La preuve de la cohérence de Finitaire2 sera laissée en exercice, mais arrivé à ce point le lecteur devrait être convaincu qu’elle ne pose pas de difficultés de principe. Il suffit de se donner une ontologie adaptée à ce but. La méthode qui vient d’être exposée rencontre l’objection suivante. On prouve la cohérence d’une théorie T avec une théorie T+ plus compliquée que T. Il se pourrait que T soit incohérente, que T+ le soit également et qu’elle permette quand même de prouver que T est cohérente. Ces preuves de cohérence ne prouveraient donc rien du tout. Cette objection n’est ici pas valable. Avant de définir Finitaire1, on sait déjà que l’arithmétique formelle est cohérente et on sait le prouver. Le rôle de Finitaire1 est seulement de traduire une preuve naturelle dans un langage formalisé. Si ses axiomes avaient été mal choisis, Finitaire1 pourrait être incohérente, mais cela n’enlèverait rien à la valeur de la preuve de la cohérence de l’arithmétique formelle, cela montrerait seulement les difficultés de la formalisation des preuves naturelles. Comme on sait que Finitaire1 et d’autres théories finitaires élargies sont cohérentes, on peut s’en servir pour prouver la cohérence d’autres théories. Nous prouverons que les méthodes finitaires sont en un sens toujours suffisantes, au sens où si une théorie est cohérente alors elle a un modèle finitaire. C’est une conséquence, ou plus exactement une reformulation, du théorème de complétude de Gödel. Mais on ne peut pas déduire de ce théorème l’existence d’une théorie finitaire complète, au sens où elle suffirait pour toutes les preuves de cohérence. Les preuves formelles de cohérence sont assez élémentaires. Il suffit de définir avec précision à la fois un modèle et l’ensemble des axiomes de la théorie, et d’appliquer quelques règles logiques simples. Le théorème de cohérence est une conséquence triviale des définitions. C’est en accord avec l’intuition que ces théories sont évidemment cohérentes. La trivialité de la conclusion veut quand même dire ici qu’il faudrait y passer quelques dizaines de pages si l’on voulait expliciter formellement toutes les étapes. Mais la rédaction complète de ces preuves formelles ne pose pas d’autres difficultés que le caractère mécanique et répétitif de leurs nombreuses étapes. Même pour une théorie aussi élémentaire que celle des nombres entiers, la construction d’un modèle est assez compliquée, mais elle ne met en jeu que des étapes élémentaires, pour lesquelles la validité des méthodes de construction est difficilement contestable, sauf si l’on prétend que l’esprit humain est incapable de connaître les nombres entiers. La seule véritable difficulté de ces preuves formelles consiste à choisir une ontologie adaptée à leur but. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Les axiomes des théories des ensembles/]] | suivant = [[../Preuve naturelle de la cohérence de l'arithmétique formelle/]] }} 1aluaqrk8unnlp10u2u0outtxo7lfpg 10 1806 985060 775409 2026-07-21T07:00:03Z JackPotte 2411 985060 wikitext text/x-wiki <div style="clear:both;margin:0.3em auto;border:2px solid #FF9966;background:#F8F8F8;border-radius:1em;padding:0.3em"> <div style="float:left;width:45px">[[Fichier:W21-1a.svg|45px]]</div> <div style="margin-left:47px"> {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1}}}|{{{1}}}]] ([[Discussion Utilisateur:{{{1}}}|lui écrire]])|Un contributeur}} est en ce moment même en train de travailler en profondeur sur cette page ou section de page. 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[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 13 mars 2007 à 10:12 (UTC) 7pghby5t1wfxbf9uns0xhp8zopi99bl 0 2360 984973 815013 2026-07-20T15:38:53Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984973 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | niveau = 15 | chapitre = [[../../Sommations de séries entières/]] | précédent = [[../Sommations plus compliquées/]] | suivant = [[../Séries de Fourier et fonction zêta/]] }} __TOC__ {{Clr}} == Exercice 8-1 == Calculer : :<math>C(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\qquad S(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}</math>. {{Solution |contenu = En dérivant, on obtient : :<math>C'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k-1}}{(2k-1)!}=-S(x),\qquad S'(x):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}=C(x)</math>. De plus : :<math>C(0)=1,\qquad S(0)=0</math>. Les sommes <math>C(x)</math> et <math>S(x)</math> sont donc les solutions des [[Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants|équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants]] avec conditions initiales, respectivement : :<math>C''+C=0,\quad C(0)=1,\quad C'(0)=0</math> ; :<math>S''+S=0,\quad S(0)=0,\quad S'(0)=1</math>. Par conséquent, <math>C=\cos</math> et <math>S=\sin</math>. }} == Exercice 8-2 == Calculer <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+\mathrm ib)^n}{n!}</math> (pour <math>a,b\in\R</math>) et en déduire <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k!}</math> et <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{k!}</math>. {{Solution | contenu = <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+\mathrm ib)^n}{n!}</math> est le [[Série numérique/Produit de Cauchy|produit de Cauchy]] des deux séries <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!}</math> et <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathrm ib)^k}{k!}</math>. La première est égale à <math>\mathrm e^a</math> (cf. cours) et la seconde à <math>\cos b+\mathrm i\sin b</math> (cf. exercice précédent). Par conséquent : {{Encadre | contenu = <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+\mathrm ib)^n}{n!}=\left(\cos b+\mathrm i\sin b\right)\operatorname e^a</math>. }} On en déduit les deux séries <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k!}</math> et <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{k!}</math> en même temps en remarquant qu’elles sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de la série : <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(kx)+\mathrm i\sin(kx)}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^k}{k!}=\left(\cos(\sin x)+\mathrm i\sin(\sin x)\right)\operatorname e^{\cos x}</math>. En séparant les parties réelles et imaginaires, nous pouvons conclure : {{Encadre | contenu = <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(kx)}{k!}=\cos(\sin x)\operatorname e^{\cos x}</math>, <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{k!}=\sin(\sin x)\operatorname e^{\cos x}</math>. }} }} == Exercice 8-3 == Pour <math>|x|<1</math>, calculer : :<math>a)\, \sum_{k=0}^{\infty}(k^2+1)x^k\qquad\qquad\qquad b)\, \sum_{k=0}^{\infty} k^3x^k</math>. {{Solution|contenu= Posons :<math>f(x):=\sum_{k=0}^{\infty}x^k=\frac1{1-x}</math>. Alors, :<math>\begin{align}&\sum_{k=0}^{\infty} kx^k&=xf'(x)&=\frac x{(1-x)^2} \\ &\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)x^k&=x^2f''(x) &=\frac{2x^2}{(1-x)^3}\\ &\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)(k-2)x^k&=x^3f'''(x)&=\frac{6x^3}{(1-x)^4}. \end{align}</math> a) <math>k^2+1=k(k-1)+k+1</math> donc :<math>\sum_{k=0}^{\infty}(k^2+1)x^k=\frac{2x^2}{(1-x)^3}+\frac x{(1-x)^2}+\frac1{1-x}=\frac{2x^2-x+1}{(1-x)^3}</math>. b) <math>k^3=k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k</math> donc :<math>\sum_{k=0}^{\infty}k^3x^k=\frac{6x^3}{(1-x)^4}+3\frac{2x^2}{(1-x)^3}+\frac x{(1-x)^2}=\frac{x(x^2+4x+1)}{(1-x)^4} </math>. }} == Exercice 8-4 == Calculer : <math> \sum_{k=3}^{\infty} \frac{4k-5}{k^2-k-2}x^k </math> {{solution | contenu = On a : <math> \begin{align} \sum_{k=3}^{\infty} \frac{4k-5}{k^2-k-2}x^k &= \sum_{k=3}^{\infty} \frac{4k-5}{(k+1)(k-2)}x^k \\ &= \sum_{k=3}^{\infty} \left( \frac3{k+1} + \frac1{k-2}\right)x^k \\ &= 3\sum_{k=3}^{\infty} \frac{x^k}{k+1} + \sum_{k=3}^{\infty} \frac {x^k}{k-2} \end{align}</math> En faisant des glissements d’indice de façon à avoir seulement k en dénominateur, on obtient : <math> \begin{align} \sum_{k=3}^{\infty} \frac{4k-5}{k^2-k-2}x^k &= 3\sum_{k=4}^{\infty} \frac {x^{k-1}}k + \sum_{k=1}^{\infty} \frac {x^{k+2}}k \\ &= \frac3x\sum_{k=4}^{\infty} \frac {x^k}k + x^2\sum_{k=1}^{\infty} \frac {x^k}k \end{align}</math> Le développement de ln(1-x) étant : <math> \ln(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}k </math> Nous en déduisons : <math> \begin{align} \sum_{k=3}^{\infty} \frac{4k-5}{k^2-k-2}x^k &= \frac3x\left( -\ln(1-x)-\sum_{k=1}^3\frac{x^k}k \right)-x^2\ln(1-x) \\ &= -\frac{3\ln(1-x)}{x}-3-\frac{3x}2-x^2-x^2\ln(1-x) \\ &= -\frac{x^3+3}x \ln(1-x)-\frac{2x^2+3x+6}2 \end{align}</math> }} == Exercice 8-5 == Calculer : :<math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac1{k+2} \frac{x^k}{k!}</math>. {{Solution | contenu = :<math> \begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \frac1{k+2} \frac{x^k}{k!} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)x^k}{(k+2)!} \\ &=\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{(k+2)!}\right)'\\ &=\left(\frac1x\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+2}}{(k+2)!}\right)'\\ &=\left(\frac{\mathrm e^x-1-x}x\right)'\\ &=\left(\frac{\mathrm e^x-1}x\right)'\\ &= \frac{x\mathrm e^x-\mathrm e^x+1}{x^2}. \end{align}</math> }} == Exercice 8-6 == Pour <math>x\in\left]-1,1\right[</math>, montrer que la série <math>\sum k(k-1)x^{k-2}</math> est convergente et calculer sa somme. {{Solution|contenu= Soit un entier <math>n \ge0</math>, <math>\forall x \ne 1\quad\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}</math>. Les deux fonctions <math>x\mapsto\sum_{k=0}^n x^k</math> et <math>x\mapsto\frac1{1-x}-\frac{x^{n+1}}{1-x}</math> sont égales sur <math>\R \setminus \{1\}</math> donc leur dérivées secondes sont égales elles aussi donc pour tout entier <math>n\ge1</math> et tout réel <math>x\ne1</math> : :<math>\sum_{k=0}^n k(k-1)x^{k-2} =\frac2{(1-x)^3}-\frac{2x^{n+1}}{(1-x)^3}-\frac{2(n+1)x^n}{(1-x)^2}-\frac{n(n+1)x^{n-1}}{1-x}</math>. Soit <math>x\in\left]-1,1\right[</math> : on a alors <math>\lim_{n \to \infty}n(n+1)x^{n-1}=0</math>. On en déduit que <math>\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^n k(k-1)x^{k-2} \right) </math> existe et <math>\sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)x^{k-2} = \frac2{(1-x)^3}</math>. }} == Exercice 8-7 == Calculer <math>\sum_{n\ge0}\frac{x^nn^3}{n!}</math>. {{Solution|contenu= <math>\sum_{n\ge0}\frac{x^nn^3}{n!}=0+x+4x^2+\sum_{n\ge3}x^n\left(\frac1{(n-3)!}+\frac3{(n-2)!}+\frac1{(n-1)!}\right)= x+4x^2+x^3\operatorname e^x+3x^2(\operatorname e^x-1)+x(\operatorname e^x-1-x)=(x^3+3x^2+x)\operatorname e^x</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Sommations plus compliquées/]] | suivant = [[../Séries de Fourier et fonction zêta/]] }} 3onz48jbshyf7bsobmdyqasfb454mp6 2 2361 984974 967566 2026-07-20T15:39:03Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984974 wikitext text/x-wiki '''Salut le collègue, salut le visiteur, bonjour!''' {{#babel: fr-2 | en-2 | de}} C'est super que tu visites ma page d’utilisateur pour gagner plus d'informations sur moi et pour me rendre des suggestions quant à mes activités sur [http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_Utilisateur:Faispartie&action=edit&section=new ma page de discussion] ou [[Spécial:Emailuser/Faispartie|par mel]]. Je m'appelle Johannes, ai presque {{unité|18|ans}} et ensuite, j'aimerais t'offre une petite présentation intéressante: Je suis élève du lycée [http://www.altmuehlnet.de/~wg/ "Willibald-Gymnasium"] (aussi [[w:de:Willibald-Gymnasium (Eichstätt)|ici]]) à [[w:Eichstätt|Eichstätt]] en [[w:Allemagne|Allemagne]]. <br /> Pour représenter notre cours et les activités des élèves, nous avons créer le <br /> <div style="text-align:center;"><span style="font-size:1.2em">'''[[Le français au lycée allemand|Projet d'école: Le français au lycée]]'''</span></div>où vous trouvez beaucoup d'informations précieuses sur notre cours à l'école et aussi sur des projets au-déla du cours. <u>'''Quelques exemples:'''</u> * Il y a [[:de:Schulprojekt:Französisch_in_der_gymnasialen_Oberstufe/Mémoires|'''les mémoires de notre cours de français''']] qui s'occupent de [[w:Opéra-Bastille|l'Opéra Bastille]] à Paris - Les Chinois à Paris - [[w:Torcy (Seine-et-Marne)|Torcy]], une ville de la périphérie: agréments et problèmes - etc … [[Fichier:Flag of Senegal.svg|130px|right]] :Et voilà le site de mon mémoire: un <span style="font-size:1.2em">'''[[:de:Benutzer:Faispartie/Facharbeit|Modèle didactique pour un cours de français]]'''</span> * L'utilisateur [[Utilisateur:David|David]] avait l’idée d'installer un propre [[w:Organisation des Nations unies|ONU]], dont s'est développé le [[:de:Benutzer:David/UNO|'''début de notre ONU''']]. * De plus, il y a la [[:de:Leistungskurs_Französisch_des_Willibald-Gymnasiums_(Eichstätt):Unterrichtsmaterialien:Le_cours|'''Documentation de notre cours''']] où vous trouvez une liste avec <br />les contenus de chaque jour à l'école, illustrée par des images, tableaux et bien de liens utiles. * Un projet très original qui doit constituer la base d’un travail commun interculturel avec succès: <span style="font-size:1.2em">'''[[Le français au lycée allemand/Sénégal|Échange avec des élèves du Sénégal]]'''</span>. * etc etc etc Tout cela se passe sous la direction du professeur [[w:Jean-Pol Martin|Jean-Pol Martin]], l'introducteur de [[w:Lernen durch Lehren|'''LDL''' (= apprendre par enseigner)]], la méthode didactique dont notre cours déroule. [[Fichier:Flag of the United Nations.svg|140px|left|Flagge der Vereinten Nationen]] Quant à moi, j'aime faire des projets intéressants avec des gens motivés! Et je m'intéresse à la politique (par exemple les structures de [[w:Union européenne|l'Union Européenne]], [[w:Organisation des Nations unies|ONU]] mais aussi le régime à [[w:Athènes_antique|l'Athènes antique]]). En plus, les [[w:Nouveau_Paradigme|changements de paradigmes]] par exemple dans l'histoire d’un pays ou aussi en ce moment sont quelque chose de fascinant, de la même façon que l'enseignement d'[[w:Épicure|Épicure]] ou le [[w:Stoïcisme|stoicisme]] que je suis en train de traiter en [[w:latin|latin]]. Bien sûr, aussi le monde entier et son développement est un domaine indispensable qui m'attire. <br /> <br /> == Réseau de contacts dans la Wikiversité française == [[Utilisateur:Jeanpol|Jeanpol]]; [[Utilisateur:Manuel |Manuel]]; [[Utilisateur:Sela|Sela]]; [[Utilisateur:Soma|Soma]];[[Utilisateur:David|David]] __NOTOC__ __NOEDITSECTION__ [[de:Benutzer:Gujoh]] [[en:User:Faispartie]] k41duedpluch05fm27envis86rsqbiq 0 2362 984975 949671 2026-07-20T15:40:25Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984975 wikitext text/x-wiki {| | Le '''cours de français du [[w:de:Willibald-Gymnasium|Willibald-Gymnasium]]''' (lycée à [[w:Eichstätt|Eichstätt]]) a pris la responsabilité de cette page. D'une part, elle veut offrir la possibilité d’une plateforme centrale pour l'organisation du cours et de projets aux élèves participants, mais d’autre part, elle veut aussi présenter les contenus du cours (voir aussi [[w:Lernen durch Lehren|'''LdL''']]) et les projets des élèves devant un plus grand public. | Diese Seite wird vom '''Leistungskurs Französisch des [[w:de:Willibald-Gymnasium|Willibald-Gymnasium]]s''' ([[w:de:Eichstätt|Eichstätt]]) betreut. Sie will einerseits den Schülern des Kurses die Möglichkeit einer zentralen Plattform für die Organisation von Unterricht und Projekten bieten, andererseits aber auch die Unterrichtsinhalte (vgl [[w:de:Lernen durch Lehren|'''LdL''']]) und Projektvorhaben der Schüler (vgl '''[http://www.ku-eichstaett.de/Fakultaeten/SLF/romanistik/didaktik/Forschung/ipk/ IPK]''') einem breiteren Publikum zugänglich machen. | <!--{{wikt:de:Benutzer:Manuel/Vorlage/Kalender}} Bei Bedarf noch einfügen!!! --> |} {| |style="border:solid 2px #DCDCDC; background:#;"| == Notre cours: …………………………………………… [[Le français au lycée allemand/Sitemap|Voilà un court aperçu des sites]] == {| style="border-left: 25px solid #;" align="right" style="background:#;" |style="border:solid 1px #;"| [[Fichier:LaFrancophonie2021.png|frameless|upright=1.5|center]] |- |<small>'''Carte du monde où on parle le français.'''</small> |- |</span> <span style="color:#0000CD"> <span style="background-color:#0000CD"> ..</span> </span><small> Bleu foncé : langue maternelle </small><br /> |- |</span> <span style="color:#1C86EE"> <span style="background-color:#1C86EE"> .. </span> </span><small> Bleu : langue officielle </small><br /> |- |</span> <span style="color:#1C86EE"> <span style="background-color:#1C86EE"> .. </span> </span><small> Bleu hachuré : langue administrative et d'enseignement</small><br /> |- |</span> <span style="color:#B0E2FF"> <span style="background-color:#B0E2FF"> .. </span> </span> <small>Bleu clair : langue seconde et/ou langue de culture </small><br /> |} === Contenus de notre cours === * '''[[:de:Leistungskurs Französisch des Willibald-Gymnasiums (Eichstätt):Unterrichtsmaterialien:Le cours|Le cours quotidien]]''' * [[:de:Leistungskurs Französisch des Willibald-Gymnasiums (Eichstätt):Unterrichtsmaterialien - INHALTLICHES|Théorie: modèles anthropologiques]] * [http://www.ldl.de/material/berichte/franz/kuefner1.pdf Survol de l'histoire de France et de sa littérature (Martin)] * [[w:Littérature française|La littérature française (article Wikipédia)]] === Forums pour l'organisation === * [[:de:Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe:Forum|Forum dans la Wikiversity allemande]] * [http://www.zum.de/Foren/ldl/threads/thread736.php Forum dans la ZUM-Wiki] === Metaréflexion: Portfolio === * [[w:Portfolio#Éducation|Portfolio]] Nr.1 (LK-12/1): :Faites un tableau avec trois colonnes sur lequel vous notez en français et '''de mémoire''' les connaissances que vous avez acquises depuis le début du LK. Vous notez <br /> :a) à gauche les contenus dont vous vous souvenez par ordre d'importance '''pour vous''', <br /> :b) au milieu vous expliquez pourquoi ces contenus étaient importants pour '''votre vie scolaire ou extrascolaire''', <br /> :c) à droite vous notez si votre savoir sur ce sujet vous suffit ou, le cas échéant, dans quelle direction vous voudriez encore développer ce savoir. <br /> :Consacrez l'essentiel de vos réflexions sur '''les buts que vous vous fixez pour les mois à venir''' dans notre cours, notamment sur votre mémoire, au cas où vous faites votre [[:de:Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe/Mémoires|mémoire en français]]. * Un '''[[:de:Benutzer:Sela/Portfolio|portfolio exemplaire]]''' d’une élève <br /> [[Fichier:Wikibooks-logo.svg|70px|right]] === Aides === {|style="background:;" |width="20%"| * [http://dict.leo.org/frde?lp=frde&search= Dictionnaire en ligne] |width="30%"| * [[b:de:Französisch|<nowiki>Wikibook</nowiki> ''Französisch'' en allemand]] |width="30%"| * [[b:en:French|<nowiki>Wikibook</nowiki> ''French'' en anglais]] |} |- |style="background:#F0FFF0; border:solid 2px #DCDCDC;"| == Projets: == {|style="background:#F0FFF0;" width="100%" |width="50%"| * <span style="font-size:1.2em">'''[[:de:Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe:UNO|Début de notre ONU (en allemand)]]'''</span> * <span style="font-size:1.2em">'''[[:de:Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe/Mémoires|Mémoires des élèves]]'''</span> * <span style="font-size:1.2em">'''[[:de:Benutzer:Faispartie/Projekt:bessere_Zukunft |''1.000 Wikis'': Nous <br />développons des profils idéaux (en allemand)]]'''</span> |width="50%"| * <span style="font-size:1.2em">'''[http://www.zum.de/wiki/index.php/Benutzer:Jeanpol/tourdefrance Tour de France 2006]'''</span> * <span style="font-size:1.2em">'''[[:de:Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe:Voyage à Paris|Voyage à Paris 2007]]'''</span> * <span style="font-size:1.2em">'''[http://www.ku-eichstaett.de/Fakultaeten/SLF/romanistik/didaktik/Forschung/ipk/bildungsfest2007 Atelier 07.07.07 à l'Université]'''</span> |} <span style="font-size:1.2em">'''[[Le français au lycée allemand/Sénégal|Communication avec des élèves du Sénégal (envisagée, malheureusement pas réalisée)]]'''</span> [[Fichier:Flag of Senegal.svg|80px|right]] Pour vous familiariser un peu avec ce pays-ci: [[w:Sénégal|Sénégal sur Wikipédia]], [http://www.studentsoftheworld.info/country_information.php?Pays=SEN Quelques dates], [http://www.senegal-info.de et encore un site avec des infos diverses] <br /> Par ce projet-ci, nous espérons que, ensemble avec des élèves intéressés au Sénégal, nous pouvons créer une communication commune en travaillant sur des sujets différents: Après avoir appris la gestion technique de la Wiki, vous (les élèves sénégalais) pourriez construire votre page d’utilisateur et, bien sûr, des articles informatives sur tout ce que vous savez et ce qui vous semble intéressant (votre pays, les villes, des choses particulières…). De plus, on pourrait installer un forum pour des discussions communes concernant les cours à l'école, des thèmes politiques, des problèmes du monde ou d’un pays particulier, l'histoire, le développement futur, etc. Surement, on pourra créer du savoir intéressant et utile ! <span style="font-size:1.2em">'''[http://gaiachabanier.canalblog.com/ Blog de Gaia]'''</span> Gaia, c’est une petite Française de {{unité|7|ans}} vivant {{unité|1|an}} dans la forêt en [[w:Indonésie|Indonésie]]. Elle a gagné bien d'expériences et sait beaucoup à rapporter et présenter ! |- |style="background:#FFF5EE; border:solid 2px #DCDCDC;"| == Communication == === Des idées pour nous ? === Vous avez des idées quant aux contenus de notre cours, une proposition pour les projets d’un élève ou vous voulez nous dire quelque chose d’autre ? S'il vous plait, utilisez notre [http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discuter:Le_français_au_lycée_allemand&action=edit&section=new page de discussion] pour la communication avec nous. Nous vous remercient !! ;-)) === Les élèves participants: === [[Utilisateur:Faispartie|Johannes]] <small>[[Discussion Utilisateur:Faispartie|Discussion]]</small>; [[Utilisateur:Manuel|Manuel]] <small>[[Discussion Utilisateur:Manuel|Discussion]]</small>; [[Utilisateur:Sela|Sela]] <small>[[Discussion Utilisateur:Sela|Discussion]]</small>; [[Utilisateur:Soma|Soma]] <small>[[Discussion Utilisateur:Soma|Discussion]]</small> __NOTOC__ __NOEDITSECTION__ <noinclude> [[Catégorie:Lycée allemand]] </noinclude> [[de:Schulprojekt:Französisch in der gymnasialen Oberstufe]] khnxwkuaw7vdd9epp65cu6g86wsylgf 3 2365 984976 911358 2026-07-20T15:40:35Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984976 wikitext text/x-wiki S'il vous plaît, écrivez votre message '''[[:de:Benutzer_Diskussion:Gujoh|ICI]]'''. <br />Merci! --[[Utilisateur:Faispartie|Faispartie]] 11 juillet 2008 à 13:03 (UTC) == Bienvenue == {{Bienvenue}} --[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] 14 mars 2007 à 15:15 (UTC) ---- Salut Johannes, finalement je suis ici, aussi :) Est-ce que je peux ajouter mon nom dans la catégorie "Et c’est nous, les élèves allemands"? À demain! --[[Utilisateur:Soma|Soma]] 19 mars 2007 à 13:03 (UTC) Oui, je sais de ces problèmes techniques. On fera notre mieux et sinon on aura sûrement aussi d'autres possibilité de communiquer avec des étrangers :) je suis de toute facon très intéressée et pressée de voir la suite! Et merci pour les changement sur ma page. À demain. Et lg *g* --[[Utilisateur:Soma|Soma]] 19 mars 2007 à 15:22 (UTC) il faut aller avec le temps, hu *smile* --[[Utilisateur:Sela|Sela]] 1 mai 2007 à 09:05 (UTC) mvv177aqwubzslrb9bpgn2ga09l8bj7 0 2367 984977 673526 2026-07-20T15:40:45Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984977 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Flag of Senegal.svg|100px|right]] == La communication commune entre des élèves du [[w:Sénégal|Sénégal]] et de l’[[w:Allemagne|Allemagne]] == === L'intention d’un tel projet === [[Fichier:Internet.JPG|220px|right]] Aujourd'hui, par l’[[w:Internet|Internet]] il y a des nouvelles possibilités complètement différentes des anciennes: Un échange d'idées, un travail commun, une construction de [[w:savoir|savoir]] au-delà de bien des frontières franchies !<br /> Bien sûr, c’est un avantage si on sait gérer et utiliser ce nouveau instrument. À cause de cela, quelques élèves de '''[[Le français au lycée allemand|notre cours de français]]''' s'occupe beaucoup de projets soit au cours ou sur l'Internet, sous la direction de notre professeur [[w:Jean-Pol Martin|M. Martin]] qui est l'introducteur de la méthode d'enseignement [[w:Lernen durch Lehren|LdL (=apprendre par enseigner)]] pour l'école et du module IPK (compétence d'Internet et de projets) pour l'université. Le but est de préparer les jeunes à la gestion, l'organisation et la coopération commune dans un groupe et aussi sur l'Internet.<br /> Avec ce projet, nous espérons que, avec des élèves intéressés au Sénégal, nous pouvons créer une communication commune en travaillant sur des sujets différents: Après avoir appris la gestion technique de la Wiki, vous (les élèves sénégalais) pourriez construire votre page d’utilisateur et, bien sûr, des articles informatifs sur tout ce que vous savez et ce qui vous semble intéressant (votre pays, les villes, des choses particulières…). De plus, on pourriez installer un forum pour des discussions communes concernant les cours à l'école, des thèmes politiques, des problèmes du monde ou d’un pays particulier, l'histoire, le développement futur, etc etc. <br /> Sûrement, on pourra créer du savoir intéressant et utile pour vous! === Et c’est nous, les élèves allemands : === '''[[Utilisateur:Faispartie|Johannes]]''' <small>[[Discussion Utilisateur:Faispartie|Discussion]]</small>; '''[[Utilisateur:Manuel|Manuel]]''' <small>[[Discussion Utilisateur:Manuel|Discussion]]</small>; '''[[Utilisateur:Soma|Soma]]''' <small>[[Discussion Utilisateur:Soma|Discussion]]</small>; '''[[Utilisateur:Sela|Sela]]''' <small>[[Discussion Utilisateur:Sela|Discussion]]</small>; === La communication === Si '''vous êtez intéressés''' au projet commun et vous voulez '''participer''', c’est très bien! Vous pouvez vous présenter là, au-dessous. Faitez le suivant:<br /> # Cliquez [http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Le_français_au_lycée_allemand/Sénégal&action=edit&section=4 ICI] pour ouvrir la site où vous pouvez mettre votre texte, # Mettez votre texte dans la fenêtre, à la fin du texte déjà existant et # Cliquez sur le bouton "Sauvegarder" tout en bas du site pour que votre texte est inscrit ici! Nous allons tenter d'attendre plus ou moins vite à votre commentaire. À bientôt ;-)) ---- <!-- Ici, vous pouvez mettre votre texte !!! --> <noinclude> [[Catégorie:Lycée allemand]] </noinclude> __NOTOC__ __NOEDITSECTION__ 3t1k4cl07ydkl4nflltnzrqde1enlvd 12 2386 984978 848824 2026-07-20T15:51:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984978 wikitext text/x-wiki Sur Wikiversité, un '''conflit de versions''' survient lorsqu'un autre rédacteur a modifié la page que vous êtes en train de modifier entre le moment où vous avez commencé à y travailler et celui où vous avez tenté de la sauvegarder. Vous avez alors deux fenêtres d'édition : celle avec les modifications de l'autre rédacteur et celle avec vos modifications. Exemple : * X se rend sur une page et commence à la modifier * Y se rend sur la même page puis entreprend de la modifier aussi * X finit sa version et voit ses modifications * Y termine son édit et obtient le message de conflit de versions Dans ces cas, vous verrez ce message : {{Cadre simple|contenu=''{{MediaWiki:explainconflict}}''}} Afin d'éviter ce problème, lorsque vous souhaitez modifier une page en profondeur :<br /> :1. Commencez par opérer une première modification sauvegardée de la page en ajoutant en haut du [[Aide:syntaxe|code wiki]] le modèle <code>[[Modèle:En cours|<nowiki>{{</nowiki>En cours}}]]</code>.<br /> :2. Ce message apparaît alors en tête de l'article : {{En cours}} :3. Reportez en copier-coller ce qui a été préparé dans un fichier texte.<br /> :4. Utilisez la prévisualisation pour procéder aux ajustements (= gain de temps et « non-pollution » de la page [[Spécial:Modifications récentes]]).<br /> :5. Avant de finaliser, retirez le <code>[[Modèle:En cours|<nowiki>{{</nowiki>En cours}}]]</code>. [[Catégorie:Aide à la rédaction|Conflit de versions]] [[it:Aiuto:Conflitto di edizione]] ttgtk5koov41t0113ysduz9c2y9c2ty 12 2388 984979 967569 2026-07-20T15:51:36Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984979 wikitext text/x-wiki Les '''liens externes''' sont des [[w:hyperlien|hyperlien]]s qui mènent vers d'autres [[w:sites Web|sites Web]] que Wikiversité. Sur les pages de Wikiversité, on peut en trouver à deux endroits différents : * dans la liste des sources (s'il y en a une) ; * en fin d'article comme dans la rubrique ''Voir aussi'' par exemple. == Pour les lecteurs == Il faut bien faire la différence entre les pages externes et les pages de Wikiversité. Notamment sur les points suivants : * les pages externes ne respectent pas forcément la neutralité de point de vue de mise sur Wikiversité. Il vous est donc recommandé de lire ces pages avec un regard d'autant plus critique ; * les données qui se trouvent sur ces pages ne sont pas forcément libres de droit (elles ne le sont d'ailleurs pas la plupart du temps) contrairement à Wikiversité<ref>Wikiversité est sous licence GFDL. Pour plus de renseignement voir [[Wikiversité:Licence de documentation libre GNU]].</ref>. En cas de doute, il est impératif de demander l'autorisation à l'auteur du site pour une reprise ou une réutilisation du contenu de ces pages. == Politique d'usage des liens externes == D'une manière générale, un lien externe ne devrait pas être inséré dans le corps du texte. S'il sert à sourcer ou référencer une assertion du texte, il doit être mis en référence grâce aux balises <nowiki><ref></ref></nowiki>. Consulter également [[Aide:Notes et références]]. Dans le cas contraire, on trouve généralement en fin d'article une rubrique ''Voir aussi'' offrant aux lecteurs la possibilité d'approfondir le sujet au moyen de leçons connexes, via les [[Aide:liens internes|liens internes]], mais aussi de liens vers des sites externes. === À quoi servent les liens externes ? === D'une manière générale, ''on préférera toujours un lien interne'' à un lien externe. Avant toute chose il faut se poser la question suivante : « Cette page a-t-elle ''besoin'' de ce lien externe ? ». En effet, les leçons de Wikiversité ont vocation, sur le long terme, à être autosuffisantes et il est souvent plus judicieux de [[Wikiversité:N'hésitez pas !|ne pas hésiter]] à rajouter soi-même une information (en évitant tout copié-collé) plutôt que de rajouter un lien externe. Malgré tout, ces liens externes peuvent : * donner accès à des données non libres de droit (donc qui ne peuvent pas être incluses dans Wikiversité), mais qui sont libres d'accès, comme une galerie virtuelle de tableaux (correctement identifiés et décrits), * proposer des points de vue alternatifs, ou des compléments d'information qui ne figurent pas encore dans Wikiversité, * apporter des informations mises à jour régulièrement (par exemple, un site d'information spécialisé). De plus un site externe doit avant tout apporter des informations : * ''originales'' par rapport au contenu de Wikiversité, * ''en étroite relation'' avec le sujet de l'article. Enfin, un lien qui pouvait être justifié quand l'article n'était qu'une ébauche, peut devenir inutile quand l’article se développe. De même, une nouvelle page de Wikiversité peut développer la thématique d’un lien externe. Il ne faut donc pas hésiter à supprimer les liens externes périmés. === Limiter le nombre de liens externes === La vocation de Wikiversité n'étant pas de devenir un annuaire ou une collection de liens externes (voir [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas#Une collection de liens externes|Ce que Wikiversité n'est pas]]), il est conseillé de limiter le plus possible le nombre de liens externes par article en ne conservant que les sites de référence apportant un complément significatif et pertinent à la leçon. === Choisir un « bon » site externe === Si ces liens externes peuvent offrir une véritable plus-value au lecteur, ils posent cependant un certain nombre de problèmes : * les liens externes sont susceptibles de devenir périmés ou obsolètes, voire morts. * le contenu et donc la pertinence d'un site externe peut changer à tout moment, ce qui pose aussi des problèmes de vérifiabilité des informations, * certains liens mènent vers du contenu illégal, ne respectant les [[Wikiversité:Copyright|droits d'auteurs]] par exemple, * d'autres sites visent à contourner les règles de neutralité de Wikiversité en liant vers des pages web qui peuvent diffuser une information orientée ou biaisée sans le signaler clairement. Détecter ce biais nécessite alors une analyse en profondeur de la politique éditoriale du site, * certaines personnes lient des sites sans intérêt uniquement pour améliorer leur classement dans les moteurs de recherche<ref>Cela ne sert cependant à rien, car les liens externes ajoutés aux pages sont munis d'un attribut désactivant leur suivi par les robots d'indexation des moteurs de recherche : ils ne contribueront donc pas à améliorer leur classement.</ref>. Il est souhaitable de lier, dans la mesure du possible, vers des sites : * gouvernementaux, * institutionnels (bibliothèques, universités, centre de recherche etc.), * d'organisations internationales (ONU, HCR, etc.), * d'organes de presse, associations de références, * « officiels » du sujet traité dans l'article. On évitera le plus possible de lier : * des blogs, * des forums, * des pages web personnelles (à l'exception éventuelle de celle du sujet de l'article), * des sites commerciaux, * des sites publicitaires, * des sites tels que YouTube, Facebook…, * des sites de « fans ». Bien entendu, ces conseils ne sont pas des règles et chaque leçon est un cas particulier. En revanche, une prise de décision sur les liens a proscrit les liens vers des sites ouvertement racistes, sexistes ou commerciaux. === Abus === On parle de spam lorsque : * des liens identiques sont insérés à de multiples reprises dans un même article, * un même site est lié depuis de nombreuses pages. De tels comportements sont assimilés à du [[Wikiversité:Vandalisme|vandalisme]] et chaque participant est invité à lutter contre ces agissements. Il existe à cet effet un outil de recherche des liens externes présents sur Wikiversité : [[Spécial:Linksearch]]. Quand le comportement d'un spammeur devient réellement problématique, le logiciel [[MediaWiki]] permet de bloquer toute tentative d'insertion d'un lien vers un site donné. Il faut alors demander l'ajout de l'adresse du site problématique sur la [[m:Spam blacklist|liste noire des spammeurs]] sur [[m:Main Page|Meta]]. Cette demande peut se faire dans la zone « [[m:Talk:Spam_blacklist#Proposed_additions|Proposed additions]] » de la [[m:Talk:Spam blacklist|page de discussion de la liste]]. === Lien vers DMOZ === Il existe un projet communautaire d'annuaire de liens nommé ''dmoz'' dont le but est de lister les sites par catégories. Vous pouvez lier une catégorie de ce répertoire en utilisant les modèles <nowiki> {{dmoz|nom de la catégorie|url de la catégorie}}</nowiki> ou <nowiki>{{ODP|répertoire de la catégorie|nom de la catégorie}}</nowiki>. Cela permet souvent de réduire considérablement la liste des liens externes. les catégories française de Dmoz se trouvent à l'adresse :<br /> http://dmoz.org/World/Français/. '''Exemple''' Pour lier la catégorie présente à l'adresse suivante :<br /> http://dmoz.org/World/Français/Actualité<br /> saisissez : <nowiki>{{ODP|/World/Français/Actualité|Actualité}}</nowiki> ce qui permet d'obtenir : <nowiki>{{ODP|/World/Français/Actualité|Actualité}}</nowiki> '''Important''' : Ne faites pas de lien vers le site ''dmoz.fr'' qui est une société commerciale reprenant les données de l'annuaire et y ajoutant des publicités (l'idéal étant d'utiliser le modèle ODP pour s'affranchir de cette possible erreur). == Faire de bons liens externes == === Conseils généraux === Voir aussi la rubrique ''[[#Guide technique des liens externes|guide technique]]'' pour les questions d'accessibilité. * On essaie de ne mettre le lien externe que sur la leçon ou le chapitre le plus proche du sujet. * Éviter de lier plusieurs sites qui ne font que dupliquer la même information. * Attention à certains organes de presse, dont les articles deviennent rapidement inaccessibles sans abonnement, certains 3 ou 4 jours après la publication. Exemple : articles et tribunes publiés dans les colonnes du ''Figaro''. * Si un article de presse ne fait que résumer ou mentionner un texte officiel (loi, décision de justice…), il vaut mieux donner un lien vers ce texte : essayer de le trouver sur le web (par exemple avec un moteur de recherche), demander des conseils à des spécialistes du domaine (par exemple dans Projet:Juridikedia pour le droit) s'il a été impossible de le localiser. * Si des sites présentant un point de vue « équilibré » sont généralement préférables, il est de toute façon important d'indiquer clairement le point de vue du site lié. * Il est de même très utile de décrire succinctement son contenu. * S'il n'existe pas d'équivalent en français il est possible de proposer des liens externes vers des sites en langues étrangères. Il est alors vivement recommandé d'indiquer le nom de la langue sous forme d'image devant le lien : {{de}} [http://www.berlin.de/ un site sur Berlin]. Quelques codes de langues : ::<nowiki>{{fr}} : français, {{de}} : allemand, {{en}} : anglais, {{es}} : espagnol, {{eo}} : espéranto </nowiki> === Guide technique des liens externes === ==== Syntaxe ==== Pour tous les problèmes de syntaxe, on peut également consulter la page [[Aide:Syntaxe#Les adresses internet|Aide:Syntaxe]] qui présente la syntaxe des liens externes. Rappels : * <code><nowiki>[https://www.wikimedia.fr Association Wikimédia France]</nowiki></code> rend [https://www.wikimedia.fr Association Wikimédia France]. * <code><nowiki>https://www.wikimedia.fr</nowiki></code> rend https://www.wikimedia.fr * <code><nowiki>[https://www.wikimedia.fr]</nowiki></code> rend [https://www.wikimedia.fr] Dans les adresses, certains caractères posent des difficultés particulières à [[mw:MediaWiki|MediaWiki]] qui les interprète de manière spéciale. On doit donc, parfois, dans l'adresse que vous avez copiée-collée, les remplacer par un code spécial : <!-- ''a priori'' s'il y a déjà un % dans l'URL copiée-collée, c’est qu'elle est déjà encodée et il ne faut pas rechanger les % de même avec des + : donc ne pas les encoder. :Le % se remplace par %25 (3 caractères au lieu d’un seul) :le + devient %2B Seules les caractères ci-dessous posent des problèmes à MediaWiki qui gèrera espérons bien le reste --> * Le crochet ouvrant [ doit être écrit %5B * le crochet fermant ] devient %5D * l'espace devient + (ou %20, au choix) * la barre verticale | devient %7C MediaWiki se chargera de bien encoder tout le reste. ==== Recherche de liens externes ==== Il est possible de rechercher tous les liens externes de Wikiversité vers un site à partir de la page [[Spécial:Linksearch|Rechercher des liens internet]]. === Accessibilité === La question de l'accessibilité des liens externes est primordiale pour rendre Wikiversité accessible à tous. Il faut en effet comprendre que les liens, qu'ils soient externes ou internes, sont un outil de navigation essentiel. Une bonne description de ceux-ci est donc vitale pour les personnes ne disposant que des informations textuelles. Dans le cas des liens externes, on veillera donc à une description claire et précise du lien. :Imaginons une leçon sur le caramel (les liens sont factices) ::''Renseignements complémentaires sur [https://faux.wikiversity.org/ ce site]'' :Le libellé ''Ce site'' ne donne aucune information pertinente. De même ::''[https://faux.wikiversity.org/ Renseignements complémentaires] dans faux.wikiversité.org'' :n'est pas une indication suffisante pour ceux qui naviguent par lien. En effet lorsqu'on saute de lien en lien, on entendra par exemple ''recette du caramel'' puis ''renseignements complémentaires'' sans savoir si les renseignements complémentaires portent sur le caramel ou sur les caries dentaires. Une technique simple permettant de faire des liens explicites consiste à reprendre ou s'inspirer du titre de la page pointée. Si le site est lui-même bien pensé, ce titre sera explicite et spécifique à la page pointée ({{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=http://www.accessiweb.org/fr/Label_Accessibilite/criteres_accessiweb/92_accessiweb_lineaire/#obligatoires|titre=critères d'accessibilité 8.4 à 8.6}}). Il ne faut cependant pas hésiter à présenter le contexte. :'''Exemple d’un lien correct''' : ::On trouvera des informations complémentaires sur l'{{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=http://www.accessiweb.org/fr/Label_Accessibilite/criteres_accessiweb/92_accessiweb_lineaire/#liens|titre=accessibilité des liens}} sur le site [http://www.accessiweb.org accessiweb]. == Notes et références == <references /> == Voir aussi == * La [[Aide:Syntaxe#Les adresses internet|syntaxe]] pour créer des liens externes. === Liens externes === * [http://dmoz.org/World/Français/guidelines/include.html Critères de sélection des sites] [[Catégorie:Aide technique|Liens externes]] 0efvox1u9grwd8hecbpvdzms9mwehbu 12 2392 984981 958018 2026-07-20T17:39:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984981 wikitext text/x-wiki Wikiversité est un projet multilingue ; chaque langue a son propre wiki, distinct des autres. Un '''lien inter-langue''' est un lien qui mène d’un article Wikiversité vers un article sur le même sujet, écrit en une autre langue. Ce système permet d’établir une abondance de liens entre les différentes branches de Wikiversité. Le lecteur qui ne lit pas dans sa langue première voit si un article existe qui lui conviendrait mieux. Les contributeurs peuvent traduire et copier les données entre les articles. == Comment créer un lien ? == Les liens inter-langues sont simplement des liens wiki ordinaires, mais précédés du code langage du wiki vers lequel on veut lier. Par exemple, sur la page [[Victor Hugo]] du Wikipédia francophone, on ajoute : :<code><nowiki>[[:en:Victor Hugo]]</nowiki></code> ce qui donne ⇒ [[:en:Victor Hugo]] :<code><nowiki>[[:en:Victor Hugo|Victor Hugo]]</nowiki></code> ce qui donne ⇒ [[:en:Victor Hugo|Victor Hugo]] ( sans mention de langue ) Pour plusieurs langues : :<code><nowiki>[[:de:Victor Hugo]]</nowiki></code> :<code><nowiki>[[:en:Victor Hugo]]</nowiki></code> Par contre, sur la page "Victor Hugo" du Wikipédia ''anglophone'', on trouvera peut-être : :<code><nowiki>[[:de:Victor Hugo]]</nowiki></code> :<code><nowiki>[[:fr:Victor Hugo]]</nowiki></code> Quand on a plusieurs pages, ce n’est pas toujours facile de les lier toutes entre elles : un peu de calcul montrera combien de liens sont nécessaires pour 5, 6 ou 7 pages. Pour cela, il existe un [[Wikipédia:bot|bot]] qui se charge de la création de ces liens. Cependant, il lui faut une amorce. Prenons un exemple simple. Partons de la supposition que l’article [[Victor Hugo]] n'ait encore aucun lien inter-langue. Vous devez juste ajouter un lien vers, par exemple, la Wikipédia anglaise <code><nowiki>[[:en:Victor Hugo]]</nowiki></code> et dans la Wikipédia anglaise, vous faites la même chose mais vers la Wikipédia française <code><nowiki>[[:fr:Victor Hugo]]</nowiki></code>. De cette manière, si tout le monde procède de cette façon, tout le monde sera rattaché à la Wikipédia anglaise. Il ne restera plus alors au bot qu’à suivre ces différents liens et à les rajouter dans l’article [[Victor Hugo]]. Les syntaxes possibles sont donc : <code><nowiki>[[:code:article|nom affiché]]</nowiki></code> permet d'ajouter le lien interlangue au corps de l'article, alors que <code><nowiki>[[code:article|nom affiché]]</nowiki></code> permet d'ajouter le nom de la langue à la colonne située à gauche de la page. où ''code'' est le code de la langue qui est donné par l’[[ISO 639]]-1. [[lat]] ''article'' est le nom de l’article dans la langue donnée . ''nom affiché'' est le nom qui apparaitra comme lien . == Exemples == <code><nowiki>[[:de:Esperanto]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:en:Esperanto]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:eo:Esperanto]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:es:Idioma esperanto]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:ja:エスペラント]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:nl:Esperanto]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:pl:Esperanto]]</nowiki></code><br /> <code><nowiki>[[:simple:Esperanto]]</nowiki></code> <code><nowiki>[[:ja:世界の国]]</nowiki></code> ou <code><nowiki>[[:ja:%E4%B8%96%E7%95%8C%E3%81%AE%E5%9B%BD]]</nowiki></code> (versions en japonais ou en Unicode) == Quelques conventions == # On met les liens d'inter-langue '''à la fin de l'article, après les marqueurs de catégorie, en mettant un lien par ligne'''. On n'ajoute pas de lien vers la Wikiversité française et on les classe '''par ordre alphabétique des codes de langue''' ; # Si on met un lien d'inter-langue du français vers la Wikiversité anglophone on fait de même sur la Wikiversité anglophone, sans quoi les bots et les Wikiversité des autres langues risquent de ne pas ''voir'' la version française de l’article ; # En ajoutant un lien vers les articles en d'autres langues, vous constaterez que bien que le vôtre pointe vers les autres articles, les autres articles sont inchangés et ne pointent pas vers le vôtre. Vous pourriez bien sûr ajouter un lien vers votre article à partir des articles de chacune des autres langues, mais ce serait souvent une tâche longue car vous devriez modifier chaque article. Il est plus rapide d'ouvrir la page correspondante de la Wikiversité anglophone, copier ses liens d'inter-langue vers l’article francophone, l'enregister, ajouter un lien vers l’article francophone dans l’article l'anglophone et l'enregistrer. Les liens à partir des Wikiversités ni anglophones ni francophones n'apparaîtront pas immédiatement, mais seront ajoutés de façon régulière par des robots ou des visiteurs/membres. Notez que l'anglais n’est pas utilisé ici qu’à titre d'exemple, il sert de référence aux liens d'inter-langue puisque c’est la Wikiversité qui compte le plus d’articles ; # Ces liens fonctionnent vers des wiki en de nombreuses langues. Certaines langues ont deux codes, par exemple le chinois simplifié et traditionnel ; # On crée seulement des liens inter-langues vers des articles qui existent. == Lien inter-langues pour les modèles : attention ! == Si un [[Aide:modèle|modèle]] contient un lien inter-langue, alors ce lien est inclus dans toutes les pages utilisant le modèle, ce qui n'est généralement pas le résultat voulu. Pour afficher des liens inter-langue sans qu’ils apparaissent dans toutes les pages où est utilisé le modèle, il faut mettre les liens inter-langue entre les balises <code><nowiki><noinclude></nowiki></code> et <code><nowiki></noinclude></nowiki></code>. : <code>''(reste du code affiché par le modèle)'''''&lt;noinclude&gt;'''</code> : <code><nowiki>[[</nowiki>Catégorie:Modèle<nowiki>]]</nowiki></code> : <br /> : <code>'''<nowiki>[[</nowiki>en:Template:Imdb name<nowiki>]]</nowiki>'''</code> : <code>'''<nowiki>[[</nowiki>de:Template:Imdb name<nowiki>]]</nowiki>'''</code> : <code>'''&lt;/noinclude&gt;'''</code> Placer ce code contenant les interwikis (et les éventuelles catégories) à la fin de vos modèles, '''sans sauter de ligne''' ni insérer aucun blanc entre la fin du code du modèle et la balise &lt;noinclude&gt;. Mettez SVP les liens interwikis et catégories de vos modèles sur des lignes séparées. == Interwiki-Link-Checker (vérificateur de liens inter-langue) == Il existe un outil ingénieux nommé Interwiki-Link-Checker (vérificateur de liens inter-langue), écrit par [[:de:Benutzer:Flacus]], qui permet de simplifier grandement les insertions de liens inter-langues pour les articles ayant les même noms dans les différents wikipedia. Essayez-le sur {{fr}} {{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=http://tools.wikimedia.de/~flacus/IWLC/|titre=Interwiki-Link-Checker}} Ou pour plus d'informations : {{fr}} [[:de:Benutzer:Flacus/Wikipedia_Interwiki-Link-Checker/fr|FAQ]]. D'autres améliorations sont à venir sur ce projet. [[Catégorie:Aide technique|Lien inter-langue]] 21dsrw2lpudu5yonvntous84qeu5s3t 106 2443 984982 814917 2026-07-20T17:39:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984982 wikitext text/x-wiki {{Faculté | idfaculté = sciences de l'ingénieur | voir aussi = oui | participants = oui | Transverse = oui | projet = Sciences de l'ingénieur }} [[ar:كلية علوم الهندسة]] [[el:Σχολή:Πολυτεχνική]] [[en:School:Engineering]] [[es:Facultad de Ingeniería]] [[it:Facoltà:Ingegneria]] 27315sxc3enrctwytuvm3ezqb79cx5t 3 2461 984983 973160 2026-07-20T17:39:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984983 wikitext text/x-wiki Bienvenue sur [[wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}''' N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]] pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[wikiversité:Accueil|Wikiversité]]. Tu peux également consulter la [[Aide:FAQ|FAQ]] et faire tes essais dans le [[wikiversité:Bac à sable|bac à sable]]<br /> N'hésite pas à consulter les [[wikiversité:Règles|recommandations à suivre]] (copyright, etc). Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~. Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]]. Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso. Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]]. Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans la [[Wikiversité:La salle café|La salle café]] ou à venir discuter sur [[Wikiversité:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]]. Bonne continuation parmi nous ! Thanks for helping on languages… :) [[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 16 mars 2007 à 10:01 (UTC) == Projet == Pour participer à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].<br />[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] ^{[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]}_{<span style="margin: 0px 12px 0px -6ex;">[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]</span>} 7 mai 2007 à 06:43 (UTC) == drapeau normand == J'aurais voulu savoir si les drapeaux que j’ai mis dans le département normand correspond bien. merci. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 8 juin 2007 à 12:53 (UTC) :Je m'incruste dans la conversation {{Smiley|clin d'œil}}. D'après l’article de Wikipédia sur la [[w:Normandie|Normandie]], le drapeau que tu as mis semble être le drapeau d’un mouvement régionaliste lorrain ([[w:Normandie#Drapeaux_normands|Drapeaux normands]]). Je l'ai remplacé par celui suggéré sur Wikipédia. J'espère que je ne fais pas d'erreur. [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]}</small> 8 juin 2007 à 13:05 (UTC) == Invitation au Projet Langues régionales == Raison de l'invitation: Contribution à la langue normande <br /> {{invitation projet Langues régionales|de|langues régionales}}<br />A-Bientôt !!<br /> {{Utilisateur:Necnom/signature}} le 24 mars 2008 à 07:32 (UTC) == PàS == Bonjour, j'ai proposé le [[Département:Normand]] auquel vous vous êtes incrit(e)s à la suprression puisqu'il ne comprend aucun contenu depuis sa création en 2007. Voir [[Wikiversité:Pages à supprimer/Département:Normand]]. Merci, [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] ([[Discussion utilisateur:Amqui|discussion]]) 29 mai 2017 à 16:26 (UTC) tepmvqcrzj1oib1bfami262fnp3duc5 14 2518 984984 619256 2026-07-20T17:39:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984984 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Université par niveau]] [[Catégorie:Leçons]] 0sxadnlzldt3hr70guzzpa5ighir7fx 0 2521 984985 967571 2026-07-20T17:39:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984985 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire anglais]] | numéro = 12 | niveau = 7 | précédent = [[../Sport/]] | suivant = [[../Dialogue/]] }} == Conversation: My name is James! == Dans cette deuxième conversation, nous allons apprendre quelques expressions permettant de se présenter. Vous allez écouter un nouveau petit dialogue plusieurs fois. Pour la première écoute, vous pouvez vous aider du vocabulaire. Pour la seconde, vous devrez répondre à quelques questions. Enfin, pour la dernière écoute, vous aurez droit à la transcription par écrit. === Première écoute === Écoutez le {{Lequel|dialogue}} une première fois. Vous pouvez vous aider du vocabulaire. {{Traductions | langue1 = en | Name | Nom | Where | Où | From | De (origine) | Here | Ici | Student | Étudiant(e) | Biology | Biologie | To study | Étudier | Philosophy | Philosophie | How | Comment | Old | Vieux(vieille) }} === Deuxième Écoute === Écoutez de nouveau le [[Média:exemple.ogg|dialogue]] et essayez de répondre aux questions. Les réponses se trouvent dans la boîte déroulante en-dessous. * Combien de personnes parlent? * Où se trouvent ces personnes? * Les personnes se connaissent-elles? * Comment s'appellent-elles? {{BDdebut | titre = Réponses }} * Deux personnes. * Dans une école, une université. * Non. * James et Patricia. {{BDfin}} === Troisième Écoute === À Présent, écoutez une dernière fois le [[Média:exemple.ogg|dialogue]], en vous aidant de la transcription. {{Traductions | langue1 = en | Hi, my name is James | Salut, je m'appelle James | Oh, hi ! I'm Patricia. | Oh, salut ! Je suis Patricia. | Where are you from, Patricia? | D'où viens-tu, Patricia ? | I'm from Italy, and you? | Je viens d'Italie, et toi ? | I'm from England. | Je viens d'Angleterre. | Are you a student here? | Tu es étudiante ici ? | Yes, I'm a student in Biology. | Oui, je suis étudiante en biologie. | Really? I study Philosophy. | Vraiment ? J'étudie la philosophie | How old are you? | Tu as quel âge? | I'm twenty-two years old, and you? | J’ai {{unité|22|ans}}, et toi ? | I'm twenty-one. | J’ai {{unité|21|ans}}. }} {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Vocabulaire anglais]] | précédent = [[../Sport/]] | suivant = [[../Dialogue/]] }} [[Catégorie:Se présenter]] g9e46l7s7iwqtg31dvi9xeuouajudud 108 2551 984986 925403 2026-07-20T17:40:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984986 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ __NOTOC__ {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/infographie}};" |width=33% valign="top"| == Histoire du cinéma == # {{L|[[Histoire du cinéma]]}} # {{L|[[Débuts du cinéma|Les débuts du cinéma]]}} # {{L|[[Ère du muet|L'ère du muet]]}} ## L'expressionnisme allemand ## L'avant garde soviétique ## Les premiers pas anglais # {{L|[[Ère du cinéma classique|L'ère du cinéma classique (les années 1930)]]}} ## Les débuts du cinéma sonore ## La période des grands studios ## Le cinéma verbo-centré américain ## Le réalisme poétique français # {{L|[[Cinéma d'après-guerre|Le cinéma d'après-guerre]]}} ## Le néo-réalisme italien ## Le cinéma américain des années 1950 # {{L|[[Modernité|La modernité]]}} ## La Nouvelle Vague française ## Le Printemps de Prague ## Le Cinema Nuovo brésilien ## Le Free Cinéma anglais ## L'Underground américain ## Le Nouveau Cinéma allemand |width=33% valign="top"| == Les cinémas du monde == # '''Cinémas francophones''' ## [[Cinéma francophone africain]] ## [[Cinéma francophone canadien]] ## [[Cinéma francophone européen]] # {{L|[[Cinémas d'Asie]]}} ## Le Japon ## Hong Kong ## Taïwan # {{L|[[Cinémas d'Afrique et de Proche-Orient]]}} ## Mali ## Égypte # {{L|[[Cinémas d'Amérique du Sud]]}} ## Brésil ## Argentine ## Chili |width=33% valign="top"| == Étude de genre == # {{L|[[Film noir|Le film noir]]}} # {{L|[[Comédie musicale|La comédie musicale]]}} # {{L|[[Film d'aventure|Le film d'aventure]]}} # {{L|[[Film d'horreur]]}} # {{L|[[Western|Le western]]}} # {{L|[[Film historique|Le film historique]]}} # {{L|[[Fantasy et Space Opera]]}} # {{L|[[Conte merveilleux|Le conte merveilleux]]}} |- |valign="top"| == Économie du cinéma == # {{L|[[Industrie cinématographique|L'industrie cinématographique]]}} ## [[Industrie cinématographique/Production|La production]] ## [[Industrie cinématographique/Distribution|La distribution]] ## [[Industrie cinématographique/Exploitation|L'exploitation]] # {{L|[[Budget et financement d'un film]]}} |valign="top"| == Techniques cinématographiques == # {{L|[[Filmer]]}} # {{L|[[Langage cinématographique]]}} |} {{AutoCat}} pdm4jr5wwy2n64kmbztxlguud25yx15 108 2583 984987 982642 2026-07-20T17:40:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984987 wikitext text/x-wiki {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/langues}};" |width=50% valign="top"| == {{L|[[Grec ancien/Grammaire|1) Grammaire de Grec Ancien]]}} == '''leçon 1''' [[Grec ancien/Grammaire/Langue grecque/Dialectes|Dialectes]]<br /> '''Leçon 2''' [[Grec ancien/Grammaire/Langue grecque/Alphabet|Alphabet]]<br /> '''Leçon 3''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons/Présentation des cas| Déclinaisons/Présentation des cas]] <br /> '''Leçon 4''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Déclinaison de l’article défini|Déclinaison de l’article défini]] <br /> '''Leçon 5''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms|Déclinaisons des noms, généralités]]<br /> '''Leçon 6'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Deuxième déclinaison|Deuxième déclinaison]]<br /> '''Leçon 7'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Première déclinaison|Première déclinaison]]<br /> '''Leçon 8'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Troisième déclinaison|Troisième déclinaison]]<br /> '''Leçon 9'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Déclinaisons difficiles|Déclinaisons difficiles]]<br /> '''Leçon 10''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des adjectifs|Déclinaisons des adjectifs]]<br /> '''Leçon 11''' [[Grec ancien/Grammaire Déclinaisons des adjectifs|Adjectifs irréguliers ou hors classe]]<br /> '''Leçon 12''' [[Grec ancien/Grammaire|Adjectifs comparatifs et surperlatifs]]<br /> '''Leçon 13''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaison des pronoms|Déclinaisons des pronoms]]<br /> '''Leçon 14''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaison des pronoms|Déclinaisons des pronoms relatifs]]<br /> '''Leçon 15''' [[Grec ancien/Grammaire/Prépositions et leurs cas|Prépositions et leurs cas]]<br /> '''Leçon 16''' [[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison]]<br /> '''Leçon 17'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Introduction à la conjugaison|Introduction à la conjugaison]]<br /> '''Leçon 18'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif présent|Indicatif présent]] <br /> '''Leçon 19'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif imparfait|Indicatif imparfait]]<br /> '''Leçon 20'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif aoriste|Indicatif aoriste]]<br /> '''Leçon 21'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif futur|Indicatif futur]]<br /> '''Leçon 22'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif parfait|Indicatif parfait]]<br /> '''Leçon 23'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif plus-que-parfait|Indicatif plus-que-parfait]]<br /> '''Leçon 24'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Subjontif|Subjonctif]]<br /> '''Leçon 25'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Optatif|Optatif]] |width=50% valign="top"| == {{L|[[Grec ancien/Vocabulaire|2) Vocabulaire de Grec Ancien]]}} == * [[Grec ancien/Vocabulaire/Dieux|Dieux]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Interjections|Interjections]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Particules|Particules]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Nombres|Nombres]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Animaux|Animaux]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Ville|Ville]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Temps|Temps]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Unités de temps|Unités de temps]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Saisons|Saisons]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Jours de la semaine|Jours de la semaine]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Mois de l'année|Mois de l'année]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Fêtes|Fêtes]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Points cardinaux|Points cardinaux]] |width=50% valign="top"| |} {{Autocat}} c2vpeu4pobpz9rg7kwyrmljy2x8a2r8 108 2607 984990 967575 2026-07-20T18:19:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984990 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ __NOTOC__ === Instruments de musique === {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/musique}};" |width=33% valign="top"| * {{L|[[Accordéon]]}} * {{L|[[Alto]]}} * {{L|[[Basson]]}} * {{L|[[Batterie]]}} * {{L|[[Bombarde]]}} * {{L|[[Clarinette]]}} * {{L|[[Instruments à clavier|Clavecin]]}} * {{L|[[Contrebasse]]}} * {{L|[[Cor anglais]]}} |width=33% valign="top"| * {{L|[[Cornemuse]]}} * {{L|[[Djembé]]}} * {{L|[[Flûte à bec]]}} * {{L|[[Flûte traversière]]}} * {{L|[[Guitare]]}} * {{L|[[Guitare basse]]}} * {{L|[[Tablatures pour la basse]]}} * {{L|[[Harmonica]]}} * {{L|[[Harpe]]}} * {{L|[[Hautbois]]}} |width=33% valign="top"| * {{L|[[Orgue]]}} * {{L|[[Instruments à clavier|Piano]]}} * {{L|[[Saxophone]]}} * {{L|[[Synthétiseur]]}} * {{L|[[Trombone]]}} * {{L|[[Trompette]]}} * {{L|[[Tuba]]}} * {{L|[[Violon]]}} * {{L|[[Violoncelle]]}} * {{L|[[Voix]]}} |} {{AutoCat}} nwvu2eju9vlcn5rrt9hobhk09q8r9h6 108 2613 984991 945167 2026-07-20T18:19:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984991 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * {{L|[[Hygiène]]}} * {{L|[[Médecine du travail]]}} * {{L|[[Médecine préventive]]}} * {{L|[[Santé publique]]}} * {{L|[[Santé communautaire]]}} * {{L|[[Drogues et dépendance]]}} {{Autocat}} 38l5zq92fk1u0wudk4ujvctmcxa9glz 106 2628 984992 953276 2026-07-20T18:20:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984992 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Autres projets 2 | commons = Category:Economics | commons titre = Les images | wiktionary = Catégorie:Lexique en français de l’économie | wiktionary titre = Lexique sur l’économie | wikipedia = Portail:Économie | wikipedia titre = Le portail | wikibooks = Catégorie:Économie | wikibooks titre = Les livres | wikisource = Portail:Économie | wikisource titre = Économie | wikiquote = Catégorie:Économie | wikiquote titre = Économie | wikinews = Page:Économie et affaires | wikinews titre = Les nouvelles }} {{Autocat}} h9ux5kabjza3qxrfbmfv4md3tgcqkbj 108 2701 984993 901462 2026-07-20T18:20:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984993 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ L'hébreu est une langue sémitique dans laquelle furent écrits le [[Bible hébraïque|TaNaKh]], la [[Michna]] et les textes liturgiques. Elle servit de langue véhiculaire entre les communautés, produisant une riche littérature. Les séminaires chrétiens ont des cours d'hébreu dit "biblique" dans leur curriculum qui sont aussi suivis par des Chrétiens intéressés par les origines de leur religion. {{AutoCat}} 44br7o21m6nwfppll7rwe040ttx6q9z 12 2751 984994 980694 2026-07-20T18:20:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984994 wikitext text/x-wiki <div style="border: 1px solid red; text-align: center; background: #fbf6fa; border: 1px dotted #f1dfee; padding: 0.5em; margin-bottom: 2em;"> '''Création d’une frise chronologique avec ''EasyTimeline''''' Cette page est une traduction de la page méta ''[[meta:Help:EasyTimeline syntax|EasyTimeline syntax]]''. </div> == Introduction == '''Les frises chronologiques produites par ''[[meta:EasyTimeline|EasyTimeline]]'' sont générées par un script écrit entre les balises <code>&lt;timeline&gt;</code> et <code>&lt;/timeline&gt;</code>. Le script est écrit à l'aide d’un petit langage de programmation adapté. Au moment de la validation des modifications, ses instructions sont interprétées par le logiciel [[w:MediaWiki|MediaWiki]] afin de produire une image [[w:Portable Network Graphics|PNG]] à la volée (image éventuellement cliquable).''' '''Avertissement''' : même si la syntaxe du langage a été conçue pour faciliter au mieux son emploi, une frise complexe n’est pas un travail aisé à réaliser. Une frise élémentaire se réalisera en une demi-heure (voire moins si on prend un exemple comme base de départ ou qu'on a de l'expérience) ; une frise plus grande pourra demander quelques heures afin de mener à bien réalisation et finition. De même, si augmenter ou corriger une frise chronologique existante ne pose pas de problèmes ''insurmontables'', cela peut se révéler ardu, surtout pour les contributeurs novices. La lecture du présent guide est donc fortement recommandée à tout contributeur intéressé par la conception et la modification de frises chronologiques. Pour tout renseignement complémentaire, [[:en:User:Erik Zachte|voyez avec l'auteur]] de ''EasyTimeline'', Erik Zachte. '''Avertissement sur la traduction en français''' : la syntaxe n'étant pas traduite en français, les noms de commande figurent en anglais dans la traduction. == Exemple == Cet exemple est un point de départ pour la réalisation d’une frise. Le positionnement du texte avec les <code>shift</code> est l'étape qui prend le plus de temps. Un exemple plus complexe est par exemple visible dans l’article [[w:tessiture|tessiture]]. <pre> <timeline> # définition de la taille de la frise ImageSize = width:512 height:200 # taille totale de l’image : largeur, hauteur PlotArea = width:420 height:95 left:50 bottom:40 # taille réelle de la frise au sein de l’image DateFormat = yyyy # format des dates utilisées Period = from:1919 till:1991 # laps de temps (de … à …) TimeAxis = orientation:horizontal # orientation de la frise (verticale ou horizontale) ScaleMajor = unit:year increment:5 start:1920 # incrément temporel (majeur) # définition d’une variable à titre d'exemple Define $dy = 40 # définition des données de la frise PlotData= # définition de la première barre : 45 pixels de large, etc. bar:URSS color:red width:45 mark:(line,white) align:left fontsize:M # informations temporelles (cf. explications sur les commandes ci-après) from:start till:1922 shift:(-15,30) text:[[Lénine]] from:1922 till:1953 shift:(-15,$dy) text:Joseph~[[Staline]] from:1953 till:1964 shift:(-40,$dy) text:Nikita~[[Nikita Khrouchtchev|Khrouchtchev]] from:1964 till:1982 shift:(-35,$dy) text:Léonid~[[Léonid Brejnev|Brejnev]] from:1982 till:1984 shift:(-15,$dy) text:Iouri~[[Iouri Andropov|Andropov]] from:1984 till:1985 shift:(-25,0) text:Konstantin~[[Konstantin_Tchernenko|Tchernenko]] fontsize:XS from:1985 till:end shift:(-15,-40) text:Mikhaïl~[[Mikhaïl Gorbatchev|Gorbatchev]] # définition de la deuxième barre : 45 pixels, bleue, etc. bar:US color:blue width:45 mark:(line,white) align:left fontsize:M bar:US color:blue from:1961 till:1963 shift:(-10,-60) text:[[John Fitzgerald Kennedy|JFK]] bar:US color:green from:1939 till:1945 shift:(-80,-60) text:[[Seconde Guerre mondiale]] </timeline> </pre> <timeline> # définition de la taille de la frise ImageSize = width:512 height:200 # taille totale de l’image : largeur, hauteur PlotArea = width:420 height:95 left:50 bottom:40 # taille réelle de la frise au sein de l’image DateFormat = yyyy # format des dates utilisées Period = from:1919 till:1991 # laps de temps (de … à …) TimeAxis = orientation:horizontal # orientation de la frise (verticale ou horizontale) ScaleMajor = unit:year increment:5 start:1920 # incrément temporel (majeur) # définition d’une variable à titre d'exemple Define $dy = 40 # définition des données de la frise PlotData= # définition de la première barre : 45 pixels de large, etc. bar:URSS color:red width:45 mark:(line,white) align:left fontsize:M # informations temporelles (cf. explications sur les commandes ci-après) from:start till:1922 shift:(-15,30) text:[[Lénine]] from:1922 till:1953 shift:(-15,$dy) text:Joseph~[[Staline]] from:1953 till:1964 shift:(-40,$dy) text:Nikita~[[Nikita Khrouchtchev|Khrouchtchev]] from:1964 till:1982 shift:(-35,$dy) text:Léonid~[[Léonid Brejnev|Brejnev]] from:1982 till:1984 shift:(-15,$dy) text:Iouri~[[Iouri Andropov|Andropov]] from:1984 till:1985 shift:(-25,0) text:Konstantin~[[Konstantin_Tchernenko|Tchernenko]] fontsize:XS from:1985 till:end shift:(-15,-40) text:Mikhaïl~[[Mikhaïl Gorbatchev|Gorbatchev]] # définition de la deuxième barre : 45 pixels, bleue, etc. bar:US color:blue width:45 mark:(line,white) align:left fontsize:M bar:US color:blue from:1961 till:1963 shift:(-10,-60) text:[[John Fitzgerald Kennedy|JFK]] bar:US color:green from:1939 till:1945 shift:(-80,-60) text:[[Seconde Guerre mondiale]] </timeline> == Commandes disponibles == Les commandes du langage de script définissent : * la '''présentation générale''' : ** <code>[[#ImageSize (obligatoire)|ImageSize]]</code> (taille de l’image), ** <code>[[#PlotArea (obligatoire)|PlotArea]]</code> (zone de dessin), ** <code>[[#Colors|Colors]]</code> (couleurs par défaut), ** <code>[[#BackgroundColors|BackgroundColors]]</code> (couleurs d'arrière-plan), ** <code>[[#AlignBars|AlignBars]]</code> (espacement des barres) ; * des '''syntaxes particulières''' et la '''présentation des dates et des périodes''' : ** <code>[[#DateFormat|DateFormat]]</code> (format des dates), ** <code>[[#Period (obligatoire)|Period]]</code> (laps de temps de la frise), ** <code>[[#ScaleMajor|ScaleMajor]]</code> (gradient temporel majeur), ** <code>[[#ScaleMajor|ScaleMinor]]</code> (gradient temporel mineur), ** <code>[[#TimeAxis (Axe temporel)|TimeAxis]]</code> (orientation de l’axe temporel); * des '''évènements, périodes et textes descriptifs''' : ** <code>[[#PlotData|PlotData]]</code> (définition de données temporelles), ** <code>[[#TextData|TextData]]</code> (définition d’un bloc de texte); * la manière de '''classer, diviser et nommer les groupes''' d'évènements et de périodes : ** <code>[[#BarData|BarData]]</code> (option sur la représentation des barres), ** <code>[[#Legend|Legend]]</code> (légende de la frise), ** </code>[[#DrawLines|DrawLines]]</code> ; * des '''raccourcis pour des morceaux de code''' revenant souvent : <code>[[#Define|Define]]</code>. Les commandes suivantes sont indispensables : '''<code>ImageSize</code>, <code>PlotArea</code>, <code>Period</code>, <code>TimeAxis</code>'''. Les commandes suivantes sont requises : '''<code>PlotData</code>''' et/ou '''<code>TextData</code>'''. L'un ou l'autre ou les deux ensemble peuvent générer des chronologies différentes. Toutes les autres commandes sont facultatives. Les commandes et leurs attributs peuvent être rédigés en majuscules ou minuscules, ou en mélangeant les deux. Essayez cependant d’être constant en les utilisant, pour des raisons de lisibilité (par exemple majuscules pour les commandes, et minuscules pour les attributs). == Règles générales de syntaxe == Le langage de script s'organise entre commandes et commentaires du code. Chaque commande est suivie d’un ou de plusieurs attributs. === Commandes === Les commandes doivent se trouver au début de chaque ligne. Certaines commandes peuvent être suivies par plusieurs lignes de données ou d'options. Ces lignes supplémentaires doivent commencer par un espace ou être séparées de la ligne de commande par une ligne vide. Les commandes prennent l'une des formes suivantes, selon leur type : '''Commande=attribut(s)''' <pre> DateFormat = jj/mm/aaaa </pre> '''NomCommande = attribut(s)''' <pre> Color Jp = value:red legend:Japan </pre> '''Commande = * attribut(s) * attribut(s) etc.''' <pre> PlotData = &nbsp;&nbsp;fontsize:XS width:20 &nbsp;&nbsp;bar:Japon from:start till:19/02/1945 color:JT &nbsp;&nbsp;bar:Japon from:19/02/1945 till:14/03/1945 color:AI </pre> Il est recommandé de mettre deux espaces au lieu d’un seul entre les attributs, afin de faciliter la lecture du code. === Commentaires === Les commentaire peuvent couvrir une ou plusieurs lignes et sont indiqués par : * le signe dièse <code>#</code> en début de ligne ; * les signes <code>#></code> et <code><#</code> pour encadrer plusieurs lignes de commentaire. <small>Exemples :</small> <pre> DateFormat = jj/mm/aaaa # Format de date européen </pre> <pre> Period = from:01/09/1939 till:02/09/1945 #> cette bande montre la durée complète de la deuxième guerre mondiale <# </pre> === Attributs === Les attributs donnent des renseignements au sein des commandes. Ils en sont les paramètres. Quand plusieurs attributs peuvent être utilisés pour une commande précise, ont écrit un binôme explicite sous la forme ''nom:valeur''. Quand plusieurs valeurs peuvent être utilisées pour un attribut, elles doivent être mises entre parenthèses. <pre> AlignBars = justified Color SB = value:(0.8,0,0.7) Legend:Batailles navales </pre> === Paramètres ou données === La plupart des commandes n'acceptent que les attributs indiqués sur la même ligne. '''Bloc de données :''' quelques commandes, comme <code>BarData</code>, <code>PlotData</code>, <code>TextData</code>, <code>Color</code>, fonctionnent avec un ''bloc de données'' d’une ou de plusieurs lignes. Les lignes de données doivent commencer avec un ou plusieurs espaces. Un bloc de données est considéré comme complet quand une ligne ne commençant pas par un espace survient (une seule exception : les lignes vides sont ignorées — elle peuvent être utilisées pour grouper des lignes de données qui sont à l'intérieur d’un même bloc). '''Items de données''' : dans les lignes de données, les attributs <code>text</code>, <code>from</code>, <code>till</code> et <code>at</code> ne s'appliquent qu’à la ligne à laquelle ils appartiennent. '''Paramètres''' : dans les lignes de données, les attributs comme <code>color</code> et <code>fontsize</code> ont différents effets selon le contexte. S'il n'y a pas de données dans la ligne, ils déterminent les nouveaux réglages ''par défaut'' pour les lignes suivantes. S'ils figurent dans une ligne avec des des données, ils ne s'appliquent que pour cette ligne, et ce quel que soit le réglages par défaut précédemment définit. === Exemple === <pre> # Dans cet exemple, deux types de bandes sont dessinés, respectivement en rouge et en bleu, # but dans chacune d'elles une bande est colorée en vert pour indiquer des périodes de guerre. PlotData = color:red fontsize:S # réglage par défaut (couleur rouge et texte de petite taille) bar:URSS from:1919 till:1922 text:Lénine # bande rouge (bande URSS de 1919 à 1922, porte le texte Lénine) bar:URSS from:1922 till:1953 text:Staline # bande rouge (bande URSS de 1922 à 1953, porte le texte Staline) bar:URSS from:1939 till:1945 text:2eGM color:green # bande verte (URSS, de 1939 à 1945, porte le texte 2e GM) bar:URSS from:1953 till:1964 text:Kroutchev # bande verte (URSS, de 1953 à 1964, porte le texte Kroutchev) color:blue # changement de couleur par défaut bar:US from:1913 till:1921 text:Wilson # bande bleue (États-Unis, de 1913 à 1921, porte le texte Wilson) bar:US from:1917 till:1918 text:1re GM color:green # bande verte (États-Unis, de 1917 à 1918, porte le texte 1re GM) bar:US from:1921 till:1923 text:Harding # bande bleue (États-Unis, de 1921 à 1923, porte le texte Harding) #> Ces lignes de commentaires n'annulent pas la commande PlotData, même quand la ligne ne commence pas par un espace… <# bar:US from:1923 till:1929 text:Coolidge # bande bleue (États-Unis, de 1923 à 1929, porte le texte Coolidge) TextData = # nouvelle commande : le bloc PlotData est refermé implicitement # etc. </pre> == Catalogue des commandes disponibles == Les attributs valides pour chaque commande sont repertoriés et expliqués ici. Quelques commandes et/ou attributs sont facultatifs, tandis que d'autres sont obligatoires. Pour quelques commandes, certains attributs s'excluent mutuellement (une explication est donné lorsque cela se produit). === <code>AlignBars</code> === Les barres sont toujours dessinées à distance égale. Cette commande permet d'expliciter le comportement relatif à l'espacement des barres entre elles : * espacement maximal pour utiliser tout l'espace de <code>PlotArea</code> ; * utilisation d’un espace blanc, entre la gauche ou le haut de la frise et la première barre, ou entre le bas ou la droite de la frise et la dernière barre (selon que la frise est orientée horizontalement ou verticalement). <br />'''Valeurs :''' :; '''<code>early</code>''' (réglage par défaut) : la première barre sera placée tout à gauche ou tout en haut de la frise (collé contre l'axe), laissant de l'espace entre la dernière barre et la droite ou le bas de la frise. :; '''<code>late</code>''' : le contraire d'''early'', ''ie''. la dernière barre sera placée tout au bas ou tout à droite de la frise, laissant de l'espace entre l’axe et la première barre. :; '''<code>justify</code>''' : la première et la dernière barres seront placées aussi éloignées que possible, sans laisser d'espace au début ou à la fin de la frise. Le reste de l'espace intermédiaire disponible sera réparti de façon régulière. Quand il n'y a qu'une seule barre, <code>justify</code> est interprété comme « centré. » === <code>BackgroundColors</code> === Cette commande permet de choisir la couleur d'arrière-plan de différentes parties de la frise. Toute couleur référencée par un ''id'' (identifiant) doit être auparavant définie par la commande <code>Colors</code>. <br />'''Valeurs :''' :;'''<code>canvas</code> (défaut : O)''' : Donne une couleur d'arrière-plan pour toute l’image. :;'''<code>bars</code> (défaut : O)''' : Donne une couleur d'arrière plan à toutes les barres. <br />'''Exemple :''' BackgroundColors = bars:darkgrey BackgroundColors = bars:darkgrey canvas:lightgrey BackgroundColors = canvas:lightgrey === <code>BarData</code> === Cette commande optionnelle, si elle est présente, détermine quelles barres seront dessinées dans la frise, et dans quel ordre. Si elle n’est pas présente, les barres seront dessinées dans l’ordre d'apparition dans la commande <code>PlotData</code>. Pour des frises complexes avec de nombreuses barres, l'usage de la commande <code>BarData</code> est recommandé : * il est plus facile de réarranger les données ; * les noms de barres indiqués dans <code>PlotData</code> peuvent être validés, prévenant ainsi les erreurs de frappe. <br />'''Valeurs :''' :;'''<code>bar</code>''' : Définit l'identifiant (id) de la barre. D'autres commandes (notamment <code>PlotData</code>) ont besoin de ces id. Il sert aussi d'étiquette le long de l'axe, lorsque aucun attribut <code>text</code> n'est présent. L'id ne doit pas contenir d'espaces : les soulignés (sigle ''underscore'' _) les remplacent pour l'instant, et sont convertis en espaces dans la frise. :;'''<code>text</code>''' <small>(défaut : O)</small> : Lorsqu’il est présent, indique que le texte doit être présenté le long de l'axe, à la place de l'id de la barre. Voir aussi les règles pour l'ajout de texte. Le texte doit inclure un lien. :;'''<code>link</code>''' <small>(défaut : O)</small> : Indique un lien internet. L'étiquette le long de l’axe sera présentée sous la forme d’un lien cliquable. <br />'''Note :''' N'utilisez que l'attribut <code>link</code> (lien internet), ou un lien incorporé dans l'attribut <code>text</code>, mais pas les deux. bar:Japon bar:URSS text:"Union des Républiques Socialistes Soviétiques" # en référence à l'instruction placée dans PlotData pour les barres ''URSS'', # montre « Union des Républiques Socialistes Soviétiques » bar:Chine text:<nowiki>[[Chine]]</nowiki> # L'étiquette Chine sera montrée comme un lien bleu cliquable # vers l’article de la Wikiversité francophone Les lignes suivantes produisent les mêmes effets (seules les références dans <code>PlotData</code> changent) : bar:URSS text:<nowiki>[[Union des Républiques Socialistes Soviétiques]]</nowiki> bar:URSS text:"Union des Républiques Socialistes Soviétiques" link:http://fr.wikiversity.org/wiki/Union_des_Républiques_Socialistes_Soviétiques bar:Union_des_Républiques_Socialistes_Soviétiques link:http://fr.wikiversity.org/wiki/Union_des_Républiques_Socialistes_Soviétiques === Colors === Cette commande (''Couleurs'') permet de définir les couleurs et de les relier à une ''id'' (tag d'identification). Les autres commandes ayant trait aux couleurs sont également traitées ici. La commande couleur requiert une ou plusieurs définitions, chacune sur des lignes séparées. '''id''' D'autres commandes utilisent cette id pour indiquer du texte, une barre ou une couleur d'arrière-plan. '''value''' (valeur) : correspond à la couleur utilisée. Les ''values'' peuvent également être définies comme : * une couleur prédéfinie et constante, pour lesquelles 32 noms de couleurs prédéfinies sont reconnus (voyez la page couleur de Ploticus où toutes ces constantes sont définies)<ref> [http://ploticus.sourceforge.net/doc/color.html Page où sont donnés les noms des couleurs]</ref> ; * [[/RVB]] : (Rouge, Vert, Bleu) : se définit par 3 nombres entre 0 et 1 ; * [[/HSV]] (hue, saturation, valeur) : se définit par 3 nombres entre 0 et 1 ; * gray (valeur de gris) : se définit par un nombre entre 0 (noir) et 1 (blanc). ''Pour le RVB et le HSV, comme le chiffre est une décimale, indiquer le séparateur entier et décimaux par un point et non par une virgule.'' '''legend (O)''' : indique le texte qui doit être affiché dans la légende pour cette couleur. Si aucune valeur n'est indiquée pour cet attribut, il n'y aura aucune indication du tout dans la légende. Voyez ''Saisie de Texte'' pour le mode d’emploi. <small>Exemple:</small> <pre> Colors = &nbsp;&nbsp;id:guerre value:red legend:Temps de guerre &nbsp;&nbsp;id:paix value:blue legend:Temps de paix &nbsp;&nbsp;id:traité value:rgb(0.6,0,0.6) &nbsp;&nbsp;id:gris_clair value:gray(0.9) &nbsp;&nbsp;id:gris_foncé value:gray(0.1) </pre> === DateFormat === Cette commande définit comment les dates indiquées dans les autres commandes doivent être interprétées. Les deux formats de date acceptés sont : * '''dd/mm/yyyy''' : les dates sont comprises sous la forme jour/mois/année. :''restriction:'' ce format de date est utilisable uniquement pour les dates postérieures au 01/01/1800. * '''mm/dd/yyyy''' : les dates sont comprises sous la forme mois/jour/année. :''restriction:'' ce format de date est utilisable uniquement pour les dates postérieures au 01/01/1800. <small>Exemple:</small> <pre> DateFormat = mm/dd/yyyy </pre> === Define === Cette commande permet de définir des constantes de texte (''Text constants''), c'est-à-dire des raccourcis pour des morceaux de script qui reviennent plusieurs fois. Les constantes de texte doivent toujours être précédées d’un $ (symbole du dollar). <small>Exemple:</small> <pre> Define $large = width:30 Define $étroit = width:10 Define $bardéfaut = $large fontsize:S </pre> === DrawLines === Quelques frises chronologiques s'étendent sur plusieurs périodes distinctes. Une ligne sépare alors ces périodes, et sert ainsi de repère visuel. Les lignes indiquées ici seront dessinés sur toute la largeur ou toute la hauteur de la frise (selon l'orientation définie dans la commande '''TimeAxis'''). '''at''' : définit la date ou l'année à laquelle la ligne doit être placée, en accord avec le format de date défini dans la commande '''DateFormat'''. '''color''' : définit la couleur de la ligne.<br /> '''Note''': l'id de la couleur indiquée doit être d’abord définie avec la commande '''Colors''' (couleurs). <small>Exemple:</small> <pre> LineData= &nbsp;&nbsp;at:start color:red &nbsp;&nbsp;at:end color:red &nbsp;&nbsp;at:07/12/1941 color:red </pre> === ImageSize (obligatoire) === Cette commande définit la taille de l’image. Elle est obligatoire. Indiquez les valeurs en mesures absolues. '''width''' : largeur de l’image finale : le maximum est de 1600 [[w:pixel|Pixels]]. '''height''' : hauteur de l’image finale : le maximum est de 1200 [[w:pixel|Pixels]]. <small>Exemple:</small> <pre> ImageSize = width:800 height:600 </pre> === Legend === Les légendes ne sont affichées que si la commande '''Legend''' est présente. Il y a différentes manières de définir l’apparence et l'emplacement de la légende. Quelques attributs (''attributes'') sont exclusifs les uns des autres (ils ne peuvent fonctionner ensemble). ;'''orientation (O)''' : détermine l'orientation : hor (pour horizontal) et ver (pour vertical, par défaut).<br /> :''restriction :'' les attributs orientation = horizontal et position = right sont exclusifs l'un de l'autre. ;'''position (O) :''' définit l'emplacement de la légende par rapport à la frise. Vous pouvez choisir top (pour ''en-haut''), :bottom (''en-dessous'', par défaut) ou right (''à droite'').<br /> :''restriction :'' les attributs orientation = horizontal et position = right sont exclusifs l'un de l'autre. ;'''columns (O)''' (''colonnes'') : vous pouvez indiquez 1, 2, 3, ou 4. Quand cet attribut n’est pas indiqué, le nombre de colonnes est déterminé comme suit : * '''orientation horizontale''' : l'attribut '''columns''' ne s'applique pas. Toutes les entrées sont sur la même ligne ; * '''orientation verticale''' : ** '''position right''' : toutes les entrées sont dans une colonne ; ** '''position top''' ou '''bottom''' : le nombre de colonnes dépend du nombre d'entrées à afficher (1 à 5 entrées : 1 colonne ; 6-10 entrées : 2 colonnes ; 11 ou plus d'entrées : 3 colonnes). '''Tip''' : les paramètres qui suivent doivent être laissés de côté, et n'être utilisés que lorsque les réglages par défaut ne conviennent pas.<br /> ;'''columnwidth (O)''' : détermine la distance entre les colonnes. Vous pouvez choisir une mesure absolue ou une mesure relative (en pourcentage de la largeur de la page). <br /> :''restriction :'' ce paramètre est ignoré lorsque '''columns = 1 ''' est défini ou induit. ;'''left (O)''' : détermine l'espace entre le côté gauche de la page et le côté gauche de la légende. Vous pouvez choisir une mesure absolue ou une mesure relative (en pourcentage de la largeur de la page). ;'''top (O)''' : détermine l'espace entre le haut de la légende et le bas de la page. Vous pouvez choisir une mesure absolue ou une mesure relative (en pourcentage de la hauteur de la page). <small>Exemples:</small> <pre> Legend = orientation:vertical position:bottom columns:3 columnwidth:140 Legend = orientation:horizontal position:bottom Legend = left:100 top:120 columns:3 </pre> === Period (obligatoire) === La commande '''Period''' définit la période de temps qui sera représentée dans la frise. Ce paramètre est obligatoire. Indiquez les dates selon les règles indiquées dans '''DateFormat'''. '''from''' : La frise commence ici. La valeur indiquée peut être indiquée simplement comme ''start'' dans des commandes comme '''PlotData''' et '''TextData'''. '''till''' : La frise s'achève ici. La valeur indiquée peut être donnée également par ''end'' dans les autres commandes. <small>Exemple:</small> <pre> Period = from:01/09/1939 till:02/09/1945 </pre> === PlotArea (obligatoire) === '''width''' : indique une valeur en mesures absolues ou relatives. '''height''' : indique une valeur en mesures absolues ou relatives. '''left''' : détermine la marge entre le côté gauche de l’image et le côté gauche de la zone dessinée. Indique une valeur en mesures absolues ou relatives. '''bottom''' : détermine la marge entre le bas de l’image et le bas de la zone dessinée. Indique une valeur en mesures absolues ou relatives. <small>Exemples:</small> <pre> PlotArea = width:640 height:420 left:160 bottom:120 PlotArea = width:80% height:70% left:20% bottom:20% </pre> === PlotData === Utilisé pour délimiter les barres (symbolisant une période de temps), et ajouter du texte à côté de ces barres à un emplacement spécifique. Pour les textes qui ne sont pas relatifs à une période précise ou à une date ou une année, ou qui doivent être mis en forme, utilisez la commande '''TextData'''. Les attributs ''text, at, from'' et ''till'' s'appliquent toujours à la ligne dans laquelle ils apparaissent. Tous les autres attributs, quand il ne sont pas combinés à l'un de ces quatre, agissent pour le reste du bloc de commande par défaut, ou jusqu'à ce qu'un nouveau soit défini. Ils peuvent être annulés pour une ligne simple. Voyez '''Paramètres et Data Items''' pour plus de détails et un exemple. '''PlotData''' accepte de nombreux attributs, dont quelques uns qui sont exclusifs les uns des autres. Ces attributs se classent comme suit : * attributs de position ; * attributs relatifs à des barres ; * attributs de texte ; * attributs de marqueurs. ==== Positionnal attributes (Attributs de position) ==== '''at''' : Indique à quelle date ou année un texte doit être placé. Selon l'attribut '''align''', le texte commence, finit ou est centré à cet emplacement.<br /> '''NB''' : Cet attribut ne peut être combiné avec les attributs '''from''' et '''till'''. '''from''' : Indique à quelle date ou année une barre doit commencer. Utilisez une date au format défini dans '''DateFormat''', ou indiquez ''start'', ce qui se référera au cadre défini par la commande '''Period'''.<br /> '''NB''' : Cet attribut doit être utilisé avec l'attribut '''till''' et ne peut être combiné avec l'attribut '''at'''. '''till''' : Indique à quelle date ou année une barre doit finir. Utilisez une date au format défini dans '''DateFormat''', ou indiquez ''start'', ce qui se référera au cadre défini par la commande '''Period'''.<br /> '''NB''' : Cet attribut doit être utilisé avec l'attribut '''from''' et ne peut être combiné avec l'attribut '''at'''. '''shift''' : Indique un déplacement horizontal et vertical en mesures absolues pour un texte. Cela permet : * * le placement d’un texte <small>Exemples:</small> <pre> bar:Japon from:start till:19/02/1945 color:JT bar:Japon from:19/02/1945 till:14/03/1945 color:AI bar:Japon from:02/09/1945 till:end color:AO at:07/12/1941 shift:(0,-15) text:"<--La 2e GM gagne l'Asie>" </pre> ==== Attributs relatifs au barres ==== '''bar''' : Indique à quelle barre les autres attributs s'appliquent. :Quand la commande '''BarData''' n’est pas utilisée, les barres sont disposées dans l’ordre selon lequel elles apparaissent dans le bloc de données '''PlotData'''. L'''id'' indique où sera placé le texte le long de l'axe, par rapport à la barre. :Quand la commande '''BarData''' est utilisée, les barres seront disposées dans l’ordre indiqué dans cette commande ; les ''id'' de barres indiquées dans '''BarData''' seront utilisés. Le texte présent le long de l’axe dépendra également de la définition dans '''BarData'''. '''color''' : Indique de quelle couleur doit être coloriée la barre. :L'''id'' de couleur indiqué doit d’abord être définie dans la commande '''Colors'''. '''width''' : Indique la largeur de la barre en mesures absolues ou relatives. <small>Exemples:</small> <pre> BarData = &nbsp;&nbsp;id:ÉUA text:États-Unis d'Amérique &nbsp;&nbsp;id:BN text:Batailles navales &nbsp; Colors = &nbsp;&nbsp;id:ÉUA value:blue legend:États-Unis d'Amérique &nbsp;&nbsp;id:BN value:rgb( 0.8,0,0.7) legend:Batailles navales &nbsp; PlotData = &nbsp;&nbsp;width=0.3 #Voir note 1 &nbsp;&nbsp;bar:BN from:07/08/1942 till:09/02/1943 text:Guadalcanal color:BN #Voir note 2 &nbsp;&nbsp;bar:ÉUA from:start till:end color: ÉUA #Voir note 3 &nbsp;&nbsp;bar:Midway from:start till:end color: ÉUA #Voir note 4 &nbsp;&nbsp;bar:ÉUA at:07/12/1941 text:7/12 Pearl Harbor #Voir note 5 </pre> Notes : # Cette ligne établit une largeur de barre par défaut pour le reste du bloc de données. # Cette ligne indique à la fois une barre à dessiner et un texte à placer sur elle. # La barre ÉUA sera dessinée avant la barre BN, même si elle est indiquée après dans la séquence, parce que la commande '''BarData''' a la haute main sur la séquence. # La barre Midway sera rejetée, car absente dans la commande '''BarData'''. # La dernière ligne ne fait pas dessiner une barre, elle indique simplement où le texte doit être placé. ==== Attributs de texte ==== '''text''' : Définit un text qui doit être ajouté sur ou près d’une barre. L'ancre de position peut être définie explicitement avec l'attribut ''at'', ou implicitement avec les attributs ''from'' et ''till''. Dans ce cas, le texte sera placé au milieu du segment de barre choisi. Voyez aussi les '''Ajouts de texte''' pour les règles.<br /> Le texte peut inclure des liens ('''Notes 1 & 2''') pour réaliser des cartes cliquables. '''textcolor (O)''' : Définit la couleur du texte. L'''id'' de la couleur doit d’abord avoir été défini dans la commande '''Colors'''. Quand elle n’est pas indiqué, la couleur noire est choisie. '''fontsize (O)''' : détermine une taille de point entre 6 et 30, ou (usez de ce second choix en priorité) l'un des marqueurs XS, S (par défaut), M, L ou XL. Voyez '''Support des polices''' pour plus de détail. '''align (O)''' : détermine un centrage (par défaut), alignement à gauche ou à droite. '''link (O)''' : indique un lien (voir '''Note 1''') à utiliser dans les cartes cliquables. Le texte est montré comme un lien cliquable en bleu. '''Notes : ''' # Sur les images PNG, un seul lien cliquable sera montré par segment de texte (un texte avec retour à la ligne est considéré comme composé de plusieurs segments). <small>Exemple:</small> <pre> PlotData = &nbsp;&nbsp;bar:US at:07/12/1941 align:left textcolor:black fontsize:XS text:7/12 <nowiki>[[Pearl Harbor]]</nowiki> </pre> donne le même résultat que <pre> PlotData = &nbsp;&nbsp;bar:US at:07/12/1941 align:left textcolor:black fontsize:XS text:"7/12 Pearl Harbor" link:<nowiki>http://www.wikiversity.org/wiki/Pearl_Harbor</nowiki> </pre> ==== Attribut ''marqueur'' ==== '''mark''' : place un marqueur dans une barre à un emplacement précis. Indiquez ''mark'':(symbole, couleur). Le seul symbole accepté pour une date est ''line'' (qui produit une ligne). L'''id'' ''color'' doit d’abord être indiquée dans la commande '''Colors'''. Quand elle n’est pas indiquée, la couleur noire est utilisée par le logiciel. <small>Exemple:</small> <pre> PlotData = &nbsp;&nbsp;bar:test width:15 color:red &nbsp;&nbsp;from:1900 till:2000 &nbsp;&nbsp;at:1990 mark:(line, white) </pre> === ScaleMajor === Cette commande divise la frise chronologique en périodes plus courtes, de différentes façons : * graphique : en dessinant des lignes verticales ou horizontales dans la frise ; * textuelle, en plaçant des résumés sur l’axe temporel, au-dessous ou à gauche de la frise ; * textuelle et graphique. '''Note :''' l'orientation des lignes et/ou le placement des résumés dépend de l'orientation de '''TimeAxis'''. '''gridcolor (O)''' : définit la couleur pour les lignes de la grille. Quand cet attribut n’est pas utilisé, les lignes de la grille ne sont pas dessinées.<br /> '''Note :''' La couleur doit être définie dans la commande '''Colors'''. '''unit (O) :''' définit l'unité de temps qui sert à déterminer l'espacement de la grille. Indiquez ''day'' (jour), ''month'' (mois) ou ''year'' (année, par défaut).<br /> '''Note :''' Quand la commande '''DateFormat''' yyyy est demandée, on ne peut choisir que l'année comme unité de temps. '''increment (O)''' : indique le nombre d'unité de temps entre deux traits de la grille. Par défaut, ce nombre est de '''1'''. '''start (O)''' : Indique où doit se situer la première ligne de la grille et/ou quel résumé doit être affiché. L'emplacement par défaut est défini dans '''Période'''. <small>Exemples:</small> <pre> ScaleMajor = gridcolor:red start:1940 ScaleMajor = gridcolor:red unit:month increment:3 start:01/09/1939 </pre> === TextData === '''TextData''' est utilisé pour définir un bloc de texte qui peut être placé n’importe où sur la frise. '''text''' : Texte à présenter. Voyez aussi Saisie de Texte (5.1) pour les règles. Le texte peut inclure des liens (voir '''Notes'''). '''pos''' : Définit l'angle gauche supérieur du bloc de texte en mesures absolues. Se saisit : ''pos:(x,y)''. '''link (O)''' : Indique un lien web (voir '''Note 1''') cliquable dans les cartes. L'étiquette le long de l’axe sera montrée comme un lien bleu cliquable. '''textcolor (O)''' :Définit la couleur du texte. L'''id'' de la couleur doit d’abord être définie dans la commande '''Colors'''. Quand elle n’est pas définie, c’est la couleur noire qui est choisie par défaut. '''fontsize (O)''' : Permet de choisir une taille de caractères entre 6 et 30, ou (de préférence), par les tags '''XS, S''' (par défaut), '''M, L''' or '''XL''' (voyez Support des polices pour plus de détails). '''tabs (O)''' : Définit la position de la tabulation : '''^''' (accent circonflexe). Vous pouvez indiquer de nombreuses tabulations de cette façon (x1-a1, x2-a2, x3-a3, etc.) : * x''n'' est la mesure horizontale en mesures absolues à partir du côté gauche du texte ; * a''n'' est l'alignement du segment de texte (indiquez ''center, left'' ou ''right''). '''lineheight (O)''' : Définit l'espacement entre deux lignes consécutives en mesures absolues. Vous pouvez choisir la valeur que vous désirez jusqu'à 40 pixels ou {{unité|0.4|pouces}} ({{Unité|1|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}). Quand aucun espacement n'est indiqué, une hauteur de ligne par défaut est définie par le logiciel se basant sur la taille de police courante. '''Notes :''' # Utilisez toujours l'attribut ''link'', ou un lien embarqué dans l'attribut ''text'' # Sur les images PNG, un seul lien cliquable peut être montré par segment de texte (du texte avec des tabulations (^) constitue plusieurs segments). <small>Exemple:</small> <pre> TextData = &nbsp;&nbsp;pos: (20,67) textcolor:black fontsize:S &nbsp;&nbsp;tabs: (10-right, 14-left, 50-left, 90-left, 230-left) &nbsp;&nbsp;text: ^1^1940^27/9^L'Allemagne, l'Italie et le Japon signent le <nowiki>[[pacte tripartite]]</nowiki> &nbsp;&nbsp;text:^10^1944^1-22/7^À Bretton Woods, 44 pays établissent &nbsp;&nbsp;text:^^^^^la Banque mondiale et le Système monétaire international </pre> === TimeAxis (Axe temporel) === Cette commande définit l'orientation de l’axe temporel, et la présentation des textes de résumés le long de l'axe. '''format (O) :''' Indique dans quel format les dates doivent être présentées le long de l'axe. Actuellement, seul le format yyyy (par défaut) est utilisable. D'autres formats de date suivront. '''orientation (O) :''' indique une orientation verticale (''ver'') ou horizontale (''hor'', par défaut). == Règles de saisie == === Mesures === Les '''mesures absolues'''' peuvent être utilisées pour indiquer des tailles, des positions et sont mesurées en pixels. <small>Exemple:</small> <pre> PlotArea = width:800 height:600 left:50 bottom:50 </pre> Les '''mesures relatives''' peuvent être utilisées pour indiquer des tailles et des positions. Elles sont définies par un chiffre entre 1 et 100, immédiatement suivi d’un % (signe pourcentage). Pour les mesures horizontales, le pourcentage est relatif à la largeur de l’image, pour les mesures verticales, le pourcentage est relatif à la hauteur de l’image. <small>Exemple:</small> <pre> PlotArea = width:80% height:80% left:10% bottom:5% </pre> === Saisie de texte === La saisie de texte est soumise à quelques règles : # Aucun signe requérant le support de l'Unicode n'est encore possible. Voyez aussi '''Polices'''. # Quand un texte doit contenir des espaces, indiquez les par des signes ''soulignement'' (ou underscore : _), ou placez le texte entre des doubles guillemets anglais.<br /> Exception : quand l'attribut texte est le dernier d’une ligne, les espaces sont gérés (il n'y a pas de risque de confusion entre le moment où le texte s'arrête et celui où l'attribut suivant commence). <small>Exemple:</small> <pre> Les trois lignes suivantes sont équivalentes BarData = &nbsp;&nbsp;text:Le_Japon_a_un_mandat_depuis_1914 bar:Marshalls BarData = &nbsp;&nbsp;text:"Le Japon a un mandat depuis 1914" bar:Marshalls BarData = &nbsp;&nbsp;bar:Marshalls text:Le Japon a un mandat depuis 1914 </pre> # Dans les lignes de date suivant la commande '''TextData''', deux caractères ont une action particulière : <br /> ~ (tilde) permet d'obtenir un ''retour à la ligne'' <br /> ^ (l'accent circonflexe) permet d'obtenir une tabulation Exemple montrant les retours à la ligne : <pre> TextData = &nbsp;&nbsp;… text:Generated for Wikiversity~Version 1.1 - 2 janvier 2007 # sera affiché ainsi : # # Generated for Wikiversity # Version 1.1 - 2 janvier 2007 </pre> Exemple montrant les tabulations : <pre> TextData = &nbsp;&nbsp;tabs:(4-right,12-right,14-left,34-left) &nbsp;&nbsp;text:^1^1940^27/9^Berlin All,It,Jap signent le Pacte tripartite &nbsp;&nbsp;text:^10^1944^1er-22/7^Bretton Woods 44 pays fondent &nbsp;&nbsp;text:^^^^^le FMI et la Banque mondiale &nbsp; # Sera affiché ainsi : # # 1 27/9 Berlin All, It, Jap signent le Pacte Tripartite # 10 1er-22/7 Bretton Woods 44 pays fondent # le FMI and World Bank </pre> == Cartes cliquables == Les formats d'enregistrement disponibles dans [[w:MediaWiki|MediaWiki]], le [[w:Portable Network Graphics|PNG]] et le [[w:SVG|SVG]], peuvent contenir des liens cliquables. Les textes sont affichés en bleu, et les barres, peuvent aussi être cliquables, pour envoyer vers une autre page web. Les liens sont indiqués par les commandes '''BarData''', '''PlotData''' et '''TextData''', avec l'attribut ''link'', ou via l'attribut ''text''. === Liens intégrés === Les liens intégrés sont des liens qui sont disposés à l'intérieur d’un texte affichable (destiné à être lu dans la frise), indiqués avec l'attribut ''text''. Ils font référence à des liens web (sous la forme d'URL) qui sont définis dans l'attribut ''link''. Ce type de liens peut être indiqué par ces deux attributs dans chacune des commandes '''BarData''', '''PlotData''' et '''TextData''' et sont utilisés dans les cartes cliquables. Le style des liens internes ne varie pas, le lien interwiki ne fonctionne pas, les liens externes fonctionnent comme les liens internes, avec des crochets simples, en remplaçant la barre verticale (| : ''pipe'') par un espace. <small>Exemples:</small> <pre> text:example <nowiki>[[Help:Link]]</nowiki> internal link </pre> <pre> text:<nowiki>[[Help:Link|Link]]</nowiki> </pre> <pre> text:1642 <nowiki>[[w:en:Rembrandt|Rembrandt|van Rijn]]</nowiki> paints Night Watch </pre> En essayant d’utiliser les liens interwiki : <pre> text:<nowiki>[[en:Rembrandt]]</nowiki> </pre> Ces liens vers http://meta.wikimedia.org/wiki/Rembrandt (page interne, le préfixe est ignoré) ou http://meta.wikimedia.org/w/Rembrandt (qui aboutit à un message : Fichier non-trouvé) dépendent de l'URL de la page de référence. == Support des Polices == L'Unicode n’est pas encore utilisable. On ne peut pas encore choisir une police spécifique. Cinq marqueur de police sont prédéfinis et rendent un aspect légèrement différent à chaque taille dans les images PNG et SVG, afin d'obtenir une lisibilité maximale à chaque fois. Il est recommandé de se servir de ces marqueurs plutôt que de nombres à chaque fois que c’est possible : * XS : très petit ; * S : petit (par défaut) ; * M : moyen ; * L : grand ; * XL : très grand. Cette documentation est disponible dans une version wikifiée sur la [http://members.chello.nl/epzachte/Wikipedia/EasyTimeline/Syntax.htm page originale du guide de syntaxe de la Frise chronologique]. == La syntaxe de frise chronologique n’est pas compatible avec des modèles paramétrés == <nowiki>{{etl|a}}</nowiki> Apparemment la syntaxe de frise chronologique ne fonctionne pas avec les modèles. == Voir aussi == [[:m:Help:EasyTimeline syntax]] == Notes == <references /> <!--métadonnées --> [[Catégorie:Aide technique|Frise chronologique]] cxi66zu9ug6mk7xtyj7monmi29bo67a 12 2752 984995 967580 2026-07-20T18:20:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984995 wikitext text/x-wiki == Procédure == '''1.''' Définir sous quelle [[#licence|licence (voir plus bas)]] sera importé votre fichier. '''2.''' Convertir votre fichier audio au format [[w:Ogg Vorbis|Ogg Vorbis]]. [[#Modifier un fichier audio|Une aide pour cette tâche est disponible plus bas]]. N'oubliez pas d'indiquer la source dans les balises [[w:ID3|ID3]] du fichier. '''3.''' Choisissez si vous voulez importer votre fichier sur [[commons:Accueil|Commons]] (accès au fichier par toutes les Wikiversités) ou sur le serveur français (utilisation possible sur la seule version francophone). {{attention|Seules les images refusées sur Commons sont acceptées ici, c'est-à-dire celles en fair use.}} '''4.''' Choisir un nom de stockage spécifique pour le fichier afin qu’il n'entre pas en conflit avec d’autres déjà chargés. ::Bien qu’il ne soit pas indispensable que le nom soit très lisible ou très descriptif, puisqu’un autre nom pourra y être substitué dans l'article, sachez cependant que le nom proprement dit ne pourra être modifié sans l’intervention d’un administrateur. Inscrivez dans ce cas votre image dans la liste des fichiers à renommer. '''5.''' Il faut d’abord être inscrit et se connecter avec son pseudo. Pour cela il suffit de cliquer sur le lien ''Identification''. ::Après vous être inscrit vous disposez de nouvelles options dont ''Importer une image ou un son'' dans la ''boîte à outils'' dans le menu de gauche. '''6.''' Cliquez sur [[Spécial:Upload|{{MediaWiki:Upload}}]] dans la ''boîte à outils'' et suivez les instructions de chargement. '''7.''' Renseignez la page de description du fichier audio <u><nowiki>Image:Exemple.ogg</nowiki></u> en suivant le lien qui vous est proposé après l'importation. Dans tous les cas spécifiez : # la '''licence utilisée''' (choisir un modèle de licence dans les tableaux ci-dessous ou dans l'aide de Commons) ; # la '''source''' du fichier audio. == Placer un lien vers un fichier audio dans un article == * En plaçant un lien textuel : [[Média:exemple.ogg|Écouter]] pour écouter directement le fichier.<br /> :Code wiki : <nowiki>[[Média:exemple.ogg|Écouter]]</nowiki><br /> [[Fichier:Exemple.ogg|Description]] pour accéder à la page de description du fichier.<br /> :Code wiki : <nowiki>[[Image:Exemple.ogg|Description]]</nowiki> == Licences == === Les œuvres libres de droits ([[w:Licence publique générale GNU|GPL]], [[w:Domaine public, en droit de la propriété intellectuelle|domaine public]]…) === Ce tableau recense les différentes licences "libres" compatibles avec l'usage d’un fichier. {| class="wikitable" ! Licence !! Utilisation !! À importer sur Commons |- ! colspan="3" bgcolor="#DDDDDD" | Licences [[w:GNU|GNU]] |- | [[Modèle:GFDL|GFDL]] || <nowiki>{{GFDL}}</nowiki> <''Année''> <''Auteur''> || oui |} Parmi ces licences libres, [[commons:Commons:Licensing/fr|certaines]] permettent au fichier d’être importé sur [[commons:Accueil|Wikimedia Commons]] : Le centre de ressources libres inter-wikis ([[commons:Commons:Premiers pas|Premiers pas]]). === Les extraits d'œuvres soumises à des [[w:droit d'auteur|droits d'auteur]] (''[[w:copyright|copyright]]'') === Selon le principe d’usage raisonnable (''[[w:fair use|fair use]]'') qui s'applique en France sous la forme du [[w:droit de citation|droit de citation]], vous pouvez déposer des extraits musicaux si et seulement s'ils répondent à ces critères précis : {| class="wikitable" ! Licence !! Utilisation !! À importer sur Commons |- ! colspan="3" bgcolor="#DDDDDD" | Licences [[w:GNU|GNU]] |- | [[Modèle:Courte citation audio]] || <nowiki>{{Courte citation audio}}</nowiki> || non |- | [[Modèle:Fair use]] || <nowiki>{{fair use}}</nowiki> || non |} == Modifier un fichier audio == Voici quelques programmes qui vous seront d’une grande aide: * [http://audacity.sourceforge.net/ Audacity] : c’est un éditeur de fichiers audio. Il permet de couper, modifier le volume, convertir d’un format à un autre, créer des montées et des chutes de volume progressives au début et à la fin des fichiers (merci pour nos oreilles), éditer les balises [[w:ID3|ID3]] et enregistrer en [[w:Ogg Vorbis|Ogg Vorbis]] bien sûr ! Il est distribué sous licence [[w:Licence publique générale GNU|GPL]] et disponible sur les plate-formes [http://audacity.sourceforge.net/download/linux GNU/Linux], [http://audacity.sourceforge.net/download/windows Windows] et [http://audacity.sourceforge.net/download/mac Mac]. == Lire un fichier audio == Voir [[Aide:Écouter des sons ogg]] [[Catégorie:Aide multimédia|{{PAGENAME}}]] 2681u9wcndthrfwqdle2nbev7scdp99 0 2760 984996 953277 2026-07-20T18:20:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984996 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Cette leçon étudie l'évolution temporelle de certains circuits électriques comprenant des composants très répandus : le condensateur (C) et la bobine d'induction (L). {{AutoCat}} rxlo6ibcgpdxrzwp8nhnk8m273h6ujk 0 2761 984997 953278 2026-07-20T18:20:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984997 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * [[Circuits électriques]] * [[Équation différentielle]] * [[Fonction dérivée]] * [[Fonction exponentielle]] * [[Intégration en mathématiques]] {{AutoCat}} mwoy5r1zwxpac0181gulprqwqx6xaho 106 2879 984998 953279 2026-07-20T18:21:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984998 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Autres projets 2 | commons = Category:Engineering | commons titre = Les images | wikipedia = Portail:Génie mécanique | wikipedia titre = Le portail | wikibooks = Tribologie | wikibooks titre = Les livres | wikiquote = Catégorie:Ingénieur | wikiquote titre = Les personnalités | wikinews = Page:Science et technologie | wikinews titre = Les nouvelles }} {{Autocat}} ttrnywkgzg2xzbus9cjn7recxkqv1mr 108 2883 984999 901459 2026-07-20T18:21:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 984999 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ La [[wikt:géométrie|géométrie]] est la science étudiant les formes et leurs mesures. Elle concerne aussi l'étude de la grandeur des lignes, des surfaces et des volumes. La [[wikt:trigonométrie|trigonométrie]] est une de ses composantes. {{AutoCat}} qmu4zx9rox1yjw9kpgm6t887g9kjzkt 108 2885 985000 977474 2026-07-20T18:21:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985000 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ __NOTOC__ <div style="display:block; padding:0.1em;"> {| width="100%" border="0" cellpadding="3px" cellspacing="2px" |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 0''' ! width="33%" |'''Niveau 1''' ! width="33%" |'''Niveau 2''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * | * | * |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 3''' ! width="33%" |'''Niveau 4''' ! width="33%" |'''Niveau 5''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * | * | * |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 6''' ! width="33%" |'''Niveau 7''' ! width="33%" |'''Niveau 8''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * | * | * [[Organisation de calculs]] |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 9''' ! width="33%" |'''Niveau 10''' ! width="33%" |'''Niveau 11''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * [[Initiation aux systèmes d'équations]] * [[Équations du premier degré]] | * [[Système d'équations linéaires]] * [[Identités remarquables]] | * [[Expressions algébriques]] |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 12''' ! width="33%" |'''Niveau 13''' ! width="33%" |'''Niveau 14''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * [[Équations et fonctions du second degré]] | * [[Initiation aux matrices]] * [[Mathématiques financières]] | * [[Équation du troisième degré]] * [[Équation du quatrième degré]] * [[Algèbre sur un corps]] * [[Application linéaire]] * [[Anneau (mathématiques)|Anneau]] * [[Corps (mathématiques)|Corps]] * [[Espace euclidien]] * [[Espace vectoriel]] * [[Fractions rationnelles]] * [[Loi (mathématiques)|Loi]] * [[Magma (mathématiques)|Magma]] * [[Matrice]] * [[Monoïde]] * [[Polynôme]] * [[Structure algébrique]] * [[Systèmes de Cramer]] * [[Théorie des groupes]] |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="33%" |'''Niveau 15''' ! width="33%" |'''Niveau 16''' ! width="33%" |'''Niveau 17''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * [[Algèbre linéaire et calcul matriciel]] * [[Application multilinéaire]] * [[Dualité]] * [[Espace préhilbertien complexe]] * [[Espace préhilbertien réel]] * [[Réduction des endomorphismes]] * [[Trace et transposée de matrice]] | * [[Module sur un anneau]] * [[Résultant]] * [[Théorie élémentaire des corps]] | |- align="center" bgcolor="#{{idfaculté/couleur/mathématiques}}" ! width="25%" |'''Niveau 18''' ! width="33%" |'''Niveau 19''' ! width="33%" |'''Niveau 20''' |- valign="top" align="left" bgcolor="#{{idfaculté/pastel/mathématiques}}" | * | * | * |} </div> {{AutoCat}} 5drzgelvb8cdqxugp8n9jkja7e4vc6p 108 2886 985001 967587 2026-07-20T18:21:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985001 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ __NOTOC__ {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/mathématiques}};" |width=33% valign="top"| == Généralités == * {{L|[[Organisation de calculs]]}} * {{L|[[Loi (mathématiques)|Loi]]}} * {{L|[[Polynôme]]}} * {{L|[[Fractions rationnelles]]}} * {{L|[[Identités remarquables]]}} * {{L|[[Expressions algébriques]]}} |width=33% valign="top"| == Structures fondamentales == * {{L|[[Structure algébrique]]}} * {{L|[[Théorie des groupes]]}} * {{L|[[Magma (mathématiques)]]}} * {{L|[[Anneau (mathématiques)]]}} * {{L|[[Module sur un anneau]]}} * {{L|[[Corps (mathématiques)]]}} * {{L|[[Théorie élémentaire des corps]]}} * {{L|[[Algèbre sur un corps]]}} * {{L|[[Monoïde]]}} |width=33% valign="top"| == [[Algèbre linéaire]] == * {{L|[[Espace vectoriel]]}} * {{L|[[Application linéaire|Applications linéaires]]}} * {{L|[[Initiation aux matrices]]}} * {{L|[[Matrice]]}} * {{L|[[Algèbre linéaire et calcul matriciel]]}} * {{L|[[Réduction des endomorphismes]]}} * {{L|[[Système d'équations linéaires]]}} * {{L|[[Systèmes de Cramer]]}} * {{L|[[Trace et transposée de matrice]]}} * {{L|[[Dualité]]}} |- |valign="top"| == [[Algèbre multilinéaire]] == * {{L|[[Application multilinéaire|Applications multilinéaires]]}} * {{L|[[Espace préhilbertien réel|Espaces préhilbertiens réels]]}} * {{L|[[Espace euclidien|Espaces euclidiens]]}} * {{L|[[Espace préhilbertien complexe|Espaces préhilbertiens complexes]]}} |valign="top"| == [[Équation polynomiale]] == * {{L|[[Initiation aux systèmes d'équations]]}} * {{L|[[Équations]]}} * {{L|[[Équations du premier degré]]}} * {{L|[[Équations et fonctions du second degré]]}} * {{L|[[Équation du troisième degré]]}} * {{L|[[Équation du quatrième degré]]}} * {{L|[[Résultant]]}} |valign="top"| == Applications == * {{L|[[Mathématiques financières]]}} |- |} {{AutoCat}} i0da0fswbo3h15dfbmidx6kf4gmhzqc 3 2982 985002 947133 2026-07-20T18:21:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985002 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue}} |} {{fin cadre}} </center> [[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 20 mars 2007 à 09:14 (UTC) :Merci Min's, --[[Utilisateur:Erkan Yilmaz|Erkan Yilmaz]] 4 septembre 2007 à 15:51 (UTC) == Message de bienvenue == Je me suis toujours demandé si le message de bienvenue était généré automatiquement :) Merci. [[Utilisateur:Vanheu|Vanheu]] 17 octobre 2007 à 20:33 (UTC) :Merci pour particper ici. ----[[User:Erkan_Yilmaz|Erkan Yilmaz]] ([[User_talk:Erkan_Yilmaz|<small>discuter</small>]], [[:en:User:Erkan Yilmaz/observations|<small>mon wiki blog</small>]]) 17 octobre 2007 à 20:56 (UTC) == oral comprehension == Thank you very much for having correct the oral comprehension, I don't understand how I have made their mistakes {{Smiley|clin d'œil}} [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] ^{[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]}_{<span style="margin: 0px 12px 0px -6ex;">[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]</span>} 28 octobre 2007 à 18:26 (UTC) :You are welcome. If you want, I could offer my help for one of those "Compréhension orale". Would be an interesting learning experiment. What do you say ? Let's talk in {{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}. ----[[User:Erkan_Yilmaz|Erkan Yilmaz]] ([[User_talk:Erkan_Yilmaz|<small>discuter</small>]], [[:en:User:Erkan Yilmaz/observations|<small>mon wiki blog</small>]]) 30 octobre 2007 à 18:58 (UTC) == Salut Erkan == J’essaye de mettre un peu d’ordre dans l’espace de noms Wikiversité du projet éponyme. Je souhaite délacer les deux pages de l’[[Transwiki:Économiseur d'écran]] & [[Transwiki:Économiseur d'écran/vieux versions]]. Je les place dans l’espace Transwiki, si tu veux je peux t’aider à transférer ton travail sur Wikitech, c’est une plateforme complète pour le développement intégrée aux projets Wmf. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 24 juillet 2016 à 12:46 (UTC) 7fqmifc7lyrbmc3arb7t8mdtrc9iyic 1 2993 985003 980695 2026-07-20T18:22:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985003 wikitext text/x-wiki {{Évaluation|idfaculté=informatique|avancement=4}} == Mots-clés C++ == Je penserais enlever le chapitre sur les mots clés car chacune des sections dans ce chapitre sont présenté plus tard et peut-être de placer les mots clés dans les annexes. [[Utilisateur:Stjp|Orphé]] 30 mars 2007 à 11:00 (UTC) :Bonne idée Orphé ! J’ai ajouter les mots clé C++ car rare sont ceux qui utilisent encore un compilateur C. ([[Utilisateur:Grunge|grunge]] 23 mai 2007 à 16:37 (UTC)) :: Je n'y suis pas favorable. Je préfererais un lien vers le cours C++ qui précise ces opérateurs. Par contre, Ce serait bien de préciser pour chaque mot-clé, la norme C qui l'autorise. --[[Utilisateur:Thierry46|Thierry46]] 9 janvier 2008 à 13:50 (UTC) == Wikilivres Langage C == Je suis tombé sur le livre sur le langage C sur wiki livre qui est très bien fait. Ca serai intéressant de proposer des exercices et d'envoyer le wiki-Étudiant sur le wiki-livre. j'imagine le cours plus comme un aide mémoire pratique avec plein d'exemples. simple à comprendre que comme un sale cours théorique imbuvable. ([[Utilisateur:Grunge|grunge]] 23 mai 2007 à 16:37 (UTC)) :Bonjour, :Comme Grunge vient de le dire, WB contient un wikilivre sur le [[b:Programmation C|C]]. Je viens d'ailleurs de mettre un lien du livre vers ce cours. Bien que les orientations du livre et du cours semblent déjà différentes, il faudrait peut-être clarifier la distinction entre les deux. Une [[b:Wikilivres:Le_Bistro/Archives/2007_-_premier_trimestre#distinction_entre_Wikibooks_et_Wikiversité|discussion]] qui porte sur la distinction entre Wikibooks et Wikiversité vient de commencer sur le Bistro de WB, il serait bon d'y participer pour clarifier les rôles de chacun. :Mais, à défaut, n'hésitez pas à reprendre du contenu de wikilivres pour améliorer votre cours (et vivent les licences libres ;), ou inversement ! ::Je ne suis pas favorable à la recopie du contenu de Wikilivres dans WV : La page [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas]] et son chapitre [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas#Wikiversité n’est pas Wikilivres|Wikiversité n’est pas Wikilivres]] est claire, pas de recopie. Par contre, il me semble préférable de faire des liens vers les chapitres des WikiLivres concernés. ::Je verrais bien des références de cours vers le livre [[b:Programmation C|Programmation C]] et pour les exercices des liens sur [[b:Exercices en langage C|Exercices en langage C]]. --[[Utilisateur:Thierry46|Thierry46]] 9 janvier 2008 à 13:29 (UTC) :::Il est d'autant plus difficile de faire la différence entre un wikibooks et un cours dans le domaine de l'informatique. Car d’après tous les essais que l’on a vus, pour le moment, un cours sur l’utilisation d’un logiciel tombe dans l'objectif de wikibooks. par contre, un cours sur l’utilisation (avec exercice) d’un programme/langage informatique reste compatible avec Wikiversité.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 9 janvier 2008 à 14:33 (UTC) == Le cours est très edulcoré… == Bonjour, <br /> Je n'ai fait que survoler le cour et ces chapitre et je ne vois aucune trace de structures auto-référentielle, de classe(ou plutôt de son équivalent C), de pointeurs sur méthodes, de gestion dynamique de tableaux, d'enums-objet. Quand comptez vous mettre ces sujets sur le tapis ?<br /> Cordialement,<br /> [[Utilisateur:Ppignol|Ppignol]] : Qu'entendez-vous par ''vous'' dans ''Quand comptez vous mettre ces sujets sur le tapis'' ?[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 25 avril 2009 à 06:56 (UTC) ::Bien au départ je pensais à l'auteur de ce cours mais vu la façon dont vous avez posé la question, je subodore que vous suggérez que je m'en charge. Me tromperais-je ?[[Utilisateur:Ppignol|Ppignol]] :::Les cours appartiennent à tous le monde, donc libre à chacun de les faire évoluer. Donc si vous avez des informations à rajouter, vous êtes libre de les faire. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 29 avril 2009 à 14:59 (UTC) ::::Certes j’avais compris le principe de l'encyclopédie libre, mais je n'aime pas trop m'inviter dans les cours des autres sans avertir. De plus je n'aime pas couper l'herbe sous le pied des personnes qui se sont investies dans le montage d’un cours. C’est une question de civisme. Maintenant si j’ai son accord, (ou s'il n'est plus actif de longue date,) je serais ravi d'aider mais pas immédiatement car comme vous le savez surement, je m'occupe du court de C++ d'où ma question originale. :) <br />De plus comme les deux langages sont pour ainsi dire siamois, pourquoi ne pas l'intégrer à mes cours étant donné que je reprend une bonne partie des concept du C en C++ ce serais l’occasion de décrire en profondeur les différences qui existent entre les deux langages et la correspondance que l’on peut faire entre eux. [[Utilisateur:Ppignol|Ppignol]] 30 avril 2009 à 00:18 (UTC)~ ::::: En ce qui me concerne, je me permet quelques ajouts et corrections mineurs. J'écris le cours sur la GLib et aimerais que les gens y soient bien préparés, cela implique donc d'améliorer le cours de C. N'hésitez pas a me le dire si des modifs vous paraissent mauvaises. Elles peuvent être suivi sur ma page de suivi: http://fr.wikiversity.org/wiki/Spécial:Contributions/Yann_Peniguel . [[Utilisateur:Yann Peniguel|Yann Peniguel]] 20 juillet 2011 à 21:16 (UTC) == Annexe 3 : Gnuplot, une interface graphique 2d 3d, pour le langage c == Bonjour, Je souhaiterais ajouter une troisième annexe. Annexe 3 : Gnuplot, une interface graphique 2d 3d, pour le langage c. Pour vous donner une idée de ce que je propose, j’ai fait quelques vidéos. http://www.dailymotion.com/playlist/x1e3zq_xhumga_langc-gnuplot#videoId=x9kayj Actuellement, il y a deux annexes je pense que ce travail pourrait être un bon complément. Merci :Oui, on pourrait y télécharger ces bibliothèques. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 8 juin 2011 à 17:59 (UTC) Bonjour, Je vais essayer de vous expliquer comment je pense présenter ce travail. Voici la première page ou je pense présenter les 12 vidéos d'introductions http://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Xhungab/Bac_à_sable Ensuite sur le même modèle je souhaite faire deux pages supplémentaires, une sur : Le langage c, gnuplot et l'analyse. une autre sur : Le langage c, gnuplot et l'algèbre linéaire. Merci. :Cela me semble assez clair. Petite suggestion pour surpasser Dailymotion : il est possible de publier des vidéos avec des sous-titres qui dépendent de la langue du lecteur, et contenant des hyperliens ([[commons:TimedText:Tutoriel-wikt.ogv.fr.srt|exemple]]). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 juin 2011 à 10:30 (UTC) Bonjour, Merci pour les conseils. J’ai essayé d'introduire mon travail dans wiki. J'espère ne pas avoir fait trop d'horreurs. Merci :En principe il n'y a pas de majuscule à "algèbre", pour le reste c’est impeccable. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 9 juin 2011 à 12:18 (UTC) Bonjour, Merci. Je pense avoir fait le plus gros du travail. Il ne reste plus qu’à voir le résultat. == Annexe 4 : Analyse numérique élémentaire en langage c == Je souhaiterais ajouter une quatrième annexe. Annexe 4 : Analyse numérique élémentaire. Pour vous donner une idée de ce que je propose, j’ai fait un exemple dans mon bac à sable. http://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Xhungab/Bac_à_sable Merci :Ça va pour moi (dommage qu’il y ai des pubs et pas de sous-titres, ce ne serait pas le cas si les vidéos étaient sur [[:Commons:]]). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 juin 2011 à 09:49 (UTC) Merci. Pour les vidéos. Pour l'instant je n'ai pas de logiciels capables de lire, créer des vidéos compatibles avec le format imposé par commons, je vais étudier le problème. :Sur Windows il y a [http://www.koyotesoft.com/ Free Video Converter V2.92]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 26 juin 2011 à 20:51 (UTC) :Ou VLC. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 27 juin 2011 à 05:49 (UTC) Bonjour, J’ai bien essayé "Free Video Converter V2.92", et un lecteur de fichier OGG. Le logiciel a bien converti mon fichier mp4 en ogg mais le lecteur que j’ai choisi n'a pas pu le lire, il n'a pas pu lire non plus les fichiers ogg sur le site wiki. J’ai tous effacé pour l'instant j’essaierais à nouveau quand j'aurais plus de temps. Merci == Ajouter des étiquettes projets. Merci == bonjour, Après une longue réflexion, je pense que la page gnuplot s'intègre bien dans la partie annexe. Par contre, la page analyse numérique élémentaire trouverait mieux sa place dans des sections projets. Je propose donc que soient ajoutées après chapitres et annexes des étiquettes projets. Dans projets, on pourrait mettre des travaux qui exigent de travailler sur plusieurs fichiers. Voici les sections projets que je propose, et les pages que je souhaiterais insérer. * Projet : Art graphique. Géométrie de la tortue vectorielle.<br /> Géométrie de la tortue standard. * Projet : Méthode et primitives graphiques. Les courbes de Béziers.<br /> Les matrices de transformations (2D). * Projet : Animation graphique. Cycloïde.<br /> Cardioïde.<br /> Astroïde. * Projet : Algèbre réelle. Méthode de Horner. * Projet : Analyse réelle. Tangente. Normale.<br /> Les Courbes paramétriques.<br /> Les fonctions f(x,y) et f(x,y,z).<br /> Les fonctions vectorielles. * Projet : Algèbre linéaire élémentaire. Création des matrices dans R.<br /> Création des matrices dans C<br /> Déterminant dans R. <br /> Déterminant dans C.<br /> GaussJordan dans R.<br /> Inverser une matrice avec la fonction GaussJordan dans R.<br /> Matrices avec des lignes identiques (Algorithme étudié : Partial pivoting) * Projet : Programmation de jeux en mode DOS. Calcul rapide.<br /> Jeux de mémoire. (chiffres et lettres).<br /> Jeux avec Gnuplot. Merci :Bonne idée, nous pourrions aussi classer ces travaux en exercices de types [[Aide:Quiz#Utilisation|quiz]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 7 juillet 2011 à 18:51 (UTC) bjc5n3n9yasvc5ro5xih0geqq4yamqq 108 3005 985004 885638 2026-07-20T18:22:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985004 wikitext text/x-wiki {{Département | idfaculté = arts plastiques | nom = Dessin | logo = Possible_Self-Portrait_of_Leonardo_da_Vinci.jpg‎ }} [[en:Drawing]] 9irqeempm5rsnpzp4d99orh6xrw0o34 0 3033 985005 889044 2026-07-20T18:22:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985005 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 3 | précédent = [[../Triangle rectangle/]] | suivant = [[../Sinus dans un triangle rectangle/]] | niveau = 12 }} == ''Cosinus'' et calculatrice == === Calcul d’un cosinus à l'aide d'une calculatrice === Connaissant un angle, on peut calculer son cosinus avec une calculatrice scientifique. Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer '''<math>\cos{45^\circ}</math>''', on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 !Touche 4 |----- | cos | 4 | 5 |EXE |} Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 |----- | 4 | 5 | cos |} Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : '''<math>\cos{45}\approx 0{,}707</math>'''. Si vous obtenez 0,525 ou 0,760, votre calculatrice n’est pas en mode « degrés » et il faut donc l'activer. === Calcul d’un angle à partir de son ''cosinus'' === Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer : <math>\cos{(?)}= 0{,}5</math>, on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" !Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 ! Touche 4 !Touche 5 |----- | ''2nd'' ou ''shift'' |cos | 0 | <math>\cdot</math> |5 |EXE |} Sur une calculatrice à calcul immédiat, pour calculer <math>\cos{(?)}= 0{,}5</math>, on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 ! Touche 4 ! Touche 5 |----- | 0 | <math>\cdot</math> | 5 |''2nd'' ou ''shift'' |cos |} Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : '''<math>\cos^{-1}(0{,}5)=60^\circ</math>'''. == Formule du cosinus == Dans un triangle ABC, rectangle en B, le cosinus de l'angle <math>\hat A</math> vaut : <div style="text-align: center;">'''<math>\cos({\hat A})=\frac{AB}{AC}={c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent\over hypot\acute{e}nuse}</math>'''.</div> [[Fichier:Cosinus de A.svg|thumb|center]] === Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : AB = {{Unité|5|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} et AC = {{Unité|7|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}, calculer <math>\hat A</math>. {{Solution | contenu = On a la formule : :<math>\cos({\hat A})=\frac{AB}{AC}=\frac57\approx0{,}714</math> et : :<math>\hat A=\cos^{-1}(0{,}714)\approx44^\circ</math>. }} '''Remarques''' : # Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le cosinus. # La notation <math>\cos^{-1}</math> est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l''''inverse''' de la fonction cosinus : '''<math>\frac1\cos</math>'''. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation '''<math>\arccos</math>''' ('''fonction réciproque''' de la fonction cosinus). === Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : <math>\hat A=40^\circ</math> et <math>AC=7</math> cm, calculer <math>AB</math>. {{Solution | contenu = On a la formule : :<math>\cos({40})=\cos({\hat A})=\frac{AB}{AC}=\frac{AB}7</math> donc : :<math>AB = 7\times \cos({40}) \approx5{,}4</math> cm. }} === Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : <math>\hat A= 40^\circ</math> et <math>AB = 5</math> cm, calculer <math>AC</math>. {{Solution | contenu = On a la formule : :<math>\cos({40})=\cos({\hat A})=\frac{AB}{AC}=\frac5{AC}</math> donc : :<math>AC\times\cos({40})=5</math> cm donc : :<math>AC=\frac5{\cos({40})}\approx6{,}5</math> cm. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Triangle rectangle/]] | suivant = [[../Sinus dans un triangle rectangle/]] }} 8lpwtr0nxrd9mbdq0nahw09aik7isbi 0 3035 985006 889045 2026-07-20T18:22:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985006 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Cosinus dans un triangle rectangle/]] | suivant = [[../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique/]] | niveau = 12 }} == ''Sinus'' et calculatrice == === Calcul d’un sinus à l'aide d'une calculatrice === Connaissant un angle, on peut calculer son sinus avec une calculatrice scientifique. Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer '''<math>\sin{45^\circ}</math>''', on tape la séquence de touches suivante: {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 !Touche 4 |----- | sin | 4 | 5 |EXE |} Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 |----- | 4 | 5 | sin |} Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : '''<math>\sin{45}\approx 0{,}707</math>'''. Si vous obtenez 0,850 ou 0,649, votre calculatrice n’est pas en mode « degrés » et il faut donc l'activer. === Calcul d’un angle à partir de son ''sinus'' === Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer '''<math>\sin{(?)}= 0{,}5</math>''', on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" !Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 ! Touche 4 !Touche 5 |----- | ''2nd'' ou ''shift'' |sin | 0 | <math>\cdot</math> |5 |EXE |} Sur une calculatrice à calcul immédiat, pour calculer '''<math>\sin{(?)}= 0{,}5</math>''', on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 ! Touche 4 ! Touche 5 |----- | 0 | <math>\cdot</math> | 5 |''2nd'' ou ''shift'' |sin |} Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : '''<math>\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ </math>'''. == Formule du sinus == Dans un triangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle <math>\hat A</math> vaut : <div style="text-align: center;">'''<math>\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}</math>'''.</div> [[Fichier:Sinus de A.svg|thumb|center]] === Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = {{Unité|4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} et AC = {{Unité|7|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}, calculer <math>\hat A</math>. {{Solution | contenu = On a la formule : :<math>\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac47\approx0{,}571</math> et : :<math>\hat A=\sin^{-1}(0{,}571)\approx35^\circ</math>. }} '''Remarques''' : # Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le sinus. # La notation '''<math>\sin^{-1}</math>''' est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l''''inverse''' de la fonction sinus : '''<math>\frac1\sin</math>'''. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation '''<math>\arcsin</math>''' ('''fonction réciproque''' de la fonction sinus). === Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : Â = 40° et AC = {{unité|7|cm}}, calculer <math>BC</math>. {{Solution | contenu = On a la formule : :<math>\sin({40})=\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}7</math> donc : :<math>BC = 7\times \sin({40}) \approx4{,}5 \ \mathrm{cm} </math>. }} === Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : Â = 40° et BC = {{unité|4|cm}}, calculer <math>AC</math>. {{Solution | contenu = On a la formule : :<math>\sin({40})=\sin({\hat A})=\frac{BC}{AC}=\frac4{AC}</math> donc : :<math>AC\times\sin({40})=4\ \mathrm{cm}</math> donc : :<math>AC =\frac4{\sin({40})} \approx6{,}2 \ \mathrm{cm} </math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Cosinus dans un triangle rectangle/]] | suivant = [[../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique/]] }} sdk6t2nfy4jyty2att1lexc7m7pjyu6 0 3037 985007 889059 2026-07-20T18:22:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985007 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 6 | précédent = [[../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique/]] | suivant = [[../Relations trigonométriques/]] | niveau = 12 }} == ''Tangente'' et calculatrice == === Calcul d’une tangente à l'aide d'une calculatrice === Connaissant un angle, on peut calculer sa [[Fonctions circulaires/Fonction tangente|tangente]] avec une calculatrice scientifique. Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer '''<math>\tan{45^\circ}</math>''', on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 !Touche 4 |----- | tan | 4 | 5 |EXE |} Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 |----- | 4 | 5 | tan |} Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est '''<math>\tan{45} = 1</math>''' Si vous obtenez 1,619850 ou 0,854, votre calculatrice n’est pas en mode "degré" et il faut donc l'activer. === Calcul d’un angle à partir de sa ''tangente'' === Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, pour calculer '''<math>\tan{(?)}= 0,5</math>''', on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" !Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 ! Touche 4 !Touche 5 |----- | ''2nd'' ou ''shift'' |tan | 0 | <math>\cdot</math> |5 |EXE |} Sur une calculatrice à calcul immédiat, pour calculer '''<math>\tan{(?)}= 0,5</math>''', on tape la séquence de touches suivante : {| class="wikitable" ! Touche 1 ! Touche 2 ! Touche 3 ! Touche 4 ! Touche 5 |----- | 0 | <math>\cdot</math> | 5 |''2nd'' ou ''shift'' |tan |} Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est '''<math>tan^{-1}(0,5)\approx 27^\circ </math>'''. == Formule de la tangente == Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle '''<math>\scriptstyle{\hat{A}}</math>''' vaut : <div style="text-align: center;">'''<math>\tan({\hat{A}})=\frac{BC}{AB}={c\hat{o}t\acute{e}\ oppos\acute{e}\over c\hat{o}t\acute{e}\ adjacent}</math>'''</div> <div style="text-align: center;">[[Fichier:Tangente de A.svg]]</div> === Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = {{Unité|4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} et AB = {{Unité|5|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}. Calculer <math>\hat{A}</math> {{Solution | contenu = On a la formule : <math>\tan({\hat{A}})=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}=0,800</math> et : <math>\hat{A} = tan^{-1}(0,800)\approx39^\circ </math> }} '''Remarques''' : # Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour la tangente. # La notation '''<math>\tan^{-1}</math>''' est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l''''inverse''' de la fonction tangente : '''<math>\frac{1}{\tan}</math>'''. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation '''<math>{\operatorname{arctan}}</math>''' ('''fonction réciproque''' de la fonction tangente). === Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : '''<math>{\hat{A} = 40^\circ }</math>''' et '''<math>AB =5 cm</math>'''. Calculer <math>BC</math> {{Solution | contenu = On a la formule : <math>\tan({\hat{A}})=\tan({40})=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{5}</math> donc : <math>BC = 5\times \tan({40}) \approx4,2 \ cm </math> }} === Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé === Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : '''<math>{\hat{A} = 40^\circ }</math>''' et '''<math>BC = 4 cm</math>'''. Calculer <math>AB</math> {{Solution | contenu = On a la formule : <math>\tan({\hat{A}})=\tan({40})=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{AB}</math> donc : <math>AB\times \tan({40})= 4 </math> donc : <math>AB =\frac{4}{\tan({40})} \approx4,8 \ cm </math> }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique/]] | suivant = [[../Relations trigonométriques/]] }} rmbg4ifkn265cbtcp714n0jefeir282 1 3039 985008 951788 2026-07-20T18:22:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985008 wikitext text/x-wiki {{auteurs crédités après scission|1=Trigonométrie|2=21 mars 2007}} == Cos(2a) et cos(na) == Mesdames messieurs Bonjour et un grand bravo pour votre travail qui m'aide énormément. Voici ma question : L'on sait que <math>\cos(2a) = \cos^2a-\sin^2a</math> mais existe t'il une relation du type <math>\cos(na) = \cos(a)^n-\sin(a)^n</math> je recherche en fait le moyen d'exprimer <math>\cos \left (\frac \pi 8 \right )</math> en me servant de <math>\cos \left (\frac 12 \times \frac \pi 4 \right )</math> :On peut aussi partir de l’idée que : <math>\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)</math> et que <math>\cos (2a )= \cos(a + a) </math> <br />puis par la suite que sur ce point <br /><math>\cos(3a) = \cos (a + 2a) = \cos (a) \cos(2a) - \sin(a)\sin(2a)</math><br /><math>\cos(3a) =\cos (a)\left( \cos^2a - \sin^2a \right ) - \sin(a)\left (2 \sin (a) \cos (a) \right )</math> et essayer de généraliser ::Sinon, concernant des arrangements du type <math>\cos(na) = \cos(a)^n-\sin(a)^n</math>, qui sont possibles mais pas aussi simples, je propose de lire [[Nombre complexe/Factorisation et linéarisation]], qui explique comment transformer des expressions trigonométriques ente des formes factorisées et des formes linéarisées [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 29 mai 2009 à 09:09 (UTC) == À propos de la note sur la relation fondamentale == : Soit les relations paramétrées <math> x = cos ( t ) </math> et <math> y = sin ( 2t ) </math> . : Problème trouver UNE relation unique <math> y = f(x) </math> ! On remarquera que x est pair et y impair ; on doit donc rendre y impair en fonction de x. ( Nota '''x étant pair, y doit prendre deux valeurs y et -y d'où une courbe symétrique par rapport à Ox, ce qui est contradictoire avec si x>0 alors y = +… et si x<0 alors y = -…'''). : Réponse : <math> y = 2 \times cos(t) \times sin(t) = 2 \times x \times \frac{x}{|x|} \sqrt {1-(x)^2} </math> et non <math> y = 2 \times x \times \sqrt {1-(x)^2} </math> : Ceci justifie la note et son domaine d'application --[[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ([[Discussion utilisateur:Ereduverseau|discussion]]) 9 avril 2013 à 09:08 (UTC) :En signant à l'intérieur du chapitre, tu as déclenché le filtre anti-abus numéro 7. Voir [http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Spécial:Journal_du_filtre_antiabus&wpSearchFilter=7] Cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 avril 2013 à 12:45 (UTC) D'autre part : <math> \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} </math> Par conséquent : <math> y = 2 \times x \times \frac{x}{|x|} \sqrt {1-(x)^2} </math> peut s'écrire : <math> y = 2 \times x \times \frac{|x|}{x} \sqrt {1-(x)^2} </math> et l’on voit que l’on peut simplifier par x, on obtient donc plus simplement : <math> y = 2 \times |x| \sqrt {1-(x)^2} </math> :: c’est plus simple effectivement mais le but était de faire une démo, ratée à cause du manque d’un modulo sur les x. La notation <math>sign(x)</math> n’est pas je crois généralisée au niveau des langages informatiques, c’est pourquoi je la remplaçais , tout en la laisssant bien distincte du reste de la formule, par <math>\frac{x}{|x|}</math> ou <math>\frac{|x|}{x}</math> OK pour cela.--[[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ([[Discussion utilisateur:Ereduverseau|discussion]]) 10 avril 2013 à 11:40 (UTC) Mais ce n’est pas le plus grave. Ta formule est de toute évidence fausse puisque le premier membre de l'égalité peut être éventuellement négatif alors que le second membre est toujours positif. En effet : <math> y = 2 \times x \times \frac{x}{|x|} \sqrt {1-(x)^2} = 2 \times \frac{x^2}{|x|} \sqrt {1-(x)^2} </math> : Dans mon expression , <math>y</math> doit être univoquement en fonction de <math>x</math> ; son signe est déterminé par le choix de l’expression ou par celui qui procède au calcul tout en étant dépendant de sa parité en tant que fonction paramétrée :Une racine carrée étant TOUJOURS positive par convention sur les réels, si je ne m'abuse, <math>y</math> sera positif. Si l'opérateur veut , par sa volonté, rendre y négatif, il devra y adjoindre un facteur ( sign(x) ou <math>\frac{x}{|x|}</math> ou <math>\frac{|x|}{x}</math> ou logique autre si…alors…). :Question : quelle est l’expression de <math> \sqrt{x^2}</math> ? Ma réponse est <math>|x|</math> et non <math>\pm x</math>. : Une solution " bateau ", non satisfaisante en général en logique et en phénoménologie, mais plus acceptable en mathématiques, est de donner comme résultat et dire que : si x>0 alors y=f(x) et si x<0 alors y=-f(x). Quand il y a n variables, avec m retards, cela devient inextricable. CE qui démontre qu’il est aussi difficile en math de trouver la perfection que de trouver une relation unique entre les forces physiques…. :Mon expression est de la même verve, et FAUSSE de par sa nature , comme tu l'as très bien démontré, et ce n'étais pas initialement un piège que je tendais, ceci avec y positif quel que soit le signe de x comme tu le fais remarquer à juste titre. Il reste vrai que la formule du sinus aurait pu être acceptable en elle-même indépendamment du reste. : <math> y = \frac{x}{|x|} \sqrt {1-(x)^2} </math> ou <math> y = \frac{|x|}{x} \sqrt {1-(x)^2} </math> mais mon application aux fonctions paramétrées conduit à une erreur, ou celle communément utilisée <math>\pm</math> ou <math>si...alors...</math> conduit à des conditions ou des restrictions. : Si on souhaite associer les parités de x et y, et les respecter à travers le formule qui lie et relie x et y, il faut alors faire intervenir un facteur qui souligne et confirme ce choix ou alors d'énoncer qu’il n'y a pas de relation unique, mais 2 ou plus conditionnées par x ou par son signe, voire pas de relation possible ( en phénoménologie il faudra distinguer chaque cas ). Ici n'est évoqué que le cas du rapport entre sinus et cosinus , mais cela peut concerner d'autres types de fonctions complémentaires ( sh et ch … ). --[[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ([[Discussion utilisateur:Ereduverseau|discussion]]) 10 avril 2013 à 15:40 (UTC) :Mais je vois de quoi tu parles et je pense que je dois revoir cela ; j’y regarde. Je pense qu’il y a un problème de fond car dans le problème posé en exemple la fonction <math> x=cos(t) </math> est paire et <math> y = sin(2t)</math> est impaire. :Comment traduire cela par une expression <math> y=f(x) </math> qui respecte cette condition sans faire intervenir le signe de t ? ''':Je m'interroge sur ce point essentiel ! Écrire que <math> y = 2 x \sqrt {1-x^2} </math> est faux dans le cas présent de fonctions paramétrées puisque le fait de changer t en -t ne change pas le signe de x alors que cela change le signe de y !!!! Je reconnais que mon expression est FAUSSE mais je n'ai pas de réponse univoque sans faire intervenir le signe de x . ''' :N'est-ce pas impossible d’établir une relation par une expression mathématique dans le cas des fonctions ainsi paramétrées, lorsque la parité est différente entre les fonctions paramétrées lorsque le paramètre change de signe ? J'ATTENDS TON POINT DE VUE AVEC IMPATIENCE ET GRAVITé. J’ai ma réponse à ce dilemme mais c’est un des objets de mes recherches. :N'y a t'il pas nécessité dans ce cas que les fonctions aient la même parité pour pouvoir établir une relation ? Ne limite t'on pas en général le domaine de définition de l’expression pour éviter d'évoquer le problème de la parité et rendre cette expression valable ? : ne considérer que t uniquement positif ou négatif dans les fonctions paramétrées permet d’éviter de se poser la question de la parité mais est bien souvent suffisant ! : Dans le cas d’une fonction non paramétrée y = f(x), la parité de f détermine le changement de signe de x implique l'évolution ou non du signe de y, ce qui est évident et bien connu. : Faut-il que je mette ces réflexions sur ton mur plutôt qu'ici ? --[[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ([[Discussion utilisateur:Ereduverseau|discussion]]) 10 avril 2013 à 16:31 (UTC) :OK je suis allé trop vite, je me paie la honte et j'aurais dû réfléchir plus. <math>\frac{x}{|x|}</math> ou <math>\frac{|x|}{x}</math>Mais si tu savais ce qui est en train de se concocter en recherche, tu m'excuserais. :Bon, j’ai oublié la périodicité et donc de '''faire intervenir un <math>mod(\pi)</math> pour les x''' entre autres, et non <math>mod(2\pi)</math> afin d’avoir '''x modulé ramené dans un domaine de définition symétrique compris entre <math>-\pi</math> et +<math>\pi</math>, afin de construire un espace d'étude paritaire de la variable x'''. :'''Ramener le domaine de définition d’une variable à un domaine symétrique par rapport à la valeur centrale, considérée comme 0 par un changement d'origine, et de plus modulé par une valeur ( <math>\pi</math> ou pourquoi pas une autre ) me semble une approche analytique nouvelle de l'étude d’une variable qui je crois est valable et qui n'a pas encore été fort exploitée.''' :Cette façon de procéder dans l'analyse ramène <math>3\frac{\pi}{2}</math> à <math>\frac{\pi}{2}</math> et rétablit ainsi les égalités en valeur et en signes. : Je suis certain qu’il y a un début de vérité dans ma remarque que j’ai retirée mais elle n'a pas sa place dans une leçon que je n'ai pas à donner mais que j’ai reçue. À moins que tu me permettes de corriger mes formules. :Je la reprendrai dans mes recherches. Je te remercie de m'avoir ouvert les yeux car tu m'as permis d'aller plus loin dans ma réflexion et mon approche de la parité.Bonne continuation à toi et à l'équipe--[[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ([[Discussion utilisateur:Ereduverseau|discussion]]) 10 avril 2013 à 11:47 (UTC) :: Mon point de vue est que ces choses sont simples, évidentes, appartiennent aux mathématiques élémentaires et ne sont pas des sujets de recherche. Si tu as l'impression que certains points ne sont pas clairs, c’est tout simplement parce-que tu as des lacunes. La meilleure façon d'y remédier est de t'entraîner à faire des exercices de trigonométrie sur les études de fonctions trigonométriques ou les équations trigonométriques (niveau lycée, mais pas toujours au programme). Désolée pour ma franchise, mais je suis pour dire la vérité aux malades. La théorie des angles orientés, que ce soit modulo π ou modulo 2π, est une théorie achevée. Si tu veux te triturer les méninges en trigonométrie, penche-toi plutôt sur la page [[w:Polynôme minimal trigonométrique]] que j’ai trouvé sur wikipédia. J’aimerais bien connaître la démonstration des formules en fin de page. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 11 avril 2013 à 10:02 (UTC) ea3ppe2fq2zkoa2kwiluon93vw57y9y 0 3046 985009 974415 2026-07-20T18:23:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985009 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant =[[../|Sommaire]] | niveau = 14 | page_liée = Exercices/Exemple de corps }} {{Clr}} == Corps == Rappelons qu'un anneau A est non nul si et seulement, dans cet anneau, <math>0 \neq 1.</math> Reprenons la définition d'un corps donnée dans la leçon [[Anneau_(mathématiques)/Définitions|Anneau (mathématiques)/Définitions]]. {{Définition | titre = Corps | contenu ={{Wikipédia|Corps gauche}} Un '''corps''' <math>(K,+,\times)</math> est un [[Anneau (mathématiques)/Définitions|anneau]] non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse (pour la loi multiplicative de l'anneau), c'est-à-dire que pour tout élément <math>x</math> de <math>K \setminus \{0\}</math>, il existe un élément <math>x'</math> de <math>K</math> tel que <math>xx'=x'x=1</math>. }} Un corps a donc toujours au moins deux éléments. Puisque l'élément 0 d'un anneau est absorbant pour la multiplication et que <math>0 \neq 1</math>, l'élément 0 n'a pas d'inverse. Toujours parce que l'élément 0 est absorbant, l'inverse d'un élément non nul est forcément non nul. Un corps <math>(K,+,\times)</math> est donc un [[Ensemble (mathématiques)|ensemble]] muni de deux [[Loi (mathématiques)/Loi interne|lois internes]] possédant les propriétés suivantes : *<math>(K,+)</math> est un [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions#Groupe : définitions et exemples|groupe abélien]], dont l'[[Loi (mathématiques)/Loi interne#Élément neutre|élément neutre]] est noté <math>0</math> ; *<math>(K\setminus\{0\},\times)</math> est un groupe abélien (son neutre est noté <math>1</math>) ; *<math>\times</math> est [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Anneau|distributive]] par rapport à <math>+</math>. {{Définition | titre = Corps commutatif | contenu ={{Wikipédia|Corps commutatif}} Un '''corps commutatif''' <math>(K,+,\times)</math> est un corps qui est commutatif en tant qu'anneau, c'est-à-dire que sa loi multiplicative est commutative. }} Un corps (commutatif) <math>(K,+,\times)</math> est donc un [[Ensemble (mathématiques)|ensemble]] muni de deux [[Loi (mathématiques)/Loi interne|lois internes]] possédant les propriétés suivantes : *<math>(K,+)</math> est un [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions#Groupe : définitions et exemples|groupe abélien]], dont l'[[Loi (mathématiques)/Loi interne#Élément neutre|élément neutre]] est noté <math>0</math> ; *<math>(K\setminus\{0\},\times)</math> est également un groupe abélien (son neutre est noté <math>1</math>) ; *<math>\times</math> est [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Anneau|distributive]] par rapport à <math>+</math>. Pour certains auteurs, un corps est nécessairement commutatif. Pour désigner un corps non forcément commutatif, ils disent '''corps gauche''' ou '''anneau à division'''. On adopte ici la terminologie de Bourbaki<ref>''Algèbre, chapitres 1 à 3'', Hermann, 1970, p. I.108.</ref> et de S. Lang<ref>''Algèbre'', 3^e éd., Dunod, 2004, p. 91.</ref>. L'exemple le plus célèbre de corps non commutatif est celui des [[w:Quaternion|quaternions]]. {{Exemple|titre=Exemples|contenu= Les ensembles de nombres suivants sont des corps, lorsqu'on les munit de leurs opérations usuelles + et × : *les [[w:Nombre rationnel|rationnels]] <math>\Q</math> ; *les [[Ensemble des nombres réels et sous-ensembles|réels]] <math>\R</math> ; *les [[Nombre complexe|nombres complexes]] <math>\Complex</math>. }} == Morphisme == Un morphisme d'anneaux d’un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul. Par la deuxième propriété, tout élément non nul d’un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul. == Sous-corps == {{Proposition|contenu = Soient <math>K</math> un corps et <math>P</math> une partie de <math>K</math>. Les conditions suivantes sont équivalentes : # P est une partie stable (pour + et <math>\times</math>) de <math>K</math> et <math>P</math> muni des lois induites par celles de <math>K</math> est lui-même un corps ; # <math>P</math> est un sous-anneau de <math>K</math> et <math>(x\in P^*=P\setminus\{0\}\Rightarrow x^{-1}\in P^*)</math> # <math>P</math> est un sous-groupe de <math>(K,+)</math> et <math>P^*=P\setminus\{0\}</math> muni de la loi <math>\times</math> est un sous-groupe du groupe multiplicatif <math>(K^*,\times)</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu = {{Lemme|contenu=Soit <math>(G,\star)</math> un groupe et <math>P</math> une partie non vide de <math>G</math> stable pour <math>\star</math>. Si <math>(P,\star)</math> est un groupe alors c’est un sous-groupe de <math>G</math>. }} {{démonstration déroulante|contenu=Puisque <math>P</math> est un groupe alors il admet un élément neutre noté <math>e_P</math>. On a évidemment <math>e_P\star e_P=e_P</math>. Puisque <math>e_P</math> est un élément de <math>G</math>, il est inversible dans <math>G</math> d'inverse <math>e_P^{-1}</math>. On peut donc écrire <math>e_P^{-1}\star(e_P\star e_P)=e_P^{-1}\star e_P</math>. Par associativité de <math>\star</math>, on a <math>(e_P^{-1}\star e_P)\star e_P=e_P^{-1}\star e_P</math> soit <math>e_G\star e_P=e_G</math> d'où <math>e_P=e_G</math> <math>P</math> est un groupe donc tout élément <math>x\in P</math> admet un inverse <math>y</math> tel que <math>x\star y=y \star x=e_P=e_G</math>, donc <math>y</math> est l"inverse de <math>x</math> dans <math>G</math>, or cet inverse est unique donc <math>x^{-1 }\in P</math> Pour conclure <math>P\subset G</math>, l'élément neutre de <math>G</math> appartient à <math>P</math> et l’inverse de tout élément de <math>P</math> est dans <math>P</math>, donc <math>P</math> est bien un sous-groupe de <math>G</math>. }} Démontrons enfin la proposition. <math>(1\Rightarrow 2)</math> On sait que <math>P^*=P\setminus\{0\}</math> est une partie non vide de <math>K^*=K\setminus\{0\}</math>, stable pour <math>\times</math>. De plus <math>\times</math> est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque <math>P</math> est un corps donc <math>(P^*,\times)</math> est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de <math>(K^*,\times)</math> et donc <math>1\in P</math> et <math>x\in P \Rightarrow x^{-1}\in P</math>. :De même <math>P</math> est une partie non vide de <math>K</math>, stable pour <math>+</math>. De plus <math>+</math> est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque <math>P</math> est un corps donc <math>(P,+)</math> est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de <math>(K,+)</math> et donc <math>0\in P</math> et <math>x\in P \Rightarrow -x\in P</math>. :Ainsi <math>P</math> est stable pour les lois <math>+</math> et <math>\times</math>, contient <math>0</math> et <math>1</math> et est stable par passage au symétrique, donc <math>(P,+,\times)</math> est un sous-anneau de <math>(K,+,\times)</math> <math>(2\Rightarrow 3)</math> <math>P</math> est un sous-anneau de <math>K</math> donc <math>P</math> est un sous-groupe additif de <math>K</math>. :Puisque <math>P</math> est un sous-anneau de <math>K</math>, <math>\times</math> est une loi de composition interne, associative admettant <math>1_K</math> comme élément neutre, de plus si <math>x\in P^*</math> alors <math>x^{-1}\in P^*</math> donc <math>(P^*,\times)</math> est un sous-groupe de <math>(K^*,\times)</math>. <math>(3\Rightarrow 1)</math> <math>(P,+)</math> étant un sous-groupe il est donc non vide de plus <math>+</math> est une loi de composition interne donc <math>P</math> est stable pour <math>+</math>. :De même <math>(P^*,\times)</math> étant un sous-groupe <math>\times</math> est une loi de composition interne, donc si <math>x,y\in P^*</math> alors <math>x\times y\in P</math>. De même si <math>x\in P^*</math> alors <math>0_P\times x=x\times 0_P=0_P \in P</math> donc <math>P</math> est stable pour <math>\times</math>. :Puisque <math>+</math> et <math>\times</math> sont des lois de groupes, elles sont associatives, ont des éléments neutres et à tout élément correspond un symétrique pour chacune des lois. :Puisque <math>(K,+)</math> est abélien, la loi <math>+</math> est commutative. Et puisque <math>K</math> est un corps commutatif, <math>(K^*,\times)</math> est aussi abélien donc la loi <math>\times</math> est commutative. :Puisque <math>K</math> est un corps, la loi <math>\times</math> est distributive par rapport à l'addition ce qui reste vrai dans <math>P</math>. :<math>(P^*,\times)</math> étant un sous-groupe d'élément neutre <math>1_K\neq0_K</math>, <math>P</math> est non nul. :Donc <math>P</math> est un corps.}}{{Définition|contenu = Toute partie <math>P</math> d’un corps <math>K</math> vérifiant les conditions de la proposition précédente est appelé '''sous-corps''' de <math>K</math>.}}{{Exemple|contenu = <math>\Q</math> est un sous-corps de <math>\R</math>, <math>\R</math> est un sous-corps de <math>\Complex</math>. }} {{Propriété|contenu = Soit <math>K</math> un corps. Toute intersection de sous-corps de <math>K</math> est un sous-corps de <math>K</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu = Soit <math>P=\cap_{i\in I} P_i</math> où les <math>P_i</math> sont des sous-corps de <math>K</math>. Chaque <math>(P_i,+)</math> est donc un sous-groupe de <math>(K,+)</math> et chaque <math>(P_I^*,\times)</math> est un sous-groupe de <math>(K^*,\times)</math>. Or l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe donc <math>(P,+)=\cap_{i\in I} (P_i,+)</math> est un sous-groupe de <math>(K,+)</math> et <math>(P^*,\times)=\cap_{i\in I} (P_i^*,\times)</math> est un sous-groupe de <math>(K^*,\times)</math>. Donc d’après la proposition précédente <math>P</math> est un sous-corps de <math>K</math>.}}{{Proposition|contenu = Soit <math>K</math> un corps. Soit <math>P</math> une partie de <math>K</math>. L'ensemble <math>E</math> des sous-corps de <math>K</math> qui contiennent <math>P</math> est non vide, et possède, au sens de l'inclusion, un plus petit élément.}}{{Démonstration déroulante|contenu = <math>E</math> est non vide car il contient <math>K</math>. Posons alors <math>k=\cap_{P'\in E}P'</math>. Donc <math>k</math> est inclus dans tout sous-corps de <math>K</math> contenant <math>P</math>. <math>\forall P'\in E : P\subset P'</math> donc <math>P\subset k</math>. D'après la propriété précédente <math>k</math> est un sous-corps. }} {{Définition | contenu = Le plus petit sous-corps d’un corps <math>K</math> contenant la partie <math>P</math> est appelée '''sous-corps de <math>K</math> engendré par <math>P</math>'''. }} == Corps des fractions == {{Wikipédia|Corps des fractions}} {{Propriété|contenu = Soit <math>(A,+,\times)</math> un anneau (commutatif) intègre. Soit <math>E=A\times A\setminus\{0\}</math>. On munit <math>E</math> : * d’une loi interne <math>+</math> définie par : <math>\forall (a,b),(c,d) \in E :(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)</math> ; * d’une loi interne <math>\times</math> définie par : <math>\forall (a,b), (c,d) \in E : (a,b)\times(c,d)=(ac,bd)</math> ; * d’une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]] <math>\mathcal{R}</math> définie par : <math>\forall (a,b), (c,d) \in E : (a,b)\mathcal{R}(c,d) \Leftrightarrow ad=bc</math> Alors <math>E/\mathcal{R}</math> muni des deux lois induites est un corps. }} {{Démonstration déroulante|contenu = *Montrons que <math>\mathcal{R}</math> est bien une relation d'équivalence. *:<math>\mathcal{R}</math> est bien symétrique. *:<math>\mathcal{R}</math> est évidement réflexive. *:<math>\mathcal{R}</math> est transitive. En effet soit <math>(a,b)\mathcal{R}(c,d)</math> et <math>(c,d)\mathcal{R}(g,h)</math>. On a donc <math>ad=bc</math> et <math>ch=dg</math>. Calculons <math>ahd=adh=bch=bdg=bgd</math> en utilisant la commutativité et l'associativité dans <math>A</math> de la multiplication.. Enfin <math>d</math> étant non nul on a <math>ah=bg</math>. En effet, puisque <math>ahd=bgd</math> alors <math>ahd-bgd=0</math>, soit <math>(ah-bg)d=0</math> par distributivité, et puisque l'anneau est intègre et que <math>d\neq 0</math> alors <math>ah-dg=0</math> et donc <math>ah=bg</math>. * Comme <math>A</math> est intègre, <math>\forall b,d \in A^* : bd\neq 0</math>, les deux lois sont donc bien internes. * Montrons que les deux lois sont bien commutatives, associatives et possèdent un élément neutre. *:On a <math>(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)=(cb+ad,db)=(c,d)+(a,b)</math> puisque <math>(A,+,\times)</math> est un anneau commutatif. *:De même <math>(a,b)\times(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\times(a,b)</math>. *:L'associativité de <math>\times</math> sur <math>E</math> découle de l'associativité de <math>\times</math> sur <math>A</math>. *:Soit <math>(g,h)\in E</math>. On a <math>((a,b)+(c,d))+(g,h)=(ad+cb,bd)+(g,h)=((ad+cb)h+gbd,bdh)=(adh+cbh+gbd,bdh)=(adh+chb+gdb,bdh)=(adh+(ch+gd)b,bdh)=(a,b)+(ch+gd,dh)=(a,b)+((c,d)+(g,h))</math> du fait de l'associativité, commutativité et distributivité des deux opérations sur <math>A</math>. *:On a <math>(a,b)+(0,1)=(a\times 1+0\times b,b\times 1)=(a,b)</math> donc <math>(0,1)\in E</math> est élément neutre pour l’addition sur <math>E</math>. *:De même <math>(a,b)(1,1)=(a\times 1,b\times 1)=(a,b)</math> donc <math>(1,1)</math> est élément neutre pour la multiplication sur <math>E</math>. * Montrons que <math>\mathcal{R}</math> est compatible avec l'addition. *:Soit <math>(a,b)\mathcal{R}(c,d)</math> et <math>(a',b')\mathcal{R}(c',d')</math>, on a donc <math>ad=bc, a'd'=b'c'</math>. De plus <math>(a,b)+(a',b')=(ab'+a'b,bb')</math> et <math>(c,d)+(c',d')=(cd'+c'd,dd')</math>. *:Enfin, <math>(ab'+a'b)dd'=ab'dd'+a'bdd'=adb'd'+a'd'bd=bcb'd'+b'c'bd=bb'cd'+bb'c'd=bb'(cd'+c'd)</math> donc <math>(a,b)+(a',b')\mathcal{R}(c,d)+(c',d')</math>. * Montrons que <math>\mathcal{R}</math> est compatible avec la multiplication. *:On a <math>(a,b)\times(a',b')=(aa',bb')</math> et <math>(c,d)\times(c',d')=(cc',dd')</math>. *: D'où <math>aa'dd'=ada'd'=bcb'c'=bb'cc'</math> et donc <math>(a,b)\times(a',b')\mathcal{R}(c,d)\times(c',d')</math>. * On a donc muni <math>E/\mathcal{R}</math> de deux lois internes, commutatives, associatives et possédant un élément neutre. * Pour affirmer que <math>(E/\mathcal R,+,\times)</math> est un anneau commutatif, il reste à montrer que la deuxième loi est distributive par rapport à la première. *: Soit <math>\overline{(a,b)}, \overline{(c,d)}, \overline{(g,h)}</math> trois classes de <math>E/\mathcal{R}</math>. *:On a <math>(a,b)\times((c,d)+(g,h))=(a,b)\times(ch+gd,dh)=(a(ch+gd),bdh)=(ach+agd,bdh)</math>. *:De même <math>(a,b)\times(c,d)+(a,b)\times(g,h)=(ac,bd)+(ag,bh)=(acbh+agbd,bdbh)</math>. *:Or <math>(ach+agd)bdbh=achbdbh+agdbdbh=acbhbdh+agbdbdh=(acbh+agbd)bdh</math> donc <math>\overline{(a,b)\times((c,d)+(g,h))}=\overline{(a,b)\times(c,d)+(a,b)\times(g,h)}</math>. * Enfin, cet anneau est un corps car si <math>\overline{(a,b)}\ne\overline{(0,1)}</math>, c'est-à-dire si <math>a\ne0</math>, alors <math>(b,a)\in E</math> et <math>\overline{(a,b)}\times\overline{(b,a)}=\overline{(ab,ba)}=\overline{(1,1)}</math>. }} {{Définition|contenu = Le corps ainsi défini est appelé corps des fractions de <math>A</math> et noté <math>Fr(A)</math> ou <math>K(A)</math>. Un élément <math>\left[(a,b)\right]_{\mathcal R}\in Fr(A)</math> est noté <math>\dfrac ab</math>. }} {{Exemple|contenu = <math>\Q</math> est le corps des fractions de <math>\Z</math>.}} {{Propriété|titre=Propriété universelle|contenu= *L'application <math>i:A\to Fr(A),\ a\mapsto\frac a1</math> est un morphisme injectif d'anneaux, qui permet d'identifier canoniquement <math>A</math> à un sous-anneau de <math>Fr(A)</math>. *Le sous-corps de <math>Fr(A)</math> engendré par ce sous-anneau est <math>Fr(A)</math> tout entier. *<math>Fr(A)</math> est donc le « plus petit corps contenant <math>A</math> », c'est-à-dire que pour tout corps <math>L</math> et tout morphisme injectif d'anneaux <math>f:A\to L</math>, il existe un unique morphisme de corps <math>\tilde f:Fr(A)\to L</math> tel que <math>f=\tilde f\circ i</math>. }} == Caractéristique == {{Wikipédia|Caractéristique d'un anneau}} {{Lemme|contenu = Soit <math>A</math> un anneau. L'application <math>\phi: n \mapsto n.1_A</math> est l'unique morphisme d'anneaux de <math>\Z</math> dans <math>A</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu =<math>\phi</math> est clairement un morphisme d'anneaux. Il est unique car on doit avoir <math>\phi(1)=1_A</math> et tout morphisme de groupes de <math>(\Z,+)</math> dans <math>(A,+)</math> est [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions#Parties génératrices|entièrement déterminé par l'image du générateur]] <math>1</math>. }} {{Théorème | contenu = Pour un [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Anneau intègre|anneau intègre]] <math>A</math> (en particulier pour un corps), l'unique morphisme d'anneaux <math>\phi:\Z\to A</math> est : * '''ou bien injectif''' ; dans ce cas <math>A</math> est dit de '''caractéristique nulle'''. L'injection <math>\phi</math> se prolonge en un morphisme de corps <math>\Q\to Fr(A)</math> ; * '''ou bien de noyau <math>p\Z</math> avec <math>p</math> premier''' ; dans ce cas, <math>A</math> est dit de '''caractéristique ''p'''''. L'application <math>\phi</math> induit une injection <math>\Z/p\Z\to A</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu = Le noyau de <math>\phi</math> est un idéal de <math>\Z</math> donc de la forme <math>n\Z</math> pour un certain <math>n\in\N</math>. L'isomorphisme de <math>\Z/\operatorname{Ker}\phi</math> sur <math>\operatorname{Im}\phi</math> canoniquement induit par <math>\phi</math> est un plongement de <math>\Z/n\Z</math> dans <math>A</math>. *Si <math>n=0</math> alors le morphisme <math>i\circ\phi:\Z\to Fr(A)</math> est injectif donc s'étend à <math>\Q</math>, par propriété universelle de <math>Fr(\Z)=\Q</math>. *Si <math>n>0</math> alors <math>n</math> est premier car <math>\Z/n\Z</math> est intègre (comme sous-anneau de <math>A</math>). }} {{Exemple|contenu = *<math>\Complex</math> et ses sous-corps sont de caractéristique nulle. *<math>\Z/p\Z</math> est un corps de caractéristique <math>p</math>. }} == Notes et références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant =[[../|Sommaire]] }} hdts14iuipbei2dpyszbw17yxnmemlq 108 3107 985010 901451 2026-07-20T18:23:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985010 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * {{L|[[Rétrosynthèse]]}} * {{L|[[Chimie combinatoire]]}} * {{L|[[Synthèse de protéines]]}} {{Autocat}} rsufjgnqjy6qvjidrvifpgdovgwexkw 1 3164 985011 951792 2026-07-20T18:23:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985011 wikitext text/x-wiki {{Auteurs crédités après scission|1=Polynômes et degré d’une fonction|2=23 mars 2007}} J’aimerais bien commencer ce cours d’une façon plus simple, le chapitre polynôme étant plutôt destiné à mon avis à être un chapitre de base. Commencer par donner des exemples de polynômes, etc..[[Utilisateur:Hadora|Hadora]] 7 juin 2008 à 12:51 (UTC) = euh = La définition des polynômes est bancale, du coup elle donne lieu à quelque chose de pas très clair dans la partie "unicité" : "on fait X=1" (que'est-ce que ca veut dire ?), et après on a une division, ou du moins une simplifaication par X^p… Une definition simple c’est de dire que c’est une suite à support fini dans k (ou dans un anneau ; en l’occurrence celles des coefficients). On munit cet ensemble de la somme et de la multiplication termes-à-termes et d’un produit un peu artificiel (c_n:=\sum_{k+l=n}a_k b_l ; fait pour que 1 reste neutre). On pose X:=(0,1,0,\dots)… :La définition est en effet un peu faible. À aucun moment, on introduit les polynômes par des suites à support fini, ce qui est la vrai vision des polynômes. L'indéterminée est directement définie comme une variable ! Ce chapitre est à revoir… :[[Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">Cynddl</span>]] ^{<small>&#91;[[Discussion Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">discussion</span>]]&#93;</small>} 23 janvier 2011 à 16:17 (UTC) Bonjour, j’ai involontairement supprimé une grosse partie je ne comprenais pas pourquoi ça allait dans un exemple et je pensais que c’était une copie jusqu’au moment où je me suis rendu compte que… non. Le problème de l’unicité la démonstration rigoureuse est faite jgyzlzlkxvc54nr37huuyff3ym0no21 0 3233 985012 673642 2026-07-20T18:23:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985012 wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = chimie | département = Chimie thérapeutique | niveau = 15 }} Les chimistes synthétisent des molécules dans tous les laboratoires du monde. Dans l’industrie les chimistes synthétisent des médicaments, des polymères, des pesticides, des colorants, des agents du goût, des parfums, etc. Dans les laboratoires de recherches universitaires des composés naturels sont synthétisés pour des études biologiques. Avant la synthèse d’une molécule les chimistes planifient sur le papier les étapes de la synthèse de la molécule désirée. Des chemins possibles sont envisagés grâce à la méthode rétro-synthétique. C’est une approche analytique : on part de la molécule que nous voulons fabriquer (molécule cible) et nous la décomposons en différents [[w:Synthon|synthons]] jusqu'aux possibles produits de départs. [[Fichier:disconnection-1bis.png]] En regardant simplement la structure de l'alpha-sinensal on ne peut pas en déduire directement les cinq produits de départs. Pour arriver à ce résultat une longue analyse et plusieurs déconnections sont nécessaires. L'alpha sinensal contient 3 groupes fonctionnels distincts : un énal (C1-C3), une liason double (C6-C7), et un diéne conjugué (C9-C12). La liason double peut être introduite grâce à la réaction de Wittig. Aussi la déconnexion de la liason C6-C7 donne l'aldéhyde (1) et le sel de phosphonium (2). Les molécules (1) et (2) peuvent être décomposées comme suit : [[Fichier:disconnection-3bis.png]] Maintenant nous pouvons écrire les réactions donnant (1) et (2) : [[Fichier:disconnection-4bis.png]] == Liens externes == * [http://www.uea.ac.uk/~c286/notes/retrosynthesis.htm site en anglais] au1i68zugtpvlxmxpge81efro26qttu 1 3248 985013 953281 2026-07-20T18:23:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985013 wikitext text/x-wiki {{Auteurs crédités après scission|Ensemble (mathématiques)/Définitions|23 mars 2007}} === Définitions === ''"Formellement, le couple (x,y) peut être défini ainsi : si x et y sont deux objets, alors '''(x,y) = {{x},{x,y}}'''. "'' Ce n’est pas plutôt: '''(x,y) = {{x},{y}}''' ? === Suggestions === Bonjour, J’ai décidé de me remettre au mathématique et je pense que ce chapitre mériterais un exemple afin de le rendre plus clair et plus concret par rapport aux précédents. Merci. 7bs3j4dlp6n3pf6efe9ccmoq8vg6dtj 0 3283 985014 977476 2026-07-20T18:23:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985014 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Multiplication/]] | suivant = [[../Simplification/]] | niveau = 8 }} == Inverse d’une fraction == Exemple : Calculer <math>\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}</math> {{Définition | contenu = Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit est égal à 1. }} <math>\frac{2}{3}</math> est donc l'inverse de <math>\frac{3}{2}</math> <math>\frac{3}{2}</math> est donc l'inverse de <math>\frac{2}{3}</math> Pour trouver l'inverse d’une fraction, il suffit donc d'échanger son numérateur et son dénominateur. {{Théorème | titre=Théorème : inverse d’une fraction|contenu= L'inverse de la fraction <math>\frac{a}{b}</math> est la fraction <math>\frac{b}{a}</math> }} === Faites des [[Fraction/Exercices|exercices]] pour apprendre à calculer des inverses === == Division de fractions == L'inverse de 4 est <math>\frac{1}{4}</math> Calculons : <math>3\times \frac{1}{4}=\frac{3\times 1}{4}=\frac{3}{4}</math> === Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse === {{Théorème | titre=Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse|contenu= <math>\frac{a}{b}=a\times\frac{1}{b}</math> }} === Exercice: division de deux fractions === Calculer sous forme de fraction en appliquant le théorème : <math>\frac{4}{5}\over\frac{7}{8}</math> {{Solution | contenu = <math>\frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{8}}=\frac{4}{5}\times\frac{8}{7}=\frac{4\times8}{5\times7}=\frac{32}{35}</math> }} === Que penser de la [[Fraction/Approfondissement|règle]] : diviser deux fractions entre elles revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ? === Il suffit pour cela d'écrire cette opération : <math>\frac{a}{b}/\frac{c}{d}</math><br /> Or, on sait que diviser par un nombre (s'il est non nul), revient à multiplier par son inverse. On peut donc écrire : <math>\frac{a}{b}/\frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}</math>, puis :<br /> <math>\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b \times c}</math>.<br /> Enfin, comme <math>a\times b = b\times a</math>, on a :<br /> <math>\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{c}\times\frac{d}{b}</math>, ou <math>\frac{a}{b}/\frac{c}{d} = \frac{a}{c} \times\frac{1}{\frac{b}{d}}</math> Cette règle est donc vérifiée (vraie). {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Multiplication/]] | suivant = [[../Simplification/]] }} b75btq6pi2329kuvb30g72a56ob9q15 0 3287 985015 749420 2026-07-20T18:24:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985015 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Définitions avancées/]] | suivant = [[../Suites adjacentes/]] | niveau = 14 | page_liée = Exercices/Convergence }} On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à la leçon « [[Suites et récurrence]] ». == Définitions == {{Définition | contenu = * Soit <math>\ell</math> un réel. La suite <math>(u_n)</math> a pour limite <math>\ell</math> si <math>(u_n)</math> est aussi proche de <math>\ell</math> que l’on veut à partir d’un certain rang, c'est-à-dire si quel que soit <math>\varepsilon>0</math>, tous les termes de la suite <math>(u_n)</math> appartiennent à un intervalle <math>\left]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon\right[</math> sauf un nombre fini de termes, autrement dit :<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon</math>.</div>On écrit alors : <math>\lim_{n \to +\infty}u_n=\ell</math> ou, par abus, <math>\lim u_n=\ell</math>, voire <math>u_n \rightarrow \ell</math>. *Une suite est dite '''convergente''' si elle possède une limite finie, et '''divergente''' sinon. Une suite divergente a parfois une limite infinie : *<math>\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty</math> si <math>u_n</math> est aussi grand que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :<div style="text-align: center;"><math> \forall A \in \R\quad\exists N\in \N\quad\forall n\ge N\quad u_n > A </math>.</div> * <math>\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty</math> si <math>u_n</math> est aussi petit que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :<div style="text-align: center;"><math> \forall A \in \R\quad\exists N\in \N\quad\forall n\ge N\quad u_n < A </math>.</div> }} == Limites et relation d'ordre == {{Théorème|contenu= Si deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> admettent respectivement pour limites (finies ou infinies) <math>U</math> et <math>V</math> alors : <div style="text-align: center;">si <math>U<V</math> alors <math>\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad u_n<v_n</math>.</div> }} C'est un cas particulier d'un [[Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre|théorème analogue sur les fonctions]]. On en déduit la propriété de '''passage à la limite dans les inégalités''' : {{Corollaire|contenu= Sous les mêmes hypothèses (<math>u_n\to U, v_n\to V</math>), <div style="text-align: center;">si <math>\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad u_n\ge v_n</math> alors <math>U\ge V</math>.</div>}} On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante. Par exemple, si une suite <math>(u_n)</math> a pour limite <math>U</math> alors, pour tout réel <math>V</math> : *si <math>U<V</math>, on a <math>u_n<V</math> à partir d'un certain rang, ou encore (par [[Implication et équivalence/Contraposées|contraposition]]) : *si <math>V\le u_n</math> pour une infinité d'indices <math>n</math> (en particulier : si <math>V\le u_n</math> à partir d'un certain rang), on a <math>V\le U</math>. == Unicité de la limite == Le théorème suivant légitime la notation <math>\lim_{n\to +\infty}u_n=</math> introduite dans les définitions ci-dessus. {{Théorème | contenu= Une suite a au plus une limite (finie ou infinie).}} {{Démonstration déroulante|contenu= Si une même suite a pour limites <math>\ell</math> et <math>L</math> alors, d'après le corollaire précédent, on a à la fois <math>\ell\ge L</math> et <math>L\ge\ell</math>, donc <math>\ell=L</math>. }} == Théorème des suites convergentes == {{Théorème|contenu=Toute suite convergente est bornée.}} {{Démonstration déroulante|contenu= Supposons que <math>u_n\to U\in\R</math>. Alors, d'après le théorème sur les limites et la relation d'ordre {{supra|Limites et relation d'ordre}}, on a par exemple <math>u_n<U+1</math> à partir d'un certain rang <math>N_1</math> et <math>u_n>U-1</math> à partir d'un certain rang <math>N_2</math>. Pour tout <math>n\ge N:=\max(N_1,N_2)</math>, on a donc : <math>|u_n|\le|u_n-U|+|U|<1+|U|</math>, si bien que la suite est bornée. }} == Théorème de la limite monotone == {{Théorème | contenu= Toute suite monotone admet une limite, finie ou infinie.}} {{Démonstration déroulante|contenu=C'est un cas particulier du [[Fonctions d'une variable réelle/Limites#Théorème de la limite monotone|théorème de la limite monotone pour les fonctions]], puisqu'une suite numérique monotone n'est autre qu'une fonction monotone de <math>\N</math> dans <math>\R</math>. }} Autrement dit (compte tenu du théorème précédent) : *toute suite croissante et majorée converge ; *toute suite croissante et non majorée tend vers <math>+\infty</math> ; *toute suite décroissante et minorée converge ; *toute suite décroissante et non minorée tend vers <math>-\infty</math>. == Suite de Cauchy == On dit qu'une suite numérique <math>(u_n)</math> est [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|de Cauchy]] si :<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall p,q\ge N\quad\left|u_p-u_q\right|\le\varepsilon</math>, c'est-à-dire si les termes de la suite <math> (u_n) </math> tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand <math> n </math> devient grand. Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy. == Théorème de comparaison avec une suite géométrique == {{Théorème|contenu= Soient <math>(u_n)</math> une suite strictement positive et <math>k</math> un réel. #Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\le k</math> et si <math>k<1</math>, alors <math>\lim u_n=0</math>. #Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge k</math> et si <math>k>1</math>, alors <math>\lim u_n=+\infty</math>.}} {{Démonstration déroulante|contenu= Pour le premier point (généralisé et précisé), voir [[Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 1]]. Le second point équivaut au premier, en remplaçant la suite <math>(u_n)</math> par la suite <math>(1/u_n)</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Définitions avancées/]] | suivant = [[../Suites adjacentes/]] }} c0vcn84rzp9n9m19kt1tm3lt9qnk738 0 3302 985016 967598 2026-07-20T18:24:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985016 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Définition/]] | suivant = [[../Soustraction/]] | page_liée = Exercices/Addition | niveau = 2 }} == Généralité == {{Définition | contenu = Additionner signifie ajouter en comptant, c'est-à-dire faire le total (ou somme) de plusieurs nombres. }} {{Exemple | contenu = 5 pommes plus 2 pommes font 7 pommes. }} {{Propriété | contenu = Le signe de l’addition est le symbole <math>+</math>. On peut lire <math>3+2=5</math> comme « trois plus deux font cinq » (ou égalent cinq) ou « trois et deux font cinq ». }} == Ajouter deux nombres entiers à un chiffre == === Ajouter 0 à un nombre === {{Définition | contenu = Tout d’abord, il faut savoir que l'addition d’un nombre et de zéro donne toujours ce nombre. On dit que 0 est l'élément neutre de l'addition. }} {{Exemple | contenu = * <math>1+0=1</math> * <math>6+0=6</math> * <math>123+0=123</math> }} === Ajouter deux nombres entiers à un chiffre === {{Définition | contenu = Pour ajouter des nombres à un chiffre, il suffit d’utiliser la [[../Annexe/Table d'addition|table d'addition]]. Elle donne la somme de deux nombres à un chiffre. }} {{Exemple | contenu = * <math>5+7=12</math> * <math>3+4=7</math> * <math>8+9=17</math> }} {{Attention | Avec_fond = oui | Il faut apprendre la table d'addition par cœur ! L'objectif est de pouvoir additionner des chiffres mentalement sans utiliser la table d'addition. }} == Ajouter deux nombres entiers à plusieurs chiffres == === Introduction === Pour faire l'addition de nombres à plusieurs chiffres, il faut maîtriser la notion d'unité, dizaine, centaine… === Addition sans retenue === Étudions tout d’abord un cas simple. Un cas plus complexe sera abordé dans la section suivante. {{Définition | contenu = Pour additionner deux nombres, on additionne les unités ensemble, puis les dizaines ensemble, puis les centaines, etc. Pour faciliter cette opération, on fait ce que l’on appelle « poser l'addition ». Poser l'addition revient à écrire l'opération d’une manière à faciliter le calcul : on aligne les unités ensemble, les dizaines ensemble, les centaines ensemble, etc. }} Prenons un exemple : l'objectif est de calculer <math>56+12</math>. Pour cela, on pose l'addition, c'est-à-dire qu'on écrit l'opération de manière à aligner le 6 avec le 2 et le 5 avec le 1 : <pre> 56 + 12 ____ </pre> Le trait horizontal sépare l'opération du résultat. Il faut ensuite effectuer l'addition. Le chiffre des unités du résultat est la somme des chiffres des unités des deux termes soit 6+2 = 8. Le chiffre des unités est donc 8. On écrit : <pre> 56 + 12 ____ 8 </pre> Ensuite, il faut calculer le chiffre des dizaines. Pour cela on additionne 5 et 1. On trouve 5+1 = 6. On écrit : <pre> 56 + 12 ____ 68 </pre> On a donc <math>56+12=68</math>. Cette méthode est valable avec des termes de plus de deux chiffres. Elle permet par exemple de calculer <math>48 275 318+30 614 361</math>. <pre> 48275318 + 30614361 __________ 78889679 </pre> Ainsi, <math>48 275 318+30 614 361 = 78 889 679</math>. Si un terme est plus court que l'autre, il suffit de rajouter suffisamment de zéros devant le terme le plus court pour qu’il ait la même taille que le plus long. Par exemple, si on veut effectuer <math>436+12</math>, on fait comme si on additionnait 436 et 012. On obtient alors, en posant l'addition, <math>436+12 = 448</math>. === Addition avec retenue === La section précédente présentait des exemples assez simples. En effet, les sommes des unités, des dizaines, des centaines… étaient toutes inférieures à 10. * Que se passe-t-il si la somme des unités est supérieure à 10 ? * Comment additionner 35 et 48 ? Étudions cet exemple en détail. On remarque que la somme des unités vaut 5+8 = 13. Or 13 est supérieur à 10. La première étape consiste à poser l'addition : <pre> 35 + 48 ____ </pre> Ensuite, on calcule le chiffre des '''unités''' du résultat. Pour cela, on additionne 5 avec 8. On obtient 13. 13 peut être décomposé en 3 unités et 1 dizaine. Par conséquent, le chiffre des unités du résultat sera 3 et on utilise une '''retenue''' de 1. On dit qu'« on pose 3 et on retient 1 ». Pour ne pas oublier la retenue, on la note au-dessus des chiffres des dizaines : <pre> 1 <-- retenue 35 + 48 ____ 3 </pre> Pour calculer le chiffre des '''dizaines''' du résultat, on additionne les chiffres des dizaines des deux termes et la retenue. Ici, on a 3+4+1 = 7+1 = 8. Le chiffre des dizaines est 8. On a donc <math>35+48=83</math>. {{Attention | Avec_fond = oui | Il est très important de calculer d’abord le chiffre des unités puis celui des dizaines. Il faut toujours effectuer le calcul de la colonne de droite vers celle de gauche. }} Étudions un deuxième exemple : <math>635+391</math>. La première étape consiste à poser l'addition : <pre> 635 + 391 _____ </pre> La deuxième étape consiste à calculer le chiffre des unités du résultat : 5+1 = 6. Le chiffre des unités du résultat est 6. On note : <pre> 635 + 391 _____ 6 </pre> Ensuite, on calcule le chiffre des dizaines. On obtient : 3+9 = 12. On pose 2 et on retient 1. On écrit : <pre> 1 635 + 391 _____ 26 </pre> Ensuite, on calcule le chiffre des centaines : 6+3+1 = 9+1 = 10. On pose 0 et on retient 1. On écrit : <pre> 1 635 + 391 _____ 026 </pre> Le fait qu’il reste une retenue prouve qu’il y aura un chiffre des milliers. Pour le calculer, on ajoute un 0 devant 635 et 391. Le chiffre des milliers est alors 0+0+1 = 1. On écrit : <pre> 635 + 391 _____ 1026 </pre> On a donc <math>635+391=1026</math>. == Ajouter plusieurs nombres == Pour additionner plusieurs nombres, la technique est identique. Par exemple, calculons <math>123+654+75</math> La première étape consiste encore à poser l'addition : <pre> 123 + 654 + 75 _____ </pre> On commence ensuite par la colonne de droite. Le chiffre des unités de la somme sera 3+4+5 = 7+5 = 12. On pose 2 et on retient 1. On continue alors avec les dizaines et les centaines : <pre> ligne des retenues : 1 11 11 ligne du premier nombre : 123 123 123 ligne du deuxième nombre : + 654 + 654 + 654 ligne du troisième nombre : + 75 + 75 + 75 _____ _____ _____ ligne du résultat : 2 52 852 </pre> On a donc <math>123+654+75=852</math>. Prenons un deuxième exemple : <math>458+38+139</math>. Posons l'addition : <pre> 458 + 38 + 139 _____ </pre> On effectue alors l'addition comme d'habitude en ajoutant des zéros à la place des « trous ». On obtient : <pre> 2 12 12 458 458 458 + 38 + 38 + 38 + 139 + 139 + 139 _____ _____ _____ 5 35 635 </pre> Pour le chiffre des unités, on a 8+8+9 = 16+9 = 25. On pose donc 5 et on retient 2. On obtient finalement <math>458+38+139 = 635</math> {{CfExo | idfaculté = mathématiques | exercice = Exercices sur l’[[Nombre entier naturel/Exercices/Addition|addition]] }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Définition/]] | suivant = [[../Soustraction/]] }} 3jczctjkyr0fxqp70h210s06vz08oqs 3 3312 985017 983204 2026-07-20T18:24:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985017 wikitext text/x-wiki {{Utilisateur:Crochet.david/Navigation}} {{archives|an|Discussion utilisateur:Crochet.david|2007|2025|image}} __TOC__ == Merci == Merci d'avoir réparé mes maladresses sur l'article [[Recherche:Socio-cognitivisme et développement]]. N'ayant plus rien versé sur Wikiversité depuis des années j'en ai perdu un peu les usages … et eu même su mal à me reconnecter. Je ne l'ai fait qu'à l'occasion d'une faute de frappe qui m'a ouvert un nouveau compte. Est-il possible de fusionner celui-ci avec le précédent (Cl'''a'''ude Piard) avec un nouveau mot de passe car j'ai oublié l'ancien ? Merci d'avance et très bonne année 2025.--[[Utilisateur:Clude Piard|Clude Piard]] ([[Discussion utilisateur:Clude Piard|discuter]]) 2 janvier 2025 à 10:14 (UTC)--[[Utilisateur:Clude Piard|Clude Piard]] ([[Discussion utilisateur:Clude Piard|discuter]]) 2 janvier 2025 à 10:14 (UTC) :{{notif|Clude Piard}}Il n'est pas possible de fusionner 2 comptes utilisateurs. Par contre, si vous avez entré une adresse de courriel, vous pouvez demander le renvoi du mot de passe de votre compte initial. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 2 janvier 2025 à 11:01 (UTC) ::OK et Merci. [[Spécial:Contributions/2A01:E0A:C8A:60C0:9808:E618:68AE:44B3|2A01:E0A:C8A:60C0:9808:E618:68AE:44B3]] 2 janvier 2025 à 16:42 (UTC) == Salut == Je te remercie pour les améliorations que tu apportes au cours d'anthropologie numérique. Puis-je te demander de prévenir quand tu décides de renommer un page sans laisser de redirection ? Cela risque de perturber fortement le déroulement de mon séminaire. C'est là raison pour laquelle je vais restaurer la page en question pour y mettre une redirection. Pour la suite, je te propose de discuter des nouvelles actions de ce type sur les pages de discussion, sans quoi, les participants au séminaire risque de ne plus retrouver les pages qui leur ont été renseignés pour faire leurs travaux hebdomadaire. D'ici là, une belle journée à toi ! =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 15:28 (UTC) :Je vois que c'est toute la leçon que tu es en train de renommer sans laisser de redirection. Puis-je alors te demander de bien veiller à ce que toutes les pages liées à celles que tu supprimes soient mise à jour ! Sans quoi tu vas créer pas mal de confusion dans le déroulement de mon cours. Pour la suite, s'il te plait, ne fais plus ce genre de démarche sans me tenir au courant préalablement. Je me trouve actuellement bien embarrassé face aux étudiants du séminaire que j'organise sur Wikiversité dans le cadre de mon enseignement universitaire. Peux-tu me répondre assez rapidement pour me rassurer pour la suite ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 15:40 (UTC) ::J'ai remis la redirection pour [[L'écoumène numérique]]. Cette page de respectant pas la [[WV:CDN]] je l'ai renommé et fait le lien en leçon sur la page du département, comme beaucoup de leçon qui existait mais sans lien sur la page du département. Ceci vient des travaux à mener depuis le [[Projet:Maintenance]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 18 février 2025 à 15:53 (UTC) :::Sans réponse de ta part, je vais devoir annuler tes suppressions de page sans que l'on puisse en parler avant de sorte que les étudiants qui participent au séminaire puissent réaliser leurs travaux. Reviens vers moi quand tu veux pour en discuter. Mais sache déjà que je ne trouve pas très courtois de supprimer des pages qui font l'objet d'un [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2025|cours hors ligne]] sans en discuter et organiser les choses au préalable. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 15:56 (UTC) ::::Merci pour la maintenance. C'est vraiment chouette que tu y consacres du temps. Mon stress vient du fait que les participants du séminaire que je donne à l'unif ont reçu des instructions en lien avec les pages supprimées. Je vais donc penser à créer un bandeau d'avertissement pour dire qu'il ne faut pas supprimer des pages en les renommant. Mais donc je suis tout à fait partant pour suivre les recommandations [[WV:CDN]]. Et d'ailleurs, si on veut le suivre complètement, il faudrait alors tout renommer avec « Écoumène numérique », ce qui est plus court que « Écoumène numérique et enjeux sociaux ». Tu voudrais t'en charger ou veux-tu que je le fasse ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 16:04 (UTC) :::::N'oublie pas de me notifier dans tes réponses stp, ça me simplifie la vie. =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 16:05 (UTC) ::::::Bon ok. Je vais repasser derrière toi et remettre tout en ordre et en conformité avec [[WV:CDN]]. Puis-je te demander pour la suite de communiquer avec moi avant de m'aider dans la maintenance des pages que j'utilise pour mes cours à l'unif ? N'hésite pas à utiliser les canaux de discussion instantanée avec mon no de téléphone : +32 486 060 016. Je suis sur Signal, whatsapp et telegram. Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 16:18 (UTC) :::::::Il existe directement un serveur [https://discord.gg/mC4mtSDw Discord] pour la communauté Wikimédienne francophone avec des canaux par projet et des salons vocaux utilisables ponctuellement n'importe quand [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 février 2025 à 16:39 (UTC) ::::::::Tu y est souvent connecté ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 février 2025 à 17:14 (UTC) :::::::::Mon PC y est h24 ce qui permet donc de suivre les messages postés n'importe quand. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 février 2025 à 17:43 (UTC) ::::::::::Waw. La question devient donc : es-ce que tu es souvent devant ton PC. Mais elle est trop intime pour que je te la pose =) . En tout cas merci pour ta présence et ta bienveillance ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 février 2025 à 17:52 (UTC) :::::::::::C'est vraiment très variable en fonction des jours. Souvent quand mon robot travaille, c'est que je suis devant mon écran. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 février 2025 à 17:59 (UTC) ::::::::::::ok. bon à savoir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 février 2025 à 18:02 (UTC) == Salut == En supprimant les pages de ma liste de suivi qui n'ont plus lieu d'être, je découvre une page de discussion orpheline. Comme je pense que c'est toi qui a supprimé la page principale, je te laisse replacer la page de discussion au bon endroit. Voici : [[Discussion:La Préhistoire]] Pourrais-tu aussi me dire s'il y a un moyen de supprimer les sous-pages d'une page automatiquement de la même manière que l'on peut les renommer ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 00:47 (UTC) :Bonjour. Le page de discussion sera supprimé puisque la page principale n'existe plus. La [[Spécial:Nuke|suppression en masse]] existe. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 09:13 (UTC) ::La page [[Discussion:La Préhistoire]] n'était pas vierge, elle ne devrait donc pas être supprimée, sans quoi c'est aussi supprimer une partie de l'archivage des interactions entre utilisateurs sur le site et aussi supprimer des interactions entre utilisateur sans leur consentement. Je vais donc les renommer correctement plutôt que les supprimer. Concernant l'outil de suppression de masse, il se focalise sur les modifications d'un utilisateur, il n'aide pas à supprimer les sous-pages d'une page que l'on supprime. Donc cela ne m'aide pas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 15:28 (UTC) :::Je viens de jeter un coup d'œil sur ton [[Spécial:Journal/Crochet.david|journal d'opération]] et je vois que certaines leçons complètes ont été supprimés sans avoir été déplacée. :::C'est le cas de [[L'Antiquité sous tous ses aspects]] qui semble avoir été un plagiat détecté par @[[Utilisateur:Jade éternelle|Jade éternelle]]. Comment as-tu fait pour supprimer toutes les sous-pages ? L'as-tu fait une par une, ou existe-t-il un moyen de toutes les supprimer en même temps que la page principale ? Un peu comme quand on renomme toutes les sous-pages quand on renomme une page principale. Et comment fais-tu pour avoir la certitude d'être face à un plagiat qu'il faut supprimer ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 16:54 (UTC) ::::C'est maqué dans le commentaire, c'est mon robot qui a fait le travail de suppression et comme il fait une action toutes les 5 secondes, cela fait croire que c'est instantanée car l'horodatage n'affiche que les minutes. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 16:57 (UTC) :::::Haaa ! J'avais pas vu. Donc c'est ton robot qui supprime toutes les pages d'une catégorie. Pratique. Il faudrait que j'en achète un =) . Et pour la détection de plagiat, tu utilises quoi ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 17:07 (UTC) ::::::Dans l'historique de toutes les pages, il y a des « Outils externes et statistiques » dont un détecteur de plagiat. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 17:11 (UTC) ::::::Et donc, sans page de catégorie, ton robot, comment fait-il ? Il te dit de le faire à la main ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 17:12 (UTC) :::::::Sans catégorisation, oui, il faut dire au robots la liste des pages à supprimer. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 17:15 (UTC) ::::::::Ah. Autant le faire à la main dans ce cas. Content d'avoir appris tout ça. Belle fin de journée ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 17:19 (UTC) == Bot == Salut, je vois que ton bot est très actif dans un de mes travaux de recherche. Même si je reçois toutes les notifications de changement par mail, je n'ai pas vraiment le temps de faire le suivit de toutes ses modifications pour voir si les choses se passent bien. J'espère donc que tu gères bien les choses à ton niveau, car [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche%3AContribution_%C3%A0_l%27%C3%A9tude_des_espaces_bois%C3%A9s_et_arbustes_de_la_pr%C3%A9fecture_de_Kissidougou&diff=958462&oldid=953404 quand je vois ceci], je me pose des questions. Ce serait d'ailleurs chouette que tu expliques ce que tu fais dans en commentaire de tes modifications. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 30 mars 2025 à 14:04 (UTC) :Bonjour. C'est plein d'espace non visible sur le rendu, mais visible dans le wikicode. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 31 mars 2025 à 16:04 (UTC) ::Ok [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 31 mars 2025 à 20:16 (UTC) :::Bonjour [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], ''plein d'espace visible dans le wikicode'' ? Quand je regarde avec ''modifier le wikicode'' je ne vois pas d'espaces en trop ? : par exemple dans : ''Le village de Bambaya est situé à environ 25 Km'' ? peux-tu éclairer ma lanterne ?, cordialement, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 avril 2025 à 10:46 (UTC) . ::::Bonjour. J'ai mis en photo sur [[discord:channels/537685109718122506/538395609896583168/1358433096768290837|Discord]] la page avant la modification en wikicode et on y voit bien les espaces. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 avril 2025 à 13:31 (UTC) == Expected unconnected page == Bonjour David ! Peux-tu m'expliquer à quoi sert "__EXPECTED UNCONNECTED PAGE__" que ton bot appose en haut de certaines sous-pages ? Je pourrais l'intégrer aux "preloads" des modèles de leçon / cours / etc. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 6 avril 2025 à 09:31 (UTC) :Bonjour. [[mw:Help:Magic_words/fr#Les_sélecteurs_de_comportement]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 avril 2025 à 13:26 (UTC) == Une prise de décision en cours de discussion est initiée == Bonjour Une prise de décision est initiée : [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 19 avril 2025 à 09:25 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Erreur technique dans les cours MOOC == Bonjour à toutes et tous, La [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|prise de décision concernant l'erreur technique dans les cours MOOC]] vient de commencer officiellement. Il n'est plus temps de discuter mais seulement de [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|statuer pour ou contre la suppression du format MOOC]] (jusqu'à ce que le problème soit résolu). {{Centrer|[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|{{Bouton cliquable|Donner son avis officiellement|couleur=bleu}}]]}} Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Message de {{U|Superwide-34}} == Bonjour ! Je ne sais pas comment procéder. Je veux travailler avec un robot. Je veux que vous m'aidiez car vous êtes également un dresseur de bot. Je veux utiliser le bot pour bienvenuter les nouveaux arrivants. J'ai pris la main pour le faire mais c'est très fatigant. Il faut qu'il soit répétitifs. Je demande un compte pour le robot. A très bientôt. [[Utilisateur:Superwide-34|Superwide-34]] ([[Discussion utilisateur:Superwide-34|discuter]]) 20 mai 2025 à 10:58 (UTC) :Bonjour. Dans le fonction disponible avec le robot « [[mediawikiwiki:Manual:Pywikibot|Pywikibot]] », il existe la fonction « [[mediawikiwiki:Manual:Pywikibot/welcome.py|welcome.py]] » qui se charge de faire le " bienvenutage ". Quelle est plus précisément votre demande ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 mai 2025 à 16:35 (UTC) == Wikicode vs HTML == Petite question de femto-détail, parce que j'aime bien comprendre. Si pas le temps de répondre, pas grave. Sinon, grand merci d'avance.<br /> &nbsp; &nbsp; Le bot "Crochet.david.bot" est passé sur ma page d'utilisateur ("PU"), et a remplacé un duo de balises « <nowiki><em>blabla</em></nowiki> », en une paire de simples quotes, « <nowiki>''blabla''</nowiki> », leur équivalent wikicode. Mais quand je regarde ce que le serveur de fr.wikiversity.org a envoyé au final, c'est le même texte entre… deux balises html, savoir ici "<nowiki><i></i></nowiki>". Au final, le changement est invisible.<br /> &nbsp; &nbsp; Ma question : quel est le gain réel de cette transformation ? qu'est-ce qui la justifie ? Sûrement pas les 2+3 = {{unité|5|octets}} caractériels gagnés en espace de sauvegarde, largement reperdus par le "logage" de cet échange :-). Y aurait-il une raison de "sémantique" informatique ? N'aurait-il pas mieux fallu mettre directement les "<nowiki><i></i></nowiki>", ce qui aurait sauvé un peu de temps CPU à chaque réappel de cette PU ?<br /> &nbsp; &nbsp; Merci de ton éclairage. Très cordialement. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 13 juin 2025 à 18:48 (UTC). :Bonjour. Mon robot a des règles de base, tel que celui de remplacer le code HTML par du code wiki, même si le rendu est le même : [[wmdoc:pywikibot/master/api_ref/fixes.html]] [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 15 juin 2025 à 07:13 (UTC) == Débats d'admissibilité == Bonjour, Les [[WV:DDA|débats d'admissibilité]] suivants ne comptabilisent aucun avis depuis plus de deux mois : * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Flash]] (leçon créée en 2007) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Mouvement féministe]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Joomla]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Programmation distribuée]] (leçon créée en 2010) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Collapsologie]] (leçon créée en 2016) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Citoyenneté et empire à Rome (leçon créée en Ie-IIIe siècle)]] (leçon créée en 2018) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Peuples amérindiens]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Création des états modernes en Europe]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage supervisé]] (leçon créée en 2022) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage profond]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Algorithme génétique]] (leçon créée en 2024) Merci d'y donner votre avis ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 23 juillet 2025 à 00:55 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 28 avril 2026 à 18:33 (UTC) </div> <!-- Message envoyé par User:Keegan (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/test&oldid=30471754 --> czflcu3v4g5qkjefp1lfzyx88zou79e 0 3333 985018 911406 2026-07-20T18:24:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985018 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | chapitre = [[../../Addition/]] | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Soustraction/]] | niveau = 4 }} == Ajouter des nombres décimaux == <quiz> { Calculer les sommes suivantes : | type="{}" } {{Unité|35.21|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|62.36|{{Abréviation|m|mètre}}}} = { 97.57 _5 } m {{Unité|47.82|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} + {{Unité|56.72|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} = { 104.54 _6 } km {{Unité|84.3|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} + {{Unité|184.35|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} = { 268.65 _6 } cm {{Unité|985.47|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|184.55|{{Abréviation|m|mètre}}}} = { 1170.02 _7 } m { Calculer les sommes suivantes : | type="{}" } {{unité|648|{{abréviation|m|mètre}}}} + {{unité|736|{{abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|93.4|{{Abréviation|m|mètre}}}} = { 1477.4 _6 } m {{Unité|54.74|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} + {{Unité|947.453|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} + {{Unité|42|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} = { 1044.193 _8 } km {{Unité|739|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} + {{Unité|198.53|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} + {{Unité|97.4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} = { 1034.93 _7 } cm {{Unité|734.36|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|8375.23|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|74.4|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|9.846|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{unité|2746|{{abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|365.1|{{Abréviation|m|mètre}}}} = { 12304.936 _9 } m { Calculer les sommes suivantes : | type="{}" } {{Unité|645|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} + {{Unité|32|{{Abréviation|cm|décimètre}}}} + {{Unité|5.4|{{Abréviation|m|mètre}}}} + {{Unité|250|{{Abréviation|mm|millimètre}}}} = { 6.45 _4 } m + { 3.2 _4 } m + { 5.4 _4} m + { 0.25 _4 } m = { 15.3 _4 } m {{Unité|7545|{{Abréviation|cm|centimètre}}}} + {{Unité|12648|{{Abréviation|mm|millimètre}}}} + {{Unité|534|{{Abréviation|cm|décimètre}}}} + {{Unité|256|{{Abréviation|mm|millimètre}}}} = { 75.45 _5 } m + { 12.648 _6 } m + { 53.4 _4 } m + { 0.256 _5 } m = { 141.754 _7 } m {{Unité|16.48|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} + {{unité|3546|{{abréviation|m|mètre}}}} + {{unité|554|{{abréviation|m|mètre}}}} + {{unité|85|{{abréviation|m|mètre}}}} = { 16.48 _5 } km + { 3.546 _6 } km + { 0.554 _5 } km + { 0.085 _5 } km = { 20.665 _6 } km {{unité|7635|{{abréviation|m|mètre}}}} + 865 dam + 34,5 hm + {{unité|645|{{abréviation|m|mètre}}}} = { 7.635 _5 } km + { 8.65 _5} km + { 3.45 _5 } km + { 0.645 _5 } km = { 20.38 _5 } km {{Unité|6|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} 7 dam + 8 hm {{unité|7|{{abréviation|m|mètre}}}} + 5 hm {{unité|3|{{abréviation|m|mètre}}}} + 3.4 dam = { 6.07 _4 } km + { 0.807 _5 } km + { 0.503 _5 } km + { 0.034 _6 } km = { 7.414 _6 } km </quiz> == Problème == <quiz> { Maman a acheté dans un magasin un corsage coûtant {{unité|24.35|€}}, une jupe valant {{unité|50|€}} et un pyjama de {{unité|18.75|€}}. | type="{}" } À combien s'élève la dépense faite par maman : { 93.1 _4 } € { Une rue a une chaussée large de {{Unité|8.45|{{Abréviation|m|mètre}}}}. Cette chaussée est bordée de chaque côté par un trottoir large de {{Unité|2.25|{{Abréviation|m|mètre}}}}. | type="{}" } Quelle est la distance séparant deux maisons qui se font face : { 13.95 _5 } m { Une école comprend 2 classes longues de {{Unité|7.50|{{Abréviation|m|mètre}}}}. Elles sont séparées par un vestiaire de {{Unité|2.45|{{Abréviation|m|mètre}}}}. L'épaisseur des cloisons est de {{Unité|15|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}. | type="{}" } Quelle est la longueur du linoléum que l’on doit poser dans le couloir devant ces 3 pièces : { 17.75 _5 } m { On pose un bourrelet en haut et en bas d’une porte, ainsi que le long d’un hauteur. La porte mesure {{Unité|0.90|{{Abréviation|m|mètre}}}} de large sur {{Unité|2.20|{{Abréviation|m|mètre}}}} de haut. | type="{}" } Quelle est la longueur du bourrelet nécessaire pour garnir 6 portes : { 24 _4 } m {Un enfant se rend à l'école en vélo dans une ville distante de {{Unité|3.5|{{Abréviation|km|kilomètre}}}}. Après avoir parcouru {{unité|900|{{abréviation|m|mètre}}}}, il s’aperçoit qu’il a oublié un cahier. Il retourne le chercher. | type="{}" } Quelle distance aura-t-il parcourue ce matin : { 5.3 _4 } km. </quiz> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Soustraction/]] }} m1kpnhbyl84cfgcg7j949io7wz6mhbr 0 3335 985019 947093 2026-07-20T18:24:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985019 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Addition/]] | page_liée = Exercices/Définition | niveau = 2 }} == Approche historique == Depuis la nuit des temps, les humains devaient compter les objets autour d'eux : les membres de leur famille, les animaux domestiques, les armes, les animaux attrapés à la chasse, etc. D'abord, ils parvinrent à compter jusqu'à deux puis jusqu'à trois. Ce qui était supérieur à trois était désigné par "beaucoup" (cette caractéristique existe encore en Afrique australe chez les [[w:Khoïsan|Khoïsan]] ou en Amazonie chez les [[w:Munduruku#Mundurukus,_langue_et_numération|Munduruku]]). Au fil des temps, les humains ont appris à compter avec les doigts et s'il se retrouvaient avec plus d'objets que de doigts pour les compter, ils éprouvaient alors des difficultés. Pour compter, ils utilisaient des bâtons, des cailloux, des perles. En comptant les objets, les humains ont réalisé que les objets avaient un nombre. Ils ont remarqué que cinq animaux ou cinq flèches était la même quantité : cinq. Les humains ont progressé depuis 1 jusqu'aux grands nombres très lentement. Il a fallu des millénaires pour qu'hommes et femmes apprécient les nombres entiers naturels. Les nombres entiers naturels ont été les premiers nombres découverts par l'Homme. Ce sont les nombres avec lesquels on peut compter les objets ou les autres éléments physiques. Les civilisations les plus anciennes utilisaient les nombres naturels, bien que ceux-ci étaient représentés différemment selon les civilisations: il y eut les nombres égyptiens, babyloniens, romains et puis arabes. === Nombres romains === Tous les nombres romains sont naturels. Ils représentent donc bien l’ensemble des nombres naturels. Ils sont toujours utilisés aujourd'hui. On utilise 7 symboles pour écrire avec les nombres romains : {|class="wikitable sortable" style="text-align:center; " ! scope="col" | Nombre romain ! scope="col" | Nombre arabe ! scope="col" | Français |----- | I | 1 | Un |----- | V | 5 | Cinq |----- | X | 10 | Dix |----- | L | 50 | Cinquante |----- | C | 100 | Cent |----- | D | 500 | Cinq-cents |----- | M | 1000 | Mille |} Voici les nombres de 1 à 10 en romain : {| class="wikitable" | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X |----- | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |} == Définition == Les entiers naturels sont les nombres « sans virgule » plus grands ou égaux à 0. Ainsi, 0, 1, 2, 3… sont des nombres entiers naturels. '''Il en existe une infinité'''. Les entiers naturels sont les nombres les plus utilisés dans la vie courante : ils permettent de compter les objets. Par exemple, on a 5 pommes, 2 frères ou 1 maison. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté <math>\mathbb{N}</math>. == Le boulier == [[File:Boulier1.JPG|thumb|Représentation de {{formatnum:37925}} sur un boulier chinois]] Pour se représenter les nombres et les manipuler, un outil commode est le [[w:boulier|boulier]]. {{CfExo | idfaculté = mathématiques | exercice = [[Nombre entier naturel/Exercices/Définition|Définition]] }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Addition/]] }} 8gdh2jzqxhnwrsncj906yu49a4corrt 0 3343 985020 980450 2026-07-20T18:24:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985020 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ * {{U'|Fourmidable}} * {{U'|Loicmarly|Loïc Fabiou}} * {{U'|Stefan jaouen}} {{AutoCat}} dfh6d75ew386vqppb49rtu05s5awn7w 0 3344 985021 882759 2026-07-20T18:25:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985021 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Soustraction/]] | page_liée = Quiz/Addition ou soustraction | niveau = 2 }} Un panier contient une pomme et un autre panier contient deux pommes. Faire l'addition, c’est chercher combien il y a de pommes au total. {{Définition | contenu = L''''addition''' est une opération mathématique permettant d'ajouter des éléments. On utilise le signe <math>+</math> pour séparer les éléments à additionner.<br /> Par exemple, l'opération <math>1+2=3</math> est une addition. }} Dans l'addition <math>1+2=3</math> : * 3 est appelé '''somme''' ou '''total'''. * 1 et 2 sont les '''termes''' de l'addition. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Soustraction/]] }} 30r9yj45c1bx1p2pzqjznfvqtbf7e8w 0 3346 985022 882723 2026-07-20T18:25:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985022 wikitext text/x-wiki {{Entête de fiche | idfaculté = mathématiques | nom = l'addition de nombres entiers naturels }} == La table d'addition == <div style="text-align: center;">{{Attention|Avec_fond=oui|Il faut la connaître par cœur}}</div> {| class="wikitable" align="center" cellpadding="10" style="font-weight:bold;font-size:5;" |----- bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | <math>+</math> || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 | 7 || 8 || 9 || 10 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 0 || 0 || 1 || 2 || 3 | 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 1 || 1 || 2 || 3 || 4 | 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 2 || 2 || 3 || 4 || 5 | 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 3 || 3 || 4 || 5 || 6 | 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 4 || 4 || 5 || 6 || 7 | 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 5 || 5 || 6 || 7 || 8 | 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 6 || 6 || 7 || 8 || 9 | 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 7 || 7 || 8 || 9 || 10 | 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 8 || 8 || 9 || 10 || 11 | 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 9 || 9 || 10 || 11 || 12 | 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 |----- | bgcolor={{idfaculté/pastel/mathématiques}} | 10 || 10 || 11 || 12 || 13 | 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 |} == Les étapes pour faire une addition == Nous allons voir les étapes de l'addition à travers l'exemple : <math>142+86=...</math> === Étape 1 : poser l'addition === La première étape consiste à poser l'addition : <pre> 142 + 86 _____ </pre> === Étape 2 : additionner par colonne de la droite vers la gauche === On cherche le chiffre des unités du résultat : <math>6+2=8</math> Pour trouver les chiffres des dizaines du résultat, on fait <math>4+8=12</math>. On pose donc 2 et on retient 1. Le chiffre des centaines vaut <math>1+1=2</math> <pre> 1 142 + 86 _____ 228 </pre> {{Encadre|contenu=<math>142+86=228</math>}} 8jx79ouolkqiexlh7gvhnx8vveiz057 5 3358 985023 952902 2026-07-20T18:25:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985023 wikitext text/x-wiki <span style="font-size:0.82em"> <div style="margin-bottom:1em; padding:.8em; background-color: #FFFFFF; color:#000000; border:2px solid #00006C; font-size:125%; text-align:justify; -moz-border-radius8px;" class="plainlinks"><div style="text-align: center;"> Cette page est réservée aux discussions sur la présentation et la maintenance des pages de la salle café. Pour tous les autres sujets, merci de vous rendre sur la page principale [[Wikiversité:La salle café]] et de suivre les indications qui y sont données. </div></div></span> == Featured Units == Anyway I dont know, where to place my request so thats why in here: Hi I would like to ask you if you can offer (links) here a few featured units (projects, subjects, lessons). I am preparing a poster about Wikiversity for the Polish Wikimedia Conference. Thanks.--[[:en:User:Juan|Juan]] 11:47, 26 March 2007 (UTC) * … == Processus et outils utilisés == Bonjour, Je veux de visualiser les outils utilisés (templates) par les [[administrateurs]], les [[bureaucrates]] et les [[stewards]]. C’est indispensable pour créer des cours destinés à les former, non ? --[[Utilisateur:Copyleft|Copyleft]] 20 mars 2009 à 22:05 (UTC) :Il n'y a pas de modèles, mais seulement des pages spéciales.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 20 mars 2009 à 22:07 (UTC) == Problèmes biologiques == J’ai une crotte aux fesses, je fais comment pour l'enlever en évitant d'étaller des microbes sur ma peau, et sans devoir ensuite laver la peau de mes fesses à cause des bactéries de ma crotte qui provoquent cette odeur nauséabonde… --[[Spécial:Contributions/87.66.187.33|87.66.187.33]] 21 juin 2009 à 17:50 (UTC) :<!--<mode humour>-->L'évacuation des matières fécales humaines en provenance de son propre corps et résultant de la digestion des aliments ingurgités dans les temps précédents est un point d'hygiène qu’il ne faut pas supposer inutile. En effet, les bactéries fécales, très utiles dans les intestins sont nocives en dehors d'eux. Bien entendu qu’il faut pratiquer un nettoyage relatif des zones environnant l'anus sachant qu'en ce lieu, la peau forme de multiple repli et de plus peu être plus ou moins un petit peu hirsute. Bref, un nettoyage est nécessaire, soit par frottement avec une pièce de ouate de cellulose, ou alors par utilisation d’un jet d'eau suivi d’un chauffage par air chaud. Bien entendu, vous pouvez être offusqué de ces deux types d'assainissement de votre troufignard, mais sachez que pendant au moins les premières années de votre existence, vous avez bien été baigné dans votre propre merde et vous vous en réjouissiez surement<!--</mode humour>-->. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 21 juin 2009 à 18:17 (UTC) ::Je ne peux mieux dire. Du [[wikt:κόπρος|κόπρος]] nous passons au [[wikt:πρωκτός|πρωκτός]].-- [[Utilisateur:Grondin|Bertrand GRONDIN]] → ^{<small>([[Discussion Utilisateur:Grondin|écrire]])</small>} 21 juin 2009 à 18:29 (UTC) :::Le Wikiversité n’est pas un cabinet de médecin, mais un projet pour apprendre plein de choses avec les connaissances des autres. [[Utilisateur:Eofren|Eofren]] ([[Discussion utilisateur:Eofren|Discuter Diskuti Discuss]]) 19 décembre 2011 à 23:05 (UTC) == Édition == Pourquoi svp ne peut-on pas répondre aux questions depuis cette page, mais seulement depuis [[Wikiversité:La_salle_café/36_2009|celles de chaque semaine]] ? [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] 5 septembre 2009 à 06:22 (UTC) :La page de discussion de la salle café est là pour parler de la salle café en elle-même, pas des discussions sur les sujets qui sont déposés dans la salle café. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 5 septembre 2009 à 06:25 (UTC) == interwikis manquant == S'il vous plaît ajouter pour [[:fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] et [[:ru:Викиверситет:Портал сообщества]]. Merci, ----[[Utilisateur:Erkan_Yilmaz|Erkan Yilmaz]] <small>utilise le [[Wikiversité:IRC|Wikiversity:Chat]] ({{lien brisé|consulté le=2017-07-22|url=http://java.freenode.net//index.php?channel=wikiversity-en|titre=essayer}})</small> 4 avril 2010 à 14:52 (UTC) == Histologie : discussion == Bonjour ! J’ai pas réussi à éditer mon message (malgré mon petit détour sur la rubrique d'aide, si qq un peut m'éclairer…). J’ai vu le message de JackPott, je pense qu’il y a un lien avec la nutrition, mais pas physiologique, juste cellulaire (sécrétion d'hormones endocrine et exocrines), j’ai abordé ce type de sécrétion dans le cours sur les épithéliums, et je poursuivrais en fonction de mes connaissances sur les autres articles. De plus, j’essaye de penser à ajouter un lien vers ton projet quand ce sera intéressant de rediriger le lecteur. Sinon un participant a commencé à élaborer ce projet avant moi, et j’ai vu qu’il avait mentionné l'appareil digestif, cet article n'ayant pas été rédigé, j'ajoute un lien. Bonne journée ! ~[[Utilisateur:Hadrien-john-diakonoff|Hadrien]] == Lien automatique vers wikitionnaire - je dis non ! == Bonjour, (à la cantonade) Suis-je le seul à trouver désagréable de me retrouver systématiquement sur le wikitionnaire quand je double clique sur un mot pour le sélectionner entier lors de l'édition ? Je n'ai pas trouvé de réglage dans les préférences. Le râleur : — <span style="font-variant:small-caps">[[Utilisateur:Alasjourn|Alasjourn]] </span> <span style="position:relative;top:3px;font-size:0.8em">([[Discussion Utilisateur:Alasjourn|D]] - [[Spécial:Contributions/Alasjourn|C]])</span> 30 avril 2013 à 16:43 (UTC) :C'était voté il y a au moins un an, aucune protestation à l'époque. Toutefois début 2013 un patch Mediawiki a saboté son fonctionnement depuis Firefox. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 30 avril 2013 à 17:49 (UTC) :Salut, tu n'es pas le seul à trouver désagréable de se retrouver sur le wiktionnaire. Cela fait pas mal de temps que je peste intérieurement oontre ce truc. J’ai dû me retrouver plusieurs centaines de fois sur le wikitionnaire et cela n'a pas été utile une seule fois. Si on pouvait supprimer ce truc, ce serait un profond soulagement. Je pense que beaucoup d’utilisateurs doivent râler contre ce machin, mais personne n'ose vraiment s'en plaindre, croyant que cela a peut-être une utilité. Une autre râleuse. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 30 avril 2013 à 18:16 (UTC) Ça doit être plus vieux que ça. Ma première intervention date de mai 2011 et j’ai toujours connu ce système. On peut pas refaire le vote, vite fait, tous les trois ? {{sourire}} — <span style="font-variant:small-caps">[[Utilisateur:Alasjourn|Alasjourn]] </span> <span style="position:relative;top:3px;font-size:0.8em">([[Discussion Utilisateur:Alasjourn|D]] - [[Spécial:Contributions/Alasjourn|C]])</span> 1 mai 2013 à 00:07 (UTC) ::Bonjour à tous, il y a aussi les images, quand je clique dessus, cela renvoi sur Commons, c’est possible d’éviter ça aussi ? Cordialement. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 1 mai 2013 à 02:46 (UTC) :::Je peux transformer le renvoi Wiktionnaire en gadget comme sur les autres wikis, par contre pour Commons il n'y a aucun intérêt à voir son image depuis ici car nous ne pouvons pas interagir avec. De plus, par expérience [[q:Fichier:HBalzac.jpg|ce type de page]] ne sert qu’à héberger du vandalisme, et dérouter les nouveaux qui voudraient toucher à l'image ou visualiser sa catégorie. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 1 mai 2013 à 09:45 (UTC) :::{{fait}} J’ai fini la migration car ce gadget affichait à la base un petit popup rapide, avant les différents patchs Mediawiki. Il ne correspond donc plus à ce qui avait été voté. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 1 mai 2013 à 09:58 (UTC) ::::Mille mercis JacquesPote. C’est parfait ! — <span style="font-variant:small-caps">[[Utilisateur:Alasjourn|Alasjourn]] </span> <span style="position:relative;top:3px;font-size:0.8em">([[Discussion Utilisateur:Alasjourn|D]] - [[Spécial:Contributions/Alasjourn|C]])</span> 1 mai 2013 à 10:24 (UTC) == Gestion des images de type captures d'écran sur wikicommons == Bonjour, Toute la question est dans le Titre/Sujet, sur certaines leçons concernant des logiciels (ou d'autres), il est intéressant de capturer des écrans permettant de compléter l'explication textuelle. WikiCommons refuse, semble-t-il et sans doute à juste titre (débordement, publicité, sabotage, malveillance, saturation, …), les captures écran provenant de logiciels commerciaux (en particulier MICROSOFT et ORACLE). Les étudiants de cette session ont pour la plupart respecté des règles supplémentaires que je leur avais donné : surtout pas de logo ni d'image complète d'écran, ni de fenêtre aisément reconnaissable. Malgré cela certains ont vu leurs captures d'écran refusées (d'autres pas). La solution de passer par un serveur externe et d'insérer les images en tant que lien externe ne me satisfait pas ni philosophiquement (cela peut devenir vite ingérable toujours pour les mêmes raisons : débordement, publicité, sabotage, malveillance, saturation, …), ni fonctionnellement puisque l'image n’apparaît pas directement sur la leçon. Pour le moment, je prend acte de cette règle wikicommons et les prochaines leçons de mes étudiants ne comprendront plus de captures d'écrans commerciaux, mais je voudrais rebondir sur une des règles premières WIKIPEDIA '''aucune règle n'est immuable''' pour proposer une discussion de fond sur le sujet '''Captures d'écran pour enseigner'''. Toute la presse, toute l'édition scolaire utilise et intègre des captures d'écran de logiciels commerciaux, pourquoi pas Wikiversité. À bientôt [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 8 décembre 2013 à 17:16 (UTC) :Oui, Wikimedia Commons [[commons:Commons:Captures d'écran|interdit les copies d'écran de logiciel sous droit d'auteur de type propriétaire]]. C’est un travail dérivé d’un logiciel. Il y a aussi la possibilité d'importer les document multimédia sur wikiversité avec cette [[Spécial:Téléverser|page]]. Nous ne pouvons discuter ici du mode de fonctionnement de [[commons:|Wikimedia Commons]]. Il faut le faire [[commons:Commons:Bistro|là-bas]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 8 décembre 2013 à 17:26 (UTC) :: Merci pour ta réponse, tu as parfaitement raison sur la démarche, je construis un argumentaire (que j’espère solide) et soumet ma demande directement sur WikiCommons. À bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 9 décembre 2013 à 20:19 (UTC) == Gestion des liens de précédence entre les diverses parties d’une leçon == Bonjour, Toute la question est dans le Titre/Sujet, les étudiants de ma dernière session et moi-même avons eu pas mal de modifications à faire pour lier les parties de leçons entre elles : chapitre n à chapitre n + 1 (et vice-versa), annexe n à annexe n + 1 (et vice-versa), exemple n à exemple + 1 (et vice-versa)… Ceci étant du à la mission principale de modification en profondeur de leçons existantes. Un exemple : pour une leçon de 10 chapitres existant, je dois insérer un tout nouveau chapitre en seconde position, ceci m'entraine à modifier tous les liens de précédence des chapitres 1 à 10. Comme les règles de précédence (chapitre à chapitre, annexe à annexe, …), sont fixées et toujours les mêmes, ne pourrait-on pas fabriquer un automate ou un outil manuel (peut-être existe t-il déjà) qui après analyse du plan défini dans la première page de la leçon, recalculerait tous les liens de précédence et les insérerait automatiquement dans les modèles '''Chapitre''' et '''Bas de page''' de chacune des pages à modifier? À bientôt [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 8 décembre 2013 à 17:32 (UTC) :La technologie wiki ne permet pas d'aller chercher dans la base MySQL un numéro de chapitre via PHP, parce que ces notions sont propres à notre site. :Un JavaScript serait envisageable mais ralentirait considérablement l’affichage et serait soumis à une rapide obsolescence (près de la moitié de nos JavaScripts sont sabotés chaque année par les différentes mises à jour du logiciel Mediawiki). :[[Utilisateur:JackBot/formatage.py|Mon robot en Python]] le faisait toutes les nuits mais non seulement ce n'était pas en temps réel, mais de plus j’avais renoncé à cause d’un haut taux d'erreur. Malheureusement, je doute d’avoir le temps d'ici deux ans pour permettre à tous de le lancer depuis un portail hébergé sur Wikitech de façon infaillible. :Enfin, [[MW:Extension:Scribunto/Lua reference manual/fr|un module en Lua]] pour afficher {{m|Leçon}} sans préciser les numéros serait facile (même sans Lua d'ailleurs), mais pour mettre à jour les en-têtes et bas de page je ne vois pas. :[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 8 décembre 2013 à 18:17 (UTC) : Autre solution, tu me demandes et je te fais ça en un temps-record. J'en ai tellement fait que j’ai pris le coup pour faire cela très rapidement. S'il y a 10 chapitres, insérer un chapitre 2 en corrigeant les liens et incrémenter les numéros des chapitres 3 à 10 ne prend guère plus d’une minute quand on a l'habitude. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 décembre 2013 à 18:28 (UTC) : Bon OK, je vais te livrer le secret qui est inspiré de ce que m'a enseigné Jackpotte. Une fois le chapitre 2 inséré dans le sommaire et créé. Tu fais un Ctrl Clic sur tous les chapitres pour les avoirs tous sur la barre du haut (10 secondes environ). Tu fais un second passage avec ctrl tab "modifier" pour ouvrir en modification tous les chapitres sans attendre que chacun soit ouvert pour passer au suivant (10 à 15 secondes) toujours en enchaînant les ctrl tab, tu fais un troisième passage en faisant les modifs en faisant des copier-coller à partir des noms des pages. Là il faut le faire dans un certain ordre pour obtimiser le temps (30 secondes à 1 mn 10). Et enfin un quatrième passage pour publier. Cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 décembre 2013 à 19:14 (UTC) :: Merci bien à tous, dommage pour le robot Python (même un batch toutes les nuits m'aurait amplement satisfait). J’ai essayé le magique secret sur une petite leçon facile, cela me va bien, j’ai du faire les bas de page en moins d’une minute (je dois encore faire quelques progrès de rapidité…), à bientôt. [[Utilisateur:Mamagalubru|Mamagalubru]] ([[Discussion utilisateur:Mamagalubru|discussion]]) 9 décembre 2013 à 20:45 (UTC) == Joyeuses fêtes ! == Bonnes fêtes et bonne continuation à Wikiversité ! J'encourage la fondation Wikimédia à promouvoir Wikiversité (car encore trop peu de gens connaissent cette plateforme des wikis et se concentrent sur Wikipédia seulement) et lui souhaite de très nombreuses années de réussite. [[Utilisateur:Tom Hollande 1234|Tom Hollande 1234]] ([[Discussion utilisateur:Tom Hollande 1234|discuter]]) 27 décembre 2023 à 20:13 (UTC) :Merci Tom Hollande 1234, bonnes fêtes à toi aussi. [[Utilisateur:Pierre-Alexandre Haquin-Ayesse|Pierre-Alexandre]] 28 décembre 2023 à 11:51 (UTC) == Origine du mot "Xerox" == Ca vient de "xerography" lui-même issu du grec ancien ξηρός, ksēros (« sec »), et γραφή, graphē (« écriture »). (Voir "Google" :---))) 28 juin 2024 à 20:11 (UTC) signé ÉclairEnZ 30ljpgyl24uj5qoslg1k7pxgf9f6kpd 2 3379 985024 947521 2026-07-20T18:25:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985024 wikitext text/x-wiki <div style="text-align: center; margin-top: 3em;">[[Fichier:Dinybot Logo.svg|500px]]</div> {| style="background-color: white; border: 1px solid black; margin: 5em; margin-top: 2em; padding: 2em; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;" | <span class="plainlinks"><span class="plainlinks">[http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedista_diskuse:Dinybot&action=edit&section=new Laisser un nouveau message] • [[Spécial:Contributions/Dinybot|Contributions]] ---- '''Ce compte est celui d’un [[Wikiversité:Bot|Bot]] géré par [[w:en:User:Martin Kozák|Martin Kozák]].''' Il permet d'effectuer un travail répétitif et relativement important sur les pages qui serait insurmontable si on devait le faire à la main. <br /><small>'''Administrateurs''': Si ce bot fait mal son travail, '''[[Spécial:Blockip/Dinybot|Arrêtez-le]]''';<br /> '''Contributeurs''' : contacter [[Spécial:Listusers/sysop|un administrateur]]<!--[[Wikipedia:Administrator intervention against vandalism|AIV]]-->.</small> <!--<div style="float: right; margin-left: 10px; margin-bottom: 10px; margin-top: 1px; margin-right: -5px; padding: 2px; background: #F9F9F9; border-style: ridge; border-width: 1px; border-color: #000080; width: 180px;"> [[Image:HONDA ASIMO.jpg|180px]] </div>--> <!--'''AP.BOT''', is short for Andypandy BOT, it was [[Wikipedia:Bots/Requests for approval/AP.BOT|approved in August]].--> Ce robot a été [[Wikiversité:Bot#Bots autorisés et utilisés actuellement|accepté]] pour travailler sur ce domaine<!-- and it's inactive-->. Le robots utilise actuellement [[meta:Using the python wikipediabot|Python Wikipediabot Framework]]. ---- '''Travaux actuels:''' # Assurer la maintenance des liens interwiki entre les différentes [[meta:Wikiversity|Wikiversities]]. <sup style="font-size: 70%;">[[:en:User:Dinybot/Specification#Interwiki Completing Specification|specification]]</sup> <!--: ''currently nothing''--> ---- Vous pouvez contacter le propriétaire pour déposer des requêtes, questions, ou toute autre chose <span class="plainlinks">[http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedista_diskuse:Martin_Kozák&action=edit&section=new en déposant un message]</span> (de préférence) ou [[Spécial:Emailuser/Martin Kozák|en m'envoyant un courrier électronique]]. Sachez que je peux refuser toutes demandes sans en apporter de raison.<br />Je suis parfois sur [irc://irc.freenode.net/wikiquote-cs {{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]. ---- <span class="plainlinks"><small>[[Spécial:Contributions/Dinybot|Contributions]] • [http://tools.wikimedia.de/~interiot/cgi-bin/Tool1/wannabe_kate?username=Dinybot&site={{SERVERNAME}} <span style="color:#002bb8">Compteur</span>] • [{{SERVER}}/wiki/Special:Log?user={{urlencode:Dinybot}} <span style="color:#002bb8">Journaux</span>] • [{{SERVER}}/wiki/Special:Log/move?user={{urlencode:Dinybot}} <span style="color:#002bb8">Pages déplacés</span>] • [[Spécial:Blockip/Dinybot|Blocage d’utilisateur]] • [{{SERVER}}/wiki/Special:Log/block?page=User:{{urlencode:Dinybot}} <span style="color:#002bb8">Historique des blocages</span>] • [{{SERVER}}/w/index.php?title=Special:Log&type=makebot&user=&page=User:{{urlencode:Dinybot}} flag log] • [[Spécial:Makebot/Dinybot|flag bot]]</small></span> |} <!-- [[Catégorie:Bots|{{PAGENAME}}]] --> [[de:Benutzer:Dinybot]] [[en:User:Dinybot]] [[es:Usuario:Dinybot]] gzf56jwd1qp4nbxcwaxsp7jd181zj9f 2 3383 985025 447930 2026-07-20T18:25:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985025 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ __NOEDITSECTION__ <!--<div style="text-align: center; margin-top: 3em;">[[Image:Dinybot Logo.svg|500px]]</div>--> <h2 style="border: 0; padding-left: 3em; font-size: 350%; margin-bottom: 0.5em;">Martin Kozák</h2> {| style="background-color: white; border: 1px solid black; margin: 5em; margin-top: 0.5em; padding: 2em; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;" | style="vertical-align: top; padding-right: 3em;" | [[Image:Martin Kozák.jpg|'''Martin Kozák'''|100px]] | <span class="plainlinks"><span class="plainlinks">[http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedista_diskuse:Martin_Kozák&action=edit&section=new laisser un message] • [[Spécial:Contributions/Martin Kozák|contribs]] • [[w:en:User:Martin Kozák|plus d'informations]] ---- <!--=== Who and why ===--> <!--Je suis '''administrateur''' du projet '''[[q:cs:Wikicitáty:Hlavní strana|Wikiquote Tchèque]]'''--> I'm '''administrator''' of the '''[[q:cs:Wikicitáty:Hlavní strana|Czech Wikiquote]]''' project, operator of complex '''typographic''', code cleanup and redirects replacing '''robot''' at [[w:cs:Hlavní strana|Czech Wikipedia]] and operator of automated '''interwiki robots''' at [http://www.wikiquote.org/ Wikiquote] and [http://www.wikiversity.org/ Wikiversity] projects. ---- <span class="plainlinks">[http://www.martinkozak.net/ www.martinkozak.net]</span> |} [[de:Benutzer:Martin Kozák]] [[en:User:Martin Kozák]] [[es:Usuario:Martin Kozák]] l4trq3cvye5i7ojg6ees0jks5emwqnj 0 3394 985026 984890 2026-07-20T18:25:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985026 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>(labiale : β + σ = ψ = psi)</small><br />barbare (étranger) : | <br />βάϐαρος : |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g (dur : gare) <small>γ se prononce n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = εnngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα, ης |- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>(dentale : δ + σ = σ)</small> | |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé |- | Ζ | ζ | Dzêta | Ζῆτα | zd | |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c | képi, casser |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n | |- | Ξ | ξ | Xi | Ξῖ | x | axe |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé | côté |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh <br /> <small>(palatale : χ + σ = ξ = xi)</small> | le chœur :<br /> ὁ χόρος, ου (khoros) |----- | Ψ | ψ | Psi | Ψῖ | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Ecrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] fxmtvpvn8blt354urt5nhvjutsr5oxf 0 3404 985027 911411 2026-07-20T18:26:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985027 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = informatique | numéro = 4 | précédent = [[../Mise en forme du texte/]] | suivant = [[../Listes/]] }} == Introduction == Les '''liens hypertextes''' sont des références « en ligne » navigables vers des ressources, en particulier d'autres documents HTML, pages Web, ou médias. Deux balises partagent la syntaxe des '''liens hypertextes''' : * Les liens eux-mêmes. * Les marques. == Syntaxe == Les '''liens hypertextes''' sont introduits par la syntaxe générale : <syntaxhighlight lang="html"> <a lien> contenu </a> </syntaxhighlight> où * ''lien'' est la spécification du lien. * ''contenu'' est la portion du document qui référence la ressource. Le « a » vient de la première lettre du mot anglais ''anchor'' (''[[wikt:ancre|ancre]]''). Contrairement à la ''spécification'', le ''contenu'' ne varie pas d’un type de lien à l'autre. == Marques == Les marques servent à introduire un point pouvant être référencé dans le document. Elles sont introduites par la syntaxe <syntaxhighlight lang="html"> <a name="''marque''"> ''contenu'' </a> </syntaxhighlight> où * ''marque'' est le nom de la marque, par lequel on la référencera. == Liens == Les liens servent à référencer un document ou une marque dans un document. Ils sont introduits par la syntaxe <syntaxhighlight lang="html"> <a href="''lien''"> ''contenu'' </a> </syntaxhighlight> où * ''lien'' est une référence non nulle vers une ressource, composée d’une [[w:URL|URL]], suivie optionnellement d’un « # » et d’un nom de marque, qui n'est pertinent que lorsque la ressource est une page HTML. « href » signifie ''hypertext reference''. Dans le cas de référence vers une ressource, la syntaxe est <syntaxhighlight lang="html"> <a href="''ressource''"> ''contenu'' </a> </syntaxhighlight> Dans le cas de référence vers une marque dans une ressource, la syntaxe est <syntaxhighlight lang="html"> <a href="''ressource''#''marque''"> ''contenu'' </a> </syntaxhighlight> Dans le cas où le lien référence une marque interne, l'URL est optionnelle. La syntaxe peut être raccourcie en <syntaxhighlight lang="html"> <a href="#''marque''"> ''contenu'' </a> </syntaxhighlight> Pour ouvrir le lien dans un nouvel onglet sur clic gauche (au lieu de CTRL + clic par défaut) : <syntaxhighlight lang="html"> <a href="''lien''" target="_blank"> ''contenu'' </a> </syntaxhighlight> == Exemple == <syntaxhighlight lang="html"> <html> <head> <title>Page avec des liens</title> </head> <body> <h1>Le HTML</h1> <p> Le site du <a href="http://www.w3.org/">w3</a> a une section présentant les <a href="http://www.w3.org/#news">informations</a>. La section <a href="#infos">informations</a> en fait un résumé. </p> <h2><a name="infos">Informations</a></h2> <p> Les informations ici. </p> </body> </html> </syntaxhighlight> == Remarques == * Les '''liens hypertextes''' s'affichent de manière standard en bleu souligné, pour les distinguer du texte courant. * Il est conseillé de faire des liens descriptifs, comme <syntaxhighlight lang="html"> La section <a href="...">informations</a> de ce site liste les évènements récents. </syntaxhighlight> et non comme <syntaxhighlight lang="html"> Pour avoir les informations sur ce site, <a href="...">cliquer ici</a>. </syntaxhighlight> * Lorsque la ressource est un document HTML, le navigateur l'affiche. Lorsqu’il s'agit d’un média quelconque, le navigateur le télécharge. {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Mise en forme du texte/]] | suivant = [[../Listes/]] }} srvuajrwss5x2qdg1zntdsrft8pxjx5 0 3417 985028 953283 2026-07-20T18:26:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985028 wikitext text/x-wiki {{Quiz | idfaculté = histoire | numéro = 1 | niveau = 10 | précédent = [[../../|Sommaire]] }} Voici le test de ce chapitre, à la fin du test vous aurez une note sur 10: * De 1 à 4: Vous n'avez pas compris ce chapitre, relisez le cours et posez des questions aux [[Première guerre mondiale/Référents|référents]]. * De 4 à 6: Vous avez à peu près compris le cours. * De 6 à 9: Bravo ! * De 9 à 11: Excellent n'hésitez pas à compléter les cours sur ce sujet. <quiz> {Quels sont les pays qui constituaient la triple entente ?} +La France -L'Allemagne -L'Autriche-Hongrie +Le Royaume-Uni +La Russie -La Pologne -L'Italie {Pourquoi l'Autriche-Hongrie a t-elle lancé un ultimatum à la Serbie ? | type="()" } -L'Autriche accusait la Serbie d’avoir commandité un meurtre -L'Autriche voulait s'emparer des mines de Serbie +L'Autriche voulait envoyer des inspecteurs en Serbie {Comment s'appelait l'héritier du trône d'Autriche ? | type="()" } +François-Ferdinand -Francois-Maximilien -Francois-Karl {Quel est le nom de la célèbre bataille pour laquelle des taxis avaient été réquisitionnés ? | type="()" } -La bataille de la Somme +La bataille de la Marne -La bataille de la Loire {Comment s'appelait le généralissime durant la première guerre mondiale | type="()" } +Joffre -Pétain -De Gaulle {À l'arrière, les civils étaient victimes de propagande. | type="()" } +vrai -faux {À quelle date se tient la bataille de Verdun ? | type="()" } -1914 -1918 +1916 {Quel était l'uniforme français en 1914 ? | type="()" } -Bleu azur +Uniforme napoléonien -vert {Quand l'armistice a-t-il été signé? | type="()" } -15 novembre 1918 +11 novembre 1918 -8 novembre 1918 -7 novembre 1918 {Le traité de Versailles a été accepté comme juste par la population allemande | type="()" } -Vrai +Faux {Quand La Russie signe-t-elle un traité de paix séparé avec l'Allemagne ? | type="()" } -1915 -1916 +1917 -1918 </quiz> {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../../|Sommaire]] }} qd2ymlj12mq3rto13dyiss1fojm9tsn 0 3470 985029 967604 2026-07-20T18:26:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985029 wikitext text/x-wiki {{Annexe | idfaculté = informatique | numéro = 3 | niveau = 15 | précédent = [[../Le common language infrastructure/]] | suivant = [[../Librairies graphiques/]] }} == Outils == Afin de programmer en C# il faut un compilateur et une machine virtuel pour CLI. Les implémentations disponible par système d'exploitation : * AIX : ** Environnement d'exécution et compilateur : *** Portable .Net * BSD : ** Environnement d'exécution et compilateur : *** Portable .Net * FreeBSD : ** Environnement d'exécution et compilateur : *** Mono *** Portable .Net * {{Abréviation|GNU|GNU is not unix|en}}/Linux : ** Environnement d'exécution et compilateur : *** Mono *** Portable .Net *** Shared Source CLI ** Environnement de développement : *** MonoDevelop * iOS : ** Environnement d'exécution : *** natif ** Compilateur : *** MonoTouch ** Environnement de développement : *** MonoDevelop + MonoTouch (uniquement sur {{abréviation|Mac OS|Macintosh Operating System|en}} X) * {{abréviation|Mac OS|Macintosh Operating System|en}} X : ** Environnement d'exécution et compilateur : *** Mono *** Portable .Net *** Shared Source CLI * Nokia 770/N800 ** Environnement d'exécution : *** Mono * Solaris 8 : ** Environnement d'exécution et compilateur : *** Mono * Windows NT : ** Environnement d'exécution : *** .Net Framework 3.0 (en natif, le .Net Framework 3.5 étant disponible en téléchargement) ***.net Core (Open Source) ** Compilateur : *** .Net Framework 3.5 SDK *** Shared Source CLI *** Mono *** Portable .Net ** Environnement de développement : *** Visual Studio (disponible en différentes versions, dont Community qui est gratuite) ***Visual Studio Code *** MonoDevelop *** SharpDevelop * Windows Mobile : ** Environnement d'exécution : *** .Net Compact Framework 2.0 (natif) ** Compilateur : *** Pocket C# {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Le common language infrastructure/]] | suivant = [[../Librairies graphiques/]] }} 3rl9kr193bxxx0cqptg083o11ulbp6s 0 3472 985030 967605 2026-07-20T18:26:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985030 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 11 | idfaculté = biologie | numéro = 2 | précédent = [[../La biologie/]] | suivant = [[../La notion d'espèce/]] }} == Introduction == Les êtres vivants, bien qu'étant constitués de molécules ''sans vie'', possèdent des caractéristiques absentes des constructions humaines (dits ''artéfacts'') et de la matière inerte. Différents critères sont avancés pour les en distinguer. Aucun de ceux-ci n'est suffisant pour, à lui seul, prouver qu’une entité est vivante ; il faut donc les considérer dans leur ensemble. Le vivant est généralement défini par trois critères ''principaux'' : # nutrition, # reproduction, # informations '''autonomes'''. Six autres caractéristiques permettent de démarquer le vivant du non-vivant : # complexité, # organisation cellulaire, # métabolisme, # homéostasie, # reproduction, # hérédité. '''Cas particulier des [[w:virus|virus]]''' : <br />Leur appartenance au Vivant fait débat. En effet, leur structure et leur fonctionnement les rapprochent du vivant. Cependant, par définition, un virus ne possède pas d'organisation cellulaire, il ne se nourrit pas et est incapable de reproduction autonome. Le débat fait appel à des notions complexes<ref>[http://www.futura-sciences.com/fr/news/t/medecine/d/les-virus-sont-ils-des-organismes-vivants_3231/ Les virus sont-ils des êtres vivants ?] sur le site [[Futura-Sciences]].</ref>{{,}}<ref>[https://www.linternaute.com/science/biologie/dossiers/06/0602-virus/1bis.shtml Les différences entre virus et êtres vivants], sur le site linternaute.com.</ref>{{,}}<ref>{{Article| titre=Question de la semaine : peut-on considérer les virus comme des "êtres vivants" ?| périodique=Sciences et Avenir| lire en ligne=https://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/biologie-cellulaire/question-de-la-semaine-peut-on-considerer-les-virus-comme-des-etres-vivants_111864| consulté le=2 décembre 2018| auteur=Erwan Lecomte| date=31 mars 2017}}</ref> et reste aujourd'hui ouvert. * Selon de nombreuses définitions<ref>[http://www.teflex.org/fr/qu_est-ce_qu_un_virus.php Qu'est-ce qu'un virus ?], sur le site teflex.org.</ref> du Vivant (entité matérielle réalisant les fonctions de relation, nutrition, reproduction), les virus ne sont pas des êtres vivants ; * mais avec une définition plus large du vivant (entité diminuant le niveau d'[[w:entropie (thermodynamique)|entropie]] et se reproduit en commettant des erreurs), les virus peuvent être considérés comme « vivants ». == La complexité == La vie peut être perçue comme une propriété émergeant de l'organisation d’une variété de molécules et de macro-molécules dans une cellule. C’est la '''complexité''' chimique des biomolécules qui frappe l'observateur en premier lieu. Parmi les biomolécules, les protéines sont constituées d’une chaîne d'acides aminés - dont il existe 23 types différents - agencés selon un ordre bien spécifique. Lors de leur fabrication, la chaîne d'acides aminés se replie dans les trois dimensions de l'espace et devient ainsi une macro-molécule d’une taille relativement grande, qui ne saurait conserver sa structure dans le milieu ambiant inanimé. Exemple extrême de cette complexité, une molécule de titine, protéine impliquée dans la construction du sarcomère des muscles, comprend plus de {{formatnum:30000}} acides aminés. == L'organisation == L'unité de base de la vie est la cellule. Ce n'est que grâce à l''''organisation''' des biomolécules dans la matrice d’une membrane cellulaire que les fonctions vitales de base peuvent être accomplies : transcription de l'{{abréviation|ADN|Acide DésoxyriboNucléique}}, synthèse des protéines, excrétion de produits dérivés toxiques, etc. Notons que les cellules possèdent une structure assez semblable chez tous les êtres vivants, certains de leurs composants se retrouvent dans tous les organismes. Elles ont cependant une structure relativement complexe faisant intervenir nombre de processus différents, interagissant les uns avec les autres. L'organisation fonctionnelle du vivant peut être constatée à plusieurs échelles, que ce soit au niveau des organismes dans leur ensemble, de leurs organes, de leurs tissus, de leurs cellules ou même au sein des molécules constitutives. À chacun de ces niveaux d'organisation correspond une fonction (activité(s) voire rôle) bien précise ; des propriétés émergent a chaque niveau supplémentaire d'organisation. :Par exemple, certaines fonctions ne sont réalisées que par des cellules particulières n'appartenant qu’à un organe : chaque organe a sa fonction bien particulière dans l'organisme. == Le métabolisme == Les êtres vivants possèdent un '''métabolisme''', c'est-à-dire qu’ils sont capables de réaliser un ensemble de réactions chimiques en leur sein (donc des réactions biochimiques), de manière à se développer : s'entretenir et croître. :Ces réactions biochimiques peuvent être séparées en deux groupes : ::- celles qui permettent la création de matières spécifiques ou interspécifiques, ::- celles qui permettent la satisfaction des besoins énergétiques (qui ont un caractère universel) Pour réaliser leur métabolisme, les êtres vivants font des échanges constants de matière et d'énergie avec leur milieu. Ce sont donc des systèmes fermés mais pouvant effectuer des échanges contrôlés avec leur milieu. Il y a des ''flux d'énergie et de matière'' au travers de l'être vivant. Il doit se nourrir, boire, puiser de l'énergie dans la chaleur et les molécules de son milieu (exemple : la respiration) et rejeter ses déchets pouvant éventuellement être utilisés par d'autres organismes. == L'homéostasie == L''''homéostasie''' est la tendance d’un système vivant à combattre l'entropie, c'est-à-dire que le système vivant cherche généralement à conserver son intégrité en opposant des réponses aux stimuli environnementaux. En voici quelques exemples: :- à l'échelle de la cellule, les déchets métaboliques sont excrétés dans le milieu ambiant; :- à l'échelle des tissus et organes, les organismes vivants possèdent des structures permettant d'acheminer eau et molécules gazeuses à chacune des cellules, qui mourront si elle ne peuvent effectuer ces échanges métaboliques; :- à l'échelle de l'organisme, un être vivant dont les réserves énergétiques s'amenuisent ressentira la faim. :- la perception d’un signal de danger entraînera généralement une réponse de type combat ou fuite. Ces quelques exemples démontrent le besoin des organismes vivants de conserver leurs conditions à l'intérieur de certaines limites hors desquelles ils ne peuvent se maintenir en vie. == La reproduction == Les êtres vivants sont capables de '''reproduction''', c'est-à-dire de donner naissance à d'autres organismes vivants semblables ou identiques à eux parce qu’ils ont la capacité de leur transmettre (totalement ou partiellement) leurs caractères. Les êtres humains peuvent se reproduire en toute saison, ce qui n’est pas le cas de toutes les autres espèces vivantes, dont beaucoup ont un cycle de reproduction annuels ou bisannuels; les poissons, les arbres, les oiseaux entament généralement la période reproductive à un moment bien précis de l'année (et pas nécessairement à chaque année). == L'hérédité == Il est généralement clair qu'un chat n’est pas un chien, et que chacune de ces espèces engendrera une descendance de la même espèce. La plupart des êtres humains comprennent instinctivement la notion d'hérédité, mais celle-ci est gouvernée par des règles très complexes : la transmission et la modification de caractéristiques d’une génération à l'autre. C’est grâce aux règles de la transmission des caractères au fil de l'évolution du vivant que l’on peut classer l'Humain parmi les Primates, le dauphin parmi les Mammifères et non les poissons, ou même les Oiseaux comme les descendants de dinosaures. En remontant des organismes les plus complexes au niveau de l'organisation jusqu'aux plus simples, il semble que toute vie terrestre a divergé à partir d’un même ancêtre commun unicellulaire. {{Bas de page | idfaculté = biologie | précédent = [[../La biologie/]] | suivant = [[../La notion d'espèce/]] }} g5o0uu9xi9ey74iq9ui7gpx8xwyxoiz 0 3474 985031 967606 2026-07-20T18:26:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985031 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 11 | idfaculté = biologie | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Les êtres vivants/]] }} La '''biologie''' est l'étude des êtres vivants. Plusieurs disciplines traitent de cette étude, l'abordant sous différents aspects. Les disciplines étudiant les différentes échelles d'organisation et de fonctionnement des êtres vivants sont les suivantes : * la '''biochimie''' étudie les biomolécules et les réactions chimiques ayant lieu au sein des cellules * la '''génétique''' étudie la transmission des caractères à travers les générations d'individus (l'hérédité) * la '''cytologie''' étudie les cellules en particulier * l''''histologie''' étudie les différents types de tissu et les cellules les composant * l''''anatomie''' étudie l'agencement de ces différents tissus * la '''physiologie''' étudie le fonctionnement général des organismes vivants, de leurs organes et de leur organisation, de leurs structures et de leurs tissus * l''''écologie''' étudie les interactions entre les êtres vivants et leur environnement * la '''biologie des populations '''étudie les populations d'êtres vivants. Les disciplines étudiant la diversité et l'évolution des êtres vivants sont les suivantes : * la '''systématique''' ou '''taxinomie''' décrit les caractères distinctifs des êtres vivants et les regroupe en entités appelées taxons (familles, genres, espèces, etc.) afin de pouvoir les nommer et les classer * la '''microbiologie''' étudie la diversité des micro-organismes, soit les Archées, les Eubactéries et les protozoaires * la '''zoologie''' étudie le règne animal * la '''botanique''' étudie les règnes des plantes et des mycètes (champignons) * la '''paléontologie''' étudie les restes fossiles des êtres vivants du passé * la '''biologie de l'évolution''' étudie les modifications génétiques acquises par les êtres vivants au fil des générations. C’est une science controversée car des groupes de pression majoritairement religieux tentent d’en réfuter les principes. À ces disciplines fondamentales doivent s'ajouter des aspects multidisciplinaires : * la '''biophysique''' qui étudie le fonctionnement des êtres vivants au moyen de théories et/ou de modèles physiques * la '''biologie moléculaire''' qui étudie les mécanismes de fonctionnement de la cellule au niveau moléculaire. Elle se rapproche de la biochimie et de la génétique au niveau moléculaire * la '''biogéographie''' qui étudie la vie et la répartition des êtres vivants à la surface du globe. Il existe aussi des disciplines appliquées : * les '''biotechnologies''', application de la science et de la technologie aux organismes vivants à d’autres matériaux, pour la production de savoir, biens et services à grande échelle * l''''agronomie''', application de la science et de la technologie à l'agriculture et l’'''agro-alimentaire''', application à la transformation des produits alimentaires * le '''génie biomédical''', application de la science et de la technologie à la conception de dispositifs médicaux. {{Bas de page | idfaculté = biologie | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Les êtres vivants/]] }} lop2tilgusjkq3rzmjlwftlipop89zm 12 3493 985032 964558 2026-07-20T18:26:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985032 wikitext text/x-wiki Cette page d'aide a pour but de donner une définition du niveau 11 en fonction du contexte. En effet, le niveau n'a pas la même signification dans toutes les facultés. Pour signaler une leçon de niveau 11, utiliser le modèle {{m|niveau}}. L'ensemble des leçons de niveau 11 sont disponibles sur la page [[:Catégorie:Leçons de niveau 11]]. Le niveau 14 correspond globalement au cas d’un étudiant ou d'une étudiante de 15 ans, ayant commencé ses études dans le domaine concerné (n'ayant pas suivi d’autre cursus), et n'ayant jamais redoublé. == Selon les pays == === France === En France, ce niveau correspond à la première classe de lycée général et technologique, appelée '''seconde de détermination''' et comportant des options ; ou, dans le cas d’un lycée professionnel, aux classes préparant à un '''CAP''' ou un '''BEP''' ({{1re}} et {{2e}} années). ; Lycée général et technologique (CITE 3) : [[Seconde générale et technologique (France)]] ; Lycée professionnel (CITE 3) : L'enseignement dans un lycée professionnel est une formation axée principalement sur le métier support. La partie professionnelle est d'environ {{unité|50|%}} de l'emploi du temps et est souvent de la réalisation pratique en atelier. : L'enseignement a pour but de former en {{unité|2|ans}} minimum à un métier, donc une possible vie active ou alors une poursuite d'études vers une filière de baccalauréat professionnel. : Chaque corps de métier a presque son CAP ou BEP. : Ce niveau correspond à la deuxième année de BEP (celui-ci étant effectué en deux ans). : Ce niveau correspond à la seconde professionnelle. === Maroc === Ce niveau correspond aux troncs communs scientifiques et techniques. [[Catégorie:Niveau de difficulté|11]] fr8i7cdoaenatw0l34a3g41tydai2wl 108 3498 985033 975050 2026-07-20T18:27:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985033 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ La '''génétique''' (du grec genno ''γεννώ'' = à l'origine de) est la science qui étudie la transmission, la fonction et les propriétés des '''gènes'''. Une de ses branches, appelée '''génétique formelle ou mendélienne''', s'intéresse à la '''transmission des caractères héréditaires entre des géniteurs''' et leur '''descendance'''. Ce terme regroupe un nombre important de '''disciplines''', la plupart associée à la '''biologie'''. Elle est aussi la branche de la biologie qui traite l’Acide DésoxyriboNucléique Nucléique et l’Acide RiboNucléique {{Autocat}} ke5koiebrp83wahbhpb3m6lgdfhat0l 106 3499 985034 980697 2026-07-20T18:27:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985034 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <div style="-moz-column-count:2; column-count:2;"> * {{U'|Urban}} * {{U'|Hohenfels}} * {{U'|brotherbull}} * {{U'|Zalder}} </div> {{AutoCat}} c6gisz3xad31hrsxb4090517dwf6z2o 0 3502 985035 911424 2026-07-20T18:27:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985035 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = | page_liée = Exercices/Comportement | niveau = 11 }} == Comportement statique == ; Valeur moyenne maximale <math>I_{0M}</math> de l'intensité du courant direct C'est l'intensité du courant que peut supporter la diode si la température de sa jonction est inférieure à une température limite <math>\theta_{jM}</math>.<br />Actuellement, pour certaines diodes, la valeur <math>I_{0M}</math> atteint {{Unité|3|{{Abréviation|kA|kilo-ampère}}}}. ; Tension inverse maximale C'est la tension <math>V_{RM} = V_{KA max}</math> qui peut être appliquée en permanence entre la cathode et l'anode dans le sens bloquant. Au delà de cette valeur, le courant inverse, d'intensité <math>I_R</math>, est susceptible de provoquer la destruction du composant. ; Tension résiduelle à l'état passant C'est la différence de potentiel <math>u</math> entre l'anode et la cathode lorsque la diode est conductrice. Souvent, on peut utiliser un modèle linéaire de la diode et exprimer ainsi <math>u</math> par la relation : <math>u = U_s + R_di</math>. ;Perte de puissance En général, l'intensité <math>i</math> est une fonction périodique du temps. La grandeur à considérer est alors la puissance moyenne P : <math>P = {1 \over T} \int\limits_{0}^{T} u i dt = {1 \over T} \int\limits_{0}^{T} \left ( U_s i + R_d i^2 \right )dt</math> Notons <math>\overline{i}</math> la valeur moyenne de <math>i</math> et <math>I</math> sa valeur efficace : <math>P = U_s \overline{i} + R_d I^2</math> Ce résultat montre que pour une même intensité moyenne <math>\overline{i}</math>, la puissance dissipée dans la diode dépend de l'intensité efficace <math>I</math>, donc de la forme du courant.<br />Pour que la température limite de jonction, <math>\theta_{jM}</math>, ne soit pas atteinte, il est le plus souvent nécessaire de monter la diode sur un dissipateur thermique. == Comportement dynamique == ; Expérience Un générateur G alimente une diode.<br />La force électromotrice <math>e_G</math> de G prend 2 valeurs <math>E_1</math> et <math>-E_2</math>.<br />La résistance interne de G est égale à <math>R_{g1}</math> quand <math>e_G = E_1</math> et <math>R_{g2}</math> quand <math>e_G = - E_2</math>. === Le temps de recouvrement === Lorsqu'une diode, parcourue par le courant direct d'intensité <math>I_F = \frac{E_1}{R_{g1}}</math>, est brusquement soumise à une tension inverse, le blocage du composant ne se produit pas instantanément. Un courant bref parcourt alors la diode de la cathode vers l'anode pendant une durée appelée ''temps de recouvrement inverse''. L'intensité <math>i</math> de ce courant prend tout d’abord la valeur <math>i_r = - \frac{E_2}{R_{g2}}</math>, puis sa valeur absolue décroît. Pour une diode rapide, le temps de blocage est de l’ordre d’une dizaine à quelques centaines de nanoseconde. La forme précise du courant est imposée par le type de diode et les caractéristique du reste du circuit.<br />En fait, le courant qui circule pendant ce temps de recouvrement met en jeu une quantité d'électricité <math>Q_r</math> appelée ''charge recouvrée''. Cette charge <math>Q_r</math> dépent de <math>I_F</math> et de la diode.<br /><u>Exemple :</u> Pour un <math>I_F</math> = 150 A, <math>Q_r</math> = 35 µC pour une diode rapide de {{Unité|150|{{abréviation|A|ampère}}}} et <math>Q_r</math> = 60 µC pour une diode rapide de 800 A ;Conséquence Lors de chaque blocage, la diode est parcourue par un courant inverse transitoire. Comme elle est soumise, pendant ce même temps, à une tension inverse qui peut être assez grande, le phénomène s'accompagne d’une dissipation d'énergie qui n’est pas toujours négligeable. La perte de puissance qui en résulte est proportionnelle à la fréquence de commutation qui croît en fonction de la tension inverse appliquée lors du blocage.<br />Dans certains dispositifs d'électronique de puissance, le courant inverse de blocage peut créer, pour les composants associés, une surcharge transitoire importante. == Exercices == {{CfExo |align=right | idfaculté = physique |exercice=[[Diode de redressement/Exercices/Comportement|Diode de redressement]] }} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Introduction/]] }} fsmpe9wwu28x20otfwskhjb7p6ktds3 2 3503 985036 967609 2026-07-20T18:27:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985036 wikitext text/x-wiki == Artomome == * Né en 1983 dans les "Alpes vraies". * Étudiant en sociologie à l'université de Grenoble II, mes principaux centres d'intérêt sont la littérature (de préférence contemporaine), le Cambodge, et la philosophie (de loin). Il se trouve que je m'intéresse aussi à la sociologie. * Il m'arrive de créer des articles lorsque, au cours de mes recherches, j’en trouve qui n'existent pas, pour être bien sûr de toujours tout trouver (quelle horreur). * Je contribue itou à Wikipédia [[w:Utilisateur:Artomome]] {{Utilisateur Projet/Socio-anthropologie}} == Créations == La [[Faculté:Socio-anthropologie]], avec [[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]]. 8m8z7npj44l9e3q3bwrjrjl8gdr7kwg 3 3557 985037 952903 2026-07-20T18:27:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985037 wikitext text/x-wiki == formule tex == Salut, bonne année, et bravo pour ton travail… on est les deux seuls qui bossent en ce moment ! J’ai un problème avec les vecteurs : ils ne veulent pas se mettre en petit , même avec textstyle ou scriptstyle. Il y a une astuce ? [[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] 1 janvier 2007 à 19:08 (UTC) :merci…il fallait le trouver ! [[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] 1 janvier 2007 à 19:45 (UTC) == Projet anglais == Salut RM77. J’ai vu que tu étais inscrit pour le projet anglais, mais tu revendiques un niveau C1 à l'écrit, et B2 à l'oral alors que tu te mets un niveau 2 dans ta boite utilisateur. C1, c’est presque l'équivalent langue maternelle (niveau 3/4 dans WP) et B2 c’est le niveau 3 dans WP. Cordialement. [[Utilisateur:Jonathan71|Jonathan71]] 2 janvier 2007 à 15:19 (UTC) == Cours Thermodynamique == Salut RM77 Merci pour tes encouragements. Je ne me formaliserai en rien en cas de modification de ma contribution. C’est passionant de participer à l'aventure du libre et à ce projet qui a l'air tout neuf. Je découvre le principe du Wiki avec joie : simple, il en deviens redoutablement efficace et de manière proportionnelle au nombre de contributeurs. Ca me fait languir de savoir de quoi demain sera fait… Bonne continuation à tous, [[Utilisateur:Mayonaise|Mayonaise]] 2 janvier 2007 à 20:54 (UTC) :Salut Mayo, je suis d'accord avec toi c’est une belle aventure humaine, mais gare à la descente, comme tout il va y avoir ses travers, ses petites luttes de petits chefs, il va falloir une grande rigueur pour pas que ca dérape comme sur d'autres wikis. on est là pour ça, c’est une grande idée que cette wikiversitée. bises [[Utilisateur:DN|DN]] 3 janvier 2007 à 13:45 (UTC) ::Salut DN, je sais pas si c’est très poli de ma part de squatter la page de discussion de RM77, mais je voulais réagir à ta réponse. C’est effectivement un belle aventure humaine, mais je ne partage pas ton pessimisme. Les règles du jeu sont en effet déjà fixées et il est pour moi difficilement envisageable que quiconque à qui on confie ne serais-ce qu'un semblan de pouvoir (qu’il soit issu de privilèges tels que ceux de modération qui sont certainement mérités, ou encore issu d’une notoriété non moins méritée) ne soit pas tenté d’en user, voire d’en abuser ; car la formule devenue leit motiv du canard enchaîné "La liberté de la presse ne s'use que si l’on ne s'en sert pas" s'applique aussi très bien au pouvoir qui s'appuie sur le fait que le bas-peuple (nous en l’occurrence) doit garder l'habitude d’être dirigé… Wikipédia n’est pas une encyclopédie démocratique au sens ou la vérité ne sera pas considérée comme sortant des claviers du plus grand nombre, mais de la source la plus fiable, et il en est apparemment de même pour les arbitrages. Disons donc que, si je suis un fervent défenseur de la démocratie, je ne trouve pas moins ce système imparfait et, dans le cas de Wikipédia, nous ne devons pas perdre notre énergie en débats stériles (ce qui est un point faible de la démocratie à mes yeux, même s'ils peuvent être constructifs), mais faire preuve d'altruisme et de modestie en acceptant de travailler dans l'ombre et de voir réduit à néan des heures de travail s'il le faut. Nous travaillons pour les autres et, comme le disait Colluche "Ce n’est pas parce qu’ils sont (on est, ndlr) nombreux à avoir tort qu’ils ont (on a, ndlr) raison !", ce qui justifie un certain comportement qui pourrait paraître dictateur… À mon avis, il suffit de ne pas perdre son énergie en "guerres de petits chefs", comme tu le dis si bien et une distribution de prix du meilleur troll aux intervenants s'en rendant coupables vaudrait bien de vaines répliques… [[Utilisateur:Mayonaise|Mayonaise]] 4 janvier 2007 à 19:49 (UTC) == help == Salut RM77, si tu peux me donner un peu d'aide, j’essaye de faire un modèle d’utilisateur pour ma page utilisateur (je copie pas mal la tienne j'avoue {{Smiley|sourire}}) mais je galère, je voudrais créer es-3 et ar-1 mais je galère, hésite pas a me donner un coup de main ca serait sympa. Sinon où je peux demander ce genre d'aide ? [[Utilisateur:DN|DN]] 3 janvier 2007 à 13:38 (UTC) == Violation GFDL == En toure franchise, je ne pouvais pas voir que tu t'étais servi de la base de Babel field 2. Dans ce cas, en effet, je ne pense pas que ce soit une violation de la GFDL. Donc tu peux. Par contre pour le modèle ar-1, je ne pense pas que tu ais pu créer ce modèle seul (je me trompe ?). Donc c'en étais bien une. C’est dommage car il y a des règles de fonctionnement et un import est très vite fait (surtout que j’avais expressement demandé à DN de ne pas créer le modèle lui-même pour éviter ce genre de problème). Mais je ne t'en veux pas et je pense que tu fais pas mal de bon boulot sur plein d'autres choses. Mais saches que ce n’est pas ta première violation… tu récidives. Ce n’est pas parce qu’il n'y pas de sanction que ce n’est pas mal ! Même si moi aussi je pense que l’on se casse bien la tête pour pas grand chose je fais des efforts pour appliquer cette règle afin que tout le monde soit content et que la fondation n’est pas de problèmes avec la loi. [[Utilisateur:Sainte-Rose|Sainte-Rose]] ''([http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_Utilisateur:Sainte-Rose&action=edit&section=new joindre])'' 3 janvier 2007 à 14:30 (UTC) == Tes corrections sur la Thermodynamique == Salut, Merci d’avoir corrigé ma formule en Latex. J’ai aussi vu que tu avais mis w: pour mes liens (que j’avais mis sous forme http://gnagnagna) vers des article wikipedia. Sais-tu où je peux trouver des renseignements sur la syntaxe de Wikipedia ? Merci, [[Utilisateur:Mayonaise|Mayonaise]] 4 janvier 2007 à 12:32 (UTC) == Boite utilisateur == J'adore ta boite utilisateur sur la GFDL. T'es trop marrant. [[Utilisateur:Sainte-Rose|Sainte-Rose]] ''([http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_Utilisateur:Sainte-Rose&action=edit&section=new joindre])'' 4 janvier 2007 à 21:01 (UTC) :{{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:RM77|RM77]] 4 janvier 2007 à 21:05 (UTC) == [[Modèle:Chapitre align]] == J’ai réglé le problème d'alignement (t'as raison c’était pas simple) du [[Modèle:Chapitre]]. Je remets donc en place une simple redirection. Et tu remarquera que le modèle Chapitre permet désormais d'ajouter les chapitres précédents et suivants. A+ [[Utilisateur:Sainte-Rose|Sainte-Rose]] ''([http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Discussion_Utilisateur:Sainte-Rose&action=edit&section=new joindre])'' 16 janvier 2007 à 10:25 (UTC) == Merci == [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:21 (UTC) :Boulet ! fallait juste reformulé ou mettre une annotation sur [[Faculté:Langues/Départements]], je vais devoir restaurer et refaire. T'y a été franco pour ce coup. Bon, po grave, c'étais un premier essaie, je savais pas trop quoi mettre. Pour "auto promo", je rappelle que je n'ai jamais signaler l'adresse de notre Wiki-chinois, que je ne souhaite pas la communiqué (ce qui l'exposerait aux vandalismes), et je n'en fais donc pas la promo. Par contre je pense que la méthode (un wiki pour initier une classe, ensuite migrer vers wikiversité) est à diffuser. A+ [[Utilisateur:Yug|Yug]] 29 janvier 2007 à 20:02 (UTC) ::Je m'étais orienté vers une présentation du projet [donc Langue + Culture + Des élèves + une organisation]. Je peux supprimer les 2 dernières mentions (<s>la communauté de mes camarades, notre organisation</s>). As ton avis, ce serait ok ? [[Utilisateur:Yug|Yug]] 29 janvier 2007 à 22:09 (UTC) :::Au lieu de supprimer, pourquoi ne pas le mettre sur la page de discussion ? Comme cela le contenu n’est pas perdu, de plus tu pourras mettre le lien vers votre wiki de groupe ! [[Utilisateur:RM77|RM77]] <=><small>[[Discussion_Utilisateur:RM77|We talk.]]</small> 30 janvier 2007 à 20:04 (UTC) ::::Oui, je peux le mentionner sur la page de discussion. Ensuite : non, je ne veux pas de liens vers notre wiki perso, qui doit rester uniquement à l'usage de étudiants (et professeurs?) de mon UFR. Cela m'évitera de voir des étudiants de Lyon ajouter leur portion de cours, ceux de marseille la leur, et finalement faire de notre cours quelque chose qui ne correspondrait plus à nos sujets d'examen. ::::Donc, mes camarades et moi allons continuer de travailler [seuls et caché] sur notre wiki, '''puis''' nous partagerons une copie finit sur wikiversité. Cette version sera "améliorable selon la politique de Wikiversité". ::::Voilà pour le bilan (que je vais copier coller dans la page de discussion de mon département) ::::Bye. [[Utilisateur:Yug|Yug]] 30 janvier 2007 à 21:49 (UTC) s4swr7dvlwcqueacwieqwhwnx4bmhuj 3 3558 985038 952904 2026-07-20T18:27:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985038 wikitext text/x-wiki == Bibliothécaire == Félicitations, te voilà bibliothécaire ! Continue le bon boulot, personnellement je suis débordé en ce moment, alors j’encourage fortement les bonnes volontés ! [[Utilisateur:Guillom|guillom]] 2 février 2007 à 16:23 (UTC) PS : Pense à t'inscrire sur [[Wikiversité:Administrateur#Liste des administrateurs]]. [[Utilisateur:Guillom|guillom]] 2 février 2007 à 16:27 (UTC) == [[Redresseur]] == Salut, J’ai avancé la leçon sur les redresseurs (bien qu'elle soit loin d’être finie) et j'aimerais savoir si elle est conforme à l'esprit de la wikiversité. Comme t’as plus d'expérience que moi… {{Smiley|sourire}} Merci. [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] 4 février 2007 à 13:47 (UTC) PS : un coup d'œil rapide suffira. Je veux juste savoir si les chapitres sont de taille correcte (ni trop longs, ni trop courts), si le nombre de chapitres est satisfaisant, si j’ai respecté la charte graphique, si j’ai bien utilisé tous les modèles qu’il faut… :Penses tu que je devrais diviser en deux le chapitre [[Redresseur/Redresseur simple alternance monophasé]] ? La leçon est un peu longue avec plusieurs images qui ralentissent le chargement de la page. Le problème, c’est qu'après ça va me faire des titres à rallonge (Redresseur/Redresseur simple alternance non commandé monophasé !!!) … [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] 5 février 2007 à 14:46 (UTC) == Replop == En fait, c’est moi qui vient de créer le modèle [[Modèle: liste des leçons]]. Dans ma tête, une leçon est plus large qu'un cours. Par exemple, [[Électronique de puissance]] est une leçon et [[Redresseur]] est un cours de cette leçon. C’est pour ça que j’ai créé ce modèle. Cependant, on pourrait ne pas faire la distinction, même si je pense que c’est plus agréable de savoir par avance si, quand on clique sur un chapitre, on va tomber sur un chapitre ou sur un autre cours (d'où la différence de vocabulaire). En tout cas, je pense qu’il faudrait réellement penser à une hiérarchie sur la WV. Faculté>Département>Cours>Chapitre, ne suffit pas. Pourquoi ne pas regarder sur les WV dans d'autres langues ? [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] 6 février 2007 à 18:48 (UTC) :Je viens de voir sur [[Wikiversité:Organisation des enseignements]] que l’ensemble des chapitres s’appelle officiellement "leçon" et non "cours" comme je l'avais supposé. À mon avis, il faudrait intercaller au moins 1 niveau entre Département et Leçon. T'as une idée de nom ? [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]}</small> 7 février 2007 à 11:16 (UTC) ::Je viens de penser au terme "module". T'en penses quoi ? [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]}</small> 7 février 2007 à 11:35 (UTC) == Blanchiment == Salut. Je suis désolé, d'habitude je regarde les pages liées avant de blanchir mais là j’ai oublié. Je le ferais plus, promis {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Julien1311|Julien1311]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Julien1311|discuter]]}</small> 8 février 2007 à 17:31 (UTC) == Nouveauté == Salut, {{m|Utilisateur Administrateur}} est arrivée, toute nouveau tout beau ! Si tu souhaites l’utiliser … Cordialement, [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 février 2007 à 21:59 (UTC) == LdQ == Ah ok, je croyais que c’était un truc viscéral ;) Oui c’est sur qu'on risque d'attendre quelques temps avant d’avoir la matière qui puisse justifier ce système. Après, on peut toujours destituer les lecons par la suite si les standards augmentent avec le temps, comme la vague d'AdQ sur wikipédia qui ont été destitués il y'a qulques mois . [[Utilisateur:J.M. Tavernier|J.M. Tavernier]] 19 février 2007 à 18:36 (UTC) == Au départ, oui == Mais je les ai traduite et modifié. Ce sont des tests, je ne sais pas encore si cela va être pour Wikipédia ou pour Wikiversité. Dans tous les cas, c’est différent de tout ce qui existe en langue française : l'import ne peut pas marcher. J’ai tout refondu : le texte à changé, les variables on changé, il y a du traduit, mais environ de 50% d'innovation. C’est pour quoi ? pour préserver les historiques ? [[User:Yug|Yug]] [[User talk:Yug|<small><font style="color:green;">(talk)</font></small>]] 23 février 2007 à 18:51 (UTC) == Merci == Merci de votre bienvenue, RM77. Je réellement ne sais pas le français, et me dis svp si je fais des erreurs! --[[Utilisateur:Chaplin|Chaplin]] 24 février 2007 à 08:18 (UTC) Je te remercie aussi pour la correction des fautes d'orthographie !! [[Fichier:smile.png]] --[[Utilisateur:Faispartie|Faispartie]] 18 mars 2007 à 19:43 (UTC) == Bienvenue == Bonjour, et merci pour la bienvenue. Je contribue principalement sur wikipedia ou je fais surtout de la maintenance. Je ne crois pas avoir la moindre compétence pour rédiger des cours, mais par contre pour tes tâches subalternes, je dis pas… [[Utilisateur:Oxo|Oxo]] 27 février 2007 à 12:59 (UTC) == Aide == Bonjour à tous, Comment s'inscrire dans les "utilisateurs prêt à aider" ? J’ai beau chercher, je ne trouve pas. Merci d'avance. [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] 28 février 2007 à 12:44 (UTC) dwb737sficp71fgsbodjffsdkppkosz 2 3562 985039 951803 2026-07-20T18:28:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985039 wikitext text/x-wiki Bonjour, Je suis ingénieur développement {{Abréviation|R&D|recherche et développement}} en Électronique, dans le domaine des ultrasons de puissance. J’aime les micros(procs), les robots, la voile… Je peux apporter ma maigre contribution dans le domaine des micros de type 6800, 6809, 68000, PIC, 80C51, LPC21xx(ARM7), langages assembleur motorola ou assembleur perso pour le 68000, Delphi, C, et aussi en électronique de puissance. En ce moment, j'apprends Java et le VHDL (aucun rapport entre les deux…) {{Boîte Utilisateur |fr|en-3|Wikilivres}} --[[w:Utilisateur:FredericS|FredericS à wikipedia]] 02 avril 2007 à 17:10 (CET) site http://sites.google.com/site/microsrobots/home tklgidimg8eokmwmwbejodmu6vbujxg 2 3584 985040 967615 2026-07-20T18:28:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985040 wikitext text/x-wiki Bonjour. Je suis Youssef Oualmakran et le même youssefsan sur Wikipédia, Wikibooks, Wiktionary, etc. Pour en savoir plus sur moi, voir [[:b:fr:Utilisateur:Youssefsan]] ou [[:w:fr:Utilisateur:Youssefsan]] == Contributions == Voici une liste non-nécessairement exhaustive, d'autres personnes peuvent bien sûr avoir aussi contribué à ses articles. :N = article que j’ai créée === Java === * [[Java/Annexe/Nombres‎]] * [[Java/Annexe/Documenter un programme‎]] == Liens == * [[Projet:Apprentissage de l'allemand/Élèves]] == Irc == * irc://irc.freenode.net/wikiversity-fr [[en:User:Youssefsan]] jnwfi2021fa98zqf2px2xvwnc5thkl7 0 3601 985041 953286 2026-07-20T18:28:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985041 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre = avere (avoir) | titre_leçon = La conjugaison italienne | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison italienne]] | numéro = 3 | niveau = 2 | précédent = [[../Être/]] | suivant = [[../Verbes réguliers/]] }} {{clr}} {| width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" |----- | height="52" | <div align="center">'''INDICATIF'''</div> |} {| width="100%" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" |----- | bgcolor="#CCEBFF" width="23%" | <div align="center">'''Présent'''</div> | bgcolor="#FFE9BB" width="26%" | <div align="center">'''Imparfait'''</div> | bgcolor="#E6CCF2" width="27%" | <div align="center">'''Futur'''</div> | bgcolor="#BCE9A7" width="24%" | <div align="center">'''Passé simple'''</div> |----- | width="23%" | <div align="center">ho</div> | width="26%" | <div align="center">avevo</div> | width="27%" | <div align="center">avrò</div> | width="24%" | <div align="center">ebbi</div> |----- | width="23%" | <div align="center">hai</div> | width="26%" | <div align="center">avevi</div> | width="27%" | <div align="center">avrai</div> | width="24%" | <div align="center">avesti</div> |----- | width="23%" | <div align="center">ha</div> | width="26%" | <div align="center">aveva</div> | width="27%" | <div 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bgcolor="#BCE9A7" width="24%" | <div align="center">'''Passé antérieur'''</div> |----- | width="23%" | <div align="center">ho avuto</div> | width="26%" | <div align="center">avevo avuto</div> | width="27%" | <div align="center">avrò avuto</div> | width="24%" | <div align="center">ebbi avuto</div> |----- | width="23%" | <div align="center">hai avuto</div> | width="26%" | <div align="center">avevi avuto</div> | width="27%" | <div align="center">avrai avuto</div> | width="24%" | <div align="center">avesti avuto</div> |----- | width="23%" | <div align="center">ha avuto</div> | width="26%" | <div align="center">aveva avuto</div> | width="27%" | <div align="center">avrà avuto</div> | width="24%" | <div align="center">ebbe avuto</div> |----- | width="23%" | <div align="center">abbiamo avuto</div> | width="26%" | <div align="center">avevamo avuto</div> | width="27%" | <div align="center">avremo avuto</div> | width="24%" | <div align="center">avemmo avuto</div> |----- | width="23%" height="13" | <div align="center">avete avuto</div> | width="26%" height="13" | <div align="center">avevate avuto</div> | width="27%" height="13" | <div align="center">avrete avuto</div> | width="24%" height="13" | <div align="center">aveste avuto</div> |----- | width="23%" | <div align="center">hanno avuto</div> | width="26%" | <div align="center">avevano avuto</div> | width="27%" | <div align="center">avranno avuto</div> | width="24%" | <div align="center">ebbero avuto</div> |} {| width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" |----- | height="52" | <div align="center">'''SUBJONCTIF'''</div> |} {| width="100%" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" |----- | bgcolor="#CCEBFF" width="23%" | <div align="center">'''Présent'''</div> | bgcolor="#FFE9BB" width="26%" | <div align="center">'''Imparfait'''</div> | bgcolor="#E6CCF2" width="27%" | <div align="center">'''Passé'''</div> | bgcolor="#BCE9A7" width="24%" | <div align="center">'''Plus-que-parfait'''</div> |----- | width="23%" | <div 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de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison italienne]] | précédent = [[../Être/]] | suivant = [[../Verbes réguliers/]] }} me7jqmez966cj8lpsu0w8r4vzxk75mk 0 3602 985042 953287 2026-07-20T18:28:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985042 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre = essere (être) | titre_leçon = La conjugaison italienne | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison italienne]] | numéro = 2 | niveau = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Avoir/]] }} {{clr}} {| width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" |----- | height="52" | <div align="center">'''INDICATIF'''</div> |} {| width="100%" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" |----- | bgcolor="#CCEBFF" width="23%" | <div align="center">'''Présent'''</div> | bgcolor="#FFE9BB" width="26%" | <div align="center">'''Imparfait'''</div> | bgcolor="#E6CCF2" width="27%" | <div align="center">'''Futur'''</div> | bgcolor="#BCE9A7" width="24%" | <div align="center">'''Passé simple'''</div> |----- | width="23%" | <div align="center">sono</div> | width="26%" | <div align="center">ero</div> | width="27%" | <div align="center">sarò</div> | width="24%" | <div align="center">fui</div> |----- | width="23%" | <div align="center">sei</div> | width="26%" | <div align="center">eri</div> | width="27%" | <div align="center">sarai</div> | width="24%" | <div align="center">fosti</div> |----- | width="23%" | <div align="center">è</div> | width="26%" | <div align="center">era</div> | width="27%" | <div align="center">sarà</div> | width="24%" | <div align="center">fu</div> |----- | width="23%" | <div align="center">siamo</div> | width="26%" | <div align="center">eravamo</div> | width="27%" | <div align="center">saremo</div> | width="24%" | <div align="center">fummo</div> |----- | width="23%" | <div align="center">siete</div> | width="26%" | <div align="center">eravate</div> | width="27%" | <div align="center">sarete</div> | width="24%" | <div align="center">foste</div> 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align="center">'''Présent'''</div> | bgcolor="#FFE9BB" width="26%" | <div align="center">'''Passé'''</div> | width="27%" bgcolor="#E6CCF2" | <div align="center">'''Présent'''</div> | width="24%" bgcolor="#BCE9A7" | <div align="center">'''Passé'''</div> |----- | width="23%" | <div align="center">essere</div> | width="26%" | <div align="center">essere stato</div> | width="27%" | <div align="center">essendo</div> | width="24%" | <div align="center">essendo stato</div> |} {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison italienne]] | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Avoir/]] }} 95l3r654dwsmb4s4q4z27s99b7isujo 0 3632 985043 977496 2026-07-20T18:28:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985043 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Fonctions linéaires/]] | suivant = [[../Équation réduite d'une droite/]] | niveau = 10 }} == Fonctions affines et linéaires == {{Définition | contenu = * On dit qu'une quantité ''f(x)'' est '''''fonction affine''''' d'une autre quantité variable ''x'' quand ces quantités ont une relation décrite par l'équation suivante : <math>f(x)=a\times x+b</math> Le coefficient ''a'' s’appelle '''''coefficient directeur'''''. Le coefficient ''b'' s’appelle '''''ordonnée à l'origine'''''. * Si l'ordonnée à l'origine ''b'' est nulle (b=0), on dit que la fonction est linéaire. * Dans ce cas, ''f'' et ''x'' sont proportionnelles. }} '''Remarque''' : La notation ''f(x)'' se lit "f de x". Elle indique que la quantité ''f'' dépend de ''x''. '''Exemple''' : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros. Notons ''n'' le nombre de séances, ''A'' le coût de n séances avec abonnement, et ''S'' le coût de ''n'' séances sans abonnement. * Exprimer ''A'' et ''S'' en fonction de ''n''. * À quels types de fonctions correspondent ces formules ? {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;"><math>S = 8 \times n\ \ \ \ \ A = 20+5\times n</math></div> La somme ''S'' est proportionnelle au nombre de séances ''n'', et <div style="text-align: center;"><math>S = 8 \times n</math></div> est une relation de proportionnalité. ''S'' est donc une fonction '''linéaire''' de ''n''. La somme A n’est pas proportionnelle au nombre de séances, et <div style="text-align: center;"><math>A = 20+5\times n</math></div> n'est pas une relation de proportionnalité, mais ''A'' est une fonction '''affine''' de ''n''. }} '''Remarque''' : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure. {{Définition | contenu = On appelle f(x) '''''l'image''''' du nombre ''x'' par la fonction ''f''. }} '''Exemple''' : Soit la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>. * Donner les valeurs des coefficients ''a'' et ''b''. * Calculer les images des nombres ''x = 0'', ''x = 2'' et ''x = -3'' par ''f''. {{Solution | contenu = Les coefficients de l'équation <math>f(x)={2}\times{x} +3</math> sont: <math>a=2</math> et <math>b=3</math> Pour calculer l'image des nombres <math>\text{x = 0, x = 2 et x = -3}</math> en fonction de <math>f(x)={2}\times{x}+3</math> il faut remplacer x par sa valeur dans l'équation, soit: '''Pour x=0''' <div style="text-align: center; text-indent: -30%"><math>f(x)= {2}\times{0} +3 = \mathbf{3}</math></div> '''Pour x=2''' <div style="text-align: center; text-indent: -30%"><math>f(x)= {2}\times{2} +3 = 4+3 = \mathbf{7}</math></div> '''Pour x=-3''' <div style="text-align: center; text-indent: -30%"><math>f(x)= {2}\times{-3} +3 = -6+3 = \mathbf{-3} </math></div> }} == Représentation graphique d'une fonction affine == === Tableau de valeurs d'une fonction affine === {{Définition | contenu = Un '''''tableau de valeurs''''' contient dans une première ligne les valeurs de ''x'' et dans la seconde ligne les valeurs de ''f(x)'' correspondantes, calculées avec la formule <math>f(x)=a\times x+b</math>}} '''Exemple''' : Considérons la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>. Compléter le tableau de valeurs suivant : {| class="wikitable" |----- | ''x'' | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |- | ''f(x)'' | | | | | |} '''Solution :''' Par exemple pour la troisième colonne : ''x = 1'' <math>f(x) = f(1) = 2\times 1 +3 = 2+3=5</math>. Cela donne au final : {| class="wikitable" |----- | ''x'' | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |- | ''f(x)'' | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |} === Droite représentative === * Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs, on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de ''x'' et en ordonnées (verticalement) les valeurs de ''f(x)''. '''Exemple''' : Pour la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>. On a complété le tableau de valeurs : {| class="wikitable" |----- | ''x'' | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |- | ''f(x)'' | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |} On obtient donc le graphique suivant : <div style="text-align: center;">[[Fichier:Exemple fonction affine.svg|400px]]</div> {{Définition | contenu = * La représentation graphique d'une fonction affine <math>f(x)=a\times x+b</math> est toujours une droite d'équation <math>y=a\times x+b</math> * Si la fonction est linéaire (b = 0), la droite passe par l'origine (situation de proportionnalité). On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient ''b'' : ''ordonnée à l'origine''. }} == Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs d'une fonction affine == Deux valeurs issues d'un tableau ou d'un graphique suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite". === Formule pour le coefficient directeur === {{Théorème | contenu= Considérons une fonction affine <math>f(x)=a\times x+b</math>, deux points d'abscisses <math>x_1</math> et <math>x_2 </math> et d'ordonnées <math>y_1</math> et <math>y_2</math>, alors le coefficient directeur ''a'' vaut : <div style="text-align: center;"><math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math></div> <div style="text-align: center;"><math>a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math></div> }} '''Exemple''' : * Pour la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>, nous avons dans le tableau de valeurs ''f(2) = 7'' et ''f(3) = 9''. Retrouvons ''a'' grâce à la formule, en prenant <math>x_2 = 3</math> et <math>x_1 = 2</math>. <div style="text-align: center;"><math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{9-7}{3-2}=\frac{2}{1}=2</math></div> * Pour retrouver ''b'', il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation : <div style="text-align: center;"><math>f(2)=7=2\times 2+b=7</math></div> donc <div style="text-align: center;"><math>7-4=b=3</math></div> * On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations : <math>\begin{cases} a\times 2 + b = 7, & \text{valeur pour x = 2} \\ a\times3 +b = 9, & \text{valeur pour x = 3} \end{cases} </math> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Fonctions linéaires/]] | suivant = [[../Équation réduite d'une droite/]] }} 5hsqru2ggy41u8ze6cxdomrcdz76ndx 0 3636 985044 837802 2026-07-20T18:28:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985044 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 3 | précédent = [[../Soustraction/]] | suivant = [[../Division/]] | niveau = 2 }} Un panier contient dix pommes, j'achète 2 paniers. Faire la multiplication, c’est chercher combien il y a de pommes au total. {{Définition | contenu = La '''multiplication''' est une opération mathématique qui consiste en l'addition répétée d'un nombre. On utilise le signe × pour séparer les éléments à multiplier.<br /> Par exemple, l'opération <math>10 \times 3=30</math> est une multiplication. Faire <math>10 \times 3</math>, cela signifie additionner 10 trois fois: <math>10+10+10=30</math>. }} Dans la multiplication <math>10 \times 3=30</math> : * 30 est appelé '''produit'''. * 10 et 3 sont appelés '''facteurs'''. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Soustraction/]] | suivant = [[../Division/]] }} 81nc62gm8rv24dpw56bgj4htgky5hog 0 3637 985045 924486 2026-07-20T18:29:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985045 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 5 | précédent = [[../Division/]] | suivant = [[../|Sommaire]] | niveau = 2 }} {{Définition | contenu = La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction, c'est-à-dire qu’il faut d’abord effectuer les quotients et les produits avant de calculer les différences et les sommes. Au sein de ces deux groupes, il n'existe aucune priorité. Cette règle peut être contournée par l’utilisation des parenthèses, qui rendent prioritaires les opérations qu’elles contiennent sur celles qui en sont exclues. Cependant, ce sont les règles classiques de priorité qui s'appliquent dans les parenthèses. Certains mathématiciens disent que la multiplication implicite (c'est-à-dire la multiplication sans signe x) est prioritaire sur la multiplication avec ce signe. }} {{Exemple | contenu = * <math> 5 + 4 \times 6 + 1 =</math> on doit d’abord effectuer la multiplication * <math> 5 + { \color{Blue}4 \times 6 }+ 1 =</math> * <math> 5 + { \color{Blue}24 }+ 1 =</math> * <math> 5 + 24 + 1 = 30</math> }} {{Exemple | contenu = * <math>(5+4)\times(6+1)</math> on calcule d’abord ce qu’il y a entre parenthèses * <math>{\color{Red}(5+4)}\times{\color{Green}(6+1)}</math> * <math>{\color{Red}9}\times{\color{Green}7}</math> * <math>9 \times 7 =63</math> }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Division/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} 204bqlh6upgg14bo2of0adcscdty4a9 0 3638 985046 976283 2026-07-20T18:29:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985046 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Cercle trigonométrique/]] | suivant = [[../Cosinus dans un triangle rectangle/]] | niveau = 12 }} Prenons un point situé sur le cercle trigonométrique et projetons le orthogonalement sur l'axe des abscisses ou des ordonnées. Nous obtenons un angle droit, et donc, un triangle rectangle. == Sinus et cosinus dans un triangle rectangle == Dans le cercle trigonométrique, le point <math>M</math> est projeté sur les deux axes du repère afin d'obtenir le sinus et le cosinus d'un angle <math>\alpha</math>. On obtient alors un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment <math>[OM]</math>, de longueur égale à 1 unité (rayon <math>r=1</math>). Afin de rester en longueurs positives, le repère est restreint aux demi-axes <math>Ox</math> et <math>Oy</math>. L'intervalle angulaire du cercle trigonométrique est restreint à <math>[\scriptstyle 0;\textstyle\frac{\pi}{2}[</math>. [[Fichier:Cercle trigo 4.svg|thumb|200px|Construction d’un triangle rectangle quelconque.]] Nous pouvons construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse mesurant 1 unité de longueur. Mais par un point quelconque <math>M'</math> de la droite <math>(OM)</math>, on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles. Le triangle construit ici est nommé <math>OM'S'_2</math>, (<math>S'_2</math> étant le projeté orthogonal de <math>M'</math> sur <math>Ox</math>). En appliquant le théorème de Thales aux deux triangles '''<math>OMS_2</math>''' et '''<math>OM'S'_2</math>''', nous obtenons les relations suivantes : '''<math>\frac{OS_2}{OS'_2} = \frac{OM}{OM'} = \frac{MS_2}{M'S'_2} \Longleftrightarrow</math><math>\frac{\cos \alpha}{OS'_2} = \frac{1}{OM'} = \frac{\sin \alpha}{M'S'_2}</math>''' Et par conséquent : '''<math>\cos \alpha = \frac{OS'_2}{OM'}</math>''' et '''<math>\sin \alpha = \frac{M'S'_2}{OM'}.</math>''' {{Définition | titre = Définitions | contenu = [[Fichier:Sinus_de_A.svg|250px|right]]Dans un triangle rectangle, le ''sinus d’un angle aigu'' est le rapport entre la longueur de son ''côté opposé'' et celle de l'''hypoténuse''. Dans notre exemple ci contre, cela donne : <math>\sin({\hat{A}}) = \frac{\left[BC\right]}{\left[AC\right]} = \frac oh</math>}} {{Définition | titre = Définitions | contenu = [[Fichier:Cosinus_de_A.svg|250px|right]]Le ''cosinus d’un angle aigu'' est le rapport entre la longueur de son ''côté adjacent'' et celle de l'''hypoténuse''. Dans notre exemple ci contre, cela donne : <math>\cos({\hat{A}}) = \frac{\left[AB\right]}{\left[AC\right]} = \frac ah</math>}} '''Remarque :''' Il n'y a pas d'''angle obtus'' dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus, le sinus, la tangente d’un angle obtus si on prend en compte les côtés d’un triangle rectangle. == Tangente dans un triangle rectangle == Si <math>OS_2 = 1</math>, nous reconnaissons immédiatement '''<math>\tan \alpha</math>''' dans la longueur du segment <math>[MS_2]</math>. Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d’un angle '''<math>\alpha\in\textstyle[\scriptstyle 0;\textstyle\frac{\pi}{2}[</math>''', le théorème de Thales nous donne : '''<math>\frac{OS_2}{OS'_2} = \frac{MS_2}{M'S'_2} \Longleftrightarrow</math>''' '''<math>\frac{1}{OS'_2} = \frac{\tan \alpha}{M'S'_2}</math>''' Et par conséquent : '''<math>\tan \alpha = \frac{M'S'_2}{OS'_2}.</math>''' <div style="text-align: center;"><div style="text-align: center;"> {{Définition | contenu = [[Fichier:Tangente de A.svg|250px|right]]Dans un triangle rectangle, la ''tangente d’un angle aigu'' est le rapport entre la longueur de son ''côté opposé'' et celle de son ''côté adjacent''. Dans l'exemple ci contre, cela donne : <math>\tan({\hat{A}}) = \frac {\left[BC\right]}{\left[AB\right]} = \frac oa</math>}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Cercle trigonométrique/]] | suivant = [[../Cosinus dans un triangle rectangle/]] }} rclbxp4hmeumk3weo6a3ees6sy6mxrp 108 3644 985047 953289 2026-07-20T18:29:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985047 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Le '''slovaque''' (''slovenčina'') est une langue appartenant au groupe slave occidental de la famille des langues indo-européennes, parlé essentiellement en Slovaquie et en République tchèque. {{Autocat}} 89f4i28ub6sicshx12vzwiz7yrgq5hc 0 3661 985048 878035 2026-07-20T18:29:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985048 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | leçon = [[../|Indicatif présent dans la conjugaison italienne]] | numéro = 1 | niveau = 2 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le présent des auxiliaires/]] }} '''Rappel''': les verbes italiens se classent en 3 groupes # Les verbes se terminant par '''-are''' # Les verbes se terminant par '''-ere''' # Les verbes se terminant par '''-ire''' ## comme dorm'''ire''' ## comme cap'''ire''' (verbes en '''-isc''') <br />Les verbes réguliers se conjuguent sur la forme '''''radical+terminaison''''' <br />(exemple:parlare→io parl{{coloré|#FF0000|o}})<br />Voici le tableau des terminaisons au présent de l'indicatif: il est valable pour tous les verbes réguliers<br /> {| align="center" class="wikitable" width="80%" |+Les terminaisons du présent de l'indicatif en italien ! !width=20%|Verbe en -are !width=20%|Verbe en -ere !width=20%|Verbe en -ire !width=20%|Verbe en -ire (-isc) |- !width=8%|io |width=22%|o |width=22%|o |width=22%|o |width=22%|isco |- !width=8%|tu |width=22%|i |width=22%|i |width=22%|i |width=22%|isci |- !width=8%|lui |width=22%|a |width=22%|e |width=22%|e |width=22%|isce |- !width=8%|noi |width=22%|iamo |width=22%|iamo |width=22%|iamo |width=22%|iamo |- !width=8%|voi |width=22%|ate |width=22%|ete |width=22%|ite |width=22%|ite |- !loro |width=8%|ano |width=22%|ono |width=22%|ono |width=22%|iscono |} Remarques: :Un verbe se terminant par -iare ou -iere ne prend pas deux i à la 2{{e}} personne du singulier(mangiare= tu mangi) :Un verbe se terminant par -gare et -care prend un h à la 2{{e}} personne du singulier et à la 1{{re}} du pluriel (cercare= tu cerchi) :Un verbe se finissant par -cere prend un i à la première personne du singulier et à la 3{{e}} personne du pluriel (cuocere= io cuocio) {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Indicatif présent dans la conjugaison italienne]] | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le présent des auxiliaires/]] }} en22hdeuxb65ls3mrq4jmswr4qzgkhi 0 3662 985049 849090 2026-07-20T18:29:49Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985049 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | leçon = [[../|Indicatif présent dans la conjugaison italienne]] | numéro = 2 | niveau = 2 | précédent = [[../Le présent des verbes réguliers/]] | suivant = [[../Le présent des verbes irréguliers/]] }} Les 2 auxiliaires, '''avere''' (avoir) et '''essere'''(être) sont irréguliers. Il est pourtant essentiel de bien savoir les conjuguer car ils sont nécessaires pour construire le passé composé. Voici les conjugaisons des auxiliaires essere et avere: {| class=wikitable width=23% !width=20%| |width=40%| <div style="text-align:center;">'''Essere'''</div> |witdh=40%| <div style="text-align:center;">'''Avere'''</div> |- !width=20%|io |width=40%|sono |witdh=40%|ho |- !width=20%|tu |width=40%|sei |witdh=40%|hai |- !width=20%|lui |width=40%|è(≠e) |witdh=40%|ha |- !width=20%|noi |width=40%|siamo |witdh=40%|abbiamo |- !width=20%|voi |width=40%|siete |witdh=40%|avete |- !width=20%|loro |width=40%|sono |witdh=40%|hanno |} <br />{{Attention|Avec_fond = oui|Il ne faut surtout pas confondre '''è''' de la 3{{e}} personne du singulier du verbe essere et '''e''' qui signifie et}} {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Indicatif présent dans la conjugaison italienne]] | précédent = [[../Le présent des verbes réguliers/]] | suivant = [[../Le présent des verbes irréguliers/]] }} lf43xybhm79al64mczl0d0kwqrt19ax 0 3667 985050 951804 2026-07-20T18:29:59Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985050 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | leçon = [[../|Indicatif présent dans la conjugaison italienne]] | numéro = 3 | niveau = 2 | précédent = [[../Le présent des auxiliaires/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} {{clr}} Il y a beaucoup de verbes irréguliers à l'indicatif présent en italien (cette liste est un exemple ; elle ne recense pas tous les verbes irréguliers italiens): <!--Vous pouvez rajouter des verbes--> {|class=wikitable width=100% !width=25%|Andare (aller) !width=25%|Bere (boire) !width=25%|Cogliere (cueillir) |- |width=25%|vado |width=25%|bevo |width=25%|colgo |- |width=25%|vai |width=25%|bevi |width=25%|cogli |- |width=25%|va |width=25%|beve |width=25%|coglie |- |width=25%|andiamo |width=25%|beviamo |width=25%|cogliamo |- |width=25%|andate |width=25%|bevete |width=25%|cogliete |- |width=25%|vanno |width=25%|bevono |width=25%|colgono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Dare (donner) !width=25%|Dire (dire) !width=25%|Dovere (devoir) |- |width=25%|do |width=25%|dico |width=25%|devo |- |width=25%|dai |width=25%|dici |width=25%|devi |- |width=25%|dà |width=25%|dice |width=25%|deve |- |width=25%|diamo |width=25%|diciamo |width=25%|dobbiamo |- |width=25%|date |width=25%|dite |width=25%|dovete |- |width=25%|danno |width=25%|dicono |width=25%|devono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Fare (faire) !width=25%|Morire (mourir) !width=25%|Parere (paraître) |- |width=25%|faccio |width=25%|muoio |width=25%|paio |- |width=25%|fai |width=25%|muori |width=25%|pari |- |width=25%|fa |width=25%|muore |width=25%|pare |- |width=25%|facciamo |width=25%|moriamo |width=25%|paiamo |- |width=25%|fate |width=25%|morite |width=25%|parete |- |width=25%|fanno |width=25%|muoiono |width=25%|paiono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Porre (poser) !width=25%|Potere (pouvoir) !width=25%|Rimanere (rester) |- |width=25%|pongo |width=25%|posso |width=25%|rimango |- |width=25%|poni |width=25%|puoi |width=25%|rimani |- |width=25%|pone |width=25%|può |width=25%|rimane |- |width=25%|poniamo |width=25%|possiamo |width=25%|rimaniamo |- |width=25%|ponete |width=25%|potete |width=25%|rimanete |- |width=25%|pongono |width=25%|possono |width=25%|rimangono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Salire (monter) !width=25%|Sapere (savoir) !width=25%|Scegliere (choisir) |- |width=25%|salgo |width=25%|so |width=25%|scelgo |- |width=25%|sali |width=25%|sai |width=25%|scegli |- |width=25%|sale |width=25%|sa |width=25%|sceglie |- |width=25%|saliamo |width=25%|sappiamo |width=25%|scegliamo |- |width=25%|salite |width=25%|sapete |width=25%|scegliete |- |width=25%|salgono |width=25%|sanno |width=25%|scelgono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Stare (être, demeurer) !width=25%|Tenere (tenir) !width=25%|Trarre (tirer) |- |width=25%|sto |width=25%|tengo |width=25%|traggo |- |width=25%|stai |width=25%|tieni |width=25%|trai |- |width=25%|sta |width=25%|tiene |width=25%|trae |- |width=25%|stiamo |width=25%|teniamo |width=25%|traiamo |- |width=25%|state |width=25%|tenete |width=25%|traete |- |width=25%|stanno |width=25%|tengono |width=25%|traggono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Valere (valoir) !width=25%|Venire (venir) !width=25%|Volere (vouloir) |- |width=25%|valgo |width=25%|vengo |width=25%|voglio |- |width=25%|vali |width=25%|vieni |width=25%|vuoi |- |width=25%|vale |width=25%|viene |width=25%|vuole |- |width=25%|valiamo |width=25%|veniamo |width=25%|vogliamo |- |width=25%|valete |width=25%|venite |width=25%|volete |- |width=25%|valgono |width=25%|vengono |width=25%|vogliono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Inviare (envoyer) !width=25%|Piacere (plaire) !width=25%|Condurre (conduire) |- |width=25%|invio |width=25%|piaccio |width=25%|conduco |- |width=25%|invii |width=25%|piaci |width=25%|conduci |- |width=25%|invia |width=25%|piace |width=25%|conduce |- |width=25%|inviamo |width=25%|piacciamo ''ou'' piaciamo |width=25%|conduciamo |- |width=25%|inviate |width=25%|piacete |width=25%|conducete |- |width=25%|inviano |width=25%|piacciono |width=25%|conducono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Proporre (proposer) !width=25%|Sporcare (salir) !width=25%|Scomparire(disparaitre) |- |width=25%|propongo |width=25%|sporco |width=25%|scompaio |- |width=25%|proponi |width=25%|sporchi |width=25%|scompari |- |width=25%|propone |width=25%|sporca |width=25%|scompare |- |width=25%|proponiamo |width=25%|sporchiamo |width=25%|scompariamo |- |width=25%|proponete |width=25%|sporcate |width=25%|scomparite |- |width=25%|propongono |width=25%|sporcano |width=25%|scompaiono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Spegnere (éteindre) !width=25%|Piovere (pleuvoir) !width=25%|Uscire (sortir) |- |width=25%|spengo |width=25%| |width=25%|esco |- |width=25%|spegni |width=25%| |width=25%|esci |- |width=25%|spegne |width=25%|piove |width=25%|esce |- |width=25%|spegniamo |width=25%| |width=25%|usciamo |- |width=25%|spegnete |width=25%| |width=25%|uscite |- |width=25%|spengono |width=25%|piovono |width=25%|escono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Tacere (se taire) !width=25%|Togliere (enlever) !width=25%|Nuocere (nuire) |- |width=25%|taccio |width=25%|tolgo |width=25%|noccio ''ou'' nuoccio |- |width=25%|taci |width=25%|togli |width=25%|nuoci |- |width=25%|tace |width=25%|toglie |width=25%|nuoce |- |width=25%|taciamo |width=25%|togliamo |width=25%|nociamo |- |width=25%|tacete |width=25%|togliete |width=25%|nocete |- |width=25%|tacciono |width=25%|tolgono |width=25%|nocciono ''ou'' nuocciono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Sciogliere (fondre, défaire) !width=25%|Sedersi (s'asseoir) !width=25%|Solere (avoir l'habitude de) |- |width=25%|sciolgo |width=25%|mi siedo |width=25%|soglio |- |width=25%|sciogli |width=25%|ti siedi |width=25%|suoli |- |width=25%|scioglie |width=25%|si siede |width=25%|suole |- |width=25%|sciogliamo |width=25%|ci sediamo |width=25%|sogliamo |- |width=25%|sciogliete |width=25%|vi sedete |width=25%|solete |- |width=25%|sciolgono |width=25%|si siedono |width=25%|sogliono |} {|class=wikitable width=100% !width=25%|Udire (entendre) !width=25%| !width=25%| |- |width=25%|odo |width=25%| |width=25%| |- |width=25%|odi |width=25%| |width=25%| |- |width=25%|ode |width=25%| |width=25%| |- |width=25%|udiamo |width=25%| |width=25%| |- |width=25%|udite |width=25%| |width=25%| |- |width=25%|odono |width=25%| |width=25%| |} {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Indicatif présent dans la conjugaison italienne]] | précédent = [[../Le présent des auxiliaires/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} febmx8meztm4bdi0swwbg0gxo13apde 0 3677 985051 967624 2026-07-20T18:30:09Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985051 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 5 | précédent = [[../Sinus dans un triangle rectangle/]] | suivant = [[../Tangente dans un triangle rectangle/]] | niveau = 12 }} == Cosinus d’un angle orienté == {{Définition | titre = Cosinus dans le cercle trigonométrique | contenu = Soient <math>M</math> un point du cercle trigonométrique et <math>\alpha</math> l'angle associé à l'arc <math>\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}</math>. * Le '''cosinus''' de <math>\alpha</math> est l'abscisse (sur l’axe horizontal) du projeté orthogonal de <math>M</math> sur ce même axe. <div style="text-align: center;">[[Fichier:Circle cos2.svg|200px]]</div> On le note <math>\cos(\alpha)</math>. }} '''Remarques :''' * Avec cette définition, on peut prendre le cosinus d’un angle obtus. * Avec cette définition, un cosinus peut être négatif. == Valeurs remarquables du cosinus des angles usuels == Par lecture sur le cercle trigonométrique, nous trouvons aisément : :<div style="text-align: center;"><math>\displaystyle\cos 0 = 1,</math> et <math>\cos \frac{\pi}{2} = 0.</math></div> Nous déterminerons en [[Trigonométrie/Annexe/Les valeurs remarquables|annexe]] les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous. <div style="text-align: center;"> {| class="wikitable" width="80%" |- align="center" ! width="10%" style="background:#CCCCCC"| ''α'' | width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{6}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{4}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{3}</math> | width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\textstyle\frac{\pi}{2}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{2\pi}{3}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{3\pi}{4}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{5\pi}{6}</math> | width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle\pi</math> |- align="center" ! style="background:#CCCCCC; border-bottom: 3px solid grey" | cos ''α'' | style="background:#FFFFFF; border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle 1</math> | style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> | style="background:#FFFFFF; border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle 0</math> | style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}</math> | style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | style="border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | style="background:#FFFFFF; border-bottom: 3px solid grey" | <math>\scriptstyle -1</math> |- align="center" ! style="background:#CCCCCC" | ''α'' | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -\pi</math> |- align="center" ! style="background:#CCCCCC" | cos ''α'' | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 1</math> | <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -1</math> |} </div> == Sinus d’un angle orienté == {{Définition | titre = Sinus dans le cercle trigonométrique | contenu = Soient <math>M</math> un point du cercle trigonométrique et <math>\alpha</math> l'angle associé à l'arc <math>\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}</math>. <div style="text-align: center;">[[Fichier:Sine triangle circle.svg|300px]]</div> * Le ''sinus'' de <math>\alpha</math> est l'ordonnée (sur l’axe vertical) du projeté orthogonal de <math>M</math> sur ce même axe. On le note <math>\sin(\alpha)</math>. }} == Valeurs remarquables du sinus des angles usuels == Nous déterminerons en [[Trigonométrie/Annexe/Les valeurs remarquables|annexe]] les autres valeurs remarquables du tableau ci-dessous. <div style="text-align: center;"> {| class="wikitable" width="80%" |- align="center" ! width="10%" style="background:#CCCCCC"| ''α'' | width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{6}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{4}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{\pi}{3}</math> | width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\textstyle\frac{\pi}{2}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{2\pi}{3}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{3\pi}{4}</math> | width="10%" | <math>\textstyle\frac{5\pi}{6}</math> | width="10%" style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle\pi</math> |- align="center" ! style="background:#CCCCCC" | sin ''α'' | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> | <math>\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 1</math> | <math>\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> |- align="center" ! style="background:#CCCCCC" | ''α'' | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{6}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{4}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{3}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}{3}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}{4}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}{6}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -\pi</math> |- align="center" ! style="background:#CCCCCC" | sin ''α'' | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle -1</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{1}{2}</math> | style="background:#FFFFFF" | <math>\scriptstyle 0</math> |} </div> == Résumé du sinus et du cosinus des angles usuels sur le cercle trigonométrique == <div style="text-align: center;">[[Fichier:Unit circle angles.svg|400px]]</div> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Sinus dans un triangle rectangle/]] | suivant = [[../Tangente dans un triangle rectangle/]] }} hl3xisnjenlam9fzyggzvu8znzyq8w6 0 3693 985052 911440 2026-07-20T18:30:19Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985052 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = philosophie | numéro = 7 | précédent = [[../Connaissance et expérience de la liberté, enjeux/]] | suivant = [[../|Sommaire]] | niveau = 13 }} Sommes-nous plus libres sans les autres ? Comment penser la liberté par rapport aux libertés ? La liberté pour tous est-elle une véritable liberté ? La réalisation de la liberté, sa pratique politique, crée de nombreuses tensions. L'autonomie politique est incarnée par la figure du citoyen, qui abandonne son indépendance naturelle pour se soumettre volontairement à des lois qui sont, au moins idéalement, les mêmes pour tous ([[w:Hobbes|Hobbes]], [[w:Rousseau|Rousseau]]). C'est à cette condition que, selon cette théorie, les hommes peuvent être libres ensemble. Mais les lois peuvent être ressenties comme une aliénation par les individus. === Le paradigme du « bon sauvage » === Il existe cependant un point de vue opposé à cette vision de l'éducation défendant les libertés. Ainsi au {{s|13}}, [[w:Charles de Secondat|Montesquieu]] défendait un paradigme du ''bon sauvage'', considérant l'éducation comme une domestication de l'homme, et la société comme un carcan. Ce point de vue, qui sera développé par [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]] dans son essai ''[[w:Malaise dans la civilisation|Malaise dans la civilisation]]'' (1929), a été discuté dès la Révolution française. Un ouvrage comme ''[[w:Sa majesté des mouches|Sa majesté des mouches]]'' de [[w:William Golding|William Golding]] suggère au contraire que l'homme privé des contraintes sociales n'en devient pas nécessairement meilleur. === Définitions === On distingue au niveau de l'individu plusieurs « types » de libertés : * la '''liberté naturelle''' : l'homme a le droit naturel d'employer ses facultés comme il l'entend ; * la '''liberté civile''' : elle s'inscrit dans le cadre d’un homme citoyen, étant libre de ses actes tant que ceux-ci ne sont pas contraire à la Loi, ou ne nuisent pas à autrui. Cette liberté est très délicate d'application, en particulier en ce qui concerne le droit de la concurrence, puisque toute création de commerce nuit ''par principe'' aux commerces antérieurs existants dans le voisinage. On y associe souvent la maxime suivante : '''« La liberté des uns s'arrête là où commence celle des autres »''' ; * la '''liberté individuelle''' : dans la même optique que la précédente, elle reconnait à l'homme le droit d'aller et venir librement sur le territoire national, ce qui inclut la possibilité d'y entrer ou d’en sortir. Cette liberté a été étendue en Europe grâce aux accords de Schengen, permettant la libre circulation des personnes dans l'espace de la Communauté Européenne ; * la '''liberté de culte''' (ou liberté de conscience) : elle permet à chaque individu de pratiquer la religion de son choix, ou de ne pas avoir de croyance religieuse, ''dans la mesure où l’expression des croyances en question ""ne trouble pas l’ordre public''" (déclaration des droits de l'homme). * la '''liberté d'expression''' : elle permet à chacun d'exprimer ses pensées sans censure ''préalable'', mais non sans sanctions si cette liberté porte préjudice à quelqu’un. Elle va de pair avec la liberté de la presse, qui est celle d’un propriétaire de journal de dire ce qu’il veut dans son journal. Elle a subi un revers avec la [[w:loi Gayssot|loi Gayssot]], qui a ébréché le droit fondamental au nom de la lutte contre le négationnisme. Il faut toutefois observer que si cette loi n’est pas conforme à la déclaration des Droits de l'Homme, elle a cependant été votée en France sans aucune voix d'opposition (ce qui est rarissime, la loi sur le RMI y constituant le seul autre exemple connu). * la '''liberté économique''' : elle permet à chacun de percevoir des revenus et de dépenser ces revenus : liberté de travailler et de consommer. Ce droit reste évidemment bien théorique lorsque la conjoncture ne permet pas à tous de trouver un emploi, mais précise au moins que nul ne peut se voir refuser ''par principe'' un emploi pour des considérations autres que de qualification professionnelle (par exemple sexe, origine ethnique, âge ou religion). ==== « Liberté de penser » ==== On désigne parfois en abrégé sous le terme de « liberté de penser » la liberté de ''communiquer ses pensées''. Dans l'état ''actuel'' de la technique, il est n'est en effet pas possible actuellement d'empêcher qui que ce soit de penser quoi que ce soit (voir tout le même l’article [[w:Minority report|Minority report]]). Pierre Bourdieu en est un précurseur, conscient de la nécessité de communiquer mais aussi de penser pour faire avancer la société et lui permettre de répondre au mieux aux besoins des générations suivantes. === De la Liberté aux droits de l'homme === Le mouvement ouvrier, au {{s|19}}, ajoutera la distinction entre la liberté formelle et la liberté réelle. Car la liberté existe aussi à un niveau plus global, plus collectif, avec par exemple la liberté de la presse, qui permet une libre publication, c'est-à-dire sans subir de censure arbitraire ou autoritaire. Les différentes libertés collectives : * la '''liberté de la presse''' : elle permet à chacun de publier librement ses pensées ou ses opinions, sans être sujet à la censure ou à tout autre mesure arbitraire ou autoritaire ; * la '''liberté de réunion''' : elle permet aux individus de se réunir librement pour débattre de leurs opinions ; * la '''liberté syndicale''' : elle permet aux salariés de former et d'adhérer ou non à des organisations syndicales pour les représenter et faire valoir leurs droits. * la '''liberté économique''' : elle permet la création d'entreprises. * la '''liberté de mœurs''' : elle permet a chacun de vivre sa sexualité comme il l'entend. Paradoxalement, la notion de liberté peut parfois à ce niveau, nuire à la liberté de l'individu. Comme dans le cas de la liberté de la presse, par exemple. Ainsi les moyens techniques et financiers importants nécessaires aujourd’hui aux organes d'information, en particulier radiophoniques ou audiovisuels, tendent à la formation de cartels pratiquant l'autocensure, réduisant par là même le pouvoir de contrôle et de critique de l'individu sur ces vecteurs d'information… L'abolition de la censure n'est donc plus un gage de liberté, car si les publications ne sont plus soumises à des décisions arbitraires, les vecteurs de l'information deviennent en revanche de moins en moins accessibles à la grande masse des individus, réduisant de ce fait leur capacité à exprimer leurs opinions, ainsi que la variété des points de vue exposés. C'est pour cette raison que la presse est considérée comme le quatrième pouvoir (à l'instar des pouvoirs exécutif, législatif et judiciaire). Dans cette même optique, les [[w:brevet logiciel en Europe|brevets logiciels]], qui entraineraient la formation de [[w:trust|trust]]s surpuissant juridiquement, seraient une négation des libertés individuelles. Alors que des mouvements tels l’[[w:Open Source|Open Source]] ou Logiciel libre tendent à favoriser l'accès à la connaissance et aux techniques de manière universelle, ce qui, à l’heure de la mondialisation, représente un élément primordial pour la défense des libertés individuelles dans les pays émergents, les rendant techniquement indépendants des pays « déjà développés ». {{Bas de page | idfaculté = philosophie | précédent = [[../Connaissance et expérience de la liberté, enjeux/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} k2xk3ucya4bja97fcnqhhsmg1i33kbp 0 3703 985053 573845 2026-07-20T18:30:29Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985053 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = socio-anthropologie | numéro = 2 | précédent = [[../Théories et pratiques de l'ethnométhodologie/]] | suivant = }} L’ethnométhodologie se livre à une formidable reconstruction de la sociologie. Au lieu de rejeter aveuglément les acquis de l’analyse durkheimienne, pour réduire l’acteur à des dimensions artificielles et idéalisées, comme le font par exemple la théorie des choix rationnels ou l’individualisme méthodologique, elle se propose de reconsidérer les postulats de la sociologie, de les reconstruire sur des bases empiriques et théoriques solides qui seront justifiées scientifiquement. Le programme qu’elle lance est donc immense et n’en est encore qu’à ses débuts. Mais elle a mis sur la «table des négociations» un débat qu’on ne peut esquiver et renvoyer promptement aux oubliettes, elle bouscule et pousse la sociologie, et d’une manière générale les sciences humaines et sociales, dans leurs retranchements les plus profonds et met à mal leur tendance à se cacher derrière un objectivisme qui les rassure et masque leurs faiblesses. D’un abord difficile, elle a souvent été rejetée par la communauté des sociologues. Mais contre ce dédain injustifié, elle a toujours su mettre en avant le prestige des membres qui se reconnaissaient dans ses idées. Il est vrai que l’aura académique dont jouissait Garfinkel (élève de Parsons à Harvard), Cicourel… a peut-être contribué à infléchir l’opinion vis-à-vis du mouvement. Il faut donc à mon avis garder une distance critique vis-à-vis de la mythologie qui entoure l’ethnométhodologie, élevant les travaux de Garfinkel (qui aurait tout découvert et tout inventé) au rang de dogmes ; ou à l’opposé, reléguant l’ethnométhodologie à une secte dangereuse ayant ses gourous et son père fondateur : Garfinkel. Il ne sert donc à rien de trop l’enjoliver, d’autant plus que, comme on l’a vu, l’approche de Schütz contenait déjà en germes les grands traits de l’ethnométhodologie. Une critique souvent adressée à l’ethnométhodologie est le caractère trop local de ses analyses, elle ne permettrait pas d’atteindre la dimension macro-sociale. Or, comme on l’a vu avec Cicourel et la délinquance, il n’en est rien. Il est vrai cependant, que c’est une discipline relativement jeune, et tournée initialement vers la pratique microsociologique, ce qui explique peut-être pourquoi l’analyse ethnométhodologique des phénomènes macro-sociaux n’en est encore qu’à ses balbutiements. Il reste cependant qu’elle ne pourra pas et ne voudra évidemment pas bouter l’analyse formelle hors de son champ, mais elle peut au moins lui servir de garde-fou efficace contre les dérives de l’interprétation arbitraire. En fin de compte, l’ethnométhodologie apporte une bouffée d’air frais à la sociologie, trop souvent embourbée dans les débats idéologiques comme par exemple, le fameux débat Bourdieu/Boudon ; de plus elle nous apporte peut-être quelque chose qui nous manquait cruellement auparavant, un regard libre sur nous-mêmes, un moyen de réflexion simple, pragmatique, qui nous montre tel que l’on est et tel qu’on se voit, sans déformation et distanciation superflues. {{Bas de page | idfaculté = socio-anthropologie | précédent = [[../Théories et pratiques de l'ethnométhodologie/]] | suivant = }} hw7qem6zpa8d5vliz92gapomscwsxq1 0 3709 985054 967630 2026-07-20T18:30:39Z Crochet.david.bot 1005 Autres corrections 985054 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = socio-anthropologie | numéro = 4 | précédent = [[../Les classifications ou oppositions traditionnelles en sociologie/]] | suivant = [[../L'institutionnalisation de la sociologie/]] }} == Les grandes thématiques de la sociologie et leurs développements == Au cours du {{s|20}} sont apparus des thèmes récurrents en sociologie. Ces thèmes se démarquent par leur ampleur et par la quantité de travaux qu’ils ont inspirés. Nous en énumérons ici quelques uns. === Les matrices de la pensée sociologique === Danilo Martuccelli, dans un ouvrage sur la modernité propose d’aborder l'histoire de la sociologie en l'analysant suivant différentes ''matrices.'' Il entend par là des cadres de pensée, plus ou moins changeants, qui structurent la pensée sociologique de la modernité autour d'intuitions majeures en lui conférant une certaine continuité. Ces matrices, imbriquées dans ses processus historiques « sont moins qu'un paradigme, plus qu'une idée de base, autre chose qu'une école. (…) Plus qu'une idée de base, puisqu’il ne s'agit pas seulement (…) d'isoler les éléments constitutifs présents dans différents systèmes, mais au contraire de dégager les grands cadres, sorte d'arrière-plans sur lesquels travaillent les divers éléments. », (Martuccelli, 1999, p 20). En fait, « la matrice désigne plus un espace d'invention théorique et de description de la modernité qu'une doctrine ou un modèle épistémologiquement consistant. Elle est très loin de définir de manière stricte une correspondance avec certaines notions, voire avec des méthodologies de recherche. Elle vise avant tout à donner une réponse à des exigences plus ou moins vitales, en passant de représentations confuses ou informelles de la vie sociale, à des images ou des modèles qui, tout en prétendant à un grande cohérence scientifique, parviennent à donner un sens à l'inscription des hommes dans la modernité. », (Martuccelli, 1999, p 21). Si la notion de matrice reste difficile à définir formellement, bien que l’on comprenne intuitivement ce à quoi elle se rapporte, elle permet toutefois de donner forme et structure à l'arrière-plan de la pensée sociologie théorique. Nous voyons ainsi apparaître des grilles d'analyses et de compréhension du monde social qui façonnent selon une certaine logique la sociologie occidentale. Comme le fait remarquer Martuccelli, ces matrices ont pris naissance sur un terrain social et économique dominé par le changement social, la crise et la modernisation croissante de la société. C’est un fait récurrent. La plupart des pensées sociologiques majeures se sont inscrites dans un développement social, technique et économique parfois imprévisible qui confrontait la société à des problèmes sociaux majeurs. Les analyses de Smith accompagnent la révolution industrielle anglaise, celles de Marx et Durkheim l'essor du socialisme ou du républicanisme, etc. Tous ces auteurs, quand ils ont cherché à penser la société de leur temps, l'ont fait en dévoilant des grandes thématiques. Martuccelli distingue à cet égard trois grandes matrices : la différenciation, la rationalisation et la condition moderne. Nous ne nous intéresserons ici qu'aux deux premières. === La différenciation sociale === La différenciation sociale est l'une des thématiques majeures de la sociologie. C’est souvent à travers elle que s'est pensée la modernité. Martuccelli la définit ainsi : « Dans sa ligne minimale d'interprétation, il s'agit toujours de montrer comment la société progresse, en évoluant du simple au complexe, de l'homogène vers l'hétérogène. Assurément, les processus sont fort différents selon qu’il s'agit du travail, des groupes sociaux, des réseaux de communication, des rôles et des statuts, de la stratification sociale, ou encore des sous-systèmes fonctionnels (économique, politique, administration, science, art…) », (Martuccelli, 1999, p 29). À travers cette ligne directrice, « la modernité définit une société complexe et homogène dans la mesure où elle se compose de groupes différents toujours plus nombreux et hiérarchisés entre eux. », (Martuccelli, 1999, p 30). Ce mouvement de différentiation s'accompagne de la problématique de l'intégration, « La différenciation sociale, qui se traduit par une diversification de groupes, de rôles, de normes possibles pose le problème de la construction de significations culturelles ou de principes fonctionnels permettant l'intégration de la société. Comment parvenir au sein de sociétés différenciées à établir de nouvelles significations sociales communes ? Comment assurer la communication et l'échange entre les domaines sociaux de plus en plus autonomes dans leurs principes d'action ? », (Martuccelli, 1999, p 30). Ce point nodal de la pensée sociologique est abordé par des auteurs aux sensibilités diverses. Soulignons d’abord l'apport de Durkheim, ses concepts de division du travail et d'anomie sont bien sûr en rapport avec cette problématique. Défaut d'intégration, défaut de cohésion, l'anomie traduit un déséquilibre qui doit être rétabli par l'affermissement de la morale, et donc par l'extension du système éducatif. Mais il faut ajouter que dans la pensée durkheimienne, la différenciation sociale des sociétés à solidarité organique entraîne structurellement des déséquilibres et un affaiblissement de la cohésion sociale. Car la différenciation provoque chez l'homme moderne un écart toujours plus grand entre ses désirs et ses possibilités d'action. Comme le montreront plus tard Thorstein Veblen avec son étude sur la consommation ostentatoire ou Jean Baudrillard (1970) avec ses recherches sur la société de consommation, la différenciation sociale et son corollaire, la stratification sociale, impliquent également un véritable effet d'entraînement sur l’ensemble de la société. La consommation et la production sont tributaires d’une dynamique sociale qui trouve ses forces dans la stratification sociale (Baudrillard, 1970, p 65). Il reste à comprendre comment cette stratification est entretenue. C’est ce que tentera de faire Bourdieu, en synthétisant l'analyse de Marx sur les classes sociales avec la théorie de la domination de Weber. Avec la théorie de la reproduction tout d’abord, il montrera la complicité de l'institution scolaire, vecteur de la socialisation, dans la reproduction des inégalités sociales; puis avec sa théorie des champs, il généralisera cette idée en expliquant comment les acteurs dominants dans un champ tentent de conserver leurs privilèges en légitimant les règles ou l'organisation formelle du champ, et en bloquant l'accès aux positions dominantes (donc en reproduisant la différenciation formelle). Comme on le voit, la différenciation sociale reste ainsi toujours proche de la problématique du pouvoir et de la domination. C’est ce que montreront Michel Crozier et Erhard Friedberg (1977) dans leurs études sur la bureaucratie, ou encore Peter Berger et Thomas Luckmann (1966) dans leurs réflexions sur la sociologie de la connaissance. La division du travail implique non seulement une division des tâches, mais également une répartition inégale de la connaissance (ou du capital culturel et symbolique) et du pouvoir d'expertise au sein de la société. Il en découle une répartition inégale du pouvoir dans le corps social. Répartition qui contraint les acteurs à adopter des stratégies d'accumulation du capital ou à utiliser des stratégies locales de dissimulation et de contrôle de la connaissance, comme dans les bureaucraties française, pour parvenir à leurs fins. Talcott Parsons abordera lui aussi l'intégration du système social. La mise en évidence de l'antagonisme entre une société différenciée et une société intégrée traverse une grande partie de son œuvre. Mais à la différence des auteurs vus plus haut, la question du pouvoir, de la stratification sociale et des dynamiques qu’elles engendrent, n’est pas son principal sujet de recherche. Parsons va surtout s'intéresser aux processus qui assurent l'orientation, l'adaptabilité, le maintien et l'intégration interne des systèmes sociaux. Dans son approche résolument systémique, le jeu des acteurs tend à s'orienter dans la direction de celle du système. Comment est-ce possible ? L'intégration du système vient d’une part du haut de la hiérarchie sociale, et notamment des instances supérieures aptes à contrôler les systèmes inférieurs, et d’autre part de la base qui intériorise un systèmes de valeurs. La stratification sociale ne produit donc pas une dynamique de manière détournée, elle est fonctionnelle, elle permet l'intégration du système en un tout cohérent orienté en fonction du système de valeurs. Avec Parsons, l’ordre de la société trouve donc une explication : il résulte de processus qui sont fonctionnels par rapport à la totalité sociétale. Cette problématique de l’ordre et de la stabilité du social issus de l'action, connaîtra par la suite de nombreux développements, notamment avec les interactionnistes symboliques ou les ethnométhodologues qui tenteront de montrer que la construction de l’ordre social est le résultat d’un processus continu. Le tout étant co-déterminé : les individus créent un ordre qui se répercute sur eux. === La rationalisation === Autre grande thématique de la sociologie : la rationalisation. En sociologie, cette notion a été longuement étudiée par Weber. Mais elle recoupe des significations assez différentes. * Elle peut représenter tout d’abord '''la dynamique rationaliste de l'occident''' qui va vers une maîtrise et une domination croissantes par la société de son environnement naturel. Cette conception est pour une grande part héritée de la Raison issue des Lumières. * Elle peut également symboliser '''la rationalisation croissante de la société.''' Le monde moderne évolue en effet vers une coordination des activités, une planification des activités, un souci d'efficacité qui sont méthodiquement rationalisés; en d'autres termes, il s'oriente vers toujours plus d'efficience. Cette rationalisation des activités suppose une autonomisation et une spécialisation des fonctions sociales. Peu à peu, l'économie se « désencastre » du social, pour reprendre l’expression de Karl Polanyi, et soumet les acteurs à une gestion de plus en plus rationnelle. Ce qui implique une dépersonnalisation et une uniformisation des rapports sociaux. L'émergence d’une science rationnelle, positive et empirique suppose une émancipation à l'égard de la théologie, de l'esthétique et de la philosophie. * Enfin, dernière conception, c’est celle de '''la raison utilitaire individuelle'''. Weber l'appelle action rationnelle en finalité. Elle suppose une adéquation entre les fins et les moyens. Cette conception de la rationalité va jouer un rôle considérable en sciences sociales, à la fois comme cadre explicatif cohérent et comme outil de normalisation et de contrôle des masses (avec le taylorisme par exemple). Albert O. Hirschmann montrera ainsi dans « Les passions et les intérêts », (1980) comment la rationalisation progressive de l'être humain, qui est passé du stade de personne à celui d'individu, a permis le développement progressif de l’industrie de masse. Des études comme celles de Michel Foucault iront également dans ce sens. Au niveau nomothétique, la rationalité utilitaire individuelle va être à l'origine de nombreuses théories économiques et sociologiques. En sociologie, elle trouve de nombreux débouchés dans l'individualisme méthodologique (Boudon) ou dans la microsociologie (Crozier et Friedberg). Dans la psychologie sociale également, elle va trouver un terreau favorable avec tout d’abord les théories issues de la psychanalyse (voir Caillé, 1989) et les théories comme celles de la dissonance cognitive (Léon Festinger). conséquence logique, les théories qui mêlent psychanalyse et sociologie produiront elles aussi des théories qui prennent comme axiome explicatif de base la rationalité individuelle (par exemple Enriquez, 1983), même si celle dernière prend sa source dans le domaine pulsionnel. Si le thème de la rationalité a servi de moteur à de nombreuses théories, il a également rencontré de fortes résistances. Au {{s|19}}, tout d’abord, une grande partie des travaux de l'école Durkheimienne visent à apporter une alternative crédible à la rationalisation économique croissante, en développant d’une part des approches explicatives concurrentes, notamment avec le concept de solidarité ou celui du Don (Mauss), et en proposant d’autre part une direction pour un développement harmonieux de la société, qui est fondée sur la morale. Au {{s|20}}, la critique se fait de plus en plus virulente. La Raison tout d’abord est contestée dans ses fondements, notamment par les thèses relativistes de Feyerabend ou par le développement des épistémologies constructivistes (Piaget, Morin, Luhmann). Sur le terrain social, les problèmes écologiques, l'impuissance relative de la médecine en face de certaines maladies tendent également à la discréditer. De plus, la rationalisation sociale conduit à des débordements de grande ampleur comme les totalitarismes ou le fordisme qui vont provoquer une foule de résistances sociales. On parle alors de « retour de l'acteur » pour souligner ce renversement qui redonne à l'acteur son autonomie à l'égard d’une rationalité censée guider la totalité sociale. Enfin, sur le plan explicatif, la portée de la rationalité individuelle est de plus en plus contestée. En France, des auteurs comme Alain Caillé (1989), Serge Latouche (2001) et Bernard Maris systématisent cette critique en niant ou en relativisant le rôle que peut jouer la rationalité dans l'explication de l'action et dans l'explication de l’ordre social. === Le thème de la communication === Le tableau serait incomplet si on omettait de mentionner une dernière thématique très importante au {{s|20}}, celle de la communication. Elle regroupe différents thèmes : le langage, les interactions, les représentations sociales, les réseaux de communication, etc. Les recherches dans ce domaine se situent souvent à la frontière entre la sociologie, et des sciences plus spécialisées comme la linguistique, la sémiologie, la psychologie sociale, la théorie de l'information, les sciences cognitives et la systémique. Ses thèmes de recherche se rapprochent généralement de ceux de l'identité et du lien social, comme le montrera Georges H. Mead, un des précurseurs dans le domaine. Les travaux des interactionnistes symboliques et de l'école de Palo Alto ont eu une influence considérable sur la sociologie du {{s|20}} et constituent encore des thèmes de recherche privilégiés. À partir des années 1980, les recherches en sociologie de la communication tendent toutefois à s'orienter vers des domaines plus ciblés (médias, informatique, réseaux, etc.). {{Bas de page | idfaculté = socio-anthropologie | précédent = [[../Les classifications ou oppositions traditionnelles en sociologie/]] | suivant = [[../L'institutionnalisation de la sociologie/]] }} 6m5ovmp4ca6appi5364rili51m30dxo 0 4298 985072 967666 2026-07-21T11:12:38Z Zetud 1978 . 985072 wikitext text/x-wiki {{PàR|auteur=Karl1263}}{{à scinder}} {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Les ensembles finitaires/]] | niveau = 17 }} Les ensembles sont ici des systèmes formels, ou ensembles d'expressions formelles, des ensembles de ces ensembles et ainsi de suite. == Les expressions formelles == Les '''expressions formelles''' pourraient être définies comme des suites finies de symboles mais il est plus commode de leur donner la structure formelle de combinaisons d’opérateurs avec des objets de base. {{Exemple|contenu=Les nombres entiers positifs peuvent être considérés comme des expressions formelles définies à partir d’un unique objet de base, 0, et d’un opérateur unaire (à une place), s, la fonction de succession.}} Un nombre fini d’objets de base et d’opérateurs peuvent être choisis pour définir l’ensemble des expressions formelles. Pour la preuve du théorème fondamental de l’énumérabilité, il est commode de choisir un '''objet de base''', appelons-le o, un '''opérateur unaire''', s, et '''deux opérateurs binaires''', a et b. « ''est une expression formelle'' » est un '''prédicat unaire fondamental''' de ''Enum''. * (Eform1) o est une expression formelle * (Eform2) Si x est une expression formelle alors sx est une expression formelle * (Eform3) Si x et y sont des expressions formelles alors axy et bxy sont des expressions formelles ''(x et y sont des expressions formelles)'' est une abréviation pour ''(x est une expression formelle et y est une expression formelle)''. == Les fonctions == === Les termes === De nombreuses fonctions peuvent être définies à partir d’opérateurs fondamentaux quand on introduit des '''variables''' et des termes comme objets auxiliaires. Par exemple, ''x fois x'', ou ''x au carré'', est un terme, dont la seule variable est x. Il définit la fonction qui à x associe son carré. Quand on introduit les variables et les termes comme des objets, des « quelque chose », dans la théorie, il faut distinguer entre les constantes et les variables. Les expressions formelles, les ensembles, les fonctions et les prédicats (qui seront introduits plus loin) sont des constantes. Les variables et les termes qui contiennent des variables ne sont pas des constantes. Ce sont des objets auxiliaires, intermédiaires dans les calculs sur les constantes et qui servent à définir des fonctions et des prédicats. On peut considérer les termes comme des formes, ou des cadres, destinées à être remplies avec des constantes pour former d’autres constantes. Remplir un terme avec une constante c, consiste à substituer c à toutes les occurrences d’une variable. === Les listes de constantes === Les fonctions peuvent avoir n’importe quel nombre fini de variables, ou arguments. Une façon commode de formaliser cela consiste à introduire un opérateur binaire fondamental C. Cxy est le couple de x et y. CxCyz est le triplet de x, y et z. et ainsi de suite pour toutes les listes finies. On pourrait aussi définir un triplet par CCxyz. Le choix fait ici est arbitraire, mais une fois qu’il est fait, il vaut mieux s’y tenir, pour simplifier le traitement formel des fonctions. Il en va de même pour les quadruplets, qui sont définis par CwCxCyz, et pour tous les n-uplets, ou listes de n éléments. Dans le traitement formel des fonctions, une distinction des objets simples, ou listes de un élément, parmi les listes est alors requise. « est simple » et « est une constante » sont des prédicats unaires fondamentaux. Simp1 Si x est une expression formelle alors x est simple Simp2 Si x est un ensemble alors x est simple Const1 Si x est simple alors x est une constante Const2 Si x et y sont des constantes alors Cxy est une constante « est un ensemble » est un prédicat unaire fondamental qui sera introduit plus loin. Les expressions formelles, les ensembles, et leurs listes finies, sont les constantes de Enum. Pour simplifier l’ontologie on n’inclut pas les fonctions parmi les constantes. Cela veut dire qu’on ne peut pas construire d’ensembles de fonctions et de fonctions de fonctions. Ces constructions ne sont pas nécessaires ni pour définir les ensembles énumérables. === Les X-variables === Dans Enum, nous introduisons deux ensembles infinis de variables, les X-variables, X, X’, X’’… et les Z-variables, Z, Z’, Z’’… Les X-variables servent à définir des fonctions, par l’intermédiaire des X-termes. Les Z-variables servent à définir des prédicats, par l’intermédiaire des Z-termes. « est une X-variable » est un prédicat unaire fondamental, X est un objet de base. Un opérateur unaire ‘ (prime) est introduit pour produire d’autres X-variables, en nombre infini. Xvar1 X est une X-variable Xvar2 Si x est une X-variable alors x’ est une X-variable Ici X est un objet de la théorie de même que X’, X’’, X’’’ et les autres X-variables. === Les X-termes === Les X-termes serviront à définir des fonctions. Les règles suivantes initient l’ontologie des X-termes et donc celle des fonctions. Cette ontologie est déterminante pour la puissance des théories. Nous définirons deux types de fonctions, celles qui produisent des expressions formelles et celles qui produisent des ensembles. Les premières sont ici appelées fonctions numériques, parce que les expressions formelles sont une sorte de nombres généralisés. Les secondes sont les fonctions ensemblistes. Elles seront introduites plus loin. « est un X-terme numérique » est un prédicat unaire fondamental. Xterme1 Si x est une expression formelle alors x est un X-terme numérique Xterme2 Si x est une X-variable alors x est un X-terme numérique Xterme3 Si x et y sont des X-termes numériques alors Cxy est un X-terme numérique Xt-Num1 Si x est un X-terme numérique alors sx est un X-terme numérique Xt-Num2 Si x et y sont des X-termes numériques alors axy et bxy sont des X-termes numériques === Chaque X-terme définit une fonction === « est une fonction » est un prédicat unaire fondamental. « Image par…de » est un opérateur binaire fondamental. Il sera souvent abrégé avec « Im par…de ». Ils seront introduits plus loin. Si f est une fonction et si x est dans le domaine de f alors Image par f de x existe, ou est une constante. Si x n’est pas dans le domaine de f ou si f n’est pas une fonction alors Image par f de x ne peut pas être considéré comme le nom de quelque chose, ou comme une constante. « Fonction ».est un opérateur unaire fondamental. Il sera souvent abrégé par Fonc. « est une fonction numérique » et « est un X-terme » sont des prédicats unaires fondamentaux FoncNum1 Si t est un X-terme numérique alors Fonction t est une fonction numérique FoncNum2 Si t est un X-terme numérique alors t est un X-terme FoncNum3 Si f est une fonction numérique alors f est une fonction = est le prédicat binaire fondamental de l’égalité. Les règles pour l’égalité sont données plus loin. « est obtenue par une suite correcte de substitutions de la liste… dans » est un prédicat ternaire fondamental qui sera introduit plus loin avec des règles auxiliaires. On peut alors énoncer la règle fondamentale des fonctions. Fonc Si t est un X-terme et c est une constante et d est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste c dans t et d est une constante alors d = Image par Fonction t de c Les parenthèses sont souvent omises dans l’énoncé de ces règles parce qu’elles ne contiennent qu’un seul opérateur « Si…alors ». Il est implicite que les prémisses sont rassemblées entre le si et le alors, de même pour les conclusions qui suivent le alors. La règle FoncNum1 est la seule qui introduit des fonctions numériques dans l’ontologie de Enum. Toutes les fonctions numériques y sont donc définies par des X-termes numériques. Nous verrons plus loin que l’ontologie des fonctions ensemblistes est également déterminée par l’ontologie des X-termes ensemblistes. Nous voudrions que s, a et b soient des fonctions pour cette théorie. Mais on ne peut pas simplement dire que s, a et b sont des fonctions parce qu’ils ne sont pas des objets de la théorie et ne peuvent pas l’être, si l’on veut que les règles ordinaires de la grammaire des opérateurs soient respectées. Une formule telle qu'ass est grammaticalement incorrecte, parce que s n’est pas un nom d’objet mais un nom d’opérateur qui sert à nommer les objets de la théorie. Mais Fonction sX est un nom pour la fonction s, de même que Fonction aXX’ et Fonction bXX’ pour les fonctions a et b de deux variables. == Règles de base pour les égalités == « = » est un prédicat binaire fondamental. Les ensembles énumérables peuvent toujours être définis comme des ensembles d’expressions formelles. Pour produire les vérités atomiques sur les ensembles énumérables, on a besoin des équations entre noms d’expressions formelles et entre listes d’expressions formelles. Les équations entre expressions formelles peuvent toutes être engendrées avec l’unique règle Eq1 parce que deux expressions formelles sont égales si et seulement si elles sont composées avec la même combinaison des opérateurs s, a et b, dans le même ordre. Les égalités entre fonctions ne sont pas nécessaires dans Enum. On n’en a pas besoin pour produire les vérités atomiques d’appartenance aux ensembles énumérables. Comme on va définir des fonctions ensemblistes, on n’aura cependant besoin d’équations entre ensembles. Cela pose ''a priori'' un problème, parce que l’égalité des ensembles est fixée par l’axiome d’extensionalité et que l’ensemble de toutes les égalités entre ensembles n’est pas énumérable. Mais pour produire les vérités atomiques d’appartenance aux ensembles énumérables, on n’a pas besoin de toutes les égalités entre ensembles. Les règles Eq1, Fonc et les suivantes suffiront. Eq1 Si x est une constante alors x = x La règle suivante suffit alors pour produire toutes les équations entre listes d’expressions formelles. EqC Si x = y et v = w alors Cxv = Cyw Les noms d’expressions formelles peuvent contenir des fonctions. La règle Fonc2 produit des égalités qui contiennent de tels noms. Pour produire les autres, on a besoin des règles suivantes. Eq1 Si x = y alors y = x Eq2 Si x = y et y = z alors x = z EqIm Si x = y et Image de x par f est une constante alors Image de x par f = Image de y par f Eq2 est la règle fondamentale qui permet d’enchainer des calculs. Ces règles doivent être complétées par les deux suivantes pour pouvoir enchainer les productions. EqEform Si x = y et x est une expression formelle alors y est une expression formelle EqEns Si x = y et x est un ensemble alors y est un ensemble EqDans Si x = y et x est dans z alors y est dans z == La construction finitaire des ensembles infinis == « est dans » est un prédicat binaire fondamental. « est un ensemble » est un prédicat unaire fondamental. « Ensemble induit par…à partir de » est un opérateur binaire fondamental. Il sera souvent abrégé par « Ind par…de ». Ensemble induit par g à partir de i est l’ensemble qui contient i et toutes ses images, g(i), g(g(i)), g(g(g(i)))…obtenues par un nombre fini d’applications de g. Infini1 Si i est une constante et g est une fonction alors Ensemble induit par g à partir de i est un ensemble Infini2 Si i est une constante et g est une fonction alors i est dans Ensemble induit par g à partir de i Infini3 Si x est dans Ensemble induit par g à partir de i alors Image par g de x est dans Ensemble induit par g à partir de i Ensemble induit par g à partir de i est souvent infini, pour de nombreuses fonctions g. Ces règles permettent de prouver une version finitaire de l’axiome de l’infini. == Les extensions des prédicats finitaires == L’axiome de compréhension de Frege dit que pour tout prédicat, ou concept, il existe l’ensemble de tous les êtres pour lesquels ce concept est vrai. Autrement dit, tout concept a une extension conceptuelle. Russell a prouvé que cet axiome est trop général pour être cohérent. Nous avons donc besoin d’une forme plus faible de l’axiome de compréhension si nous voulons une théorie fiable. Dans les mathématiques finitaires, il semble assez naturel de se limiter aux constructions prédicatives des ensembles. Cela veut dire que le prédicat par lequel on définit un ensemble ne mentionne que des ensembles déjà définis. Même le domaine d’existence, associé aux opérateurs d’existentiation et de généralisation doit être un ensemble déjà défini. L’axiome de séparation de Zermelo va au delà des définitions prédicatives parce qu’il autorise comme domaine d’existence la classe de tous les ensembles. Ces définitions non-prédicatives posent des difficultés quand on cherche des preuves de cohérence. Elles semblent cependant assez indispensables à certaines parties avancées des mathématiques. Ici nous allons d’abord définir les prédicats comme des objets de la théorie. (Être un objet de la théorie, c’est faire partie de son domaine d’existence, ou de son univers.) Parmi les prédicats, on distinguera les prédicats finitaires. Dans Enum, les prédicats finitaires sont toujours obtenues avec des conjonctions, des disjonctions et des existentiations à partir de prédicats atomiques. Des règles finitaires plus générales, qui introduisent la négation dans les prédicats, et permettent d’y définir des généralisations prédicatives peuvent être énoncées pour obtenir des théories plus puissantes qu'Enum. Elles ne sont pas nécessaires pour définir les ensembles énumérables. Les prédicats finitaires ne contiennent que des variables prédicatives. Les premières variables prédicatives sont celles qui varient seulement sur un ensemble nommé dans le prédicat, une constante. Les autres variables prédicatives ne doivent varier qu’à l’intérieur d’un ensemble désigné par une variable dont on sait déjà qu’elle est prédicative. « est un prédicat finitaire » est un prédicat unaire fondamental et sera introduit plus loin. « Extension de » est un opérateur unaire fondamental, il sera souvent abrégé par Ext. Frege1 Si x est un prédicat finitaire alors Extension de x est un ensemble Frege2 Si p est un prédicat finitaire et q est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste c dans p et q est vrai alors c est dans Extension de p « est vrai » est un prédicat unaire fondamental et est introduit plus loin. === Les Z-variables et les Z-termes === Les X-variables ne sont pas introduites dans les prédicats, parce que pour le traitement à venir des fonctions ensemblistes, on a besoin d’une nette séparation entre la substitution à des X-variables et la substitution à des Z-variables. « est une Z-variable » et « est un Z-terme » sont des prédicats unaires fondamentaux. Zvar1 Z est une Z-variable Zvar2 Si x est une Z-variable alors x’ est une Z-variable Zterm1 Si x est une Z-variable alors x est un Z-terme Zterm2 Si x est une constante alors x est un Z-terme Zterm3 Si x est un Z-terme et f est une fonction alors Im par f de x est un Z-terme Zterm4 Si x et y sont des Z-termes alors Cxy est un Z-terme === Des prédicats === « Dans » et « Égale » sont des opérateurs binaires fondamentaux. Ils ne sont pas des prédicats fondamentaux de Enum mais seulement des opérateurs qui servent à nommer des prédicats formels. On emploie ici prédicat en deux sens, d’une part les prédicats fondamentaux de Enum, qui ne sont pas des objets de Enum, d’autre part, les prédicats formels, ou tout simplement prédicats, qui sont des objets de Enum. Le contexte doit suffire pour comprendre à chaque fois de quels prédicats l’on parle. « est un prédicat » est un prédicat unaire fondamental. On pourrait dire aussi, « est un prédicat formel », pour éviter l’équivoque, mais je n’adopterai pas cet usage, pour éviter des formulations trop lourdes. PredDans Si x est un Z-terme et (y est un ensemble ou y est une Z-variable) alors (x Dans y) est un prédicat PredEgale Si x et y sont des Z-termes alors (x Égale y) est un prédicat « …Et…. », « …Ou… » et « il existe un…tel que » sont des opérateurs binaires fondamentaux qui servent à nommer des prédicats. Ils sont distincts des opérateurs logiques de conjonction, de disjonction et d’existentiation utilisés dans toutes les théories. PredEt Si p et q sont des prédicats alors (p Et q) est un prédicat PredOu Si p et q sont des prédicats alors (p Ou q) est un prédicat PredExist Si x est une Z-variable et p est est un prédicat alors (il existe un x tel que p) est un prédicat === Des prédicats finitaires === PredFinDans Si x est un Z-terme et y est un ensemble alors (x Dans y) est un prédicat finitaire PredFinEgale Si c est une constante et x est une Z-variable alors (x Égale c) et (c Égale x) sont des prédicats finitaires PredFinEt1 Si p et q sont des prédicats finitaires alors (p Et q) est un prédicat finitaire PredFinEt2 Si x est un Z-terme et y est une Z-variable et p est un prédicat finitaire et y a au moins une occurrence dans p alors ((x Dans y) Et p) et (p Et (x Dans y)) sont des prédicats finitaires PredFinEt3 Si x et y sont des Z-termes et ont toutes leurs variables dans p et p est un prédicat finitaire alors ((x Égale y) Et p) et (p Et (x Égale y)) sont des prédicats finitaires La règle suivante est ainsi nommée parce qu’elle permet de prouver une version finitaire de l’axiome de remplacement. Fraenkel Si x est une Z-variable et y est un Z-terme et p est un prédicat finitaire et y a toutes ses variables dans p alors ((x Égale y) Et p) et (p Et (x Égale y)) sont des prédicats finitaires PredFinOu Si p et q sont des prédicats finitaires et p a toutes ses variables dans q et q a toutes ses variables dans p alors (p Ou q) est un prédicat finitaire « a au moins une occurrence dans » et « a toutes ses variables dans » sont des prédicats binaires fondamentaux introduits avec les règles auxiliaires sur les variables. PredFinExist Si p est un prédicat finitaire et x est une Z-variable alors (il existe un x tel que p) est un prédicat finitaire === Un prédicat de vérité === « est vrai » est un prédicat unaire fondamental. Pvrai1 Si x est dans y alors (x Dans y) est vrai Pvrai2 Si x = y alors (x Égale y) est vrai PvraiEt Si p et q sont vrais alors (p Et q) est vrai « est une assertion » est une prédicat unaire fondamental. Asser1 Si x est une constante et y est un ensemble alors (x Dans y) est une assertion Asser2 Si x et y sont des constantes alors (x Égale y) est une assertion Asser3 Si p et q sont des assertions alors (p Et q) et (p Ou q) sont des assertions PvraiOu Si p est vrai et q est une assertion alors (p Ou q) et (q Ou p) sont vrais PvraiExist Si p est vrai et c est une constante et c est simple et z est une Z-variable et p est obtenu à partir de la substitution de c à toutes les occurrences de z dans q alors (il existe un z tel que q) est vrai Ce prédicat de vérité est partiel. Il ne détermine la vérité que des énoncés formés avec des égalités et des appartenances. == Des opérateurs ensemblistes dérivés == Les opérateurs Singleton de, Paire de, Union, Inter, Ensemble-somme de, Ensemble-image par…de, et Produit cartésien de…et, peuvent être définis avec la présente ontologie des prédicats finitaires. Singleton de x est l’ensemble qui contient x comme unique élément. Singleton de x =def Extension de Z Égale x Paire de x et y =def Extension de (Z Égale x Ou Z Égale y) x Union y =def Extension de (Z Dans x Ou Z Dans y) x Inter y =def Extension de (Z Dans x Et Z Dans y) Ensemble-somme de x =def Extension de (il existe un Z' tel que (Z' Dans x Et Z Dans Z')) Ensemble-image par f de x =def Extension de (il existe un Z' tel que(Z' Dans x Et Z Égale Image par f de Z')) Produit cartésien de x et y =def Extension de (Z Dans x Et Z’ Dans y) Singleton de et Union permettent de construire tous les ensembles finis. Les règles suivantes ne sont pas des règles de production de Enum. Ce sont des règles dérivées à partir des règles déjà énoncées (et des règles auxiliaires, exposées plus loin) et de la définition des opérateurs ensemblistes. Sing1 Si x est une constante alors Singleton de x est un ensemble Sing2 Si x est une constante alors x est dans Singleton de x Union1 Si x et y sont des ensembles alors x Union y est un ensemble Union2 Si z est dans x ou z est dans y alors z est dans x Union y Inter1 Si x et y sont des ensembles alors x Inter y est un ensemble Inter2 Si z est dans x et z est dans y alors z est dans x Inter y L’opérateur Union permet de faire la réunion d’un nombre fini d’ensembles. Comme abréviation dans les preuves à venir, on introduira Union(E, F…G) où E, F…, G est une liste finie d’ensembles pour abréger ((E Union F) Union … Union G). « Ensemble-somme de… » permet de faire la réunion d’un ensemble fini ou infini d’ensembles. Esom1 Si x est un ensemble alors Ensemble-somme de x est un ensemble Esom2 Si y est dans z et z est dans x alors y est dans Ensemble-somme de x Eim1 Si x est un ensemble et f est une fonction alors Ensemble-image de x par f est un ensemble Eim2 Si x est dans y et Image de x par f est une constante alors Image de x par f est dans Ensemble-image de y par f Pcart1 Si x et y sont des ensembles alors Produit cartésien de x et y est un ensemble Pcart2 Si u est dans x et v est dans y alors Cuv est dans Produit cartésien de x et y Produit cartésien de x et y peut être abrégé par (x Pcart y). == Les fonctions ensemblistes == Pour définir des fonctions ensemblistes, c’est-à-dire des fonctions qui associent des ensembles à des ensembles, on définit des '''X-termes''' ensemblistes qui déterminent des extensions. Pour cela on a besoin de la règle suivante. :''(XtZt)'' Si x est un Z-terme alors x est un X-terme. Dans les X-termes, les Z-variables sont considérées comme des constantes. Cela veut dire que seules les X-variables donnent lieu à des substitutions. Les Z-termes servent seulement à construire des prédicats dont on prend ensuite l’extension. * ''(XtDans)'' Si x et y sont des X-termes alors x Dans y est un X-terme * ''(XtEgale)'' Si x et y sont des X-termes alors x Égale y est un X-terme * ''(XtEt)'' Si x et y sont des X-termes alors x Et y est un X-terme * ''(XtOu)'' Si x et y sont des X-termes alors x Ou y est un X-terme * ''(XtExist)'' Si x est un X-terme et z est une Z-variable alors (il existe un z tel que x) est un X-terme * ''(XtExt)'' Si t est un X-terme alors Extension de t est un X-terme La règle suivante permet alors de définir toutes les fonctions ensemblistes dont on a besoin dans Enum. * ''(FoncEns1)'' Si t est un X-terme alors Fonction Extension de t est une fonction ensembliste * ''(FoncEns2)'' Si f est une fonction ensembliste alors f est une fonction On n’a pas donné la règle pour l’introduction de « ''Ensemble induit par… à partir de…'' » dans les X-termes parce qu’elle n’est pas nécessaire pour définir les ensembles énumérables. == Règles auxiliaires pour les variables == === L’égalité, l’ordre et la différence des variables === « est avant » et « ≠ » sont des prédicats binaires fondamentaux. x ≠ y veut dire que x n’est pas égal à y, mais il n’est pas défini ainsi à l’intérieur de Enum, parce qu’on n’y veut pas de négations. EqXvar Si x est une X-variable alors x = x EqZvar Si x est une Z-variable alors x = x OrVar1 Si x est une X-variable alors X est avant x’ OrVar2 Si x est une Z-variable alors Z est avant x’ OrVar3 Si x est avant y alors x’ est avant y’ DiffVar1 Si x est avant y alors x ≠ y et y ≠ x DiffVar2 Si x est une X-variable et y est une Z-variable alors x ≠ y et y ≠ x === La substitution à toutes les occurrences d’une variable === « est obtenu par la substitution de…à toutes les occurrences de…dans » est un prédicat fondamental quaternaire. subst vyxu est une abréviation pour v est obtenu par la substitution de y à toutes les occurrences de x dans u. x est une variable =def (x est une X-variable ou x est une Z-variable) SubVar1 Si c est une constante et x est une variable alors c est obtenu par la substitution de c à toutes les occurrences de x dans x SubVar2 Si c est une constante et x et y sont des variables et x ≠ y alors x est obtenu par la substitution de c à toutes les occurrences de y dans x SubConst Si c et d sont des constantes et x est une variable alors c est obtenu par la substitution de d à toutes les occurrences de x dans c SubC Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (Cvq)yx(Cup) SubIm Si subst vyxu et f est une fonction alors subst (Image par f de v)yx(Image par f de u) SubExt1 Si subst vyxu et x est une X-variable alors subst (Extension de v)yx(Extension de u) SubExt2 Si subst vyxu et x est une Z-variable alors subst (Extension de u)yx(Extension de u) Les règles SubstIm , SubExt1 et SubExt2 sont subtiles. Lorsque f est défini par un terme t, f = Fonction t, son nom contient en général des X-variables , celles qui ont des occurrences dans t. Mais ces variables ne sont pas libres. On ne doit pas y faire de substitutions parce que cela changerait la constante f. On dit que ces variables sont liées par l’opérateur Fonction. La règle SubIm respecte le principe que les variables liées ne sont pas concernées par les substitutions, de même que la règle SubstExt2, parce que les Z-variables sont liées par l’opérateur Extension. En revanche les X-variables ne sont pas liées par cet opérateur. Parmi les fonctions de Enum définies par des X-termes qui contiennent des Z-variables, les seules qui sont vraiment intéressantes sont celles pour lesquelles ces variables sont liées et il n’est pas nécessaire de faire des substitutions aux occurrences des Z-variables dans Fonction t. Pour élargir l’ontologie avec des fonctions de fonctions, on peut introduire des Y-variables. Il faut introduire des règles semblables à SubC pour tous les opérateurs qui servent à construire des X-termes et des prédicats. Subs Si subst vyxu alors subst (sv)yx(su) Suba Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (avq)yx(aup) Subb Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (bvq)yx(bup) SubDans Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (v Dans q)yx(u Dans p) SubEgale Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (v Égale q)yx(u Égale p) SubEt Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (v Et q)yx(u Et p) SubOu Si subst vyxu et subst qyxp alors subst (v Ou q)yx(u Ou p) SubExist1 Si subst vyxu et x ≠ z alors subst (il existe un z tel v)yx(il existe un z tel qu'u) SubExist2 Si z est une Z-variable et y est une constante et u est un prédicat alors subst (il existe un z tel qu'u)yz(il existe un z tel qu'u) « est premier dans » est un prédicat binaire fondamental. VarPrem1 Si x est une variable alors x est premier dans x VarPrem2 Si x est premier dans t et z est une constante alors x est premier dans Ctz et x est premier dans Czt VarPremC Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans Ctu et dans Cut VarPremIm Si x est premier dans t et f est une fonction alors x est premier dans Image par f de t VarPremExt Si x est une X-variable et est premier dans t alors x est premier dans Extension de t Il faut introduire des règles semblables pour tous les opérateurs qui servent à construire des X-termes et des prédicats. VarPrems Si x est premier dans t alors x est premier dans st VarPrema Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans atu et dans aut VarPremb Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans btu et dans but VarPremDans Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans (t Dans u) et dans (u Dans t) VarPremEgale Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans (t Égale u) et dans (u Égale t) VarPremEt Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans (t Et u) et dans (u Et t) VarPremOu Si x est premier dans t et y est premier dans u et (x est avant y ou x = y) alors x est premier dans (t Ou u) et dans (u Ou t) VarPremExist Si x est premier dans t et x ≠ z alors x est premier dans (il existe un z tel que t) === Les suites correctes de substitutions de variables === « est obtenu par une substitution correcte de … dans » et « est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste … dans » sont des prédicats ternaires fondamentaux. SubCor1 Si t est un X-terme et x est une X-variable et x est premier dans t et subst uwxt et w est simple alors u est obtenu par une substitution correcte de w dans t SubCor2 Si p est un prédicat et x est une Z-variable et x est premier dans p et subst qwxt et w est simple alors q est obtenu par une substitution correcte de w dans p SubCor3 Si v est obtenu par une substitution correcte de w dans u alors v est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste w dans u SubCor4 Si v est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste w dans u et x est obtenu par une substitution correcte de y dans v alors x est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste Cyw dans u Ces règles prescrivent l’ordre des substitutions des éléments d’une liste aux variables d’un X-terme ou d’un prédicat. Par exemple a(sso)a(so)o est obtenu par une suite correcte de substitutions de la liste CoCso(sso) dans aXaX’X’’. Pour ne pas compliquer le formalisme, on n’a pas donné assez de règles pour produire toutes les vérités lorsque les premières variables libres dans un prédicat sont quantifiées. Cela oblige alors à quantifier uniquement sur les dernières variables libres d’un prédicat pour que les suites correctes de substitutions soient produites. === Les occurrences des Z-variables === « a au moins une occurrence dans » est un prédicat binaire fondamental. OcZvar1 Si x est une Z-variable alors x a au moins une occurrence dans x OcZvar2 Si t et z sont des Z-termes et x a au moins une occurrence dans t alors x a au moins une occurrence dans Ctz et dans Czt OcZvar3 Si t est un Z-terme et x a au moins une occurrence dans t et f est une fonction alors x a au moins une occurrence dans Image par f de t OcZvar4 Si x a au moins une occurrence dans t et y est un Z-terme alors x a au moins une occurrence dans (t Dans y), dans (y Dans t), dans (y Égale t) et dans (t Égale y) OcZvar5 Si p et q sont des prédicats et x a au moins une occurrence dans p alors x a au moins une occurrence dans (p Et q) et x a au moins une occurrence dans (p Ou q) OcZvar6 Si p est un prédicat et x a au moins une occurrence dans p et x ≠ z alors x a au moins une occurrence dans (il existe un z tel que p) === L’inclusion des variables dans les Z-termes === « a toutes ses variables dans » est un prédicat binaire fondamental. IncVarTerm1 Si x est un Z-terme alors x a toutes ses variables dans x IncVarTerm2 Si x est une constante et y est un Z-terme alors x a toutes ses variables dans y IncVarTerm3 Si x a toutes ses variables dans y et z est un Z-terme alors x a toutes ses variables dans Cyz et dans Czy IncVarTerm4 Si x et y ont toutes leurs variables dans z alors Cxy a toutes ses variables dans z IncVarTerm5 Si x a toutes ses variables dans y et u a toutes ses variables dans v alors Cxu a toutes ses variables dans Cyv et dans Cvy IncVarTerm6 Si x a toutes ses variables dans y et y est un Z-terme et f est une fonction alors x a toutes ses variables dans Image par f de y et Image par f de x a toutes ses variables dans y === L’inclusion des variables dans les prédicats === IncVarPred1 Si x , y et z sont des Z-termes et x a toutes ses variables dans Cyz alors x a toutes ses variables dans (y Dans z) IncVarPred2 Si z est un prédicat et x et y sont des Z-termes et ont toutes leurs variables dans z alors (x Dans y) et (x Égale y) ont toutes leurs variables dans z IncVarPred3 Si p, q et r sont des prédicats et p a toutes ses variables dans q alors p a toutes ses variables dans (q Et r), dans (r Et q), dans (q Ou r) et dans (r Ou q) IncVarPred4 Si p, q et r sont des prédicats et p et q ont toutes leurs variables dans r alors (p Et q) et (p Ou q) ont toutes leurs variables dans r IncVarPred5 Si p et q sont des prédicats et z est une Z-variable et p a toutes ses variables dans Cqz alors (il existe un z tel que p) a toutes ses variables dans q IncVarPred6 Si p et q sont des prédicats et z est une Z-variable et Cpz a toutes ses variables dans q alors p a toutes ses variables dans (il existe un z tel que q) == Conclusion : la définition du système Enum de toutes les vérités atomiques d’appartenance à tous les ensembles énumérables == === Les 3 objets de base de Enum === * o * X * Z === Les 14 opérateurs fondamentaux de Enum === * s * a * b * C * ‘ (prime) * Image par…de * Fonction * Ensemble induit par…à partir de * Extension de * Dans * Égale * Et * Ou * il existe un…tel que === Les 25 prédicats fondamentaux de Enum === * est une expression formelle * est un ensemble * est dans * = * est simple * est une fonction numérique * est une fonction * est une constante * est une X-variable * est un X-terme * est une Z-variable * est un Z-terme * est un prédicat * est un prédicat finitaire * est vrai * est une assertion * est une fonction ensembliste * est avant * ≠ * est obtenu par la substitution de…à toutes les occurrences de…dans * est premier dans * est une substitution correcte de…dans * est une suite correcte de substitutions de la liste…dans * a au moins une occurrence dans * a toutes ses variables dans === Les 3 formules initiales de Enum === * o est une expression formelle * X est une X-variable * Z est une Z-variable === Les 122 règles de production de Enum === Ce sont toutes celles qui ont été exposées, sauf les règles dérivées. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Introduction/]] | suivant = [[../Les ensembles finitaires/]] }} 4erb55z0whw6rvg5w379lxod9wrt2eb 4 9284 985087 911892 2026-07-21T18:06:31Z Crochet.david 317 /* Palette */ . 985087 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ == Suggestions == Lorsque vous choisissez les couleurs de votre faculté : * choisissez-les bien différenciées (notamment par la luminosité) pour qu’elles se distinguent lorsque superposées et pour suggérer la richesse des sujets couverts ; * évitez une saturation trop forte (éloignement du gris), préférez des couleurs assez ternes qui agresseront moins le lecteur ; * prenez une couleur foncée pour le premier plan et une couleur claire pour l'avant-plan ; * vérifiez ci-dessous que la lisibilité est bonne pour votre faculté. == Palette == {| | {| class="wikitable plainlinks" ! Faculté !! Titre !! Parties !! Sections !! Contenu !! Liens |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|arts plastiques}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|astronomie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|biologie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|chimie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|droit}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|économie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|environnement}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|français}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|géographie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|géologie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|gestion}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|histoire}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|infographie}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|informatique}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|jeux}} |- {{Requêtes de facultés/Couleurs|langues}} |} | {| class="wikitable plainlinks" ! Faculté !! Titre !! Parties !! Sections !! Contenu !! 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On s'adresse généralement aux personnes que l’on ne connaît pas en utilisant le vouvoiement. == Salutations == Les salutations les plus fréquentes en néerlandais sont : {{Traductions|langue1=nl|langue2=fr| Goedemorgen| Bonjour (On peut l'employer du matin jusque maximum midi)| Goedemiddag| Bonjour (On l'utilise de 12 à 18 heures)| Goedenavond| Bonsoir (On l'utilise de 18 à 22 heures)| Dag| Bonjour / Au revoir (Salutation écourtée largement utilisée)| Hallo| Hello (Manière informelle de dire bonjour)| Hoi| Salut (Très utilisé dans les régions Nord des Pays-Bas. En Flandre, on entendra plutôt l’expression '''Hey''')| }} == Comment allez-vous ? == Il s'agit d'une expression très utilisée, juste après la salutation de départ, une manière polie de prendre connaissance de la santé de l'autre. Cette phrase peut avoir différentes formes {{Traductions|langue1=nl|langue2=fr | Hoe maakt u het ? | Comment allez-vous ? (forme très respectueuse mais un peu dépassée) | Hoe gaat het met u ? | Comment allez-vous ? (forme respectueuse) | Hoe gaat het ermee ? | Comment ça va ? | Hoe gaat het met jou ? | Comment vas-tu ? | Hoe gaat het ? | Comment va ? }} À ce type de questions, différentes réponses sont possibles, voici les plus communes : * '''Uitstekend''' : Parfaitement bien * '''Prima''' : Très bien (utilisé en Flandre) * '''Heel goed''' : Très bien * '''Goed, dank je''' : Bien, merci * '''Het gaat wel''' : Ça peut aller (entre amis) * '''Niet zo goed''' : Pas très bien (entre amis) On ajoute souvent, si l'autre personne a posé la question en premier '''En met u?''' (Et vous ?). == Se présenter et présenter d'autres personnes == Voici deux formes pour se présenter en néerlandais : * '''Hallo, ik ben Raymond Dubois.''' : Hello, je suis Raymond Dubois. * '''Ik zal me even voorstellen. Ik ben Raymond Dubois''' : Permettez-moi de me présenter, je suis Raymond Dubois Pour présenter une autre personne, on peut toujours utiliser la forme '''Dit is''' (Voici). On trouvera également dire '''Mag ik u voorstellen : Jeanne Martinet''' (Permettez-moi de vous présenter Jeanne Martinet). Après une présentation, les gens à qui vous vous êtes présenté (ou avez présenté quelqu’un vous répondront généralement '''Prettig met u kennis te maken''' (Enchanté de vous connaître). Vous répondrez alors '''Insgelijks''' (Moi de même). == Dire au revoir == Au revoir peut se traduire de différentes manières : * '''Tot ziens''' (au revoir, forme polie) * '''Daag''' (au revoir, entre amis) * '''Doei''' ou '''Doeg''' (très informel et pas utilisé en Flandres) * '''Houd je goed''' (Très informel et utilisé en Flandres) Parfois, on ajoutera des expressions comme: {{Traductions|langue1=nl|langue2=fr |Het was gezellig|C'était très agréable |Veel succes| Bonne chance}} {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Les mois et les jours/]] | suivant = [[../Nombres/]] }} [[Catégorie:Se présenter]] de06gpo64q5d1g4zmfn2mktmr9yt5ge 0 18944 985070 968666 2026-07-21T11:02:23Z Zetud 1978 . 985070 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | niveau = 13 | chapitre = [[../../Étude de la fonction exponentielle/]] | précédent = [[../Propriétés algébriques de l'exponentielle/]] | suivant = [[../Désintégration des corps radioactifs/]] }} Certaines études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|dérivation d'une composée par une fonction affine]] (niveau 11). == Exercice 1 : étude de fonction == ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par : :pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}</math>. '''1.''' Étudier les variations de ƒ. '''2.''' Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>. '''3.''' Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math> dont on donnera une équation. '''4.''' Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>. '''5.''' Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2. {{Solution | contenu = '''1. Étudier les variations de ƒ.''' :ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : :<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math> Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\leq 0</math> {{Encadre|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}} '''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' * <math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math> * <math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math> {{Encadre|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}} '''3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>''' On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres : * une partie affine : <math>x\mapsto -x+\frac52</math> * une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto e^{-x}</math> Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : :<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math> {{Encadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}} '''4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.''' :Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative. {{Encadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}} '''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' :D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : :<math>\begin{align} y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ &=-2+\frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\ &=\frac12-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\ &=\frac12-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\ &=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52\\ \end{align}</math> {{Encadre|contenu=Donc la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 a pour équation <math>y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52</math>}} }} == Exercice 2 : étude de fonction == ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par : :pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>. '''1.''' Étudier les variations de ƒ. '''2.''' Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>. '''3.''' Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math> dont on donnera une équation. '''4.''' Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>. '''5.''' Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2. {{Solution|contenu= '''1. Étudier les variations de ƒ.''' :ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : :<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math> Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\geq 0</math> {{Encadre|contenu=On en déduit que ƒ est croissante.}} '''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' * <math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math> * <math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math> {{Encadre|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}} '''3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>''' On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres : * une partie affine : <math>x\mapsto 2x-\frac52</math> * une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto 2e^{-x}</math> Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : :<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math> {{Encadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}} '''4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.''' :Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive. {{Encadre|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}} '''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' :D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : :<math>\begin{align} y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ &=2\times2-\frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\ &=\frac32+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\ &=-\frac52+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\ \end{align}</math> {{Encadre|contenu=Donc la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 a pour équation <math>y=2(1-e^{-2})x-\frac52+6e^{-2}</math>}} }} == Exercice 3 : dérivation == Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. '''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> '''2.''' <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math> '''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math> '''4.''' <math>f_4:x\mapsto \frac{7xe^{-x}}{3}</math> {{Solution|contenu= Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>. '''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> * Cette fonction se dérive comme un produit. ** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> ** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> ** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math> '''2. <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>''' * Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. ** On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math> ** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> ** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> ** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math> '''3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>''' * On va utiliser [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]] ** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math> ** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math> ** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times(-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math> '''4.''' <math>f_4:x\mapsto \frac{7xe^{-x}}{3}</math> * La dérivation de cette fonction nécessite [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|le théorème de dérivation d'une fonction composée]]. ** On a <math>f_4:x\mapsto \frac{7}{3}xe^{-x}</math> ** On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto xe^{-x}</math> ** On dérive <math>f_4</math> selon <math>(ku)'=ku'</math> : *** La dérivée de <math>u</math> est définie par <math>u':x\mapsto e^{-x}-xe^{-x}</math> ** On obtient <math>f_4'(x)= \frac{7}{3}(e^{-x}-xe^{-x})</math> ** Soit, pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)= \frac {7}{3} e^{-x}(1-x)</math> }} == Exercice 4 : dérivation == Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. '''1.''' <math>f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}</math> '''2.''' <math>f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}</math> '''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}</math> '''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math> '''5.''' <math>f_5:x\mapsto 3e^{-4x}</math> '''6.''' <math>f_6:x\mapsto xe^{2x-1}</math> '''7.''' <math>f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}</math> {{Solution | contenu = '''1.''' <math>f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}</math> * On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 5x-2</math> et <math>v:x\mapsto e^{-x}</math> * Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 5</math> et <math>v':x\mapsto -e^{-x}</math> * Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}</math> '''2.''' <math>f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}</math> * On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> * Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> * Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^2)=(x^2+2x)e^(-x)=x(x+2)(e^-x)</math> '''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}</math> * On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-4x}</math> * Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -4e^{-4x}</math> * Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}</math> '''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math> * On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto 2x+3</math> * Sa dérivée est définie par <math>u':x\mapsto 2</math> * Comme <math>f_4=e^u</math>, on a pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}</math> '''5.''' <math>f_5:x\mapsto 3e^{-4x}</math> * Pour tout <math>x\in\R, f_5'(x)=-12e^{-4x}</math> '''6.''' <math>f_6:x\mapsto xe^{2x-1}</math> * On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x</math> et <math>v:x\mapsto e^{2x-1}</math> * Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 1</math> et <math>v':x\mapsto 2e^{2x-1}</math> * Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}</math> '''7.''' <math>f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}</math> * On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{\frac{x}{2}}</math> * Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto \frac12e^{\frac{x}{2}}</math> * Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(\frac32x+3\right)e^{\frac{x}{2}}</math>}} == Exercice 5 : étude de fonction == Pour tout réel ''λ'' > 0, on note ƒ_''λ'' la fonction définie sur <math>\R</math> par : :pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(x)=\frac{e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda}</math> '''1.''' Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_''λ'' pour ''λ'' = 0,5 et pour ''λ'' = 3. '''2.''' Démontrer que ƒ_''λ'' est paire, c'est-à-dire pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)</math>. '''3.''' Étudier les variations de ƒ_''λ'' et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>. {{Solution | contenu = '''1.''' Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_''λ'' pour ''λ'' = 0,5 et pour ''λ'' = 3. [[Fichier:WV-ExoMaths00005.svg|400px]] * <math>\color{red}\lambda=\frac12</math> * <math>\color{green}\lambda=3</math> '''2.''' Démontrer que ƒ_''λ'' est paire, c'est-à-dire pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)</math>. :Soit <math>x\in\R</math> :<math>\begin{align} f_{\lambda}(-x)&=\frac{e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda}\\ &=\frac{e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda} \end{align}</math> {{Encadre|contenu=Donc ƒ_''λ'' est paire.}} '''3.''' Étudier les variations de ƒ_''λ'' et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>. :ƒ_''λ'' est dérivable et, pour tout <math>x\in\R</math> : ::<math>\begin{align} f_{\lambda}'(x)&=\frac{\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda)e^{-\lambda x}}{2\lambda}\\ &=\frac{e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}2\\ &=\frac{e^{\lambda x}\left(1-e^{-2\lambda x}\right)}2\\ \end{align}</math> On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ_''λ''', donc les variations de ƒ_''λ''. <math>\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~e^{\lambda x}&&+&&+&\\ \hline \textrm{Signe~de}~1-e^{-2\lambda x}&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f_\lambda&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&\frac1{2\lambda}&&\\ \hline \end{array} </math> * Comme <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x}=0</math> et <math>\lim_{x\to+\infty}e^{\lambda x}=+\infty</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}f_\lambda =+\infty</math> * Comme <math>\lim_{x\to-\infty}e^{-\lambda x}=+\infty</math> et <math>\lim_{x\to-\infty}e^{\lambda x}=0</math>, on a <math>\lim_{x\to-\infty}f_\lambda =+\infty</math>}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Propriétés algébriques de l'exponentielle/]] | suivant = [[../Désintégration des corps radioactifs/]] }} 1q0zcalqdhpwtq9gwqgj0vddcik5qnx 0 18945 985068 912724 2026-07-21T10:59:32Z Zetud 1978 Orth., Typo., Wikif. 985068 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | niveau = 13 | numéro = 5 | précédent = [[../Étude de la fonction exponentielle/]] | suivant = [[../Étude d'une fonction comportant des exponentielles/]] }} La « vitesse de désintégration » d'un corps radioactif, c'est-à-dire le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant une seconde, est proportionnelle au nombre de noyaux <math>N(t)</math> présent à l'instant ''t''. On peut donc écrire : <div style="text-align: center;"><math>\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)</math></div> où <math>\lambda</math> est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié. == La loi de désintégration == On note <math>N_0</math> le nombre de noyaux d'un échantillon du corps radioactif à l'instant <math>t=0</math>. Montrer que pour tout réel ''t'', <math>N(t)=N_0 e^{-\lambda t}</math>. C'est la ''loi de désintégration radioactive''. {{Solution |contenu=On retrouve une équation différentielle de la forme y'=ay. La solution N(t) de l'équation est donc de la forme <math>N(t)=ke^{at} </math> donc <math>N(t)=ke^{-\lambda t}, k\in R </math><br />(On peut aussi rappeler la définition du chapitre 1 : cas général) <math>\begin{matrix}Or \, N_0 &=& N(0) \\ \ & =& ke^0 \\ \ & =& k\end{matrix} </math> {{clr}}Donc <math>N(t)=N_0 e^{-\lambda t}</math>. }} == Étude de la fonction N == '''1.''' Étudier le sens de variation de la fonction ''N'' sur <math>[0;+\infty[</math>. '''2.''' Étudier la limite de la fonction ''N'' en <math>+\infty</math>. '''3.''' Dresser le tableau de variation de la fonction ''N''. {{Solution |contenu= '''1.''' Étudions la dérivée de N(t) : <math>N'(t)=-N_0 \lambda e^{-\lambda t} </math>. N₀ et <math>e^{-\lambda t}</math> sont positifs et <math>-\lambda</math> est négatif donc <math>N'(t) \le 0 \, \forall x \, </math><br />N(t) est donc décroissante sur <math>]0;+ \infty[</math><br /> '''2.'''}} == Exemples == '''1.''' Avec ''t'' en milliers d'années, la constante caractéristique du carbone 14 est <math>\lambda=0,121</math>. Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction <math>f(t)= e^{-0,121t}</math> sur <math>[0;20[</math>. '''2.''' Utiliser la fonction ''trace'' pour déterminer la période de demi-vie, c'est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste que la moitié du carbone. '''3.''' Pour l'uranium-238, <math>\lambda =0,154.10^{-6} s^{-1}</math> et pour l'iode-131, <math>\lambda=31625 s^{-1}</math>. Déterminer leur période de demi-vie à l'aide de la calculatrice. {{Solution}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Étude de la fonction exponentielle/]] | suivant = [[../Étude d'une fonction comportant des exponentielles/]] }} eqgul1j5ytrvmzlkqtc3jsfx3lhiyaa 0 20103 985100 968740 2026-07-22T11:41:39Z Zetud 1978 Orth., Typo. 985100 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Mouvement amorti/]] | niveau = 15 }} [[Fichier:Circuit resistance condensateur.jpg|vignette]] Dans le circuit ci-contre, on se propose de rechercher, grâce à la transformation de Laplace, la fonction du temps donnant la tension '''<math>u_c(t)</math>''' aux bornes du condensateur. <u>La force électromotrice '''<math>f</math>''' appliquée aux bornes du circuit est définie en fonction de '''<math>t</math>''' par</u> : :'''<math> \begin{cases} f(t) = 0 & \mbox{si } t < 0\\ f(t) = E & \mbox{si } 0 \le t \le A \\ f(t) = 0 & \mbox{si } t > A \end{cases} </math>''' où '''<math> A </math>''' et '''<math> E </math>''' sont des nombres réels strictement positifs. <u>L'équation différentielle qui régit le circuit s'écrit</u> : :'''<math>(E) : \begin{cases} RC {du_c \over dt} + u_c(t) = f(t) \qquad \forall t \in [0 ; A] & \\ u_c(t)=0 \qquad \forall t <0 \end{cases}</math>''' <u>On rappelle que la fonction échelon unité</u> <math> U </math> <u>est définie par</u> : :'''<math> \begin{cases} U(t) = 0 & \mbox{si } t < 0 \\ U(t) = 1 & \mbox{si } t \in R_+ \end{cases} </math>''' '''1.''' Représenter graphiquement la fonction '''<math> f </math>''' et l'exprimer à l'aide de l'échelon-unité. '''2.''' Déterminer la transformée de Laplace de chacun des deux membres de l'équation . (On notera '''<math>U_c(p) = \mathcal{L} \left \{ u_c(t) \right \}</math>''') '''3.''' Montrer que : '''<math>U_c(p)={E(1-e^{-pA}) \over p(1+RCp)}</math>''' '''4.''' En déduire les expressions de '''<math> u_c(t) </math>''' sur chacun des intervalles '''<math>\left ] - \infty , 0 \right [</math>''', '''<math>\left [ 0 , A \right ]</math>''', '''<math>\left ]A, + \infty \right [</math>''' '''5.''' Application numérique : On donne '''<math>R = 100 \Omega</math>''' , '''<math>C = 10^{-2} F</math>''' , '''<math>A = 1s</math>''' , '''<math>E = 1V</math>''' {{Solution|titre=Correction de l'exercice|contenu=1. Représentation graphique de la fonction '''<math>f</math>''' : [[Image:Fonction de la force électromotrice.png|100%]] Expression de la fonction '''<math>f</math>''' à l'aide de l'échelon-unité : '''<math>f(t)=E(U(t)-U(t-A))</math>''' 2. Expression des transformées de Laplace des deux membres de l'équation (pour '''<math>t \in [0;A]</math>''') * Transformée de Laplace de '''<math>RC {du_c \over dt} + u_c(t)</math>''' : ** '''<math>U_c(p)(1+RCp)</math>''' * Transformée de Laplace de '''<math>f(t)</math>''' : ** '''<math>F(p)={E \over p} \left(1-e^{-pA} \right)</math>''' 3. Recherche de l'expression de '''<math>U_c(p)</math>''' '''<math>\mathcal{L} \left \{(E) \right \} = \mathcal{L} \left \{ RC { du_c \over dt} + u_c(t) \right \} = \mathcal{L} \left \{ f(t) \right \}</math>''' Or : '''<math>\mathcal{L} \left \{ RC { du_c \over dt} + u_c(t) \right \} = U_c(p)(1+RCp)</math>''' Et : '''<math>\mathcal{L} \left \{ f(t) \right \} = {E \over p} (1-e^{-pA})</math>''' <u>En développant et en simplifiant les expressions dans les deux membres de l'équation, on trouve le résultat suivant</u> : '''<math>U_c(p)={E(1-e^{-pA}) \over p(1+RCp)}</math>''' 4. Expression de la fonction '''<math>u_c(t)</math>''' dans différents intervalles * Pour '''<math>t < 0</math>''' : ** '''<math>u_c(t) = 0</math>''' * Pour '''<math>t \in [0;A]</math>''' : ** '''<math>u_c(t) = E \left [ \Bigl( e^{ A-t \over RC} -1 \Bigr)U(t-A) - e^{-t \over RC} +1 \right ]</math>''' * Pour '''<math>t>A</math>''' : ** '''<math>u_c(t) = E \Bigl( e^{ A-t \over RC} \Bigr) U(t-A)</math>''' 5. Applications numériques * Charge du condensateur : ** '''<math>u_c(t) = \left (e^{1-t}-1 \right )U(t-1) - e^{-t} + 1</math>''' * Décharge du condensateur : ** '''<math>u_c(t) = \left (e^{1-t} \right )U(t-1)</math>'''}}{{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Mouvement amorti/]] }} k57decwffkyiv6p7d6n10tbjj287zru 0 20107 985101 949824 2026-07-22T11:43:42Z Zetud 1978 Orth. 985101 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 3 | précédent = [[../Mouvement amorti/]] | suivant = [[../../|Sommaire]] | niveau = 15 }} Dans un laboratoire, un technicien étudie l'établissement d'un courant d'intensité ''i'' dans un circuit de type RLC. ''i'' est une fonction à valeurs réelles de la variable ''t'' définie comme suit : <math>\begin{cases} \mbox{si } t < 0 \mbox{ alors } i(t) = 0 \\ \mbox{si } t \ge 0 \mbox{ alors } \frac{1}{2} i''(t) + i'(t) + i(t) = ( t+1) U(t) \\ i (0^+) = 1 \\ i'(0^+) = 0 \end{cases}</math> ''U'' est la fonction échelon-unité, définie par : <math>\begin{cases} U(t) = 0 \mbox{ si } t < 0 \\ U(t) = 1 \mbox{ si } t \ge 0 \\ \end{cases}</math> '''1.''' Déterminer, à l'aide de la variable réelle ''p'', la transformée de Laplace de la fonction <math>t \mapsto (t+1)U(t)</math> '''2.''' Exprimer, à l'aide de la variable réelle ''p'' et de la transformée de Laplace ''I'' de ''i'', la transformée de Laplace de la fonction <math>t \mapsto \frac{1}{2} i''(t) + i'(t) + i(t) </math> '''3.''' En déduire, pour <math>p > 0</math>, ''I(p)'' en fonction de ''p'' '''4.''' Montrer que, pour <math>p > 0</math>, ''I(p)'' s'écrit sous la forme : <math>I(p) = \frac{1}{p^2}+\frac{p+1}{\left ( p+1\right )^2 +1}</math> '''5.''' Déduire de ce qui précède l’expression de ''i(t)'' en fonction de ''t.'' Le technicien chargé de l'étude s'intéresse maintenant aux valeurs approchées de ''i(t)'' lorsque ''t'' est positif et proche de 0. Il considère, à cet effet, la fonction ''f'' définie sur <math>\R</math> par : <math>f(x) = x + \cos{x} + e^{-x}</math>. '''6.''' Déterminer le développement limité de ''f'' à l’ordre 3 en x = 0 (on pourra utiliser les développements limités de <math>\cos{x}</math> et <math>e^{-x}</math> à l'ordre 3 en zéro). On admettra que le technicien peut alors écrire <math>i(t) = 1 + \frac{1}{3}t^3 + t^3 \varepsilon (t) </math> avec <math>\lim_{t \to 0^+}\varepsilon (t) = 0</math> {{Solution}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Mouvement amorti/]] | suivant = [[../../|Sommaire]] }} fvl0mzbgwtkvwv55q0mn5nj5kvuyogu 0 21901 985215 984578 2026-07-23T08:36:47Z ~2026-40982-93 80716 /* Stratégie de choix */ 985215 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 4 | précédent = [[../Propriétés générales des matériaux/]] | suivant = [[../Propriétés mécaniques des matériaux II - Autres essais mécaniques/]] | niveau = 13 }} == Résumé == Nous allons voir de manière concrète comment l’on caractérise un matériau d'un point de vue mécanique. Durée recommandée : {{unité|2|{{abréviation|h|heure}}}} 30 (incluant les exercices). == Introduction == Nous avons vu précédemment les autres propriétés principales des matériaux. Nous nous consacrons ici à leurs propriétés mécaniques. Il faut en fait considérer plusieurs propriétés mécaniques, et en particulier distinguer les notions de résistance et de dureté : un matériau dur est souvent fragile, c’est par exemple le cas du verre. Il faut donc déterminer plusieurs caractéristiques, plusieurs valeurs. Ces valeurs sont obtenues par des essais normalisés. == Fonctions concernées == ; Fonctions techniques * Formabilité : mise en forme du matériau sans enlèvement de matière ;<br />martelage, pliage, cintrage, estampage (déformation par une presse pour donner la forme d'un moule), forgeage à chaud, laminage à froid ou à chaud (écrasement entre des rouleaux pour former une tôle, une plaque, une barre), tréfilage à froid ou à chaud (étirement à travers un trou appelé « filière » pour donner un fil) ; * usinabilité : mise en forme par enlèvement de matière ;<br />fraisage (enlèvement par un outil tournant appelé « fraise »), tournage (on fait tourner la pièce et un outil de coupe enlève la matière), tronçonnage. [[Fichier:Deformation et jeu fonctionnel.svg|thumb|400px|Notion d'état limite de service, cas d'un arbre dans un alésage : le jeu fonctionnel permet à l'arbre de tourner (schéma en haut à droite), si la flexion de l'arbre est trop importante (schéma en bas à droite), il frotte sur l'alésage (points rouges)]] ; Fonctions de service * Résistance : une pièce a été conçue avec des dimensions données appelées « cotes » (longueur, largeur, hauteur, diamètre, …) ; ces dimensions sont assorties de tolérances, c'est-à-dire d'un écart acceptable par rapport à ces cotes ; plus une tolérance est « serrée » (plus sa valeur est faible), plus la fabrication coûte cher (il faut prendre plus de soin, l'opération est plus longue), la tolérance doit donc correspondre à une fonction de la pièce (notion de « cotation fonctionnelle », le coût doit correspondre à une utilité) ; si la pièce se déforme en service, cette déformation doit rester dans la limite des tolérances ; on distingue ** l'état limite ultime (ELU)<ref>en anglais : ''ultimate limit state'' (ULS)</ref> : il s'agit de la limite avant une déformation irréversible, voire un endommagement, ** l'état limite en service (ELS)<ref>en anglais : ''serviceability limit state'' (SLS)</ref> : il s'agit ici de déformation non définitive, sans endommagement, mais pouvant empêcher le produit de fonctionner ; * propriétés vis-à-vis du frottement : ** résistance à l'usure, ** adhérence forte (maintien en position d'une pièce) ou faible (guider un mouvement sans le gêner), ** frottement fort (frein, embrayage, limiteur de couple) ou faible (guider un mouvement sans le gêner). {{clr}} ; Caractéristiques À ces fonctions correspondent des caractéristiques du matériau : * ductilité<ref>on distingue en général la malléabilité, qui est la capacité à être martelé sous forme de feuille ou lames, et la ductilité, qui est la capacité à être étiré sous forme de fil ; d'un point de vue théorique, le phénomène mis en œuvre (la déformation plastique) est le même, on utilise par défaut le terme « ductilité »</ref> : capacité à être mis en forme, à être travaillé → formabilité ; * dureté : capacité à ne pas être rayé → résistance à l'usure, mauvaise usinabilité ; * souplesse : capacité à subir de grandes déformations sans déformation irréversible → ressorts ; * fragilité : se dit d'un matériau qui n'empêche pas la propagation d'une fissure → mauvaise résistance au choc ; * tenacité : se dit d'un matériau résiste à la propagation d'une fissure → bonne résistance au choc On a les couples d'antonymes : ductile/dur, souple/rigide, tenace/fragile. Notons que si un matériau peut être mis en forme (ductile), alors : * il n’est pas dur, puisqu'une rayure est une sorte de mise en forme ; * il résiste à la propagation d'un fissure, puisque sa capacité à se déformer lui permet de s'adapter, donc il n’est pas fragile. On a donc souvent les associations ductile = tenace et dur = fragile, bien que cela ne soit pas systématique. Les sections suivantes précisent ces termes et les traduisent en valeurs. === Stratégie de choix === La pièce doit résister à son environnement et à ses sollicitations mécaniques (fonctions techniques). Il faut d’abord définir le mode de dégradation le plus probable — corrosion, rupture mécanique, association des deux (corrosion sous contrainte) —, puis définir lesdites sollicitations. Nous considérons ici qu’il s'agit d'une mode de rupture mécanique. On classe en général les sollicitations mécanique de la manière suivante : * sollicitations statiques : ** traction, compression ** flexion, ** torsion, ** flexion+traction/compression, ** flexion+torsion ; * sollicitations dynamiques ; ** fatigue en traction/compression, ** fatigue en flexion, ** fatigue en flexion rotative (arbre fléchit tournant), ** fatigue en torsion, ** fatigue en cisaillement. Notons qu’il s'agit du mode de déformaiton de la ''matière''. Par exemple, dans le cas d'un ressort de traction ou d'un ressort de compression, hélicoïdaux, le fil se déforme en torsion. Puis, on effectue un premier calcul de résistance des matériaux avec un modèle simplifié, typiquement un calcul de poutre, permettant d'estimer la contrainte maximale — il peut s'agir d'un calcul complet, mais le choix du matériau se fait en général alors que la pièce n’est pas totalement définie. On oriente ainsi son choix selon la résistance attendue de la matière, par exemple pour une contrainte équivalent de traction σ calculée : * σ ≤ {{Unité|400|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} : tous alliages métalliques : alliages d'aluminium, de cuivre (bronze, laiton), fonte, acier doux ou inox ; * {{Unité|400|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} < σ ≤ {{Unité|700|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} : acier trempé, alliage d'aluminium durcissant au traitement thermique ; * σ > {{Unité|700|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} : acier trempé et traitement de surface (nitruration). Intervient ensuite le mode de fabrication (fonderie, forgeage, formage, usinage, …). En fatigue, on s'oriente plutôt vers de l'acier, qui présente une limite d'endurance (voir ''[[../Propriétés mécaniques des matériaux II - Autres essais mécaniques#Essai de fatigue|Essai de fatigue]]''). == Modes de déformation et de rupture == [[Fichier:Modes deformation.svg|thumb|Les trois modes de déformation : élastique (haut), plastique (milieu) et striction (bas) ; ici, la déformation se concentre à l'encastrement]] Une pièce se déforme lorsqu'elle est soumise à des efforts opposés. La matière a typiquement trois modes de déformation : * élastique : lorsque l’on supprime les efforts, la matière reprend sa forme initiale, la déformation est réversible ; * plastique : lorsque l’on supprime les efforts, la matière garde une déformation résiduelle, la déformation est irréversible ; c’est ce qui est utilisé pour la formabilité ; * striction : la déformation se concentre en un endroit (du latin ''strictio, stringere'', serrer) ; cela annonce une rupture prochaine. {{clr}} [[Fichier:Modes rupture.svg|thumb|Les deux modes de rupture : ductile (gauche) et fragile (droite)]] La rupture peut se faire de deux manières : * rupture ductile : avant la rupture, la pièce passe par une phase élastique, puis plastique, puis de striction ; elle rompt dans la phase de striction ; * rupture fragile : la pièce casse dans la phase élastique, les morceaux rompus n'ont pas de déformation résiduelle. {{clr}} == Essais normalisés == Le but des essais normalisés est de comparer les matériaux et de définir des lois de comportement, c'est-à-dire des lois mathématiques permettant de décrire le comportement mécanique des matériaux (déformation, résistance à la rupture). Il faut donc travailler avec des pièces toujours identiques quel que soit le matériau ; on parle d'éprouvettes. L'idéal est même d'extraire des valeurs indépendantes de la forme de l'éprouvette. Un essai mécanique consiste à reproduire en laboratoire une sollicitation. Pour que l'essai soit reproductible, il faut que les conditions soient bien maîtrisées. Certains essais considèrent des sollicitations idéales (simples), comme par exemple l'essai de traction simple (ou traction uniaxiale), d’autre sont plus proches de la réalité, comme par exemple l'essai d'accident de voiture ''(crash test)''. Nous nous intéressons ici à quelques essais représentant des sollicitations idéales : l'essai de traction uniaxiale, puis dans le chapitre suivant les essais de dureté, de flexion choc et de fluage. == Essai de traction simple, uniaxiale == L'essai de traction simple consiste à tirer sur une éprouvette et à enregistrer la force et l'allongement de l'éprouvette. === Machine de traction === [[Fichier:Machine traction schema.svg|thumb|Machine de traction]] La machine se compose d'un bâti, fixe, et d'une traverse mobile mue par un système hydraulique (pistons) ou par des vis sans fin. L'éprouvette est attachée au bâti d'un côté et à la traverse mobile de l'autre. {{clr}} === Éprouvette de traction === [[Fichier:Eprouvettes traction.jpg|thumb|Éprouvettes de traction]] Les éprouvettes de traction peuvent être plates ou cylindriques. Elles sont élargies aux extrémités afin d’être sûr que la rupture aura lieu dans la partie centrale, loin des points d'attache avec la machine. Les extrémités des éprouvettes cylindriques sont filetées ; elles sont donc vissées au bâti et à la traverse mobile. Les éprouvettes plates sont attachées par serrage. {{clr}} [[Fichier:Eprouvette traction cylindrique schema.svg|thumb|Caractéristiques d'une éprouvette de traction]] Les caractéristiques importantes de l'éprouvette sont : * sa longueur normalisée initiale ''l''₀ ; * l'aire de sa section droite initiale S₀. {{clr}} === Enregistrement et analyse de l'essai === [[Fichier:Eprouvette traction force elongation.svg|thumb|Éprouvete de traction : force F pour une élongation Δ''l'']] La traverse mobile impose un déplacement Δ''l'', et l’on mesure la force résultant F. La table traçante ou l'ordinateur enregistrent : F = ƒ(Δ''l'' ). {{clr}} [[Fichier:Analogie ressorts contrainte.svg|thumb|180px|Analogie des ressorts en parallèle]] On cherche à avoir une loi indépendante de la géométrie de l'éprouvette. Pour cela, on définit la contrainte σ (sigma) comme étant la force divisée par l'aire de la section. {{Définition | titre = Contrainte | contenu = <math>\sigma = \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{S}_0}</math> (MPa) }} La contrainte est homogène à une pression et devrait donc s'exprimer en pascals ({{Unité|1|{{Abréviation|Pa|pascal}}}} = {{unité|1|N/m{{exp|2}}}}). Les valeurs étant très élevées, on utilise les mégapascals : : {{Unité|1|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} = {{unité|10{{exp|6}}|Pa}} = {{unité|1|N/mm{{exp|2}}}}. Faisons un parallèle avec des ressorts : pour une élongation donnée, si l’on met deux ressorts identiques en parallèle, on aura une force deux fois plus importante que si l’on n'a qu'un seul ressort. De même, si l’on a une éprouvette ayant une section double, la force obtenue sera deux fois plus importante. C'est donc la force divisée par l'aire de la section qui est caractéristique de l'essai. {{clr}} [[Fichier:Analogie ressorts deformation.svg|thumb|120px|Analogie des ressorts en série]] On définit également la déformation ε (épsilon) comme étant l'allongement relatif. {{Définition | titre = Déformation | contenu = <math>\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}</math> }} C'est une grandeur sans dimension. On l'exprime souvent en pour cents : : <math>\varepsilon_{\%} = 100 \times \frac{\Delta l}{l_0}</math>. Faisons un parallèle avec des ressorts : pour une force donnée, si l’on met deux ressorts en série, on aura une élongation double par rapport à un ressort seul. En effet, chaque ressort est soumis à la même force donc s'allonge de la même quantité. {{clr}} === Courbe de traction et loi de déformation d'un matériau ductile === [[Fichier:Courbe traction ideale ductile.svg|thumb|Courbe de traction idéale d'un matériau ductile]] On trace donc la courbe de traction : σ = ƒ(ε). Dans le cas d'un matériau ductile, on a une courbe de traction semblable à la figure ci-contre. On identifie quatre étapes : # déformation élastique (réversible) : la loi est linéaire ; # domaine plastique (irréversible) ; # striction (endommagement) ; # rupture (fin de la courbe). ==== Domaine élastique ==== Dans le domaine élastique, on a donc une loi linéaire, la loi de {{pc|Hooke}}. {{Définition | titre = Loi de {{pc|Hooke}} et module de {{pc|Young}} | contenu = <math>\sigma = \mathrm{E} \cdot \varepsilon</math> * E : module de {{pc|Young}} ou module d'élasticité longitudinale (GPa). }} Le module de {{pc|Young}} caractérise la raideur du matériau : * E élevé : matériau rigide ; * E faible : matériau souple. Il est homogène à la contrainte. On l'exprime donc en mégapascals, ou, comme ses valeurs sont très élevées, en gigapascals : : {{Unité|1|GPa|abr=gigapascal}} = {{Unité|1000|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} = {{unité|10{{exp|9}}|Pa}}. Pour les aciers, on a E ≃ {{Unité|210|GPa|abr=gigapascal}}. {| class="wikitable" |+ Modules de {{pc|Young}} de quelques matériaux |- ! Matériau !! E (GPa) |- | Diamant || {{formatnum:1000}} |- | Céramiques, carbures || 550 |- | Métaux || 70 – 420 |- | Béton || 20 |- | Élastomères || 0,003 ({{Unité|3|MPa|abr=mégapascal}}) |} E détermine l’état limite en service (ELS) : déformation sans endommagement compatible avec le cahier des charges (tolérances géométriques). ==== Limite d'élasticité ==== La contrainte limite entre le domaine élastique et le domaine plastique est appelé « limite d'élasticité » (improprement ''limite élastique'') ou « contrainte d'écoulement » et est noté R_e. C'est la dureté ou la mollesse du matériau : * R_e élevé : dur * R_e faible : mou. R_e dépend du matériau, de sa pureté, de son écrouissage (déformation plastique préalable), de la température et de la structure de la matière. {| class="wikitable" |+ Limites d'élasticité de quelques matériaux |- ! Matériau !! R_e (MPa) |- | Bois || 10 – 60 |- | Aluminium || 20 – 500 |- | Acier|| 180 – {{formatnum:1000}} |} R_e détermine l’état limite ultime (ELU) : déformation irréversible, prémices de l'endommagement. On définit un coefficient de sécurité ''s'' pour prendre en compte les éventuelles erreurs et évènements inattendus. {{Définition | titre = Condition de résistance | contenu = Une solution technique est validée si : <math>\sigma \leqslant \mathrm{R_{pe}}</math> avec * σ : contrainte maximale calculée pour l’application ; * R_pe : résistance pratique à l'extension, <math>\mathrm{R_{pe}} = \frac{\mathrm{R_{e}}}{s}</math>. }} Jusque dans les années 1990 en France, on exprimait encore fréquemment la limite d'élasticité en kilogramme-force par millimètre carré (kgf/mm{{exp|2}}) : : {{unité|1|kgf/mm{{exp|2}}}} ≃ {{unité|1|daN/mm{{exp|2}}}} = {{Unité|10|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} : {{Unité|1|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} = {{unité|0.1|daN/mm{{exp|2}}}} ≃ {{unité|0.1|kgf/mm{{exp|2}}}} Cette unité est encore utilisée relativement fréquemment. Ainsi, lorsque quelqu’un parle d'un « acier à 140 kilos », il désigne un acier ayant une limite d'élasticité de {{Unité|1400|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}}. ; Exercice : On dispose d'un rond (barre de section circulaire) ∅20 et de longueur 200 faite en acier S235 (E24) de limite d'élasticité garantie {{Unité|235|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} (dans l’industrie mécanique, l'unité implicite est le millimètre, il faut donc comprendre « un diamètre de {{Unité|20|{{abréviation|mm|millimètre}}}} » et « une longueur de {{Unité|200|{{abréviation|mm|millimètre}}}} »). On lui suspend une masse de une tonne. :# La barre résiste-t-elle ? :# Si c’est le cas, jusqu'à quel coefficient de sécurité est-elle validée ? :# Si elle résiste, quel est son allongement élastique ? :# On désire utiliser un rond d'aluminium de limite d'élasticité {{Unité|100|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} avec un coefficient de sécurité de 4. Quelle doit être le diamètre du rond ? {{solution | contenu = ; 1. La condition de résistance est : σ ≤ R_e et : σ = F/S₀ avec : S₀ = π''r''{{exp|2}} et : F = ''mg'' donc : <math>\sigma = \frac{mg}{\pi r^2} = \frac{1\,000 \times 9,81}{\pi \times 0,01^2} = 3,12 \cdot 10^7 \ \mathrm{Pa}= 31,2\ \mathrm{MPa}</math>. On a {{Unité|31.2|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} ≤ {{Unité|235|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}} donc la pièce résiste. ; NB : On peut faire les calculs avec ''r'' en millimètres, on obtient directement un résultat en MPa. Cette démarche est utilisée dans l'enseignement technologique, puisque l’on utilise toujours le mm dans l’industrie mécanique ; dans l'enseignement général, on s'attachera à faire les calculs en uSI (m, Pa) puis à convertir le résultat en unités usuelles. ; 2. À la limite de la validation (ELU), on a : σ = R_e/''s'' soit : <math>s = \frac{\mathrm{R_e}}{\sigma} = \frac{\mathrm{R_e}\pi r^2}{mg} = \frac{2,35\cdot 10^8 \times \pi \times 0,01^2}{1\,000 \times 9,81} = 7,5</math>. La barre est donc validée à l'ELU jusqu'à un coefficient de sécurité de 7,5. (Autre solution pour un calcul moins compliqué : 235 / 31,22 = 7,52 et surtout beaucoup plus rapide.) ; 3. On a : ε = Δ''l''/''l''₀ soit : Δ''l'' = ''l''₀ε et, selon la loi de Hooke : σ = Eε soit : ε = σ/E et donc : <math>\Delta l = \frac{l_0 \sigma}{\mathrm{E}} = \frac{l_0 mg}{\mathrm{E}\pi r^2} = \frac{0,2 \times 1\,000 \times 9,81}{2,1\cdot 10^{11} \times \pi \times 0,01^2} = 2,97\cdot 10^{-5}\ \mathrm{m} = 29,7\ \mu\mathrm{m}</math>. L'ELS est donc validé pour un allongement d'au plus {{Unité|0.03|{{abréviation|mm|millimètre}}}} — le centième de millimètre, appelé simplement « centième », est une unité couramment utilisée dans l’industrie mécanique, on note donc « 0,03 » (sans unité, le mm étant implicite) mais on dit « trois centièmes ». ; 4. À la limite de validation, on a : σ = R_e/''s'' et par ailleurs : σ = F/S₀ ⇒ S₀ = ''mg''/σ donc : <math>\mathrm{S}_0 = \frac{mgs}{\mathrm{R_e}}</math>. Ainsi, : <math>r = \sqrt{\frac{\mathrm{S}_0}{\pi}} = \sqrt{\frac{mgs}{\pi\mathrm{R_e}}} = \sqrt{\frac{1\, 000 \times 9,81 \times 4}{\pi \times 10^8}} = 1,12\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} = 11,2\ \mathrm{mm}</math>. Il faut donc un rond de ∅23. }} ==== Déformation plastique ==== La déformation plastique est une déformation irréversible : si l’on interrompt l'essai, l'éprouvette se rétracte (relâchement élastique) mais garde une déformation résiduelle. Écrouissage ==== Résistance mécanique à la traction ==== {{Définition | titre = Résistance mécanique à la traction (ou résistance à la rupture) | contenu = La résistance mécanique à la traction R_m (MPa) est la contrainte la plus importante enregistrée sur la courbe (sommet de la courbe). }} {| class="wikitable" |+ Résistance mécanique à la traction de quelques matériaux |- ! Matériau !! R_m (MPa) |- | Polymères || 10 – 90 |- | Bois || 20 – 100 |- | Aluminium || 60 – 550 |- | Acier|| 290 – {{formatnum:1800}} |} ==== Rupture ==== La ductilité est la capacité à être déformé. On la caractérise en général par l'allongement à la rupture A, ou A% lorsqu’il est exprimé en pour cent. {{Définition | titre = Allongement à la rupture | contenu = L'allongement à la rupture A est l'allongement relatif après rupture (après le retrait élastique des deux morceaux d'éprouvette). }} La formabilité est la zone comprise entre R_e et R_m. Plus l'allongement à la rupture A est important, plus on pourra déformer la pièce. Le paramètre pertinent ici serait l'allongement sous charge maximale (allongement relatif au sommet de la courbe), mais il est peu utilisé dans la pratique. * A élevé : ductile * A faible : fragile, formabilité faible. {| class = "wikitable" |+ Allongements à la rupture de quelques métaux |- ! Métal !! A% |- | fonte || 0,3 – 18 |- | Laiton || 4 – 28 |- | Acier || 3 – 40 |- | Bronze || 3 – 50 |- | Aluminium || 20 – 40 |} === Courbe de traction et loi de déformation d'un matériau fragile === [[Fichier:Courbe traction fragile.svg|thumb|Courbe de traction typique pour un matériau fragile]] Dans le cas d'un matériau fragile, la rupture se fait en mode élastique. La courbe de traction ne présente donc pas de partie plastique. On définit de la même manière le module de {{pc|Young}} et la limite à la rupture R_m. Il n'y a pas à proprement parler de limite d'élasticité : la partie courbe correspond au début de l'endommagement. L'allongement à la rupture est nul (A = 0). Comme on n'a pas de limite élastique, l'ELU est déterminée par la limite à la rupture R_m : : <math>\mathrm{R_{pe}} = \frac{\mathrm{R_{m}}}{s}</math>. Le coefficient de sécurité est alors bien évidemment plus important que dans le cas ductile, puisque l’on ne dispose pas de la « marge de réserve » que constitue la déformation plastique. {{clr}} === Énergie de rupture === [[Fichier:Energie rupture courbe traction.svg|thumb|Énergie de rupture K_C dans le cas d'un matériau ductile (haut) et fragile (bas)]] L'énergie nécessaire pour un déplacement de A à B est le travail de la force extérieure <math>\vec{\mathrm{F}}</math>, qui se calcule par : : <math>\mathrm{W}_{\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}} = \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \vec{\mathrm{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{x}</math>. L'énergie de déformation volumique, ou ténacité K_C, s'obtient en divisant par le volume V : : <math>\mathrm{K_C} = w_{\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}} = \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \frac{1}{\mathrm{V}} \mathrm{F} \cdot \mathrm{d}l = \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \sigma \cdot \varepsilon</math>. L'énergie de rupture s'obtient donc en intégrant la courbe de traction, c'est-à-dire en prenant la surface sous la courbe. Qualitativement : * K_C élevé : matériau tenace ; * K_C faible : matériau fragile. Notons qu’il faudrait utiliser les contraintes et déformations vraies, donc une courbe différente de la courbe conventionnelle, mais qualitativement, la courbe conventionnelle nous suffit pour comparer. On obtient que pour un matériau fragile, l'énergie de rupture K_C est très faible comparée à un matériau ductile, même si la résistance à la traction R_m est souvent très élevée. Une énergie de rupture permet d'encaisser un évènement pour lequel la contrainte est très élevée, comme par exemple un choc ou la propagation d'une fissure (le fond de fissure est très mince, on a une forte concentration de contraintes). Les pièces de sécurité, comme par exemple les mousquetons d'escalade ou les casques, encaissent les efforts en se déformant plastiquement ou en se rompant (mousse d'un casque), raison pour laquelle ils sont à usage unique (il faut les changer en cas de chute). De même, pour les voitures, on définit des zones de déformation (bloc moteur et coffre arrière) qui permettent d'absorber l'énergie d'un choc en préservant les occupants de l'habitacle. {{clr}} === Faciès de rupture === [[Fichier:Al tensile test.jpg|thumb|Éprouvette rompue d'un métal ductile (en l’occurrence aluminium)]] [[Fichier:Deroulement rupture ductile.svg|thumb|Déroulement de la rupture ductile : germination puis coalescence des fissures, puis cisaillement de la section restante]] Dans le cas d'un matériau ductile et isotrope, l'éprouvette présente : * un resserrement, la zone de striction ; * une zone centrale présentant des cupules, marquant un arrachement de matière ; * une zone périphérique présentant une pente à {{unité|45|°}} par rapport à l'axe de traction, correspondant à du cisaillement. {{définition | titre = Isotropie | contenu = Un matériau est isotrope s'il a les mêmes propriétés quelle que soit la direction considérée. Ici, cela signifie que quelle que soit la manière dont on prélève l'éprouvette dans l'objet, on a toujours la même courbe de traction (même limite d'élasticité, même allongement à la rupture, …). Les matériaux anisotropes (non-isotropes) typiques sont les matériaux composites et les produits métalliques plats ou longs (tôles, barres, tubes) non recuits (qui n'ont pas été chauffés après leur mise en forme). }} {{clr}} [[Fichier:Cast iron tensile test.JPG|thumb|Faciès de rupture d'une fonte à graphite sphéroïdal fragile : la surface de rupture est perpendiculaire à l'axe de traction et le faciès présente des facettes]] [[Fichier:Glass fracture.jpg|thumb|Faciès de rupture du verre ; le verre étant amorphe, le faciès est lisse mais courbe, il ne présente pas de facettes]] Dans le cas d'un matériau fragile : * l'éprouvette ne présente pas de resserrement ; * la surface de rupture est perpendiculaire à l'axe de traction ; * le faciès de rupture présente des zones lisses et, dans le cas de matériaux cristallins, des facettes. {{clr}} === Facteurs d'influence === Outre le matériau, le résultat de l'essai — courbe et faciès de rupture — dépend essentiellement : * de la température T ; * de la vitesse de déformation <math>\dot{\varepsilon}</math>. De manière générale, concernant la température : * pour la plupart des matériaux, le module de {{pc|Young}} diminue lorsque la température augmente, à l'exception des polymères ; * tous les matériaux sont fragiles en dessous d'une certaine température, dite « température de transition fragile-ductile » ; * lorsqu'elle existe, la limite élastique a tendance à diminuer avec la température (le matériau s'amollit). Certains matériaux changent de comportement avec la vitesse de déformation. En général : * pour les vitesse de déformation très faibles, la plupart des matériaux s'écoulent ; c’est le cas par exemple des roches du manteau terrestre, qui sont solides pour les vitesses de déformation élevées, mais sont pâteuses pour les vitesses très lentes (de l’ordre de {{unité|10{{exp|-9}}|m.s{{exp|-1}}}}), ce qui pourrait expliquer la dérive des continents (convection de quelques centimètres par an sur une épaisseur de plusieurs centaines de kilomètres, mais cette explication est débattue) ; * pour les vitesses très élevées, la plupart des matériaux sont fragiles, mais certains métaux peuvent modifier leur structure à vitesse élevée (recristallisation dynamique) et donc devenir plus ductiles. == Cisaillement == [[Fichier:Poutre cisaillement simple.svg|thumb|Cisaillement : effort tranchant]] Le cisaillement est l'effet produit par deux forces égales et opposées, mais parallèles à la section considérée, contrairement à la traction qui est perpendiculaire à la section. On parle d'effort « tranchant ». C'est l'effet produit par une paire de ciseaux lorsque l’on coupe une feuille de papier. {{clr}} [[Fichier:Cission traction simple.svg|thumb|Calcul du cisaillement dans une section inclinée dans le cas de la traction simple]] La section à laquelle on s'intéresse n’est pas nécessairement la section droite, c'est-à-dire la section perpendiculaire à l'axe de l'éprouvette. En effet, une pièce réelle n'a pas forcément de direction privilégiée. Dans le cas de la traction simple, si l’on prend une section en diagonale, la force de traction <math>\vec{\mathrm{F}}</math> se projette sur le plan de la section en une force <math>\vec{\mathrm{T}}_1</math> ; l'aire de cette section est S₁. La contrainte de cisaillement τ, appelée également cission, est toujours le rapport de la force sur l'aire de la section : : τ = T₁/S₁. On peut calculer que la cission est maximale pour une section faisant un angle de {{unité|45|°}} avec l'axe de l'éprouvette. Or, nous verrons plus loin que la déformation plastique se fait précisément par cisaillement (voir ''[[../Défauts dans les cristaux#Défauts linéaires|Défauts dans les cristaux > Défauts linéaires]]''). Donc, ''si le matériau est isotrope'', c’est sur un plan à {{unité|45|°}} que va s'effectuer le glissement. Cela explique le faciès de rupture ductile : dans la zone de striction, la section centrale est affaiblie par des arrachements de matière et la rupture se termine par du cisaillement selon une direction de cission maximale. {{clr}} {{CfExo | align = right | idfaculté = physique | exercice = [[Introduction à la science des matériaux/Exercices/Détermination du plan de cission maximal pour la traction simple|Détermination du plan de cission maximal pour la traction simple]] }} Le calcul montre également que la contrainte dans une section à {{unité|45|°}} vaut la moitié de la contrainte normale σ dans la section droite : : τ_max = σ/2. À la limite élastique, on a ''pour un matériau isotrope'' : : σ = R_e ⇒ τ_max = R_e/2. La limite d'élasticité au cisaillement est appelée « résistance élastique au glissement » R_eg, et l’on a donc on a ''pour un matériau isotrope'' : {{Définition | titre = Résistance élastique au glissement d'un matériau isotrope | contenu = R_eg = R_e/2. }} Donc, dans le cas d'un matériau isotrope, l'essai de traction permet de déterminer la résistance au cisaillement du matériau. De manière générale, le glissement survient lorsque τ ≥ R_eg. Dans le cas d'un matériau non isotrope, cela peut survenir pour une section faisant un angle différent de {{unité|45|°}} avec l'axe de traction, et R_eg n’est pas nécessairement la moitié de R_e. {{clr}} == Graphique de choix == Si l’on considère l'éprouvette de traction, pour un matériau donné, la résistance de la pièce, prise comme étant la force provoquant une déformation plastique limite élastique, ne dépend que de l'aire S de la section (F_limite = R_e × S). Pour une longueur L₀ imposée, cette force est ainsi proportionnelle au volume ; la masse est elle aussi proportionnelle au volume. Il est donc légitime d’utiliser un graphique de choix sur le modèle de celui présenté [[../Propriétés générales des matériaux#Graphique de choix|précédemment]]. [[Fichier:Comparaison classes materiaux resistance meca.svg]] On voit que les aciers permettent de fabriquer des pièces peu onéreuses (excellent rapport performance/prix), de même que les bétons, grès et calcaires (matériaux peu performants mais très bon marché). Certains polymères ont une résistance spécifique similaire aux aciers, mais pour un coût plus élevé. Pour avoir des pièces réellement plus légères, il faut avoir recours aux matériaux composites ou à certains alliages non ferreux (alliages de titane, de nickel, d'aluminium), mais pour un coût plus élevé. == Notes == <references /> == Voir aussi == * [[../Annexe/Essai de traction normalisé|Annexe : Essai de traction normalisé]] * [[Introduction à l'élasticité]] {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../Propriétés générales des matériaux/]] | suivant = [[../Propriétés mécaniques des matériaux II - Autres essais mécaniques/]] }} 5yc0159vfoh2mm8870wmpkn156evs0v 0 22893 985216 983773 2026-07-23T10:43:49Z ~2026-36372-49 80566 correction orthographique. 985216 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Pour donner une définition de la philosophie on peut utiliser un concept de Kant, celui de Noumène. Un noumène peut être défini comme un concept qui est connoté d'un attribut d'existence, les noumènes s'opposent aux phénomènes pour trouver un chemin pour aller des aspects phénoménologiques du monde à l'aspect essentialiste. Basé sur cette définition la philosophie peut être décrite, dans sa méthode, comme "définir des Noumènes et de savoir les conjuguer", la philosophie en allant vers l'essentiel serait donc une recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique. Voici pour la méthode mais quel est l'enjeu, quel est l'objet de la philosophie ? Comme on peut le voir dans le paragraphe précédent, la philosophie est un jeu de l'esprit essentiellement basé sur la réflexion dont l'objet peut être défini comme : "tous les Noumènes connexes au fait que l'homme, pensant, existe dans le monde et s'organise en sociétés". Puisque l'homme existe et qu'il réfléchit sur l'homme, il s'est mit à réfléchir sur l'homme dans différents aspects de la société (c'est-à-dire que l'acte de philosopher préexiste à sa définition). La philosophie a donc pour objet un savant mélange des causes et des finalités (les enjeux) des sociétés humaines (puisqu'elle est tour à tour justification/analyse et appel à être/définition) par le prisme de sa condition. Par sa méthode, et dans une certaine mesure, la philosophie est accessible à tout le monde, on peut même dire qu'un savant est un philosophe d'un ordre particulier. Par son objet, le philosophe se distingue du scientifique en ce qu'il s'oppose à la phénoménologie pour aller à l'essentiel pour essayer de caractériser des Noumènes en considérant le tout comme supérieur à la somme des parties, alors que le scientifique mesure les phénomènes pour en déduire des lois mathématiques de cet "essentiel" en considérant chaque partie séparément sans s'attarder au tout. {{AutoCat}} bm6ndqtshj3fb9dc79wxpp6mzyjqfe1 10 28958 985061 913479 2026-07-21T07:00:33Z JackPotte 2411 985061 wikitext text/x-wiki {{sous-page de documentation}} Ce modèle permet d'indiquer qu'une leçon est en train de faire l’objet d''''une modification en profondeur''', afin d’éviter les conflits de modification. Idéalement, ce modèle doit être enlevé rapidement. == Utilisation == Vous pouvez placer ce modèle dans une leçon, généralement au début afin de le faire apparaître sous forme de bandeau, en utilisant l'une des deux syntaxes suivantes : == Syntaxte == {|class="wikitable" |- ! Paramètre ||Désignation||obligatoire||Par défaut |- | 1 || Nom de l’utilisateur qui a apposé le bandeau afin que les autres utilisateur puisse le contacter plus facilement || Non || |- | 2 || Date à laquelle le bandeau a été apposé || Non || |- |} == Exemple == {|class="wikitable" |- ! Code source !! Rendu |- | <syntaxhighlight lang="text">{{En cours}}</syntaxhighlight> ||{{En cours|nocat=1}} |- | <syntaxhighlight lang="text">{{En cours|toto}}</syntaxhighlight>||{{En cours|toto|nocat=1}} |- | <syntaxhighlight lang="text">{{En cours|toto|28 janvier 2010}}</syntaxhighlight>||{{En cours|toto|28 janvier 2010|nocat=1}} |- |} La première syntaxe intègre simplement le bandeau et ajoute la leçon dans la catégorie « [[:Catégorie:En cours|En cours]] ». La deuxième permet de spécifier l’ordre de classement de la leçon dans cette catégorie et fait apparaître le nom de l’utilisateur dans le bandeau, pour le joindre facilement. La troisième syntaxe indique à quelle date fut posé l'avertissement. <includeonly> [[Catégorie:Modèles de maintenance]] [[Catégorie:Modèles d’ébauche]] </includeonly> njrh87bxfnerlo2f12u72tzmov9gmec 985062 985061 2026-07-21T07:01:36Z JackPotte 2411 985062 wikitext text/x-wiki {{sous-page de documentation}} Ce modèle permet d'indiquer qu'une leçon est en train de faire l’objet d''''une modification en profondeur''', afin d’éviter les conflits de modification. Idéalement, ce modèle doit être enlevé rapidement. == Utilisation == Vous pouvez placer ce modèle dans une leçon, généralement au début afin de le faire apparaître sous forme de bandeau, en utilisant l'une des deux syntaxes suivantes : == Syntaxte == {|class="wikitable" |- ! Paramètre ||Désignation||obligatoire||Par défaut |- | 1 || Nom de l’utilisateur qui a apposé le bandeau afin que les autres utilisateur puisse le contacter plus facilement || Non || |- | 2 || Date à laquelle le bandeau a été apposé || Non || |- |} == Exemple == {|class="wikitable" |- ! Code source !! Rendu |- | <syntaxhighlight lang="text">{{En cours}}</syntaxhighlight> ||{{En cours|nocat=1}} |- | <syntaxhighlight lang="text">{{En cours|toto}}</syntaxhighlight>||{{En cours|toto|nocat=1}} |- | <syntaxhighlight lang="text">{{En cours|toto|28 janvier 2010}}</syntaxhighlight>||{{En cours|toto|28 janvier 2010|nocat=1}} |- |} La première syntaxe intègre simplement le bandeau et ajoute la leçon dans la catégorie « [[:Catégorie:En cours|En cours]] ». La deuxième permet de spécifier l’ordre de classement de la leçon dans cette catégorie et fait apparaître le nom de l’utilisateur dans le bandeau, pour le joindre facilement. La troisième syntaxe indique à quelle date fut posé l'avertissement. <includeonly> [[Catégorie:Modèles de maintenance]] [[Catégorie:Modèles d'ébauche]] </includeonly> iaypeyijxdz6kv71eyhjogyradfqtwg 0 30858 985083 969449 2026-07-21T14:57:57Z Crochet.david 317 . 985083 wikitext text/x-wiki {{Annexe | idfaculté = sciences de l'ingénieur | numéro = 1 | niveau = 15 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Les instructions du 18FXXX/]] }} Les opérandes peuvent être de plusieurs types: * f : adresse mémoire de registres (register file address) de 00 à 7F * W : registre de travail * d : sélection de destination : d=0 vers W, d=1 vers f * pp : numéro de PORT entre 1 et 3 sur deux bits * bbb : adresse de bit dans un registre {{Unité|8|bits}} (sur {{Unité|3|bits}}) * k : champ littéral (8, ou {{Unité|11|bits}}) * PC compteur programme == Opérations orientées octets entre registre et mémoire == {| class=wikitable | colspan="6" | Opérations orientées octets entre registre et mémoire (File en anglais) |- | Mnémonique Opérande | Description | Cycles | {{Unité|14|bits}} Opcode | statut affecté | notes |- | ADDWF f,d | Additionne W et f | 1 | 00 0111 dfff ffff | C,DC,Z | 1,2 |- | ANDWF f,d | ET bit à bit W et f | 1 | 00 0101 dfff ffff | Z | 1,2 |- | CLRF f | mise à 0 de f | 1 | 00 0001 1fff ffff | Z | 2 |- | CLRW - | mise à 0 de W | 1 | 00 0001 0xxx xxxx | Z | |- | COMF f,d | Complément de f | 1 | 00 1001 dfff ffff | Z | 1,2 |- | DECF f,d | Décrémente f | 1 | 00 0011 dfff ffff | Z | 1,2 |- | DECFSZ f,d | Décrémente f (saute si 0) | 1,(2) | 00 1011 dfff ffff | Z | 1,2,3 |- | INCF f,d | Incrémente f | 1 | 00 1010 dfff ffff | Z | 1,2 |- | INCFSZ f,d | Incrémente f (saute si 0) | 1,(2) | 00 1111 dfff ffff | Z | 1,2,3 |- | IORWF f,d | Ou inclusif de f | 1 | 00 0100 dfff ffff | Z | 1,2 |- | MOVF f,d | déplacement de f (adressage direct) | 1 | 00 1000 dfff ffff | Z | 1,2 |- | MOVWF | déplacement de W vers f | 1 | 00 0000 1fff ffff | | |- | NOP - | pas d'opération | 1 | 00 0000 0xx0 0000 | | |- | RLF f,d | Rotation gauche avec la retenue | 1 | 00 1101 dfff ffff | C | 1,2 |- | RRF f,d | Rotation droite avec la retenue | 1 | 00 1100 dfff ffff | C | 1,2 |- | SUBWF f,d | soustrait W de f | 1 | 00 0010 dfff ffff | C,DC,Z | 1,2 |- | SWAPW f,d | inverser les quartets dans f | 1 | 00 1110 dfff ffff | | 1,2 |- | XORWF f,d | Ou exclusif de f | 1 | 00 0110 dfff ffff | Z | 1,2 |} == Opérations orientées bits sur les registres == {| class=wikitable | colspan="6" | Opérations orientées bits sur les registres |- | Mnémonique Opérande | Description | Cycles | {{Unité|14|bits}} Opcode | statut affecté | notes |- | BCF f,b | mise à 0 du bit b dans f | 1 | 01 00bb bfff ffff | | 1,2 |- | BSF f,b | mise à 1 du bit b dans f | 1 | 01 01bb bfff ffff | | 1,2 |- | BTFSC f,b | test du bit b 0 de f saute si 0 | 1,(2) | 01 10bb bfff ffff | | 1,2 |- | BTFSS f,b | test du bit b 0 de f saute si 1 | 1,(2) | 01 11bb bfff ffff | | 1,2 |} == Opérations littérales (adressage immédiat) et de contrôles == {| class=wikitable | colspan="6" | Opérations littérales (adressage immédiat) et de contrôles |- | Mnémonique Opérande | Description | Cycles | {{Unité|14|bits}} Opcode | statut affecté | notes |- | ADDLW k | Addition de W et k | 1 | 11 111x kkkk kkkk | C,DC,Z | |- | ANDLW k | Et logique de W et k | 1 | 11 1001 kkkk kkkk | Z | |- | CALL k | appel du sous programme k | 2 | 10 0kkk kkkk kkkk | | |- | CLRWDT - | mise à 0 du timer watchdog | 1 | 00 0000 0110 0100 | /TO,/PD | |- | GOTO k | aller à l'adresse | 2 | 10 1kkk kkkk kkkk | | |- | IORLW | Ou inclusif littéral | 1 | 11 1000 kkkk kkkk | Z | |- | MOVLW | chargement de W en littéral | 1 | 11 00xx kkkk kkkk | | |- | RETFIE | Retour d'interruption | 2 | 00 0000 0000 1001 | | |- | RETLW k | retour avec le littéral dans W | 2 | 11 01xx kkkk kkkk | | |- | RETURN | retour de sous-programme | 2 | 00 0000 0000 1000 | | |- | SLEEP | aller au mode standby | 1 | 00 0000 0110 0011 | /TO,/PD | |- | SUBLW k | retire W du littéral | 1 | 11 110x kkkk kkkk | C,DC,Z | |- | XORLW | Ou exclusif avec littéral | 1 | 11 1010 kkkk kkkk | Z | |} {{Bas de page | idfaculté = sciences de l'ingénieur | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Les instructions du 18FXXX/]] }} h0ww4amli40bkrlxginulgb0h98jn3e 0 33067 985071 969542 2026-07-21T11:09:08Z Zetud 1978 Orth. 985071 wikitext text/x-wiki La '''fonction homographique''' est la fonction '''<math>f : x \mapsto \frac{3x + 4}{x + 3}</math>''' où '''<math>c\in \mathbb{R}^*</math>'''. La fonction homographique est obtenue grâce à un changement de coordonnées de la fonction inverse : En définissant '''<math>g:x\mapsto \frac{1}{x}</math>''', on a l'égalité suivante : '''<math>f(x) = \frac{3}{1} + \frac{1}{1} (4-\frac{9}{1})g(x+\frac{3}{1})</math>'''.{{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Définition/]] | suivant = [[../Interprétation graphique/]] | niveau = 13 }} == Étude des variations == On pose : '''<math>f : x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d}</math>'''. === Fonction dérivée === {{Démonstration déroulante|align=left|titre=Calcul de la dérivée|contenu= On a <math>f(x) = \frac{3x + 4}{x + 3} </math>. On peut donc poser : :<math>\displaystyle u(x)= 3x + 4</math> et <math>\displaystyle v(x) = x + 3</math>. On a donc <math>\displaystyle f'(x) = \Bigl(\frac{u(x)}{v(x)}\Bigl)' = \Bigl(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\Bigl)</math>. Or <math>\displaystyle u'(x)=3</math> et <math>\displaystyle v'(x)=1</math>, d'où : :'''<math>f'(x) = \frac{3 (x + 3) - 1 (3x + 4)}{(x + 3)^2} = \frac{ 9 - 4}{(x +3)^2}</math>'''. }} {{Définition | titre = Fonction dérivée | contenu = Soit '''<math>f : x \mapsto \frac{3x + 4}{x + 3} </math>''' une fonction homographique, alors sa fonction dérivée vérifie : : '''<math>f'(x) = \frac{ 9 -4 }{(x +3)^2}</math>''' }} === Signe de la dérivée === On se propose d'étudier le signe de la dérivée de <math>f</math>. {{Démonstration déroulante | titre = Étude du signe de <math>f'</math> | contenu = On sait que <math>f'(x)=\frac{ad - cb}{(cx + d)^2}</math>. Or <math>(cx + d)^2</math> est une grandeur positive, donc : <math>sgn(f'(x))=sgn(ad - cb)</math>. Or <math>ad - cb</math> ne dépend pas de <math>x</math>, donc <math>f'(x)</math> est de signe constant sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\}</math> et : '''<math>\displaystyle \begin{cases} f'(x) >0, & \text{si }ad - cb >0 \\ f'(x)<0, & \text{si }ad - cb< 0 \end{cases}</math>''' }} {{Propriété | titre = Signe de la dérivée | contenu = Soit f une fonction homographique définie sur '''<math>D</math>''', alors '''<math>f'(x)</math>''' est de signe constant sur <math>D</math> et :<br />'''<math>\displaystyle f'(x) >0, \text{ si } ad - cb >0</math> <br /><math>\displaystyle f'(x)<0, \text{ si } ad - cb < 0 </math>''' }} === Variations d'une fonction homographique === On peut donc déduire du signe de <math>f'</math> les variations de <math>f</math>. {{Théorème | titre = Variations de <math>f</math> | contenu = Soit '''<math>f : x \mapsto \frac{3x + 4}{x + 3}</math>''' une fonction homographique définie sur '''<math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-3}{1} \right\} </math>''', alors : <br /> '''<math>\displaystyle \begin{cases} f(x) \text{ est croissante}, & \text{si } 5 >0 \\ f(x) \text{ est décroissante}, & \text{si } 5 < 0 \end{cases}</math>''' }} == Limites d'une fonction homographique == === Calcul des limites === {{Démonstration déroulante |titre = Calcul des limites |contenu = Soit <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}</math> une fonction homographique définie sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\} </math>, on se propose de chercher les limites de <math>f</math> aux bornes de son ensemble de définition : <br /> * en <math>\infty</math> : <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{cx + d} = \lim_{x \to \infty} \frac {x\times (a + \frac{b}{x})}{x\times (c + \frac{d}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{c + \frac{d}{x}} = \frac{\lim\limits_{x \to \infty} a + \frac{b}{x}}{\lim\limits_{x \to \infty} c + \frac{d}{x} } = \frac{a + \lim\limits_{x \to \infty} \frac{b}{x}}{c + \lim\limits_{x \to \infty} \frac{d}{x}} = \frac{a + 0}{c + 0}</math> <br /> <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{c}</math> * en <math>\frac{-d}{c}</math> : <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} } f(x) = \lim_{x \to \frac{-d}{c}}\frac{ax + b}{cx + d} = \lim_{x \to \frac{-d}{c}}(ax + b) \times \frac1{cx + d} = \infty</math>.<br /> Le calcul du signe de cet infini est à traiter au cas par cas. }} On doit donc calculer la limite en '''<math>\frac{-d}{c}</math>''' de f au cas par cas :<br /> {{Démonstration déroulante |titre = Signe de la limite en <math>\textstyle\frac{-d}{c}</math> |contenu = Il faut donc chercher le signe de <math>f</math> aux alentours de <math>\frac{-d}{c}</math> : <br />Or, <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{(ax + b)(cx + d)}{(cx +d)^2}</math> Or, <math>(cx + d)^2 \ge 0</math><br /> Donc,<math>\displaystyle sgn(f(x))=sgn((ax +b)(cx + d))</math>. En posant <math>\displaystyle g(x) = (ax + b)(cx + d) = ac x^2 + (ab + cd)x + bd </math>, on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l’ordre des racines et du signe de <math>ac</math>.<br />'''''1°cas''''' :<br />Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas : <br /> * Si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \le 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-b}{a} : \frac{-d}{c} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) </math> est négatif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math> * Si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \le 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-d}{c} : \frac{-b}{a} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) </math> est négatif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math> '''''2° cas ''''':<br /> Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de signes différents, alors <math>g(x)</math> est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :<br /> * Si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \ge 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-b}{a} : \frac{-d}{c} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) </math> est positif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math> * Si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \ge 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-d}{c} : \frac{-b}{a} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) </math> est positif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math> }} <br /> === Limites d'une fonction homographique === {{Propriété |titre = Limites d'une fonction homographique |contenu = Soit <math>f(x)=\frac{ax + b}{cx + d}</math>, une fonction homographique définie sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\} </math>, alors : <br /> * <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{c} </math> * Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de même signe : <br /><math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math> <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math><br /> * Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de signes différents : <br /><math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math> <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math> }} Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c. {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Définition/]] | suivant = [[../Interprétation graphique/]] }} m2diis7n0j59h9m1mah978id07q9clj 0 33115 985099 969547 2026-07-22T10:40:08Z Zetud 1978 Orth. 985099 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ [[Fichier:Pierre-Simon Laplace.jpg|thumb|bordure]] La transformation de Laplace est un [[w:opérateur intégral|opérateur intégral]]. Cet outil est utilisé dans plusieurs domaines scientifiques (maths, sciences physiques, chimie, électronique, mécanique, etc.). Il permet d'analyser et modéliser les comportements de systèmes dynamiques linéaires à travers l'étude et la résolution des équations différentielles qui les régissent. On étudie les systèmes en fonction du temps et de la fréquence, dans deux régimes distincts (transitoire et continu). Le plus généralement, les équations différentielles sont linéaires et à coefficients constants. Elles sont transformées en équations affines et leur résolution est simplifiée. <u>Il existe deux transformations</u> : * La transformation de Laplace directe : transformer une fonction (réelle ou complexe) d'une variable réelle en une fonction (réelle ou complexe) d'une variable complexe. La fonction à variable réelle s'appelle l''''original'''. * La transformation de Laplace inverse : transformer une fonction (réelle ou complexe) d'une variable complexe en une fonction (réelle ou complexe) d'une variable réelle. Cette opération s'appelle la '''synthèse''' de la fonction (ou du signal). On recrée la fonction originale décrivant le comportement d'un système physique dans le domaine temporel à partir de sa réponse en fréquence. {{AutoCat}} dbyr0dbq0co8bdvsif5rv7y0w0g1wvm 104 46432 985213 984246 2026-07-23T06:27:48Z Phprevet 19657 Espace curviligne de dimension 3 985213 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = sciences de l'ingénieur }} [[Fichier:Gonfler un anneau.jpg|vignette|Voici le texte intégral du chapitre, tu peux le copier-coller directement : ----]] [[Fichier:Gonfler un anneau.jpg|vignette|Elargissement du centre d'un anneau]] [[Fichier:Synthèse additive flou cinétique linéaire ou flou stroboscopique 3D Blanc Magenta Jaune Cyan.jpg|vignette|Synthèse additive flou cinétique linéaire ou flou stroboscopique 3D Blanc Magenta Jaune Cyan]] [[Fichier:Forces exercées sur une courbe géodésique.jpg|vignette|Forces exercées sur une masse qui gravite autour de la terre dans un référentiel ECEF]][[Fichier:Flou stroboscopique numérique.gif|vignette|Rotations d'anneaux RVB de 40° toutes les 0,025 s derrière un appareil photo]] [[File:3826 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3827 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]] [[File:3828 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]] [[File:3829 flou stroboscopique 3D.jpg|thumb|]] [[File:3830 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3831 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3832 flou stroboscopique 3D rectiligne.jpg|thumb|]] [[File:3833 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3834 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[File:3835 flou stroboscopique.jpg|thumb|]] [[Fichier:Anim flou stroboscopique 3D rectiligne.gif|vignette|Animation flou stroboscopique 3D rectiligne, photos en 256 couleurs prises à 1/40s pour un angle par dichotomie de pi/3 ]] [[Fichier:Flou stroboscopique 3D rectiligne.mpg|vignette|Modèle statuette d'argile pour flou stroboscopique 3D rectiligne]] [[Fichier:Modèle synthèse additive aux couleurs RVB .mpg|vignette|Modèle Synthese additive 3D aux couleurs RVB]] [[Fichier:Formule Flou stroboscopique originale.jpg|vignette|Flou stroboscopique formule originale]]'''Le Flou de Mouvement des Objets en Rotation''' '''Chapitre 1 : Le Flou de Mouvement et la Perception Visuelle sur une Platine''' Le "flou de mouvement" d'un vinyle n'est pas un phénomène sonore, mais une '''expression visuelle''' capturée en photographie. Il apparaît lorsque l'on photographie un objet en mouvement (comme un disque vinyle en rotation) avec un appareil photo réglé sur une '''longue exposition'''. Durant cette période, la lumière de l'objet est "étirée" sur le capteur, créant des '''traînées lumineuses ou des zones floues''' qui suggèrent la vitesse et le dynamisme du mouvement. Pour un vinyle, cela se manifeste par de magnifiques arcs ou cercles concentriques flous, transformant le mouvement en une sorte de peinture de lumière et de temps. '''Le Calcul du Temps d'Exposition pour un Angle Précis''' Pour maîtriser ce flou et obtenir un effet précis, il est possible de calculer le temps d'exposition nécessaire. Ce calcul dépend de l'angle de flou désiré et de la vitesse de rotation du vinyle (RPM). La formule générale est la suivante : Tempsdeˊxposition(ensecondes)=fracAngledeˊsireˊ(endegreˊs)Vitessederotationduvinyle(endegreˊs/seconde) Pour un vinyle à '''33 1/3 tours/minute (environ 200 degrés par seconde)''', un flou de '''45 degrés''' nécessite environ '''0,225 seconde'''. Pour un vinyle à '''45 tours/minute (environ 270 degrés par seconde)''', le même flou de '''45 degrés''' demande environ '''0,167 seconde'''. Ces calculs permettent d'ajuster l'appareil pour obtenir l'étendue de flou souhaitée. '''Le Disque de Newton à l'Épreuve du Flou de Mouvement : Quand le blanc apparaît doublement''' Un cas fascinant se présente si l'on photographie un '''disque de Newton''' (avec ses secteurs colorés) en rotation, en utilisant une '''longue exposition''' (suffisante pour qu'il fasse au moins un tour complet). Le résultat photographique sera un '''cercle blanc ou grisâtre''', similaire à ce que perçoit l'œil humain. Ce n'est pas dû à la persistance rétinienne de l'œil, mais à la capacité du '''capteur de l'appareil photo à intégrer toutes les lumières colorées''' du spectre sur la durée de l'exposition, réalisant une synthèse additive des couleurs directement sur le capteur et aboutissant au blanc. C'est une illustration éloquente de la convergence de principes physiques différents vers un même rendu visuel. '''Comparaison : Persistance Rétinienne vs. Flou de Mouvement en Rotation de Platine''' {| class="wikitable" | valign="top" |Caractéristique | valign="top" |Persistance Rétinienne (Œil Humain) | valign="top" |Flou de Mouvement (Appareil Photo) |- | valign="top" |'''Nature du Phénomène''' | valign="top" |'''Biologique et neurologique :''' Une propriété de notre système visuel et de notre cerveau. | valign="top" |'''Physique et optique :''' Un effet capturé par un appareil photographique (capteur ou film). |- | valign="top" |'''Mécanisme''' | valign="top" |Le cerveau "maintient" une image pendant une courte durée (~1/10 à 1/25 de seconde), fusionnant des stimulations visuelles rapides et discrètes en une perception continue. | valign="top" |Le capteur de l'appareil photo '''accumule physiquement la lumière''' pendant le temps d'exposition. Le mouvement de l'objet pendant ce temps est enregistré comme une traînée. |- | valign="top" |'''Cause de l'effet''' | valign="top" |'''Rapidité du changement :''' L'objet (ou les couleurs) change de position trop vite pour que l'œil puisse percevoir chaque instant distinctement. | valign="top" |'''Mouvement pendant la capture :''' L'objet bouge physiquement pendant que l'obturateur de l'appareil est ouvert. |- | valign="top" |'''Ce qui est perçu/capturé sur une platine''' | valign="top" |Si le disque tourne très vite (comme un Disque de Newton), les couleurs fusionnent et sont perçues comme une seule (ex: blanc). Le mouvement rapide peut sembler continu. | valign="top" |La rotation du disque est enregistrée comme une '''traînée floue ou des arcs lumineux''', montrant la trajectoire du mouvement pendant le temps d'exposition. |- | valign="top" |'''Est-ce réglable ?''' | valign="top" |'''Non :''' C'est une caractéristique fixe de l'œil humain. | valign="top" |'''Oui :''' Entièrement contrôlable par le temps d'exposition de l'appareil photo. |- | valign="top" |'''Déclencheur sur la platine''' | valign="top" |La '''vitesse de rotation du disque''' doit être supérieure à un certain seuil pour que les informations se mélangent pour l'œil (fréquence de fusion). | valign="top" |La '''durée du temps d'exposition''' est la clé. Plus le temps est long, plus le flou de mouvement est important pour une vitesse donnée. |- | valign="top" |'''Relation avec la "fréquence"''' | valign="top" |Associé à la '''fréquence de fusion du scintillement''' (~50-60 Hz) : au-delà de laquelle l'œil perçoit la continuité. | valign="top" |Pour la photo unique, liée au '''temps d'exposition'''. Pour la vidéo, liée à la '''fréquence d'images''' (framerate). |} '''Conclusion du chapitre :''' Il est important de ne pas confondre le flou de mouvement avec le '''flou stroboscopique'''. Le '''flou de mouvement "classique"''' est une '''traînée continue et lisse''' obtenue sous un éclairage constant lorsque l'objet bouge pendant l'exposition. En revanche, un '''effet stroboscopique''' (souvent lié à un éclairage intermittent ou une capture discrète à faible cadence) produira des '''images multiples ou des "fantômes"''' de l'objet en mouvement sur une même photo, marquant des positions distinctes plutôt qu'une traînée fluide. Le flou de mouvement est l'effet de la durée d'exposition, tandis que l'effet stroboscopique est un effet de "multiples captures" du mouvement. '''Chapitre 2 : Les Couleurs dans le Flou de Mouvement''' Dans le premier chapitre, il a été établi que le flou de mouvement est la trace visuelle laissée par un objet en déplacement sur une photo à longue exposition. Lorsque cet objet est coloré, ou lorsqu'il interagit avec des lumières colorées, le phénomène prend une dimension encore plus riche et fascinante. '''1. L'étirement des Couleurs : Des Traînées Lumineuses et la Mesure des Arcs''' Lorsqu'une source de lumière ponctuelle, telle qu'une petite LED colorée, est attachée à un vinyle en rotation, elle ne demeure pas un simple point. Pendant que le disque tourne et que l'obturateur de l'appareil photo reste ouvert, cette lumière colorée s'étire le long de sa trajectoire circulaire, créant une '''traînée lumineuse''' qui conserve la couleur de sa source. Ainsi, le flou de mouvement transforme les points colorés en arcs ou en cercles lumineux. Il est possible de calculer précisément la longueur de cet arc de cercle (la "distance" parcourue par la lumière) en fonction de la vitesse de rotation du vinyle et du temps d'exposition de l'appareil photo. Si l'angle du flou est theta (en radians) et le rayon de la traînée est r, la longueur de l'arc est donnée par la formule : Longueurdelaˊrc=rtimestheta Pour obtenir theta en radians, il est nécessaire de convertir l'angle en degrés par : thetarad=textangleendegreˊstimesfracpi180 '''2. La Synthèse Additive des Couleurs RVB dans le Mouvement Circulaire et sa Représentation Matricielle par Intensité''' Le comportement des couleurs dans le flou de mouvement est particulièrement révélateur concernant la '''synthèse additive'''. Cette synthèse concerne la lumière, et ses couleurs primaires sont le '''Rouge (R), le Vert (V) et le Bleu (B) (RVB)'''. Lorsque l'on attache des LED RVB à différents points d'un vinyle en rotation, ou que l'on éclaire le disque avec ces trois couleurs distinctes sous une longue exposition photographique, chaque LED colorée génère sa propre traînée lumineuse circulaire. La superposition de ces cercles lumineux sur le capteur entraîne une modification de la couleur de chaque traînée par addition des codes couleur RVB dans la matrice du capteur. Là où ces cercles lumineux se chevauchent, la lumière des différentes couleurs s'additionne, selon les principes de la synthèse additive : * Rouge + Vert = '''Jaune''' * Rouge + Bleu = '''Magenta''' * Vert + Bleu = '''Cyan''' Le phénomène le plus spectaculaire survient si le mouvement est suffisant pour que les trois couleurs primaires se chevauchent complètement et uniformément sur toute la surface de la rotation (à l'instar d'un disque de Newton photographié en longue exposition) : la somme de ces lumières primaires converge alors vers le '''Blanc'''. Le capteur photographique, en tant qu'accumulateur de lumière pendant le temps d'exposition, réalise cette synthèse additive. Il intègre toute la lumière reçue, créant de nouvelles teintes là où les rayons lumineux des couleurs RVB se rencontrent sur la même zone du capteur. Pour mieux visualiser ces superpositions, une représentation tabulaire inspirée d'un diagramme de Venn peut être utilisée. Les valeurs de 0 à 255 indiquent l'intensité de chaque composante de couleur (255 étant l'intensité maximale, 0 l'absence) : {| class="wikitable" | valign="top" |Intensité Rouge (R) | valign="top" |Intensité Verte (V) | valign="top" |Intensité Bleue (B) | valign="top" |Couleur résultante (synthèse additive de lumière) |- | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Lumière Rouge pure''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Lumière Verte pure''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Bleue pure''' |- | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Lumière Jaune''' |- | valign="top" |255 | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Magenta''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Cyan''' |- | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |255 | valign="top" |'''Lumière Blanche''' |- | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |0 | valign="top" |'''Noir (Absence de lumière)''' |} Note sur les couleurs complexes (comme le marron) : Il est important de souligner que des couleurs comme le marron ne peuvent pas être directement représentées comme une simple ligne dans cette matrice simplifiée, car elles résultent d'un mélange des trois couleurs primaires (RVB) avec des intensités spécifiques et généralement non maximales pour chaque composante, aboutissant à une luminosité globale plus faible. Par exemple, un marron clair pourrait avoir un code RVB de (139, 69, 19). Cela correspond à une combinaison plus nuancée des intensités dans l'espace colorimétrique RVB plutôt qu'à une superposition "tout ou rien" des primaires. '''3. L'Impact des Sources Lumineuses et du Noir : Lumières VS Surfaces''' La manifestation de la couleur dans le flou de mouvement est fortement influencée par sa source : * Les '''lumières auto-lumineuses''' (telles que les LEDs) génèrent des traînées très vives et saturées, puisqu'elles émettent directement leur propre lumière. * Les '''objets colorés réflecteurs''' (comme une surface peinte sur le vinyle) produisent des flous plus subtils, leur couleur dépendant de l'éclairage ambiant qu'ils réfléchissent. L'incorporation du '''noir''', en tant que couleur neutre, sur un vinyle peint en RVB a un effet distinctif. Le noir absorbe la quasi-totalité de la lumière et n'en émet pas. Dans le flou de mouvement : * Les sections noires ne génèrent pas de traînées lumineuses. Elles apparaîtront comme des zones sombres ou des "manques" au sein des arcs lumineux colorés. * Le noir est crucial pour créer du contraste. Ces zones d'ombre définies mettent en valeur les trajectoires lumineuses des couleurs RVB, apportant profondeur et structure à l'effet visuel. Dans le système RVB, le noir est représenté par (0, 0, 0), signifiant l'absence totale de lumière. '''4. Créativité et Expression Artistique : Peindre avec la Lumière et le Mouvement et la Nuance des Teintes Complexes''' Le flou de mouvement coloré constitue un puissant outil artistique. Il permet des techniques telles que le "'''light painting'''", où des mouvements de sources lumineuses créent des formes abstraites dans l'air. Sur une platine, il peut générer des motifs hypnotiques et des mandalas lumineux, transformant la rotation en une œuvre d'art dynamique qui évoque des émotions par la danse des couleurs. Au-delà des mélanges vifs du RVB, l'artiste peut également explorer des teintes plus complexes comme le '''marron''' dans le flou de mouvement circulaire. Le marron, étant une combinaison de Rouge, Vert et Bleu à des intensités spécifiques et généralement plus faibles (par exemple, RVB 139, 69, 19), ne se forme pas par une simple superposition maximale comme le blanc. Si l'on imagine un objet en arc de cercle composé de segments discrets affichant ces intensités (139 rouge, 69 vert, 19 bleu) et tournant sur un fond noir, il est crucial de noter que '''l'objet lui-même, à l'arrêt, n'apparaîtrait pas marron'''. Chaque segment serait perçu individuellement selon sa couleur RVB pure. Le marron est la '''couleur émergente''' qui résulte de la '''synthèse additive de la lumière''' de ces segments, intégrée par le capteur photographique sur la durée du mouvement. L'utilisation de '''lumières colorées pour créer du marron''' par le flou de mouvement exige un contrôle précis des intensités de chaque composante RVB afin d'obtenir la nuance et la luminosité intégrée désirées sur le capteur. Un objet physique marron en rotation créera simplement une traînée marron, dont la complexité de composition RVB sera fidèlement intégrée par le capteur, ajoutant une richesse subtile à l'effet. Cette approche ouvre la voie à des créations plus nuancées, moins éclatantes que les couleurs primaires et secondaires, mais offrant une palette émotionnelle différente, évoquant la terre, la chaleur ou la nostalgie à travers le mouvement. '''Conclusion du chapitre :''' En conclusion, l'étude des couleurs dans le flou de mouvement révèle une dimension fascinante de la photographie. Il est observé que les teintes individuelles s'étirent en '''traînées lumineuses''' le long de la trajectoire du mouvement. La superposition des lumières colorées, notamment des primaires '''RVB''', conduit à une '''synthèse additive''' directement sur le capteur photographique, créant de nouvelles couleurs secondaires et, à saturation complète, le blanc. L'impact visuel des couleurs dépend fortement de leur source, les lumières auto-lumineuses offrant des traînées vives, et le noir jouant un rôle crucial en soulignant les contrastes. Cette capacité à manipuler et à fondre les couleurs à travers le mouvement et le temps d'exposition ouvre des voies artistiques considérables, permettant la création de compositions abstraites, d'effets hypnotiques, et même l'exploration de nuances plus complexes comme le marron, en maîtrisant les intensités des composantes RVB. Le flou de mouvement, avec l'apport des couleurs, devient ainsi un outil puissant pour sculpter la lumière et l'émotion dans l'image, offrant une perspective unique sur la manière dont le temps et le mouvement peuvent transformer la perception visuelle. '''Chapitre 3 : Dynamiques Mathématiques du Mouvement Circulaire et de la Lumière''' Dans les chapitres précédents, il a été exploré comment le mouvement de rotation d'un vinyle se traduit visuellement par le flou photographique et comment les couleurs s'y fusionnent. Ce chapitre va approfondir les principes mathématiques et physiques qui sous-tendent ces phénomènes, permettant une compréhension plus quantitative de la dynamique lumineuse en jeu. '''1. Les Fondamentaux du Mouvement Circulaire Uniforme et du Flou''' Pour analyser le flou en rotation, il est essentiel de comprendre le mouvement circulaire uniforme (MCU), caractérisé par une vitesse angulaire constante. Les formules suivantes sont des outils précis pour décrire cette dynamique : * Vitesse Angulaire (omega) : Elle représente la variation de l'angle par unité de temps. Pour une platine, si la vitesse est donnée en tours par minute (RPM - Revolutions Per Minute), la conversion en radians par seconde est : omegarad/s=textRPMtimesfrac2piradians60secondes À titre d'exemple, pour 33 1/3 RPM, omegaapprox3,49textrad/s, et pour 45 RPM, omegaapprox4,71textrad/s. * Période (T) : Le temps nécessaire pour effectuer un tour complet. T=frac2piomegaquad(textensecondes) * Fréquence (f) : Le nombre de tours par unité de temps, soit l'inverse de la période. f=frac1T=fracomega2piquad(textenHertzoutours/seconde) * Vitesse Linéaire (v) : La vitesse à laquelle un point se déplace le long de sa trajectoire circulaire. Elle dépend du rayon (r) de la position du point par rapport au centre de rotation : v=rtimesomega Cette relation est fondamentale : un point plus éloigné du centre du disque aura une vitesse linéaire plus élevée. * L'Angle de Flou (Deltatheta) : Il représente l'angle total balayé par la rotation de l'objet pendant le temps d'exposition (Deltat) de l'appareil photo. Deltatheta=omegatimesDeltat Cet angle est directement lié à la longueur de l'arc de flou qui sera capturée sur l'image finale. '''2. La Synthèse Additive par Pondération des Intensités''' Le capteur photographique fonctionne en accumulant la lumière sur la durée de l'exposition. Lorsque différentes sources lumineuses colorées interagissent avec un même pixel pendant le mouvement, le résultat est une synthèse additive des intensités lumineuses. Les formules d''''addition pondérée des composantes RVB''' modélisent précisément ce phénomène : Pour un pixel P, l'intensité finale de chaque composante de couleur (RP,VP,BP) est la somme des contributions de chaque source lumineuse i (Ri,Vi,Bi) multipliée par la fraction du temps (Deltati/Deltattotal) pendant laquelle la lumière de cette source a illuminé ce pixel. Cela représente une '''moyenne pondérée temporelle''' de la lumière accumulée : <nowiki>$$R_P = \\sum_i R_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$V_P = \\sum_i V_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$$$B_P = \\sum_i B_i \\times \\frac{\\Delta t_i}{\\Delta t_{total}}$$</nowiki> Ce principe est essentiel pour comprendre comment un pixel enregistre une nouvelle couleur qui n'était pas nécessairement présente de manière continue, mais qui émerge de l'intégration des différentes lumières qu'il a reçues au fil du temps. '''3. Cas Pratique : Calcul des Angles pour le Marron''' Pour illustrer l'application de ces principes, prenons l'exemple de la création du '''marron''' (RVB : 139, 69, 19) par des segments colorés en rotation. # '''Définition des valeurs (Lx) :''' Ces valeurs représentent les contributions relatives de chaque couleur. #* Lr=139 (Rouge) #* Lv=69 (Vert) #* Lb=19 (Bleu) #* Ln=0 (Noir, car il n'apporte pas de lumière active pour la couleur) # '''Calcul de la somme des valeurs (L) :''' L=Ln+Lr+Lv+Lb=0+139+69+19=227. Cette valeur L représente la somme des proportions lumineuses des segments pour un mélange complet. # '''Angle total de l'arc :''' Pour que ces segments se mélangent en une couleur unique sur l'image finale (comme sur un disque de Newton), il est supposé qu'ils couvrent la totalité du cercle de flou, soit 2pi radians ($360^\\circ$). # '''Calcul des angles de chaque segment (thetax) :''' La formule utilisée est thetasegment=DeltathetatotaltimesfractextValeurdusegmentL. #* Segment Rouge (thetaR) : $$\\theta_R = 2\\pi \\times \\frac{139}{227} \\approx \\mathbf{3.847\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{220.35^\\circ})$$ #* Segment Vert (thetaV) : $$\\theta_V = 2\\pi \\times \\frac{69}{227} \\approx \\mathbf{1.910\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{109.43^\\circ})$$ #* Segment Bleu (thetaB) : $$\\theta_B = 2\\pi \\times \\frac{19}{227} \\approx \\mathbf{0.526\\ radians}\\ (\\approx \\mathbf{30.13^\\circ})$$ #* Segment Noir (thetaN) : $$\\theta_N = 2\\pi \\times \\frac{0}{227} = \\mathbf{0\\ radians}\\ (\\mathbf{0^\\circ})$$ '''4. Le Rôle Crucial du Noir : Vers la Création du Gris''' Ce calcul met en évidence un aspect fondamental de la synthèse additive : la nécessité du '''noir''' pour créer des teintes désaturées, comme le gris. Un '''gris''' est une couleur composée d'intensités égales de rouge, vert et bleu, mais à un niveau de luminosité inférieur au blanc. Si l'on ne disposait que de segments de couleurs primaires pures (Rouge, Vert, Bleu) et que l'on les faisait tourner, on obtiendrait par synthèse additive des couleurs vives ou du blanc. Pour atteindre un gris, il faut '''réduire l'intensité lumineuse globale''' perçue par le capteur. C'est là que le '''segment noir''' devient indispensable. Le noir absorbe la lumière et ne contribue par aucune intensité lumineuse au mélange. En incorporant des segments noirs (c'est-à-dire des zones sans émission de lumière) dans la composition de l'arc de rotation, on '''diminue la quantité totale de lumière''' qui atteint le capteur sur la durée de l'exposition. Cela "dilue" l'effet des couleurs vives et permet d'atteindre des niveaux de luminosité inférieurs tout en maintenant les proportions RVB nécessaires pour un gris. '''Conclusion du chapitre :''' Ce chapitre a fourni les outils mathématiques essentiels pour comprendre et prédire le comportement de la lumière et du mouvement en photographie. De la quantification du mouvement circulaire à la modélisation de l'intégration lumineuse pondérée, il est désormais possible d'aborder la création de couleurs complexes, comme le marron ou le gris, de manière scientifique. Il a été démontré que des éléments apparemment passifs comme le noir jouent un rôle actif crucial dans la modulation de l'intensité lumineuse perçue, ouvrant la voie à une maîtrise complète de la palette visuelle dans le flou de mouvement. '''Chapitre 4 : La Fantascopie et le Flou Périodique : La Création d'un Arc de Cercle Parfait''' '''1. Définir le Flou Périodique : au-delà de la simple rotation''' Alors que les chapitres précédents ont exploré les flous continus générés par une rotation prolongée, le flou périodique relève d'une dynamique plus complexe. Le terme de '''fantascopie''', qui fait écho aux dispositifs optiques du XIXe siècle tels que le phénakistiscope, est parfaitement adapté pour décrire cet effet. Il s'agit de la création d'une image fluide à partir d'une succession de vues fixes ou, dans notre cas, de la création d'un flou continu et régulier à partir de mouvements discontinus ou répétés. '''2. La méthode pour créer un arc de cercle parfait''' L'objectif est d'obtenir une traînée lumineuse d'un seul et même arc de cercle de longueur L et d'angle alpha sur la photo finale. Pour y parvenir, il n'est pas nécessaire d'avoir un seul objet qui parcourt cet arc. On peut, de manière plus précise et contrôlée, utiliser la méthode de superposition suivante : Prends un disque (ou un vinyle) sur lequel tu places 2n segments (ou arcs de cercle) identiques, où n est un nombre entier supérieur à 0. * Chacun de ces segments a une longueur égale à la moitié de la longueur désirée, soit L/2n. * L'angle de chacun des segments est la moitié de l'angle désiré, soit alpha/2n. Pour que la superposition fonctionne parfaitement, il est crucial que ces 2n segments soient positionnés de manière équidistante sur la platine. Autrement dit, l'espace entre chaque segment doit être régulier. '''3. Le mécanisme de la fantascopie par flou de mouvement''' Lors de la prise de vue avec une longue exposition, la platine tourne. Chaque segment parcourt son arc de cercle de longueur L/2n et d'angle alpha/2n. Le capteur de l'appareil photo va enregistrer la lumière de chaque segment de manière séquentielle, de sorte que les 2n traînées lumineuses se rejoignent et se superposent sans démarcation visible. Le résultat est une traînée de flou qui apparaît comme un unique et parfait arc de cercle de longueur L et d'angle alpha. Le choix de la puissance de 2 (n) est crucial : '''plus le nombre n est élevé''', et plus tu divises l'arc en petits segments, '''plus le flou final sera homogène et l'arc de cercle régulier'''. L'utilisation d'une infinité de segments (ntoinfty) permettrait d'obtenir un arc de cercle véritablement parfait, car les segments sont tellement petits que la traînée devient parfaitement lisse. Ce phénomène illustre la force de la fantascopie et du flou périodique : l'illusion d'un mouvement continu et complet est créée à partir de mouvements partiels, parfaitement synchronisés par la rotation et le temps d'exposition. '''Conclusion du chapitre :''' La fantascopie, appliquée au flou de mouvement, démontre que la perception de la continuité visuelle peut être façonnée par la superposition de mouvements discontinus. En utilisant une méthode de division du mouvement en 2n segments, nous pouvons créer une traînée de flou unique et régularisée. Cette approche permet de maîtriser précisément l'esthétique du flou de mouvement, transformant un mouvement périodique en une composition visuelle unifiée, ce qui est particulièrement puissant pour la création de motifs complexes ou d'effets visuels contrôlés. '''Chapitre 5 : Le Flou de Mouvement d'un Objet Coloré dans un Espace 3D Projeté sur un Plan''' '''1. La Projection du Mouvement 3D sur le Plan 2D du Capteur''' Dans le monde réel (3D), le mouvement d'un objet est perçu différemment par un capteur photographique qui est, lui, en 2D. Cette projection est la base de notre analyse. Le flou n'est pas une simple traînée ; c'est la trace du mouvement de l'objet, telle qu'elle a été "écrasée" et enregistrée sur une surface plane. La forme et la direction de cette traînée dépendent de l'angle et de la vitesse de l'objet par rapport à l'appareil photo. '''2. L'Impact de la Profondeur sur le Flou de Mouvement''' La profondeur (la dimension Z dans l'espace 3D) joue un rôle crucial. Pour un même mouvement angulaire, un point plus proche de l'appareil photo (petit rayon) se déplace sur une distance linéaire plus courte qu'un point plus éloigné (grand rayon). En conséquence, le flou de mouvement d'un objet 3D en rotation, comme un cylindre, n'est pas uniforme. Il sera plus court et moins prononcé près de l'axe de rotation et s'étirera en une bande linéaire plus longue et plus floue à mesure que l'on se rapproche du bord. '''3. Couleurs et Formes 3D dans le Flou : Une Synthèse Complexe''' Lorsque des couleurs sont ajoutées à un objet 3D en rotation, elles se comportent de manière plus complexe que sur un simple disque plat. Elles s'étirent, se superposent et se mélangent en fonction de leur position sur l'objet et de la manière dont la lumière les frappe et se réfléchit. Ce mélange donne naissance à des dégradés de couleurs qui ne sont pas de simples arcs de cercle, mais peuvent former des bandes de couleurs plus complexes sur le plan photographique. '''4. Le Flou d'un Cylindre Coloré en Rotation et l'Analogie du Satellite Géostationnaire''' En complément de l'approche décrite au Chapitre 3, une analogie conceptuelle permet d'appréhender le flou d'un cylindre en rotation de manière inédite. On peut imaginer le photographe comme un "satellite géostationnaire" par rapport au cylindre en rotation. Dans ce scénario, sa vitesse angulaire relative par rapport à la surface du cylindre serait nulle. Par conséquent, la vitesse angulaire (omega) sur la surface, dite "absolue", est égale à la vitesse angulaire de rotation du cylindre lui-même. Cette perspective offre une méthode directe pour calculer les paramètres de la prise de vue. Pour déterminer le temps d'exposition afin de créer un flou de mouvement avec des traînées linéaires colorées, on utilise la même méthode de calcul que celle décrite au Chapitre 3. La formule de base est : Deltatheta=omegatimesDeltat Dans cette formule, l'angle de flou (Deltatheta) est exprimé en radians et la vitesse angulaire (omega) en radians par seconde. L'élément le plus novateur de cette approche est que la '''longueur de la bande linéaire de flou est directement proportionnelle au diamètre du cylindre'''. Ce lien direct entre la géométrie de l'objet et le résultat photographique sur le plan 2D du capteur permet de relier les paramètres de la prise de vue à la taille de l'effet visuel désiré. Cela ouvre la voie à un contrôle précis pour "peindre" des dégradés de couleurs linéaires par le mouvement rotatif d'un objet 3D. '''5. Le Flou des Villes depuis un Satellite Non-Stationnaire et la Vitesse Relative''' La compréhension du flou de mouvement devient encore plus complexe et riche lorsque l'observateur (le photographe) est lui-même en mouvement. Un cas d'étude fascinant est la photographie de la Terre depuis un satellite en orbite basse (LEO), qui n'est pas stationnaire. Dans cette configuration, l'effet de flou n'est pas le résultat de la rotation de la Terre seule, mais de la '''vitesse angulaire relative''' entre le satellite et la surface de la planète. L'analyse de cette vitesse est cruciale. * '''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s. * '''Vitesse angulaire d'un satellite en orbite basse (omegaLEO) :''' Un satellite en orbite LEO (environ 90 minutes par tour) a une vitesse angulaire d'environ 1.16times10−3 rad/s. Puisque le satellite et la Terre tournent dans le même sens, la vitesse angulaire effective est la différence entre les deux : omegarelative=omegaLEO−omegaTerreapprox1.09times10−3textrad/s Calcul du temps d'exposition pour un quart de tour de flou : En appliquant la même formule du Chapitre 3 (Δt = Δθ / ω), pour obtenir un flou de fracpi2 radians (un quart de tour), le temps d'exposition nécessaire serait : Deltat=fracpi/21.09times10−3approx1441textsecondes Soit environ 24 minutes. Ce calcul démontre que la vitesse angulaire relative, beaucoup plus rapide que la simple rotation de la Terre, réduit considérablement le temps d'exposition nécessaire pour obtenir un flou équivalent. L'analyse de ces dynamiques, notamment via les coordonnées ECEF (Earth-Centered, Earth-Fixed), permet de créer des traînées lumineuses directionnelles d'une précision remarquable, révélant de manière visuelle la vitesse relative entre le satellite et la surface en rotation. '''Exemple de Calcul : Temps d'exposition depuis la Lune pour un quart de tour de la Terre''' Dans ce cas, l'observateur (le photographe sur la Lune) et la Terre sont tous deux en mouvement. La vitesse angulaire qui détermine le flou de mouvement est la vitesse angulaire relative entre la Terre qui tourne sur elle-même et la Lune qui tourne autour de la Terre. # [[Fichier:Intégrale d'un volume d'un cylindre.jpg|vignette|calcul intégral du volume d'un cylindre comme dans un scanner]][[Fichier:Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions.jpg|droite|600x600px|Calcul matriciel dans un espace vectoriel curviligne à n dimensions]]'''Vitesse angulaire de la Terre (omegaTerre) :''' environ 7.27times10−5 rad/s. # Vitesse angulaire de la Lune (omegaLune) : La Lune effectue une orbite complète en environ 27,32 jours. omegaLune=frac2pitextradians27.32textjourstimes86400texts/jourapprox2.66times10−6textrad/s # Vitesse angulaire relative (omegarelative) : La Terre et la Lune tournent dans le même sens. La vitesse angulaire relative de la Terre vue depuis la Lune est la différence entre leurs vitesses : omegarelative=omegaTerre−omegaLuneapprox(7.27times10−5)−(2.66times10−6)approx7.00times10−5textrad/s # Calcul du temps d'exposition (Deltat) pour un quart de tour de flou (fracpi2 radians) : Deltat=fracDeltathetaomegarelative=fracpi/2textradians7.00times10−5textrad/sapprox22439textsecondes Soit environ 6 heures et 14 minutes. '''Conclusion du chapitre 5 :''' Ce chapitre a démontré comment le flou de mouvement, loin d'être un simple artefact photographique, devient un puissant outil d'analyse et de création lorsque le sujet est en 3D. De la projection d'un mouvement rotatif sur un plan 2D, nous avons exploré des dynamiques complexes, comme l'analogie du photographe "géostationnaire" par rapport à un cylindre, qui lie de manière élégante le diamètre de l'objet à la longueur de la traînée de flou linéaire. Le calcul du temps d'exposition à la vitesse de la Terre, comparé à la prise de vue depuis un satellite en orbite basse ou la Lune, a mis en évidence le rôle critique de la '''vitesse angulaire relative'''. En fin de compte, la maîtrise de ces principes géométriques et cinématiques permet de transcender la simple capture du mouvement. Elle ouvre des perspectives fascinantes pour contrôler précisément la forme, la durée et l'intensité des traînées lumineuses, transformant le mouvement invisible en une composition visible et signifiante. Le flou de mouvement devient ainsi un langage visuel qui raconte l'histoire du temps et de la vitesse. [[Fichier:Espace curviligne de dimension 3.jpg|800x800px]] [[Fichier:Deplacement autour d'une sphère.jpg|vignette|Calcul intégral du déplacement entre deux points dans une sphère issu du rayon*angle en radians]] [[Fichier:Rayon d'un disque contenant un carré de coté a.jpg|vignette|Rayon d'un disque contenant un carré de coté a par un calcul intégral issu du rayon * angle en radians]] == Le flou stroboscopique == [[Fichier:Flou stroboscopique typographie kinematic.mpg|vignette|Kinematic de typographie stroboscopique]] Le flou stroboscopique est un flou cinétique radial en photographie où on synchronise la vitesse d'obturation d'un appareil photographique avec celle d'une platine de tourne disque pour obtenir l'angle radial. [[File:Temps angulaire.jpg|thumb|Temps angulaire]] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Flou_stroboscopique_typographie_kinematic.mpg ;[[Fichier:Longueur d'un vecteur dans une sphère avec angle en radians.jpg|480x480px]][[Fichier:Anneau 60 -16.gif|vignette|tableau anneau RVB flou stroboscopique numérique ]][[Fichier:Intégrale matrice de rotation pour obtenir le tracé.jpg|vignette|Développement matrice de rotation]] ;*Fonction angulaire calculée d'après la formule '''''tempsdepause(pi/4;45tr/mn)=1/6s''''' ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t(θ) = exp[(4θ-<math>\pi</math>)/24)]/6</span> ::t(0)= <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">exp[(-<math>\pi</math>)/24)]/6</span> ;*Dérivée ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t'(θ) = exp[1<math>*</math>4/24]/6 = exp[1/6]/6</span> ;*Linéarisation du temps de pause t<math>_\theta</math>par rapport à l'angle <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">θ ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t<math>_0</math></span>=<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">exp[(-<math>\pi</math>)/24)]/6</span> :::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t</span><math>_\theta</math> <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">= t</span><math>_0</math><math>\exp(it)</math><math>^2</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;"><math>^\pi</math></span>= <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t<math>_0</math></span><math>*</math>(cos(t)̹̹<math>+</math>isin(t))<math>^2</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;"><math>^\pi</math></span>= <math>\exp</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">[(-<math>\pi</math>)/24]/6</span> <math>*</math>(cos(t)̹̹<math>+</math>isin(t))<math>^2</math><span style="font-family:Times; font-size:1.2em;"><math>^\pi</math></span> ;*Primitive ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">T(θ) = (1/12)<math>*</math>exp(1/6)<math>*</math>θ² + (1/6)<math>*</math>exp(-<math>\pi</math>/24)<math>*</math>θ + (<math>\pi</math>/3)<math>*</math>(exp(-<math>\pi</math>/24)+<math>\pi</math><math>*</math>exp(1/6)) ;* Fonction inverse ::<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t-¹(θ) = t(<math>\pi</math>-3)</span> :: ::Exemple de ce qu'on peut faire avec la vitesse angulaire d'après le théorème de l'addition des vitesses de la mécanique relativiste d'Albert Einstein, la sonde pitot numérique: :[[Fichier:Formule ads b.jpg|vignette|Vitesse_sol= intégrale de l'accélération d'un avion pendant une période de temps= vitesse_air - vitesse_vent_altitude]]<math>Vitesse sol= \sqrt{((-(vitesse angulaire de larotation de la terre)*secondes(TempsB- tempsA)+ \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)}))^2+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)</math> :[[Fichier:Trajectoire d'un vol autour d'une sphère.jpg|vignette|schéma vitesse sol calculée avec somme vectorielle des arcs de cercle d'une trajectoire d'un vol au dessus d'une sphère en rotation avec les coordonnées gps par rapport au centre de la sphère.]] :exemple : :pour New York Paris on parcourt 7522,12296600851 km en 7h15 dans le sens de la rotation de la terre :vitesse sol = (3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))÷(7×3600+15×60) =1037,53420220807 km/h :et elle perdra une masse = (((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(7×3600+15×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(7×3600+15×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(7×3600+15×60)^2)))*0,5/9,81 = 10984,7217977056 kg soit pour le trajet 8787,77743816448 litres de kérosène à une vitesse de 1037 km/h. :[[Fichier:Vitesse du vent.jpg|vignette|Intrication de la vitesse sol et de la vitesse du vent]] :pour paris New York on parcourt 7897,49588493335 km en 8h30 dans le sens contraire de la rotation de la terre :vitesse sol=(3,6×(6371000+11000)×(RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49 ); 2)))−3,6×(6371000+11000)×RACINE(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)-RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40); 2)))÷(8×3600+30×60)=929,117162933335 km/h :et elle perdra une masse = (((6371000+11000))^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(−2));2)+PUISSANCE(RADIANS(49);2))÷(8×3600+30×60)^2)−((6371000+11000)^2×(PUISSANCE((0,00007292115×(8×3600+30×60)−RADIANS(73));2)+PUISSANCE(RADIANS(40);2))÷(8×3600+30×60)^2)))*0,5/9,81= -9896,09159159012 kg soit pour le trajet 7916,8732732721 litres de kérosène à une vitesse de 929 km/h . : :Donc un vol aller pour Paris depuis New York consomme plus en carburant qu'un vol retour pour New York depuis Paris « Ce n'est pas le Soleil qui tourne autour de la Terre, c'est la Terre qui tourne autour du Soleil, Et pourtant la Terre elle tourne sur elle-même, c'est pour cela qu'elle est ronde… » Par cette formule pour un vol New York - Paris à 4000 m au-dessus de la mer et à 630,6 hectoPascal pour -8,5°°, un avion A320 de 76,4928 tonnes avec un angle d'horizon artificiel de -1,566923607° qui mettra 7h15 aura une vitesse moyenne de {{Unité|807.244837279434|km/h}} comme les distances en avion rallongent et consommera une valeur énergétique de 1,92307451971865 Gigajoules contre 1,63767263702058 Gigajoules pour le vol retour Paris New York d'une durée de 8h30 à une vitesse de {{Unité|744.9390928139391|km/h}} et avec un angle d'horizon artificiel de -1,567222514° comme les distances raccourcissent avec la terre qui tourne sur elle-même selon la relativité d'Albert Einstein Si la Terre était complètement sphérique et bien lisse il faudrait 3,651898169 jours pour qu'un ballon de basket roulant à {{unité|314662.519|km/h}} fasse le tour de la Terre en passant par les pôles. [[Fichier:Equation courbe geodesique coordonnées ECEF systeme WGS84.jpg|vignette|'''Équation courbe géodésique coordonnées ECEF système WGS84''']] Masse d'un avion en vol=(Masse volumique de l'atmosphere)*Altitude*Surface ventrale*Cx du fabricant [[Fichier:Coordonées ECEF systeme WGS84 d'une courbe geodesique.jpg|vignette|Coordonnées vecteurs et d'un point M d'une courbe géodésique]] <math>Masse avion=\left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx</math> <math>Horizon artificiel=\arctan \left (\frac{ \left ( \frac{Masse molaire de l'air*PressionatmospheriqueB}{CstUnivGpR*TemperatureB} \right)*AltitudeA*Surface projetee*Coef Cx*g}{ \sqrt{\mid vitesse angulaire de larotation de la terre * \frac{ radians(longitudeB-LongitudeA)}{secondes(TempsB- tempsA)} \mid+ (\frac{radians(latitudeB-latitudeA)}{secondes(tempsB-tempsA)})^2}*(rayon moyen de la terre+ altitudeB)} \right) </math> Masse de la lune=384399000*PI*1737400^2*0,5=1,822643624*10^21 kg Masse volumique du vide sidéral aux alentours de la Lune=40,38090554 kg/m^3 nettement inférieur à la masse volumique de l'eau(997kg/m^3) et légèrement supérieur à la masse volumique de l'air (1,2kg/m^3) <math>Masse d'un photon=\frac{ConstantedePlanck*frequenceduphoton}{vitessedelalumieredanslevide^2}</math> masse d'un photon orange déplaçant une minuscule masse d'air à la vitesse de la lumière=1,491520911*10^-36 kg <math display="block">Frequence d'un photon=\left ( \frac{vitessedelalumieredanslevide}{(Constante de Gladstonedale*masse volumique de l'air +1)*longueur d onde du photon } \right ) </math> fréquence d'un photon orange= 202,30876655 THertz <math>Intensite d'un photon derriere une epaisseur=Intensite devant*\exp\left ( \frac{-4\pi*Cste de GladstoneDale*epaisseur en cm}{longueurdonde du photon} \right )</math> Soit pour un photon orange d'intensité 1KiloWatt devant aura derrière une épaisseur de 1 nanomètre d'air une intensité lumineuse de 76,9026362586509 Watts ex vitesse orbitale de la lune par rapport à la vitesse de rotation de la terre =(RACINE(ABS(0,00007292115×RADIANS(185−187)÷(420))+PUISSANCE(RADIANS(22−22)÷(420);2)))×(383623000)*3,6={{Unité|107513.482389629|km/h}} En python pour déterminer instantanément la vitesse d'un point par rapport à la terre on fait le programme suivant en faisant l'analyse du champ lexical séparé par une virgule de deux trames GNGGA précédente et suivante et où on fait comme sur une feuille de calcul la formule dans une boucle tant qu'en accédant aux valeurs du dictionnaire pour les longitudes, latitudes, altitudes et le temps: """ GNGGA Compteur de vitesse par rapport au mouvement de rotation de la terre """ import serial import math <nowiki>#</nowiki> Set up serial: ser = serial.Serial(     port='/dev/ttyACMx',\     baudrate=9600,\         timeout=1) <nowiki>#</nowiki> Helper function to take HHMM.SS, Hemisphere and make it decimal: def degrees_to_decimal(data, hemisphere):     try:         decimalPointPosition = data.index('.')         degrees = float(data[:decimalPointPosition-2])         minutes = float(data[decimalPointPosition-2:])/60         output = degrees + minutes         if hemisphere == 'N' or hemisphere == 'E':             return output         if hemisphere == 'S' or hemisphere == 'W':             return -output     except:         return ""     def parse_GNGGA(data):     data = data.split(',')     dict = {             'fix_time': data[1],             'latitude': data[2],             'latitude_hemisphere' : data[3],             'longitude' : data[4],             'longitude_hemisphere' : data[5],             'fix' : data[6],             'sat' : data[7],             'dop' : data[8],             'altitude' : data[9],             'unit_alt' : data[10],             'WGS84' : data[11],             'unit_wgs84' : data[12],             'vide' : data[13],             'checksum' : data[14]                 }         dict['decimal_latitude'] = degrees_to_decimal(dict['latitude'], dict['latitude_hemisphere'])     dict['decimal_longitude'] = degrees_to_decimal(dict['longitude'], dict['longitude_hemisphere'])     return dict     <nowiki>#</nowiki> Main program loop: gpsDataB = None speedA= 0.0  masse= 90.0 while True:           line = str(ser.readline())         if "b'$GNGGA" in line :         gpsDataA = parse_GNGGA(line)                 if gpsDataB is not None:                         AltA= float(gpsDataA.get('altitude'))             AltB= float(gpsDataB.get('altitude'))             LonA=float(gpsDataA.get('decimal_longitude'))             LonB=float(gpsDataB.get('decimal_longitude'))             LatA=float(gpsDataA.get('decimal_latitude'))             LatB=float(gpsDataB.get('decimal_latitude'))             tempsA=float(gpsDataA.get('fix_time'))             tempsB=float(gpsDataB.get('fix_time'))             speed =3.6*(3781009 + AltB+ abs(AltA - AltB) * (math.sqrt(((- 0.00007292115 + (math.radians(LonA- LonB)/(tempsA-tempsB))))**2 +(math.radians(LatA - LatB)/(tempsA-tempsB)) ** 2)) energie=0.5*masse/(3.6**2)*(speed ** 2 - speedA ** 2)             print("vitesse = {}".format(speed)) print("Joules = {}".format(energie))         speedA = speed         gpsDataB=gpsDataA Par produit en croix de Masse de la Terre ⇒ Rayon moyen de la Terre * vitesse angulaire de la rotation de la Terre Masse de la Lune ⇒ Rayon moyen de la Lune * vitesse angulaire de la rotation de la Lune On peut déterminer la masse de la Lune*(6371,009*7,292115*0,00001*3600)= 5,973 6 × 10²⁴ <abbr>kg*</abbr>1 737,4 <abbr>km*2*PI/</abbr>27,321 582/24 Masse de la Lune= 5,943117086*10^21Kg === Démonstration === [[Fichier:Abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]] [[Fichier:Flou stroboscopique de l'abeille butinant sur un brin de lavande.jpg|vignette|Abeille butinant sur un brin de lavande]] [[Fichier:Cylindre rvb.webm|vignette|synthèse additive sur un cylindre qui tourne avec blender]] [[Fichier:BeansRVB.webm|vignette|Cylindre déformé RVB]] {| class="wikitable" |Produit matriciel |(1/2^n;1/2^n) où n est le degré d’optimisation |- |(Vitesse d’ouverture pour une synthèse additive d’un groupe de couleurs RVB; angle n*alpha avec n>0) |(Vitesse d’ouverture de l’appareil photo; angle alpha) |} [[Fichier:Integrale flou stroboscopique.jpg|vignette|Integrale flou stroboscopique]] [[Fichier:Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre.jpg|vignette|Rotation point avec rayon et angles par rapport au centre]] Soient <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">θ = ωt et ω = 2<math>\pi</math>f</span>, où <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">θ</span> est un angle en radians, <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">f</span> la fréquence de la platine en tours par minutes et <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t</span> le temps en secondes. *On fait correspondre <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">ω = 2<math>\pi</math>f</span> et <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">ω = θ/t</span>, d'où <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">2<math>\pi</math>f = θ/t<span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">. *On simplifie : <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t = θ/(2<math>\pi</math>f). *On convertit <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">f</span> en tours par seconde et on obtient <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t = θ/(2<math>\pi</math>f)/60)</span>, d'où : <span style="font-family:Times; font-size:1.2em;">t = (60 <math>*</math> θ)/(2<math>\pi</math>f)</span>. pour n=0 Sur un disque tournant sur une platine, on obtient une vitesse d'ouverture de l'appareil photo de : <blockquote style="text-align:center; font-size:1.2em;"> <math>Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \ tours \ platine \ par \ minute \ * \ 2 \pi)</math> </blockquote> [[Fichier:Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque.jpg|vignette|'''Flou stroboscopique d'un anneau RVB et sa réciproque''']] [[Fichier:Signatures stroboscopiques.jpg|vignette|Clef publique obtenue avec un flou cinétique circulaire d'angle 150° grâce à une clef privée pour des signatures stroboscopiques.]] [[Fichier:Générer une clef publique sans clef privée.jpg|vignette|Générer une clef publique sans clef privée]] [[Fichier:Dechiffrement d'une clef stroboscopique.jpg|vignette|Déchiffrement d'une clef privée à partir d'une clef publique connaissant son angle de flou cinétique circulaire]] [[Fichier:Dechiffrement image floutée circulairement avec 3 angles.jpg|vignette|Déchiffrement image floutée circulairement avec 3 angles]] [[Fichier:Figer et flouter digitalement une figure en rotation.jpg|vignette|Figer et flouter digitalement une figure en rotation]] [[Fichier:Flou-et-figeage deflou.jpg|vignette|Flou et figeage de flou + padding et intégrale]] <gallery mode="packed" heights="220px"> Rose - 1.jpg|Rose en flou stroboscopique à l'arrêt Rose-2.jpg|Rose en flou stroboscopique en rotation </gallery> <gallery mode="packed" heights="220px"> Galaxie - 1.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque à l'arrêt Galaxie - 2.jpg|Galaxie en flou stroboscopique disque en rotation </gallery> [[Fichier:Perroquet à l'arret.jpg|vignette]] <gallery mode="packed" heights="220px"> Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|Platine à l'arrêt Flou cinétique sur vinyle.JPG|Platine en mouvement :<br />78 tours/mn,<br />vitesse d'ouverture 1/15 s,<br />angle <big><math>\pi</math></big>/6 </gallery> <gallery mode="packed" heights="220px"> Sextuple spirale réedition à l'arrêt.jpg|Sextuple spirale, réédition à l'arrêt Sextuple spirale réedition en mouvement.jpg|Sextuple spirale, réédition en mouvement </gallery> [[Fichier:Perroquet en mouvement.jpg|vignette]] === Table stroboscopique === {| class="wikitable" style="text-align:center;" |- ! angle !! <big><math>\pi</math></big>/6 !! <big><math>\pi</math></big>/4 !! <big><math>\pi</math></big>/3 !! <big><math>\pi</math></big>/2 || <big><math>\pi</math></big> !! 2<big><math>\pi</math></big> |- ! 33 tr/mn |0,1515151515 || 0,2272727273 || 0,303030303 || 0,4545454545 || 0,9090909091 || 1,8181818182 |- ! vitesse | 1/6 s || 1/5 s || 0,3 s || 0,5 s || 1 s || 2 s |- ! 45 tr/mn | 0,1111111111 ||'''0,1666666667'''|| 0,2222222222 || 0,3333333333 || 0,6666666667 || 1,3333333333 |- ! vitesse | 1/10 s ||'''<u>1/6 s</u>'''|| 1/5s || 0,3s || 0,6s || 1,3s |- ! 78 tr/mn | 0,0641025641 || 0,0961538462 || 0,1282051282 || 0,1923076923 || 0,3846153846 || 0,7692307692 |- ! vitesse | 1/15s || 1/10s || 1/8s || 1/5s || 0,4s || 0,8s |} === Expériences === {| align="right" |- | [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newton à l'arrêt]] || [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|Prisme à 2<big><math>\pi</math></big>]] |} <gallery mode="packed" heights="150px"> Disque_de_newton_permuté.jpg|Modèle de disque de newton permuté Rotation_disque_de_newton_permuté_pour_chaque_couleur.jpg|Disque de Newton permuté à <big><math>\pi</math></big>/7 pour chaque flou visible sur chaque flou visible Rouge Orange Jaune Vert Bleu Indigo Violet Angle_permutation_couleurs.jpg|Angle des couleurs flou visibles sur autre couleurs de flou visible </gallery> Et on obtient par un système de 6 équations à 7 inconnues pour chaque angle par rapport à une couleur : {| |- valign="top" | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |- style="font-variant:small-caps;" ! Vert !! jaune !! orange !! rouge !! violet || indigo !! bleu !! blanc |- style="height:20px;" | style="background-color:green;"| || style="background-color:yellow;"| || style="background-color:orange;"| || style="background-color:red;"| || style="background-color:purple;"| || style="background-color:indigo;"| || style="background-color:blue;"| || style="background-color:white;"| |- | 25|| 80|| 35|| 50 ||60||35||75 || 360 |- | 50|| 65|| 70|| 60 ||30||20||65 || 360 |- | 35|| 75|| 80|| 45 ||50||20||55 || 360 |- | 45|| 80|| 70|| 60 ||45||20||40 || 360 |- | 60|| 60|| 40|| 50 ||20||40||90 || 360 |- | 40|| 60||50|| 40||60||30||80 || 360 |- | 360|| 360|| 360|| 360 ||360||360||360 || 360 |} | style="padding-left:20px;"| <br /> {| class="wikitable" |- | <poem> <span style="color:#fff;">+ </span>Vert = 4,200764818 + Jaune = 5,990439771 + Orange = –1,833652008 + Rouge = –2,728489484 + Violet = 0,575525813 + Indigo = –8,304015296 + Bleu = 3,099426386 </poem> |} [[File:Dégradé.jpg|thumb|Dégradé de flou de couleurs de base]] |} [[Fichier:Lunette periscopique pour vision 1-4.jpg|vignette|Schémas optique d'une vue dans un champ visuel de PI/2 élargi 3 fois avec des miroirs]] [[Fichier:Dégradé linéaire.jpg|vignette|Dégradé linéaire d'après dégradé circulaire photographique]] === Disque de Newton en RVB === <gallery mode="packed" heights="150px"> Disque de Newton en spirale.jpg|Disque aux couleurs de Newton<br />en vue d'obtenir du blanc Blanc du disque de Newton lumière blanche.jpg|Blanc du disque de Newton<br />en spirale avec une lumière blanche Violet du disque de Newton en lumière ultraviolette.jpg|Violet du disque de Newton<br />en spirale avec une lumière ultraviolette </gallery> <gallery mode="packed" heights="220px"> Disque de newton rvb.jpg|Disque de Newton en RVB à l'arrêt Disque de newton rvb pi sur2.jpg|Angle de <big><math>\pi</math></big>/2, 33 tr/mn, flashé à 0,5 s Disque de newton rvb 2pi.jpg|Angle de 2<big><math>\pi</math></big>, 33 tr/mn, flashé à 2 s </gallery> == Synthèse additive == <gallery mode="packed" heights="180px"> Table des couleurs en peinture acrylique.JPG|Table des couleurs<br />en peinture acrylique Blanc UV synthèse additive RVB.webm|Blanc UV synthèse additive RVB Synthese_additive_flou_stroboscopique_RVB.jpg|Synthèse additive aux couleurs RVB<br />sur un disque circulaire Resultat_de_la_synthese_additive_flou_stroboscopique.jpg|Résultat de la synthèse additive<br />45 tr/mn<br />Angle de <big><math>\pi</math></big>/2<br />flashé 0.3s </gallery> {| class="wikitable" |+ !Produit Matriciel !(R/B)*Alpha* V/(R+V+B) !Alpha* V/(R+V+B) !(B/V)*Alpha* V/(R+V+B) |- |(Rouge; Vert; Bleu; angle Alpha) | colspan="3" |Angle pour chaque valeur RVB différentes par dichotomie |- |ex Bleu roi (49;140;231; 45°) |5,25° de rouge |15° de vert |24,75° de bleu |- | | | | |} [[Fichier:Clown dichotomie.jpg|vignette|méthode de coloriage par dichotomie]] [[Fichier:Clown de face.jpg|vignette|synthèse additive du coloriage par dichotomie 1/6s 45t pi/2]] <gallery mode="packed" heights="160px"> Synthese additive flou stroboscopique 0.jpg|Synthèse additive<br />flou stroboscopique 0 Synthese additive flou stroboscopique pi.jpg|Synthèse additive<br />flou stroboscopique <big><math>\pi</math></big> Synthese additive flou stroboscopique 2PI.jpg|Synthèse additive<br />flou stroboscopique 2<big><math>\pi</math></big> Disque couleurs additives.webm|Disque couleurs additives </gallery> == En flou stroboscopique == En flou stroboscopique, on peut reproduire la synthèse additive avec un appareil photographique : c'est le phénomène de la lumière réfléchie comme de la lumière projetée sur un écran et surtout moins nocive pour la santé. On peut vérifier aussi la synthèse additive des couleurs sur le disque en le fixant sur un ventilateur, par exemple, où elle sera visible à vision humaine mais ne le sera pas sur une caméra. {| align="center" |- |[[Fichier:Synthèse_additive_par_lumière_réflechie_sur_un_disque_tournant_à_45tr_minute.jpg|250px]] | [[Fichier:Couleurs_sur_un_disque_à_l'arrêt_pour_une_synthèse_additive_par_lumière_réflechie.jpg|250px]] |- valign="top" style="font-size:90%; text-align:center" | Synthèse additive par lumière réfléchie<br />sur un disque à 45 tr/mn || Couleurs sur un disque à l'arrêt<br />pour une synthèse additive<br />par lumière réfléchie |} == Diagramme de Venn des couleurs synthèse additive étendues == [[File:Gamme de gris.webm|thumb|Gamme de gris]] [[File:Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour marron rose rouge vert]] [[File:Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu.webm|thumb|Disque synthèse additive étendue pour orange violet gris bleu]] [[File:Disque synthèse additive étendue( Cuivre, lavande, saumon et or).webm|thumb|Disque synthèse additive étendue (cuivre, lavande, saumon et or)]] <gallery mode="packed-hover" heights="280px" caption="Diagramme de Venn des couleurs étendues de la synthèse additive par lumière réfléchie ''(survolez l'image)''"> Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_à_l'arrêt.jpg|<small>Pour faire du gris anthracite, blanc crème et bleu maya</small> Gris_anthracite_Blanc_crème_Bleu_Maya_flou_stroboscopique_disque_en_mouvement.jpg|<small>Gris anthracite, blanc crème et bleu maya</small> </gallery> <gallery mode="packed-hover" heights="280px" caption="Production du orange cassis et jaune par synthèse additive de lumière réfléchie"> Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_1.jpg|<small>Partie 1</small> Production_du_orange_cassis_et_jaune_par_synthese_additive_de_lumiere_réfléchie_partie_2.jpg|<small>Partie 2</small> </gallery> <gallery mode="packed-hover" heights="280px" caption="Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent)"> Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque immobile.jpg|<small>À l'arrêt</small> Gamme de gris(gris anthracite,gris, gris souris, argent) disque en rotation.jpg|<small>En mouvement</small> </gallery> === Théorie de l'absorption et de la réflexion de la lumière par les surfaces colorées === {| align="center" |- valign="top" | [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]] | [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]] | [[Fichier:Nuancier stroboscopique.JPG|220px]] | [[File:Fond chromatique.JPG|220px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Vitraux || Fond gris || Nuancier stroboscopique<br />sur fond chromatique || Stroboscopie de disque<br />aux couleurs chromatiques |} === Flou stroboscopique sculpté === {| align="center" |- valign="bottom" | [[Fichier:Modele de flou stroboscopique sculpte.JPG|232px]] | [[Fichier:Flou stroboscopique sculpté.JPG|520px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Modèle de flou stroboscopique sculpté || Flou stroboscopique sculpté |} === Flou cinétique radial === {| align="center" |- valign="bottom" | [[Fichier:Stroboscopie de Jimi Hendrix.JPG|220px]] | [[Fichier:Flou stroboscopique.jpg|330px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Stroboscopie à <big><math>\pi</math></big>/6 || Retouche d'image faite à la main |} ==== Effet bras de levier ==== Dans le flou stroboscopique, l'effet bras de levier consiste, en diminuant l'angle de rotation avec une vitesse stroboscopique plus élevée, à éloigner du centre le flou vers l’extérieur et avoir un centre plus net. <gallery mode="packed" heights="160px"> Stroboscopie circulaire à 0,05s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,05 s Stroboscopie circulaire à 0,033s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,033 s Stroboscopie circulaire à 0,016s.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,016 s Stroboscopie circulaire à 0,00625.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,00625 s Stroboscopie circulaire à 0,0025.JPG|Stroboscopie circulaire à 0,0025 s </gallery> ==== Le flou stroboscopique rectiligne ==== À plus grande échelle, le mouvement circulaire devient rectiligne et on obtient du flou stroboscopique rectiligne. Ceci est la preuve que quel que soit la masse de la goutte d'eau en chute libre, un corps tombe à la même vitesse. [[Fichier:Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s.JPG|thumb|center|upright=1.5|Stroboscopie rectiligne photographique à 0,005s]] ==== Retranscription du son par la couleur ==== {| align="center" style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;" |- align="center" ! colspan="2"|<q>''When The Saints Go Marching In''</q> |- valign="bottom" | [[Fichier:When The Saint Go Marching In - Partition - Flou Stroboscopique.JPG|220px]] | [[Fichier:When The Saint Go Marching In - PLAY - Flou Stroboscopique.JPG|495px]] |- valign="top" align="center" style="font-size:90%;" | Partition en spirale<br />pour Flou Stroboscopique<br />Chaque couleur représente<br />une note selon sa longueur d'onde | Joué en Flou Stroboscopique en <big><math>\pi</math></big>/2<br />pour faire une mesure à 4 temps |} *Le flou stroboscopique est un flou visible produit par l'effet d'un mouvement périodique d'un ou plusieurs points sur un disque capté lors de la prise de vue : <blockquote style="text-align:center; font-size:1.2em;"> <math>Vitesse \ d'ouverture \ de \ l'appareil \ photo = (60 \ * \ angle \ en \ radians)/(nombre \ de \ tours \ platine \ * \ 2 \pi)</math> </blockquote> {| align="center" style="font-size:90%; border:1px solid #a2a9b1; margin-top:25px;" |- valign="bottom" | [[Fichier:Flou cinétique tourne disque à l'arrêt.JPG|220px]] | [[Fichier:Flou cinétique sur vinyle.JPG|220px]] | [[Fichier:Vitraux éclairée.JPG|220px]] | [[Fichier:Suites de segments et d'hexagones traduites en flou stroboscopique.JPG|495px]] |- valign="top" align="center" | Spirales sextuples, intervalle de 30°<br />6 couleurs peintes sur vinyle<br />Platine à l'arrêt | 78 tours pour obtenir un flou visible<br />Vitesse d'ouverture photo : 1/15s | 78 tours 30° 1/15s | 78 tours 30° 1/15s |} {| align="center" style="background-color:#f6f6f6;font-size:90%; margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- valign="bottom" | [[Fichier:Vitraux sur fong gris pour flou stroboscopique.JPG|220px]] | [[Fichier:Vitreaux triangulaires sur fond gris.JPG|220px]] | [[Fichier:Stroboscopie à 360° d'une suite de spirales aux couleurs chromatiques.JPG|220px]] |- valign="top" align="center" | Vitraux sur fong gris<br />pour flou stroboscopique | 78tours 1/15s 30° |Stroboscopie à 1.3 et 45 tr/mn<br />pour faire un tour complet<br />soit 2<big><math>\pi</math></big> |} <gallery mode="packed" heights="250px"> Stroboscopie photographique d'un mouvement circulaire à 0,016s.jpg|Cascade Zen architectural.JPG|Flou stroboscopique fait main<br />Made in France D Day.xcf|Decopatch stroboscopique Robinson Crusoé.JPG|Flou stroboscopique de poster </gallery> {| align="center" |- valign="bottom" | [[Fichier:Vertigo Building.JPG|thumb|Photographie de Lewis W. Hine stroboscopiée à l'artisanale]] | [[Fichier:Volant à droite.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]] | [[Fichier:Volant à gauche.JPG|thumb|Flou stroboscopique dans le sens horaire]] |} <div style="float:center; width:440px; margin:auto; text-align:center;"> [[Fichier:Airbourn stroboscopié.JPG|220px]][[Fichier:Iron Maiden stroboscopié.JPG|220px]]<br />Sonisphere </div> {| align="center" |- valign="bottom" |Disque original entre les mains du parquet de Paris[[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton à l'arret.JPG|thumb|Disque de Newston à l'arrêt]] | [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 0pi.JPG|thumb|upright=2.2|Stroboscopie du Disque de Newton à vitesse proche du 0 <big><math>\pi</math></big>]] | [[Fichier:Stroboscopie Disque de Newton 2pi.JPG|thumb|À vitesse proche du 2 <big><math>\pi</math></big>]] |} {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; margin-bottom:25px;" |- bgcolor="#ffffe0" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''My Way''</q> |- valign="bottom" | [[File:My Way-source-flou stroboscopique.JPG|300px]] | [[File:My Way 33 3 3.JPG|300px]] |- valign="top" | Partition lumineuse<br />Formatage en <big><math>\pi</math></big>/3<br />avec 8 octets sur 5 pistes | Jouée en 33 tr/mn<br />Rotation de <big><math>\pi</math></big>/3 en 0,3 s |} {| align="center" |- | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique du <q>''Boléro'' de Ravel</q> |- | [[File:Bolero-joué-flou stroboscopique.JPG|280px]] | [[File:Partition-Bolero-Flou stroboscopique.JPG|280px]] |- valign="top" | Partition<br />10 secteurs de 12 octets sur 8 pistes | Jouée en 78 tr/mn<br />Prise à 1/13 s pour <big><math>\pi</math></big>/10 |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique du <q>''Smile (temps modernes)''</q> |- | [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes-partition.JPG|280px]] | [[File:Flou stroboscopique-Smile-temps modernes.JPG|280px]] |- valign="top" | Partition<br />de 72 secteurs de 4 noires sur 12 pistes | Jouée en 33 tr/mn<br />Angle <big><math>\pi</math></big>/3, 0,3 s |} |} [[Fichier:Bolerovideo.webm|vignette|297px|Bolerovideo]] {| align="center" |- | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; background-color:#ffffe0; margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- ! colspan="3"|Effet stroboscopique de <q>''Swanee''</q> de Gershwin |- valign="bottom" | [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique.JPG|490px]]| | [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur4.JPG|220px]] | [[File:Swanee-Gershwin-flou stroboscopique pisur8.JPG|220px]] |- valign="top" | Partition de 96 secteurs de 4 octets sur 6 pistes | Jouée à <big><math>\pi</math></big>/4 | Jouée à <big><math>\pi</math></big>/8 |} |} {| align="center" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''The entertainer''</q> de Scott Joplin |- valign="bottom" | [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique.JPG|280px]] | [[File:The entertainer - Scott Joplin - flou strobscopique- en mouvement.JPG|280px]] |- | 72 secteurs de 8 doubles croches sur 6 pistes | Jouée en 33 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/6 et 1/6 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique du <q>''French Cancan''</q> d'Offenbach |- valign="bottom" | [[File:Partition French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]] | [[File:French cancan- flou stroboscopique.JPG|280px]] |- | 144 secteurs de 4 croches sur 12 pistes | Jouée à 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/6 et 1/15 s |} |} {| align="center" bgcolor="#ffffe0" style="font-size:90%;text-align:center; margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Lettre à Élise''</q> de Beethoven |- valign="bottom" | [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn off.JPG|260px]] | [[File:Lettre à Elise - Beethoven- Flou stroboscopique - turn on.JPG|585px]] |- valign="top" | 90 secteurs de 6 doubles croches<br />sur 15 pistes | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/3 et 1/8 s |} {| align="center" style="margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de la <q>''Marche de Radetzky''</q> de Johann Strauss |- valign="bottom" | [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- partition.JPG|280px]] | [[File:Marche de Radetzky- Johann Strauss- flou stroboscopique- turn on.JPG|280px]] |- valign="top" | 104 secteurs de 8 doubles croches,13 pistes | Jouée à 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1/10 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Habanera de Carmen''</q> de Georges Bizet |- valign="bottom" | [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- partition.JPG|280px]] | [[File:Habanera de Carmen - Georges Bizet -flou stroboscopique- play.JPG|280px]] |- | 88 secteurs sur 11 pistes 8 doubles croches | Jouée à 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1/6 s |} |} {| align="center" style="margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Nocturne Op. n°2''</q> de F. Chopin |- valign="bottom" | [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-partition.JPG|220px]] | [[File:Nocture op9 no2-Chopin-Flou Stroboscopique-play.JPG|220px]] |- | 36 sect., 12 pistes, 48 triples croches | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/3 et 1/4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''La Marseillaise''</q> de Rouget de Lisle |- valign="bottom" | [[File:Partition de la Marseillaise de Rouget de Lisle en notes couleurs de l'arc en ciel.JPG|220px]] | [[File:La Marseillaise de Rouget de Lisle jouée en flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 40 secteurs 10 pistes 1/16 | 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 0.3 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|Effet stroboscopique de <q>''Pump and circumstance''</q> de Edward Elgar |- valign="bottom" | [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar partition pour flou stroboscopique.JPG|220px]] | [[File:Pomp and circumstance de Edward Elgar joué en flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 80 secteurs 10 pistes 1/4 | 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1.6 s |} |} {| align="center" style='background-color:#ffffe0; margin-bottom:15px;" |- valign="bottom; ! colspan="2"|''Lascia Ch'io Pianga'' de l'opéra <q>Rinaldo</q> de G. F. Händel |- valign="bottom" | [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - partition.JPG|220px]] | [[File:Lascia Ch'io Pianga - Flou stroboscopique - play.JPG|220px]] |- style="text-align:center; font-size:90%;" | 42 secteurs, 7 pistes, 1 croche | Joué en 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/3 et 1/5 s |} {| align="center" style="margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2"|<q>''El condor pasa''</q> |- valign="bottom" | [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-partition.JPG|220px]] | [[File:El condor pasa- flou stroboscopique-en mouvement.JPG|220px]] |- | 48 sect., 12 pistes, 16 dbles croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 1,5 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2"|<q>''Chicken Reel''</q> de Joseph M. Daly |- valign="bottom" | [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly (partition).JPG|220px]] | [[File:Flou stroboscopique de chicken reel de Joseph M Daly.JPG|220px]] |- | 52 secteurs 13 pistes 1 croche | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 1/5 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2"|<q>''L'apprenti sorcier''</q> de Paul Dukas |- valign="bottom" | [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique-Partition.JPG|220px]] | [[File:L'apprenti sorcier-Paul Dukas-Flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 28 secteurs 7 pistes 3 croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/2 et 1/5 s |} |} {| align="center" |- | style="padding-right:25px;" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2" |<q>''Valse n°2''</q> de Dmitri Chostakovitch) |- valign="bottom" | [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- partition.JPG|220px]] | [[File:Valse n° 2 (dimitri chostakovitch)- Flou stroboscopique- play.JPG|220px]] |- | 39 secteurs 13 pistes 12 dbles croches | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/3 et 1/4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2" |<q>''Le beau Danube bleu''</q> de J. Strauss |- valign="bottom" | [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- code source.JPG|220px]] | [[File:Bleu Danube - Strauss Johann- Flou stroboscopique- compilé.JPG|220px]] |- | 345 secteurs 23 pistes 6 croches | 33 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/15 et 1/8 s |} |} {| align="center" style="margin-top:25px; margin-bottom:25px;" |- valign="top" | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #acf;" |- bgcolor="#acf" ! colspan="2" |<q>''Le Lac des Cygnes''</q> de P. I. Tchaikovsky |- valign="bottom" | [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique-partition.JPG|220px]] | [[File:Lac des cygnes-Tchaikovsky-flou stroboscopique.JPG|220px]] |- | 26 secteurs 13 pistes 8 croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big> et 4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1;" |- bgcolor="#e1e1e1" ! colspan="2" |<q>''Camarada Hans Beimler''</q> de Ernst Busch |- valign="bottom" | [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique- Partition.JPG|220px]] | [[File:Camarada Hans Beimler - Ernst Busch - Flou stroboscopique - RUN.JPG|220px]] |- | 36 secteurs 12 pistes 8 croches | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/3 et 1/4 s |} | {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #adc;" |- bgcolor="#adc" ! colspan="2" |<q>''La truite''</q> de Franz Schubert |- valign="bottom" | [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-off.JPG|220px]] | [[File:La truite- Franz Schubert- flou stroboscopique-on.JPG|220px]] |- | 65 secteurs 13 pistes 1 dble croche | 78 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/5 et 1/6 s |} |} {| align="center" style="background-color:#ffffe0; margin-bottom:25px; font-size:90%; text-align:center;&quot;" |- valign="bottom;" ! colspan="2" |''Toccata & Fugue en Ré mineur'' (Yasuo Sugiyama) |- | [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique-code source.JPG|300px]] | [[File:Toccata et fugue en re mineur-Yasuo Sugiyama-flou stroboscopique.JPG|300px]] |- | 60 secteurs 12 pistes 16 dbles croches | 45 tr/mn, 2<big><math>\pi</math></big>/5 et 1/4 s |} {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;" |- bgcolor="#abcdef" ! colspan="4" |<q>''La Marche turque''</q> de W. A. Mozart |- bgcolor="#e1e1e1" | colspan="2" |'''{{1re}} partie'''|| colspan="2" |'''2^ème partie''' |- valign="bottom" | [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]] | [[File:La Marche turque- Mozart- 1ère partie- flou stroboscopique.JPG|230px]] | [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique- code source.JPG|230px]] | [[File:La Marche turque- Mozart- 2ème partie- flou stroboscopique.JPG|230px]] |- | 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/8 et 1/20 s | 112 secteurs 14 pistes 8 dbles croches | 78 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/8 et 1/20 s |} {| align="center" style="font-size:90%; text-align:center; border:1px solid #a2a9b1; margin-bottom:25px;" |- bgcolor="#fedcba" ! colspan="2" |<q>''Hilarity Rag''</q> de James Scott |- valign="bottom" | [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- code source.JPG|240px]] | [[File:Hilarity Rag - James Scott- Flou stroboscopique- compilation.JPG|240px]] |- | 256 secteurs 32 pistes 1 double croche | 45 tr/mn, <big><math>\pi</math></big>/4 et 1/6 s |} {{Autres projets | idfaculté = | b = Photographie/Thèmes/Le flou | wikibooks titre = Le flou }} 9rj1pu3as6p94up5qcadxn4hrwl7t47 0 46995 985058 981439 2026-07-21T03:40:10Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Stade_Océane_nuit.jpg|Stade_Océane_nuit.jpg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Krd|Krd]] because: [[:c:Commons:Deletion requests/File:Stade Océane nuit.jpg|]]. 985058 wikitext text/x-wiki {{Annexe | idfaculté = géographie | numéro = 1 | niveau = 13 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Liens externes/]] }} {{centrer|'''{{grossir |facteur=2 |Les stades, symboles de la mondialisation et rôle géopolitique}}'''}} Problématique : peut-on parler d'une concurrence lors de la construction des stades depuis 1930 ? Au XX{{e}} siècle, les performances sportives sont devenues un enjeu majeur dans la concurrence entre les États. Par l'organisation d'évènements ou de manifestations sportives, ceux-ci cherchent à montrer leur puissance économique et politique. Cette puissance est clairement exposée par la construction des stades dans lesquels se déroulent les évènements. Avec la mondialisation la construction des stades a pris une très grande ampleur. Plan : * évènement / évolution du sport et des lieux sportifs depuis 1930 ; * enjeux politique ; * cherche à montrer sa puissance économique (contraintes de construction : espace, lieu, forme du stade...). == Les stades : atout économique ou contrainte ? == [[Fichier:Camp Nou des de l'helicòpter.jpg|thumb|upright=1.3|Camp Nou de Barcelone.]] Les stades sont un atout dans la mesure ou ils ouvrent à l'international, ce qui assure de certaines retombées économiques. Par exemple, à Barcelone, le Camp Nou rapporte des millions d’euros au club et à la ville. Ceci s'explique par la popularité du FC Barcelone qui attire de nombreux supporters et de touristes et également par les équipements sportifs et touristiques (musée) dont dispose le stade. En effet, ce stade est un des plus grands en Europe ({{unité|98772|places}}), ce qui permet de faire rentrer des recettes importantes, notamment pendant les matchs. Le Camp Nou sert aussi à l'organisation de concerts (comme de nombreux grands stades) et même de manifestations religieuses<ref>Article Wikipédia {{w|Camp Nou}}, consulté en septembre 2013.</ref>. [[Fichier:Coup d'envoi.jpg|thumb|left|upright=1.3|Stade de France.]] Le stade de France est un autre exemple d'atout économique local. Il a été construit pour la coupe du monde de football en 1998. Sa construction a eu des retombées sur l'organisation urbaine périphérique: en outre la création d'un quartier autour du stade, le prolongement d'une ligne de RER et la construction de deux gares pour faciliter la desserte des personnes venant au stade. La construction du stade de France a été un atout économique et l'est toujours actuellement, en effet, cela a permis de créer des emplois dans le stade et dans son quartier ({{formatnum:35000}}). De nombreux grands groupes comme Siemens et EDF-GDF se sont donc installés autour du stade, de même que des entreprises du secteur du commerce, de la mode ou encore de la recherche. Le stade de France et ses alentours sont les premiers moteur de la Plaine-Saint-Denis. Ils génèrent d’importantes recettes grâce aux nombreux évènements qui y sont organisés notamment des concerts à {{unité|900000|euros}} la location du stade ou encore finales de coupes nationales à affluence importante. Mais étant donné l'absence de club résident, celui-ci ne bénéficie pas d'une affluence aussi importante que le Camp Nou<ref>Article Wikipédia {{w|Stade de France}}, consulté en octobre 2013.</ref>. [[Fichier:Staplescenteratnight.jpg|thumb|upright=1.3|Staples Center de Los Angeles.]] Si le Stade de France est un exemple d’infrastructure sportive multifonctionnelle, celui du Staples Center de Los Angeles est encore plus marquant. Même s'il n'a qu'une petite capacité ({{unité|20000|places}}), ce stade n'en ai pas moins très utilisé. En outre, il accueille 250 évènements dont des rencontres sportives de cinq clubs résidents comme les Lakers de Los Angeles qui est un des clubs les plus connus en {{abréviation|NBA|National Basketball Association|en}}, des concerts renommés, des championnats mondiaux, notamment de boxe. Il a également été utilisé pour des répétitions de Mickaël Jackson, la convention nationale démocratique, ce qui dénote de sa notoriété aux États-Unis<ref>Article Wikipédia {{w|Staples Center}}, consulté en octobre 2013.</ref>. Si certains stade sont intéressants pour leur utilisation, d'autres le sont pour des domaines différents. En effet, le stade Océane du Havre se distingue car il est très écologique : possédant {{unité|1500|m|2}} de panneaux photovoltaïques, ce stade est le premier à énergie positive (il produit plus d'énergie qu’il n'en consomme). De plus, il dispose d'un système de récupération des eaux de pluies et d'un bio-composteur, ce qui renforce encore l'aspect écologique du site<ref>Article Wikipédia {{w|Stade Océane}}, consulté en octobre 2013.</ref>. [[Fichier:Birdsnest2.jpg|thumb|right|upright=1.3|Stade national de Pékin.]] Les stades et les infrastructures sportives sont le plus souvent construites à l’occasion de grands évènements comme les Jeux Olympiques par exemple. Mais un problème se pose lorsqu’il faut les utiliser après l'évènement pour lesquels ils ont été érigés initialement. Prenons l'exemple de la Chine et des Jeux Olympiques de 2008. Avec un coût total d'environ 30 milliards de dollars, ce pays a organisé les JO les plus chers de l'histoire. Cependant, après les deux semaines de compétitions, beaucoup d'équipements construits pour l’évènement comme le vélodrome, le stade de baseball ou encore le lac et la rivière artificiels sont à l'abandon car ils ne sont plus rentables faute de recettes suffisantes pour couvrir les coûts de fonctionnement. Même si quelques infrastructures sont encore utilisées pour le tourisme, l'organisation de concerts ou de petits évènements sportifs, elles restent très minoritaires et aucune ne réussi à équilibrer ses comptes. Le stade de {{unité|80000|places}} ou stade national, en est un exemple<ref>{{lien web |url=http://www.courrierinternational.com/breve/2008/08/07/le-cout-des-jeux-de-pekin |titre=Le coût des jeux de Pékin |jour=7 |mois=août |année=2008 |site=http://www.courrierinternational.com/ }}.</ref>. De même que la Chine, la Grèce, pays organisateur des Jeux Olympiques de 2004 est dans la même situation. Les chiffres témoignent: 70 % des stades construits à Athènes pour les JO de 2004 sont actuellement abandonnés depuis la fin de cet évènement, car on ne sait plus quoi faire de ces stades qui ont coûté cher à la Grèce : 9 milliards d'euros, à savoir les JO les plus chers de l'histoire après ceux de Pékin<ref>{{lien web |url=http://www.rtbf.be/sport/autres/detail_jo-les-stades-atheniens-sont-a-l-abandon?id=7226293 |titre=Les stades athéniens à l'abandon |jour=11 |mois=décembre |année= 2011 |auteur=S.Hosny |site=http://www.rtbf.be/ }}.</ref>. La construction des stades pour la coupe du monde au Qatar suscite la controverse. En effet, de juin à août 2013, au moins une quarantaine d'ouvriers sont mort à cause de leurs conditions de travail déplorables: travaillant parfois sous {{Unité|50|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, ils n'ont aucun accès à l'eau potable qui est pourtant gratuite. De plus, s'ajoutant à leur travail, les conditions sanitaires sont tout aussi alarmantes: beaucoup de ces ouvriers immigrés dorment à plusieurs dans des chambres d'hôtel insalubres. Selon ''Le Monde'', ce sont 4000 ouvriers qui pourraient mourir d'ici la coupe du monde 2022 si leurs conditions de travail n'évoluent pas. En plus de poser un problème au niveau éthique, cette polémique suscite des contraintes d'ordre pratique: en effet, la main-d’œuvre de l'émirat est composée à 90% d'immigrés<ref>{{lien web |url=http://www.lemonde.fr/sport/article/2013/09/26/des-esclaves-nepalais-morts-au-qatar-sur-les-chantiers-de-la-coupe-du-monde_3484869_3242.html |titre=Coupe du monde 2022 : des "esclaves" népalais morts au Qatar sur les chantiers |jour=26 |mois=septembre |année=2013 |site=http://www.lemonde.fr/ }}.</ref>. == Les stades : un enjeux politique considérable == Les stades dégagent ainsi de nombreux enjeux politiques pour laquelle ils peuvent parfois avoir un rôle plus que prépondérants. Cependant les stades ont été les témoins et on pourrait même dire les victimes d'acte de gouvernements instaurant la terreur comme ce fut le cas au Chili avec le général Pinochet, l’occasion aussi de faire de la propagande à travers ces mêmes stades comme on a pu l'observer en Argentine avec la victoire arrangée de l'Albiceleste chez elle à Buenos Aires lors de la coupe du monde 1978. Les stades qui sont aussi le meilleur moyen d'exprimer sa passion, sa ferveur pour son club de cœur, sa ville ou tout simplement son pays sont donc témoins des plus grandes manifestation de ferveur populaire comme c’est le cas avec le Classico chaud bouillant au Stade Monumental de Buenos Aires qui déchaine tout simplement les passions et met la ville en émoi tout le temps de l'avant match, du match en lui-même et même de l'après match. [[Fichier:La Bombonera.jpg|thumb|upright=1.5|La Bombonera (Buenos Aires).]] On peut aussi prendre l'exemple des matchs en Italie ou le pays voit s'affronter les rivalités nord/sud s'exacerber et ce encore plus dans ces temps de crise. [[Fichier:Maracana internal view april 2013.jpg|thumb|left|upright=1.5|Stade de Maracanã (Rio de Janeiro).]] Aujourd'hui même au Brésil les stades sont pris comme symbole des excès des dépenses gouvernementales qui impose une inflation démesurée et inadaptée pour de nombreux brésiliens vivant dans des conditions précaires dans les favelas notamment. Ainsi la rénovation des stades brésiliens en vue de la coupe du monde 2014 mais aussi des JO de Rio 2016 étaient, sont et seront un enjeu majeur dans le paysage politico-économico-sociale brésilien. Les brésiliens ont, pour faire entendre leur voix et clamer haut et fort leurs revendications profitant ainsi de la Coupe des confédérations, tournoi préliminaire a la grande coupe du monde et qui sert de répétition générale a cette dernière comme porte étendard de leurs revendications. Comme évoqué précédemment, sur le plan politique par exemple les stades sont un haut-lieu d'espoir où peuvent avoir lieu des meetings entre autres. Ils sont cependant aussi un symbole très couramment utilisé par des régimes autoritaires comme ce fut le cas des tristement célèbres stades chiliens sous la dictature du général Pinochet où des dissidents au régime y étaient enfermés avant d’être exécutés. Plus récemment on peut citer Le 22 septembre 2009 où le gouvernement putschiste de Roberto Micheletti au Honduras s’est servi de deux stades de base-ball de Tegucigalpa (Chochi Sosa et Lempira Reyna Zepeda) pour enfermer les partisans du président Manuel Zelaya – entre 150 et 200 personnes auraient été détenus dans le premier. Dans ce pays d'Amérique centrale, ces lieux ont une histoire bien particulière. Le 27 janvier 2006, le président destitué Manuel Zelaya – actuellement réfugié à l'ambassade du Brésil – avait été investi dans ses fonctions au stade national de la capitale hondurienne, entouré de 2000 militaires et policiers. Et le Chochi Sosa, aujourd’hui utilisé comme prison, a également servi de scène aux spectacles musicaux variés organisés pour célébrer l'investiture de Manuel Zelaya ce qui montre là encore l’utilisation des stades comme atout politique pour ne pas dire comme propagande. Cette situation évoque le Chili d'Augusto Pinochet et tous, particulièrement dans cette Amérique latine, connaissent parfaitement la tragique histoire du stade national du Chili, utilisé comme centre clandestin de détention et de torture après le coup d'État du 11 septembre 1973 qui reste comme l'un des difficiles héritages du régime dictatorial a porter pour les Chiliens d'aujourd'hui. Mais une nouvelle fois en Amérique du Sud on peut également mentionner le célèbre Cilindro de Montevideo, un stade de basket que la dictature uruguayenne avait transformé en lieu de détention. C'est maintenant le Honduras qui reprend cette tradition. À ciel ouvert, sous un soleil de plomb, les détenus sont séquestrés sans savoir ce qu’il adviendra d'eux en espérant qu’ils ne subissent pas le même sort que ceux du Stade Santiago au Chili. == Créations, modifications, évolutions, rénovations des stades depuis 1930 == [[Fichier:Juvar2.JPG|thumb|upright=1.5|Stade de la Juventus en construction.]] Depuis les années 1930, de nouveaux sports, ou ligues on fait leur apparition, ce qui inclue de nouveaux lieux, forme de terrain, ou même stades selon l’essor qu’ils ont connu<ref>Article Wikipédia {{w|Chronologie du sport}}, consulté en septembre 2013.</ref>. Mais l'essor des stades peux également s'expliquer par l'influence des évènements qui y ont, ou auront lieux comme les différents [[w:Jeux olympiques|Jeux olympiques]], championnats du monde. On peut d'ailleurs noter que suite au succès de la première édition officiel de la [[w:Coupe du monde|Coupe du monde]] de football en 1930, le nombre de pays candidats a augmenté ainsi que la rénovation des stades servant pour les matchs. Comme par exemple pour l'Italie, en 1934, et la France, en 1938 qui rénoveront l’ensemble de leurs stades pour répondre aux attentes de la [[w:FIFA Football|FIFA]]. Et, malgré l'arrêt forcé de la compétition pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre Mondiale]], la compétition connais un retour en force en 1950, qui ne cessera d'accroitre jusqu'à aujourd'hui, entrainant de nouvelles rénovations, comme pour le stade Råsunda qui sera rénové pour la coupe du monde de Suède, en 1958, et de nouvelles constructions comme le [[w:Stade de France|Stade de France]] en 1998<ref>Article Wikipédia {{w|Coupe du monde de football}}, consulté en octobre 2013.</ref>. Encore aujourd’hui le problème de sécurité est mis en cause. Certains pays ont effectué une mise à niveaux dans les années 1980 en réponse à certains incidents intervenus, comme à Bradford, Heysel ou encore Hillsborough. [[Fichier:North Korea-Rungrado May Day Stadium-01.jpg|thumb|left|upright=1.5|Stade du premier mai, à Pyongyang en Corée du Nord.]] Jusqu’à ce jour, le plus grand stade jamais construit au monde est situé en Corée du nord<ref>Article Wikipédia {{w|Stade du Premier-Mai}}, consulté en novembre 2013.</ref>, en 1989, mais ne sert qu’à l’occasion d’événements comme le festival Arirang. Le football est entre autres le sport le plus représentatifs de ces modifications mais n’est pas le seul. En effet, en France, lors de la rénovation dans les années 1970 du [[w:Quartier de Bercy|quartier de Bercy]], l'implantation d'un Complexe sportif est une évidence. Aujourd’hui connu sous le nom de [[w:Palais omnisports de Paris-Bercy|Palais Omnisports de Paris-Bercy]], ce dernier est aujourd’hui la plus grande salle de basket française<ref>Article Wikipédia {{w|Liste de salles de basket-ball en France}}, consulté en novembre 2013.</ref>, mais n’est pas moins utilisé pour une vingtaine d'autres sports dont il a accueilli des étapes importantes d'une compétition, comme des demi-finales, ou finales, mais également des concerts. De même que le POPB, le Stade du [[w:Camp Nou|Camp Nou]], construit en périphérie de Barcelone en 1957 permet un développement rapide du quartier, autour du stade, jusqu'à rattraper vite la ville, qui va alors aménager des moyens de transports pour y faciliter l'accès. Ces deux cas illustre bien le cercle vertueux permettant le développement de stades, à l'issue du développement des villes, qui vont par la suite reconstruire d’autre complexe sportif, dans les quartiers alentours. [[Fichier:FFHB-licenciés.png|thumb|left|upright=1.5|Évolution des licenciés français de handball.]] Également à l'origine de l'importance des lieux de pratiques de sports, leur popularité qui peut se voir au nombre de licenciés. En France, pour le handball, le nombre de licencié a été multiplié par 156% sur les onze dernières années<ref>Article Wikipédia {{w|Handball en France}}, consulté en novembre 2013.</ref>. Un nombre en constante augmentation dont résulte une augmentation du nombre de salles mises à disposition pour la pratique du sport. D'un autre côté, pendant la Seconde Guerre mondiale, ou durant d'autres périodes, le sport a connu d'autres types d'évolutions, comme la suppression de la pratique de certains sports, par exemple l'interdiction de la pratique du Rugby à XIII, pour privilégier le développement d'autres sports. Au début du XX{{e}} siècle, le foot s'installe dans les stades, en particulier dans le stade vélodrome. Et les stades de cyclismes commencent a disparaitre. Mais l'influence politique n’est pas la seule à supprimer certains sports. Par exemple, la Commission exécutive du [[w:Comité international olympique|Comité international olympique]] a proposé de supprimer la lutte du programme officiel des Jeux olympiques. Encore prévue pour les Jeux de 2020 et de 2024, la présence de la lutte sur la longue durée se pose encore<ref>Article Wikipédia {{w|Lutte}}, consulté en décembre 2013.</ref>. Si ce sport venait à être supprimé du programme, sa popularité chuterai, ainsi que son nombre de licencié et de complexe sportif équipé pour ce sport. Depuis 1930, les sports ont connue énormément d'évolutions, influent sur leurs lieux de pratique, leurs nombres de licenciés, et on peut imaginer que le futur en fournira d'avantage. == Notes et références == {{références}} {{Bas de page | idfaculté = géographie | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Liens externes/]] }} g6oj0jqyjjgr03lcjlpq2v1w01eznxp 10 55721 985086 514671 2026-07-21T18:03:48Z Crochet.david 317 . 985086 wikitext text/x-wiki <includeonly>| [[Fichier:{{Idfaculté/logo/{{{1}}}}}|25px]] {{Idfaculté/nom/{{{1}}}}} | bgcolor="#{{Idfaculté/pastel/{{{1}}}}}" | <p style="color:#{{Idfaculté/couleur/{{{1}}}}};"> '''Faculté''' </p> | bgcolor="#{{Idfaculté/couleur/{{{1}}}}}" | <p style="color:#{{Idfaculté/pastel/{{{1}}}}};"> Présentation </p> | bgcolor="#{{Idfaculté/couleur/{{{1}}}}}" | '''Niveau''' | bgcolor="#{{Idfaculté/pastel/{{{1}}}}}" | Bla bla bla | [{{fullurl:Modèle:Idfaculté/couleur/{{{1}}}|action=edit}} Couleur] / [{{fullurl:Modèle:Idfaculté/pastel/{{{1}}}|action=edit}} Pastel]</includeonly> <noinclude>Utilisé par la palette de couleurs des facultés : [[Wikiversité:Requêtes de facultés/Couleurs]].</noinclude> bxekuk1gucwrzp0xwlsvu5w18m50yuy 2 67012 985133 961577 2026-07-22T21:19:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 961577 wikitext text/x-wiki Musique, pédagogie musicale, lilypond {{Début des onglets |Onglet-1='''Marco de Freitas''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-2='''Discussion''' |URL-2=Discussion utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-3='''Brouillons''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillons |Onglet-4='''Modèles''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Modèles |Onglet-5='''Score''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Score |Onglet-6='''ToDO''' |URL-6=Utilisateur:Marco de Freitas/Todo |Onglet-7='''Atelier Score''' |URL-7=Utilisateur:Marco de Freitas/Atelier Score |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} {{#babel:fr-N|pt-N|en-2|de-2}} {{BUtilisateur |couleur = #A0A0FF |img = Busettosolano.jpg |img-titre = Contrebasse |titre = Contrebasse |texte = Je joue de la [[w:Contrebasse|Contrebasse]]. |catégorie= Utilisateurs jouent Contrebasse |nocat = {{{nocat|}}} }} {{BUtilisateur |couleur = #A0A0FF |img = Plectrum_playing.JPG |img-titre = Guitare basse |titre = Guitare basse |texte = Je joue de la [[w:Guitare basse|Guitare basse]]. |catégorie= Utilisateurs jouent Guitare basse |nocat = {{{nocat|}}} }} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> [[Projet:Espace de Pratique Instrumentale]] == Cours == ===Lilypond=== [[Notation musicale dans wiki|Notation musicale dans wikimedia]]<br /> ===Basse Électrique=== [[Tablatures pour la basse]]<br /> === Solfège === [[Gamme majeure]] ====Solfège sans portée==== Tout le solfège qu’il est utile de connaître même si on ne veut pas apprendre à lire une portée <br /> [[Noms de notes]]<br /> [[Noms de notes et intervalles]]<br /> [[Nom de notes et intervalles (cycles)]]<br /> [[Des lettres et des chiffres]] ====Solfège avec la basse électrique==== pg6kt1adqtvv4tzvfe16xluog6spa1f 2 67018 985165 951653 2026-07-22T21:20:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 951653 wikitext text/x-wiki == <score lang="lilypond" note-language="italiano">{dob red mi}</score>Didactique Accords == ==== pré-requis Intervalles ==== nom-qualité : conversions en tons/demi-tons) Figuration à la basse, genre tablature === difficulté === def de l’accord pas égal à sa réalisation Plaqué simultané versus Arpège ou inclus dans mélodie lié au nom de note pas au hauteurs absolues (autrement dit degrés et pas intervals) === Stratégie === D’abord sons simultanés, "gripp" piano et guitare Sens commun: accords-désaccords Histoire musique: polyphonie sons simultanés en général avant notion d’accord Triades 4 types (maj-min-dim-aug) Pour elles-mêmes et pas dans le système by0fl69su4rr9vi4qcx0vvi2mmliu2p 104 67660 985057 984955 2026-07-20T19:22:41Z Guillaume FOUCART 39841 /* Partie principale */ 985057 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)|'''Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)''']] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.''' '''VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, <math>\cdots</math>, figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :''' '''[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos''' === '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4 et dans la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== ====Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} ====Remarques sur la définition==== <small> '''''Remarque :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>''. ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. '''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).''' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> ====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\mathbb{R})</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''Préliminaires :''' ==== Notations ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalles \,\, born\acute{e}s \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} ====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p = \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. ====Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in \N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ====Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>}} ====Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. ====Théorème admis de HADWIGER==== {{Théorème|titre=|contenu=[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} ====Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math> <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math> où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math> <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math> <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et où <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>, On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> ====Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>.}} "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} {{ancre|Corollaire}} ====Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> ====Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> ===='''Remarque importante'''==== {{Théorème|titre=|contenu=''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> ====Remarque préliminaire 1==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} ====Remarque importante 4==== {{Théorème|titre=|contenu=Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} ====Proposition 5==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math>, <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} ====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=<math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n) = \{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' ===='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''==== {{Théorème|titre=|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} =\frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big)= \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} ====Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R}^n) \bigsqcup {PV2}({\R}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné (Si de plus, <math>I</math> est non borné à droite alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> =====Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>{card}_{Q, \mathcal{R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique et naïve'', on considère <math>+\infty</math>, comme un ensemble tel que <math>\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x >a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = ?}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math> , avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} =====Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math>, un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>'', car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> et où <math>\displaystyle{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})}</math> <math>\displaystyle{=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>. et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' b) Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>f(0) = 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") Alors : (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"'''), '''[Fin point sensible]''' on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (avec "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big) }</math>. </small> ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== =====2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} =====Exemples 2===== {{Théorème|titre=|contenu=''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' ''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantités ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} =====Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big)}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim} \,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{1}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{1}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i \in \N_N,\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Partie 1==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math> ] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes (connexes) \,\, de \,\, \R</math>,] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes,born\acute{e}es}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ====Partie 2==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min(R) < \min(S) \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>C^0</math>) et (<math>C^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ====Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>==== ===== Conjecture ===== {{Théorème|titre=|contenu=Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== ''Motivation :'' Cela permettra entre autres de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ======Remarque importante préliminaire :====== Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. ======Définitions :====== (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) ======A)====== {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\R)= +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +{\infty}_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} ======B)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g \Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g \Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} ======C)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} ======D) Partie 1)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)= -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} ======D) Partie 2)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' On pose : <math>\sup(\N)= \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'') = \sup(\R'') = +\infty_{\N''} = +\infty_{\R''} = {+\infty''}_{classique}</math>. <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R} = [-\sup(\R),\sup(\R)] = [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>. où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} ======D) Partie 3) '''Remarque importante :'''====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère de <math>\R</math> d'origine <math>O(0)</math>. J'aurais pu considérer à défaut de considérer que <math>\R = ]-\sup(\R),\sup(\R)[ = ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R) = -\infty_\R = -\infty_{classique}, \,\, \sup(\R) = +\infty_\R = + \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} ======D) Partie 4)====== {{Théorème|titre=|contenu='''Remarque :''' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} =====Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut ''construire'' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense ''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'' ''Remarque :'' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} =====Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== =====Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \text{isométrie de} \,\, \R''^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} =====Remarques sur la définition===== <small> '''''Remarque :''''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> =====Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n)\,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.''' ===== Notations ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} ===== Remarque ===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} =====Proposition (Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])===== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Soient <math>I</math> et <math>J</math>, des intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, sans qu'ils s'assimilent à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>. On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== =====Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>", avec <math>n \in \N^*</math> ===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow_{d\acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \Leftrightarrow_{d \acute{e} f} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.'''}} =====Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>= \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>=\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit, normalement, vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>"'', où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} =====Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>", où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> =====Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}({\R''}^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''Remarque :''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''Conjecture qui servira :''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> =====Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} =====Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>===== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} ====='''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale'''===== ======Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)====== {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de ''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"''. ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>\mathcal{R}'</math>, un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math>, un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{classique}</math>. '''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.''' (respectivement '''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{respectivement} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} ======Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale====== {{Théorème|titre=|contenu='' De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. ''Définition :'' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] :'' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, qui est ou bien <math>\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> ou bien <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF'', de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. ''Compléments :'' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{\forall A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, : \,\,\|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== ====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024]. ==== Remarque ==== {{Théorème|titre=|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, des ensembles, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} ====Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>==== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>''''']'''''. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) <card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math> et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 58kaen31umr7i4noaeomu0hi648dubn 2 67882 985179 698922 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon2]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon2]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 698922 wikitext text/x-wiki <score lang="lilypond" vorbis="1"> \new TabStaff \with { stringTunings = #bass-tuning } { \relative { c,4 d e f } }</score> <score lang="lilypond">{a b c d}</score> <quiz display="simple"> { C’est le type par défaut des questions d'un quiz. Vous n'êtes pas obligé de terminer l'intitulé par : | type="[]" } + Les lignes suivantes sont des propositions <score lang="lilypond" vorbis=1>{a b c d}</score> - fausses.<score lang="lilypond" vorbis=1>{a b c d}</score> </quiz> p6bhsesnzuos7wsis9ss1gb0tgmbqyq 2 67883 985177 693606 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon2/Leçons]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon2/Leçons]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 693606 wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = musique | département = | cours = Pratique de la théorie musicale | niveau = débutant | titre = Noms de notes | PlusLoin = Portée | 1 = | fiche1 = | annexe1 = | quiz1 = | exo1 = | tp1 = | autres projets = | commons = | wikispecies = | w = | wikt = | b = | s = | q = | n = | d = | voy = | nocat = | moteur = }} fe9qnhf0h7najxftkvcn2unmtrp4h71 2 67884 985113 693601 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon2/Objectifs]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon2/Objectifs]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 693601 wikitext text/x-wiki Pratiquer les outils de la théorie musicale: Déchiffrer les partitions, savoir ce qu’est une gamme et comment s’en servir, connaître les différents accords, analyser une grille d’accords e6wvboowz2f06j5rlzh8g1lcagjrzpe 2 68410 985109 700453 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3/Prérequis conseillés]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3/Prérequis conseillés]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 700453 wikitext text/x-wiki Pas de prérequis mb75zc7k8qu8xih1kgnjm7nwh3f6v8k 2 68411 985130 700449 2026-07-22T21:19:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3/Référents]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3/Référents]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 700449 wikitext text/x-wiki [[Utilisateur:Marco de Freitas|Marco de Freitas]] ([[Discussion utilisateur:Marco de Freitas|discussion]]) 13 décembre 2017 à 08:54 (UTC) 2mxuxeodltmm41jikjnf18xud1urz0s 2 68412 985105 700450 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3/Présentation de la leçon]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3/Présentation de la leçon]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 700450 wikitext text/x-wiki Les tablatures un moyen simple pour noter la musique pour les instruments à cordes. Cette leçon s'occupe des tablatures pour la basse électrique. o8j0tkjefwka7ap4csygrfu5xdr0itk 2 68413 985114 700452 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3/Objectifs]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3/Objectifs]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 700452 wikitext text/x-wiki Savoir lire une tablature fe2xlizvhzta9qfrwitq2e39l0bfk75 2 68421 985118 700454 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 700454 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Tablatures pour la basse]] g0wxma1q2e388na0yloqdztsimhs8sv 3 68427 985137 705966 2026-07-22T21:19:17Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas]] vers [[Discussion utilisateur:Le rasoir d'ocram]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 705966 wikitext text/x-wiki {{Clr}} {{Cadre dégradé | titre = Bienvenue sur Wikiversité, {{SUBPAGENAME}} ! | image = HSWVersity.svg | contenu = [[Image:Beta.svg|50px|link=|alt=Démarrer|left]] '''Wikiversité''' est un projet de rédaction collective à but pédagogique réalisé actuellement dans plusieurs langues : [http://www.wikiversity.org www.wikiversity.org]. {{Clr}} ---- [[Image:Wikiversity-logo.svg|50px|link=|alt=Wikiversité|right]] Qu’est-ce que Wikiversité, que n’est-ce pas, comment cela fonctionne-t-il : pour trouver des réponses à ces questions, je vous propose une visite sur [[Aide:Premiers pas|cette page]] ou encore [[Aide:Bien débuter sur la Wikiversité|celle-ci]]. {{Clr}} ---- [[Image:Nuvola apps ksig-vector.svg|50px|link=|alt=Image logo|left]] Nous vous suggérons de jeter un coup d’œil aux '''[[Projet:Conventions|recommandations à suivre]]''' (d’autres lectures telles que l’aide pour [[Aide:Comment créer une leçon|la création d’une leçon]], [[Aide:Comment créer un cours|d’un cours]], [[Aide:Comment créer un travail de recherche|d’un travail de recherche]], [[Wikiversité:Conventions bibliographiques|conventions bibliographiques]], [[Wikiversité:Citation et réutilisation du contenu de Wikiversité|utiliser le contenu de Wikiversité]] s’avéreront toutes aussi instructives). {{Clr}} ---- [[Image:Nuvola_apps_important.svg|50px|link=|alt=Image logo|right]]Pensez aussi à respecter les [[Wikiversité:Règles d'utilisation des images|règles sur l’utilisation des images]] ainsi que les droits d’auteurs (principalement, ne pas reprendre du contenu d’autres sites ou livres sans autorisation écrite). {{Clr}} ---- [[Image:Xy icon.svg|50px|link=|alt=Image logo|left]] Le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]] est l’endroit dédié pour tout essai que vous voudriez faire sur la syntaxe wiki. Chaque utilisateur peut aussi éventuellement disposer d'une page brouillon personnelle accessible au départ d'un lien « Brouillon » situé en haut de toutes les pages une fois que l'on est connecté (voir ''préférences'' onglet ''gadgets''). Enfin, un mode d’emploi pour l'édition en mode « wikicode » est disponible sur [[Aide:Syntaxe]]. {{Clr}} ---- [[Image:Crystal_128_three.png|50px|link=|alt=Image logo|right]] Vous pouvez indiquer sur votre [[Spécial:Ma page|page utilisateur]] : [[Wikiversité:Modèles/Espace Utilisateur/Boîte Utilisateur/Langues|les langues que vous parlez]], vos centres d’intérêt et/ou une brève description. Dans la mesure du raisonnable, chaque utilisateur peut mettre à peu près ce qu’il veut sur sa page personnelle. Toutefois, un encart publicitaire, une tribune politique ou d'autre contenu promotionnel sans rapport avec le projet ne sera pas accepté. Vous pouvez entrer en contact avec la communauté « humaine » des wikiversitaires dans la [[Wikiversité:La salle café|salle café]] ou en temps réel sur [[Wikiversité:IRC|{{Abréviation|IRC|Internet Relay Chat}}]]. {{Clr}} ---- [[Image:Gnome-help.svg|50px|link=|alt=Image logo|left]] Pour tout problème, un lien vers '''[[Aide:Sommaire|l’aide]]''' est disponible dans le menu de gauche. {{Clr}} ---- Bonne continuation, et surtout n’hésitez pas pour tout renseignement : nous sommes [[Wikiversité:La salle café|là]] pour vous aider. }}[[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] % [[Discussion utilisateur:FrankyLeRoutier|Service après-vente]] 13 décembre 2017 à 17:55 (UTC) Merci [[Utilisateur:Marco de Freitas|Marco de Freitas]] ([[Discussion utilisateur:Marco de Freitas|discussion]]) 13 décembre 2017 à 19:23 (UTC) == Note d'information == Bonjour, dans la leçon [[Le rythme et sa notation]], à l'entrée « | cours = », vous devez normalement mettre ici le cours auquel appartient la leçon si la leçon fait parti d'un cours, sinon il ne faut rien mettre. Pour plus de détails voir [[Aide:Comment créer un cours]]. {{sourire}} [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 2 janvier 2018 à 09:14 (UTC) f2i7clinfky9hmf1t89j0cl4wotomxd 2 68471 985123 710136 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon4]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon4]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 710136 wikitext text/x-wiki <score lang="lilypond" note-language="italiano">{ do re mi fa}</score> 141j9spjlhjovphbwz2xsq47ts1ravi 2 68533 985125 950146 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon5]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon5]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 950146 wikitext text/x-wiki == Les durées == Jusqu'ici nous n'avons pas précisé la durée des notes. Lilypond considère qu'il s'agit donc de noires. Pour préciser la durée d'une notes il faut écrire un chiffre après les informations de hauteurs. Si vous connaissez la terminologie américaine (''whole-note, half-note, quarter-note'' etc.) vous comprendrez facilement le système de correspondance. <code>{ c'1 }</code><score lang="lilypond">{ c'1 }</score> <code>{ c'2 }</code><score lang="lilypond">{ c'2 }</score> <code>{ c'4 }</code><score lang="lilypond">{ c'4 }</score> <code>{ c'8 }</code><score lang="lilypond">{ c'8 }</score> <code>{ c'16 }</code><score lang="lilypond">{ c'16 }</score> S'il n'y a pas d'autre indication de durée Cette valeur de durée est reprise pour toutes les notes suivantes jusqu'à la prochaine indication de durée. <code>\relative c' {f8 f f f f f f f f f f f }</code> <score lang="lilypond">\relative c' {f8 f f f f f f f f f f f}</score> Les valeurs pointées s'obtiennent en ajoutant un point <code>.</code> après le chiffre de la valeur de base. { c'4. } <score lang="lilypond">{ c'4. }</score> <quiz display="simple"> { Que faut-il écrire pour obtenir le résultat suivant: <score lang="lilypond">\relative c'' { c4 c c8 c c16 c c8 } </score> | type="{}" } <code>\relative c<nowiki>'' {</nowiki> { c4 c c8 c c16 c c8 } <nowiki>}</nowiki> </code> </quiz> <quiz display="simple"> { Le dernier type de question permet d'insérer des champs textuels n’importe où dans une <score lang="lilypond">\relative c'' { c4 b c f,8 b,8 }</score> | type="{}" } Vous pouvez ainsi construire des questions { ouvertes }. || En insérant, toujours de la même manière, || des informations supplémentaires. Et vous pouvez aussi construire des { textes } à { trous }. Il est possible de permettre { une|deux|plusieurs } réponses pour un même champ textuel. </quiz> == Les Silences == <code>{ r1 }</code><score lang="lilypond">{ r1 }</score> <code>{ r2 }</code><score lang="lilypond">{ r2 }</score> <code>{ r4 }</code><score lang="lilypond">{ r4 }</score> <code>{ r8 }</code><score lang="lilypond">{ r8 }</score> <code>{ r16 }</code><score lang="lilypond">{ r16 }</score> Les valeurs pointées s'obtiennent en ajoutant un point <code>.</code> après le chiffre de la valeur de base. { r4.} <score lang="lilypond">{ r4.} </score> == Triolet == Pour afficher des triolets et autres nolets (quitolets etc.), il faut utiliser la commande \<code>times</code> suivi d'une fraction. Les durées de l'expression musicale seront multipliée par cette fraction. Avec 2/3 vous les durées de l'expression musicales sont converties dans leurs équivalent en triolet: corches - triolet de croches; noires - triolet de noires. <code>\times 2/3 {c'8 d' e'}</code><score lang="lilypond">\times 2/3 {c'8 d' e'}</score> <code>\times 2/3 {c'4 d' e'}</code><score lang="lilypond">\times 2/3 {c'4 d' e'}</score> <code>\times 2/3 {c'2 d' e'}</code><score lang="lilypond">\times 2/3 {c'2 d' e'}</score> == Liaisons de prolongation == Pour lier deux notes successives de même hauteur on utilise le <code>~</code> . <code>\ relative c' { c4~ c8 c8 c8~ c4 }</code> <score lang="lilypond">\relative c' { c~ c8 c8 c8 c8~ c4 }</score> <syntaxhighlight> ICI QUIZ et saut nouvelle page </syntaxhighlight> Notes simultanées On place les notes simultanées entre <code>< ></code> . <code>\relative c' { c d < e g > f }</code> <score lang="lilypond">\relative c' { c d < e g > f }</score> Pour des résultats plus complexes il faut utiliser la commande { \voiceOne \relative c' { e4 f g a } } \voiceTwo \relative c' { c4 d e f } }<score lang="lilypond"><< {\voiceOne \relative c' { e4 f g c } }{\voiceTwo \relative c' { c'4 b a f }} >></score> <code>\relative c' << { e4 f g a } \\ { c4 b a g } >></code><score lang="lilypond"> \relative c' << { e4 f g a } \\ { c4 b a g } >></score> Portées multiples Mélodie-accords Tablatures, Tablatures basse, choix corde etc. 220vk3ttuoloeq4w8maqlako0xt798g 2 68573 985161 727029 2026-07-22T21:20:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon6]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon6]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 727029 wikitext text/x-wiki == Clefs == Par défaut lilypond affiche une clé de sol. Mais on peut choisir explicitement une clé. On utilise la commande <code>\clef</code> suivi du nom de la clé désirée parmi les possibilités suivantes: bass, alto, tenor, treble. La commande fait partie de l'expression musicale et se trouve donc incluse dans les accolades { ....} . <code>{\clef treble c' d' e' c'}</code> <score lang="lilypond">{\clef treble c' d' e' c'} </score> <code>{\clef bass c d e c }</code> <score lang="lilypond">{\clef bass c d e c}</score> == Les armures == Pour définir une armure il faut utiliser la commande <code>\key</code> le nom de la tonalité désirée et la commande <code>\major</code> ou <code>\minor</code>. <code>{ \key g \major c' d' e' c'  }</code> <score lang="lilypond">{ \key g \major c' d' e' c' }</score> == Métrique == On indiquer la métrique on utilise la commande <code>\time</code> suivie des fractions usuelles. Cette commande doit être placée à l'intérieure des accolades { } où se trouve l'expression musicale concernée. <code>\time 3/4</code> <score lang="lilypond">{ \time 3/4 c' d' e' } </score> par défaut ou <code>\time 4/4</code> <score lang="lilypond">{ \time 4/4 c' d' e' g'} </score> <code>\time 5/4</code> <score lang="lilypond">{ \time 5/4 c' d' e' g' c'' } </score> <code>\time 2/2</code> <score lang="lilypond">{\time 2/2 c'2 g'2 } </score> <code>\time 6/8</code> <score lang="lilypond">{\time 6/8 c'4. g'4. } </score> <code>\time 9/8</code> <score lang="lilypond">{\time 9/8 c'4. e'4. g'4. } </score> <code>\time 12/8</code> <score lang="lilypond">{\time 12/8 c'4. e'4. g'4. c''4.} </score> == Répétitions == == Barres de mesures == <quiz display="simple"> { Question | type="{}" } { &#39; } </quiz> rtts7mjh1jtfa6dk6mq7d930dlpl9uw 2 68668 985116 961640 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillons]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillons]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 961640 wikitext text/x-wiki {{Début des onglets |Onglet-1='''Marco de Freitas''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-2='''Discussion''' |URL-2=Discussion utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-3='''Brouillons''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillons |Onglet-4='''Modèles''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Modèles |Onglet-5='''Score''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Score |Onglet-6='''ToDO''' |URL-6=Utilisateur:Marco de Freitas/Todo |Onglet-7='''Atelier Score''' |URL-7=Utilisateur:Marco de Freitas/Atelier Score |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} Mao et Linux: [[../Mao-Linux/]] [[../Brouillon7/]] [[../testCours/]] Cours de [[../Didactique de la basse électrique/]] * [[../Brouillon/]] * [[../Brouillon2/]] Tuto lilypond [[../Notation musicale dans wiki]] <br /> [[../essaiCours]] Tuto quiz Tuto cours du jour? == Images == Cercle Diatonique Cercle Diatonique avec animation intervalles Cercle des tonalités <br /> == Solfège Général sans instrument ni portée== <u>Publié:</u> [[../Noms de notes/]]<br />[[../Noms de notes et intervalles/]]<br /> [[../Des lettres et des chiffres/]] [[../Nom de notes et intervalles (cycles)/]] [[../Gamme majeure/]] !!!exercices <u>Non-publié</u> [[../De la pulsation à la mesure/]] !!!Vérifier pourquoi les accents ne sont pas audible dans le midi!? [[../Qualités des intervalles/]] ==Solfège avec la basse== <u>Non-publié</u> Après structure gamme majeure: [[../Qualités des intervalles/]]<br />Degrés Diatoniques Harmonisation de la gamme gamme majeure sur une corde noms des notes sur le manche intervalles diatoniques == Basse == [[../Accorder sa basse électrique/]] [[../Pythagore dans ta basse, les harmoniques naturelles/]] == Harmonie pratique == [[../Frère jaques/]] 9slayous2d64451q16729np7nf6a1cn 2 68669 985145 719161 2026-07-22T21:19:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Score]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Score]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 719161 wikitext text/x-wiki {{Début des onglets |Onglet-1='''Marco de Freitas''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-2='''Discussion''' |URL-2=Discussion utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-3='''Brouillons''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillons |Onglet-4='''Modèles''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Modèles |Onglet-5='''Score''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Score |Onglet-6='''ToDO''' |URL-6=Utilisateur:Marco de Freitas/Todo |Onglet-7='''Atelier Score''' |URL-7=Utilisateur:Marco de Freitas/Atelier Score |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} <score lang="lilypond"> << \new Staff { \clef bass {a b c d} } \new TabStaff \with { stringTunings = #bass-tuning } { \relative { c,4 d e f } } >> </score><syntaxhighlight> |----3---| |------4-| |--0-----| |--------| </syntaxhighlight> <code>\new TabStaff \with {</code> <code>    stringTunings = #bass-tuning</code> <code>  } </code> <code>\tabFullNotation  </code> <code>   {</code> <code>      c,8 c d4 e f</code> <code>    }</code> Avoir tabFullNotation et bass tuning? \tempo [durée note] = [tempo] \new RhythmicStaff \set Staff.midiInstrument = #"electric bass (pick)" woodblock acoustic bass electric bass (finger) electric bass (pick) fretless bass slap bass 1 slap bass 2 om0j4yv7fepioxe30oh20da5jwsp5f1 2 68670 985182 719160 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Modèles]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Modèles]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 719160 wikitext text/x-wiki {{Début des onglets |Onglet-1='''Marco de Freitas''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-2='''Discussion''' |URL-2=Discussion utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-3='''Brouillons''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillons |Onglet-4='''Modèles''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Modèles |Onglet-5='''Score''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Score |Onglet-6='''ToDO''' |URL-6=Utilisateur:Marco de Freitas/Todo |Onglet-7='''Atelier Score''' |URL-7=Utilisateur:Marco de Freitas/Atelier Score |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} [[Modèle:Cours]] [[Modèle:Leçon]] [[Modèle:Leçon du jour]] [[Modèle:Solution]] [[Aide:Quiz]] [[Aide:Modèle_MOOC_administration#accueil]]<syntaxhighlight> <quiz display="simple"> { écrivez les notes suivantes en notation hollandaise. | type="{}" } Do { c }. Fa { f }. Mi bémol { ees }. </quiz> </syntaxhighlight><syntaxhighlight> {{Définition|titre=Ordre Ascendant|contenu=Do Ré Mi Fa Sol La Si Do}} </syntaxhighlight> nortk2qrcfw2exg6ghit9fej5gmehm4 2 68682 985197 719162 2026-07-22T21:20:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Todo]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Todo]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 719162 wikitext text/x-wiki {{Début des onglets |Onglet-1='''Marco de Freitas''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-2='''Discussion''' |URL-2=Discussion utilisateur:Marco de Freitas |Onglet-3='''Brouillons''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillons |Onglet-4='''Modèles''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Modèles |Onglet-5='''Score''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Score |Onglet-6='''ToDO''' |URL-6=Utilisateur:Marco de Freitas/Todo |Onglet-7='''Atelier Score''' |URL-7=Utilisateur:Marco de Freitas/Atelier Score |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} == Cours lilypond == Avancé, les sorties vorbis, midi, Choix instrument sortie MIDI == Cours Basse == Harmonie Pratique 3wwtkwgilexnh84tv86pijqhyl898en 2 68684 985187 706011 2026-07-22T21:20:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Notation musicale dans wiki]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Notation musicale dans wiki]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 706011 wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = musique | département = Informatique musicale | cours = | titre = Notation musicale dans wiki | niveau = débutant | 1 = {{C|Principes de base}} | 2 = {{C|Les hauteurs}} | 3 = {{C|Les durées}} | 4 = {{C|Polyphonie}} | 5 = {{C|Portées multiples}} | 6 = {{C|Les accords chiffrés}} | 7 = {{C|Les tablatures}} }} 6bo2e0enwz2wbbiygn27u84xkxo85i5 2 68685 985155 706012 2026-07-22T21:19:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Notation musicale dans wiki/Présentation de la leçon]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Notation musicale dans wiki/Présentation de la leçon]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 706012 wikitext text/x-wiki L'extension score permet d'ajouter de la notation musicale dans les différents projets wiki. Cette extension utilise une partie des fonctionnalités du logiciel de notation musicale Lilypond. Cette extension permet d'afficher dans un wiki des portées musicales, des tablatures pour instrument à cordes, et même d'écouter la musique en midi. La particularité de ce logiciel est de fonctionner à partir de fichier texte. Au lieu d'utiliser une interface graphique et de placer des notes sur une portée affichée sur votre écran, Lilypond vous permet d'écrire du code qui sera ensuite interprété. c3ydd30nq1xvb7w92b2r48ayuahe9ha 2 68686 985147 706037 2026-07-22T21:19:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/essaiCours]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/essaiCours]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 706037 wikitext text/x-wiki {{Cours | idfaculté = musique | département = | scolarité = | niveau = | titre =Notation musicale dans wiki | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} s80prlk3zlf9uygrdm5xstu0ckp17xl 2 68687 985199 706036 2026-07-22T21:20:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/essaiCours/Présentation du cours]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/essaiCours/Présentation du cours]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 706036 wikitext text/x-wiki L'extension score permet d'ajouter de la notation musicale dans les différents projets wiki. Cette extension utilise une partie des fonctionnalités du logiciel de notation musicale Lilypond. Cette extension permet d'afficher dans un wiki des portées musicales, des tablatures pour instrument à cordes, et même d'écouter la musique en midi. La particularité de ce logiciel est de fonctionner à partir de fichier texte. Au lieu d'utiliser une interface graphique et de placer des notes sur une portée affichée sur votre écran, Lilypond vous permet d'écrire du code qui sera ensuite interprété. c3ydd30nq1xvb7w92b2r48ayuahe9ha 2 68715 985157 961647 2026-07-22T21:19:14Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Frère jaques]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Frère jaques]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 961647 wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = musique | département = Solfège | cours = | niveau = débutant | titre = Les lignes de basse de frère jaques | autres projets = | commons = | wikispecies = | w = | wikt = | b = | s = | q = | n = | d = | voy = | nocat = 1 }} Frères jaques est une mélodie bien connue. Nous allons nous en servir pour illustrer différentes manière d’ajouter une ligne de basse à une mélodie existante. Voici cette mélodie. <score vorbis="1"> \relative c { \clef bass \key c \major \time 4/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1) \override Score.RehearsalMark.size = #4 \override Score.RehearsalMark.self-alignment-X = #LEFT c4 d e4 c | c4 d e4 c| e4 f4 g2 |e4 f4 g2 | \break g8 a g f e4 c4 | g'8 a g f e4 c4 | c g c r4 | c g c r4 | } </score> <br /> <score>\new TabStaff \with { stringTunings = #bass-tuning } {\relative c, { c4 d e4 c | c4 d e4 c| e4 f4 g2 |e4 f4 g2 | \break g8 a g f e4 c4 | g'8 a g f e4 c4 | c g c r4 | c g c r4 | } } </score> ==Quelles lignes de basse pour frère Jaques?== La ligne mélodique porte en elle-même sa propre ligne d’accompagnement. En effet c’est un canon. Autrement dit toutes les parties de la mélodie peuvent être chantées simultanément sans produire un résultat dissonant. === Quatre phrases === Il y a quatre phrases musicales différentes: <score vorbis="1"> \relative c { \clef bass \key c \major \time 4/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1) \override Score.RehearsalMark.size = #4 \override Score.RehearsalMark.self-alignment-X = #LEFT c4 d e4 c | c4 d e4 c| } </score> <br /> <score vorbis="1"> \relative c { \clef bass \key c \major \time 4/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1) \override Score.RehearsalMark.size = #4 \override Score.RehearsalMark.self-alignment-X = #LEFT e4 f4 g2 |e4 f4 g2 | } </score> <br /> <score vorbis="1"> \relative c { \clef bass \key c \major \time 4/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1) \override Score.RehearsalMark.size = #4 \override Score.RehearsalMark.self-alignment-X = #LEFT g8 a g f e4 c4 | g'8 a g f e4 c4 | } </score> <br /> <score vorbis="1"> \relative c { \clef bass \key c \major \time 4/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1) \override Score.RehearsalMark.size = #4 \override Score.RehearsalMark.self-alignment-X = #LEFT c g c r4 | c g c r4 | } </score> === Qui peuvent toutes devenir des lignes de basse === En ajoutant une basse sur une mélodie on créé un phénomène auditif particulier où nos sens et notre cerveau vont produire joib2k88o3kkzoyp2q74lunr2oaptev 2 68820 985191 778931 2026-07-22T21:20:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Qualités des intervalles]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Qualités des intervalles]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 778931 wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = musique | département = solfège | cours = | niveau = débutant | titre = Qualité des intervalles | autres projets = | commons = | wikispecies = | w = | wikt = | b = | s = | q = | n = | d = | voy = | nocat = 1 }} Vous avez probablement déjà entendu les termes majeur, mineur dans des expressions comme la gamme majeure, un prélude en ré mineur, des accords majeurs. Toutes ces expressions font en fait référence à un intervalle (d’une gamme ou d’un accord) qui se trouve être majeur ou mineur. {{Définition|titre=Qualités des intervalles Majeurs/Mineurs|contenu=<big>Majeur, Mineur, Diminué, Augmenté.</big>}} {{Définition|titre=Qualités des intervalles Justes|contenu=<big>Juste, Augmenté, Diminué.</big>}} Les intervalles peuvent donc être altérés, c’est-à-dire, agrandi ou réduits. La gamme majeure est la référence Les qualités de référence <quiz display="simple"> Donner la note supérieure de l’intervalle demandé: | type="{}" } Secondes: Do-{ Ré | RE | Ré_4}. Ré-{ mi | MI | Mi_4 }. Mi-{ Fa | FA | Fa_4 }. </quiz> aurwet07bc2i4qb6wekqdan18y834kw 2 68856 985140 917583 2026-07-22T21:19:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Noms de notes]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Noms de notes]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 917583 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Solfège pour débutants/Noms de notes]] a5wc82he7lyids44onpye8eerg35j6l 2 68857 985185 917584 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Noms de notes et intervalles]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Noms de notes et intervalles]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 917584 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Solfège pour débutants/Notes et intervalles]] kw64dfmr33d7hd2bq3xnrxhr1cctmv3 2 68861 985189 707699 2026-07-22T21:20:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Qualité des intervalles]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Qualité des intervalles]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 707699 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Marco de Freitas/Qualités des intervalles]] 1ahd1k7tyq6lgqqxamlkcxkewsf0mvr 2 69288 985107 713825 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Atelier Score]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Atelier Score]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 713825 wikitext text/x-wiki <score lang="lilypond" note-language="italiano" vorbis="1">{ do re mi fa }</score> hu8aztunp0pq0vcdhsklip990cktv3s 2 69555 985169 917582 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Des lettres et des chiffres]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Des lettres et des chiffres]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 917582 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Solfège pour débutants/Des lettres et des chiffres]] n04ptgw6mvjkkcqqys4kwgzg098323b 2 69642 985167 967105 2026-07-22T21:20:15Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/De la pulsation à la mesure]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/De la pulsation à la mesure]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 967105 wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = musique | département = Solfège | cours = | niveau = débutant | titre = De la pulsation à la mesure | autres projets = | commons = | wikispecies = | w = | wikt = | b = | s = | q = | n = | d = | voy = | nocat = 1 }} Dans la musique il y a du rythme, des rythmes. La notion est vague et recouvre plusieurs types d’événements musicaux qui ont lieu à différentes échelles d’une morceau. Nous allons tenter d’organiser les notions fondamentales. == Pulsation == La pulsation est un phénomène auditif fait de sons réguliers. C'est le plus petit découpage du temps musical perçu par l’auditeur. <score lang="lilypond" note-language="italiano" vorbis="1"> \new RhythmicStaff \with {midiInstrument = #"woodblock"} { \time 12/4 \autoBeamOff \override Staff.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.BarLine.stencil = ##f la8 la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la } </score> On peut traduire ce phénomène auditif de manière visuelle en écrivant une succession de points: <code>......................</code><br /> Dans le cas du son comme de l’image, il est évident de percevoir un effet de succession, il y a avant et après, mais plus difficile de de savoir où l’on est. ===Pulsation Binaire=== Ecoutons maintenant les mêmes sons, mais en laissant influencer par la notation musicale qui les lie deux-à-deux.<br /> <score lang="lilypond" note-language="italiano" vorbis="1"> \new RhythmicStaff \with {midiInstrument = #"woodblock"} { \time 12/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) \override Staff.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.BarLine.stencil = ##f la8 la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la } </score> Bien que cette suite de sons soit strictement identique à la précédente, la représentation visuelle encourage à percevoir les sons comme une alternance de entre deux sons très similaires, mais néanmoins légèrement différents. Ce qui pourrait être représenté visuellement par une alternance de points et de virgules: <code>,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.</code> La perception de la succession est maintenant organisée par un découpage binaire des événements. Une succession de sons identiques est perçue comme une alternance entre deux sons légèrement différents. L’un plus intense que l’autre. C'est une différence perçue, mais qui n’existe pas objectivement. Pour vous en convaincre il faut écouter une alternance entre deux sons d’intensité différente. <score lang="lilypond" note-language="italiano" vorbis="1"> \new RhythmicStaff \with {midiInstrument = #"woodblock"} { \time 12/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) \override Staff.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.BarLine.stencil = ##f la8-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la } </score> ==Le fort et faible== Une succession de sons identiques est perçue comme une alternance entre deux sons légèrement différents. L’un plus intense que l’autre. L’un plus fort, l’autre plus faible. À un tempo plus lent nous entendons un effet similaire. <score lang="lilypond" note-language="italiano" vorbis="1"> \new RhythmicStaff \with {midiInstrument = #"woodblock"} { \time 12/4 \set Timing.beamExceptions = #'() \set Timing.baseMoment = #(ly:make-moment 1/4) \set Timing.beatStructure = #'(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) \override Staff.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.BarLine.stencil = ##f la4-^ la la-^ la la-^ la la-^ la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la la-> la } </score> 6buplxzxg2qkk2cy4of2dh4fxmhsqyz 2 70706 985172 916321 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 916321 wikitext text/x-wiki Le premier onglet présente le plan du cours, en cliquant sur le titre du chapitre vous obtenez une description minimale du contenu. Pour accéder au contenu des chapitres il faut cliquer sur l’onglet correspondant. {{Début des onglets |Onglet-1='''Plan du cours''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Généralités''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités |Onglet-3='''Didactique''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique |Onglet-4='''Méthodologie''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie |Onglet-5='''Etudes de cas''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas |Onglet-6='''Discussion''' |URL-6=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} =Généralités= == Encyclopédie == Nourrir et entretenir vos connaissances. ==Encadrement général== Paramètres qui influencent votre activité mais qui sont parfois hors de portée. ==La vie de prof d’instrument== Conseils pour vivre heureux et faire de vieux os dans le métier = Didactique = ==Forme Cours== ==Malentendus et obstales== ==Effets de contrat didactique== ==Plans d’études et modèles de l’aprentissage== =Méthodologie= == Méthodes == == Organisation des contenus et activités== == Modulation des activités == =Case Studies= ==Les débutants== Un seul terme pour désigner des personnes aux compétences très variées. Par où commencer sur le manche, l’usage classique (contrebasse) == L’improvisation == Abus cognitiviste (les règles stylistiques et idomatiques sont descriptives et pas prescriptives, pas forcément bon guide) == Trades == Une activité à presque tout faire ktj91vxb6llj3wyyvyh7ovu80kj2gpf 3 70727 985159 961739 2026-07-22T21:19:31Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique]] vers [[Discussion utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 961739 wikitext text/x-wiki Le premier onglet présente le plan du cours, en cliquant sur le titre du chapitre vous obtenez une description minimale du contenu. Pour accéder au contenu des chapitres il faut cliquer sur l’onglet correspondant. {{Début des onglets |Onglet-1='''Plan du cours''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Généralités''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités |Onglet-3='''Didactique''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique |Onglet-4='''Méthodologie''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie |Onglet-5='''Etudes de cas''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas |Onglet-6='''Discussion''' |URL-6=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} {{Début des onglets |Onglet-1='''Discussion''' |URL-1=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Archives''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités/Archives |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} Bienvenu sur la page de discussion du cours de didactique de basse électrique jazz/musiques actuelles. Pour les utilisateurs inscrits à wikiversité n’oubliez pas de signer vos interventions dans cette en tapant quatre tilde <nowiki>~~~~</nowiki> à la fin de votre message. Les autres peuvent simplement signer de leur prénom <br /> [[Utilisateur:Marco de Freitas|Marco de Freitas]] ([[Discussion utilisateur:Marco de Freitas|discussion]]) 11 août 2018 à 07:28 (UTC) j895z2bw14bkcpmz1ue1wei56xr2l1x 3 70728 985205 916322 2026-07-22T21:20:32Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités]] vers [[Discussion utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique/Généralités]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 916322 wikitext text/x-wiki =Généralités= == Encyclopédie == nourrir et entretenir vos connaissances Histoire de l’instrument *Invention, marques et modèles d’instruments d’importance historique *Lutherie, terminologie, variantes, entretien réglage, amplification, effets (lutherie) Histoire de son usage *Styles musicaux, Fonction de l’instrument et histoire des techniques *Bassistes de référence Santé du musicien et pratiques corporelles *acouphènes, tendinites etc. *posture stretching etc. Evolution du Matériel didactique disponible *méthodes papier *méthodes interactives web et applications *vidéo-blog et tutoriels *play-alongs et applications Evolution des ressources pédagogiques *plateformes communautaires, wiki etc. *self learning , logiciels de eartraining, logiciels d’entrainement à la lecture ==Encadrement général== '''Demandes des élèves''' portant sur des domaines enjeux extra-pédagogiques mais qui ont un impact décisif sur la qualité de l’apprentissage *Conseil pour acheter un instrument (connaître le marché neuf-occasion, les magasins) *Trouver lieu pour répéter (maisons de quartiers et autres structures pour jeunes, associations) *Trouver une formation complémentaire : un atelier, stage, cours de théorie '''Facteurs sociaux''' qui ne vous regardent pas mais qui ont un impact évident sur votre travail. * Après x mois de cours l’élève n’a toujours pas d’instrument * Parents divorcés, l’instrument est chez un des parents pas forcément celui ou l’élève loge le plus souvent * Toujours en vacances et weekends, peux pas prendre l’instrument avec * Pas le temps de travailler, à cause écoles et autres activités extra-scolaires Toujours d’abord croire l’élève. Comment aider? Limites déontologiques? Ensuite peut-être évaluer ce qui relève du prétexte, amplification et effets, entre lutherie et styles ==La vie de prof d’instrument== *Life long learning, Formation continue, nourrir et entretenir vos compétences, Techniques instrumentales, styles, Théorie, Instrument harmonique, Autres instruments. *Carrière artistique et carrière pédagogique, conflits d'horaires, de motivation *Vie sociale et vie de famille *Santé, alimentation (travail le soir aux heures de repas, marathon du mercredi), sédentarité, posture et motricité b7x8m6ppuikedye53ktdd4ndbp9adrm 2 70729 985211 916323 2026-07-22T21:26:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique/Généralités]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 916323 wikitext text/x-wiki Le premier onglet présente le plan du cours, en cliquant sur le titre du chapitre vous obtenez une description minimale du contenu. Pour accéder au contenu des chapitres il faut cliquer sur l’onglet correspondant. {{Début des onglets |Onglet-1='''Plan du cours''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Généralités''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités |Onglet-3='''Didactique''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique |Onglet-4='''Méthodologie''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie |Onglet-5='''Etudes de cas''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas |Onglet-6='''Discussion''' |URL-6=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} =Généralités= == Encyclopédie == nourrir et entretenir vos connaissances Histoire de l’instrument *Invention, marques et modèles d’instruments d’importance historique *Lutherie, terminologie, variantes, entretien réglage, amplification, effets (lutherie) Histoire de son usage *Styles musicaux, Fonction de l’instrument et histoire des techniques *Bassistes de référence Santé du musicien et pratiques corporelles *acouphènes, tendinites etc. *posture stretching etc. Evolution du Matériel didactique disponible *méthodes papier *méthodes interactives web et applications *vidéo-blog et tutoriels *play-alongs et applications Evolution des ressources pédagogiques *plateformes communautaires, wiki etc. *self learning , logiciels de eartraining, logiciels d’entrainement à la lecture ==Encadrement général== '''Demandes des élèves''' portant sur des domaines enjeux extra-pédagogiques mais qui ont un impact décisif sur la qualité de l’apprentissage *Conseil pour acheter un instrument (connaître le marché neuf-occasion, les magasins) *Trouver lieu pour répéter (maisons de quartiers et autres structures pour jeunes, associations) *Trouver une formation complémentaire : un atelier, stage, cours de théorie '''Facteurs sociaux''' qui ne vous regardent pas mais qui ont un impact évident sur votre travail. * Après x mois de cours l’élève n’a toujours pas d’instrument * Parents divorcés, l’instrument est chez un des parents pas forcément celui ou l’élève loge le plus souvent * Toujours en vacances et weekends, peux pas prendre l’instrument avec * Pas le temps de travailler, à cause écoles et autres activités extra-scolaires Toujours d’abord croire l’élève. Comment aider? Limites déontologiques? Ensuite peut-être évaluer ce qui relève du prétexte, amplification et effets, entre lutherie et styles ==La vie de prof d’instrument== *Life long learning, Formation continue, nourrir et entretenir vos compétences, Techniques instrumentales, styles, Théorie, Instrument harmonique, Autres instruments. *Carrière artistique et carrière pédagogique, conflits d'horaires, de motivation *Vie sociale et vie de famille *Santé, alimentation (travail le soir aux heures de repas, marathon du mercredi), sédentarité, posture et motricité puxyankgpqn1ugqsg0urhst4jb4b9nm 2 70730 985132 731623 2026-07-22T21:19:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique/Didactique]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731623 wikitext text/x-wiki Le premier onglet présente le plan du cours, en cliquant sur le titre du chapitre vous obtenez une description minimale du contenu. Pour accéder au contenu des chapitres il faut cliquer sur l’onglet correspondant. {{Début des onglets |Onglet-1='''Plan du cours''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Généralités''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités |Onglet-3='''Didactique''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique |Onglet-4='''Méthodologie''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie |Onglet-5='''Etudes de cas''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas |Onglet-6='''Discussion''' |URL-6=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} = Didactique = La didactique comme discipline scientifique nait de deux gestes théoriques: * Identifier l’écart entre savoirs savants et savoir enseignés (didactisation) * Observer les effets des attentes de l’enseignant vers les élèves et des élèves vers l’enseignant. ==Forme Cours== === Généralités === Version musicale de la forme scolaire, séparation formation/pratique sociale, rôles enseignant/enseigné. Avec la salle de cours qui en est la contrepartie spatiale, la forme cours est le cadre temporel dans le quels les rôles symboliques doivent s’exprimer. Citation C&Z: apprendre la plus part du temps tout seul. Risque naturels: *éloignement de la pratique (Savoir remplacé par expertise des exercices scolaires ,ou, Savoir absent. *Passivité, ou pire, docilité de l’élève: pas d’autonomie, pas de transferts). Contraintes: * Spécificité rythme hebdomadaire, du point de vue du prof, du point de vue de l'élève * Mettre en présence le savoir * Connecter travail accompagné/travail individuel === La Consigne === === Le Jeu === === Les Rétroactions === === Après et avant le cours === >Avant et après le cours. Devoirs et travail à domicile; apprentissages informels et non-formels === Inputs de l'élève === ==Malentendus et obstales== Haut/Bas du manche Grave/Aigüe Imitation visuelle et symétries spatiales Registre vocal et Formation de l’oreille à la basse électrique? Qu’est-ce qu’un accord? Faire entendre ce qu’on ne peut jouer. Qu’est-ce qu’un accord? L’évidence des schémas de position. ==Effets de contrat didactique== Exemple en rapport avec la basse ==Plans d’études et modèles de l’aprentissage== Forme incrémentale arbitrairement imposé par l’objet plan d’études, alors que arbres et rhizomes. Ontogenèse/Phylogenèse vs ordre des apprentissages Démarche rationaliste: lister des savoirs > hiérarchiser et conditionaliser les savoirs > produire des programmes et des didactisations Démarcher empirique: faire et faire faire > abstraire et généraliser des savoirs > produire des didactisations > constater des blocages > déduire des conditions > covyjk9l3pldp85wv6954ek9pf41lwc 2 70731 985193 731624 2026-07-22T21:20:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique/Méthodologie]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731624 wikitext text/x-wiki Le premier onglet présente le plan du cours, en cliquant sur le titre du chapitre vous obtenez une description minimale du contenu. Pour accéder au contenu des chapitres il faut cliquer sur l’onglet correspondant. {{Début des onglets |Onglet-1='''Plan du cours''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Généralités''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités |Onglet-3='''Didactique''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique |Onglet-4='''Méthodologie''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie |Onglet-5='''Etudes de cas''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas |Onglet-6='''Discussion''' |URL-6=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} =Méthodologie= == Méthodes == === Les Classiques === Pastorius etc. ===Ressources sur le net=== ==Organisation des contenus et activités== ===Technique instrumentale=== =====Main Gauche===== ======Doigtés====== *Petit singe 1-4 *Blues 1-2-4 *Un doigt par case 1-2-3-4 ======Positions====== Appellations n° case ou système contrebasse? Débutant par ou commencer? ====== A quoi sert le pouce? ====== Pas la pince, utiliser la gravité ===== Main droite ===== Doigts, plectre, pouce, pouce muté, slap (hammer et pop), taping === Répertoire === === La barrière des systèmes de notation === === La barrière de la théorie === == Modulation des activités == Sur le répertoire *simplifier *décomposer ex.rythme hauteurs *enrichir Jouer ensemble, sur le disque Créer sao0jjufhoxdx0itvgksx7eajccjqh7 2 70732 985194 916324 2026-07-22T21:20:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 916324 wikitext text/x-wiki Le premier onglet présente le plan du cours, en cliquant sur le titre du chapitre vous obtenez une description minimale du contenu. Pour accéder au contenu des chapitres il faut cliquer sur l’onglet correspondant. {{Début des onglets |Onglet-1='''Plan du cours''' |URL-1=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |Onglet-2='''Généralités''' |URL-2=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités |Onglet-3='''Didactique''' |URL-3=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique |Onglet-4='''Méthodologie''' |URL-4=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie |Onglet-5='''Etudes de cas''' |URL-5=Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas |Onglet-6='''Discussion''' |URL-6=Discussion Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique |bordure=2px solid #33AA33 |fond onglets=#88FF88 |alignement onglet=center }} =Case Studies= ==Les débutants== Un seul terme pour désigner des personnes aux compétences très variées. ==Approche du manche Vertical/Horizontal== *Par où commencer sur le manche, l’usage classique (contrebasse) 1er position, position hautes ou pas de postition. *Différence entre l’utilité pour se repérer et la qualité sonore et l’efficacité. == Imitation == Les différentes symétries en jeux dans l’imitation visuelle, impliquent des facultés avancées. La main gauche masque ce qu’elle montre. ==Ear play== *Jouer librement, activité exploratoire, se convaincre des lois de la dissonance *Imitation auditive. Profils d’élèves. == L’improvisation == Comment ne pas empêcher. A priori l’élève joueotte, il y a déjà exploration. Abus cognitiviste (les règles stylistiques et idomatiques sont descriptives et pas prescriptives, pas forcément bon guide). ==Le métronome== == Trades == Une activité à presque tout faire toexipmj8w2w1lsrz41aby0pnc4nlkl 2 70786 985163 731592 2026-07-22T21:20:14Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731592 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique]] lua4nvtudryy8g12ez2e1jukqgcgzci 3 70787 985203 731594 2026-07-22T21:20:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] vers [[Discussion utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731594 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique]] fkb56qdd2qpeaeopj1ruyvqxmg22mky 2 70788 985119 731683 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Généralités]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Généralités]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731683 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités]] 3woclxi2pldzprt72be4mgjne98it9q 3 70789 985142 731684 2026-07-22T21:19:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Généralités]] vers [[Discussion utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Généralités]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731684 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Généralités]] na6zq6367nlfa05ild7t93s41i8p0uv 2 70790 985128 731605 2026-07-22T21:19:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique /Généralités]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique /Généralités]] : Page automatiquement déplacée lors du 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déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Didactique]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Didactique]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731609 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Didactique]] 385exy3qbio8h4osvsyml5lw1d0cmso 2 70793 985175 731611 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Méthodologie]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Méthodologie]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731611 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Méthodologie]] lwibwsokt5gboguottti4v1dwm7sbsd 2 70794 985207 731613 2026-07-22T21:26:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Etudes de cas]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne/Etudes de cas]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 731613 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique/Etudes de cas]] 5sly20gbjqsxkmbicdqrij1d5t32slj 2 70972 985108 961746 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Accorder sa basse électrique]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Accorder sa basse électrique]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 961746 wikitext text/x-wiki Pour apprendre à accorder sa basse il faut comprendre comment une corde tendue produit un son d’une hauteur déterminée. Il est aussi utile de savoir désigner correctement chaque corde. On peut alors apprendre à accorder sa basse avec un accordeur, avec un son de référence, et à accorder les cordes entre elles grâce aux sons harmoniques. ==Principes de base== La note jouée par une corde-à-vide est déterminée par la longueur, la tension, le poids de la corde. Au moment de vous accorder vous allez influer sur un seul paramètre: la tension de la corde. == Désigner correctement les cordes == [[File:Bass Guitar body.jpg|thumb|alt=]] === Numéro de corde === On numérote les cordes en partant de la corde la plus fine, jusqu'à la corde la plus grosse. Pour une basse quatre cordes on parle alors de la '''''première corde''''', la '''''deuxième corde''''', la '''''troisième corde''''' , la '''''quatrième corde'''''.<br /> === Nom de corde === On nomme les cordes à partit du nom de la note quelles produisent. * La première corde est la '''''corde de sol''''' car elle produit la note sol. * La deuxième corde est la '''''corde de ré''''' car elle produit la note ré. * La troisième corde est la '''''corde de la''''' car elle produit la note la. * la quatrième corde est la '''''corde de mi''''' car elle produit la note mi. C'est dans cet ordre qu’on représente les cordes dans une tablature de basse électrique. <syntaxhighlight lang="ada"> 1 ||-----------| corde de sol 2 ||-----------| corde de ré 3 ||-----------| corde de la 4 ||-----------| corde de mi </syntaxhighlight> === instruments à plus de 4 cordes === ==== 5 Cordes ==== Usuellement la 5 ème corde est un si grave. == S’accorder avec un son de référence == un son de référence par corde === octaves de la cinquième case=== === harmoniques des cinquièmes et septièmes cases === ==S’accorder avec un accordeur== Accordeurs avec une fonction "basse". Vous dites à l’appareil que vous jouez de la basse. L’accordeur va donc estimer quelle corde vous jouez et vous indiquer si la note de votre instrument est: *Trop basse, il faut tendre la corde *Trop haute, il faut détendre la corde *Juste, ne touchez à rien Un accordeur '''généraliste''' n’a pas de fonction particulière pour tel ou tel instrument. Il vous donne la hauteur de votre son sur une échelle continue où les notes sont nommées dans le système anglo-saxon ( A,B,D,E,F,G). A vous de savoir quelle note vous visez. Pour rappel voici la correspondance entre les numéros, noms de notes, noms de notes anglo-saxon: * 1ère corde sol G * 2ème corde ré D * 3ème corde la A * 4ème corde Mi E 0os3xlzc5vicak1ljtbwob9wwskkljm 2 71641 985135 961779 2026-07-22T21:19:14Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon7]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon7]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 961779 wikitext text/x-wiki Leçon interactive de lecture <score lang="lilypond" vorbis="1" > \new TabStaff \with { stringTunings = #bass-tuning } { \relative { \set TabStaff.minimumFret = #8 \set TabStaff.restrainOpenStrings = ##t \once \override Score.RehearsalMark.self-alignment-X = #LEFT \mark "Corde de La" | fis, g gis a | a aes g ges | \bar "||" \break } } </score> <br /> <score lang="lilypond" note-language="italiano">{ do'1 }</score> {{Solution|contenu=<score lang="lilypond" note-language="italiano" vorbis="1">{ do'1 }</score> badkasdfasdf <br /> adsfasdfdfsa <br />}} elype2vflf4i8ti5y6x6b8968gtsaga 2 73060 985181 973391 2026-07-22T21:20:27Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Mao-Linux]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Mao-Linux]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 973391 wikitext text/x-wiki Ce qu'il faut expliquer Un serveur de sons ALSA Qjack qui ajoute connectivité (entre autres choses) Des applications basées sur le principe KISS et le pipe de Linux. Types d'applications *Claviers virtuels *séquenceurs *synthétiseurs dans les synthétiseurs synthèse soustractive sondfoun t39v5svzu1l8ddvzo2uxs8e0ldrc2f2 2 74730 985209 778907 2026-07-22T21:26:28Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Nom de notes et intervalles (cycles)]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Nom de notes et intervalles (cycles)]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 778907 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Nom de notes et intervalles (cycles)]] sh46s7cbmqjnhhnwjg0lsgbo0pt140p 2 74731 985124 779063 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Gamme majeure]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Gamme majeure]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 779063 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Gamme majeure]] 76jdrmpvpzi84a5ag1rwtzzfqp3nwrz 2 74747 985149 779153 2026-07-22T21:19:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/testCours]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/testCours]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 779153 wikitext text/x-wiki {{Cours | idfaculté = musique | département = [[Département:Informatique musicale|Informatique musicale]] | scolarité = | niveau = débutant | titre = Notation musicale dans wiki | chapitres = | fiches = oui | option = Option1 | option2 = option2 | option3 = option3 | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = oui | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = oui | annexes = oui }} kc7aebya6f9e3yw360khmojuq9skods 2 74748 985201 779146 2026-07-22T21:20:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/testCours/burp]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/testCours/burp]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 779145 wikitext text/x-wiki dsf k9lq9oxxrg49e0twsv8qnt7w6ig61hm 2 74750 985151 779152 2026-07-22T21:19:29Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/testCours/complements]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/testCours/complements]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 779152 wikitext text/x-wiki asdfasdfasdfasdfasdfasd ig61xrdyhr0npmwwnx4crvgxoc3qxoe 104 78623 984988 984956 2026-07-20T17:56:10Z Guillaume FOUCART 39841 /* Partie principale */ 984988 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} 10fd5apk1s1z1jrb40u3jqw8xjbl9fv 984989 984988 2026-07-20T18:01:32Z Guillaume FOUCART 39841 /* Partie principale */ 984989 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = mathématiques | département = Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎ | niveau = }} ''Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.'' Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/20/mes-productions-scolaires-en-mathematiques-20/ Mes productions scolaires en mathématiques(20)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/13/memoire-de-m2-r-sur-les-solutions-de-viscosite-et-programmation-/ Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/solutions-de-viscosite-et-programmation-dynamique-14-1/ Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2017/06/05/formulaire-geometrie-differentielle-6/ Formulaire de Géométrie différentielle (6)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/formulairedegeometriedifferentielle-15/ Formulaire de Géométrie différentielle (15)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/30/formulaire-de-topologie-differentielle-30-06-2026/ Formulaire de Topologie différentielle (partiel)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2014/05/07/mesures-de-gibbs-2/ Mesures de GIBBS 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/11/ter-sur-la-convection-diffusion-05-09-2021-14h00/ TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2024/03/01/nouvelles-notations-mathematiques-23/ Nouvelles notations mathématiques (23)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.recherche-pdf.com/?q=%22guillaume+foucart%22 Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)] * [[Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART]] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre''']] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion_utilisateur:Guillaume_FOUCART Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia] * [[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia''']] * [[Recherche:Cardinal_quantitatif|Recherche:Cardinal quantitatif]] * [[Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne]] '''Remarque :''' Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert. '''NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :''' '''- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version''' '''- ou bien [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif_(table_des_mati%C3%A8res,_simplifi%C3%A9e) "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)"], pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif''' '''et en cliquant sur le bon icône.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''[https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) qui faisait 213 pages et de 1,1 Mo, le 17-09-2025, avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Depuis un bon moment avant le 14-09-2025, il n'y a plus de numérotation des sections et des sous-sections, ce qui ne facilite pas le repérage et la navigation dans mes travaux.''' '''(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)''' '''J'ai l'impression que les codeurs de Wikiversité, à force d'obéir à certaines injonctions du monde numérique actuel, dégradent, de plus en plus, l'affichage voire les fonctionnalités des pages des travaux de recherche. De plus, après qu'on ait préédité un passage et qu'on l'ait prévisualisé, le curseur ne revient pas exactement là où il était, initialement, mais au début de la section ou de la sous-section concernée : Ce qui constitue une perte de temps pour moi.''' '''NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.''' '''NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.''' '''Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.''' '''De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.''' '''Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :''' * '''[https://www.philo-et-societe-2-0.com/t79-Mes-math-matiques-Mes-documents-et-Cardinal-quantitatif.htm Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif]''' '''Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' '''Concernant la partie spéculative, mes travaux sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés.''' ='''Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> et sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math> [Cas de certaines restrictions]'''= == '''Introduction''' == === '''Avant propos'''=== '''Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les plafonnements (limites non classiques de familles de parties de <math>\R^n</math>) et les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes travaux.''' '''Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne tenant pas compte des lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé, mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).''' '''Pour une première approche :''' '''Dans : [https://www.fichier-pdf.fr/2025/09/17/f-quantite/ Version PDF actualisée de mes travaux sur la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), avec la table des matières qui s'affiche correctement et avec la numérotation des sections]''' (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Consultez d'abord l'essentiel,''' '''c'est-à-dire :''' - <math>Chap.\,\,1/1.2</math> - <math>Chap.\,\,2/2.1\,\,\grave{a}\,\,2.4</math> - <math>Chap.\,\,3/3.1/3.1.1\,\,\grave{a}\,\,3.1.2\,\,et\,\,Chap.\,\,3/3.10</math> '''Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :''' '''Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet) :''' '''Lire en priorité d'abord <math>(*)</math> puis <math>(**)</math>''' '''où <math>(*) \,\, : \,\, ''3.1, \,\, 3.1.1, \,\, 3.1.2 \,\, p71\mbox{-}79''</math>''' '''et où <math>(**) \,\, : \,\, ''Prop. \,\, 29, \,\, Prop. \,\, 30, \,\, Prop. \,\, 31, \,\, Prop. \,\, 32, \,\, Prop. \,\, 33, \,\, Prop. \,\, 34, \,\, Prop. \,\, 35, \,\, 3.1.3''</math>''' '''et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.''' '''Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne figurent pas dans l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble <math>\R''</math>, peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.''' '''Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math> et la notion classique de limite d'une famille de parties de <math>\R^{n}</math>, bien qu'elles soient équivalentes, toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.''' '''Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite numérique, il faut la différencier de la notion non classique de limite de fonction ou de suite numérique :''' '''Par exemple : <math>\underset{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}{\lim_{classique}}p=+\infty_{classique}</math> et <math>\displaystyle {\lim_{p\in\N,p\rightarrow+\infty_{classique}}p={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})\in+\infty}</math>''' '''(Se reporter plus loin pour la définition des notations).''' '''Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique, incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la 2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au profit de la 1ère, car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde. Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas les 2 dans la même théorie.''' ===Partie principale=== J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes. Soit <math>n \in \N^*</math>. En particulier, je désignerai par : *'''PV''' (comme « '''petite variété''' ») les sous-variétés compactes, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et *'''PV2''' (comme « '''petite variété 2''' ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes (connexes) de <math>\R^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux) ou sans bord, et on posera : <math>{PV}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>; et <math>{PV2}(\R^n) = \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big| \,\, A\,\, sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \R^n, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\}</math>. *La notion de F-quantité est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur <math>{PV}(\R^n)</math>. C'est une '''[[w:Mesure (mathématiques)|mesure]]''' définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut <math>1</math> et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de CANTOR) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de <math>{PV}(\R^n)</math>) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le '''principe du tout et de la partie''' : "Le tout est nécessairement ''strictement'' plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> et de <math> {PV2}(\R^n)</math>, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). '''Par opposition à [[w:Cardinalité (mathématiques)| la notion de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal]]''', que j'appelle '''"cardinal potentiel"''' c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de <math>\R^n</math> et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le '''principe du tout et de la partie'''. Donc la notion de F-quantité se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de CANTOR). Les notions de F-quantité et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies. '''(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de CANTOR) d'un ensemble, la ''"F-quantité d'un ensemble"''.)''' '''(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)''' '''(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" c'est-à-dire, de ce qui était anciennement nommé cardinal quantitatif ou cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble, même si ce n'est pas, à proprement parler, un cardinal d'un ensemble.)''' '''(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)''' '''(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)''' '''(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de <math>\R^n</math>/plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>".)''' '''(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)''' Cette notion est définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le problème se pose, en dehors de <math>PV(\R^n)</math>, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de <math>\R^n</math> [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>, comme la F-quantité, relative à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de <math>\R^n</math>. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de <math>\R^n</math>, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de <math>\R^n</math>, voire à toutes les parties non bornées de <math>\R^n</math>. Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la <math>\sigma</math>-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers une partie non bornée de <math>\R^n</math>, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math>, et considérer que la notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math> n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir la F-quantité d'une partie non bornée <math>A</math> de <math>\R^n</math>, relativement au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie <math>A</math>, relativement au même repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> que l'on s'est fixé. Il est à noter qu'une partie non bornée de <math>\R^n</math> admet une infinité de plafonnements. On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de <math>PV(\R^n)</math> tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de <math>PV2(\R^n)</math>. Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de <math>\R^n</math> et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de <math>\R^n</math>, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement". Entre autres, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de <math>{PV2}(\R^n)</math>, voire à celles de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le '''nouvel espace <math>{\R''}</math>''', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace <math>*\R</math> de l'[[w:Analyse non standard|analyse non standard]]. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math>, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble <math>\R''</math> par : <math>\displaystyle{\R'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{-\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\} \bigsqcup \R \bigsqcup \{+\infty_f|f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}}</math>. NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de CANTOR) et un cardinal fini (de CANTOR)", '''grâce à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le cardinal (de CANTOR) ne le peut''', après avoir choisi un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_0</math> (par exemple <math>\N</math> ou <math>\Z</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_1</math> (par exemple <math>\R_+ \,\, ou \,\, \R \simeq \mathcal{P}(\N)</math>), un ensemble représentant idéal de <math>\aleph_2</math> (par exemple <math>\mathcal{P}(\R)</math>), etc. Plus précisément et en particulier : '''La notion de ''F-quantité'' n'est pas un cas particulier de la notion de ''cardinal [de CANTOR]'' : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de ''bijection'' ou avec la notion de ''puissance d'un ensemble'' ou de ''cardinal [de CANTOR] d'un ensemble'' ''(LA F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR])''.''' '''Considérons une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math>, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math>.''' '''Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de <math>\R^n</math>, seule la ''F-quantité infinie d'un représentant de la puissance du dénombrable'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) [resp. seule la ''F-quantité infinie de <math>\R^n</math> ou d'un des représentants de la puissance du continu'' sera notée et sera égale à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel)]. Le reste ne fait pas appel à la notion de ''bijection'', ou de ''puissance'' ou de ''cardinal [de CANTOR]''.''' '''"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE ''CARDINAL [DE CANTOR]'' EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE ''CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS"''.''' (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC) '''Mais, par contre, il existe des ensembles dont la ''F-quantité'' [QUI N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)]'' est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble des entiers naturels et celle de l'ensemble des nombres réels''.''' '''Et, par convention, dans ce cas, la ''F-quantité de l'ensemble des entiers naturels'' sera notée et sera égale à "<math>a_0</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_0</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_0</math>" classique ou habituel) et la ''F-quantité de l'ensemble des nombres réels'' sera notée et sera égal à "<math>a_1</math>" (et pourra, même, être notée "<math>\aleph_1</math>", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "<math>\aleph_1</math>" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.''' '''(La F-quantité d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)''' La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de <math>\R^n</math> (Cf. interventions de [http://perso.univ-rennes1.fr/michel.COSTE/ Michel COSTE]), mais qui y est très peu présente : Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges. La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de <math>{PV }(\R^n)</math>, '''mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies'''. Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : {{supra|Liens}} (Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer. Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de CANTOR)" Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal". Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble". À la place du fameux : "Je le vois [sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> et donc <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math> ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>".], mais je ne le crois pas" (de CANTOR), je dirais plutôt : "Je le vois [sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre <math>\R</math> et <math>\R^{n}</math>. Idem en remplaçant "<math>\R^{n}</math>" par "<math>[0;1]</math>"], mais cela n'est pas suffisant [pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments d'un ensemble infini borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements].") Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées : Car, par exemple, on a bien <math>[-1,1]\subsetneq [-2,2]</math> et <math>[-1,1]</math> peut être mis en bijection avec <math>[-2,2]</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q([-2,2] \setminus \{0\})}{{card}_Q([-1,1] \setminus \{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - {card}_Q(\{0\})}{{card}_Q([-1,1]) - {card}_Q(\{0\})} = \frac{{card}_Q([-2,2]) - 1}{{card}_Q([-1,1]) - 1} = 2}</math> et <math>\displaystyle{{card}_Q([-1,1]) < {card}_Q([-2,2])}</math> alors qu'on a <math>{card}_P([-2,2]) = {card}([-2,2]) = {card}([-1,1]) = {card}_P([-1,1])</math>, où <math>{card}_Q(A)</math> désigne la F-quantité de l'ensemble <math>A</math>, sous certaines conditions sur l'ensemble <math>A</math> et <math>{card}_P(A)</math> désigne le cardinal potentiel de l'ensemble <math>A</math>, c'est-à-dire le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble <math>A</math>, <math>{card}(A)</math>. La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de <math>\R^n</math>, <math>{PV}(\R^n)</math>. Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités des parties de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons. [Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler : Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A</math> de <math>\R^n</math> ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>F_i</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math>, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>F_{i,j}</math> telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![0,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![0,i]\!]</math>, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>U_i</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math> (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, <math>U_{i,j}</math> telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, pour tout <math>i \in [\![1,n]\!]</math> et pour tout <math>j \in [\![1,i]\!]</math>, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans <math>{F_0}'</math>, dont la réunion forme l'ensemble <math>\displaystyle{{F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math> (pouvant être vide), c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités des parties <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> telles que : <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \exist F_i</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![0,n]\!], \,\, \forall j \in [\![0,i]\!], \,\, \exist F_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>F_{i,j} \in \mathcal{P}(F_i)</math>, <math>\displaystyle{A = \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} F_i\Big) \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![0,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![0,i]\!]} F_{i,j} \Big)}</math>. ou telles que : <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \exist U_i</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>i</math>, <math>\forall i \in [\![1,n]\!], \,\, \forall j \in [\![1,i]\!], \,\, \exist U_{i,j}</math> réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de <math>\R^n</math>, de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de dimension <math>j</math>, telle que <math>U_{i,j} \in \mathcal{P}(U_i)</math>, <math>\displaystyle{\exists {F_0}' \in \mathcal{P}\bigg(\R^n \setminus \Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)\bigg)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{\exists {F_{0,0}}' \in \mathcal{P}\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big)}</math>, réunion de singletons (pouvant être vide), <math>\displaystyle{A = \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} U_i\Big) \bigsqcup {F_0}' \bigg) \setminus \bigg(\Big(\bigsqcup_{i \in [\![1,n]\!]} \bigsqcup_{j \in [\![1,i]\!]} U_{i,j}\Big) \bigsqcup {F_{0,0}}' \bigg)}</math>.] Décomposition d'une partie bornée de <math>\R^2</math> {{infra|Décomposition d'une partie bornée de R n}} Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les F-quantités des parties bornées de <math>\R^n</math>, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) : Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles, celles des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de <math>{\R''}^n</math> (respectivement de <math>\R^n</math>), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes". En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières. Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>{vol}^i</math> <small> (Le cas <math>i = 0</math> étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF" https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math> /Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf), </small> sont telles que si <math>i \in [\![1,n]\!]</math>, elles négligent chacune, respectivement, si <math>i = 1</math>, des points isolés, respectivement, si <math>i = 2</math>, des points isolés et des points de courbes, respectivement, si <math>i = 3</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si <math>i = 4</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, respectivement, si <math>i = n</math>, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension <math>3</math>, <math>\cdots</math>, et des points d'espaces de dimension <math>n-1</math>. La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(i \in [\![0,n]\!])</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, <math>\widetilde{vol^i}</math>, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, <math>\widetilde{vol^0}</math>. '''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''' Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "<math>{card}_P</math>" ou "<math>{card}</math>" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantite, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>", sachant que la référence à un repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, n'est utile que pour les parties non bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de <math>\R^2</math> (ou de <math>\R^n</math>, de manière générale), on peut noter la F-quantité : "<math>{card}_{Q}</math>". Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^2</math>, d'origine <math>O</math>. '''Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", qui était nommée auparavant le "cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math>, de cette même partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>", par "<math>card_{Q,\cal R}(A)</math>" et le "cardinal potentiel de la partie <math>A</math> de <math>\R^2</math>" par "<math>card_P(A)</math>". En fait, puisque la "F-quantité de la partie <math>A</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' On a : <math>{card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times\N_n) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\}\times 3\N)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\}\times (3\N \bigsqcup\{1,2\})\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\N) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\Z) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \Q)</math> <math><card_{Q,\cal R}(\{O\} \times ]-1,1[) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\{O\} \times [-2,2])</math> <math>={card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) < {card}_{Q,\cal R}\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) < {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>< {card}_{Q,\cal R}\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times\R^*) < {card}_{Q,\cal R}(\{O\} \times \R)</math> <math>< {card}_{Q,{\cal R}}([-1,1] \times [-1,1]) < {card}_{Q,{\cal R}}([-2,2] \times [-2,2]) < {card}_{Q,{\cal R}}(\R^2)</math> alors que : <math>{card}_P(\{O\} \times\N_n)< {card}_{P}(\{O\} \times 3\N)</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times (3\N \bigsqcup \{1,2\})\Big) = {card}_P(\{O\} \times \N)= {card}_P(\{O\} \times\Z) = {card}_{P}(\{O\} \times \Q)</math> <math>< {card}_P(\{O\} \times ]-1,1[) = {card}_P(\{O\} \times [-1,1]) = {card}_{P}(\{O\} \times[-2,2])</math> <math>= {card}_P\Big(\{O\} \times ([-2,2] + 1)\Big) = {card}_P\bigg(\{O\} \times \Big(([-2,2] + 1) \bigsqcup \{4\}\Big)\bigg) = {card}_P\Big(\{O\} \times (\R\setminus [-2,2])\Big)</math> <math>= {card}_P \Big(\{O\} \times (\R\setminus [-1,1])\Big) = {card}_P(\{O\} \times \R^*) = {card}_{P}(\{O\} \times \R)</math> <math>= {card}_P([-1,1] \times [-1,1]) = {card}_{P}([-2,2] \times [-2,2])= {card}_{P}(\R^2)</math> Applications : 1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance). 2) Dans une bouteille de <math>2L</math>, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'<math>1L</math>. Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité. On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes. Pourtant à qui lui veut des applications : La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même. Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète : La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière discrète. La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique. La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première. '''[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"''' '''(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités''' '''[relatives à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]''' '''relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).''' '''Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées. '''Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]''' Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là. Restera à généraliser cette notion aux parties de <math>\mathcal P(\R^n)</math>, <math>\mathcal P\Big(\mathcal P(\R^n)\Big)</math>, etc, et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli. La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i \,\,(0 \leq i \leq n)</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^n</math>, le fait que <math>\R^n</math> soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que <math>\R</math> soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> : Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de <math>\R</math> ? ===Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux=== Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples. Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés. Le PDF informel de vulgarisation de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}. Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration. Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité en précisant rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> qui permettront, ensuite, de définir la F-quantité sur le domaine <math>{PV}(\R^n)</math>. Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)</math>. L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE. Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE. Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie. Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus ''secs'' que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits. Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée. D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions. Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales. Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre. Certaines de mes discussions hors F-quantité et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel. La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir. Reste la partie spéculative. Si l'ensemble <math>+\infty_{\mathcal{F}(\R)}</math> est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout. J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de <math>\R^n</math> tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R^n</math> soit valide et qu'ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité, soit valable. [26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math> est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité, relative à un repère orthonormé de de <math>\R^n</math>. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.] === Liens === N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/ '''REMARQUE :''' On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux : *[https://www.fichier-pdf.fr/2026/06/07/gf-4-5/ La saga du "cardinal" (version 4-5)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-4/ La saga du "cardinal" (version 4)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-3/ La saga du "cardinal" (version 3)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf-2/ La saga du "cardinal" (version 2)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/gf/ La saga du "cardinal" (version 1)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Principale discussion où est intervenu [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE] sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 : *[https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/06/cardinal-quantitatif-en-2007-titre-original-mes-cardinaux/ Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.)] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension <math>i(0 \leq i \leq n)</math> de <math>\R^n</math>, sauf dans le cas où <math>i = n</math>, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans '''"Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^{N}</math>, pour <math>N\in \mathbb{N}^{*}</math>"'''. {{Attention|Les scans de pages de livres constituent une [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright|violation du copyright]].}} Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER1/ BERGER 1] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/BERGER2/ BERGER 2] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) Cf. [[w:Référence:Géométrie (Berger)|Référence:Géométrie (BERGER)]] Quant à l'extrait de livre suivant, d'après [https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/ Michel COSTE], il provient de [[w:Jean Dieudonné|Jean DIEUDONNÉ]] : *[https://www.fichier-pdf.fr/2018/05/14/dieuquarto/ Dieuquarto] (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr) '''Voici des liens Wikipedia :''' *[[w:en:Mixed_volume#Quermassintegrals|Volume mixte (en anglais)]] *[[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] *[[w:Formule de Steiner-Minkowski|Formule de STEINER-MINKOWSKI]] '''Voici des liens intéressants en français :''' *[https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et Théorème de HADWIGER] *[https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER] '''Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :''' *https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf '''La notion de F-quantité sur <math>\R^n</math> est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.''' '''[[Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre#Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques|'''Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques''']]''' ==='''Remarques complémentaires'''=== NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" (versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation. Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de <math>\R''^n</math>, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de <math>\R^n</math>, et même seulement les PV. NB : le principal et le plus dur reste encore à faire. On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de <math>{\R''}^n</math>. Je sais que si des suites de polytopes de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math> (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de <math>\R^n</math>, de dimension <math>n</math>), convergent vers une PV de dimension <math>n</math>, alors les suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité de cette PV. (Cf. '''articles informels de vulgarisation de Michel COSTE''' que j'ai donnés {{supra|Liens}} Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité de tout singleton de <math>\R^n</math> vaut <math>1</math>.) La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes. Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV. Conjecture : "Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>." Cette conjecture est, par exemple, vraie si dans l'espace de dimension <math>3</math>, <math>\R^3</math>, la partie non convexe et les parties convexes en question sont dans un même plan de dimension <math>2</math>. La plupart des surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> de <math>\R^{3}</math> ne sont pas convexes : Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension <math>2</math>. Certaines surfaces de <math>\R^{3}</math>, de dimension <math>2</math>, brisées par morceaux, sont constituées de parties convexes (polygones). Certaines surfaces de classe <math>\mathcal{C}^1</math> sont les limites de suites de surfaces brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones) tendent vers <math>0</math>. Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers. Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements". Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre. Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité aux "seules" parties de <math>\R^n</math>. De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité. Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles. Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV de <math>\R^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de <math>{\R''}^n</math>, de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>. =='''Partie déjà établie et connue : F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de <math>\R^n</math>, près, cette partie correspond au cas de la F-quantité définie sur la classe des plafonnements normaux des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>]''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^n</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' '''J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].''' === '''Préliminaires''' === {{Théorème|titre=Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math> 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} '''Remarque : La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUSDORFF.''' ==='''Construction et définition'''=== {{Théorème|titre=Quelques hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> et sur <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et définition de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R}^n) \,\, |\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math>, où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}(\R^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)} \,\, : \,\, {\mathcal{P}olytopes}(\R^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>. où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>\R^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV(\R^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}(\R^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall A,B \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math>, donc, en particulier, <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1}^*</math>, <math>\displaystyle{\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in {\mathcal{P}olytopes}({\R}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose, par exemple, qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>. En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall x \in \R^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \R^n</math>, <math>I \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, donc, en ppaticulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall {is} \,\, \mbox{isométrie de} \,\, \R^n</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>. En particulier : a1) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math>, où <math>\forall x \in \R^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. a2) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>, donc, en particulier, <math>\forall A \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall M \in \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\displaystyle{\forall M \in \R^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>.}} <small> '''''Remarques sur la définition :''''' On verra que <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}(\R^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math> la suite finie de mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, de dimension <math>i \,\,(i \in \N_n)</math>, sur <math>\R^n</math> (si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>), et cette formule est donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}'' ou dans : ''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> (et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>), en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'' ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_Guillaume_FOUCART,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' '''''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":''''' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math> (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux), au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. '''''Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :''''' <math>{PV}(\R^n)</math> n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>. Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math> ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. ''Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de <math>{PV}(\R^n)</math> (ou de la classe de parties de <math>\R^n</math> obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de <math>{PV}(\R^n)</math>), leurs complémentaires (dans <math>\R^n</math>).'' Mais, alors il faut parler de la F-quantité de <math>\R^n</math> ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements <math>[\R^n, {(A_i)}_{i \in I}]</math> qui est une notion que nous n'avons pas encore définie. </small> {{Théorème|titre=Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : <math>\forall I \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math>. La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}(\R^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}(\R^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}(\R^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>\R^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>\R^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}(\R^n)</math>, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des intervalles de <math>\R</math> et <math>\Big(I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}\Big) \subset {\mathcal{P}olytopes}(\R)</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}(\R^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>\R^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrions même montrer que : Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}(\R^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde{E}, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math>. ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}(\R^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in {PV}(\R^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>)'' ''(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math>, car <math>{\mathcal{P}olytopes}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)''}} ==='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R)</math>'''=== '''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O</math>.''' '''''Préliminaires :''''' {{Théorème|titre='''Notations'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,\R \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in \R_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in \R_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in \N^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in \N^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \mathbb{N}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in \N_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in \N_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in \N_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in \N_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in \N_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in \N_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>. ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \Q_+^*</math> et <math>s \in \R_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ==='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires. {{Théorème|titre='''Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math> et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, d'une partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> et <math>d \in \N_N</math>)'''|contenu= Soient <math>N \in \N^*, \,\, d \in\N_N</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>. Alors <math>{vol}^d(A_N)</math> est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension <math>d</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math> et <math>{dim}(A_N)</math> est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur <math>\R^N</math>, de la partie <math>A_N</math>. avec la convention : <math>{dim}(\emptyset) = + \infty</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Ici, la [[w:Dimension de Hausdorff|dimension de HAUSDORFF]] sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive. (Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf) </small> {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P^N} \in {\cal P}(\R^N) \,\, \Big| \,\,{P^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N)\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}(\mathbb{R}^N)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\, \Big| \,\, {A^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> et de <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{P_i^N} \in {\cal P}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {P_i^N} \,\, polytope \,\, de \,\, \mathbb{R}^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe, \,\,[connexe] \,\, de \,\, \mathbb{R}^N) \,\, et \,\, {dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. <math>\displaystyle{= \Big\{{P_i^N} \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)\,\, \Big| \,\,{dim}({P_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>. 2) <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math> <math>\displaystyle{\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A_i^N} \in {\cal P}(\mathbb{R}^N) \,\,\Big| \,\, {A_i^N} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{= \Big\{{A_i^N} \in {PV}(\R^N)\,\, \Big| \,\, {dim}({A_i^N}) = i\Big\} \bigcup \{\emptyset\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI pour <math>P_N</math> et coefficients de STEINER-MINKOWSKI <math>{\cal L}_{i,N}(P_N)</math> pour <math>P_N</math>, avec <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>. On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>. Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math> où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>. On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>. La suite <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est appelée la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à <math>P_i^N \in {{\cal P}olytope}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math>.'' "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} '''''Remarque : ''''' La formule de STEINER-MINKOWSKI ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien : Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de <math>\mathbb{R}^N</math>, il va falloir creuser d'avantage. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis de HADWIGER :'''|contenu= [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]}} {{Théorème|titre='''Lemme admis (sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{j,i}(P_i^N), \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{j,i}, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_i^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\mathcal{L}_{i,N}(P_N), \,\, c_{i,N}(P_N)</math> et les applications <math>\mathcal{L}_{i,N}, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>P_N = P_N^N \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) Soit <math>\displaystyle{P_N \in {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>. Soient <math>\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{i,N}(P_N)</math>, <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>. On a : <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>. 2) Soit <math>\displaystyle{P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math>. Soient <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i}(P_i^N) =\frac{\mathcal{L}_{i-j,i}(P_i^{N})}{\beta(i-j)}}</math>, où <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\,\beta(j) = {vol}^j\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^j}(O_j,1)}\Big)}</math>, <math>\forall j \in \N_i, \,\, O_j</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_j</math> de <math>\mathbb{R}^j</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{j,i}(P_i^{N})\Big)}_{j \in \N_i}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de STEINER-MINKOWSKI pour le polytope <math>P_i^N</math>. On a : <math>{\cal L}_{0,i}(P_i^N) = {vol}^i(P_i^N)</math>, <math>{\cal L}_{1,i}(P_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial P_i^N)</math> et <math>{\cal L}_{i,i}(P_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et on a : <math>c_{0,i}(P_i^N) = 1</math>. Soient <math>\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, {\cal L}_{j,i}(P_i^N)</math> et <math>\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_i^N \,\, \longmapsto \,\, c_{j,i}(P_i^N)</math>. On a : <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, <math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI et le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]]. <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème admis (<math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>P_N = P_N^N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations du lemme précédent. 1) <math>\exists ! {card}_{Q,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,N}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> 2)<math>\exists ! {card}_{Q,i} \,\, : \,\, {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F,</math> telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_i^{N}) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^{N})\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math>. ''Remarque'' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{{card}_Q \,\,: \,\, {{\cal P}olytopes}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{{card}_Q}_{\Big|{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)} = {card}_{Q,i}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \forall P_i^N \in {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,i}(P_i^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}(\R^N),F\Big)}</math>.}} '''''Démonstration :''''' : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de STEINER-MINKOWSKI, le [[w:en:Hadwiger's theorem#Valuations|Théorème de HADWIGER (en anglais)]] et le lemme précédent : Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), Théorème de HADWIGER {{supra|Liens}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel COSTE, qui est, ici, notre référent et notre guide. </small> {{Théorème|titre='''Proposition admise (<math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, pour <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. 1) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N), \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_N(\mathbb{R}^N)</math>. 2) <math>\displaystyle{\overline{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}^{{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N), \,\, A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> est dense dans <math>{PV}_i(\mathbb{R}^N)</math>. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}}}} {{ancre|Corollaire}} {{Théorème|titre='''Lemme (sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}(A_i^N), \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{j,i}}, \,\, \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, <math>j \in \N_i</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, sur les coefficients <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}(A_N), \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> et les applications <math>\widetilde{\mathcal{L}_{i,N}}, \,\, \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)</math>, pour <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math> Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. On a : '''''(*1-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, {\cal L}_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N) = \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-1)''''' <math>{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{i,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,N}}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,N}}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{N,N}}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>, et on a : <math>\widetilde{c_{0,N}}(A_N) = 1</math>. 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. On a : '''''(*1-2)''''' <math>{\forall j \in \N_i, \,\, {\cal L}_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {\cal L}_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. On a : '''''(*2-2)'''''<math>{\forall j \in \N_i, \,\, c_{j,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>{\Big(\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\Big)}_{j \in \N_i} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i, \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N) = \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente. Et on a : <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{\cal L}_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {\cal L}_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_i^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et <math>\displaystyle{\forall j \in \N_i,}</math> <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{c_{j,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),\R\Big)}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = c_{j,i}}</math>, c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{j,i}} \,\, : \,\, {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)</math> a été défini, précédemment, et on a : <math>\widetilde{{\cal L}_{0,i}}(A_i^N) = {vol}^i(A_i^N)</math>, <math>\widetilde{{\cal L}_{1,i}}(A_i^N) = {vol}^{i-1}(\partial A_i^N)</math> et <math>\widetilde{{\cal L}_{i,i}}(A_i^N) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math> et <math>\widetilde{c_{0,i}}(A_i^N) = 1</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. </small> {{Théorème|titre='''Théorème (<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}(\R^N),F\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math> et formule donnant la F-quantité de <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math>, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>, et, en particulier, de <math>A_N = A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>, en fonction de la F-quantité de l'intervalle <math>[0,1[</math>)'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents. 1) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-1)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_N(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>, <math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_N(\R^N),F\Big)</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_N(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytopes}_N(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)]''''' : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}_N(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n},}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_N \in {PV}_N(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} \widetilde{c_{i,N}}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {PV}_N(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> défini précédemment, 2) D'après la proposition précédente : Soit <math>\displaystyle{A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N}</math>. D'après le théorème précédent, on a : '''''(*3-2)''''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,i} \in \mathcal{C}^0\Big({{\cal P}olytopes}_i(\R^N),F\Big)}</math> et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues : <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N)}}</math>, et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite <math>{(P_{i,n}^N)}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente, et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math>, <math>\displaystyle{\exists ! \widetilde{{card}_{Q,i}} \in \mathcal{C}^0\Big({PV}_i(\R^N),F\Big)}</math>, telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}</math>, et telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}_{|{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)} = {card}_{Q,i}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\,{card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i} }(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>. C'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}} \,\, : {PV}_i(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F: \,\, A_i^N \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)}</math>, avec <math>\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)</math> défini précédemment. On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : {PV}(\mathbb{R}^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N} {PV}_i(\mathbb{R}^N) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{{{\cal P}olytopes}(\R^N) = \bigsqcup_{i \in \N_N}{{\cal P}olytopes}_i(\R^N)}} = {card_Q}}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{PV}_i(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>, et telle que '''''[comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)]''''' : <math>\forall i \in \N_N,</math> <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N)},</math> <math>\displaystyle{\exists {(P_{i,n}^N)}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytopes}_i(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_i^N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{i,n}^N,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N)= \widetilde{{card}_{Q,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N)= \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,i}(P_{i,n}^N) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{j \in \N_i} c_{j,i}(P_{i,n}^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{ = \sum_{j \in \N_i} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{j,i}(P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N) \,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, {card}_{Q,1}^j([0,1[) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\displaystyle{\forall A_i^N \in {PV}_i(\mathbb{R}^N), \,\, \widetilde{{card}_{Q,i}}(A_i^N) = \sum_{j \in \N_i} \widetilde{c_{j,i}}(A_i^N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^j([0,1[)}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de HAUSDORFF. '''''Remarque :''''' Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "<math>F</math>" par l'ensemble "<math>\N \bigsqcup +\infty</math>" où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. '''''Remarque :''''' Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de <math>{\mathbb{R}''}^N</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux). </small> {{Théorème|titre='''Remarque importante'''|contenu= ''Michel COSTE, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition de la F-quantité impliquent que :'' Si <math>A_N\in {PV}_N(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n}) }</math>, ''au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :'' Si <math>A_N \in {PV}_N(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n} \in {\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{N,n} = A_N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{N,n}}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{N,n})}</math>. ''Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N\in {PV}_i(\R^N)</math>, de classe <math>\mathcal{C}^1</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N) }</math>, ''au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :'' Si <math>i \in \N_N</math> et si <math>A_i^N \in {PV}_i(\R^N)</math> et si <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{i,n}^N \in {\mathcal{P}olytopes}_i(\R^N)</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow P_{i,n}^N = A_i^N}</math>, ''alors on a :'' <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q}}(A_i^N) = \widetilde{{card}_{Q}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} P_{i,n}^N}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q}(P_{i,n}^N)}</math>, ''Je tente de faire certaines généralisations.'' Cela est, probablement, toujours, vrai, si on remplace "<math>{PV}_N(\R^N)</math>" par "<math>{PV}(\R^N)</math>", ou par "réunion finie de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes", [et peut-être même, en supposant que <math>A_N</math> est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de <math>{PV}(\R^N)</math>, disjointes, et <math>\forall n \in \mathbb{N}, \,\, P_{N,n}</math> réunion finie de parties de <math>{\mathcal{P}olytopes}_N(\R^N)</math>]. Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.}} ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>. On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>. <small> '''Remarque :''' La notion de F-quantité est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de CANTOR) : Elle l'affine. Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>. </small> {{Théorème|titre='''Remarque préliminaire 1 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> Soient <math>f : A \longrightarrow \mathbb{R}</math>, et <math>\displaystyle{G_f = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R} \Big| y = f(x) \Big\}}</math>, le graphe de <math>f</math> et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> : 1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable : <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math> 3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math> 4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>. a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math> b) Soit <math>B \subset A</math> : Comme <math>epi(f_{|B}) \subset {epi}(f)</math>, on a : <math>{card}_{Q,1}\Big({epi}(f_{|B})\Big) \leq {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big)</math>}} {{Théorème|titre='''Remarque importante 4 :'''|contenu= Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math> En particulier si <math>I = \mathbb{R}</math> <math>f'(\R) = \{0\}</math> alors <math>{card}_{Q,1}(G_f) = {card}_{Q,1}(\mathbb{R})</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition 5 :'''|contenu= Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>. Soit <math>f \in {\mathcal{C}^1}\mbox{-}{\mathcal{D}iff\acute{e}omorphisme \,\, par \,\, morceaux}(A,\mathbb{R})</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} {card}_{Q,1}\Big(f(I_i)\Big)}</math>}} {{Théorème|titre='''Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> :'''|contenu= <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\, {card}_{Q,i}</math> est une mesure sur <math>{PV}_i(\R^n)</math> où <math>\displaystyle{\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,{PV}_i(\R^n) = \{A_i^n \in {PV}(\R^n) \,\, | \,\, {dim}(A_i^n) = i\} \bigcup \{\emptyset\}}</math> donc : <math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigsqcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math> Or d'après l'un des PDF de Michel COSTE : <math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>}} {{ancre|Décomposition d'une partie bornée de R n}} <small> '''''Remarque :''''' <math>]-1,1[ \not \in {PV}_1(\R)</math>, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que <math>\forall n \in \N^*, \,\, \forall i \in \N_n, \,\,</math>l'ensemble de départ de <math>{card}_{Q,i}</math> est <math>{PV}_i(\R^n)</math>, supposer, seulement, que ce dernier est <math>{P3}_i(\R^n)=\{A_i^n \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A_i^n \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^n) = i\}</math>. </small> ''(Calculs peut-être remis en cause car <math>{card}_{Q,i}</math> n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}_i(\R^n)</math>, car <math>{PV}_i(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties.)'' {{Théorème|titre='''Calcul de <math>{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> sachant <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math> et <math>A \in {P3}(\R)</math>'''|contenu= '''Remarque : Il y a peut-être des erreurs et des passages mal formulés voire faux.''' Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>{P3}(\R^N) = \{A^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux)\}</math>. Soit <math>{P3}_i(\R^N) = \{A_i^N \in {\cal P}(\R^N)\,\,|\,\, A_i^N \,\, convexe \,\, (simplement \,\, connexe),\,\, born\acute{e}e \,\, de \,\, \R^N, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, et \,\, {dim}(A_i^N) = i\}</math> <math>=\{A_i^N \in {P3}(\R^N)\,\,|\,\,{dim}(A_i^N) = i\}</math>. Soit <math>A_N= A_N^N \in {PV}_N(\R^N)</math>. On pose : <math>\displaystyle{c_{i,N}(A_N) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math> où <math>\displaystyle{\beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)}</math>, <math>O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math>, <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite des coefficients de STEINER-MINKOWSKI pour <math>A_N</math>. Soit <math>A \in {P3}_i(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_i(\R^N)</math>. Soit <math>A \in {P3}(\R^N)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}(\R^N)</math>. Ici, <math>N = 1</math> : Soit <math>A \in {P3}_1(\R) = {P3}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {PV}_1(\mathbb{R}) = {PV}(\R)</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>. Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, \Big(c_{1,1} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big)(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) \,\,d \,\, c_{1,1} + d \,\, c_{0,1}\Big)(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>. Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>. Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>, alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>, c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math> Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\mbox{-}diff\acute{e}omorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}\mbox{-}mesurable</math>. On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>. Ici <math>N = 1</math> (donc <math>i \in \N_N = \N_1</math>) : <math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math> <math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = \frac{{vol}^1(\overline{A})}{1} = {vol}^1(\overline{A})}</math> <math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math> <math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math> or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math> or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = \frac{1}{2} \times 2 = 1}</math> car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math> donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math> <math>= J</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>.}} {{Théorème|titre='''Décomposition de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math>, pour <math>N \in \N^*</math> :'''|contenu=Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>, une partie bornée, simplement connexe de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>N</math>, dont le "bord" est non vide. Si <math>n \in \N_N</math>, on pose <math>{''\partial^0(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_n</math> et si <math>n \in \N_N^*</math>, on définit <math>A_{n-1} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1(A_n)''}</math> comme le "bord" de la partie <math>A_n</math>, en supposant que <math>A_{n-1}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-1</math>, et dont le "bord" est non vide. (On pose <math>{''\partial^1(A_N)''} \underset{d\acute{e}f}{=} A_N \setminus \stackrel{\circ}{A_N}</math>. Le "bord" de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^N</math>, non vide, de dimension <math>n \,\, (n \in \N_{N-1})</math>, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement) et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^i(A_n)''} \underset{d\acute{e}f}{=} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont le "bord" est non vide, sauf concernant <math>A_0</math>. On a : <math>\displaystyle{A_N = \left[\bigsqcup_{i \in \N_{N}^*} \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big)\right] \bigsqcup A_0}</math>, avec <math>\forall i \in \N_{N}^*, \,\, \Big(A_{N-(i-1)} \setminus A_{N-i}\Big) \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, N-(i-1)</math> et <math>A_0 \,\, \text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de} \,\, \mathbb{R}^N \,\, \text{, non vides, de dimension} \,\, 0, \,\,\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}</math>. {{encadre|L'hébergeur de PDF gratuit utilisé ci-dessous (https://www.fichier-pdf.fr) a été déclaré site fiable par FranceVerif, au moins, depuis le 11-10-2023.}} https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/}} =='''Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)'''== '''En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math>, d'une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>" n'est pas un "cardinal de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>", nous devrions plutôt la noter : "<math>Q_{F,\mathcal{R}}(A)</math>" ou "<math>F\text{-}Q_{\mathcal{R}}(A)</math>" au lieu de la noter "<math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)</math>", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.''' ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. (Si, de plus, <math>I</math> est non borné à droite, alors <math>\sup(I) \underset{not}{=} +\infty_I</math>). Soit <math>A</math> une partie de <math>\R^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>\R^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>\R^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \Leftrightarrow \,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math> et <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2(\R^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}(\R^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, \R^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}(\R^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>", constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math>, et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math>, de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> et de <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe) \,\, de \,\, \mathbb{R}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}(\mathbb{R}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\,|\,\, A \,\,non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> ''et doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}(\R^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}(\R^n)\bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''qui doit vérifier les "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math> et <math>{PV}(\R^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}(\R^n) \bigsqcup {PV2}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}(\R^n) \bigsqcup {P4}(\R^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}(\R^n),{P3}(\R^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A\in {P4}(\R^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}(\R^n)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. et si <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}(\R^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}(\mathbb{R}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}(\R^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}(\R^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}(\R^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>\R^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>\R^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>\R^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>\R^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>\R^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>\R^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R}^n), {PV}({\R}^n) \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R}^n) \bigcap {PV}({\R}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R}^n)}^{{PV2}({\R}^n)} = {PV2}({\R}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>\R^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>\R^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale", dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Exemples_2|"Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Exemples 2"]], dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>", dans "Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité/Plafonnement sphérique, {associé à|de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>", et dans [[Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1|"Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>/Partie 1"]]. </small> <small> '''''Remarque :''''' Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là. Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies. De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> et sur <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^n),{PV}(\R^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset \R, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^k)\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n-k}),{PV}(\R^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{k}),{PV}(\R^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}(\R^{n}),{PV}(\R^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>\R^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>\R^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>\R^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>\R^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque (à propos de la <math>\sigma</math>-additivité)'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}_n</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>, d'origine <math>O_n</math>. 1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu <math>{PV}(\R^n)</math>. (faux a priori) 2) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne peut être une mesure, au sens usuel, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}^n})</math>, car elle ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général. 3) ''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,'' car : Si <math>n = 1</math> : <math>\displaystyle{{\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[ \,\, \mbox{et} \,\, {\mathbb{R}}_+ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[}</math>, qui sont toutes 2 des réunions disjointes, et donc si <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> était <math>\sigma</math>-additive, on aurait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on aurait aussi <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>. Contradiction. Donc, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> n'est pas <math>\sigma</math>-additive, donc ce n'est pas une mesure au sens usuel. Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés. ''Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>.'' ''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notions et notations :'' Ici, <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{1} = \Big[\R_+,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2} = \Big[\R_+,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, et où <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\N)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(N_{1})={card}_{Q,\mathcal{R}}(N_{1}^{*})</math> <math>=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,normal,\,\,\mathcal{R}}(\R)\underset{d\acute{e}f}{=}\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2})=\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(R_{2,+})\in+\infty</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p[)}_{p \in \N} \neq {([0,2p[)}_{p \in \N}</math>.'' Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[ \bigsqcup \{p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> et on a aussi : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,2p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[ \bigsqcup \{2p\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{2p\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} 2p \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[2i-2,2i[ \right) \bigsqcup \{2p\}\right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[)\Big) + 1 = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1</math> et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - 1</math> et il n'y a aucune contradiction : ''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'' On a aussi, Cf. remarque plus bas : '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> et telle que <math>f(0)= 0</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math> ", qui est une expression équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") (Cf. aussi '''"Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{\cal F(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math>/C)"''') '''[Fin point sensible]''', on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[ \Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big)}</math> et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,f(p)])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,f(p)]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)]) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[ \bigsqcup \{f(p)\})}</math> •(1) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[) + 1\Big) = \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(p)[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\Big) + 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[\Big) + {card}_{Q,{\cal R}} (\{f(p)\})\bigg) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\Big) + 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([f(i-1),f(i)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,f(i)-f(i-1)[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} \Big(f(i) - f(i-1)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p) - f(0)\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \Big(f(p)- 0\Big)\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \bigg(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} f(p)\bigg) + 1}</math> •[point où se rejoignent (1) et (2)] <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} p) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Bigg({{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\N, (\N \bigcap [0,p])_{p \in \N}\bigg]}^*\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) + 1}</math>}} <small> '''''Remarque :''''' 1) Soient <math>a \in \R \bigcup \{-\sup(\R)\}, \,\, b \in \R, \,\, a < b</math> Soit <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}((a,b[,\R)}</math> telle que <math>\underset{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-}{\text{lim}_{classique}} f(i) = +\infty_{classique}</math>. Alors on pose : <math>\lim_{i \in (a,b[, i \rightarrow b^-} f(i) = \sup(+\infty)</math>. 2) a) <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1 = \sum_{\displaystyle{i \in \Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} (\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}}} 1 = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p = \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\Big(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)}</math>. b) '''[Début point sensible]''' Soit <math>f \in \mathcal{F}(\N, \R_+ \bigsqcup +\infty), \,\, strict. \,\, \nearrow</math> telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) \in +\infty}</math> (qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} f(n) \in +\infty}</math>" qui est une expression qui est équivalente à l'expression "<math>\displaystyle{\underset{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{\text{lim}_{classique}} f(n) = +\infty_{classique}}</math>", où <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point) et telle que <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = f(\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} n)}</math> (on a : "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N)} f(n) = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} f(n)}</math>" et "<math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup_{non \,\, classique, \,\,\mathcal{R}}(\N)} n = \lim_{n \in \N, n \rightarrow \sup(\N)} n}</math>") '''[Fin point sensible]''' Alors : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in \Big((\N \bigcap [0,p])\Big)\setminus \{0\}} 1\bigg) = f\bigg(\sum_{\displaystyle{i \in \lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)}} 1\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\bigg(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\bigg) = f\Bigg( {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math> ou dit autrement : <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} f(p) = f(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} p) = f\bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}} \Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big((\N \bigcap [0,p])\setminus \{0\}\Big)\bigg)\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}} \bigg(\lim_{p \in \N,p \rightarrow \sup(\N)}\Big(\N \bigcap [0,p])\Big) \setminus \{0\}\bigg)\Bigg) = f\Bigg({card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg)\Bigg) = f\Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)\Big) = f\Big(\sup_{non \,\,classique, \,\, \mathcal{R}}(N_1)\Big)}</math>. </small> '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R}</math>, et, en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R)</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>) basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_{1,+} = \Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. '''et''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1 = \widetilde{{vol}^1}(R_{1,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>\R_+</math>.}} '''''Démonstration :''''' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{1,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p]\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p])}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\left(\left(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[ \right) \bigsqcup \{p\} \right) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{p\})\bigg)}</math> <math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \bigg(\Big(\sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1 \bigg) = \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \,\, \Big(\sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1\Big) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) + 1}</math>. Et on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q, {\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}[0,p[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}[i-1,i[\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow \sup(\N)} \sum_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <small> '''''Remarque :''''' Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. De plus, soit <math>p\in\N</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)\,\,\mbox{où}}\,\,\sup(\N)=+\infty_{classique}\,\,\mbox{et où}\,\,+\infty_{classique}\,\,\mbox{est considéré comme un point}</math> , alors <math>p-1\underset{classique}{\rightarrow}\sup(\N)</math> et <math>\displaystyle{\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}(p-1)=\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p=\sup(\N)}</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigcap[0,p])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{=p+1}</math>, et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\underset{p\in\N,\,\,p\to\sup(\N)}{\text{lim}_{classique}}p]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{[\![0,\sup(\N)]\!]\})}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N\bigsqcup\{\sup(\N)\})}</math> <math>\Big(={card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)+1\Big)</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{\N})}</math>. <math>\displaystyle{\mbox{Si}\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\in+\infty\,\,\mbox{où}\,\,+\infty\,\,\mbox{est considéré comme un ensemble tel que}}</math> <math>\displaystyle{+\infty=\{x\,\,|\,\,\forall a\in\R,\,\,x>a\}}</math>, alors <math>p-1\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\in+\infty</math> et <math>\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)-1\neq\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)</math>, <math>\cdots</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\displaystyle{\underset{p\in\N\bigsqcup\{\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)\},\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}{\text{lim}_{classique}}p}]\!])}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math> et <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,{\displaystyle{\lim_{p\in\N,\,\,p\rightarrow\sup(\N)}p}]\!])}}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([\![0,\sup_{non\,\,classique,\,\,\mathcal{R}}(\N)]\!])}</math>. </small> {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[\R,{(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[\R_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[\R_-,{(]-r,0])}_{r \in \N}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N, {(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N, {(-\N \bigcap [-p,0])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z, {(\Z \bigcap [-p,p])}_{p \in \N}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soient <math>a,b \in \R_+ \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({N_1}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale :'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}</math>, un repère orthonormé de <math>\R</math>, d'origine <math>O</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R}_+,{([0,r[)}_{r \in \N}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]</math>.'' Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_-</math>. On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in \R_+</math>. On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité'''==== {{Théorème|titre='''2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :'''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math>. Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. ''1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]}</math> ''et on a :'' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>. On a donc : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math> ''2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'' ''Ici, on considère que :'' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}}</math>. On remarque que : <math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math> et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math> Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math> et que <math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>, on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>. Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain. Partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)}[0,r]\Big) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math> <math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>}} {{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}} {{Théorème|titre='''Exemples 2 :'''|contenu= ''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'' ''[Citation de "Matheux philosophe"]'' ''[Citation de "bolza"]'' "L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ? Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui". Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> que dans un fil de <math>1 \,\, cm</math>. Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de <math>10 \,\, cm</math> (ou de <math>1 \,\, cm</math>) est un nombre fini. En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes. On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre. Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide. Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est ''une infinité''. Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de <math>10 \,\, cm</math> et pour le fil de <math>1 \,\, cm</math> c'est la "même" infinité. (car, il y a une bijection entre <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner. Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance '''un à un''' entre les éléments des deux ensembles) --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles <math>[0,1]</math> et <math>[0,10]</math> ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens. Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur". En effet la longueur de l'intervalle <math>[0,1]</math>, c'est <math>1</math> et la longueur de l'intervalle <math>[0,10]</math> c'est <math>10</math>, et <math>10 > 1</math>. En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur". P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique. Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de <math>1 \,\, cm</math>, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de <math>10 \,\, cm</math>, quand tu es passé de <math>1</math> à <math>10 \,\, cm</math>, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur. ''[Fin Citation de "bolza"]'' ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soit <math>n \in \N^*</math>. ''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel COSTE, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'' Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\displaystyle{[0,10[ = \bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[}</math> et la réunion est disjointe. Donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,10[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) \neq {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[)}</math> alors que <math>\displaystyle{{card}_P([0,10[) = {card}_P(\bigsqcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_P([0,1[) = {card}_P([0,1[)}</math> ''On considère le plafonnement carré de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'' ''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'' ''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'' '''''"2 calculs de la F-quantité de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à <math>|</math> de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math> :"''''' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigsqcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe, c'est-à-dire, en posant <math>\displaystyle{R_1 = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R_1^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>, comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R_1^2 = \bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2 |y \in R_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{x \in R_1} \{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R_1^2|y \in R_1\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{R_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\,\int_{R_1} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)\Big)}^2}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(R_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_P(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{R})}</math> (Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.) ''ou plus simple :'' On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> On peut retrouver cette formule de la façon suivante : Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe c'est-à-dire en posant : <math>\displaystyle{N_1 = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N_1^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math> comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N_1^2 = \bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}}</math> et que la réunion est disjointe, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N_1^2)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigsqcup_{n \in N_1} \{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N_1^2 |m \in N_1\} \Big)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{n \in N_1} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\,\sum_{n \in N_1} 1}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)\Big)}^2 }</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N_1)}</math> <math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}(N_1)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math> alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_P({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_P(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_P(\mathbb{N})}</math> et plus généralement : Soit <math>E' \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math>. Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {PV}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E'} A_x}</math> alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}(A) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> alors que <math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_P(A) = {card}_P\Big(\bigsqcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_P(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math> Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{x \in E''} A_x}</math> ''(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure définie sur <math>{PV}(\R^n)</math>, car <math>{PV}(\R^n)</math> n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)'' ''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois la F-quantité et le cardinal potentiel] :'' ''Une égalité n'impliquant que des F-quantité ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et la F-quantité.'' Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_P(\R^2) = {card}_P(\R)}</math> et d'autre part, on a : <math>{card}_P({\mathbb{R}}^2) = {card}_P( \bigsqcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_P(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>. <math>\displaystyle{= {card}_P(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> On obtient la formule : <math>\displaystyle{{card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math> ''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]''}} {{ancre|Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de R n(26)" )}} {{Théorème|titre='''Plafonnement sphérique, {associé à <math>|</math> de} <math>\R^n</math>, autour de l'origine <math>O_n</math> d'un repère orthonormé direct <math>\cal R_n</math> de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' <math>\forall M,M' \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R)</math> et <math>\forall M,M' \in\R^n, \,\, M \neq O_n, \,\, M' \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big) = card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM')\Big) = card_{Q,\cal R_1}(\R_+) = \frac12card_{Q,\cal R_1}(\R) + \frac12</math> <math>= \frac12 card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big) + \frac12</math>. Mais, <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AM)\Big) \ne card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((AM)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et <math>\forall A,B \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n, \,\,card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) \neq card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math> et même <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((AB)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big((O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A \in \R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, \forall M \in\R^n, \,\, M \neq O_n,\,\, M \neq A,</math> <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) <card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) >card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>card_{Q,\cal R_n}\Big([AM)\Big) =card_{Q,\cal R_n}\Big([O_nM)\Big)</math>. On peut avoir : <math>\forall A,B \in\R^n, \,\, A \neq O_n,\,\, B \neq O_n, \,\, A \neq B, \,\, \forall M \in \R^n, \,\, M \neq O_n,</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math> ou <math>{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([AB)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([O_nM)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>\R^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[\R^n, {\Big(\overline{B_{\R^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{\R^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, \mathbb{R}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}(\R^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>\R^n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}e}(\R^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R}^n)\,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>{\Rightarrow}</math> <math>{\forall x_0,{x_0}' \in \R^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in \R^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) >{card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math> (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in \R^n, \,\,\forall b ,b' \in \R^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{\mathbb{R}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{\mathbb{R}^n}(\mathbb{R}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''Remarque (Sous réserve) :''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''Remarque importante :''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Définitions de <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}_i(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}_i}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N)</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}_i}(\R^N)</math>, etc, pour <math>i \in \N_N</math> et <math>N \in \N^*</math>'''=== Soit <math>N \in \N^*</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}convexes}(\R^N)= {{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)\bigsqcup{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N) ={{\mathcal{P}oly}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\}}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R) \,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math> et <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}\mathcal{P}_{convexes}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,I_{i}\,\,ensemble,\,\,\sum_{i\in\N_{N}}{card}_{P}(I_{i})=\aleph_{0},\,\,A_{i}^{N}=\bigsqcup_{n\in I_{i}}A_{i,n}^{N} \,\, et \,\,\forall n\in I_{i},\,\,A_{i,n}^{N} \in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math> où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}_{i}(\R^N)={{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}_{{dim}\,\,i,convexes}}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}_{convexes}(\R^N)\,\,et\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{finies}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{finies}poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, {poly}_{finies}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in {\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,\,\,P_{i,n}^N \,\, polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\, et \,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N)</math> <math>=\{P^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,P^N \,\, {poly}_{0}polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, {poly}_{0}poly\grave{e}dre \,\, {poly}_{0}compact, \,\, {poly}_{0}convexe \,\, de \,\, \R^N)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}P_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,P_{n}^{N}\in{\mathcal{P}olytopes}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,P_{n_{1}}^{N}\bigcap P_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}P_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,P_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,P_{i_{1}}^{N}\bigcap P_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}P_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,P_{i,n}^{N}\,\,polytope \,\, de \,\, \R^N \,\, (c\mbox{-}\grave{a}\mbox{-}d \,\, poly\grave{e}dre \,\, compact, \,\, convexe \,\, de \,\, \R^N)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(P_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}_{i}}(\R^N) = \{P_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{\mathcal{P}olytopes}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(P_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}{PV}}(\R^N) = {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \bigsqcup {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math>. <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{finies}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,{poly}_{finies}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\, (\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> <math>(\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)<\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\, \forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}})</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N) \,\, et \,\,\forall n_{1},n_{2}\in\N_{m}^{*},\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in\N_{m}^{*}}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,m\in\N^{*},\,\,\forall n\in\N_{m}^{*},\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N, \,\, de\,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\, et \,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N)</math> <math>=\{A^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,A^{N}\,\,{poly}_{0}sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,{poly}_{0}compacte,\,\,{poly}_{0}convexe\,\,de\,\,\R^N, \,\, de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\}</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{n\in I}A_{n}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0},\,\,\forall n\in I,\,\,A_{n}^{N}\in{PV}(\R^N)\,\,et\,\,\forall n_{1},n_{2}\in I,\,\,n_{1}\neq n_{2},\,\,A_{n_{1}}^{N}\bigcap A_{n_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\}}</math> (<math>\displaystyle{=\{\bigcup_{i\in\N_{N}}A_{i}^{N}\in\mathcal{P}(\R^N)\,\,|\,\,\forall i\in\N_{N},\,\,A_{i}^{N}\in{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)\,\,et\,\,\forall i_{1},i_{2}\in\N_{N},\,\,i_{1}\neq i_{2},\,\,A_{i_{1}}^{N}\bigcap A_{i_{2}}^{N}=\emptyset\}}</math>) où <math>\forall i\in\N_{N}</math>, <math>{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N)</math> <math>\displaystyle{=\{\bigsqcup_{n\in I}A_{i,n}^{N}\in\mathcal{P}(\R)\,\,|\,\,I\,\,ensemble,\,\,{card}_{P}(I)=\aleph_{0}, \,\,\forall n\in I,\,\,A_{i,n}^{N}\,\,sous\mbox{-}vari\acute{e}t\acute{e}\,\,compacte,\,\,convexe\,\,(connexe)\,\,de\,\,\R^N,\,\,de \,\,classe \,\,(\mathcal{C}^{0})\,\,et\,\,(\mathcal{C}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,et\,\,de\,\,{dim}(A_{i,n}^{N})=i\}}</math>. (On a : <math>\displaystyle{{{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{i}}(\R^N) = \{A_i^N \in {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R^N) \,\, |\,\, {dim}(A_i^N) = i\}}</math>.) ==='''Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur <math>\mathbb{R}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== ===='''Partie 1'''==== Soit <math>n \in \N^*</math>. '''''Remarques :''''' {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Comme <math>\mathbb{R} \in {PV2}(\R)</math> et comme <math>\displaystyle{\forall r \in \N, \,\, [-r,r] \in {PV}(\R)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r] = \Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\R,{([-r,r])}_{r \in \N}]\Big)= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} [-r,r]) = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([-r,r])}</math>. ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'' Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>. Si <math>I \in {\cal P}(\R)</math>, non bornée à droite et si <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \in {PV}(\R^n)}</math> telle que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,''' comme <math>\mathbb{R}^n \in {PV2}(\R^n)</math>, on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^n,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}</math>. Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> définie précédemment. Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre <math>O</math> ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre <math>O</math>, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble <math>\mathbb{R}^n</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)". ''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>C \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (A), \,\, \mbox{et} \,\, B \in {\cal P}(C) \,\, \mbox{ou} \,\, C \in {\cal P} (B), \,\, C \neq \emptyset</math>. Si on considère ''la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>, <math>d_{Q,{\cal R},B}(A)</math>'', on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(C)}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},C}(A)}{d_{Q,{\cal R},C}(B)}}</math>. En particulier, si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B) \,\, \mbox{ou} \,\, B \in {\cal P}(A)</math>, on a : <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>. Par extension, si <math>P \in \mathcal{P}(\mathbb{R}), \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(P) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> alors <math>d_{Q,{\cal R},B}(P) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(P)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math>}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu=Si <math>x_0 \in \R</math>, alors <math>\{x_0\} \in {PV}(\R)</math> et même <math>\{x_0\} \in {PV}_0(\R)</math>.}} {{Théorème|titre=Remarque :|contenu= 1) ''Rappel :'' '''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}(\R^N)</math> et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math> et telles que <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> (Cf. définition).''' '''Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>. 2) Soient : <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\R</math>, d'origine <math>O(0)</math>, [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. <math>I \,\, \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) \,\,(\text{par exemple} \,\, I= \mathbb{N})</math>. Il faut mieux choisir <math>I</math> dénombrable infini. Soient : <math>{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>). Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in I}]}</math>), et telles que <math>\displaystyle{\exists x \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = x}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} B_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n}</math>. [Si <math>I = \N</math>, soit <math>\varphi_\,\, : \,\, I \longrightarrow I</math>, strictement croissante, c'est-à-dire <math>{\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in I}</math> sous-suite de <math>{(u_n)}_{n \in I}</math>. Dans ce cas, on a bien : <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>.] Soient : <math>{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math> vérifiant : '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>)" Remarque : On pose <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>." ou '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math> :''' "<math>\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>, telles que <math>\forall n \in I, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(C_n)}_{n \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in I}]</math> et <math>{(D_n)}_{n \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in I}]}</math>) et telles que <math>\displaystyle{\exists y \in {[0,1]}_{standard}, \,\, \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = y}</math>, avec <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}</math>". '''(Remarque : On étend facilement la définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> à <math>{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math>.)''' Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} D_n})} = \frac{ \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n}</math>. '''A-t-on (*) <math>\displaystyle{\lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} v_n = \lim_{n \in I, \,\, n \rightarrow \sup(I)} u_n }</math> ?''' Si pour tous <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}, {(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I} \subset \mathcal{P}(\R)</math> tels que <math>{(A_n)}_{n \in I}, {(B_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(A_n)}_{n \in I},{(B_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math> et tels que <math>{(C_n)}_{n \in I}, {(D_n)}_{n \in I}</math> vérifient : '''<math>\bigg(H_2\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>''' <math>\Bigg[</math> resp. '''<math>\bigg(H_1\Big[{(C_n)}_{n \in I},{(D_n)}_{n \in I}, A, B \Big]\bigg)</math>'''<math>\Bigg]</math>, on a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math> (c'est-à-dire vérifiant '''(*)''') '''Alors, on pose : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in I}]\Big)}}</math>'''}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}</math>, d'origine <math>O(0)</math>. Soient [Phrase d'origine : <math>A,B\in\mathcal{P}(\R)</math> <math>\{</math> réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties <math>|</math> réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes <math>\}</math>. Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\,\,\mbox{ou}\,\,A,B\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)</math> ou Option classique 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)\Big]</math> ou Option spéculative 2 : <math>A,B\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}convexes}(\R)\bigsqcup\Big[\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap{{\mathcal{P}oly}_{0}convexes}(\R)\Big]</math>, <math>A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset</math>. Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> ou <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>. [Phrase d'origine : Si \forall <math>i\in I,A_{i},B_{i}\in\mathcal{P}(\R)</math>, réunions finies de parties disjointes Option classique : de <math>{PV}(\R)</math> ou Option spéculative : <math>born\acute{e}es, \,\,convexes \,\, (connexes) \,\, de \,\, \R</math>] Option classique 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> ou Option spéculative 1 : Si <math>\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in{{\mathcal{P}oly}_{finies}\mathcal{P}_{born\acute{e}es,convexes}}(\R)</math>, telles que <math>\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset</math> et telles que <math>{(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]</math> (c'est-à-dire telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}</math>), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}}</math>. '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)''' Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe (connexe) de <math>\R</math>, peut se ramener au cas de la partie <math>\overline{A}</math> compacte, convexe (connexe) de <math>\R</math>, grâce à la formule <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math> c'est-à-dire <math> {card}_{Q,{\cal R}}(A)= {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{A} \setminus A)</math>, sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}}(\R)</math> (et même <math>2\mathbb{Z}^{*},\,\,\mathbb{Z}^{*}\in\mathcal{P}_{non\,\,born\acute{e}es}(\R)\bigcap {{\mathcal{P}oly}_{0}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>2\mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\mathbb{Z}^* \neq \emptyset</math>, et <math>\mathbb{N}^* \in {\cal P}(\mathbb{Z}^*)</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,\,\, A_n =\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}} \,\,\mbox{et} \,\, B_n = \displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}</math> et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}}(\R)</math> (et même <math>\forall n \in \mathbb{N}^*, \,\, A_n,B_n \in {{\mathcal{P}oly}_{finies}{PV}_{0}}(\R)</math>), et <math>\forall n \in \mathbb{N}^*,A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset</math> et <math>{(A_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\,\nearrow \,\, [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]</math> et <math>{(B_n)}_{n \in \mathbb{N}^*} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]</math> (c'est-à-dire <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>), on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math> <math>\displaystyle{ = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\displaystyle{\bigcup_{m \in \mathbb{N}_n^*}\{-2m, \,\,2m\}}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\displaystyle{\mathbb{Z} \bigcap \Big([-2n,-1]\bigcup [1,2n]\Big)}\bigg)} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{2n}{4n} = \lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}</math> '''(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul)''', donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math> et comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) + {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1)}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math> et plus généralement, <math>\forall m \in \mathbb{N}^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(m\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{m}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) = \sum_{i \in \mathbb{N}_{m-1}} {card}_{Q,{\cal R}} (m\mathbb{Z} + i)}</math> et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>. L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math> et si de plus, <math>A \neq B</math>, alors <math>0 \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)</math> et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} \in {[0,1[}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1[}_{standard}}</math>. Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, et plus généralement, si <math>a \in \mathbb{R}_+^*</math>, on devrait, normalement, avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>a \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas. L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même. Mais, CANTOR dirait, sans problème, dans ce cas, que <math>\displaystyle{{card}_{P}(a\mathbb{R}^*) = a \,\, {card}_{P}(\mathbb{R}^*) = {card}_{P}(\mathbb{R}^*)}</math>. Je pense, dans le cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}</math>, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose <math>|</math> constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme. Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de <math>\R</math> et, en particulier, de la partie <math>\R^*</math> et de la partie <math>\R</math>, elle-même.}} {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= Ici, <math>\Z^2 = \Big[\Z^2, {\Big(\Z^2 \bigcap [-p,p]^2\Big)}_{p \in \N}\Big]</math> '''Remarque et problème :''' <math>\Q</math> n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas. Soit <math>a \in +\infty</math> avec <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Ici, <math>\sup(\N) = \sup(\R) = +\infty_\N = +\infty_\R = +\infty_{classique}</math>. Soit <math>\displaystyle{f \in \mathcal{F}(\N,\R)}</math>. telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i) \,\, \text{existe dans} \,\, \R}</math>. Alors on pose : <math>\displaystyle{\lim_{i \in \N, i \rightarrow a} f(i) = \underset{i \in \N, i \rightarrow +\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}} f(i)}</math>. <math>\displaystyle{d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, {pgcd}(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}</math> où <math>d_{Q,\mathcal{R},B}(A)</math> est la densité quantitative, relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>\R^2</math> (ou de <math>\Z^2</math>), de l'ensemble <math>A</math> par rapport à l'ensemble <math>B</math>. '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' Je pense que l'on peut montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}</math>, si cette limite existe, <math>= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.</math> '''(29-01-2025 : Remarque : La série d'égalités précédente est vraisemblablement fausse à partir du 3ème terme, d'après Denis FELDMANN)''' D'après [https://www.fichier-pdf.fr/2024/04/14/probabiliteentierspremiersentreeux/ Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux], on sait que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math> Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}</math> <math>\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow \sup(\N)} p_n}</math> <math>\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}</math>.}} ===='''Partie 2'''==== {{Théorème|titre=''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur la F-quantité d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math> :''|contenu= Soit <math>N \in {\N}^*</math>. Soit <math>{\cal R}_N</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^N</math> dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine <math>O_N{(0)}_{i \in \N_N^*}</math>. ''Soit <math>I</math> un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.'' ''Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace <math>\R^N</math> muni du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_N</math>, d'origine <math>O_N{(0)}_{i \in\N_N^*}</math>, admet comme plafonnement, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\Big[\R^N, {(A_i)}_{i \in I} \Big] = \lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i}</math>, avec <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)</math>.'' On pose, pour simplifier, <math>{card}_Q = {card}_{Q,N} = {card}_{Q,{\cal R}_N}</math>, où <math>{card}_{Q,{\cal R}_N}</math> désigne la F-quantité relative au repère <math>{\cal R}_N</math>. <math>{card}_P</math> est le cardinal classique ou le cardinal de CANTOR noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ou de la F-quantité <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux. Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles. <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} \,\, \exists \,\, b \,\, : \,\, A \,\, \longrightarrow \,\, B</math>, bijection. On pose usuellement <math>\aleph_0 = {card}_P(\N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(\mathbb{R}) = {card}_P\Big({\cal P}(\mathbb{N})\Big) = 2^{\aleph_0}</math> On a par exemple <math>\aleph_0 = {card}_P(\mathbb{Z}) = {card}_P(\mathbb{Q}) = {card}_P(\N^N)</math> et <math>\aleph_1 = {card}_P(]0,1[) = {card}_P({\mathbb{R}}^N)</math> La notion de F-quantité se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie <math>|</math> véritable} notion de quantité d'éléments. ''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'' Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \mathbb{R} \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z}\}}</math> et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \Z}</math>. Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>. Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>. On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta r)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta s)}_{n-1} = s_n - s_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \nearrow </math> (respectivement <math>\searrow</math>) ou que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \,\,\colon \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) et <math>\exists n_r^-, n_s^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta r)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_r^-}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_s^-} \searrow </math> (respectivement <math>\nearrow</math>). On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta r)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta r)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>(n+1)</math>-ième et le <math>-(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{(r_{n+1} - r_0)+(r_0 - r_{-(n+1)})}{2n + 2} = \frac{r_{n+1} - r_{-(n+1)}}{2n + 2}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>(n+1)</math>-ième terme et du <math>-(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n-1)</math>-ième et son <math>-(n-1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{R}</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta z)}_n = 1}</math> avec <math>z = {(z_i)}_{i \in \Z} = {(i)}_{i \in \Z} \,\, \mbox{et} \,\, \Z = \{z_i \,\,|\,\, i \in \Z\} = \{i \,\,|\,\, i \in \Z\}</math>, alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math> En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta r)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta r)}_{n-1} = +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>, ''Remarque :'' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>. Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ? À t-on bien <math>\exists a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b_0 \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, {card}_Q(R) = {card}_Q(a_0\mathbb{Z} + b_0)</math> ? ''Réponse :'' Non, car <math>\displaystyle{\forall a_0 \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \forall b_0 \in \R, \,\, \exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > a_0 = a_{a_0\mathbb{Z} + b_0,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(a_0 \mathbb{Z} + b_0)</math>. Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement : Si <math>\displaystyle{\exists m,M \in \mathbb{R}, \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, m \leq r_{i+1} - r_i \leq M}</math> alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math> Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math> alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math> {{Théorème|titre=''Remarque :''|contenu= <math>T = R \bigsqcup S</math>, avec <math>R</math> à variations décroissantes, <math>S</math> à variations croissantes et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_i < s_i</math> <math>\not \Longrightarrow</math> <math>T = \{t_i \in \R \,\, | \,\, i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>}} Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_P(R) = {card}_P(S) = \aleph_0</math> telles que : <math>\displaystyle{R =\{r_i \in \mathbb{R}_+ \,\, | \,\, i \in \N \} \,\, \mbox{et} \,\, S =\{s_i \in \R_+ \,\, | \,\, i \in \N \}}</math> et <math>\forall i \in \N, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \N, \,\, s_{i+1} > s_i</math> et <math>r = {(r_i)}_{i \in \N} \,\, \mbox{et} \,\,s = {(s_i)}_{i \in \N}</math> Soit <math>n \in \N</math> On appelle <math>r_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>r</math> et <math>s_n</math> le <math>n</math>-ième terme de <math>s</math>. On pose <math>\displaystyle{{(\Delta r)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math> et <math>\displaystyle{{(\Delta s)}_{n+1} = s_{n+1} - s_n}</math> Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>r</math> et de <math>s</math>. On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_r^+, n_s^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta r)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_r^+}, \,\, {\Big({(\Delta s)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_s^+} \nearrow}</math> (respectivement <math>\searrow</math>) On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta r)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math> C'est la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre le <math>0</math>-ième et le <math>(n+1)</math>-ième terme. ''Remarque :'' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a : <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{r_{n+1} - r_0}{n + 1}}</math> On remarque que cette quantité ne dépend que du <math>0</math>-ième terme et du <math>(n+1)</math>-ième terme et du nombre de points de <math>r</math> compris entre ces 2 termes inclus. On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>. C'est la limite de la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>0</math>-ième et son <math>(n+1)</math>-ième terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>r</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>. {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0, \,\, a_{R,n} < a_{S,n} \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>}} Cela signifie qu'à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, <math>\forall n \geq n_0</math>, si la moyenne des pas de <math>r</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de <math>s</math> compris entre son <math>(n+1)</math>-ième et son <math>-(n+1)</math>-ième terme, alors la F-quantité de l'ensemble <math>R</math> est strictement plus grande que celle de l'ensemble <math>S</math>. Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math> {{Théorème|titre=''Conjecture :''|contenu= <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math> en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math> et <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N}</math>, et <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>.}} }} <small> '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> '''Idée pour généraliser la notion de F-quantité aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math> :''' {{Théorème|titre='''''Conjecture :'''''|contenu= Toute partie non convexe, connexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie non convexe, de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>, donc toute partie de <math>\R^n</math> est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de <math>\R^n</math>.}} ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\mathbb{R}''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Définitions de <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= ''Motivation :'' Cela permettra entre autre de définir l'ensemble <math>{\R''}^n</math>. ''Remarque importante préliminaire :'' Je vais essayer de prolonger <math>\R_+</math> par une « infinité continue de nombres infinis positifs ». (On pourrait construire, de même, le prolongement de <math>\R_-</math> et donc aussi de <math>\R</math>). Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF. On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc. '''''Définitions :''''' (voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]]) '''''A)''''' {{Théorème|titre=|contenu= Soient <math>a,b \in \overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup(\R), \sup(\R)\}, \,\, a<b</math> où on considère, ''de manière non classique et naïve'', que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>+\infty'' = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R'', \,\, x > a\}</math> et où <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{\N}=+\infty_{\R}=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. On note : "<math>R_{a,b} = (a,b[</math>" mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "<math>+\infty_{classique}</math>" où <math>+\infty_{classique}</math> est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \R</math>. Si <math>a = - \sup(\R), \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x < b\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b = \sup(\R)</math>, :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x \geq a\}</math> :ou :<math>R_{a,b} = \{x \in \R \,\, | x > a\}</math> Si <math>a \in \R, \,\, b \in \R</math>, :<math>R_{a,b} = (a,b[</math> *<math>\mathcal{F}(R_{a,b}) = \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_3(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, \mathcal{F}_4(R_{a,b}) \,\, \underset{?}{\text{ou}} \,\, ?</math>, où <math>\displaystyle{\mathcal{F}_0(R_{a,b}) = \{f \,\,|\,\,f\,\, : \,\, R_{a,b} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_1(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_0(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\, \mbox{continue, strictement croissante telle que} \,\, \lim_{b^-} f = +\infty_{classique}\}}</math>, <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b}) = \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, \not \exists g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, \not \exists h \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}, \,\, f = g + h \}}</math> [''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)''], <math>\displaystyle{\mathcal{F}_4(R_{a,b}) = \bigg\{ \begin{matrix} \mathcal{F}_2(R_{a,b}) & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\}, b \in \R, a < b \\ \{f \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}) \,\, | \,\, f \underset{b^-}{\sim} g, \,\, g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b}), \,\, g \,\, : \,\, R_{a,b} \,\, \rightarrow \,\, \R \,\, : \,\, x \,\, \mapsto a_g x + b_g , \,\, a_g \in \R_+^*, \,\, b_g \in \R\} & \text{si} \,\, a \in \R \bigsqcup \{-\sup(\R)\},b = \sup(\R)\end{matrix}}</math> ''(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble <math>\emptyset</math>, de l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_3(R_{a,b})}</math>, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)'' "(Mais prendre l'ensemble <math>\displaystyle{\mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math> est insuffisant, car si on prend 2 fonctions <math>\displaystyle{f,g \in \mathcal{F}_2(R_{a,b})}</math>, on peut avoir <math>f-g \in \mathcal{F}_1(R_{a,b}), \,\, \mbox{oscillante}</math>.)" (rajout du 12-07-2023); *<math>+\infty_{\lim,f,b^-}</math> ou bien <math>+\infty_f</math>, s'il n' y a aucune confusion possible : <math>\forall f \in \mathcal{F}(R_{a,b}), \,\,+\infty_f = +\infty_{\lim,f,b^-} \equiv {cl}_{\underset{b^-}{\sim}}(f) = \{g \in \mathcal{F}(R_{a,b}) \,\, |\,\, g \,\, \underset{b^-}{\sim} \,\, f\} </math>, où <math>\underset{b^-}{\sim}</math> est la relation d'équivalence définie en B); *<math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})} = \{+\infty_f \,\, | \,\, f\in\mathcal{F}(R_{a,b})\}</math>.}} {{Théorème|titre=[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169 Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]|contenu= #Soit <math>f:\left[a,b\right]\to\R</math> une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe <math>g,h:\left[a,b\right]\to\R</math> telles que : #:<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est nulle en <math>a</math> et <math>b</math> et strictement positive ailleurs. #Même question en remplaçant « positive » par « négative ». #Si de plus <math>f</math> est continue, montrer que <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples <math>(g,h)</math>. #Soit <math>f:\R\to\R</math> une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe <math>g,h:\R\to\R</math> telles que : #::<math>f=g+h,\quad g</math> est strictement croissante, et <math>h</math> est « oscillante au voisinage de <math>+\infty</math> » (en un sens que vous devrez préciser), #:et que si de plus <math>f</math> est continue, <math>g</math> et <math>h</math> peuvent être choisies de plus continues. {{Solution|contenu=}} '''Remarque sur le comportement d'Anne Bauval :''' Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3. }} '''''B)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définition des relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" sur <math>\mathcal{F}(R_{a,b})</math> et des relations d'égalité "<math>=</math>" et d'ordre <math>\leq</math> sur <math>+\infty_{\mathcal{F}(R_{a,b})}</math> :'' Soient <math>f,g \in \mathcal{F}(R_{a,b})</math>. Mes relations d'équivalence "<math>\underset{b^-}{\sim}</math>" et d'égalité "<math>=</math>" sont définies par : :<math>\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)=0}</math> :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{\sim} = \underset{+\infty_{classique}}{\sim}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math> Mes relations d'ordre "<math>\underset{b^-}{\leq}</math>" et "<math>\leq</math>" sont celles dont les ordres stricts sont définis par : :<math>\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow \underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g)<0}</math>, :et si <math>b = \sup(\R), \,\, \underset{b^-}{<} = \underset{+\infty_{classique}}{<}</math> et <math>\underset{b^-}{\text{lim}_{classique}}(f-g) = \underset{+\infty_{classique}}{\text{lim}_{classique}}(f-g)</math>, et la seconde relation d'ordre est totale.}} '''''C)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini)'' au voisinage de <math>+\infty</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>R_{a,b}\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant : :<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>, où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>. ''Remarque :'' Par exemple si <math>f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{\begin{matrix} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{matrix}</math>, <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_-</math>, et <math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>\R_+^*</math>, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale. Mais le problème est que <math>\displaystyle{\forall x \in \R, \,\, f(x) = (3x + 5) \,\, \mathbb{I}_{\R_-}(x) + \frac{e^{-x}}{6x+2} \,\, \mathbb{I}_{\R_+^*}(x)}</math>, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique. Par ailleurs, il existe des fonctions <math>g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R</math>, qui, à part, l'expression que l'on note <math>\forall x \in \R, \,\, g(x)</math>, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles. Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions <math>f</math> dont l'expression analytique en fonction de <math>x</math> est "identique", pour tout point <math>x</math> de leur domaine de définition <math>D_f</math> ou par exemple en chaque point <math>x</math> de chacune de sous-parties disjointes <math>A,B</math> de ce dernier. Par exemple : Soient <math>\displaystyle{A,B \in \mathcal{P}(D_f), \,\, A \bigcap B = \emptyset}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = 2x [= expression(f,x)]</math> et <math>\forall x \in B, \,\, f(x) = -3x + 1 [= expression(f,x)]</math>, ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = x^2 + 1 \,\, [= expression(f,x)]</math> ou Soit <math>\displaystyle{A \in \mathcal{P}(D_f)}</math>. <math>\forall x \in A, \,\, f(x) = e^x \,\, [= expression(f,x)]</math>. ''(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions <math>f \,\,: \,\,D_f \,\, \rightarrow \,\, \R</math>, le fait que "<math>f</math> a une expression élémentaire sur <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>" ou plutôt que "<math>f</math> a une expression analytique en fonction de <math>x</math> "identique", en chaque point <math>x</math> de <math>A \in \mathcal{P}(D_f)</math>", où <math>D_f \in \mathcal{P}(\R)</math>, je supprimerai la condition qui lui est relative.)''}} '''''D) Partie 1)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+\infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. ''On a(axiome)(sous réserve):'' <math>\forall (a,b) \in \{-\sup(\R)\} \times \mathbb{R}</math>, <math>R_{a,b} = \{x \in \R, \,\, x < b\}</math>, <math>\displaystyle{\forall f_0 \in {\cal F}(R_{a,b}), \,\, +\infty_{f_0} = \sup_{f \in {\cal F}(\mathbb{R})} +\infty_f = \sup(+\infty'') = \sup(+\infty)}</math> ''Remarque :'' On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigsqcup \{\inf_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigsqcup \{-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R}), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}} (\mathbb{R})\}}</math> où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math>. ''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) :'' On pose : <math>\displaystyle{\R = \Big[\R, {(]-r,r[)}_{r \in \N}\Big]}</math>.}} '''''D) Partie 2)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Définitions :'' ''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'' <math>\mathbb{R}' =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[ \setminus \{0\}</math> <math>\overline{\mathbb{R}'} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_+ =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>{\mathbb{R}'}_+^* =_{d \acute{e}f} ]0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_+} =_{d \acute{e}f} [0, +\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}}]</math> <math>{\mathbb{R}'}_- =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>{\mathbb{R}'}_-^* =_{d \acute{e}f} ]-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0[</math> <math>\overline{{\mathbb{R}'}_-} =_{d \acute{e}f} [-\infty_ {{id}_{\mathbb{R}}},0]</math> <math>\mathbb{R}'' =_{d \acute{e}f} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigsqcup \mathbb{R} \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion disjointe, <math>\mathbb{R}'' =_{prop} -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe, <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall a'',b'' \in {\R''} \setminus \overline{\R}, \,\, a'' < 0 < b'',}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') < a'' < -\sup(\R) < a \leq b < \sup(\R) < b'' < \sup(\R'') \Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \overline{\R} \subsetneq ]a'',b''[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''},}</math> <math>\displaystyle{\Big(-\sup(\R'') = - \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < -\infty_f < a \leq b < +\infty_g < \sup(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = \sup(\R'')\Big)}</math> et <math>\displaystyle{]a,b[ \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq ]-\infty_f,+\infty_g[ \subsetneq \R'' \subsetneq \overline{\R''}}</math>. ''Dans cette conception :'' L'ensemble <math>\R</math> n'est pas considéré, ici, ''dans sa version classique'' : <math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\R</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. L'ensemble <math>\overline{\R}</math> n'est pas considéré, ici, '''dans sa version classique''' : <math>\overline{\R}= [-\sup(\R), \sup(\R)]= [-\infty_\R,+\infty_\R] = [-\infty_{classique}, +\infty_{classique}]</math>, où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, mais ''dans sa version non classique'' : <math>\displaystyle{\overline{\R} = \R \bigsqcup \{- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)\}}</math>, où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in + \infty</math> et où "<math>+ \infty</math>" est considéré comme un ensemble. On considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+ \infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\N) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) \in +\infty \,\, \text{et}\,\,\not \in \R_+ \bigsqcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math> et par analogie <math>\displaystyle{{vol}^1({\R''}_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\N'') = {card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*) \in +\infty'' \subsetneq +\infty}</math>, où, ici, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N''}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N''}^*</math>.}} '''''D) Partie 3) Remarque importante :''''' {{Théorème|titre=|contenu= J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "<math>\R= ]-\sup(\R), \sup(\R)[= ]-\infty_\R,+\infty_\R[ = ]-\infty_{classique}, +\infty_{classique}[</math>", où "<math>-\sup(\R)=-\infty_\R=-\infty_{classique}, \,\, \sup(\R)=+\infty_\R=+ \infty_{classique}</math>" sont considérés comme des points, considérer que "<math>\R = ]- \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R), \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)[</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et où <math>+\infty</math> est considéré comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, |\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>. Mais cette notation est problématique, car <math>{vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\exists A \in \mathcal{P}(\R_+)</math> telle que <math>{vol}^1(A) \in +\infty</math> et <math>{vol}^1(A) < {vol}^1(\R_+) = \sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>. D'où la notation simple <math>\Big(</math>sans "<math>-\infty_{classique}, +\infty_{classique}</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R)</math>", ni "<math>-\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A),\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A)</math>" où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(A) \in +\infty</math><math>\Big)</math> : "<math>\R</math>" ("<math>\R_+</math>", "<math>\R_-</math>", "<math>\R^*</math>", etc <math>\cdots</math>), pour désigner <math>\R</math> (<math>\R_+</math>, <math>\R_-</math>, <math>\R^*</math>, etc <math>\cdots</math>).}} '''''D) Partie 4)''''' {{Théorème|titre=|contenu=''Remarque :'' Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème : En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>. Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble. En effet, dans ce cas, on a : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\N)} +\infty_f \neq \inf_{f \in {\cal F}(\N)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\N)})}</math> ''Remarque :'' <math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, ]a,b[ \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq ]c,d[}</math>}} }} {{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}} {{Théorème|titre='''Remarques sur <math>+\infty</math>, <math>+\infty''</math>, <math>+\infty_f</math> avec <math>f \in {\cal F}(\R)</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\R)}</math>, <math>\R'</math>, <math>\R''</math> :'''|contenu= '''''Remarque :''''' Dans le cas borné, à l'aide des mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les F-quantités d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion. Cf. "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5) {{supra|Liens}} Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de LEBESGUE, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{classique}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> (ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]''' '''''Remarque :''''' Chaque élément d'un ensemble est un indivisible : Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable : La F-quantité d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)] ''(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les F-quantités de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)'' Enfin, on pourra construire et étendre, la F-quantité et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> et qui fait appel aux mesures de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF de dimension <math>i \,\, (0 \leq i \leq n)</math>, au cas de parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en tenant compte du "plafonnement sphérique".}} {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math> <math>{PV}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, compacte, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ===='''Construction et définition'''==== {{Théorème|titre='''Définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)</math> (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et en particulier dans le cas des parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>), pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. On pose <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. L'application F-quantité relative au repère orthonormé <math>\mathcal{R}</math> de <math>{\R''}^{n}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, la restriction à l'ensemble <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math>, et la restriction à l'ensemble <math>{PV}(\R^n)</math> de l'application <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> sont les applications : <math>{card}_{Q,{\cal R}}: \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F'', +, \times, \leq)</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F', +, \times, \leq)</math> <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, (F, +, \times, \leq)</math> où <math>(F'', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F', +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, où <math>(F, +, \times, \leq)</math> est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec <math>F = \R_n[{card}_{Q,\mathcal{R}}(I)]</math>, où <math>I</math> est un intervalle borné de <math>\R</math>, par exemple <math>I = [0;1[</math>, et où <math>F \subset F' \subset F''</math>, avec <math>F'= ?, \,\, F'' = ?</math>, [On peut cependant dire au moins à ce stade que : <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, <math>{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} \,\, : \,\, \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty</math> et <math>\displaystyle{{{card}_{Q,{\cal R}}}_{|{PV}({\R''}^n)} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, où, ''de manière non classique'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.], ''qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur la F-quantité) :'' 0) <math>\forall \mathcal{R}, \mathcal{R}'</math> repères orthonormés de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math> On pose donc : <math>\forall \mathcal{R}</math> repère orthonormé de <math>{\R''}^n, \,\, {{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}</math> et donc <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|PV({\R''}^n)} = \widetilde{\widetilde{{card}_Q}}_{|{PV}({\R''}^n)} = \widetilde{{card}_Q}}</math>. 1) [a) <math>\forall A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>card_{Q,\cal R}(A)\geq 0</math>] b) <math> card_{Q,{\cal R}}(\emptyset) = 0</math> c) <math> \forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math> 2) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcup B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) + {card}_{Q,{\cal R}}(B) - {card}_{Q,{\cal R}}(A \bigcap B)}</math> 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \mathbb{N}} \subset {\mathbb{R''}}, \,\, convergente \,\, dans \,\, \R'', \,\, \lim_{m \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}([0,x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}([0, \lim_{m \rightarrow +\infty} x_m])}</math> 4) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{n-k})}</math>, <math>\displaystyle{\forall B \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^{k})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(A \times B) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}(B)}</math> ''@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math>.@'' 5) A) a) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}} \Big({is}(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, pour toutes les isométries de <math>\R''^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(I)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>I \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>I \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall M \in {\R''}^n}</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B). B) a) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({is} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, pour toutes les isométries de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>is</math> En particulier : a1) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\displaystyle{\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\Big(t_x(A)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)}</math> où <math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, t_x \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, A + x</math>, est la translation de vecteur <math>x</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>. a2) <math>\forall A \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>A \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>, <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1\\ {\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(M, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall M \in {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi \} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(M, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(M, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>M</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>, dans l'espace <math>{\R''}^n</math>.}} <small> '''Remarques sur la définition :''' <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est définie et donnée sur <math>{PV}({\R''}^n)</math>, par une formule exprimant <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> en fonction de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n^*}</math> (ou de <math>{({vol}^i)}_{i \in \N_n}</math>, si on considère <math>{vol}^0</math>, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de <math>\R^n</math>) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel COSTE, dans ''"La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5)'' {{supra|Liens}} ou dans les propositions suivantes : ''Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE {{infra|Proposition_(Proposition_1.4_de_GF,_dans_les_PDF_de_Michel_COSTE)}}'' et ''Proposition {{infra|Proposition}}'' ''Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}</math>.'' ''Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné <math>(F, +, \times, \leq)</math>, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, mais j'aurais pu l'appeler <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big(\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> et de <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math> est l'ensemble <math>\displaystyle{\N \bigsqcup +\infty}</math>, où <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.'' ''Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALI-FORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble <math>+\infty</math> tel que je l'ai défini naïvement. Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble d'arrivée de l'application <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>, <math>\N \bigsqcup +\infty</math>, je vais devoir me contenter de définir un ensemble non absolu de nombres infinis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.'' ''Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":'' Dans le cas des parties de <math>{PV}(\R^n)</math>, Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on peut construire <math>{card}_{Q,\cal R}</math>, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur <math>\mathcal{P}({\R}^n)</math>, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" <math>''[A,{(A_i)}_{i \in I}]''</math> où <math>A \in {PV2}(\R^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^n)</math>, ou où <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>. ''Remarque importante :'' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>\R^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> {{Théorème|titre='''Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math> :'''|contenu= Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition de la F-quantité, en particulier que : <math>\forall I \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {card}_P(I) \leq \aleph_0, \,\, \forall (A_i)_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math>, <math>\forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i)</math> La <math>\sigma</math>-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que <math>{PV}({\R''}^n)</math>, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de <math>{PV}({\R''}^n)</math> tendant vers un plafonnement d'une partie de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de F-quantité, dans le cas des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de <math>{\R''}^n</math>, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. (Cf. définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, plus loin dans la suite.) En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que : a) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, B \in \mathcal{P}(A)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A\setminus B) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) - {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> b) <math>\forall A,B \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \in \mathcal{P}(B), \,\, A \neq B</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) < {card}_{Q,{\cal R}}(B)}</math> Il découle, en particulier, de 4), que : Si <math>I,{(I_i)}_{i \in \mathbb{N}_n}</math> sont des parties de <math>{PV}(\mathbb{R}'')</math> (résultats généralisables aux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, moyennant un prolongement du domaine de définition de <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}</math>), alors : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}I_i) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I_i)}</math> et donc en particulier <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(I^n) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n} I) = \prod_{i \in {\mathbb{N}}^*_n}{card}_{Q,{\cal R}_1}(I) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(I)\Big)}^n = {card}_{Q,{\cal R}_1}^n(I)}</math> La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties <math>{PV}({\R''}^n)</math>, qui ne néglige aucun point de <math>{\R''}^n</math> et qui est uniforme (<math>\forall x \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x\}) = 1</math>). '''''Proposition :''''' Soit <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math>. Si <math>\forall x \in \widetilde E,\,\, A_x \in {PV}({\R''}^n)</math> et <math>\forall x,y \in \widetilde E, \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset</math> et <math>A = \bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x</math> alors <math>{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigsqcup_{x \in \widetilde{E}} A_x\Big) = \int_{\widetilde{E}} {card}_{Q,{\cal R}}(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(x)</math> ''(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de <math>{PV2}({\R''}^n)</math> et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer <math>\widetilde{E} \in {PV}({\R''}^n)</math> ou <math>\widetilde{E} \in \mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math>)''}} ===='''Existence et résultats sur les intervalles <math>I</math>, bornés, de <math>\mathbb{R}''</math>, et, en particulier, sur les parties de <math>{PV}(\R'')</math>'''==== ''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'' {{Théorème|titre='''Notations :'''|contenu= Soit <math>N \in \N^*</math>. Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>. <math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>). <math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans <math>|</math> par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>). <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, dans <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal B}({\R''}^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{i,n}</math> : <math>{vol}^i</math>, et la suite le justifiera. <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de LEBESGUE ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math>, c'est-à-dire la mesure de comptage sur <math>{\R''}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}({\R''}^n)|{card}_P(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>. On note aussi parfois <math>{vol}^{0,n}</math> : <math>{vol}^0</math>, et la suite le justifiera. Soit <math>i \in \N_N</math>. Soit <math>n \in \N_N^*, \,\, n \geq i</math>. <math>\widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>i</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math>, <math>{vol}^{i,n}</math>, sur <math>\displaystyle{\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\R''}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math> et telle que <math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \exists A_{i,n} \in {\cal A}_{i,n}, \,\, A_i = \bigsqcup_{n \in \N_N^*, n \geq i} A_{i,n}, \,\, \widetilde{{vol}^i}(A_i) = \widetilde{{vol}^i}(\bigsqcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} A_{i,n}) = \sum_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \widetilde{{vol}^i}(A_{i,n})}</math>.}} {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que : 1) <math>\displaystyle{\forall x_0 \in {\R''}^n, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\}) = 1}</math> <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(J) \Leftrightarrow {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) \,\, et \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})}</math> En effet <math>\displaystyle{\forall I,J \,\, intervalle \,\, born\acute{e} \,\, de \,\,{\R''} \,\,: \,\,{vol}^1(I) = {vol}^1(J),\,\,\exists a_{I,J} \in \R, \,\, \overline{J} = \overline{I} + a_{I,J} \,\, et \,\,\stackrel{\circ}{J} = \stackrel{\circ}{I} + a_{I,J}}</math> 2) <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) \setminus \{i_0\}\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big((\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) \setminus \{j_0\}\Big)}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I} \bigsqcup \partial I) -{card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J} \bigsqcup \partial J) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial I)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\partial J)- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{i \in I} i, \sup_{i \in I} i}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{\displaystyle{\inf_{j \in J} j, \sup_{j \in J} j}\})- {card}_{Q,{\cal R}}(\{j_0\})}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 2 - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 2 - 1}}</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1}}</math>}} {{Théorème|titre='''Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007]) :'''|contenu= Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles bornés de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>}} '''''Démonstration :''''' Si on suppose que <math>I</math> et <math>J</math> sont bornés dans <math>\R''</math>, sans s'assimiler à des "demi-droites" de <math>\R</math> ou à <math>\R</math>, alors : On doit montrer dans un premier temps que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[}</math> et <math>\displaystyle{K_{0,\overline{I}}=[0,{vol}^1(\overline{I})]}</math>, <math>\displaystyle{K_{0,\overline{J}}=[0,{vol}^1(\overline{J})]}</math>. Or <math>\displaystyle{{vol}^1(I) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{vol}(J) = {vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}})}</math> or <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{I}}</math>, <math>\stackrel{\circ}{K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}= K_{0,\stackrel{\circ}{J}}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J}) = {card}_{Q,{\cal R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}</math> donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})+1}=\frac{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{I}})}{{vol}^1(K_{0,\stackrel{\circ}{J}})}}</math> Or il existe <math>s \in {\R''}_+^*</math> tel que : <math>\displaystyle{K_{0,\stackrel{\circ}{I}}=]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{I})[=]0,s\,\,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[=s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}}}</math>. On pose : <math>p \underset{d\acute{e}f}{=} {vol}^1(\stackrel{\circ}{J}) \in {\R''}_+^*</math>. On a : <math>K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = ]0,p[</math> et <math>K_{0,\stackrel{\circ}{I}} = s \,\, K_{0,\stackrel{\circ}{J}} = s \,\, ]0,{vol}^1(\stackrel{\circ}{J})[ = s \,\, ]0,p[ = ]0,sp[</math>. Donc on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,sp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,sp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> donc si <math>s = k \in {\N''}^*</math>, on doit montrer que : <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> Si <math>s = k \in {\N''}^*</math> : 2 voies possibles : •(1) <math>\displaystyle{[0,kp[=\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}[(i-1)p,ip[}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math> or <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)}</math> car <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{vol}^1(](i-1)p,ip[) = {vol}^1(]0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}(](i-1)p,ip[ \bigsqcup\{(i-1)p\}) = {card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})}</math> donc <math>\displaystyle{\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc comme <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([(i-1)p,ip[)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=\sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[ \setminus \{0\}) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,kp[) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) = k\,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) - 1}</math> <math>\displaystyle{= k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[ \bigsqcup \{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) - 1 = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1}</math> •(2) <math>\displaystyle{]0,kp[=(\bigsqcup_{i \in {\N''}_k^*}](i-1)p,ip[) \bigsqcup (\bigsqcup_{i \in {\N''}_{k-1}^*}\{ip\})}</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\})}</math> or <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(](i-1)p,ip[) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[)</math> car <math>\forall i \in {\N''}_k^*,\,\,vol^1(](i-1)p,ip[) = vol^1(]0,p[)</math> or <math>\forall i \in {\N''}_{k-1}^*,\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{ip\}) = {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})</math> donc <math>\displaystyle{{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = \sum_{i \in {\N''}_k^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + \sum_{i \in {\N''}_{k-1}^*} {card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\})}</math> donc <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,kp[) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1)\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(\{p\}) = k\,\,{card}_{Q, \mathcal{R}}(]0,p[) + (k-1) = k \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[) + 1\Big) - 1</math> •[Point où se rejoignent (1) et (2)] donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=k}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math> ''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in {\Q''}_+^*</math> et <math>s \in {\R''}_+^*</math>.'' Donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math> or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}</math>. ===='''Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''==== Similaire et analogue à '''"Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur <math>{PV}({\R}^N)</math>, pour <math>N \in \N^*</math>"''', en remplaçant <math>\R</math> par <math>\R''</math>. ==='''F-quantité définie sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>''' ''[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Continuit%C3%A9_et_variations/Exercices/Fonctions_continues_strictement_monotones&oldid=844169%7C NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]''=== ==== '''Préliminaires''' ==== {{Théorème|titre='''Nouvelle notion de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, différente de la notion classique de limite de famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, et notion de plafonnement <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné. Soit <math>A</math> une partie de <math>{\R''}^n</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> une famille de parties de <math>{\R''}^n</math> telle que <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A}</math>. Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math> dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, notée <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est une partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\underset{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = A \,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>, alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, dont la limite est le plafonnement de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math> et de la famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, sont définies et données par : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\,\, \underset{d \acute{e} f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(\bigcup_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, pour \,\, \subset, \,\, ou, \,\, \bigcap_{i \in I} A_i = A \,\, si \,\, {(A_i)}_{i \in I} \,\, \searrow \,\, pour \,\, \subset \Big)}</math>. Donc, si <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}({\R''}^{n})\times\mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, avec <math>n\in\N^{*}</math>, on a : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow\,\,\lim_{i\in I,\,\,i\rightarrow\sup(I)}A_{i}=\Big[A,{(A_{i})}_{i\in I}\Big]}</math>. '''NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.'''}} {{Théorème|titre='''Définitions de <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A})</math>, <math>{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>, <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\,A \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\mathcal{P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n) \underset{d\acute{e}f}{=} \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e \,\, dans \,\, {\R''}^n\}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{B}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{B}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} {\mathcal{P}lafonnements}(I,\mathcal{A}, \mathcal{A}) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{A} \times \mathcal{F}(I,\mathcal{A}) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. On a donc <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n),\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) = \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}({\R''}^n) \times \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\, \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big\}}</math>. }} <small> '''''Motivation :''''' Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant la F-quantité : "Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>" et qui servira dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Définition de <math>{PV2}({\R''}^n)</math>, de <math>{P3}({\R''}^n)</math> et de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. <math>{PV2}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{{A} \in {\cal P}({\R''}^n) \,\, \Big| \,\, {A} \,\, sous\text{-}vari\acute{e}t\acute{e} \,\, ferm\acute{e}e, \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, convexe, \,\, (connexe) \,\, de \,\, {\R''}^n, \,\, de \,\, classe \,\,(\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux), \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P3}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math> et <math>{P4}({\R''}^n)</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{=}\Big\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\,|\,\, A \,\, convexe \,\, (connexe), \,\, non \,\, born\acute{e}e, \,\, de \,\, classe \,\, (\mathcal{C}^0) \,\, et \,\, (\mathcal{C}^1 \,\, par \,\, morceaux) \,\, ou \,\, sans \,\, bord\Big\}</math>}} ==== '''Construction''' ==== {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)\bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}} \,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\, \longrightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math>, <math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} {{Théorème|titre='''Éléments de définition de la F-quantité sur <math>{PV}({\R''}^n)\bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>. <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, {PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}} \,\, : \,\, {PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big) \,\, \rightarrow \,\, \N \bigsqcup +\infty}</math> et telle que <math>\displaystyle{{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{\displaystyle{\Big|{PV}({\R''}^n)}} = \widetilde{{card}_Q}}</math>, ''et doit vérifier les conditions suivantes "Règles et opérations générales sur la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n)</math> et <math>{PV}({\R''}^n)</math>",'' où, ''de manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" comme un ensemble tel que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' On peut peut-être remplacer "<math>\displaystyle{{PV}({\R''}^n) \bigsqcup {PV2}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^n),{PV}({\R''}^n)\Big)}</math>" par "<math>\displaystyle{{P3}({\R''}^n) \bigsqcup {P4}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{P4}({\R''}^n),{P3}({\R''}^n)\Big)}</math>". </small> {{Théorème|titre='''Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant la F-quantité, impliquant un plafonnement "<math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math>" constitué d'une partie <math>A\in {PV2}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> voire peut-être constitué d'une partie <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> et d'une famille de parties <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {P3}({\R''}^n)</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A \in {P4}({\R''}^n)</math> (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : <math>A</math> est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> et si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> [resp. si <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de réunions finies disjointes de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>] <small> [ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> (resp. des réunions finies disjointes de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>)], </small> telles que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> : Alors : <math>card_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)</math>. Ici, <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>.}} <small> '''''Remarque :''''' Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> qui sont des suites de parties finies, bornées, de <math>\R''</math> ou qui sont des suites d'intervalles bornés de <math>\R''</math>. '''''Remarque :''''' Questions : Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>P4({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3(\R^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{P3}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>P3({\R''}^n)</math> ? Pour toute partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette partie de <math>{P4}({\R''}^n)</math> ? Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math>, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de <math>{PV}({\R''}^n)</math> qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de <math>{P3}({\R''}^n)</math> ? '''''Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :''''' Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques : Soit <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math>. Soit <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>. Soit <math>{(B_i)}_{i \in I}</math>, une famille de parties de <math>{PV}({\R''}^n)</math>, telle que <math>{(B_i)}_{i \in I} \neq {(A_i)}_{i \in I}</math> et telle que <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>, c'est-à-dire telle que : <math>\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]</math>. Si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, ou bien, si l'on suppose, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, alors, on a : <math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)= {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}B_i) = {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(B_i)_{i\in I}]\Big)</math>, et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction, alors qu'avec la notion et la notation classiques : On aurait : <math>\displaystyle{\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} A_i = \underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}} B_i = A}</math>, et en supposant, de plus, que : <math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i)}</math>, on aurait : <math>{card}_{Q,\cal R}(A)= {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i) = \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i) \neq \lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(B_i) = {card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}B_i) = {card}_{Q,\cal R}(A)</math>, c'est-à-dire une contradiction. '''@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\underset{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}{\text{lim}_{classique}}A_i)}</math>", ou bien à l'expression "<math>\displaystyle{{card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)}</math>", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, soit à la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.''' '''Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.''' '''On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de <math>{\R''}^n</math>, la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, comme étant la F-quantité, relative à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de <math>{\R''}^n</math>.''' '''Le problème est que l'on définit la F-quantité, relative à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de <math>{\R''}^n</math>, "<math>{card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big) = {card}_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)</math>", grâce à l'expression "<math>\displaystyle{\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} {card}_{Q,\cal R}(A_i)}</math>" qui fait appel aux F-quantités, relatives à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>.@''' Justement, on a choisi <math>A \in {PV2}({\R''}^n)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}({\R''}^n)</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>{PV2}({\R''}^n), {PV}({\R''}^n) \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{{PV2}({\R''}^n) \bigcap {PV}({\R''}^n) = \emptyset}</math> et <math>\overline{{PV}({\R''}^n)}^{{PV2}({\R''}^n)} = {PV2}({\R''}^n)</math>. Plus généralement, on peut choisir <math>A \in \mathcal{A}</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset \mathcal{B}</math> tels que <math>[A,(A_i)_{i\in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathcal{P}^2({\R''}^n)</math> et <math>\displaystyle{\mathcal{A} \bigcap \mathcal{B} = \emptyset}</math> et <math>\overline{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} = \mathcal{A}</math>. Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, <math>[A,(A_i)_{i\in I}]</math>, alors on peut définir la F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{\R''}^n</math>, de la manière suivante : <math>{card}_{Q,\cal R}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q,\cal R}\Big([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)</math> '''''Conjecture qui servira :''''' dans "Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale". </small> {{Théorème|titre='''Propriétés générales de la F-quantité sur <math>\mathcal{P}({\R''}^n) \bigsqcup {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, avec <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>\cal R</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>, d'origine <math>O</math>. 1) [a) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>card_{Q,\cal R}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\geq 0</math>.] b) <math>\forall [\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \{\emptyset\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math> {card}_{Q,{\cal R}}([\emptyset,{(A_i)}_{i \in I}]) = 0</math>. c) <math>\forall x \in \R^n, \,\, \forall [\{x\},{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\Big\{\{x\}\Big\},\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}([\{x\},{(A_i)}_{i \in I}]) = 1</math>. 2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big],\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}(\R^n)\Big)}</math> et <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcup B,{\Big(A_i \bigcup B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big] \underset{d\acute{e}f}{=} \Big[A \bigcap B,{\Big(A_i \bigcap B_i\Big)}_{i \in I}\Big]}</math> et donc on a : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcup \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) + {card}_{Q,{\cal R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}]) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \bigcap \Big[B,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\Big)}</math> et on pose : <math>\forall [A,{(A)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)</math>, <math>A\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcup\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcup B,{\Big(A\bigcup B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math> et <math>A\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A,{(A)}_{i\in I}\Big]\bigcap\Big[B,{(B_{i})}_{i\in I}\Big]\underset{d\acute{e}f}{=}\Big[A\bigcap B,{\Big(A\bigcap B_{i}\Big)}_{i\in I}\Big]</math>. 3) <math>\displaystyle{\forall {(x_m)}_{m \in \N} \subset {\R''}, \,\, convergente \,\, dans \,\, {\R''}, \,\, \lim_{m \rightarrow \sup(\N)} {card}_{Q,{\cal R}}([0, x_m]) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{m \rightarrow \sup(\N)}[0, x_m])}</math>. 4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) Soient <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé de <math>{\R''}^{i}</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>. <math>\forall k \in \mathbb{N}_{n-1},</math> <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{[A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)}</math> et <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math> et on pose : <math>\displaystyle{\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}] \underset{d\acute{e}f}{=} [A \times B,{(A_i \times B_i)}_{i \in I}]</math> et donc on a : <math>\displaystyle{\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n-k}),{PV}({\R''}^{n-k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{k}),{PV}({\R''}^{k})\Big)}</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_n}([A,{(A_i)}_{i \in I}] \times [B,{(B_i)}_{i \in I}]) = {card}_{Q,{\cal R}_{n-k}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal R}_k}([B,{(B_i)}_{i \in I}])}</math>. 5) <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle{\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}] \subset [B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, (A \subset B \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \subset B_i)}</math> ou encore : <math>\forall [A,{(A_i)}_{i \in I}],[B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\displaystyle {\bigg([A,{(A_i)}_{i \in I}] \in \mathcal{P}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \bigg(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, {(A_i)}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \mathcal{P}(B_i)\bigg) \,\, \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow} \,\, \Big(A \in \mathcal{P}(B) \,\, et \,\, \forall i \in I, \,\, A_i \in \mathcal{P}(B_i)\Big)}</math>. 6) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer) a) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B_{i})}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}</math>. b) <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>. Alors : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle {{card}_{Q,\mathcal{R}}([A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}])={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])}</math> On pose : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B\underset{d\acute{e}f}{=}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}]\underset{d\acute{e}f}{=}[A\setminus B,{(A_{i}\setminus B)]}_{i\in I}]</math>. On a donc : <math>\forall[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV2}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big)</math>, <math>\forall[B,{(B)}_{i\in I}]\in{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,{PV}({\R''}^{n}),{PV}({\R''}^{n})\Big),\,\,[B,{(B)}_{i\in I}]\in\mathcal{P}\Big([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\Big)</math>, <math>\displaystyle{{card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus B)}</math> <math>\displaystyle{={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\setminus[B,{(B)}_{i\in I}])}</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B)}_{i\in I}])</math> <math>={card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>.}} {{Théorème|titre='''Lien entre la F-quantité d'une partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à un repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math> et de la F-quantité de certains des plafonnements de cette partie de <math>{\R''}^n</math>, relative à ce repère orthonormé de <math>{\R''}^n</math>'''|contenu= Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soit <math>A \in \mathcal{P}({\R''}^n)</math>. Alors <math>\exists {(A_i)}_{i \in I} \in \Big\{{(A_i)}_{i \in I} \in \mathcal{F}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\Big\}</math>, <math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(A) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)</math>. Dans ce cas <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal de la partie <math>A</math>. Si de plus <math>{(A_i)}_{i \in I} = {(A)}_{i \in I}</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}] = [A,{(A)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. De même, si <math>I</math> est fini ou admet un maximum et si <math>A_{\sup(I)} = A_{\max(I)} = A</math>, alors <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}]</math> est appelé un plafonnement normal trivial de la partie <math>A</math>. On pose : <math>\displaystyle{{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \underset{d\acute{e}f}{=} \Big\{[A,{(A_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I,\mathcal{P}({\R''}^n)\Big) \,\,\Big|\,\,{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}]) \Big\}}</math>.}} '''Propositions concernant certains intervalles <math>I</math>, non bornés, de <math>\mathbb{R} ''</math>, et en particulier, certaines parties de <math>{PV2}(\R'')</math>, basées ou en partie basées sur la conjecture principale :''' {{Théorème|titre='''''Proposition (plafonnements normaux de <math>{\R'}_+</math> et de <math>{\R''}_+</math>) basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>".'' Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. En posant : <math>\displaystyle{R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\R'',{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_{2,+}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>. <math>R_{2,+}</math> est appelé le plafonnement normal de <math>{\R'}_+</math> (respectivement de <math>{\R''}_+</math>).}} '''''Démonstration :''''' Démonstration analogue à celle de '''"Proposition (plafonnement normal de <math>\R_+</math>)"'''. {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. Soit <math>\mathcal{R}'</math> un repère orthonormé de <math>\R'</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R}''</math> un repère orthonormé de <math>\R''</math>, d'origine <math>O</math>. Soit <math>\mathcal{R} = \mathcal{R}' \,\, \text{ou} \,\, \mathcal{R}''</math>. En posant : <math>R_2 = \Big[{\R'},{(]-r,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''},{(]-r,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,-} = \Big[{\R'}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[{\R''}_-,{(]-r,0])}_{r \in \N''}\Big]</math> <math>R_{2,+}^* = R_{2,+} \setminus \{0\}</math> <math>R_{2,-}^* = R_{2,-} \setminus \{0\}</math> <math>\displaystyle{N_1 = \Big[\N', {(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\N'', {(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{N_1^* = N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{-N_1 = \Big[-\N', {(-\N' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[-\N'', {(-\N'' \bigcap [-p,0])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{-N_1^* = -N_1 \setminus \{0\}}</math> <math>\displaystyle{Z_1 = \Big[\Z', {(\Z' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N'}\Big]\,\, \text{respectivement} \,\, \Big[\Z'', {(\Z'' \bigcap [-p,p])}_{p \in \N''}\Big]}</math> <math>\displaystyle{Z_1^* = Z_1 \setminus \{0\}}</math>, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> Donc, comme <math>\displaystyle{R_2 = R_{2,-}^* \bigsqcup \{0\} \bigsqcup R_{2,+}^*}</math> et que cette réunion est disjointe, on a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> [c'est-à-dire <math>= 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1</math>] <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus \{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})\Big) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\})</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> On remarque que : <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N_1^* \bigsqcup N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*)}</math> donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1}</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,-}^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - 1</math> <math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_2) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z_1) - 1}</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_\N=+\infty_\R=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')=+\infty_{\N''}=+\infty_{\R''}={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>''). Soit <math>a,b \in {\R'}_+ \,\,(\text{resp.} \,\, {\R''}_+) \,\, : \,\, a \leq b</math>. Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}(]a,b]) + {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,b])}</math> <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_2)</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+}) - 1</math> <math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math> <math>= 2 \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1</math>}} {{Théorème|titre='''''Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale'''''|contenu= ''De manière non classique et naïve'', on considère : "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\, | \,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math>, <math>+\infty'' = \{x \,\, | \,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq + \infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>, et où <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> et <math>\sup_{non \,\, classique, \,\, \mathcal{R}''}(\R'') \in +\infty''</math>. Ici, <math>\sup(\N)=\sup(\R)=+\infty_{classique}</math> et <math>\sup(\N'')=\sup(\R'')={+\infty''}_{classique}</math>. ''On pose : <math>{R}_{2,+} = \Big[{\R'}_+,{([0,r[)}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'' (respectivement ''<math>{R}_{2,+} = \Big[{\R''}_+,{([0,r[)}_{r \in \N''}\Big]</math> et <math>N_1 = \Big[\N'',{(\N'' \bigcap [0,p])}_{p \in \N''}\Big]</math>'') Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 </math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,a[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_-</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_-</math>). On a : <math>{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 </math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup [a,0[)}</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(R_{2,+}) + {card}_{Q,{\cal R}}([a,0[)</math> <math>= {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> <math>= \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big)</math> donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \bigcup ]a,0[) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N_1^*) - a}</math> Soit <math>a \in {\R'}_+</math> (respectivement <math>a \in {\R''}_+</math>). On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a]) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus [-a,0])}</math> On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,+} \setminus [0,a[) = {card}_{Q,{\cal R}}({R}_{2,-} \setminus ]-a,0])}</math>}} ===='''Définitions de <math>diam</math> et <math>\widetilde{{diam}}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{\,\,\,\,\,\,}</math>" concernant l'objet suivant : "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Soit <math>n \in \N^*</math>. '''Définition :''' a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math> où <math>d_{{\mathbb{R}''}^n}</math> est la distance euclidienne sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math> c'est-à-dire <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math> ===='''Définition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable concernant leurs homologues <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\,\widetilde{{diam}}(A) \in \R''</math> c'est-à-dire les parties <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big(</math>'' ''Sous réserve :'' c'est-à-dire comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math>, si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> : <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>, alors <math>A \in {\cal P} ({\mathbb{R}''}), \,\,\widetilde{diam}(A) \leq \widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2 \,\, \sup(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(A) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math> ''<math>\Big)</math>''. <math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>, avec <math>\displaystyle{\widetilde{diam}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R'}_+) = \widetilde{{vol}^1}([0,+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},0) = |+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 0| = + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>, on pourra généraliser la notion de F-quantité, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>. ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\R''</math>, est la "mesure" définie par : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1} \,\, : \,\, {\cal B}(\mathbb{R}'') \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^1}(A)}</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}</math>, <math>{{vol}}^1</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'' ''Remarque :'' 1) On peut avoir : <math>\displaystyle{A \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''}</math> c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>, mais dans <math>\mathbb{R}''</math> (C'est une sous-classe des parties bornées de <math>\R ''</math>), par exemple la partie <math>[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]</math> car <math> \widetilde{{diam}}([+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]) = 1 \in \R \subset \R''</math>. 2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math> ''Définition :'' La "mesure" de LEBESGUE généralisée ou "de HAUSDORFF", de dimension <math>0</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par : <math>\widetilde{{vol}^{0,n}} \,\, : \,\, \{A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) | {card}_P(A) \leq \aleph_0\} \,\, \longrightarrow \,\, {{\overline{{\mathbb{R}''}_+}}} \,\, : \,\, A \longmapsto \widetilde{{vol}^{0,n}}(A)</math> ''est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, <math>{{vol}}^{0,n}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'' ''Si <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(A) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'' ===='''Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension <math>0</math> et de dimension <math>1</math>, pour la distance euclidienne, sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>''' (à omettre pour obtenir une version publiable)==== ''Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : "<math>\widetilde{{vol}^1}</math>" ou "<math>\widetilde{{diam}}</math>".'' ''Remarque :'' Soient <math>A,B \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> ou <math>{\cal P}(\mathbb{R})</math>. <math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math> ''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'' ''Ici, <math>\R'</math> (resp. <math>{\R'}_{+}</math>, resp. <math>\N'</math>, resp. <math>{\N'}^*</math>) est le plafonnement normal de <math>\R'</math> (resp. de <math>{\R'}_{+}</math>, resp. de <math>\N'</math>, resp. de <math>{\N'}^*</math>).'' ''Proposition :'' Soit <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math> telle que <math>{card}_P(I) \leq \aleph_0</math> <math>\displaystyle{\forall {(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \forall i,j \in I, \,\, i \neq j, \,\, A_i \bigcap A_j = \emptyset,}</math> <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \sum_{i \in I} \widetilde{{vol}^1}(A_i)}</math> ''Remarque :'' 1) Soit <math>I \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>, telle que <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> et telle que <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j</math> a) En particulier, en posant <math>I = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i-1,i[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''<math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>'' et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i-1,i[ < [j-1,j[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ = [0,n[}</math>. ''Remarque importante :'' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>.) donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N'}^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i = \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} [0,n[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ = {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in {\N}^*, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n^*} B_i}</math> avec <math>m \in {\N}^*</math> et <math>+\infty \not \in {\N}^*</math>, <math>J = {\N}^*</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([i-1,i[)= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*})= {card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in {\N'}^{*}} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in {\N'}^{*}} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\N') - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> <math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math> b) Si on pose <math>\displaystyle{I = \N'}</math> et <math>\forall i \in I, \,\, A_i = [i,i+1[</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\forall i \in I, \,\, \widetilde{{diam}}(A_i) \in \R</math> : ''Dans ma théorie à construire'', <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une partition de <math>A \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math> et <math>\forall i,j \in I, \,\, i < j, \,\, A_i = [i,i+1[ < [j,j+1[ = A_j</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\displaystyle{\forall n \in I, \,\, \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} [i,i+1[ = [0,n+1[}</math>. donc <math>\displaystyle{A = \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigsqcup_{i \in \N'} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigsqcup_{i \in {\N''}_n} A_i = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}}[0,n+1[}</math> <math>\displaystyle{= [0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[ = [0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[ (= [0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[ = [0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[)}</math> <math>\displaystyle{= [0,+\infty_{{id}_{\N}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\N}}, +\infty_{{id}_{\N}} + 1[ = [0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = {\mathbb{R}'}_+ \bigsqcup [+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= [0,1[ \bigsqcup [1,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[ = [0,1[ \bigsqcup ({\mathbb{R}'}_+ + 1)\supsetneq {\mathbb{R}'}_+}</math> [Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} A_i}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} B_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>J = \N</math>, <math>{(B_i)}_{i \in J} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>] donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}(A) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([i,i+1[) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}([0,1[)}</math> <math>\displaystyle{= \widetilde{{vol}^1}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, \widetilde{{vol}^1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}) = {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1}</math> et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) < {card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in I} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} A_i\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigsqcup_{i \in \N'} [i,i+1[\Big) = \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([i,i+1[)}</math> <math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math> Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici. 2) ''Remarque :'' Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math> On a, dans ma théorie : <math>\displaystyle{\bigsqcup_{i \in {\N'}^*} [i-1,i[ = \bigsqcup_{i \in {\N''}_n^*} [i-1,i[ \bigsqcup \cdots \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 2},+ \infty_{{id}_{\N} - 1}[ \bigsqcup [+ \infty_{{id}_{\N} - 1},+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\N}}[ = [0,+ \infty_{{id}_{\R}}[}</math> <math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math> ''Attention :'' <math>\mathbb{R}'</math> n'est pas considéré, comme <math>\mathbb{R}</math>, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de <math>\R''</math> mais contenant, strictement, <math>\R</math> : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme : <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} - 1) \setminus [-1,0[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) - 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} - 1}[}</math> et <math>\displaystyle{ -\Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)\bigcup \Big((\mathbb{R}_+^{'} + 1) \bigcup [0,1[\Big)}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1[}</math> <math>\displaystyle{= \Big]-\Big({id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big), {id}_{\mathbb{R}} (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) + 1\Big[}</math> <math>\displaystyle{= ]- (+\infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}), + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math> <math>\displaystyle{= ]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}} + 1}[}</math>. <math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers. ''Attention : Dans ma théorie :'' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>. Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math> Mais <math>\N + 1 = \N^*</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\N + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N) - 1}</math> où, ici, <math>\N</math> est le plafonnement normal de <math>\N</math>, <math>\N^*</math> est le plafonnement normal de <math>\N^*</math>, <math>{\N'}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}</math>, <math>{\N'}^*</math> est le plafonnement normal de <math>{\N'}^*</math>, <math>{\N' + 1}</math> est le plafonnement normal de <math>{\N' + 1}</math>. === '''Compléments''' === ''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'' <small>''<math>\Big(</math>Compléments :'' ''Mesures de HAUSDORFF [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de LEBESGUE (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41" (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '' https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/ Théorie de la mesure/Cf. Mesures de HAUSDORFF Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/ III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Définition 5 Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Définition alternative de la mesure de LEBESGUE/Théorème 3 Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de <math>\R^d</math>/Définition 7 Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf ''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>''</small> Soit <math>n \in \N^*</math>. ''De manière non classique'' : On considère "<math>+\infty</math>" et "<math>+\infty''</math>" comme des ensembles tels que <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> , <math>+\infty'' = \{x \,\,|\,\, \forall a'' \in \R'', \,\, x > a''\}</math> et <math>+\infty'' \subsetneq +\infty</math> car <math>\R \subsetneq \R''</math>. L'ensemble <math>\mathbb{R}</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R) \in +\infty</math>. On définit ''les "mesures" de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF,'' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans ''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'' (Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document), ce sont, en particulier, des applications telles que : <math>{vol}^0 \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, et <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {vol}^i \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}}_+} = {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup \{\sup(\R)\}</math>, que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que : <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^0} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = 0\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\, {\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, \{A \in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\,\,|\,\, {dim}(A) = i\} \bigcup \{\emptyset\} \subsetneq \mathcal{P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow\,\,{\mathbb{R}}_+ \bigsqcup +\infty}</math>, ces dernières servent à construire la "mesure" F-quantité relative à un repère orthonormé <math>{\cal R}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> dans <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, et en particulier à construire pour tout <math>A_n \,\, \mbox{plafonnement d'une partie non bornée de} \,\, \R^n \,\, \mbox{et} \,\, \widetilde{{vol}^n}\mbox{-mesurable} \,\, \mbox{(avec peut-être d'autres conditions supplémentaires à préciser)}, \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(A_n)</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i=0}^n c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}} (A_{n,i})}</math>, où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = \prod_{j \in \N_i^*} I_{n,i,j}}</math> où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, \forall j \in \N_i^*, I_{n,i,j}}</math> est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I_{n,0}</math> où <math>I_{n,0}</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Et plus particulièrement où <math>{(A_{n,i})}_{i \in \N_n}</math> est une suite de produits d'intervalles de <math>\mathbb{R}</math> telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_n^*, \,\, A_{n,i} = I^i}</math> où <math>I</math> est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de <math>\mathbb{R}</math> et <math>A_{n,0}= I^0</math> où <math>I^0</math> est un intervalle non vide de <math>\mathbb{R}</math>, réduit à un singleton, et où <math>\displaystyle{{\Big(c_{i,n,{\cal R}}(A_n)\Big)}_{i \in \N_n} \in {\left(-\infty \bigsqcup \R \bigsqcup +\infty\right)}^{n+1}}</math> dépend de <math>A_n</math>, <math>{(\widetilde{{vol}^i})}_{i \in \N_n}</math> et <math>{\cal R}</math>, où, ici, <math>+\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et <math>-\infty = \{x \,\,|\,\, \forall a \in \R, \,\, x < a\}</math> et on a : <math>\displaystyle{c_{0,n,\mathcal{R}}(A_n) = \pm card_{Q,\mathcal{R}}(N_n) \in -\infty \bigsqcup \Z \bigsqcup +\infty}</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>, partie bornée ou plafonnement, et <math>{card}_P(N_n) \leq {card}_P(\N)</math> et : <math>\displaystyle{c_{n,n,\mathcal{R}}(A_n) \in \R_+ \bigsqcup +\infty}</math>. Dans ce qui précède, on peut remplacer <math>\mathbb{R}, \,\, \N</math> et <math>\Z</math>, par <math>\mathbb{R}'', \,\, \N''</math> et <math>\Z''</math>. NB : L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>\sup(\R'') \in +\infty'' \subsetneq +\infty</math>. '''Compléments :''' ''Rappel :'' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>\mathcal{C}^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent). ''Rappel :'' Le bord d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>. ''Attention :'' La dimension d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel, mais, plutôt la dimension de HAUSDORFF d'une partie de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, [[w:Dimension de Hausdorff|Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)]] c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes, c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, connexes", c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non <math>\mathcal{C}^0</math>") (si elles existent), c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques. Selon ma définition : La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent. [[w:Variété topologique|Variété topologique (Wikipedia)]] [[w:Variété (géométrie)|Variété (géométrie) (Wikipedia)]] ''J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).'' J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages : ''Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :'' ''Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.'' D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ou non <math>\mathcal{C}^0</math>, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math>, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe <math>\mathcal{C}^0</math> ne l'est déjà pas. Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ? ==='''Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas de la F-quantité des parties non bornées de <math>{\R''}^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>n \in \N^*</math>. Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que ''l'espace <math>{\R''}^n</math> muni d'un repère orthonormé direct <math>{\cal R}_n</math>, d'origine <math>O_n{(0)}_{i \in\N_n^*}</math>, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, <math>\displaystyle{\bigg[{\R''}^n, {\Big(\overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}\Big)}_{r \in \N} \bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow \sup(\N)} \overline{B_{{\R''}^n}(O_n,r)}}</math>, on a alors :'' C) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (I) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(I)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. D) <math>\forall A \in {\cal P}({\R''}^n)</math>, <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si } n=1 \\ \R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{card}_{Q,{\cal R}}\Big({rot}_{(O, \theta_n)} (A) \Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math>, où <math>\forall \theta_n \in \begin{cases} \{0, \pi\} + 2 \pi \Z & \text{si }n=1 \\ {\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\ \end{cases}</math>, <math>{rot}_{(O, \theta_n)}\,\, : \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {rot}_{(O, \theta_n)}(A)</math>, est la rotation (sphérique) de centre <math>O</math> et d'"angle" <math>\theta_n</math>. F) a) <math>\displaystyle{A \in {\cal P}_{non \,\, born\acute{e}es}({\R''}^n)}</math>, <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\,que\,\,\exists P_0 \in {\cal P}({\R''}^n)\,\, ou \,\, {\cal P}({\R''}^n) \,\, d\acute{e}limit\acute{e}e \,\, par \,\, un \,\, (hyper?)plan \,\, H_0 \,\, passant \,\, par \,\, O}</math> <math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, A \subset P_0}</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\displaystyle{\forall x_0,{x_0}' \in {\R''}^n,}</math> <math>\displaystyle{\exists {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\parallel_{H_0}}}, {x_{\parallel_{H_0}}}'\parallel H_0 \,\, et \,\,\exists {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \in {\R''}^n, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \perp H_0,}</math> <math>\displaystyle{x_0 = {x_{\parallel_{H_0}}} + {x_{\perp_{H_0}}}, {x_0}' = {x_{\parallel_{H_0}}}' + {x_{\perp_{H_0}}}'}</math> <math>\displaystyle{et \,\, {x_{\perp_{H_0}}}, {x_{\perp_{H_0}}}' \,\,orientes \,\, vers \,\,P_0}</math> <math>\displaystyle{et \,\, tels \,\, que \,\, \|x_0\|<\|{x_0}'\|,}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A + x_0) > {card}_{Q,{\cal R}}(A + {x_0}')}</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude) b) <math>\forall a, a' \in {\R''}^n, \,\,\forall b ,b' \in {\R''}^n, \,\, \|b\| < \|b'\|,</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a'.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big),}</math> <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b)\Big) > {card}_{Q,{\cal R}}\Big({epi}(a.{id}_{{\R''}^n} + b')\Big)}</math> si <math>b, b' \perp H_{a,0} = a.{id}_{{\R''}^n}({\R''}^n)</math>. (Hypothèse de définition en cours d'étude)}} <small> '''''Remarque (Sous réserve) :''''' Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2. '''''Remarque importante :''''' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée <math>B</math> dans un espace qui est un plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, au lieu de parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}(B)</math>", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère <math>\mathcal{R}</math> et au plafonnement <math>[A, {(A_i)}_{i \in I}]</math>, de la partie <math>B</math>, "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", et dans ce cas on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(B \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[B \bigcap A, {\Big(B \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big)</math>", et, en particulier, on a : "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(A) \underset{d\acute{e}f}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(A \bigcap [A, {(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q, \mathcal{R}}\Big(\Big[A, {\Big(A \bigcap A_i\Big)}_{i \in I}\Big]\Big) \underset{prop ?}{=} {card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>". Quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R},[A, {(A_i)}_{i \in I}]}(B)</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. Lorsque la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> est une famille de parties de <math>{\R''}^n</math>, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (<math>\mathcal{C}^0</math>) et (<math>\mathcal{C}^1</math> par morceaux), alors quand on parle de "<math>{card}_{Q, \mathcal{R}}([A, {(A_i)}_{i \in I}])</math>", il se peut que la mention du repère <math>\mathcal{R}</math> soit inutile et superflue. </small> ==='''Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains cas de parties non bornées de <math>\R^n</math>, avec <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math> (Il y a une condition de "plafonnement", à prendre en compte) :'''|contenu= Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math> Soit <math>A_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}</math> alors <math>{card}_{Q,2}(A_f)</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> <math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math> Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math> Soit <math>A_{f,g} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}</math> avec <math>\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \leq_{f(x)} = \leq_{\Big(x,f(x)\Big)}, \leq_{g(x)}= \leq_{\Big(x,g(x)\Big)} \in \{<, \leq \}</math> alors <math>{card}_Q(A_{f,g})</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math> <math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigsqcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> <math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math> Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer la F-quantité de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.}} ==='''Les propriétés que doit vérifier la F-quantité ou que l'on veut voir vérifier par la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''=== {{Théorème|titre='''Remarque :'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. On pose : <math>\mathcal{P}_{finies}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>. Remarque : Soient <math>\mathcal{R},\mathcal{R}'</math>, deux repères orthonormés de <math>\R^n</math>, d'origines respectives <math>O, O'</math> alors, si <math>O = O'</math>, on a : <math>card_{Q,\mathcal{R}} =card_{Q,\mathcal{R}'}</math> et si <math>O \neq O'</math>, alors on a : <math>{{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)} = {{card}_{Q,\mathcal{R}'}}_{|\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)}</math>. NB : On peut remplacer "<math>\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n)</math>" par "<math>{\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I,\mathcal{P}_{born\acute{e}es}(\R^n),\mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>". Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. On pose, pour simplifier, <math>card_Q =card_{Q,\mathcal{R}}</math>. 0) <math>\forall A \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, {card}_Q(A) = {card}_P(A)</math>. <math>\forall A,B \in \mathcal{P}_{finies}(\R^n), \,\, A \subsetneq B,\,\, {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(A) < {card}_{P \,\, \mbox{ou} \,\, Q}(B)</math>. 1) <math>\exists A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_P(A) = {card}_P(B)</math>, mais <math>\forall A,B \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \subsetneq B, \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math>. 2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et la "F-quantité" : Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>, alors : <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \not \Longrightarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) = {card}_P(B) \,\, \Longleftarrow {card}_Q(A) = {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \Longrightarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> <math>{card}_P(A) < {card}_P(B) \,\, \not \Longleftarrow {card}_Q(A) < {card}_Q(B)</math> 3) On pose : <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \mathcal{P}^{1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(A)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \mathcal{P}^{1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}(\R^{n})]</math>, <math>\forall A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(A)\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(A)\Big)</math> <math>[\mbox{on a donc} \,\, : \,\, \forall i\in\N^*,\,\,\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\mathcal{P}^{1}\Big(\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\Big)]</math>, <math>\forall i \in \N^*, \,\, \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)<\aleph_{0}\}</math>, <math>\forall i\in\N^*,\,\,\forall j\in\N_{i},\,\,\mathcal{P}_{j}^{i}(\R^{n})\underset{d\acute{e}f}{=}\{C\in\mathcal{P}^{i}(\R^{n})\,\,|\,\,{card}_{P}(C)=\aleph_{j}\}</math>. <math>\forall i \in \N^*</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not \exists C \in \mathcal{P}^i(\R^n), \,\, {card}_P(A) < {card}_P(C) < {card}_P(B)</math>, mais <math>\exists C \in \mathcal{P}_{finies}^{i}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{0}^{i}(\R^{n}), \,\, {card}_Q(A) < {card}_Q(C) < {card}_Q(B)</math> et <math>\forall i \in \N</math>, <math>\forall A\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>\forall B\in\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n})</math>, <math>{card}_P(A) < {card}_P(B)</math>, et <math>\not\exists C\in\mathcal{P}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{P}(A)<{card}_{P}(C)<{card}_{P}(B)</math>, mais <math>\exists C\in\mathcal{P}_{i}^{i+1}(\R^{n})\bigsqcup\mathcal{P}_{i+1}^{i+1}(\R^{n}),\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(C)<{card}_{Q}(B)</math>. '''''Remarque : Dans 3), on ne tient pas compte, de la notion de repère orthonormé, si, tant est soit elle, elle a toujours un sens.''''' 4) Soient <math>A, B \in \mathcal{P}(\R^n)</math>. Alors : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math>, c'est-à-dire : <math>\exists [A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big),</math> <math>{card}_{Q}(A) = {card}_{Q}([A,{(A_i)}_{i \in I}])\,\, \mbox{et} \,\, {card}_{Q}(B) = {card}_{Q}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>.}} {{Théorème|titre='''Définition d'une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. à l'ensemble <math>\R''^n</math>, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés de la F-quantité sur <math>\R^n</math>, pour <math>n \in \N^*</math>'''|contenu= Soit <math>n \in \N^*</math>. Soit <math>{\cal R} = \Big(O, {(e_i)}_{i \in \N_n^*} \Big)</math> un repère orthonormé direct de <math>\R^n</math> (resp. de <math>\R''^n</math>), ''on considère que <math>\cal C</math> est une chaîne exhaustive de parties de <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>'' c'est-à-dire : <math>\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>\emptyset,\,\, \{O\}, \,\,\R^n \,\,(\mbox{resp.} \,\,\R''^n) \in {\cal C} \,\, \mbox{et}\,\,\forall A,B \in \mathcal{C},\,\, A \subsetneq B,\,\, \Big((\exists C \in \mathcal{C} \,\, : \,\, A \subsetneq C \subsetneq B) \,\,\mbox{ou}\,\, (\exists x_0 \in \R^n \setminus A \,\,[\text{resp.} \,\,\R''^n \setminus A]\,\, : \,\, B = A \bigsqcup \{x_0\})\Big)</math> Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit. En effet, dans ce cas, moyennant ''l'hypothèse de définition de la F-quantité'' : Soit <math>I</math> un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite. Soient <math>A,B \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, \Big(\mbox{resp.} \,\, \mathcal{P}(\R''^n)\Big)</math> et <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\, {\mathcal{P}lafonnements}_{normaux}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math>, '''''['''''c'est-à-dire tels que : <math>[A,{(A_i)}_{i \in I}], [B,{(B_i)}_{i \in I}] \in {\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}(\R^n)\Big)</math> <math>\bigg(\mbox{resp.} \,\,{\mathcal{P}lafonnements}\Big(I, \mathcal{P}({\R''}^n)\Big)\bigg)</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(A) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([A,{(A_i)}_{i \in I}])</math> et <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(B) = {card}_{Q,\mathcal{R}}([B,{(B_i)}_{i \in I}])</math>''''']'''''. Alors : <math>A \subsetneq B \,\, \Longrightarrow \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A) < {card}_{Q,\mathcal{R}}(B)</math>. Comme <math>\mathcal{C}\subset \mathcal{P}(\R^n)</math> <math>\Big(</math> resp. <math>\mathcal{P}({\R ''}^n)\Big)</math>, on a <math>A,B \in \mathcal{C}\,\,: \,\,A \subsetneq B \,\,\Longrightarrow\,\,card_{Q,\mathcal{R}}(A) < card_{Q,\mathcal{R}}(B)</math> et comme <math>\mathcal{C}</math> est totalement ordonnée pour <math>\subset</math>, on obtient donc que <math>\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A\in \mathcal{C}\}</math> est totalement ordonné pour <math>\le</math>. Par ailleurs, on a <math>\bigg\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)\bigg|A \in \mathcal{P}(\R^n)\,\,\Big(\mbox{resp.}\,\,\mathcal{P}(\R''^n)\Big)\bigg\}=\{card_{Q,\mathcal{R}}(A)|A \in \mathcal{C}\}</math>. Donc <math>\forall \mathcal{C}_1,\,\,\mathcal{C}_2</math> chaînes exhaustives de parties de <math>\R^n\,\,(\mbox{resp.}\,\,\R''^n)</math>, pour l'inclusion, allant de l'ensemble <math>\emptyset</math> à l'ensemble <math>\R^n</math> (resp. <math>\R''^n</math>), et contenant <math>\{O\}</math>, <math>\{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1)|A_1 \in \mathcal{C}_1\} = \{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)|A_2 \in \mathcal{C}_2\}</math> et <math>\forall A_1 \in \mathcal{C}_1, \,\, \exists ! A_2 \in \mathcal{C}_2, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_1) = {card}_{Q,\mathcal{R}}(A_2)</math>}} ==='''Avec la F-quantité, les infinitésimaux se profilent'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soit <math>\mathcal{R}</math> un repère orthonormé de <math>\R^n</math>. Soit <math>A \in \mathcal{P}(B)</math> avec <math>B \neq \emptyset</math>, où chacune des parties <math>A</math> et <math>B</math> peut être une partie bornée de <math>\R</math> ou un plafonnement d'une partie non bornée de <math>\R</math> (avec peut-être des conditions supplémentaires), alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \in {[0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {[0,1]}_{standard}}</math>. Si <math>A=\emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = 0}</math>. Si <math>A \neq \emptyset</math> et <math>B \neq \emptyset</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} \neq 0}</math>. Prenons <math>A=\{2\}</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{2\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} = \frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Prenons <math>A=\N</math> et <math>B=\R</math>, où <math>\N</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\N</math>, et où <math>\R</math> est considéré, ici, comme le plafonnement normal de <math>\R</math>, alors <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(A)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(B)} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math>, or <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \in {]0,1]}_{non \,\, standard} \supsetneq {]0,1]}_{standard}}</math> est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle <math>{]0,1]}_{non \,\, standard \,\, ou \,\, non \,\, classique}</math>. Dans la théorie classique, on a <math>\displaystyle{\frac{1}{+\infty_{classique}} = 0^+}</math> où, ici, <math>+\infty_{classique}</math> est considéré comme un point. Mais, dans ma théorie non classique, <math>{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R) \in +\infty</math> où on considère, ici, que <math>+\infty=\{x \,\,|\,\,\forall a \in \R, \,\, x > a\}</math> et on a <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} \neq 0}</math> et <math>\displaystyle{\frac{1}{\sup(+\infty)} = 0^+}</math> et on a : <math>\displaystyle{\frac{1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)} < \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\R)}}</math>.}} ==='''Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math> et d'une suite de parties (éventuellement bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>, pour <math>N \in \N^*</math>'''=== Cf. titre. Soit <math>N \in \N^*</math>. En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie <math>A</math> de <math>{PV}(\R^N)</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de polyèdres compacts <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par : En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers une partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, les suites des F-quantités des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> ne convergent pas toutes vers la même F-quantité de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math> et de la suite de parties bornées connexes <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> convergeant vers cette partie bornée connexe <math>A</math> de <math>\R^N</math>, noté <math>[A,{(A_n)}_{n \in \N}]</math>. Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math> de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = A}</math>" et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_n)}_{n \in \N}</math>, de limite de cette famille de parties de <math>\R^N</math> : "<math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}</math>". ==='''Cardinaux négatifs ou complexes'''=== {{Théorème|titre=|contenu=Soient <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_1}, {\Omega}_{\varepsilon_2} {\subset} \Omega, \,\, \Omega_{\varepsilon_1} \bigcap \Omega_{\varepsilon_2} = \emptyset \,\, : \,\, {card}({\Omega}_{\varepsilon_1}) = {card}({\Omega}_{\varepsilon_2})}</math> Soient <math>\displaystyle{A_{\varepsilon_1}, A_{\varepsilon_2} \subset \Omega, \,\, A_{\varepsilon_1} \subset {\Omega}_{\varepsilon_1}, \,\, A_{\varepsilon_2} \subset {\Omega}_{\varepsilon_2} \,\, : \,\, {card}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_2})}</math> et Alors on définit la relation suivante : <math>\forall i, j \in \N_2^*, \,\, i \neq j,</math> <math>\begin{cases} {\Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}\\ {\displaystyle {\Omega_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{i}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\emptyset\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}A_{\varepsilon_{j}}\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}}} \end{cases}</math> <math>\underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}</math> <math>\begin{cases} (1)\begin{cases} \emptyset\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{j}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\Omega_{\varepsilon_{j}}\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\subset\\ \emptyset\subset A_{\varepsilon_{j}}\subset\Omega_{\varepsilon_{j}} \end{cases} \end{cases}\\ et\\ (2)\begin{cases} \Omega_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}A_{\varepsilon_{i}}\subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}\emptyset\\ \underset{d\acute{e}f}{\Leftrightarrow}\\ \begin{cases} \subset_{\Omega_{\varepsilon_{j}}}=\supset_{\Omega_{\varepsilon_{i}}}=\supset\\ {\displaystyle \Omega_{\varepsilon_{i}}\supset A_{\varepsilon_{i}}\supset\emptyset} \end{cases} \end{cases} \end{cases}</math> De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes : <math>\displaystyle{\forall \varepsilon_1,\varepsilon_2 \in \{-1,1,\underline{i}\}, \,\, \varepsilon_1 \neq \varepsilon_2, \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_2})= \varepsilon_1 \varepsilon_2 {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) \,\, et \,\, {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(A_{\varepsilon_1}) = {card}(A_{\varepsilon_1})= {card}(A_{\varepsilon_2}) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(A_{\varepsilon_2})}</math> et <math>0 = {card}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_1}}(\emptyset) = {card}_{{\Omega}_{\varepsilon_2}}(\emptyset)</math> Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/}} acg1wj8szd54heconarnoqbk3uwtvsq 105 81189 985088 984960 2026-07-21T18:16:36Z Guillaume FOUCART 39841 /* L'énigme de Fermat... */ 985088 wikitext text/x-wiki == Importance de l'article (évaluation par l'auteur) == * '''''Histoire des sciences''''' : <span style="color:blue">Maximum</span> * '''''Mathématiques''''' : Concernant le théorème en lui-même, à la suite aussi du gros travail de décryptage de l’''OBSERVATIO'' par Monsieur Roland Franquart : <span style="color:blue">Maximum</span><ref>Il est probable qu'aucun mathématicien n'a réussi à suivre Fermat dans sa formidable et très elliptique explication. Quoi qu'il en soit, une ''[[w:Évaluation par les pairs|peer review]]'' risque de se faire attendre, très, très, très longtemps... (“jamais” serait plus exact)</ref>. Ma note ''<u>personnelle</u>'' pour cette étude, en toute immodestie et honnêteté : * 19,75. Je ne doute pas qu'une forte proximité psychologique et spirituelle avec Pierre de Fermat m'a beaucoup motivé. Merci encore à vous, Monsieur de Fermat, du fond du cœur. En toute immodestie toujours, si j'avais eu à donner une note sur le fond, j'aurais mis 20/20 (on n'est jamais mieux servi que par soi-même). Sur la forme, au vu de certaines imperfections de style qui doivent persister, et de certains passages peut-être un peu longs : optimiste, j'attribuerais la note de 18/20. J'ai presque fait une moyenne : selon moi le fond prime sur la forme.<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 janvier 2022 à 16:44 (UTC) == L'énigme de Fermat et l'arithmétique élémentaire. == Je vous propose deux preuves élémentaires du DTF / TFW : Preuve A : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a, b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul ab(z^n-y^n) par (az^(n-1)-by^(n-1)) donne un seul reste nul et valide : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Preuve B : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a,b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), dans la division directe de reste nul: ab(z^n-y^n)=(az^(n-1)-by^(n-1))(bz+ay)+b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1), le reste doit être nul par application de l'équivalence D=d*q <=> r=0 : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Et Fermat pouvait faire mieux. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui [[Utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|Ahmed Idrissi Bouyahyaoui]] ([[Discussion utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|discuter]]) 31 octobre 2022 à 15:50 (UTC) :Mettez au moins des balises ''math'' ! :Preuve A : :Avec <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math>, Corollaire du Théorème de Bachet (1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul <math>ab(z^n-y^n)</math> par <math>(az^{n-1}-by^{n-1})</math> donne un seul reste nul et valide : <math>b^2zy^{n-1}-a^2yz^{n-1}=0</math>, soit <math>b^2y^{n-2}=a^2z^{n-2}</math>, :égalité impossible pour n>2 puisque <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math> et <math> (x,y,z) \in \mathbb{N} </math> sont premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:53 (UTC) == Commentaires de lecteurs == « Il faut enlever les complexités mentales pour réussir dans toute entreprise. C'est pourquoi Fermat est assez difficile à comprendre : on a des pensées parasites qui n'amènent rien, et on tend à en déduire qu'il n'y a rien d'intéressant d'écrit là car on ne comprend pas ce qui est là. Mais c'est un raisonnement personnel que de découvrir les complexités chez soi. » Jean-Francisque Léo, mai 2022. :Complètement d'accord avec toi. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:39 (UTC) == L'énigme de Fermat... == Pourquoi Pierre de Fermat se serait-il justifié ? [[Spécial:Contributions/92.184.100.25|92.184.100.25]] 6 décembre 2022 à 06:22 (UTC) :Bonjour. Il n'avait en effet aucune raison pour cela. Taquin comme il l'était, très déçu que l'on ne veuille pas comprendre toute la portée de découvertes qui feraient beaucoup progresser la science, il avait toutes les raisons au contraire de faire ce mémorable pied de nez. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 09:40 (UTC) :Votre question est ambigüe, j'y ai vu l'interprétation à mes yeux la plus logique. Maintenant si votre question, plus précisément, est : ''« Pourquoi Fermat aurait-il éprouvé le besoin de dévoiler sa preuve (en la cryptant) ? »'' c'est que vous n'avez lu que quelques bribes de l'article. Et la réponse à votre question figure aussi, en partie, dans mon post précédent. Je suis prêt à entendre vos arguments. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 14:36 (UTC) :Voyez [[Recherche:L’énigme_de_Fermat_passée_au_crible#Préambule|ICI]], j'ai résumé pour vous {{Sourire}}. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] 8 décembre 2022 à 19:32 (UTC). Vous ne me dites pas si ce Préambule que j'ai étoffé vous convient ! Merci en tout cas de votre question qui m'a permis ''d'annoncer la couleur'' dès le début de l'article, et peut-être d'encourager les lecteurs qui comme vous n'en auraient lu que des bribes. Je reconnais qu'il est très long, mais une étude si fouillée sur un sujet aussi important (Fermat et son théorème !) se devait d'être traitée de la façon la plus exhaustive'' (même si, je le reconnais, il persiste encore des longueurs qui peuvent gêner la lecture ― il faudra bien que je continue de faire le ménage''). Si vous avez encore des doutes sur le fait que ''« Fermat fut contristé, amer et particulièrement fâché'' » que plus aucun mathématicien ne veuille coopérer avec lui, je vous suggère de lire '''vraiment''' l'étude ''complète'', je vous assure que vous pourrez découvrir non seulement tout '''l'humour''' de Fermat, mais surtout, une INGÉNIOSITÉ JAMAIS VUE auparavant et que jamais on ne reverra. Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki. Merci encore à vous ! Cordialement, ----[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:38 (UTC) 9 décembre 2022 à 23:59 (UTC) :: Bonjour ! ::Je venais parcourir l'article (scientifique) pour le recommander à un ami mathématicien. ::Dès que je trouve moi-même un intérêt dans un article, je cherche le débat sur la page de discussion afin de m'éclairer sur les points qui justifient qu'il y ait débat. Ici, ::j'ai lu jusqu'à cette phrase qui m'invite au débat : ''''''Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki''''''. Les Wikimédiens ont retenu que les Wikis sont ''modifiables et donc appropriables'' sans autres formes de procès. ::Je ne suis pas de cet avis. Ne devons-nous pas y réfléchir avant d'affirmer ? ::La plupart des Wikis de l'espace Wikimedia sont '' « modifiables et donc appropriables » ''. Mais, tous les Wikis ne le sont pas, même dans l'espace Wikimedia. Que les Wikis pionniers aient adopté l'hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' », comme Wikipedia, Commons, Wikisource, Wikidata, l'hypothèse n'est pas généralisable. ::De mon point de vue, cette hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' » relève du « '''don contre don''' ». ::Réfléchir en mathématiciens sur ce qui est « ''modifiable et donc appropriable'' » est un énorme travail pour l'historienne que je suis. A ce point du « '''don contre don''' », j'irai poursuivre le débat sur ma page de discussion pour ne pas polluer votre espace. ::Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 11:01 (UTC) : Re-bonjour Ambre ! Mais vous ne "polluez" pas du tout mon espace, voyons ! Je suis assez convaincu que le mathématicien que vous avez contacté n'a pas dû apprécier mon texte. Mais peut-être me trompé-je... (chi lo sa ? Pas moi en tout cas). Cordialement, Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:33 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre]]. Merci de ta venue et de ton commentaire. Je suis d'accord avec toi. A dire vrai, si j'ai écrit cette phrase ''Et libre à vous bien sûr […]'', c'est que je pense avoir deviné qui est la personne qui m'avait écrit (en signant par son IP bien localisable, elle avait fait en sorte qu'il en soit ainsi). J'ai donc répondu de cette manière par gentillesse, pour adoucir un début de conflit mineur que nous avions eu ailleurs, mais je me doutais bien qu'elle ne ''supprimerait pas […]'', elle ne se le serait pas permis. Bien cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 février 2023 à 12:19 (UTC) :: Merci [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]].<br />Je propose de transformer le conflit en débat scientifique pluridisciplinaire sur ma pdd. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 20:09 (UTC) J'ai déplacé vos travaux dans une catégorie plus appropriée et encore j'ai été gentil. Vos travaux sont extrêmement et même supra spéculatifs et donc extrêmement fragiles. De plus, tous vos superlatifs employés pour qualifier Fermat ne sont sans doute pas objectifs mais reflètent plutôt votre amour aveugle, béat et inconditionnel envers lui. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 19 juillet 2026 à 21:37 (UTC) Connaissez vous la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins ? C'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc pour réfuter votre travail dans son intégralité, il est plus que probable qu'il faille effectuer un travail immense, bien plus grand que le travail que vous avez effectué. Je me dispenserai d'un tel travail. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 21 juillet 2026 à 18:16 (UTC) == Roland Franquart == Qu'est devenu Roland Franquart? La boite mail indiquée sur son site (ideedefermat) est fermée. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:11 (UTC) : La dernière fois que je l'ai eu au téléphone, il y a lgtps déjà, il n'était pas en bonne santé. Il est possible hélas qu'il soit décédé. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:20 (UTC) ::Mince. Pour ce tissage, c'est incroyable mais ça va dans le même sens de mes trouvailles. ::J'aurais bien voulu qu'il voit ça: ::Pour vous, je vais prendre le cas <math>n=5</math> à titre d'exemple. ::Le binôme donne: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x^5}+5x^4y+{\color{red}10x^3y^2}+10x^2y^3+{\color{red}5xy^4 }+y^5</math> ::Effectivement, le regroupements qui va nous intéresser est de prendre successivement un terme sur deux, et de former alors 2 blocs: ::<math>(x+y)^5={\color{red}(x^5 + 10x^3y^2+5xy^4)} + (5x^4y + 10x^2y^3 +y^5 )</math> ::C'est là que ne comprenais plus ce que faisait Franquart ::Moi je factorise: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(5x^4 + 10x^2y^2 +y^4 )</math> ::Je vous réécris à l'envers le groupe des <math>y</math> pour bien montrer la symétrie de l'écriture: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(y^4 + 10x^2y^2 + 5x^4 )</math> ::Voilà. ::On a donc la forme voulue: ::<math>(x+y)^5={\color{red}xf(x^2,y^2)} + yf(y^2,x^2) )</math> avec <math>f(u,v)=u^2 + 10uv+5v^2</math> ::Et c'est là qu'intervient une loi vérifiée pour <u>toutes les puissances premières</u>: ::Ici avec 5, les facteurs premiers de <math>f(u^2,v^2)</math> sont tous congrus à 1 modulo 5 pour <math>(u,v)</math> premier entre eux de parité différente. De nombreux essais avec plein de valeurs, jamais de puissance. Mieux! Il semble toujours y avoir un des facteurs sans puissance. ::Quelques exemples: ::<math>f_{ 5 }( 2 ^2, 1 ^2) = 61 \equiv1[ 5 ] </math> ::<math>f_{ 5 }( 18 ^2, 35 ^2) = 11577101 =641\times18061 \equiv1\times1 [ 5 ]</math> ::Je pense que c'est ça qu'avait découvert Fermat ::Ensuite, vu que la somme de puissances impaires s'écrit toujours ::<math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)</math>, alors bingo. La lecture de Diophante a dû être ce fameux interrupteur dont parle Wiles. Fermat a dû avoir une fulgurance. Du moins c'est ma théorie. Pour les puissances paires, il n'y a rien à chercher: Fermat a réussit en en démontrer l'impossibilité. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 13:53 (UTC) :Mince, comme tu dis. J'aurais aussi voulu qu'il te lise. Je ne suis pas matheux, il faudrait que je réfléchisse où on pourrait mettre ton texte très intéressant, pour l'instant je ne vois rien d'autre qu'ici, et c'est déjà très bien ! {{Clin}}<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:38 (UTC) :Et je viens de voir sur le net, il est décédé en effet. Paix à son âme. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:42 (UTC) ::Merci. C'est dommage. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:12 (UTC) :Oui. Ici c'est déjà bien. Il reste du travail avant de savoir s'il existe une preuve "accessible" autour des facteurs premiers. :En tout cas, cela signifierait que la note de Fermat était bien codée?! Même si tu n'es pas matheux, tu peux quand même vérifier si les 't' et les 'u' ont un sens par rapport au fait de prendre un terme sur 2. :Par conséquent la traduction ''"j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante"'' est plutôt plausible. Faut que je regarde plus en détail les termes du binôme que Franquart a utilisés. Car je n'explique pas la suite: "''Le manque de la bordure ne la contiendrait pas''". :Ou alors si! Pour construire la fonction <math>f_n(u,v)</math>, en fait, on va sur la <math>n^{ieme}</math> ligne du triangle de Pascal. On part du 1 et on n'en prend que 1 sur 2. Par conséquent, le 1 final (bord?) n'est pas dedans. :exemple avec n=5: :le triangle de Pascal: 1 5 10 10 5 1 :Du coup, on prend 1 - 10 - 5 - :résultat: la fonction est <math>f_5(u,v)=1u^2+10uv+5v^2</math> :pour n=7: :le triangle de Pascal: 1 7 21 35 35 21 7 1 :Idem, on prend 1 - 21 - 35 - 7 - :La fonction est bien <math>f_7(u,v)=1u^3+21u^2v+35uv^2+7v^3</math> :Oui, ça se tient! ça tu le peux vérifier! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:02 (UTC) == Peut-être une piste == Bonjour. Je vous site dans un travail de recherche. Peut-être une piste prometteuse, un possible début d'explication sur la façon dont Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème. On est loin d'une preuve, mais Je pense avoir débusqué une idée intéressante. Car elle aboutit sur des généralités pour toute les puissances (pour l'instant impaires). Surtout, elle exploite le ré-agencement des termes du binôme, un peu ce qu'avait recherché Franquart. C'est ici:[[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] . En vous saluant. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:33 (UTC) : Bonjour Alain, et merci d'avoir cité mon texte (où il y a qd-même une trentaine d'arguments — voir ici, au 2/3 de la page [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Dernier_Probl%C3%A8me] — montrant que Fermat avait bien une preuve). J'adore les nombres (voir ici, « Les nombres et Dieu ») :<br /> :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_Nombres_et_Dieu, mais je n'ai fait que peu de math (en 4 lettres, je préfère, c'est plus “carré” - !!!) dans ma jeunesse, je ne peux hélas comprendre le vôtre.<br /> :Cordialement, :Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 07:02 (UTC) ::Je comprends. J'ai envie de vous dire pareillement: Je ne comprends rien à la preuve de Wiles. Elle me sera toujours inaccessible. C'est terrible. Quel dommage! :Mais non voyons Alain ce n'est pas terrible du tout ! Vous savez très bien qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas... sur Terre ! {{sourire}} ::J'ai adoré ce qu'il a dit dans une de ses interview:''la recherche mathématique, c'est entrer dans une pièce sans lumière. Dans l'obscurité on avance, on se cogne, on bute sur des objets, on les tâte à l'aveugle, on recule, change de direction, et au fil du temps on se construit ainsi une carte mentale de l'endroit. Et ce jour où on tombe sur l'interrupteur: tout s'éclaire. Et c'est merveilleux''. ::Votre texte est remarquable. Il m'a vraiment inspiré et m'a été d'une grande aide. Ce qui m'intéresse avant tout de mon côté est l'<u>intuition</u>. Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant. Chez Fermat, l'apparition du théorème a eu l'air d'être assez fulgurante. Vu le style de sa note de lecture, c'est comme si immédiatement son théorème lui était venu à l'esprit pendant la lecture de Diophante. Il y avait une telle évidence! Que s'est-il passé? Il s'était forcément forgé des outils et des techniques des années auparavant. On ne peut pas conjecturer une généralité pareille sans un esprit préparé et formaté par un précédent travail sur les puissances. Il ne peut pas y avoir de bluff. C'est impossible. Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre. Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 08:12 (UTC) Oui, la citation de Wiles est admirable. Merci pour votre compliment, ça me touche beaucoup. Vos 2 phrases : « ''Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant », «Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire »'' sont bien sûr à méditer très, très longuement. Et puisque nous en sommes aux compliments, votre post aussi est remarquable. De mon côté aussi c'est l'intuition qui compte énormément. Concernant Pierre Fermat, je suis personnellement certain qu'il avait '''une intuition extraordinaire''', et ''peut-être'' est-ce là une réponse à votre phrase ''« Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre »'' ? (Je suis mal réveillé, je ne sais si je vous ai bien compris et si je suis clair). Bien à vous, Claude Mariotti [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:00 (UTC) :Juste cette précision d'actualité. De nos jours, le théorème de Fermat n'est plus qu'un tout petit <u>cas particulie</u>r d'une <u>conjecture</u> beaucoup plus vaste. Et ça Fermat aurait pu le conjecturer si vraiment il y avait eu l'idée d'ajouter des puissances quelconques. Mais cette idée complètement farfelue ne lui est pas venue. Ce qui prouve bien qu'il réfléchissait dans un cadre particulier, avec des outils particuliers, liés à ce "partage" des puissances. Ma théorie est qu'il a pu repérer le problème pour les mêmes puissances <math>p</math> (premières), parce que dans ce cas les deux nombres qui émergent du partage sont composés uniquement de facteurs premiers en <math>1[p] </math>. Ce qu'il a dû voir. Et ainsi leur factorisation beaucoup plus facile à faire (mentalement) afin qu'un esprit vif et entrainé en déduise que ce ne seront jamais des puissances. Est-ce qu'il l'a déduit par de nombreux essais, par habitude des nombres qui sortent, par encore une autre technique qu'il utilisait? En avait-il une preuve ou a-t-il procédé par induction? C'est là tout le travail qu'il (me) reste à faire. :Voici pour ''Fermat'': : <math>\quad x^p+y^p=z^p </math> n'a aucune solution avec <math>p</math> supérieur à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. :Et aujourd'hui pour ''Tidjman et Zagier'': : <math>\quad x^p+y^q=z^r </math> n'a aucune solution avec <math>(p, q, r)</math> tous supérieurs à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:04 (UTC) Intéressant... Merci et bonne journée à vous, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:16 (UTC) Vous avez déjà dû le lire mais je le remets ici : 2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « ''[…] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, '''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques.''''' » Et je suis très heureux que mon texte ait pu vous inspirer et vous aider, ça me fait vraiment plaisir. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:04 (UTC) :"''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines''". Non. ça je n'y crois pas une minute. Et du latin, j'en avais fait jusqu'en Terminale. Que les langues "façonnent" notre esprit et nos pensées, j'y ai cru un temps, mais cette théorie m'a rapidement quitté. Par contre, ce que je sais, c'est que la mathématique (vous avez raison, pourquoi au pluriel) est une langue universelle. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Personnellement j'y crois un peu.<br/> P-S : Heureusement que les hommes ne sont pas tous du même avis... {{Clin}}. Ce serait bien triste sinon... [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:23 (UTC) :Oui. Et j'ai peu d'arguments à donner pour étayer ma pensée. L'expérience tranchera. Si vous avez raison, à mesure que le genre s'impose, toutes les langues genrées vont disparaître. Ne resteront que l'anglais, le chinois, et les autres que je connais pas. ;-). Personnellement je tiens au français parce que les sons sont tellement agréables à l'oreille, comparés aux précédentes citées. Par contre, niveau grammaire et orthographe, il y aurait beaucoup de travail d'élagage à faire! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:40 (UTC) Je suis d'origine italienne par mes parents. Pour moi, la langue italienne est encore plus agréable à entendre que la langue française ― c'est encore plus remarquable quand on écoute une chanson italienne ― encore davantage quand c'est une ''chanteuse.'' --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:04 (UTC) On se tutoie Alain, surtout que tous les 2 nous sommes admiratifs du travail de Fermat et de l'homme lui-même ? D'accord ?<br /> Dans cette page : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Le_coup_de_bluff]Le paragraphe — '''ce n'est que mon hypothèse mais j'y crois personnellement assez fort''' (on y croit ou on n'y croit pas) — qui comprend ces mots (tu peux faire une recherche avec Ctrl/F(ind) sur 3 ou 4 mots) parmi ceux-ci :<br /> La formulation : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse», '''<u>qui fait doublon</u>.''' Continuons donc à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité et, tout comme lui, « considérons la question ». La formulation du paragraphe a un double sens : la recherche qu'il évoque, ce n'est pas seulement celle, arithmétique, concernant cette proposition, c'est surtout une recherche de subtilités dans tout ce qu'il écrit. On aura alors avantage à comprendre ainsi le début de la phrase :<br /> « Cette dernière question, dans sa formulation, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. Cette idée, il ne m'a pas fallu moins de <u>'''18 ans !'''</u> pour la mettre au jour, après avoir lu son texte je ne sais combien de fois, 100 fois peut-être. Je ne sais si ''ma'' formulation est bien compréhensible pour d'autres que moi. (Qui a dit que Fermat n'est pas un génie ? Personne ? Ah bon, je préfère {{sourire}}) Tu pourrais me donner ton avis ? : Est-ce qu'elle est bien compréhensible ?. D'avance, merci. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 12:43 (UTC) :Je ne vois pas bien où tu veux en venir? Je ne crois pas bien saisir ton idée? [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:05 (UTC) Grand merci pour ta réponse, ça veut dire que je n'ai pas été assez clair. Là maintenant je suis un peu fatigué (bcp même, j'ai pas arrêté de courir auj.), mais j'y reviendrai. Encore merci. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:27 (UTC) C'est vraiment difficile de travailler sur les travaux de ce génie. « Cette dernière question, '''dans sa formulation''', est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […]. L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. »<br /> Je veux dire par là, avec ces mots de Fermat : (“ ''[... ] Et bien qu'elle soit conçue affirmativement, '''elle est négative''', puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il '''ne peut''' (pas) être divisé par aucun nombre''). » >>> ''“Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers”'' , = “Un nombre premier est un entier naturel qui admet '''seulement''' deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et le nombre considéré lui-même”. Donc il n'y a '''pas''' d'autres diviseurs. Fermat dit : « J’ay ensuite considéré certaines '''questions''' [...] ». Et donc la réponse à la « '''question''' » est '''négative'''. Ça te convient à peu près ? Désolé si je ne suis pas clair, je suis fatigué.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:39 (UTC)<br /> Concernant ta question sur les 't' et les 'u', je ne peux pas te répondre, trop crevé aujourd'hui.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:48 (UTC) :J'avoue être troublé par la formulation de Fermat. :Dans l'intro, il invite le lecteur à y essayer sa nouvelle méthode de la '''descente''' , qui permet d'infirmer une proposition positive par l'absurde, comme par exemple "''Il existe un cube divisible en deux cubes''". Et ainsi la rendre négative, donc "''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''" . Ce que je comprends, c'est qu'il sait déjà qu'il n'y a aucun cube divisible en deux cubes, mais qu'il n'arrive pas à y appliquer sa descente. (ce qu'arrivera à faire Euler en 1753, un siècle plus tard!). :Pour les "''Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.''", je ne pige pas [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:08 (UTC) ::Je comprends ceci: il invente le lecteur à essayer de prouver que ce sont des nombres premiers (en gros d'essayer de faire la décomposition). <u>Fermat sait qu'il ne sont pas tous premiers</u> (c'est "négatif"). Mais prévient le lecteur qu'il va devoir utiliser de très subtiles et très ingénieuses techniques pour y arriver. Ce que Fermat a dû et su développer au cours du temps. ::On sait que ces nombres valent 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... ::et la polémique autour de 4294967297=641 × 6700417, qui du coup n'aurait plus lieu d'être dès 1659, puisqu'il a dû 'enfin) découvrir la fausseté de sa conjecture. ::Mais je ne comprends pas ce que cela vient faire avec sa technique de la descente. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:27 (UTC) Ta première question, Fermat écrit pourtant : « ''la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera <big>aisé d’éprouver.</big> »'' Ta dernière question, vois sur Wikipédia "nombre de Fermat". [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:41 (UTC) :-------------------- :OK. Téléchargé le doc de Jean-René Joly (IGR83035.pdf): donc mon interprétation serait fausse. Voici sa conclusion: "''Il n'est pas surprenant qu'il ait fallu près d'un siècle (disons : de 1645 à 1732) pour que ce facteur premier [641] soit dé­couvert : les travaux arithmétiques de Fermât étaient tombés (avant même sa mort en 1665) dans le manque d'intérêt puis l'oubli le plus profonds, et Euler est en fait le premier grand mathématicien à s'y être passionnément et efficacement intéressé.''" :-------------------- :"Aisé d'éprouver"? ... c'est vraiment pas clair. Il faudrait contextualiser: c'est quoi ce "diverse des <u>précédentes</u>" [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Tape sur ton moteur de recherche : "AUTOUR DU PETIT THEOREME DE FERMAT par Jean-René JOLY" Tu as remarqué qu'à la suite de tes remarques j'ai un peu modifié l'“article” ? --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:00 (UTC) :Re-bonjour Claude ! :Je suis resté silencieux, j'ai un peu délaissé le GTF, mais j'y ai pensé tous les jours au-moins une fois ! :J Francisque Léo [[Spécial:Contributions/87.49.147.192|87.49.147.192]] 17 août 2024 à 19:11 (UTC) ijmcrm0fic406b064efa39z00oszi0i 985089 985088 2026-07-21T18:20:45Z Guillaume FOUCART 39841 /* L'énigme de Fermat... */ 985089 wikitext text/x-wiki == Importance de l'article (évaluation par l'auteur) == * '''''Histoire des sciences''''' : <span style="color:blue">Maximum</span> * '''''Mathématiques''''' : Concernant le théorème en lui-même, à la suite aussi du gros travail de décryptage de l’''OBSERVATIO'' par Monsieur Roland Franquart : <span style="color:blue">Maximum</span><ref>Il est probable qu'aucun mathématicien n'a réussi à suivre Fermat dans sa formidable et très elliptique explication. Quoi qu'il en soit, une ''[[w:Évaluation par les pairs|peer review]]'' risque de se faire attendre, très, très, très longtemps... (“jamais” serait plus exact)</ref>. Ma note ''<u>personnelle</u>'' pour cette étude, en toute immodestie et honnêteté : * 19,75. Je ne doute pas qu'une forte proximité psychologique et spirituelle avec Pierre de Fermat m'a beaucoup motivé. Merci encore à vous, Monsieur de Fermat, du fond du cœur. En toute immodestie toujours, si j'avais eu à donner une note sur le fond, j'aurais mis 20/20 (on n'est jamais mieux servi que par soi-même). Sur la forme, au vu de certaines imperfections de style qui doivent persister, et de certains passages peut-être un peu longs : optimiste, j'attribuerais la note de 18/20. J'ai presque fait une moyenne : selon moi le fond prime sur la forme.<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 janvier 2022 à 16:44 (UTC) == L'énigme de Fermat et l'arithmétique élémentaire. == Je vous propose deux preuves élémentaires du DTF / TFW : Preuve A : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a, b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul ab(z^n-y^n) par (az^(n-1)-by^(n-1)) donne un seul reste nul et valide : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Preuve B : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a,b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), dans la division directe de reste nul: ab(z^n-y^n)=(az^(n-1)-by^(n-1))(bz+ay)+b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1), le reste doit être nul par application de l'équivalence D=d*q <=> r=0 : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Et Fermat pouvait faire mieux. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui [[Utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|Ahmed Idrissi Bouyahyaoui]] ([[Discussion utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|discuter]]) 31 octobre 2022 à 15:50 (UTC) :Mettez au moins des balises ''math'' ! :Preuve A : :Avec <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math>, Corollaire du Théorème de Bachet (1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul <math>ab(z^n-y^n)</math> par <math>(az^{n-1}-by^{n-1})</math> donne un seul reste nul et valide : <math>b^2zy^{n-1}-a^2yz^{n-1}=0</math>, soit <math>b^2y^{n-2}=a^2z^{n-2}</math>, :égalité impossible pour n>2 puisque <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math> et <math> (x,y,z) \in \mathbb{N} </math> sont premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:53 (UTC) == Commentaires de lecteurs == « Il faut enlever les complexités mentales pour réussir dans toute entreprise. C'est pourquoi Fermat est assez difficile à comprendre : on a des pensées parasites qui n'amènent rien, et on tend à en déduire qu'il n'y a rien d'intéressant d'écrit là car on ne comprend pas ce qui est là. Mais c'est un raisonnement personnel que de découvrir les complexités chez soi. » Jean-Francisque Léo, mai 2022. :Complètement d'accord avec toi. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:39 (UTC) == L'énigme de Fermat... == Pourquoi Pierre de Fermat se serait-il justifié ? [[Spécial:Contributions/92.184.100.25|92.184.100.25]] 6 décembre 2022 à 06:22 (UTC) :Bonjour. Il n'avait en effet aucune raison pour cela. Taquin comme il l'était, très déçu que l'on ne veuille pas comprendre toute la portée de découvertes qui feraient beaucoup progresser la science, il avait toutes les raisons au contraire de faire ce mémorable pied de nez. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 09:40 (UTC) :Votre question est ambigüe, j'y ai vu l'interprétation à mes yeux la plus logique. Maintenant si votre question, plus précisément, est : ''« Pourquoi Fermat aurait-il éprouvé le besoin de dévoiler sa preuve (en la cryptant) ? »'' c'est que vous n'avez lu que quelques bribes de l'article. Et la réponse à votre question figure aussi, en partie, dans mon post précédent. Je suis prêt à entendre vos arguments. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 14:36 (UTC) :Voyez [[Recherche:L’énigme_de_Fermat_passée_au_crible#Préambule|ICI]], j'ai résumé pour vous {{Sourire}}. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] 8 décembre 2022 à 19:32 (UTC). Vous ne me dites pas si ce Préambule que j'ai étoffé vous convient ! Merci en tout cas de votre question qui m'a permis ''d'annoncer la couleur'' dès le début de l'article, et peut-être d'encourager les lecteurs qui comme vous n'en auraient lu que des bribes. Je reconnais qu'il est très long, mais une étude si fouillée sur un sujet aussi important (Fermat et son théorème !) se devait d'être traitée de la façon la plus exhaustive'' (même si, je le reconnais, il persiste encore des longueurs qui peuvent gêner la lecture ― il faudra bien que je continue de faire le ménage''). Si vous avez encore des doutes sur le fait que ''« Fermat fut contristé, amer et particulièrement fâché'' » que plus aucun mathématicien ne veuille coopérer avec lui, je vous suggère de lire '''vraiment''' l'étude ''complète'', je vous assure que vous pourrez découvrir non seulement tout '''l'humour''' de Fermat, mais surtout, une INGÉNIOSITÉ JAMAIS VUE auparavant et que jamais on ne reverra. Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki. Merci encore à vous ! Cordialement, ----[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:38 (UTC) 9 décembre 2022 à 23:59 (UTC) :: Bonjour ! ::Je venais parcourir l'article (scientifique) pour le recommander à un ami mathématicien. ::Dès que je trouve moi-même un intérêt dans un article, je cherche le débat sur la page de discussion afin de m'éclairer sur les points qui justifient qu'il y ait débat. Ici, ::j'ai lu jusqu'à cette phrase qui m'invite au débat : ''''''Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki''''''. Les Wikimédiens ont retenu que les Wikis sont ''modifiables et donc appropriables'' sans autres formes de procès. ::Je ne suis pas de cet avis. Ne devons-nous pas y réfléchir avant d'affirmer ? ::La plupart des Wikis de l'espace Wikimedia sont '' « modifiables et donc appropriables » ''. Mais, tous les Wikis ne le sont pas, même dans l'espace Wikimedia. Que les Wikis pionniers aient adopté l'hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' », comme Wikipedia, Commons, Wikisource, Wikidata, l'hypothèse n'est pas généralisable. ::De mon point de vue, cette hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' » relève du « '''don contre don''' ». ::Réfléchir en mathématiciens sur ce qui est « ''modifiable et donc appropriable'' » est un énorme travail pour l'historienne que je suis. A ce point du « '''don contre don''' », j'irai poursuivre le débat sur ma page de discussion pour ne pas polluer votre espace. ::Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 11:01 (UTC) : Re-bonjour Ambre ! Mais vous ne "polluez" pas du tout mon espace, voyons ! Je suis assez convaincu que le mathématicien que vous avez contacté n'a pas dû apprécier mon texte. Mais peut-être me trompé-je... (chi lo sa ? Pas moi en tout cas). Cordialement, Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:33 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre]]. Merci de ta venue et de ton commentaire. Je suis d'accord avec toi. A dire vrai, si j'ai écrit cette phrase ''Et libre à vous bien sûr […]'', c'est que je pense avoir deviné qui est la personne qui m'avait écrit (en signant par son IP bien localisable, elle avait fait en sorte qu'il en soit ainsi). J'ai donc répondu de cette manière par gentillesse, pour adoucir un début de conflit mineur que nous avions eu ailleurs, mais je me doutais bien qu'elle ne ''supprimerait pas […]'', elle ne se le serait pas permis. Bien cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 février 2023 à 12:19 (UTC) :: Merci [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]].<br />Je propose de transformer le conflit en débat scientifique pluridisciplinaire sur ma pdd. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 20:09 (UTC) J'ai déplacé vos travaux dans une catégorie plus appropriée et encore j'ai été gentil. Vos travaux sont extrêmement et même supra spéculatifs et donc extrêmement fragiles. De plus, tous vos superlatifs employés pour qualifier Fermat ne sont sans doute pas objectifs mais reflètent plutôt votre amour aveugle, béat et inconditionnel envers lui. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 19 juillet 2026 à 21:37 (UTC) Connaissez vous la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins ? C'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc pour réfuter votre travail dans son intégralité, il est plus que probable qu'il faille effectuer un travail immense, bien plus grand que le travail que vous avez effectué. Je me dispenserai d'un tel travail. Mais je reconnais que ce dernier est bien écrit et bien rédigé. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 21 juillet 2026 à 18:16 (UTC) == Roland Franquart == Qu'est devenu Roland Franquart? La boite mail indiquée sur son site (ideedefermat) est fermée. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:11 (UTC) : La dernière fois que je l'ai eu au téléphone, il y a lgtps déjà, il n'était pas en bonne santé. Il est possible hélas qu'il soit décédé. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:20 (UTC) ::Mince. Pour ce tissage, c'est incroyable mais ça va dans le même sens de mes trouvailles. ::J'aurais bien voulu qu'il voit ça: ::Pour vous, je vais prendre le cas <math>n=5</math> à titre d'exemple. ::Le binôme donne: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x^5}+5x^4y+{\color{red}10x^3y^2}+10x^2y^3+{\color{red}5xy^4 }+y^5</math> ::Effectivement, le regroupements qui va nous intéresser est de prendre successivement un terme sur deux, et de former alors 2 blocs: ::<math>(x+y)^5={\color{red}(x^5 + 10x^3y^2+5xy^4)} + (5x^4y + 10x^2y^3 +y^5 )</math> ::C'est là que ne comprenais plus ce que faisait Franquart ::Moi je factorise: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(5x^4 + 10x^2y^2 +y^4 )</math> ::Je vous réécris à l'envers le groupe des <math>y</math> pour bien montrer la symétrie de l'écriture: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(y^4 + 10x^2y^2 + 5x^4 )</math> ::Voilà. ::On a donc la forme voulue: ::<math>(x+y)^5={\color{red}xf(x^2,y^2)} + yf(y^2,x^2) )</math> avec <math>f(u,v)=u^2 + 10uv+5v^2</math> ::Et c'est là qu'intervient une loi vérifiée pour <u>toutes les puissances premières</u>: ::Ici avec 5, les facteurs premiers de <math>f(u^2,v^2)</math> sont tous congrus à 1 modulo 5 pour <math>(u,v)</math> premier entre eux de parité différente. De nombreux essais avec plein de valeurs, jamais de puissance. Mieux! Il semble toujours y avoir un des facteurs sans puissance. ::Quelques exemples: ::<math>f_{ 5 }( 2 ^2, 1 ^2) = 61 \equiv1[ 5 ] </math> ::<math>f_{ 5 }( 18 ^2, 35 ^2) = 11577101 =641\times18061 \equiv1\times1 [ 5 ]</math> ::Je pense que c'est ça qu'avait découvert Fermat ::Ensuite, vu que la somme de puissances impaires s'écrit toujours ::<math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)</math>, alors bingo. La lecture de Diophante a dû être ce fameux interrupteur dont parle Wiles. Fermat a dû avoir une fulgurance. Du moins c'est ma théorie. Pour les puissances paires, il n'y a rien à chercher: Fermat a réussit en en démontrer l'impossibilité. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 13:53 (UTC) :Mince, comme tu dis. J'aurais aussi voulu qu'il te lise. Je ne suis pas matheux, il faudrait que je réfléchisse où on pourrait mettre ton texte très intéressant, pour l'instant je ne vois rien d'autre qu'ici, et c'est déjà très bien ! {{Clin}}<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:38 (UTC) :Et je viens de voir sur le net, il est décédé en effet. Paix à son âme. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:42 (UTC) ::Merci. C'est dommage. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:12 (UTC) :Oui. Ici c'est déjà bien. Il reste du travail avant de savoir s'il existe une preuve "accessible" autour des facteurs premiers. :En tout cas, cela signifierait que la note de Fermat était bien codée?! Même si tu n'es pas matheux, tu peux quand même vérifier si les 't' et les 'u' ont un sens par rapport au fait de prendre un terme sur 2. :Par conséquent la traduction ''"j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante"'' est plutôt plausible. Faut que je regarde plus en détail les termes du binôme que Franquart a utilisés. Car je n'explique pas la suite: "''Le manque de la bordure ne la contiendrait pas''". :Ou alors si! Pour construire la fonction <math>f_n(u,v)</math>, en fait, on va sur la <math>n^{ieme}</math> ligne du triangle de Pascal. On part du 1 et on n'en prend que 1 sur 2. Par conséquent, le 1 final (bord?) n'est pas dedans. :exemple avec n=5: :le triangle de Pascal: 1 5 10 10 5 1 :Du coup, on prend 1 - 10 - 5 - :résultat: la fonction est <math>f_5(u,v)=1u^2+10uv+5v^2</math> :pour n=7: :le triangle de Pascal: 1 7 21 35 35 21 7 1 :Idem, on prend 1 - 21 - 35 - 7 - :La fonction est bien <math>f_7(u,v)=1u^3+21u^2v+35uv^2+7v^3</math> :Oui, ça se tient! ça tu le peux vérifier! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:02 (UTC) == Peut-être une piste == Bonjour. Je vous site dans un travail de recherche. Peut-être une piste prometteuse, un possible début d'explication sur la façon dont Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème. On est loin d'une preuve, mais Je pense avoir débusqué une idée intéressante. Car elle aboutit sur des généralités pour toute les puissances (pour l'instant impaires). Surtout, elle exploite le ré-agencement des termes du binôme, un peu ce qu'avait recherché Franquart. C'est ici:[[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] . En vous saluant. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:33 (UTC) : Bonjour Alain, et merci d'avoir cité mon texte (où il y a qd-même une trentaine d'arguments — voir ici, au 2/3 de la page [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Dernier_Probl%C3%A8me] — montrant que Fermat avait bien une preuve). J'adore les nombres (voir ici, « Les nombres et Dieu ») :<br /> :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_Nombres_et_Dieu, mais je n'ai fait que peu de math (en 4 lettres, je préfère, c'est plus “carré” - !!!) dans ma jeunesse, je ne peux hélas comprendre le vôtre.<br /> :Cordialement, :Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 07:02 (UTC) ::Je comprends. J'ai envie de vous dire pareillement: Je ne comprends rien à la preuve de Wiles. Elle me sera toujours inaccessible. C'est terrible. Quel dommage! :Mais non voyons Alain ce n'est pas terrible du tout ! Vous savez très bien qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas... sur Terre ! {{sourire}} ::J'ai adoré ce qu'il a dit dans une de ses interview:''la recherche mathématique, c'est entrer dans une pièce sans lumière. Dans l'obscurité on avance, on se cogne, on bute sur des objets, on les tâte à l'aveugle, on recule, change de direction, et au fil du temps on se construit ainsi une carte mentale de l'endroit. Et ce jour où on tombe sur l'interrupteur: tout s'éclaire. Et c'est merveilleux''. ::Votre texte est remarquable. Il m'a vraiment inspiré et m'a été d'une grande aide. Ce qui m'intéresse avant tout de mon côté est l'<u>intuition</u>. Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant. Chez Fermat, l'apparition du théorème a eu l'air d'être assez fulgurante. Vu le style de sa note de lecture, c'est comme si immédiatement son théorème lui était venu à l'esprit pendant la lecture de Diophante. Il y avait une telle évidence! Que s'est-il passé? Il s'était forcément forgé des outils et des techniques des années auparavant. On ne peut pas conjecturer une généralité pareille sans un esprit préparé et formaté par un précédent travail sur les puissances. Il ne peut pas y avoir de bluff. C'est impossible. Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre. Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 08:12 (UTC) Oui, la citation de Wiles est admirable. Merci pour votre compliment, ça me touche beaucoup. Vos 2 phrases : « ''Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant », «Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire »'' sont bien sûr à méditer très, très longuement. Et puisque nous en sommes aux compliments, votre post aussi est remarquable. De mon côté aussi c'est l'intuition qui compte énormément. Concernant Pierre Fermat, je suis personnellement certain qu'il avait '''une intuition extraordinaire''', et ''peut-être'' est-ce là une réponse à votre phrase ''« Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre »'' ? (Je suis mal réveillé, je ne sais si je vous ai bien compris et si je suis clair). Bien à vous, Claude Mariotti [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:00 (UTC) :Juste cette précision d'actualité. De nos jours, le théorème de Fermat n'est plus qu'un tout petit <u>cas particulie</u>r d'une <u>conjecture</u> beaucoup plus vaste. Et ça Fermat aurait pu le conjecturer si vraiment il y avait eu l'idée d'ajouter des puissances quelconques. Mais cette idée complètement farfelue ne lui est pas venue. Ce qui prouve bien qu'il réfléchissait dans un cadre particulier, avec des outils particuliers, liés à ce "partage" des puissances. Ma théorie est qu'il a pu repérer le problème pour les mêmes puissances <math>p</math> (premières), parce que dans ce cas les deux nombres qui émergent du partage sont composés uniquement de facteurs premiers en <math>1[p] </math>. Ce qu'il a dû voir. Et ainsi leur factorisation beaucoup plus facile à faire (mentalement) afin qu'un esprit vif et entrainé en déduise que ce ne seront jamais des puissances. Est-ce qu'il l'a déduit par de nombreux essais, par habitude des nombres qui sortent, par encore une autre technique qu'il utilisait? En avait-il une preuve ou a-t-il procédé par induction? C'est là tout le travail qu'il (me) reste à faire. :Voici pour ''Fermat'': : <math>\quad x^p+y^p=z^p </math> n'a aucune solution avec <math>p</math> supérieur à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. :Et aujourd'hui pour ''Tidjman et Zagier'': : <math>\quad x^p+y^q=z^r </math> n'a aucune solution avec <math>(p, q, r)</math> tous supérieurs à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:04 (UTC) Intéressant... Merci et bonne journée à vous, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:16 (UTC) Vous avez déjà dû le lire mais je le remets ici : 2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « ''[…] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, '''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques.''''' » Et je suis très heureux que mon texte ait pu vous inspirer et vous aider, ça me fait vraiment plaisir. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:04 (UTC) :"''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines''". Non. ça je n'y crois pas une minute. Et du latin, j'en avais fait jusqu'en Terminale. Que les langues "façonnent" notre esprit et nos pensées, j'y ai cru un temps, mais cette théorie m'a rapidement quitté. Par contre, ce que je sais, c'est que la mathématique (vous avez raison, pourquoi au pluriel) est une langue universelle. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Personnellement j'y crois un peu.<br/> P-S : Heureusement que les hommes ne sont pas tous du même avis... {{Clin}}. Ce serait bien triste sinon... [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:23 (UTC) :Oui. Et j'ai peu d'arguments à donner pour étayer ma pensée. L'expérience tranchera. Si vous avez raison, à mesure que le genre s'impose, toutes les langues genrées vont disparaître. Ne resteront que l'anglais, le chinois, et les autres que je connais pas. ;-). Personnellement je tiens au français parce que les sons sont tellement agréables à l'oreille, comparés aux précédentes citées. Par contre, niveau grammaire et orthographe, il y aurait beaucoup de travail d'élagage à faire! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:40 (UTC) Je suis d'origine italienne par mes parents. Pour moi, la langue italienne est encore plus agréable à entendre que la langue française ― c'est encore plus remarquable quand on écoute une chanson italienne ― encore davantage quand c'est une ''chanteuse.'' --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:04 (UTC) On se tutoie Alain, surtout que tous les 2 nous sommes admiratifs du travail de Fermat et de l'homme lui-même ? D'accord ?<br /> Dans cette page : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Le_coup_de_bluff]Le paragraphe — '''ce n'est que mon hypothèse mais j'y crois personnellement assez fort''' (on y croit ou on n'y croit pas) — qui comprend ces mots (tu peux faire une recherche avec Ctrl/F(ind) sur 3 ou 4 mots) parmi ceux-ci :<br /> La formulation : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse», '''<u>qui fait doublon</u>.''' Continuons donc à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité et, tout comme lui, « considérons la question ». La formulation du paragraphe a un double sens : la recherche qu'il évoque, ce n'est pas seulement celle, arithmétique, concernant cette proposition, c'est surtout une recherche de subtilités dans tout ce qu'il écrit. On aura alors avantage à comprendre ainsi le début de la phrase :<br /> « Cette dernière question, dans sa formulation, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. Cette idée, il ne m'a pas fallu moins de <u>'''18 ans !'''</u> pour la mettre au jour, après avoir lu son texte je ne sais combien de fois, 100 fois peut-être. Je ne sais si ''ma'' formulation est bien compréhensible pour d'autres que moi. (Qui a dit que Fermat n'est pas un génie ? Personne ? Ah bon, je préfère {{sourire}}) Tu pourrais me donner ton avis ? : Est-ce qu'elle est bien compréhensible ?. D'avance, merci. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 12:43 (UTC) :Je ne vois pas bien où tu veux en venir? Je ne crois pas bien saisir ton idée? [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:05 (UTC) Grand merci pour ta réponse, ça veut dire que je n'ai pas été assez clair. Là maintenant je suis un peu fatigué (bcp même, j'ai pas arrêté de courir auj.), mais j'y reviendrai. Encore merci. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:27 (UTC) C'est vraiment difficile de travailler sur les travaux de ce génie. « Cette dernière question, '''dans sa formulation''', est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […]. L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. »<br /> Je veux dire par là, avec ces mots de Fermat : (“ ''[... ] Et bien qu'elle soit conçue affirmativement, '''elle est négative''', puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il '''ne peut''' (pas) être divisé par aucun nombre''). » >>> ''“Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers”'' , = “Un nombre premier est un entier naturel qui admet '''seulement''' deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et le nombre considéré lui-même”. Donc il n'y a '''pas''' d'autres diviseurs. Fermat dit : « J’ay ensuite considéré certaines '''questions''' [...] ». Et donc la réponse à la « '''question''' » est '''négative'''. Ça te convient à peu près ? Désolé si je ne suis pas clair, je suis fatigué.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:39 (UTC)<br /> Concernant ta question sur les 't' et les 'u', je ne peux pas te répondre, trop crevé aujourd'hui.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:48 (UTC) :J'avoue être troublé par la formulation de Fermat. :Dans l'intro, il invite le lecteur à y essayer sa nouvelle méthode de la '''descente''' , qui permet d'infirmer une proposition positive par l'absurde, comme par exemple "''Il existe un cube divisible en deux cubes''". Et ainsi la rendre négative, donc "''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''" . Ce que je comprends, c'est qu'il sait déjà qu'il n'y a aucun cube divisible en deux cubes, mais qu'il n'arrive pas à y appliquer sa descente. (ce qu'arrivera à faire Euler en 1753, un siècle plus tard!). :Pour les "''Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.''", je ne pige pas [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:08 (UTC) ::Je comprends ceci: il invente le lecteur à essayer de prouver que ce sont des nombres premiers (en gros d'essayer de faire la décomposition). <u>Fermat sait qu'il ne sont pas tous premiers</u> (c'est "négatif"). Mais prévient le lecteur qu'il va devoir utiliser de très subtiles et très ingénieuses techniques pour y arriver. Ce que Fermat a dû et su développer au cours du temps. ::On sait que ces nombres valent 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... ::et la polémique autour de 4294967297=641 × 6700417, qui du coup n'aurait plus lieu d'être dès 1659, puisqu'il a dû 'enfin) découvrir la fausseté de sa conjecture. ::Mais je ne comprends pas ce que cela vient faire avec sa technique de la descente. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:27 (UTC) Ta première question, Fermat écrit pourtant : « ''la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera <big>aisé d’éprouver.</big> »'' Ta dernière question, vois sur Wikipédia "nombre de Fermat". [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:41 (UTC) :-------------------- :OK. Téléchargé le doc de Jean-René Joly (IGR83035.pdf): donc mon interprétation serait fausse. Voici sa conclusion: "''Il n'est pas surprenant qu'il ait fallu près d'un siècle (disons : de 1645 à 1732) pour que ce facteur premier [641] soit dé­couvert : les travaux arithmétiques de Fermât étaient tombés (avant même sa mort en 1665) dans le manque d'intérêt puis l'oubli le plus profonds, et Euler est en fait le premier grand mathématicien à s'y être passionnément et efficacement intéressé.''" :-------------------- :"Aisé d'éprouver"? ... c'est vraiment pas clair. Il faudrait contextualiser: c'est quoi ce "diverse des <u>précédentes</u>" [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Tape sur ton moteur de recherche : "AUTOUR DU PETIT THEOREME DE FERMAT par Jean-René JOLY" Tu as remarqué qu'à la suite de tes remarques j'ai un peu modifié l'“article” ? --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:00 (UTC) :Re-bonjour Claude ! :Je suis resté silencieux, j'ai un peu délaissé le GTF, mais j'y ai pensé tous les jours au-moins une fois ! :J Francisque Léo [[Spécial:Contributions/87.49.147.192|87.49.147.192]] 17 août 2024 à 19:11 (UTC) fk668bw1r2pelgm90n6lpdyxwl8fskq 985090 985089 2026-07-21T18:24:34Z Guillaume FOUCART 39841 /* L'énigme de Fermat... */ 985090 wikitext text/x-wiki == Importance de l'article (évaluation par l'auteur) == * '''''Histoire des sciences''''' : <span style="color:blue">Maximum</span> * '''''Mathématiques''''' : Concernant le théorème en lui-même, à la suite aussi du gros travail de décryptage de l’''OBSERVATIO'' par Monsieur Roland Franquart : <span style="color:blue">Maximum</span><ref>Il est probable qu'aucun mathématicien n'a réussi à suivre Fermat dans sa formidable et très elliptique explication. Quoi qu'il en soit, une ''[[w:Évaluation par les pairs|peer review]]'' risque de se faire attendre, très, très, très longtemps... (“jamais” serait plus exact)</ref>. Ma note ''<u>personnelle</u>'' pour cette étude, en toute immodestie et honnêteté : * 19,75. Je ne doute pas qu'une forte proximité psychologique et spirituelle avec Pierre de Fermat m'a beaucoup motivé. Merci encore à vous, Monsieur de Fermat, du fond du cœur. En toute immodestie toujours, si j'avais eu à donner une note sur le fond, j'aurais mis 20/20 (on n'est jamais mieux servi que par soi-même). Sur la forme, au vu de certaines imperfections de style qui doivent persister, et de certains passages peut-être un peu longs : optimiste, j'attribuerais la note de 18/20. J'ai presque fait une moyenne : selon moi le fond prime sur la forme.<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 janvier 2022 à 16:44 (UTC) == L'énigme de Fermat et l'arithmétique élémentaire. == Je vous propose deux preuves élémentaires du DTF / TFW : Preuve A : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a, b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul ab(z^n-y^n) par (az^(n-1)-by^(n-1)) donne un seul reste nul et valide : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Preuve B : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a,b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), dans la division directe de reste nul: ab(z^n-y^n)=(az^(n-1)-by^(n-1))(bz+ay)+b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1), le reste doit être nul par application de l'équivalence D=d*q <=> r=0 : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Et Fermat pouvait faire mieux. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui [[Utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|Ahmed Idrissi Bouyahyaoui]] ([[Discussion utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|discuter]]) 31 octobre 2022 à 15:50 (UTC) :Mettez au moins des balises ''math'' ! :Preuve A : :Avec <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math>, Corollaire du Théorème de Bachet (1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul <math>ab(z^n-y^n)</math> par <math>(az^{n-1}-by^{n-1})</math> donne un seul reste nul et valide : <math>b^2zy^{n-1}-a^2yz^{n-1}=0</math>, soit <math>b^2y^{n-2}=a^2z^{n-2}</math>, :égalité impossible pour n>2 puisque <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math> et <math> (x,y,z) \in \mathbb{N} </math> sont premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:53 (UTC) == Commentaires de lecteurs == « Il faut enlever les complexités mentales pour réussir dans toute entreprise. C'est pourquoi Fermat est assez difficile à comprendre : on a des pensées parasites qui n'amènent rien, et on tend à en déduire qu'il n'y a rien d'intéressant d'écrit là car on ne comprend pas ce qui est là. Mais c'est un raisonnement personnel que de découvrir les complexités chez soi. » Jean-Francisque Léo, mai 2022. :Complètement d'accord avec toi. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:39 (UTC) == L'énigme de Fermat... == Pourquoi Pierre de Fermat se serait-il justifié ? [[Spécial:Contributions/92.184.100.25|92.184.100.25]] 6 décembre 2022 à 06:22 (UTC) :Bonjour. Il n'avait en effet aucune raison pour cela. Taquin comme il l'était, très déçu que l'on ne veuille pas comprendre toute la portée de découvertes qui feraient beaucoup progresser la science, il avait toutes les raisons au contraire de faire ce mémorable pied de nez. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 09:40 (UTC) :Votre question est ambigüe, j'y ai vu l'interprétation à mes yeux la plus logique. Maintenant si votre question, plus précisément, est : ''« Pourquoi Fermat aurait-il éprouvé le besoin de dévoiler sa preuve (en la cryptant) ? »'' c'est que vous n'avez lu que quelques bribes de l'article. Et la réponse à votre question figure aussi, en partie, dans mon post précédent. Je suis prêt à entendre vos arguments. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 14:36 (UTC) :Voyez [[Recherche:L’énigme_de_Fermat_passée_au_crible#Préambule|ICI]], j'ai résumé pour vous {{Sourire}}. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] 8 décembre 2022 à 19:32 (UTC). Vous ne me dites pas si ce Préambule que j'ai étoffé vous convient ! Merci en tout cas de votre question qui m'a permis ''d'annoncer la couleur'' dès le début de l'article, et peut-être d'encourager les lecteurs qui comme vous n'en auraient lu que des bribes. Je reconnais qu'il est très long, mais une étude si fouillée sur un sujet aussi important (Fermat et son théorème !) se devait d'être traitée de la façon la plus exhaustive'' (même si, je le reconnais, il persiste encore des longueurs qui peuvent gêner la lecture ― il faudra bien que je continue de faire le ménage''). Si vous avez encore des doutes sur le fait que ''« Fermat fut contristé, amer et particulièrement fâché'' » que plus aucun mathématicien ne veuille coopérer avec lui, je vous suggère de lire '''vraiment''' l'étude ''complète'', je vous assure que vous pourrez découvrir non seulement tout '''l'humour''' de Fermat, mais surtout, une INGÉNIOSITÉ JAMAIS VUE auparavant et que jamais on ne reverra. Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki. Merci encore à vous ! Cordialement, ----[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:38 (UTC) 9 décembre 2022 à 23:59 (UTC) :: Bonjour ! ::Je venais parcourir l'article (scientifique) pour le recommander à un ami mathématicien. ::Dès que je trouve moi-même un intérêt dans un article, je cherche le débat sur la page de discussion afin de m'éclairer sur les points qui justifient qu'il y ait débat. Ici, ::j'ai lu jusqu'à cette phrase qui m'invite au débat : ''''''Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki''''''. Les Wikimédiens ont retenu que les Wikis sont ''modifiables et donc appropriables'' sans autres formes de procès. ::Je ne suis pas de cet avis. Ne devons-nous pas y réfléchir avant d'affirmer ? ::La plupart des Wikis de l'espace Wikimedia sont '' « modifiables et donc appropriables » ''. Mais, tous les Wikis ne le sont pas, même dans l'espace Wikimedia. Que les Wikis pionniers aient adopté l'hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' », comme Wikipedia, Commons, Wikisource, Wikidata, l'hypothèse n'est pas généralisable. ::De mon point de vue, cette hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' » relève du « '''don contre don''' ». ::Réfléchir en mathématiciens sur ce qui est « ''modifiable et donc appropriable'' » est un énorme travail pour l'historienne que je suis. A ce point du « '''don contre don''' », j'irai poursuivre le débat sur ma page de discussion pour ne pas polluer votre espace. ::Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 11:01 (UTC) : Re-bonjour Ambre ! Mais vous ne "polluez" pas du tout mon espace, voyons ! Je suis assez convaincu que le mathématicien que vous avez contacté n'a pas dû apprécier mon texte. Mais peut-être me trompé-je... (chi lo sa ? Pas moi en tout cas). Cordialement, Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:33 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre]]. Merci de ta venue et de ton commentaire. Je suis d'accord avec toi. A dire vrai, si j'ai écrit cette phrase ''Et libre à vous bien sûr […]'', c'est que je pense avoir deviné qui est la personne qui m'avait écrit (en signant par son IP bien localisable, elle avait fait en sorte qu'il en soit ainsi). J'ai donc répondu de cette manière par gentillesse, pour adoucir un début de conflit mineur que nous avions eu ailleurs, mais je me doutais bien qu'elle ne ''supprimerait pas […]'', elle ne se le serait pas permis. Bien cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 février 2023 à 12:19 (UTC) :: Merci [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]].<br />Je propose de transformer le conflit en débat scientifique pluridisciplinaire sur ma pdd. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 20:09 (UTC) J'ai déplacé vos travaux dans une catégorie plus appropriée et encore j'ai été gentil. Vos travaux sont extrêmement et même supra spéculatifs et donc extrêmement fragiles. De plus, tous vos superlatifs employés pour qualifier Fermat ne sont sans doute pas objectifs mais reflètent plutôt votre amour aveugle, béat et inconditionnel envers lui. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 19 juillet 2026 à 21:37 (UTC) Connaissez vous la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins ? C'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc pour réfuter votre travail dans son intégralité, il est plus que probable qu'il faille effectuer un travail immense, bien plus grand que le travail que vous avez effectué. Je me dispenserai d'un tel travail. Mais je reconnais que vos travaux sont bien écrits et bien rédigés. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 21 juillet 2026 à 18:16 (UTC) == Roland Franquart == Qu'est devenu Roland Franquart? La boite mail indiquée sur son site (ideedefermat) est fermée. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:11 (UTC) : La dernière fois que je l'ai eu au téléphone, il y a lgtps déjà, il n'était pas en bonne santé. Il est possible hélas qu'il soit décédé. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:20 (UTC) ::Mince. Pour ce tissage, c'est incroyable mais ça va dans le même sens de mes trouvailles. ::J'aurais bien voulu qu'il voit ça: ::Pour vous, je vais prendre le cas <math>n=5</math> à titre d'exemple. ::Le binôme donne: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x^5}+5x^4y+{\color{red}10x^3y^2}+10x^2y^3+{\color{red}5xy^4 }+y^5</math> ::Effectivement, le regroupements qui va nous intéresser est de prendre successivement un terme sur deux, et de former alors 2 blocs: ::<math>(x+y)^5={\color{red}(x^5 + 10x^3y^2+5xy^4)} + (5x^4y + 10x^2y^3 +y^5 )</math> ::C'est là que ne comprenais plus ce que faisait Franquart ::Moi je factorise: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(5x^4 + 10x^2y^2 +y^4 )</math> ::Je vous réécris à l'envers le groupe des <math>y</math> pour bien montrer la symétrie de l'écriture: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(y^4 + 10x^2y^2 + 5x^4 )</math> ::Voilà. ::On a donc la forme voulue: ::<math>(x+y)^5={\color{red}xf(x^2,y^2)} + yf(y^2,x^2) )</math> avec <math>f(u,v)=u^2 + 10uv+5v^2</math> ::Et c'est là qu'intervient une loi vérifiée pour <u>toutes les puissances premières</u>: ::Ici avec 5, les facteurs premiers de <math>f(u^2,v^2)</math> sont tous congrus à 1 modulo 5 pour <math>(u,v)</math> premier entre eux de parité différente. De nombreux essais avec plein de valeurs, jamais de puissance. Mieux! Il semble toujours y avoir un des facteurs sans puissance. ::Quelques exemples: ::<math>f_{ 5 }( 2 ^2, 1 ^2) = 61 \equiv1[ 5 ] </math> ::<math>f_{ 5 }( 18 ^2, 35 ^2) = 11577101 =641\times18061 \equiv1\times1 [ 5 ]</math> ::Je pense que c'est ça qu'avait découvert Fermat ::Ensuite, vu que la somme de puissances impaires s'écrit toujours ::<math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)</math>, alors bingo. La lecture de Diophante a dû être ce fameux interrupteur dont parle Wiles. Fermat a dû avoir une fulgurance. Du moins c'est ma théorie. Pour les puissances paires, il n'y a rien à chercher: Fermat a réussit en en démontrer l'impossibilité. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 13:53 (UTC) :Mince, comme tu dis. J'aurais aussi voulu qu'il te lise. Je ne suis pas matheux, il faudrait que je réfléchisse où on pourrait mettre ton texte très intéressant, pour l'instant je ne vois rien d'autre qu'ici, et c'est déjà très bien ! {{Clin}}<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:38 (UTC) :Et je viens de voir sur le net, il est décédé en effet. Paix à son âme. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:42 (UTC) ::Merci. C'est dommage. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:12 (UTC) :Oui. Ici c'est déjà bien. Il reste du travail avant de savoir s'il existe une preuve "accessible" autour des facteurs premiers. :En tout cas, cela signifierait que la note de Fermat était bien codée?! Même si tu n'es pas matheux, tu peux quand même vérifier si les 't' et les 'u' ont un sens par rapport au fait de prendre un terme sur 2. :Par conséquent la traduction ''"j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante"'' est plutôt plausible. Faut que je regarde plus en détail les termes du binôme que Franquart a utilisés. Car je n'explique pas la suite: "''Le manque de la bordure ne la contiendrait pas''". :Ou alors si! Pour construire la fonction <math>f_n(u,v)</math>, en fait, on va sur la <math>n^{ieme}</math> ligne du triangle de Pascal. On part du 1 et on n'en prend que 1 sur 2. Par conséquent, le 1 final (bord?) n'est pas dedans. :exemple avec n=5: :le triangle de Pascal: 1 5 10 10 5 1 :Du coup, on prend 1 - 10 - 5 - :résultat: la fonction est <math>f_5(u,v)=1u^2+10uv+5v^2</math> :pour n=7: :le triangle de Pascal: 1 7 21 35 35 21 7 1 :Idem, on prend 1 - 21 - 35 - 7 - :La fonction est bien <math>f_7(u,v)=1u^3+21u^2v+35uv^2+7v^3</math> :Oui, ça se tient! ça tu le peux vérifier! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:02 (UTC) == Peut-être une piste == Bonjour. Je vous site dans un travail de recherche. Peut-être une piste prometteuse, un possible début d'explication sur la façon dont Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème. On est loin d'une preuve, mais Je pense avoir débusqué une idée intéressante. Car elle aboutit sur des généralités pour toute les puissances (pour l'instant impaires). Surtout, elle exploite le ré-agencement des termes du binôme, un peu ce qu'avait recherché Franquart. C'est ici:[[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] . En vous saluant. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:33 (UTC) : Bonjour Alain, et merci d'avoir cité mon texte (où il y a qd-même une trentaine d'arguments — voir ici, au 2/3 de la page [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Dernier_Probl%C3%A8me] — montrant que Fermat avait bien une preuve). J'adore les nombres (voir ici, « Les nombres et Dieu ») :<br /> :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_Nombres_et_Dieu, mais je n'ai fait que peu de math (en 4 lettres, je préfère, c'est plus “carré” - !!!) dans ma jeunesse, je ne peux hélas comprendre le vôtre.<br /> :Cordialement, :Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 07:02 (UTC) ::Je comprends. J'ai envie de vous dire pareillement: Je ne comprends rien à la preuve de Wiles. Elle me sera toujours inaccessible. C'est terrible. Quel dommage! :Mais non voyons Alain ce n'est pas terrible du tout ! Vous savez très bien qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas... sur Terre ! {{sourire}} ::J'ai adoré ce qu'il a dit dans une de ses interview:''la recherche mathématique, c'est entrer dans une pièce sans lumière. Dans l'obscurité on avance, on se cogne, on bute sur des objets, on les tâte à l'aveugle, on recule, change de direction, et au fil du temps on se construit ainsi une carte mentale de l'endroit. Et ce jour où on tombe sur l'interrupteur: tout s'éclaire. Et c'est merveilleux''. ::Votre texte est remarquable. Il m'a vraiment inspiré et m'a été d'une grande aide. Ce qui m'intéresse avant tout de mon côté est l'<u>intuition</u>. Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant. Chez Fermat, l'apparition du théorème a eu l'air d'être assez fulgurante. Vu le style de sa note de lecture, c'est comme si immédiatement son théorème lui était venu à l'esprit pendant la lecture de Diophante. Il y avait une telle évidence! Que s'est-il passé? Il s'était forcément forgé des outils et des techniques des années auparavant. On ne peut pas conjecturer une généralité pareille sans un esprit préparé et formaté par un précédent travail sur les puissances. Il ne peut pas y avoir de bluff. C'est impossible. Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre. Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 08:12 (UTC) Oui, la citation de Wiles est admirable. Merci pour votre compliment, ça me touche beaucoup. Vos 2 phrases : « ''Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant », «Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire »'' sont bien sûr à méditer très, très longuement. Et puisque nous en sommes aux compliments, votre post aussi est remarquable. De mon côté aussi c'est l'intuition qui compte énormément. Concernant Pierre Fermat, je suis personnellement certain qu'il avait '''une intuition extraordinaire''', et ''peut-être'' est-ce là une réponse à votre phrase ''« Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre »'' ? (Je suis mal réveillé, je ne sais si je vous ai bien compris et si je suis clair). Bien à vous, Claude Mariotti [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:00 (UTC) :Juste cette précision d'actualité. De nos jours, le théorème de Fermat n'est plus qu'un tout petit <u>cas particulie</u>r d'une <u>conjecture</u> beaucoup plus vaste. Et ça Fermat aurait pu le conjecturer si vraiment il y avait eu l'idée d'ajouter des puissances quelconques. Mais cette idée complètement farfelue ne lui est pas venue. Ce qui prouve bien qu'il réfléchissait dans un cadre particulier, avec des outils particuliers, liés à ce "partage" des puissances. Ma théorie est qu'il a pu repérer le problème pour les mêmes puissances <math>p</math> (premières), parce que dans ce cas les deux nombres qui émergent du partage sont composés uniquement de facteurs premiers en <math>1[p] </math>. Ce qu'il a dû voir. Et ainsi leur factorisation beaucoup plus facile à faire (mentalement) afin qu'un esprit vif et entrainé en déduise que ce ne seront jamais des puissances. Est-ce qu'il l'a déduit par de nombreux essais, par habitude des nombres qui sortent, par encore une autre technique qu'il utilisait? En avait-il une preuve ou a-t-il procédé par induction? C'est là tout le travail qu'il (me) reste à faire. :Voici pour ''Fermat'': : <math>\quad x^p+y^p=z^p </math> n'a aucune solution avec <math>p</math> supérieur à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. :Et aujourd'hui pour ''Tidjman et Zagier'': : <math>\quad x^p+y^q=z^r </math> n'a aucune solution avec <math>(p, q, r)</math> tous supérieurs à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:04 (UTC) Intéressant... Merci et bonne journée à vous, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:16 (UTC) Vous avez déjà dû le lire mais je le remets ici : 2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « ''[…] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, '''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques.''''' » Et je suis très heureux que mon texte ait pu vous inspirer et vous aider, ça me fait vraiment plaisir. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:04 (UTC) :"''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines''". Non. ça je n'y crois pas une minute. Et du latin, j'en avais fait jusqu'en Terminale. Que les langues "façonnent" notre esprit et nos pensées, j'y ai cru un temps, mais cette théorie m'a rapidement quitté. Par contre, ce que je sais, c'est que la mathématique (vous avez raison, pourquoi au pluriel) est une langue universelle. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Personnellement j'y crois un peu.<br/> P-S : Heureusement que les hommes ne sont pas tous du même avis... {{Clin}}. Ce serait bien triste sinon... [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:23 (UTC) :Oui. Et j'ai peu d'arguments à donner pour étayer ma pensée. L'expérience tranchera. Si vous avez raison, à mesure que le genre s'impose, toutes les langues genrées vont disparaître. Ne resteront que l'anglais, le chinois, et les autres que je connais pas. ;-). Personnellement je tiens au français parce que les sons sont tellement agréables à l'oreille, comparés aux précédentes citées. Par contre, niveau grammaire et orthographe, il y aurait beaucoup de travail d'élagage à faire! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:40 (UTC) Je suis d'origine italienne par mes parents. Pour moi, la langue italienne est encore plus agréable à entendre que la langue française ― c'est encore plus remarquable quand on écoute une chanson italienne ― encore davantage quand c'est une ''chanteuse.'' --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:04 (UTC) On se tutoie Alain, surtout que tous les 2 nous sommes admiratifs du travail de Fermat et de l'homme lui-même ? D'accord ?<br /> Dans cette page : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Le_coup_de_bluff]Le paragraphe — '''ce n'est que mon hypothèse mais j'y crois personnellement assez fort''' (on y croit ou on n'y croit pas) — qui comprend ces mots (tu peux faire une recherche avec Ctrl/F(ind) sur 3 ou 4 mots) parmi ceux-ci :<br /> La formulation : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse», '''<u>qui fait doublon</u>.''' Continuons donc à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité et, tout comme lui, « considérons la question ». La formulation du paragraphe a un double sens : la recherche qu'il évoque, ce n'est pas seulement celle, arithmétique, concernant cette proposition, c'est surtout une recherche de subtilités dans tout ce qu'il écrit. On aura alors avantage à comprendre ainsi le début de la phrase :<br /> « Cette dernière question, dans sa formulation, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. Cette idée, il ne m'a pas fallu moins de <u>'''18 ans !'''</u> pour la mettre au jour, après avoir lu son texte je ne sais combien de fois, 100 fois peut-être. Je ne sais si ''ma'' formulation est bien compréhensible pour d'autres que moi. (Qui a dit que Fermat n'est pas un génie ? Personne ? Ah bon, je préfère {{sourire}}) Tu pourrais me donner ton avis ? : Est-ce qu'elle est bien compréhensible ?. D'avance, merci. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 12:43 (UTC) :Je ne vois pas bien où tu veux en venir? Je ne crois pas bien saisir ton idée? [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:05 (UTC) Grand merci pour ta réponse, ça veut dire que je n'ai pas été assez clair. Là maintenant je suis un peu fatigué (bcp même, j'ai pas arrêté de courir auj.), mais j'y reviendrai. Encore merci. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:27 (UTC) C'est vraiment difficile de travailler sur les travaux de ce génie. « Cette dernière question, '''dans sa formulation''', est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […]. L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. »<br /> Je veux dire par là, avec ces mots de Fermat : (“ ''[... ] Et bien qu'elle soit conçue affirmativement, '''elle est négative''', puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il '''ne peut''' (pas) être divisé par aucun nombre''). » >>> ''“Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers”'' , = “Un nombre premier est un entier naturel qui admet '''seulement''' deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et le nombre considéré lui-même”. Donc il n'y a '''pas''' d'autres diviseurs. Fermat dit : « J’ay ensuite considéré certaines '''questions''' [...] ». Et donc la réponse à la « '''question''' » est '''négative'''. Ça te convient à peu près ? Désolé si je ne suis pas clair, je suis fatigué.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:39 (UTC)<br /> Concernant ta question sur les 't' et les 'u', je ne peux pas te répondre, trop crevé aujourd'hui.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:48 (UTC) :J'avoue être troublé par la formulation de Fermat. :Dans l'intro, il invite le lecteur à y essayer sa nouvelle méthode de la '''descente''' , qui permet d'infirmer une proposition positive par l'absurde, comme par exemple "''Il existe un cube divisible en deux cubes''". Et ainsi la rendre négative, donc "''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''" . Ce que je comprends, c'est qu'il sait déjà qu'il n'y a aucun cube divisible en deux cubes, mais qu'il n'arrive pas à y appliquer sa descente. (ce qu'arrivera à faire Euler en 1753, un siècle plus tard!). :Pour les "''Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.''", je ne pige pas [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:08 (UTC) ::Je comprends ceci: il invente le lecteur à essayer de prouver que ce sont des nombres premiers (en gros d'essayer de faire la décomposition). <u>Fermat sait qu'il ne sont pas tous premiers</u> (c'est "négatif"). Mais prévient le lecteur qu'il va devoir utiliser de très subtiles et très ingénieuses techniques pour y arriver. Ce que Fermat a dû et su développer au cours du temps. ::On sait que ces nombres valent 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... ::et la polémique autour de 4294967297=641 × 6700417, qui du coup n'aurait plus lieu d'être dès 1659, puisqu'il a dû 'enfin) découvrir la fausseté de sa conjecture. ::Mais je ne comprends pas ce que cela vient faire avec sa technique de la descente. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:27 (UTC) Ta première question, Fermat écrit pourtant : « ''la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera <big>aisé d’éprouver.</big> »'' Ta dernière question, vois sur Wikipédia "nombre de Fermat". [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:41 (UTC) :-------------------- :OK. Téléchargé le doc de Jean-René Joly (IGR83035.pdf): donc mon interprétation serait fausse. Voici sa conclusion: "''Il n'est pas surprenant qu'il ait fallu près d'un siècle (disons : de 1645 à 1732) pour que ce facteur premier [641] soit dé­couvert : les travaux arithmétiques de Fermât étaient tombés (avant même sa mort en 1665) dans le manque d'intérêt puis l'oubli le plus profonds, et Euler est en fait le premier grand mathématicien à s'y être passionnément et efficacement intéressé.''" :-------------------- :"Aisé d'éprouver"? ... c'est vraiment pas clair. Il faudrait contextualiser: c'est quoi ce "diverse des <u>précédentes</u>" [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Tape sur ton moteur de recherche : "AUTOUR DU PETIT THEOREME DE FERMAT par Jean-René JOLY" Tu as remarqué qu'à la suite de tes remarques j'ai un peu modifié l'“article” ? --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:00 (UTC) :Re-bonjour Claude ! :Je suis resté silencieux, j'ai un peu délaissé le GTF, mais j'y ai pensé tous les jours au-moins une fois ! :J Francisque Léo [[Spécial:Contributions/87.49.147.192|87.49.147.192]] 17 août 2024 à 19:11 (UTC) d2d9opocnmax6p2gi23sdmariu09x7r 985091 985090 2026-07-21T19:22:12Z Guillaume FOUCART 39841 /* L'énigme de Fermat... */ 985091 wikitext text/x-wiki == Importance de l'article (évaluation par l'auteur) == * '''''Histoire des sciences''''' : <span style="color:blue">Maximum</span> * '''''Mathématiques''''' : Concernant le théorème en lui-même, à la suite aussi du gros travail de décryptage de l’''OBSERVATIO'' par Monsieur Roland Franquart : <span style="color:blue">Maximum</span><ref>Il est probable qu'aucun mathématicien n'a réussi à suivre Fermat dans sa formidable et très elliptique explication. Quoi qu'il en soit, une ''[[w:Évaluation par les pairs|peer review]]'' risque de se faire attendre, très, très, très longtemps... (“jamais” serait plus exact)</ref>. Ma note ''<u>personnelle</u>'' pour cette étude, en toute immodestie et honnêteté : * 19,75. Je ne doute pas qu'une forte proximité psychologique et spirituelle avec Pierre de Fermat m'a beaucoup motivé. Merci encore à vous, Monsieur de Fermat, du fond du cœur. En toute immodestie toujours, si j'avais eu à donner une note sur le fond, j'aurais mis 20/20 (on n'est jamais mieux servi que par soi-même). Sur la forme, au vu de certaines imperfections de style qui doivent persister, et de certains passages peut-être un peu longs : optimiste, j'attribuerais la note de 18/20. J'ai presque fait une moyenne : selon moi le fond prime sur la forme.<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|Claude Mariotti]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 janvier 2022 à 16:44 (UTC) == L'énigme de Fermat et l'arithmétique élémentaire. == Je vous propose deux preuves élémentaires du DTF / TFW : Preuve A : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a, b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul ab(z^n-y^n) par (az^(n-1)-by^(n-1)) donne un seul reste nul et valide : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Preuve B : Avec x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1), (a,b € Z^2, Corollaire du Théorème de Bachet - 1624), dans la division directe de reste nul: ab(z^n-y^n)=(az^(n-1)-by^(n-1))(bz+ay)+b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1), le reste doit être nul par application de l'équivalence D=d*q <=> r=0 : b^2zy^(n-1)-a^2yz^(n-1)=0, soit b^2y^(n-2)=a^2z^(n-2), égalité impossible pour n>2 puisque x^(n-1)=az^(n-1)-by^(n-1) et x, y, z € N* sont premiers entre eux. Et Fermat pouvait faire mieux. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui [[Utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|Ahmed Idrissi Bouyahyaoui]] ([[Discussion utilisateur:Ahmed Idrissi Bouyahyaoui|discuter]]) 31 octobre 2022 à 15:50 (UTC) :Mettez au moins des balises ''math'' ! :Preuve A : :Avec <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math>, Corollaire du Théorème de Bachet (1624), et par l'arbre de la division, la division de reste nul <math>ab(z^n-y^n)</math> par <math>(az^{n-1}-by^{n-1})</math> donne un seul reste nul et valide : <math>b^2zy^{n-1}-a^2yz^{n-1}=0</math>, soit <math>b^2y^{n-2}=a^2z^{n-2}</math>, :égalité impossible pour n>2 puisque <math>x^{n-1}=az^{n-1}-by^{n-1}</math> et <math> (x,y,z) \in \mathbb{N} </math> sont premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:53 (UTC) == Commentaires de lecteurs == « Il faut enlever les complexités mentales pour réussir dans toute entreprise. C'est pourquoi Fermat est assez difficile à comprendre : on a des pensées parasites qui n'amènent rien, et on tend à en déduire qu'il n'y a rien d'intéressant d'écrit là car on ne comprend pas ce qui est là. Mais c'est un raisonnement personnel que de découvrir les complexités chez soi. » Jean-Francisque Léo, mai 2022. :Complètement d'accord avec toi. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:39 (UTC) == L'énigme de Fermat... == Pourquoi Pierre de Fermat se serait-il justifié ? [[Spécial:Contributions/92.184.100.25|92.184.100.25]] 6 décembre 2022 à 06:22 (UTC) :Bonjour. Il n'avait en effet aucune raison pour cela. Taquin comme il l'était, très déçu que l'on ne veuille pas comprendre toute la portée de découvertes qui feraient beaucoup progresser la science, il avait toutes les raisons au contraire de faire ce mémorable pied de nez. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 09:40 (UTC) :Votre question est ambigüe, j'y ai vu l'interprétation à mes yeux la plus logique. Maintenant si votre question, plus précisément, est : ''« Pourquoi Fermat aurait-il éprouvé le besoin de dévoiler sa preuve (en la cryptant) ? »'' c'est que vous n'avez lu que quelques bribes de l'article. Et la réponse à votre question figure aussi, en partie, dans mon post précédent. Je suis prêt à entendre vos arguments. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 décembre 2022 à 14:36 (UTC) :Voyez [[Recherche:L’énigme_de_Fermat_passée_au_crible#Préambule|ICI]], j'ai résumé pour vous {{Sourire}}. --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] 8 décembre 2022 à 19:32 (UTC). Vous ne me dites pas si ce Préambule que j'ai étoffé vous convient ! Merci en tout cas de votre question qui m'a permis ''d'annoncer la couleur'' dès le début de l'article, et peut-être d'encourager les lecteurs qui comme vous n'en auraient lu que des bribes. Je reconnais qu'il est très long, mais une étude si fouillée sur un sujet aussi important (Fermat et son théorème !) se devait d'être traitée de la façon la plus exhaustive'' (même si, je le reconnais, il persiste encore des longueurs qui peuvent gêner la lecture ― il faudra bien que je continue de faire le ménage''). Si vous avez encore des doutes sur le fait que ''« Fermat fut contristé, amer et particulièrement fâché'' » que plus aucun mathématicien ne veuille coopérer avec lui, je vous suggère de lire '''vraiment''' l'étude ''complète'', je vous assure que vous pourrez découvrir non seulement tout '''l'humour''' de Fermat, mais surtout, une INGÉNIOSITÉ JAMAIS VUE auparavant et que jamais on ne reverra. Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki. Merci encore à vous ! Cordialement, ----[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:38 (UTC) 9 décembre 2022 à 23:59 (UTC) :: Bonjour ! ::Je venais parcourir l'article (scientifique) pour le recommander à un ami mathématicien. ::Dès que je trouve moi-même un intérêt dans un article, je cherche le débat sur la page de discussion afin de m'éclairer sur les points qui justifient qu'il y ait débat. Ici, ::j'ai lu jusqu'à cette phrase qui m'invite au débat : ''''''Et libre à vous bien sûr de supprimer les longueurs que vous trouverez, nous sommes sur un wiki''''''. Les Wikimédiens ont retenu que les Wikis sont ''modifiables et donc appropriables'' sans autres formes de procès. ::Je ne suis pas de cet avis. Ne devons-nous pas y réfléchir avant d'affirmer ? ::La plupart des Wikis de l'espace Wikimedia sont '' « modifiables et donc appropriables » ''. Mais, tous les Wikis ne le sont pas, même dans l'espace Wikimedia. Que les Wikis pionniers aient adopté l'hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' », comme Wikipedia, Commons, Wikisource, Wikidata, l'hypothèse n'est pas généralisable. ::De mon point de vue, cette hypothèse « ''modifiables et donc appropriables'' » relève du « '''don contre don''' ». ::Réfléchir en mathématiciens sur ce qui est « ''modifiable et donc appropriable'' » est un énorme travail pour l'historienne que je suis. A ce point du « '''don contre don''' », j'irai poursuivre le débat sur ma page de discussion pour ne pas polluer votre espace. ::Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 11:01 (UTC) : Re-bonjour Ambre ! Mais vous ne "polluez" pas du tout mon espace, voyons ! Je suis assez convaincu que le mathématicien que vous avez contacté n'a pas dû apprécier mon texte. Mais peut-être me trompé-je... (chi lo sa ? Pas moi en tout cas). Cordialement, Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:33 (UTC) :Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre]]. Merci de ta venue et de ton commentaire. Je suis d'accord avec toi. A dire vrai, si j'ai écrit cette phrase ''Et libre à vous bien sûr […]'', c'est que je pense avoir deviné qui est la personne qui m'avait écrit (en signant par son IP bien localisable, elle avait fait en sorte qu'il en soit ainsi). J'ai donc répondu de cette manière par gentillesse, pour adoucir un début de conflit mineur que nous avions eu ailleurs, mais je me doutais bien qu'elle ne ''supprimerait pas […]'', elle ne se le serait pas permis. Bien cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 février 2023 à 12:19 (UTC) :: Merci [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]].<br />Je propose de transformer le conflit en débat scientifique pluridisciplinaire sur ma pdd. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 20 février 2023 à 20:09 (UTC) J'ai déplacé vos travaux dans une catégorie plus appropriée et encore j'ai été gentil. Vos travaux sont extrêmement et même supra spéculatifs et donc extrêmement fragiles. De plus, tous vos superlatifs employés pour qualifier Fermat ne sont sans doute pas objectifs mais reflètent plutôt votre amour aveugle, béat et inconditionnel envers lui. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 19 juillet 2026 à 21:37 (UTC) Connaissez-vous la loi dite de Brandolini ou du principe d'asymétrie des baratins ? C'est-à-dire l’aphorisme selon lequel « la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [<math>\cdots</math>] est supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire ». Donc pour réfuter votre travail dans son intégralité, il est plus que probable qu'il faille effectuer un travail immense, bien plus grand que le travail que vous avez effectué. Je me dispenserai d'un tel travail. Mais je reconnais que vos travaux sont bien écrits et bien rédigés. [[Utilisateur:Guillaume FOUCART|Guillaume FOUCART]] ([[Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART|discuter]]) 21 juillet 2026 à 18:16 (UTC) == Roland Franquart == Qu'est devenu Roland Franquart? La boite mail indiquée sur son site (ideedefermat) est fermée. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:11 (UTC) : La dernière fois que je l'ai eu au téléphone, il y a lgtps déjà, il n'était pas en bonne santé. Il est possible hélas qu'il soit décédé. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:20 (UTC) ::Mince. Pour ce tissage, c'est incroyable mais ça va dans le même sens de mes trouvailles. ::J'aurais bien voulu qu'il voit ça: ::Pour vous, je vais prendre le cas <math>n=5</math> à titre d'exemple. ::Le binôme donne: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x^5}+5x^4y+{\color{red}10x^3y^2}+10x^2y^3+{\color{red}5xy^4 }+y^5</math> ::Effectivement, le regroupements qui va nous intéresser est de prendre successivement un terme sur deux, et de former alors 2 blocs: ::<math>(x+y)^5={\color{red}(x^5 + 10x^3y^2+5xy^4)} + (5x^4y + 10x^2y^3 +y^5 )</math> ::C'est là que ne comprenais plus ce que faisait Franquart ::Moi je factorise: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(5x^4 + 10x^2y^2 +y^4 )</math> ::Je vous réécris à l'envers le groupe des <math>y</math> pour bien montrer la symétrie de l'écriture: ::<math>(x+y)^5={\color{red}x(x^4 + 10x^2y^2+5y^4)} + y(y^4 + 10x^2y^2 + 5x^4 )</math> ::Voilà. ::On a donc la forme voulue: ::<math>(x+y)^5={\color{red}xf(x^2,y^2)} + yf(y^2,x^2) )</math> avec <math>f(u,v)=u^2 + 10uv+5v^2</math> ::Et c'est là qu'intervient une loi vérifiée pour <u>toutes les puissances premières</u>: ::Ici avec 5, les facteurs premiers de <math>f(u^2,v^2)</math> sont tous congrus à 1 modulo 5 pour <math>(u,v)</math> premier entre eux de parité différente. De nombreux essais avec plein de valeurs, jamais de puissance. Mieux! Il semble toujours y avoir un des facteurs sans puissance. ::Quelques exemples: ::<math>f_{ 5 }( 2 ^2, 1 ^2) = 61 \equiv1[ 5 ] </math> ::<math>f_{ 5 }( 18 ^2, 35 ^2) = 11577101 =641\times18061 \equiv1\times1 [ 5 ]</math> ::Je pense que c'est ça qu'avait découvert Fermat ::Ensuite, vu que la somme de puissances impaires s'écrit toujours ::<math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)</math>, alors bingo. La lecture de Diophante a dû être ce fameux interrupteur dont parle Wiles. Fermat a dû avoir une fulgurance. Du moins c'est ma théorie. Pour les puissances paires, il n'y a rien à chercher: Fermat a réussit en en démontrer l'impossibilité. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 13:53 (UTC) :Mince, comme tu dis. J'aurais aussi voulu qu'il te lise. Je ne suis pas matheux, il faudrait que je réfléchisse où on pourrait mettre ton texte très intéressant, pour l'instant je ne vois rien d'autre qu'ici, et c'est déjà très bien ! {{Clin}}<br /> --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:38 (UTC) :Et je viens de voir sur le net, il est décédé en effet. Paix à son âme. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 14:42 (UTC) ::Merci. C'est dommage. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:12 (UTC) :Oui. Ici c'est déjà bien. Il reste du travail avant de savoir s'il existe une preuve "accessible" autour des facteurs premiers. :En tout cas, cela signifierait que la note de Fermat était bien codée?! Même si tu n'es pas matheux, tu peux quand même vérifier si les 't' et les 'u' ont un sens par rapport au fait de prendre un terme sur 2. :Par conséquent la traduction ''"j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication surprenante"'' est plutôt plausible. Faut que je regarde plus en détail les termes du binôme que Franquart a utilisés. Car je n'explique pas la suite: "''Le manque de la bordure ne la contiendrait pas''". :Ou alors si! Pour construire la fonction <math>f_n(u,v)</math>, en fait, on va sur la <math>n^{ieme}</math> ligne du triangle de Pascal. On part du 1 et on n'en prend que 1 sur 2. Par conséquent, le 1 final (bord?) n'est pas dedans. :exemple avec n=5: :le triangle de Pascal: 1 5 10 10 5 1 :Du coup, on prend 1 - 10 - 5 - :résultat: la fonction est <math>f_5(u,v)=1u^2+10uv+5v^2</math> :pour n=7: :le triangle de Pascal: 1 7 21 35 35 21 7 1 :Idem, on prend 1 - 21 - 35 - 7 - :La fonction est bien <math>f_7(u,v)=1u^3+21u^2v+35uv^2+7v^3</math> :Oui, ça se tient! ça tu le peux vérifier! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:02 (UTC) == Peut-être une piste == Bonjour. Je vous site dans un travail de recherche. Peut-être une piste prometteuse, un possible début d'explication sur la façon dont Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème. On est loin d'une preuve, mais Je pense avoir débusqué une idée intéressante. Car elle aboutit sur des généralités pour toute les puissances (pour l'instant impaires). Surtout, elle exploite le ré-agencement des termes du binôme, un peu ce qu'avait recherché Franquart. C'est ici:[[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] . En vous saluant. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 06:33 (UTC) : Bonjour Alain, et merci d'avoir cité mon texte (où il y a qd-même une trentaine d'arguments — voir ici, au 2/3 de la page [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Dernier_Probl%C3%A8me] — montrant que Fermat avait bien une preuve). J'adore les nombres (voir ici, « Les nombres et Dieu ») :<br /> :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_Nombres_et_Dieu, mais je n'ai fait que peu de math (en 4 lettres, je préfère, c'est plus “carré” - !!!) dans ma jeunesse, je ne peux hélas comprendre le vôtre.<br /> :Cordialement, :Claude Mariotti. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 07:02 (UTC) ::Je comprends. J'ai envie de vous dire pareillement: Je ne comprends rien à la preuve de Wiles. Elle me sera toujours inaccessible. C'est terrible. Quel dommage! :Mais non voyons Alain ce n'est pas terrible du tout ! Vous savez très bien qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas... sur Terre ! {{sourire}} ::J'ai adoré ce qu'il a dit dans une de ses interview:''la recherche mathématique, c'est entrer dans une pièce sans lumière. Dans l'obscurité on avance, on se cogne, on bute sur des objets, on les tâte à l'aveugle, on recule, change de direction, et au fil du temps on se construit ainsi une carte mentale de l'endroit. Et ce jour où on tombe sur l'interrupteur: tout s'éclaire. Et c'est merveilleux''. ::Votre texte est remarquable. Il m'a vraiment inspiré et m'a été d'une grande aide. Ce qui m'intéresse avant tout de mon côté est l'<u>intuition</u>. Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant. Chez Fermat, l'apparition du théorème a eu l'air d'être assez fulgurante. Vu le style de sa note de lecture, c'est comme si immédiatement son théorème lui était venu à l'esprit pendant la lecture de Diophante. Il y avait une telle évidence! Que s'est-il passé? Il s'était forcément forgé des outils et des techniques des années auparavant. On ne peut pas conjecturer une généralité pareille sans un esprit préparé et formaté par un précédent travail sur les puissances. Il ne peut pas y avoir de bluff. C'est impossible. Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre. Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 08:12 (UTC) Oui, la citation de Wiles est admirable. Merci pour votre compliment, ça me touche beaucoup. Vos 2 phrases : « ''Comment un jour une petite voix intérieure vous donne un résultat. Et c'est souvent le résultat d'un intense travail des années durant », «Il n'y a pas de génie sans travail préliminaire »'' sont bien sûr à méditer très, très longuement. Et puisque nous en sommes aux compliments, votre post aussi est remarquable. De mon côté aussi c'est l'intuition qui compte énormément. Concernant Pierre Fermat, je suis personnellement certain qu'il avait '''une intuition extraordinaire''', et ''peut-être'' est-ce là une réponse à votre phrase ''« Et c'est ça que j'aimerais bien comprendre »'' ? (Je suis mal réveillé, je ne sais si je vous ai bien compris et si je suis clair). Bien à vous, Claude Mariotti [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:00 (UTC) :Juste cette précision d'actualité. De nos jours, le théorème de Fermat n'est plus qu'un tout petit <u>cas particulie</u>r d'une <u>conjecture</u> beaucoup plus vaste. Et ça Fermat aurait pu le conjecturer si vraiment il y avait eu l'idée d'ajouter des puissances quelconques. Mais cette idée complètement farfelue ne lui est pas venue. Ce qui prouve bien qu'il réfléchissait dans un cadre particulier, avec des outils particuliers, liés à ce "partage" des puissances. Ma théorie est qu'il a pu repérer le problème pour les mêmes puissances <math>p</math> (premières), parce que dans ce cas les deux nombres qui émergent du partage sont composés uniquement de facteurs premiers en <math>1[p] </math>. Ce qu'il a dû voir. Et ainsi leur factorisation beaucoup plus facile à faire (mentalement) afin qu'un esprit vif et entrainé en déduise que ce ne seront jamais des puissances. Est-ce qu'il l'a déduit par de nombreux essais, par habitude des nombres qui sortent, par encore une autre technique qu'il utilisait? En avait-il une preuve ou a-t-il procédé par induction? C'est là tout le travail qu'il (me) reste à faire. :Voici pour ''Fermat'': : <math>\quad x^p+y^p=z^p </math> n'a aucune solution avec <math>p</math> supérieur à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. :Et aujourd'hui pour ''Tidjman et Zagier'': : <math>\quad x^p+y^q=z^r </math> n'a aucune solution avec <math>(p, q, r)</math> tous supérieurs à 2 et <math>(x, y, z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:04 (UTC) Intéressant... Merci et bonne journée à vous, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:16 (UTC) Vous avez déjà dû le lire mais je le remets ici : 2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « ''[…] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, '''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques.''''' » Et je suis très heureux que mon texte ait pu vous inspirer et vous aider, ça me fait vraiment plaisir. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 09:04 (UTC) :"''il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines''". Non. ça je n'y crois pas une minute. Et du latin, j'en avais fait jusqu'en Terminale. Que les langues "façonnent" notre esprit et nos pensées, j'y ai cru un temps, mais cette théorie m'a rapidement quitté. Par contre, ce que je sais, c'est que la mathématique (vous avez raison, pourquoi au pluriel) est une langue universelle. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Personnellement j'y crois un peu.<br/> P-S : Heureusement que les hommes ne sont pas tous du même avis... {{Clin}}. Ce serait bien triste sinon... [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:23 (UTC) :Oui. Et j'ai peu d'arguments à donner pour étayer ma pensée. L'expérience tranchera. Si vous avez raison, à mesure que le genre s'impose, toutes les langues genrées vont disparaître. Ne resteront que l'anglais, le chinois, et les autres que je connais pas. ;-). Personnellement je tiens au français parce que les sons sont tellement agréables à l'oreille, comparés aux précédentes citées. Par contre, niveau grammaire et orthographe, il y aurait beaucoup de travail d'élagage à faire! [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 10:40 (UTC) Je suis d'origine italienne par mes parents. Pour moi, la langue italienne est encore plus agréable à entendre que la langue française ― c'est encore plus remarquable quand on écoute une chanson italienne ― encore davantage quand c'est une ''chanteuse.'' --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 11:04 (UTC) On se tutoie Alain, surtout que tous les 2 nous sommes admiratifs du travail de Fermat et de l'homme lui-même ? D'accord ?<br /> Dans cette page : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Grand_Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat/Le_coup_de_bluff]Le paragraphe — '''ce n'est que mon hypothèse mais j'y crois personnellement assez fort''' (on y croit ou on n'y croit pas) — qui comprend ces mots (tu peux faire une recherche avec Ctrl/F(ind) sur 3 ou 4 mots) parmi ceux-ci :<br /> La formulation : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse», '''<u>qui fait doublon</u>.''' Continuons donc à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité et, tout comme lui, « considérons la question ». La formulation du paragraphe a un double sens : la recherche qu'il évoque, ce n'est pas seulement celle, arithmétique, concernant cette proposition, c'est surtout une recherche de subtilités dans tout ce qu'il écrit. On aura alors avantage à comprendre ainsi le début de la phrase :<br /> « Cette dernière question, dans sa formulation, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. Cette idée, il ne m'a pas fallu moins de <u>'''18 ans !'''</u> pour la mettre au jour, après avoir lu son texte je ne sais combien de fois, 100 fois peut-être. Je ne sais si ''ma'' formulation est bien compréhensible pour d'autres que moi. (Qui a dit que Fermat n'est pas un génie ? Personne ? Ah bon, je préfère {{sourire}}) Tu pourrais me donner ton avis ? : Est-ce qu'elle est bien compréhensible ?. D'avance, merci. Cordialement, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 12:43 (UTC) :Je ne vois pas bien où tu veux en venir? Je ne crois pas bien saisir ton idée? [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:05 (UTC) Grand merci pour ta réponse, ça veut dire que je n'ai pas été assez clair. Là maintenant je suis un peu fatigué (bcp même, j'ai pas arrêté de courir auj.), mais j'y reviendrai. Encore merci. --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:27 (UTC) C'est vraiment difficile de travailler sur les travaux de ce génie. « Cette dernière question, '''dans sa formulation''', est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […]. L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une subtilité remarquable. »<br /> Je veux dire par là, avec ces mots de Fermat : (“ ''[... ] Et bien qu'elle soit conçue affirmativement, '''elle est négative''', puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il '''ne peut''' (pas) être divisé par aucun nombre''). » >>> ''“Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers”'' , = “Un nombre premier est un entier naturel qui admet '''seulement''' deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et le nombre considéré lui-même”. Donc il n'y a '''pas''' d'autres diviseurs. Fermat dit : « J’ay ensuite considéré certaines '''questions''' [...] ». Et donc la réponse à la « '''question''' » est '''négative'''. Ça te convient à peu près ? Désolé si je ne suis pas clair, je suis fatigué.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 16:39 (UTC)<br /> Concernant ta question sur les 't' et les 'u', je ne peux pas te répondre, trop crevé aujourd'hui.--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:48 (UTC) :J'avoue être troublé par la formulation de Fermat. :Dans l'intro, il invite le lecteur à y essayer sa nouvelle méthode de la '''descente''' , qui permet d'infirmer une proposition positive par l'absurde, comme par exemple "''Il existe un cube divisible en deux cubes''". Et ainsi la rendre négative, donc "''Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes''" . Ce que je comprends, c'est qu'il sait déjà qu'il n'y a aucun cube divisible en deux cubes, mais qu'il n'arrive pas à y appliquer sa descente. (ce qu'arrivera à faire Euler en 1753, un siècle plus tard!). :Pour les "''Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.''", je ne pige pas [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:08 (UTC) ::Je comprends ceci: il invente le lecteur à essayer de prouver que ce sont des nombres premiers (en gros d'essayer de faire la décomposition). <u>Fermat sait qu'il ne sont pas tous premiers</u> (c'est "négatif"). Mais prévient le lecteur qu'il va devoir utiliser de très subtiles et très ingénieuses techniques pour y arriver. Ce que Fermat a dû et su développer au cours du temps. ::On sait que ces nombres valent 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... ::et la polémique autour de 4294967297=641 × 6700417, qui du coup n'aurait plus lieu d'être dès 1659, puisqu'il a dû 'enfin) découvrir la fausseté de sa conjecture. ::Mais je ne comprends pas ce que cela vient faire avec sa technique de la descente. [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:27 (UTC) Ta première question, Fermat écrit pourtant : « ''la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera <big>aisé d’éprouver.</big> »'' Ta dernière question, vois sur Wikipédia "nombre de Fermat". [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 13 juillet 2024 à 08:41 (UTC) :-------------------- :OK. Téléchargé le doc de Jean-René Joly (IGR83035.pdf): donc mon interprétation serait fausse. Voici sa conclusion: "''Il n'est pas surprenant qu'il ait fallu près d'un siècle (disons : de 1645 à 1732) pour que ce facteur premier [641] soit dé­couvert : les travaux arithmétiques de Fermât étaient tombés (avant même sa mort en 1665) dans le manque d'intérêt puis l'oubli le plus profonds, et Euler est en fait le premier grand mathématicien à s'y être passionnément et efficacement intéressé.''" :-------------------- :"Aisé d'éprouver"? ... c'est vraiment pas clair. Il faudrait contextualiser: c'est quoi ce "diverse des <u>précédentes</u>" [[Utilisateur:Alain.fabo|Alain.fabo]] ([[Discussion utilisateur:Alain.fabo|discuter]]) 13 juillet 2024 à 10:13 (UTC) Tape sur ton moteur de recherche : "AUTOUR DU PETIT THEOREME DE FERMAT par Jean-René JOLY" Tu as remarqué qu'à la suite de tes remarques j'ai un peu modifié l'“article” ? --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 12 juillet 2024 à 17:00 (UTC) :Re-bonjour Claude ! :Je suis resté silencieux, j'ai un peu délaissé le GTF, mais j'y ai pensé tous les jours au-moins une fois ! :J Francisque Léo [[Spécial:Contributions/87.49.147.192|87.49.147.192]] 17 août 2024 à 19:11 (UTC) 69sl68qjezrinj2mhk630i9tgnvbibh 0 82502 984980 984803 2026-07-20T16:33:57Z Alain.fabo 73895 /* Plausibilité historique */ ajout du lien sur la discussion autour de l'hypothèse Hellegouarch sur math.stackexchange 984980 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === ==== Une remarque presque anodine ==== <math>n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' » C'était un "simple" commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total. ==== Rappels historiques ==== Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''<ref>https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf</ref> , ''Itard''<ref>https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767</ref>, ''Rashed''<ref name=":3">https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html</ref>'','' ou ''Goldstein''<ref>https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf</ref> . Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat<ref>https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm</ref>, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met "au défi" de trouver des entiers tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Il a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube<ref>En effet, on tombe rapidement sur la formule <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math>. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube <math>\color{green}c^3=a^3+b^3</math> , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.</ref>. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée "descente infinie". Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis<ref>On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir la stabilité par multiplication des nombres <math>u^2+3v^2</math>, et la réécriture du problème <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>, en supposant <math>(x,y)</math> impairs et donc <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. Ils pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres "vrais", mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet . (cf Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf Isabella Bachmakova dans "Diophante et Fermat" )</ref>. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.<ref>cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son "''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes"'' Proposition 39.</ref> Et c'est ce résultat qui implique directement le cas <math> n=4</math>. Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il quasiment certain que Fermat a continué son travail arithmétique sur les puissances ==== Fermat et les carrés ==== Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme <math>a^2+nb^2</math>, l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref>Les solutions rationnelles de <math>x^2-ny^2=1</math> sont <math>(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q</math>. Dans <math>\N</math>, c'est beaucoup plus compliqué! Fermat annoncera qu'il y a des solutions entières non triviales pour tout <math>n</math>, mais sans détailler sa démarche.</ref>, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations <math>a_ix+b_i=y^2</math> . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier<ref>https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination</ref>. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, ou réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''<ref>https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf</ref>. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques<ref>{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}</ref>! Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math> En effet, pour <math> n=3</math>, cela donne <math>(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2</math> Et par conséquent une formule de partage d'un cube <math>x^3=(3x-4)^2+(x-1)(x-4)^2 </math> Or Fermat a travaillé sur les cubiques <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>, dont la formule donne des solutions évidentes ==== L'idée de Fermat? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café<ref>Si tant est qu'un mathématicien est "une machine à transformer le café en théorèmes" d'après Paul Erdős</ref>), par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>r^2=s^2+t^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>rst</math> Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur <math>w</math> ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne<ref>Une première idée serait qu'avec <math>wx+b=wy+c </math>, si on a <math>b<w</math> et <math>c<w</math>, alors là on peut dire que <math>x=y</math></ref>? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? ==== Plausibilité historique ==== Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>n</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>n =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "admirable". Et il n'y pas de différenciation de cas <math>n \mid xyz</math> et <math>n \nmid xyz</math> - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825<ref>En appliquant la même technique que pour le cas <math>n=3</math> : <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2uf_5(u^2,v^2)=2u(u^4+10u^2v^2+5v^4)=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v)^2 \right)</math>. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme <math>a^2-5b^2</math> , stable par multiplication. Tout comme la forme <math>a^2+3b^2</math> dans le cas <math>n=3</math>. Ç’aurait pu interpeler Fermat, lui qui a exploré les nombres premiers de type <math>a^2+nb^2</math> . Mais la démonstration de ''Dirichlet'' est difficile car il y a beaucoup de petits obstacles à surmonter.</ref>. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs<ref>''Yves Hellegouarch'' dans son livre "''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''", écrit page 38: "''On peut penser que pour les exposants'' ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2</math> . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange] pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.</ref>. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 1y2bift1fxvd9gfw27mgejtw1tuwbwz 985082 984980 2026-07-21T13:40:48Z Alain.fabo 73895 /* Le grand théorème de Fermat */ Objection 985082 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === ==== Une remarque presque anodine ==== <math>n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' » C'était un "simple" commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total. ==== Rappels historiques ==== Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''<ref>https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf</ref> , ''Itard''<ref>https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767</ref>, ''Rashed''<ref name=":3">https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html</ref>'','' ou ''Goldstein''<ref>https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf</ref> . Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat<ref>https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm</ref>, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met "au défi" de trouver des entiers tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Il a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube<ref>En effet, on tombe rapidement sur la formule <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math>. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube <math>\color{green}c^3=a^3+b^3</math> , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.</ref>. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée "descente infinie". Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis<ref>On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir la stabilité par multiplication des nombres <math>u^2+3v^2</math>, et la réécriture du problème <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>, en supposant <math>(x,y)</math> impairs et donc <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. Ils pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres "vrais", mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet . (cf Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf Isabella Bachmakova dans "Diophante et Fermat" )</ref>. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.<ref>cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son "''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes"'' Proposition 39.</ref> Et c'est ce résultat qui implique directement le cas <math> n=4</math>. Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il quasiment certain que Fermat a continué son travail arithmétique sur les puissances. Notamment que ==== Fermat et les carrés ==== Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme <math>a^2+nb^2</math>, l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref name=":4">Les solutions rationnelles de <math>x^2-ny^2=1</math> sont <math>(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q</math>. Dans <math>\N</math>, c'est beaucoup plus compliqué! Fermat annoncera qu'il y a des solutions entières non triviales pour tout <math>n</math>, mais sans détailler sa démarche.</ref>, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations <math>a_ix+b_i=y^2</math> . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier<ref>https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination</ref>. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, ou réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''<ref>https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf</ref>. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques<ref>{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}</ref>! Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math> En effet, pour <math> n=3</math>, cela donne <math>(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2</math> Et par conséquent une formule de partage d'un cube <math>x^3=(3x-4)^2+(x-1)(x-4)^2 </math> Or Fermat a travaillé sur les cubiques <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>, dont la formule donne des solutions évidentes ==== L'idée de Fermat? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café<ref>Si tant est qu'un mathématicien est "une machine à transformer le café en théorèmes" d'après Paul Erdős</ref>), par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>r^2=s^2+t^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>rst</math> Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur <math>w</math> ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne<ref>Une première idée serait qu'avec <math>wx+b=wy+c </math>, si on a <math>b<w</math> et <math>c<w</math>, alors là on peut dire que <math>x=y</math></ref>? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? ==== Plausibilité historique ==== Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>n</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>n =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "admirable". Et il n'y pas de différenciation de cas <math>n \mid xyz</math> et <math>n \nmid xyz</math> - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825<ref>En appliquant la même technique que pour le cas <math>n=3</math> : <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2uf_5(u^2,v^2)=2u(u^4+10u^2v^2+5v^4)=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v)^2 \right)</math>. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme <math>a^2-5b^2</math> , stable par multiplication. Tout comme la forme <math>a^2+3b^2</math> dans le cas <math>n=3</math>. Ç’aurait pu interpeler Fermat, lui qui a exploré les nombres premiers de type <math>a^2+nb^2</math> . Mais la démonstration de ''Dirichlet'' est difficile car il y a beaucoup de petits obstacles à surmonter.</ref>. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs<ref>''Yves Hellegouarch'' dans son livre "''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''", écrit page 38: "''On peut penser que pour les exposants'' ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2</math> . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange] pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.</ref>. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! ==== Objection! ==== Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a enrichit. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît louche. Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas <math>n = 3</math> ou <math>n = 4</math>. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs, que le problème est impossible dans <math>\Q</math> les rationnels, puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''<u>rationnels</u>'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que <math>x^n+y^n=z^n</math> n'a pas de solution dans <math>\Q</math>. Ou plus largement que l'équation <math>x^n+y^n=1</math> n'a pas de solutions non triviales dans <math>\Q</math>. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans <math>\N</math> ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans <math>\N</math> avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas <math>n = 3</math>. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Il savait que le résultat était vrai, à savoir qu'on ne pouvait pas diviser un cube en 2 autres cubes (rationnels). On peut mettre en parallèle l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref name=":4" /> qui a des solutions rationnels "évidentes", mais dont il n'est pas aisé de trouver les solutions entières. Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit <math>n </math> == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> izfys8wkfk7dx0u2397n8v9f7fan4ow 985214 985082 2026-07-23T08:24:55Z Alain.fabo 73895 /* Le grand théorème de Fermat */ quelques précisions historiques et calculs 985214 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === ==== Une remarque presque anodine ==== <math>n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "« ''Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux'' ''puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai réellement trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas.'' » C'était un "simple" commentaire à une question du livre de Diophante. Sa date est inconnue. Mais Fermat n'en reparlera jamais. Aucune allusion pendant les 25 ans d'une correspondance très fournie avec ses contemporains. Plus aucune trace. Un mystère total. ==== Rappels historiques ==== Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme ''Tannery''<ref>https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf</ref> , ''Itard''<ref>https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767</ref>, ''Rashed''<ref name=":3">https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html</ref>'','' ''Goldstein''<ref>https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf</ref> , ''Bachmakova''<ref>{{Article|prénom1=Isabelle|nom1=Bachmakova|titre=Diophante et Fermat|périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications|volume=19|numéro=4|date=1966|issn=0048-7996|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/23905707|consulté le=2026-07-23|pages=289–306}}</ref>. Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la correspondance de Fermat<ref>https://archive.org/details/oeuvresdefermat942ferm</ref>, ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1636 ou 1637 : Fermat le met "au défi" de trouver des entiers tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Il a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube<ref>En effet, on tombe rapidement sur la formule <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math>. On n'est pas loin du partage d'une cube! Il suffirait juste de trouver un premier cube <math>\color{green}c^3=a^3+b^3</math> , qui engendrerait à lui seul une infinité d'autres solutions. Mais ce cube somme de 2 cubes, il n'existe pas.</ref>. Mais c'est impossible. Fermat en fait l'annonce d'une preuve grâce à sa nouvelle technique révolutionnaire appelée "descente infinie". Malheureusement il n'en laissera aucuns détails pour ce cas précis<ref>On peut penser que Fermat passe par la voie qu'empruntera Euler. A savoir: la réécriture du problème <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2uf_3(u^2,v^2)=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>, avec <math>(x,y)</math> impairs et donc <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. Et la stabilité par multiplication des nombres <math>u^2+3v^2</math>. Ainsi, en supposant <math>z=a^2+3b^2</math>, on tombe sur <math>u=a(a+3b)(a-3b)</math> et <math>v=b(a+b)(a-b)</math>. Or <math>2u</math> est un cube, donc <math>(2a, a-3b, a+3b)=(r^3,s^3,t^3)</math> avec <math>s^3+t^3=r^3</math>. Puisque ce sont des diviseurs, <math>|r|<|u|<|z|</math>. La descente est amorcée. Au passage, <math>(x,y)</math> pourraient donc éventuellement être négatifs, mais Fermat n'avait pas de problèmes avec les nombres négatifs. Il appelait les nombres positifs les nombres "vrais", mais ne restait pas bloqué sur les négatifs comme ''Bachet .'' (cf ''Rashed).'' Et contrairement à ce qu'on entend souvent, les grecs anciens comme ''Diophante'' non plus: (cf ''Bachmakova'' )</ref>. C'était coutume à son époque, où il ne fallait pas trop dévoiler ses secrets. D'ailleurs, dans toute sa correspondance, il n'expliquera qu'une seule fois la démarche, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée.<ref>cf Rashed (p321) rappelle que cette explication de la descente à Frenicle sera reprise et même simplifiée en 1676 dans son "''Traité des Triangles rectangles en nombres, dans lequel Plusieurs belles propriétés de ces Triangles sont démontrées par de nouveaux principes"'' Proposition 39.</ref> Et c'est ce résultat qui implique directement le cas <math> n=4</math>. Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Frenicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frenicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à ''Frenicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il quasiment certain que Fermat a continué son travail sur les puissances. Notamment que <math>\frac{ x^p+y^p}{x+y}</math>ne contient que des facteurs premiers congrus à <math>1[2p]</math> ==== Fermat et les carrés ==== Fermat hérite des questions de ces prédécesseurs autour des carrés et des cubes. Mais Il marque une vraie rupture par rapport à la tradition diophantienne. Il se focalise sur les nombres entiers, là où les autres cherchent des nombres rationnels. Une fois lancé, il continuera de s'intéresser aux combinaisons linéaires de carrés entiers, avec notamment les familles de nombres premiers de la forme <math>a^2+nb^2</math>, l'équation <math>x^2-ny^2=1</math> <ref name=":4">Des solutions rationnelles de <math>x^2-ny^2=1</math> sont <math>(x,y)=\left(\dfrac{1+nm^2}{1-nm^2}; \dfrac{2m}{1-nm^2}\right), m \in \Q</math>. En effet, en remarquant que l'équation se réécrit <math>(x+1)(x-1)=ny^2</math>, on pose <math>y=m(x+1)</math> et on se retrouve avec uniquement du 1er degré sur <math>x</math>. Dans <math>\N</math>, c'est une toute autre affaire! Fermat cherchera et dira avoir trouvé, sans autre précision, qu'il y en existe quel que soit <math>n </math></ref>, ... Il a également innové dans les méthodes de résolution de systèmes doubles ou triples d'équations <math>a_ix+b_i=y^2</math> . Plus généralement, il s'intéresse aux techniques d'élimination, où il publie même un papier<ref>https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination</ref>. Ces méthodes consiste à supprimer des inconnues, ou réduire le degré des équations. On renvoie aux explications d'''Erwan Penchevre''<ref>https://images.math.cnrs.fr/wp-content/uploads/2024/02/penchevre-04-elimination.pdf</ref>. Enfin, il était expert en carrés magiques. Et même des carrés magiques en 3 dimensions, nommés cubes magiques<ref>{{Lien web|titre=MULTIMAGIE.COM - Le cube magique de Fermat, 1640|url=http://multimagie.com/Francais/Fermat.htm|site=multimagie.com|consulté le=2026-07-08}}</ref>! Bref, il y a beaucoup d'indices pour penser que Fermat avait découvert la forme des carrés <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math> En effet, pour <math> n=3</math>, cela donne <math>(a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2</math> Et par conséquent une formule de partage d'un cube <math>x^3=(3x-4)^2+(x-1)(x-4)^2 </math> Or Fermat a travaillé sur les cubiques <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>, dont la formule donne des solutions évidentes ==== L'idée de Fermat? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>p</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^p=x^p+y^p</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^p=(w+x')^p+(w+y')^p</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2p-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Maintenant (et c'est là que c'est un peu fort de café<ref>Si tant est qu'un mathématicien est "une machine à transformer le café en théorèmes" d'après Paul Erdős</ref>), par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une '''contradiction'''! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>r^2=s^2+t^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>rst</math> Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur <math>w</math> ? Mais sachant que ça s'écrit pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne<ref>Une première idée serait qu'avec <math>wx+b=wy+c </math>, si on a <math>b<w</math> et <math>c<w</math>, alors là on peut dire que <math>x=y</math>. Pour cela, il faudrait <math>w</math> grand, mais cela ne fonctionne pas.</ref>? Et si Fermat était passé par cette voie si tentante? ==== Plausibilité historique ==== Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>p \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>p</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>p =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "admirable". Et il n'y pas de différenciation de cas <math>p\mid xyz</math> et <math>p \nmid xyz</math> - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car il était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825<ref>En appliquant la même technique que pour le cas <math>n=3</math> : <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2u(u^4+10u^2v^2+5v^4)=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v)^2 \right)</math>. L'accroche ici est qu'on retrouve une forme <math>X^2-5Y^2</math> , stable par multiplication. Ç’aurait pu interpeler Fermat, c'est comme <math>X^2+3Y^2</math> dans le cas <math>n=3</math>. Malheureusement ça ne marche plus aussi simplement car on n'obtient pas une expression factorisée de <math>2u</math>. Voir la démonstration de ''Dirichlet/Legendre'' pour constater les nombreuses difficultés à surmonter.</ref>. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs<ref>''Yves Hellegouarch'' dans son livre "''Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles''", écrit page 38: "''On peut penser que pour les exposants'' ''premiers impairs, Fermat associait à son équation la forme quadratique'' <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}pY^2</math> . C'est un résultat juste. Mais peut-être anachronique. En effet, cf [https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms maths.stackechange] pour les calculs qui s'avèrent être fastidieux.</ref>. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! ==== Objection! ==== Malheureusement un tout autre scenario est envisageable. Dans l'hypothèse précédente, il faut supposer que Fermat a écrit son commentaire bien après sa première lecture de la question de Diophante. Ou qu'il l'a écrit pour les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> , puis qu'il a complété son commentaire une fois son travail sur les puissances effectué. Qu'il y serait donc revenu quelques années après. Ça paraît étrange. Car vu le ton employé, on peut aussi avoir l'impression que cela est venu d'un bloc, avec toutes les puissances sans distinction de cas, sans séparation entre les cas <math>n = 3</math> ou <math>n = 4</math>, ou <math>n</math> premier. Autrement dit, on peut supposer qu'il sait immédiatement, en s'appuyant sur des travaux antérieurs, que le problème est impossible dans <math>\Q</math> , puisque c'est implicite chez Diophante: on cherche comment diviser un carré en somme de 2 carrés '''<u>rationnels</u>'''. Ainsi Fermat affirmerait haut et fort dans son commentaire que <math>x^n+y^n=z^n</math> n'a pas de solution dans <math>\Q</math>. Ou plus simplement que l'équation <math>x^n+y^n=1</math> n'a pas de solutions non triviales dans <math>\Q</math>. Ce qui fatalement rend le problème impossible dans <math>\N</math> ! Ce serait ensuite que Fermat essaie de le montrer dans <math>\N</math>, avec des raisonnements spécifiques aux nombres entiers, comme la descente infinie. Il le dit dans ses lettres. Il a eu beaucoup de difficulté à appliquer la technique pour le cas <math>n = 3</math>. Mais il s'est accroché et ça n'était pas pour rien. Car il savait que le résultat était vrai. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 0x67wwpcz13gwjz3um46i0zf47coj18 0 82600 985085 974292 2026-07-21T17:32:16Z CommonsDelinker 472 Replacing Kendric_Estrcation_Device.jpg with [[File:Kendrick_extrication_device.jpg]] (by [[:c:User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] because: [[:c:COM:FR|File renamed]]: [[:c:COM:FR#FR3|Criterion 3]] (obvious error)). 985085 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = médecine | niveau = 11 | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../Aide à la marche et portage manuel/]] | page_liée = | page_liée2 = }} Le mode de transport dépend : # Du matériel et du personnel à disposition. # De l'environnement. # De l'état de la victime ou du malade. == Vocabulaire == * Brancard : *# ''(Rare)'' Hampe d'une civière. *# ''(Par synecdoque)'' ''(sens général)'' Synonyme de civière. * Brancardage : le fait de transporter une victime sur un brancard. * Chariot : plateau sur roue, supportant un brancard à une hauteur d'environ {{unité|1.10|m}} du sol. * Civière : dispositif permettant de transporter une personne allongée. * Portage : le fait de transporter une victime sans matériel. * Rachis : colonne vertébrale. Traumatisme rachidien : traumatisme de la colonne vertébrale. * Relevage : opération consistant à déposer une victime sur une civière ou autre dispositif de transport. == Démarche == Le choix du mode de transport dépend de l'évaluation de la situation : * le bilan de la victime permet de déterminer ce dont elle souffre et donc : ** les gestes à effectuer avant le transport ; en dehors de dégagement d'urgence ou d'une dégradation rapide de l'état ne pouvant être traité qu'en milieu hospitalier, le transport n'est ''jamais'' une priorité, ** les précautions à prendre avant le transport : immobilisation de certaines partie, administration d'oxygène en cours de transport, parties du corps à surveiller… * le bilan circonstanciel s'accompagne d'une évaluation du cheminement pour le transport : quel chemin emprunter, présence d'obstacles et de dangers, état du sol (lisse ou accidenté, propre ou glissant, présence de débris…), escaliers, ascenseur, passages étroits… La décision dépend aussi de l'équipe : y a-t-il suffisamment de personnes pour les manœuvres ? Sont-elles formées et entraînées à l'utilisation de matériel spécifique ? == Le matériel à disposition == Le matériel à disposition dépend de l'état de préparation de l'équipe : le matériel doit être acheté, vérifié et entretenu ; l'équipe doit être formée à son utilisation ; le matériel doit pouvoir être amené jusqu'à la victime. C'est donc une question qui concerne l’organisme au sein duquel évolue l'équipe de secouristes (association, entreprise, corps d'État). Les moyens typiquement à disposition sont : ; Brancard normalisé, ou brancard pliant à compas sans têtière : Un brancard normalisé est un brancard pliant destiné à transporter une personne couchée. Il est composé de deux hampes, ou « brancards », munies de poignées et reliées entre elles par des compas, et sur lesquelles est fixée une toile. C'est un matériel simple, robuste et facile à produire. Il est porté à la main, par deux à quatre équipiers. : Certains modèles sont articulés pour permettre de relever le haut du corps et ainsi de transporter la victime en position semi-assise, et parfois en position avec les jambes relevées. Certains modèles sont munis de sangles pré-installées pour prévenir les risques de chute de la victime lors de son transport. <gallery> Fichier:ILA 2018, Schönefeld (1X7A5354).jpg |Brancards normalisés stockés repliés. Fichier:Admiral Pitka luurevõistlus 2021 (51800000332).jpg |brancardage avec un brancard normalisé. Fichier:Sluice-bremerhaven 19 hg.jpg |Brancard avec têtière relevable </gallery> ; Chaise de transport : La chaise de transport est une chaise à roulette pliable. Elle permet de transporter une victime assise, si son état le permet. Elle peut passer dans des passages étroits et peut être portée dans les escaliers, par deux à quatre secouristes. Sur terrain plat, elle peut être manipulée par un seul ou une seule secouriste. <gallery> Fichier:Sedia cardiopatica - Escape chair2.jpg |Chaise de transport </gallery> ; Brancard principal : Le brancard principal est un brancard muni de roues, ce qui facilite les méthodes de pont. Il a une têtière articulée pour permettre de placer la victime en position semi-assise ; il est parfois articulé aux pied pour permettre de relever les jambes. Dans certains cas, il possède un chariot porte-brancard, ce qui permet d'en faire un brancard-chariot. ; Brancard-chariot, ou civière d'ambulance : Le brancard est posée sur un châssis roulant, le chariot, ce qui permet le transport par une seule personne. Ce châssis s'abaisse pour permettre le relevage, s'élève pour permettre le transport avec un équipier ou une équipière marchant debout, et les pieds se replient pour permettre de le rentrer sur son support dans l'ambulance. Il peut être porté lorsqu'il n’est pas possible de le faire rouler ; pour ce faire, il est parfois possible de séparer le portoir du châssis, on a alors une civière similaire au brancard normalisé ou bien un brancard principal, plus léger que la civière complète. La civière est articulée pour permettre le transport de la victime en position semi-assise, et parfois en position avec les jambes relevées. Elle est munie de sangles qui permettent de retenir la victime en cas d'accident d'ambulance. <gallery> Fichier:BLP-Gold-Pröselsdorf (37963885506).jpg |Brancardage avec une civière d'ambulance </gallery> ; Portoir souple, ou alèse portoir : Le portoir souple est un moyen de relevage. Il est léger et permet de relever une victime dans un endroit où il n'est pas possible d'amener un brancard. Il ne peut servir que si la victime ne présente pas de fracture ; dans le cas contraire, on utilisera un plan dur ou un matelas immobilisateur à dépression. Après le relevage, il sert à transporter la victime jusqu'à la civière. En « mettant des poignées » à la victime, il permet aux secouristes d'avoir une meilleure position et donc de réduire le risque de blessure, ou bien de lever une charge plus lourde (victime obèse). Il permet éventuellement un relevage à deux personnes. <gallery> Fichier:栂 紀久代が開発した担架.jpg |Manutention d'une victime avec un portoir souple </gallery> ; Plan dur : Dans le cas le plus simple, un plan dur est une planche munie de poignées (planche Olivier, planche Berbier-Kind). Elle peut être en forme de gouttière pour un meilleur maintien de la victime, et être munie d'un immobilisateur de tête. C'est un des moyens privilégiés en cas de suspicion de traumatisme de rachidien. C'est aussi un moyen robuste, léger et facilement lavable, donc utile dans les situations difficiles : passages étroits, sol couvert de débris, extraction d'un véhicule accidenté… En « mettant des poignées » au patient, il permet aux secouristes d'avoir une meilleure position et donc de réduire le risque de blessure, ou bien de lever une charge plus lourde (victime obèse). Il permet éventuellement un relevage à deux personnes. : C'est normalement un moyen de relevage et de transport jusqu'à la civière ; en cas de traumatisme du rachis, il est posé sur la civière, sinon, la victime est normalement transférée sur la civière, pour des raisons de confort. <gallery> Fichier:USMC-070920-M-8084P-007.jpg |Conditionnement d'une victime sur un plan dur. Fichier:USMC-070920-M-8084P-013.jpg |Plan dur posé sur une civière d'ambulance. </gallery> ; Gouttière Bellisle : La gouttière Bellisle, ou portoir corset, est un plan dur disposant de bords relevables. Il est utilisé notamment dans la marine car il facilite le transport dans des coursives étroites et les échelles. La rigidité longitudinale est assurée par des lames, et lorsque l'on replie les bords, les lames viennent entourer le dos de la victime et former une gouttière, ce qui assure le maintien latéral. Il est muni de poignées et on peut lui adjoindre des hampes pour l'utiliser comme un brancard classique. <gallery> Flickr - Official U.S. Navy Imagery - A Sailor with a simulated injury is moved in a stretcher aboard USS Abraham Lincoln..jpg |Civière Neil Robertson (''{{lang|en|Neil Robertson stretcher}}'', NRS), de conception similaire à la gouttière Bellisle. </gallery> ; Matelas immobilisateur à dépression : Le matelas immobilisateur à dépression (MID), ou matelas coquille, est un moyen de relevage. Il assure un maintien en position de la victime et joue donc le rôle d'attelle ; il est privilégié en cas de fracture, en particulier du rachis, ou de brûlure étendue (pour limiter la douleur liée aux mouvements). Comme le portoir souple, il est destiné au relevage et au transport jusqu'à une civière. Il est composé d'une enveloppe souple qui doit rester étanche, c'est donc un matériel très sensible aux coupures. Il présente un meilleur confort qu'un plan dur, mais est plus fragile. <gallery> Fichier:Vakuummatratze.jpg |Matelas immobilisateur à dépression et sa pompe manuelle. </gallery> ; Barquette : La barquette est une civière à bords relevés. Elle est très sécurisante pour la victime et permet le transport dans des conditions difficiles. En revanche, elle est dure et donc inconfortable, elle n’est pas adaptée pour les longs trajets ; la victime doit ensuite être transférée sur un brancard. <gallery> Fichier:RC Lens - SM Caen (22-02-2020) 62.jpg |Barquette. </gallery> ; Brancard cuiller, ou civière de relevage à lames : La civière de relevage à lame, ou civière à aubes, ou encore portoir cuiller, est un moyen de relevage. Il vient se glisser sous la victime ; étant plus fin que les mains, il permet de relever la victime en limitant risque d'aggravation d'un traumatisme rachidien. Il sert ensuite à transporter la victime jusqu'au moyen d'immobilisation et de transport : plan dur ou matelas immobilisateur à dépression posé sur un brancard. En évitant de mettre les mains au sol, il permet également aux secouristes de moins se baisser et limite donc le risque de blessures, ou bien d'effectuer un relevage à seulement deux secouristes. Il permet aussi de travailler sur un sol présentant des risques de coupure ou de contamination. <gallery> Fichier:Schaufeltrage.jpg |Civière de relevage à lames. Fichier:ZZS MSK, záchranáři, zajištění krční páteře a transport na scoop rámu (10).jpg |Relevage à deux porteurs avec une civière à lames. </gallery> ; Gouttière Sked : La gouttière Sked® ''({{lang|en|Sked stretcher}})'' est une civière semi-rigide utilisée aux États-Unis. Elle se présente sous la forme d'une feuille plastique. Le fait de relever ses bords — la forme étant maintenue par des angles — lui confère sa rigidité longitudinale. Légère et facilement lavable, elle est recommandée pour les situations de contamination nucléaire, radiologique, bactériologique et chimique (NRBC). C'est aussi une alternative à la barquette pour les évacuations en hauteur. <gallery> 130814 Z-B7541-574 (9557063294) (2).jpg |Victime conditionnée sur une civière Sked®. 2014 QLLEX 140611-A-KC567-003.jpg |Évacuation d'urgence par traction sur terrain plat d'une victime conditionnée sur une civière Sked®. </gallery> ; Brancard Piguilem : Brancard monté sur patins, permettant une évacuation à ski. ; Civière pour hélicoptère : C'est une civière plus étroite que le brancard normalisé. Seuls les hélicoptères lourds peuvent transporter un brancard normalisé. <gallery> Eurocopter EC-135 T1 SAMU Lorraine (4155360250).jpg |Civière pour hélicoptère. </gallery> ; Attelle cervico-thoracique : l'attelle cervico-thoracique (ACT), parfois désignée par son nom commercial KED ''({{lang|en|Kendrick extrication device}})'', est un moyen de relevage. Il sert à extraire une victime en position assise tout en immobilisant la colonne vertébrale, pour la transférer sur un brancard. Il est notamment utilisé en cas d'accident de la circulation. Outre le fait d'immobiliser le rachis, il « met des poignées » à la victime et facilite son transfert. <gallery> Fichier:Kendrick extrication device.jpg |Attelle cervico-thoracique (ACT) présentée à plat : la partie haute vient enceindre la tête, la partie basse le torse. Fichier:Rettungskorsett.jpg |Mise en place d'une ACT sur une victime assise dans un véhicule. </gallery> ; Sangle : Les sangles, ou à défaut des cordes, peuvent servir à trois choses : :# Aider au relevage : en se glissant sous la victime, elles permettent de la soulever sans que les secouristes aient besoin de placer leurs mains sous le corps. Ils et elles ont ainsi une meilleure position, ce qui évite les blessures et permet de porter des charges plus lourdes (victime obèse). :# Sangler la victime sur la civière : cela permet d'éviter la chute de la victime en cours de brancardage. :# Porter le brancard : elles sécurisent le brancardage à deux équipiers et équipières. Elles permettent également d'assurer le brancard depuis un point haut sur une forte pente. ; Moyens improvisés : En situation de catastrophe ou en situation d'urgence, il peut être nécessaire d'utiliser des moyens improvisés. Cela présente un risque pour la victime : le moyen n’est pas éprouvé et peut donc céder, il n'est pas spécifiquement prévu pour être porté et donc les secouristes risquent de le lâcher… Par mi les moyens possible, citons : :* une porte, utilisée comme plan dur ; :* une couverture ou un drap, utilisé comme portoir souple ; :* des vestes solides, typiquement des vêtements de travail ou des parkas : en retournant la veste et en faisant passer des bâtons dans les manches, ils peuvent servir de civière ; :* le portage manuel, avec les mains en chaise ou bien portage à dos ; :* chaise d'ameublement, utilisée comme une chaise de transport. <gallery> Fichier:FEMA - 18263 - Photograph by Jocelyn Augustino taken on 09-02-2005 in Louisiana.jpg |Portage avec les mains en chaise. Fichier:23.3.14 １０Ｅ：被災者を背負って救助（亘理町） 東日本大震災における災害派遣活動 49.jpg |Portage à dos. </gallery> == L'environnement == L'environnement détermine, parmi le matériel dont on dispose, ce que l'on pourra utiliser. Sur une voie publique en bon état et sans obstacle à franchir, on privilégie les moyens roulants — chaise roulante, civière d'ambulance — qui permettent de minimiser les risques de chute pour la victime et les risques de blessure pour les secouristes. En intérieur, il faut s'assurer que l'on peut cheminer avec le moyen utilisé, en particulier si l'on doit prendre des virages ou un ascenseur. Si l'on doit descendre un escalier, on privilégie les moyens légers comme les chaises de transport et les brancards « simples » (brancard normalisé, plan dur). En France, les constructions récentes doivent permettre le cheminement d'une civière de dimensions {{unité|1,97|m}} × {{unité|0,57|m}}<ref>{{légifrance|base=CCONSTRL|numéro=R162-3|texte=Art. R162-3}} du Code de la construction et de l'habitation, et norme NF EN 1865-1 « Spécification d'équipements pour le transport de patient dans les ambulances routières — Partie 1 : systèmes généraux de brancards et équipement pour le transport de patients ». Voir {{lien web |url=https://qualiteconstruction.com/fiche/passage-du-brancard-caracteristiques-dimensionnelles-des-degagements/ |titre=Passage du brancard : caractéristiques dimensionnelles des dégagements |site=AQC (Agence qualité construction) |consulté le=2023-09-11}}.</ref>. En terrain accidenté — hors route (champ, forêt, montagne) ou situation de catastrophe —, il n'est en général pas possible d'utiliser de système roulant. On utilise de préférence des moyens légers et robustes comme un plan dur ou une barquette, ou une chaise de transport. En situation de carence de moyens, il peut être nécessaire d'avoir recours à un portage manuel ou un autre moyen improvisé. == L'état de la victime == Enfin, la victime doit être transportable avec les moyens à disposition. Si l'état de la victime ne permet pas son transport avec les moyens à disposition, on demande des renforts avec des moyens et une formation appropriés (par exemple pour une évacuation en hauteur), ou bien on demande à ce que des moyens de soins viennent à la victime avant le transport (renfort médical de type smur en France). À moins qu'il ne faille extraire rapidement la victime de son environnement — cas du dégagement d'urgence — ou qu'il ne faille l'amener le plus rapidement possible vers un lieu de soins — notion « d'heure d'or » pour certaines pathologies —, auquel cas la régulation médicale (le Samu-centre 15 en France) peut demander le transport malgré la carence de moyens. == Les risques du transport == Si on transporte une victime, c'est que son état nécessite des soins que l'on ne peut prodiguer sur place. Mais le transport en lui-même présente des risques d'aggravation de l’état de la victime. Il convient de connaître ces risques afin de prendre les bonnes décisions et d'agir avec le soin nécessaire. Si une victime présente une fracture, lors le siège de la fracture risque de bouger. Au niveau de la cassure, les os sont tranchants et risquent de provoquer des blessures internes : déchirer des tissus, provoquer une hémorragie interne, déchirer des nerfs. Cela peut conduire à des séquelles définitives (paralysie, douleur chronique) voire à la mort de la victime. En cas de fracture, il faut donc : * immobiliser la fracture, avec une attelle ; rappelons que le terme « attelle » inclue le collier cervical, le plan dur, le matelas immobilisateur à dépression et l'ACT ; * transporter avec précautions pour éviter les à-coups. Les précautions sont les mêmes si elle présente un corps étranger. Si une victime présente une pression sanguine faible, les organes sont mal irrigués par le sang. Il faut donc transporter la victime allongée, voire tête vers le bas (position « déclive ») pour concentrer le sang vers les organes importants (cœur, poumons, cerveau). Il faut éviter les accélérations longitudinales (vers l’avant ou vers l’arrière) qui peuvent amener le sang vers les pieds ; les mouvements de relevage et de brancardage doivent donc être doux, l'ambulance doit être conduite en douceur. Le transport est générateur d'angoisse : la personne ne maîtrise pas ce qui lui arrive ; étant immobilisée sur la civière, elle ne voit pas où elle va. L'angoisse augmente le rythme cardiaque et risque donc d'aggraver son état. Il faut donc lui parler et la rassurer : lui expliquer ce qui se passe, les manœuvres que l'on va faire, où l'on est en train de passer. Si la victime reçoit un traitement en continu, comme une inhalation d'oxygène ou bien une perfusion, certaines manœuvres peuvent venir interrompre le traitement (nécessité d'enlever le masque à oxygène, abaissement de la poche de transfusion qui ne permet plus le goutte à goutte). Ces manœuvres doivent donc être préparées afin de limiter la durée d'interruption. == Références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = médecine | précédent = | suivant = [[../Aide à la marche et portage manuel/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> paasafnopoi4vqcnqm9z13zyyckak1a 2 84321 984969 984925 2026-07-20T15:17:20Z Alain.fabo 73895 /* Formes quadratiques */ 984969 wikitext text/x-wiki == Congruence == Avec la congruence, on ne va pas très loin. Méthode "à la Diophante": === Cas n=2: '''partager un carré en 2 carrés''' === <math>(a+b)^2=a^2+b(\underbrace{2a+b)}_\text{c}</math> si on suppose b impair et premier avec a pair alors <math>b \wedge 2a=1 \Rightarrow b \wedge c=1</math>. Donc <math>(b,c)=(u^2,v^2) </math> Donc <math>c=v^2=2a+u^2 </math>. On en tire <math>\dfrac{v^2-u^2}{2}=a </math> Et final <math>\left( \dfrac{v^2+u^2}{2} \right)^2=\left( \dfrac{v^2-u^2}{2} \right)^2+\left( uv\right)^2</math> . Ce sont les triplets pythagoriciens. === cas n=3: '''partager un cube''' === <math>(a+b)^3=a^3+b(\underbrace{b^2+3a(a+b)}_\text{c}) </math> Comme précédemment, on a immédiatement <math>(b,c)=(B^3,C^3) </math> <u>Hypothèse</u>: <math>3\nmid b </math> . Ainsi <math>C^3-(B^2)^3=3a(a+b) </math> . C'est une différence de cube. La 3-valuation ne peut pas donc valoir 1 Soit <math>3\mid a </math>, soit <math>3\mid a+b </math> Sinon le but serait d'extraire a, comme pour le cas <math>n=2 </math>. Ici on a un polynôme de degré 2: <math>C^3-B^6=3a(a+B^3) </math>, soit <math>3a^2+3aB^3-(C^3-B^6)=0 </math> et l'équation <math>\Delta _a =12C^3-3B^6=D^2 </math>, dont il est impossible de montrer qu'il n'y a pas de solution. '''On n'utilise jamais le fait que <math>c </math> soit composé exclusivement de facteurs premiers en <math>1[n] </math>'''. On sait que <math>c\equiv 1[n] </math> par le petit théorème de Fermat. '''Or les facteurs premiers sont "cachés"''' === '''Cas général:''' === <math>(a+b)^n=a^n+b(\underbrace{b^{n-1}+na(b+a)(b^2+ba+a^2)^{k_n}(a^k+b^k+abP(a,b))}_\text{c})</math> avec <math>k_n=2 </math> pour <math>n\equiv 1 [6] </math> sinon <math>k_n=1 </math> (on obtient ça avec un logiciel de calcul formel) Idem on veut une puissance, donc <math>b=B^n </math> et <math>c=C^n </math> à cause de la coprimalité si <math>n\nmid b </math>, <math>C^n-(B^{n-1})^n=na(a+b)((a+b)^2-ab)(a^k+b^k+abP(a,b)) </math> Encore une différence de puissances. La n-valuation ne peut pas donc valoir 1 Donc <math>n </math> divise au minimum un des facteurs. Mais on est rapidement bloqué en raisonnant modulo n. (on s'en sort pour n=5) == Équation x+y=z et cubique == On suppose ici <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> et <math>x+y=z</math> On peut poser <math>(x,y,-z) </math> les 3 racines d'un polynôme cubique en <math>Y</math>: <math>(Y-x)(Y-y)(Y+z)=0 </math> Avec <math>x+y=z</math>, on obtient: <math>Y^3+(xy-z^2)Y-xyz=0</math> Le [[w:Équation_cubique#Discriminant|discriminant]] est <math>\Delta=-4(xy-z^2)^3-27(xyz)^2</math> <math>\Delta=4(z^2-xy)^3-27(xyz)^2</math> On sait qu'il y a 3 solutions réelles pour <math>\Delta <0</math>, soit: Vu qu'elles sont entières, alors <math>-\Delta = \square</math> Et effectivement on a bien l'identité remarquable: <math>{4((x+y)^2-xy)^3+27(xy(x+y))^2=(x - y)^2(x + 2y)^2 (2x + y)^2}</math> == Racine nième == Peut-être aussi voir comment à l'époque ils extrayaient les racines nème. Pas la peine de décomposer en facteurs premiers. S'il y a une virgule dans la racine nème, alors c'est bon. == Développement limité == On va considérer ici <math>x<y<z </math> et <math>x^3+y^3=z^3 </math> <math>\sqrt[3]{1-h}\approx 1-\dfrac{1}{3}h-\dfrac{1}{3^2}h^2-\dfrac{5}{3^4}h^3-\dfrac{10}{3^5}h^4-\dfrac{22}{3^6}h^5-o(h^5) </math> pour <math>|h|<1 </math> * <br /> <math>x^3=z^3-y^3 \Rightarrow x=z\sqrt[3]{1-\left(\dfrac{y}{z}\right)^3}\approx z-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{y^2}{z}\right)-\dfrac{5}{81}\left(\dfrac{y^3}{z^2}\right)-\dfrac{10}{243}\left(\dfrac{y^4}{z^3}\right)-...</math> idem <math>y^3=z^3-x^3 \Rightarrow y=z\sqrt[3]{1-\left(\dfrac{x}{z}\right)^3}\approx z-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{x^2}{z}\right)-\dfrac{5}{81}\left(\dfrac{x^3}{z^2}\right)-\dfrac{10}{243}\left(\dfrac{x^4}{z^3}\right)-...</math> En sommant <math>x+y<2z-\dfrac{x+y}{3} -\dfrac{1}{9}\left(\color{green}\dfrac{x^2+y^2}{z}\right) -\dfrac{5}{81}\left(\color{red}\dfrac{x^3+y^3}{z^2}\right) -\dfrac{10}{243}\left(\color{blue}\dfrac{x^4+y^4}{z^3}\right) </math> On sait que <math>x+y>z</math> car <math>(x+y)^3>x^3+y^3=z^3</math> Donc <math>\color{green}x^2+y^2>x+y>z</math> Il y a une sorte d'"anomalie" où il est possible de refaire apparaître z puisque <math>\color{red}z^3=x^3+y^3 </math> On a aussi <math>\color{blue}x^4+y^4>x^3+y^3=z^3 </math> donc <math>\color{blue}\dfrac{x^4+y^4}{z^3}>1 </math> <math>4(x+y)/3 < z\left(2-\color{green}\dfrac{1}{9}- \color{red}\dfrac{5}{81}-\color{blue}\dfrac{10}{243} \right) </math> <math>\dfrac{4}{3}(x+y) < \dfrac{434}{243} z </math> soit <math>x+y < \dfrac{217}{162} z </math> Au final <math>z<x+y < 1.34 z </math> Il faut que au minimum que <math>2y^3>z^3 </math>, soit <math>y>\frac{z}{\sqrt[3]2} </math> Mais pour l'instant pas de problèmes puisqu’il y a des solutions dans <math>\mathbb{R} </math> Alors que vient apporter en plus le fait de travailler avec des entiers? * par coprimalité, on sait que <math>x+y </math> est une puissance. Si on fixe un z, il faut alors regarder s'il existe un cube dans <math>[z;1.34 z] </math> * y fixé, il faut que <math>x^3+y^3>(y+1)^3 </math>, soit <math>x^3>3y^2 </math>. Peut-on faire mieux pour l'encadrement de x+y ? == Descente sur √2 et √3 == La descente infinie est aussi très sympa (sans utiliser l'usuel de p et q premiers entre eux) on pose <math>\sqrt2=\dfrac{p}{q}, ~ p>q>0</math> On a alors <math>\sqrt2=\sqrt2\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} =\dfrac{2-\sqrt2}{\sqrt2-1}= \dfrac{2q-p}{p-q}</math> Or <math>1<\sqrt2<2</math> donne <math>1<\dfrac{p}{q}<2</math>, soit <math>q<p<2q</math> , ce qui donne * <math>2q-p>0</math> . Un nouveau numérateur positif * <math>0<p-q<q</math> : un nouveau dénominateur positif strictement plus petit. Ce qui par descente est absurde . Cela continue à fonctionner pour <math>\sqrt3</math>, puisqu'on a encore <math>1<\sqrt3<2</math>, et qu'on obtient <math>\sqrt3= \dfrac{3q-p}{p-q}</math> avec <math>3q-p>2q-p>0</math> On pourrait aussi utiliser que <math>q<p</math> donc <math>2q<2p</math> et ainsi <math>2q-p<p</math> donc le nouveau numérateur est plus petit pour une descente sur le numérateur. Mais ça ne fonctionne que pour <math>\sqrt2</math> == Diophante-Bachet: division et somme de 2 cubes == Dans la version de Diophante, Livre 4, Q1, "''Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée''". Q2. "''...Dont la différence est donnée''" . Bref, ça commence à '''diviser''' des nombres. ( http://schemath.com/arithmetica_livre4_q1.html ) Bachet propose d'étendre au problème suivants: <math>a^3+b^3=x^3\pm y^3</math> soit "''Diviser un nombre donné composé de deux cubes en deux autres cubes''" par une technique à la Diophante, à savoir écrire <math>a^3+b^3=(a+\alpha n )^3-(b+n)^3</math> , tout comme on avait <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> pour les carrés qui arrivait sur les triplets pythagoriciens, il arrive aux formulent suivantes: <math>a^3+b^3=\left(a\cdot \dfrac{2b^3+a^3}{a^3-b^3} \right)^3-\left(b\cdot \dfrac{2a^3+b^3}{a^3-b^3}\right)^3</math> : la somme donne toujours une différence <math>a^3-b^3=\left(b\cdot \dfrac{2a^3-b^3}{a^3+b^3} \right)^3+\left(a\cdot \dfrac{a^3-2b^3}{a^3+b^3} \right)^3</math> : à gauche, on obtient une différence si <math>2b^3>a^3</math> Exemple: <math>2^3-1^3=\left(\dfrac{5}{3}\right)^3+\left(\dfrac{4}{3}\right)^3</math>, <math>5^3+4^3=\left(\dfrac{1265}{61}\right)^3-\left(\dfrac{1256}{61}\right)^3</math> On peut sur ces formes se poser la question: <math>a^3+b^3=c^3</math>, soit la disparition d'un des termes à droite. On voit déjà qu'il est impossible de le faire puisqu'il faudrait <math>2a^3+b^3=0</math> ce qui donne <math>-a^3=-a^3</math> La question peut alors titiller l'esprit de Fermat, surtout au moment où Diophante parle de diviser les carrés. Malheureusement, c'est dans le livre 2 qu'est le Grand théorème, alors qu'ici on est dans le livre 4. Mais Fermat a-t-il lu les livres dans l'ordre ?? Pour plus de clarté, substituons <math>(a^3,b^ 3)</math> par <math>(a,b)</math>, ce qui donne les formules suivantes: <math>a+b=a\cdot \left( \dfrac{2b+a}{a-b} \right)^3-b\cdot \left( \dfrac{2a+b}{a-b}\right)^3</math> et <math>a-b=b\cdot\left( \dfrac{2a-b}{a+b} \right)^3+a\cdot \left( \dfrac{a-2b}{a+b} \right)^3</math> C'est Fermat qui doit probablement voir '''la division d'un cube''' en interchangeant le dénominateur et le membre à gauche. Ce qui donne plusieurs formes "positives": <math>(a+b)^3=\dfrac{a}{b-a}(2b-a)^3 + \dfrac{b}{b-a}(b-2a)^3</math> avec <math>b>2a</math> et <math>(b+2a)^3=\dfrac{a+b}{b}(b-a)^3 + \dfrac{a}{b}(a+2b)^3</math> avec <math>b>a</math> Ramenée en nombres entiers, la 2ème forme donne <math>b\left(b+2a\right)^3=(a+b)\left(b-a\right)^3 + a\left(a+2b\right)^3</math> Soit en revenant aux cubes initiaux: <math>b^3\left(b^3+2a^3\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + a^3\left(a^3+2b^3\right)^3</math> Avec cette seconde forme qu'on voit que si <math>c^3=a^3+b^3</math> , alors on obtient un nouveau triplet avec <math>\left(b(b^3+2a^3)\right)^3=\left(c(b^3-a^3)\right)^3 + \left(a(a^3+2b^3\right)^3</math> Et ainsi de suite; Il y aurait alors une infinité de triplets. Fermat a-t-il commencer à "penser" à son théorème à ce moment? == Identité remarquable == <math>p \in \mathbb{P}, (a+b-c)^p=a^p+b^b-c^p+p(a+b)(c-a)(c-b)Q(a,b,c)</math> Si <math>a^p+b^b=c^p</math>, alors <math>(a+b)\mid (a+b-c)^p</math>, ce qui est troublant, d'autant plus que par coprimalité, <math>a+b=d^p, c-a=e^p, c-b=f^p</math> Ici on pourrait rapidement se dire que <math>(a+b)\mid (a+b-c)^p</math> n'est possible que si <math>(a+b)|c</math> .Or <math>(a+b)>c</math> == Les idées de Fermat == === x, y, z ont des facteurs premiers en 1[2n] === <math> \begin{cases} x+y \nmid n~\ \Rightarrow \frac{ x^n+y^n}{x+y}=\prod(\text{ facteurs premiers en 1[2n] }) \\ x+y \mid n~\ \Rightarrow \frac{ x^n+y^n}{x+y}=n\times \prod(\text{ facteurs premiers en 1[2n] } )\\ \end{cases} </math>|épaisseur=1px}} Ainsi apparaissent déjà quelques critères sur la structure de <math>z</math> quant à l'impossibilité d'être une somme de puissance, et par conséquent <u><math>z^n</math></u> aussi. Si <math> z = x^n+y^n</math>, alors : * <u><math>z</math></u> <u>ne peut pas être premier</u>. Une fois dit cela, on peut facilement imaginer l'idée suivante : si les puissances des nombres premiers ne peuvent pas être somme de mêmes puissances, cela pourrait-il s'appliquer à tout nombre? Car ce ne serait pas la première fois que Fermat raisonnerait par "extension", à savoir : les propriétés des premiers font celles de tous les nombres. Par exemple, lorsqu'il découvre que seuls les premiers en <math>1[4]</math> sont somme de 2 carrés et pas les <math>3[4]</math>, il peut alors établir les conditions d'existence de tous les nombres qui sont [[w:Identité_de_Brahmagupta|somme de 2 carrés]]. Idem, s'il est établit que tout premier est somme de 4 carrés, alors tout nombre est au plus [[w:Théorème_des_quatre_carrés_de_Lagrange|somme de 4 carrés]]. Pour les sommes de puissances, Fermat y a-t-il vu une similarité? Par l'intermédiaire d'une descente complètement improbable, comme ce qu'il annonce avec les premiers en <math>1[4]</math> <ref>Dans sa lettre à Carcavi d'août 1659, Fermat expose sa stratégie pour montrer que s'il existe un premier de la forme 4''n'' + 1 non somme de deux carrés alors il en existe un autre strictement plus petit puis, par descente, en déduire que 5 ne serait alors pas somme de deux carrés.</ref> ? Partir de <math> z^n = x^n+y^n</math> pour finalement tomber sur un nombre premier qui vérifierait ça? Malheureusement, si cette hypothèse possède les qualités de l'annonce du théorème, à savoir la fulgurance et la généralité, l'histoire ne nous en dira pas plus. * <u><math>z</math> possède des facteurs premiers en <math>1[2n]</math></u> Immédiatement, on peut donc affirmer que les puissances de <math>10, 100, 1000, ..., 10^k, k \in \mathbb{N}</math>, mais aussi toutes les puissances des <math>15^k</math>, ne peuvent pas être somme de deux puissances de même degré! Rien qu'avec ce principe, on peut alors exclure d'emblée une infinité d'autres nombres! Fermat prolonge-t-il les cas n=3 et n=4 au moment où il découvre les facteurs premier en <math>1[2n]</math> ? Ou avait -il déjà trouvé son théorème? On peut imaginer que si <math> z = x^n+y^n</math> a cette structure en <math>1[2n]</math>, alors le fait de le "remplacer" par <u><math>z^n</math></u> impose : d'une part la coprimalité deux à deux de <math>(x,y,z)</math> , et d'autre part la même structure à <u><math>x^n</math></u> et <u><math>y^n</math></u>, puisque de facto ils deviennent eux aussi "somme" de puissances. Par conséquent, ces <u><math>x</math></u> et <u><math>y</math></u> nouvellement contraints, notamment avec la présence obligatoire de facteurs premiers congrus à <u><math>1[2n]</math></u> , doivent en retour contraindre <u><math>z</math></u> d'une manière telle qu'on arriverait à une (admirable) contradiction? C'est Sophie Germain qui reste dans l'histoire en essayant de mettre cela à profit<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème de Sophie Germain|titre ouvrage=Wikipédia|date=2024-07-29|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Sophie_Germain&oldid=217208811|consulté le=2025-07-08}}</ref>, avec notamment : * <math> x^n = z^n-y^n</math> et <math> y^n = z^n-x^n</math>. Ainsi <u><math>x</math></u> et <u><math>y</math></u> doivent avoir la même "structure" que <u><math>z^n</math></u>, avec des facteurs premiers en <u><math>1[2n]</math></u> * <math> 2z=\alpha ^n+\beta ^n + \gamma ^n</math>. En effet, par coprimalité, <math> \begin{cases} x+y=\alpha^n\\ z-x=\beta ^n \\ z-y=\gamma ^n \end{cases}</math> Malheureusement elle devra apporter des hypothèses supplémentaires qui ne valideront pas le cas général. Fermat a-t-il emprunté cette voie? On peut en douter, car dans l'affirmation de son théorème, il énonce un résultat général sur toutes les puissances successives à partir de 3, et pas seulement les puissances premières impaires. Or si Fermat sait que les facteurs premiers des sommes de 2 carrés( copremiers et de parité différente )sont en <math>1[4]</math> , le doute subsiste quand à la généralisation à toutes <u>les puissances paires</u>, où la loi des <u><math>1[2n]</math></u> continue à s'appliquer. Car si <math>F_5=2^{32}+1</math> a nécessairement des facteurs premiers en <math>1[64]</math> , Fermat n'a jamais trouvé ce facteur 641. Sinon une tragique erreur de division? === Formule des carrés === pour <math>x^n+y^n=z^n, n>2, n \in \mathbb{P}</math>, et le cas <math>n \nmid xyz</math> Aucun n'est multiple de <math>n</math>, donc on donc substituer <math>(n+x,n+y,n+z)</math> à <math>(x,y,z)</math> ce qui donne par la formule des carrés: <math>\begin{array}{l} (n+x)^n=n^2a^2+xb^2\\ (n+y)^n=n^2c^2+xd^2\\ (n+z)^n=n^2e^2+xf^2 \end{array}</math>, <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers Or on sait aussi que <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ne contiennent que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, donc tous '''supérieurs''' à <math>2n-1</math> On a donc <math>\begin{array}{rl} (n+x)^n+(n+y)^n&=n^2(a^2+c^2)&+(xb^2 + yb^2) \\ (n+z)^n&=n^2(e^2)&+(zf^2) \end{array}</math> Par identification, on aurait alors <math>a^2+c^2=e^2</math> Or c'est contradictoire puisque dans les triplets pythagoriciens, <math>3\cdot5 \mid ace</math> Un truc dans le genre avec la bonne astuce ? === Valuations des facteurs premiers en 1[2n] === Dans <math>\mathbb{Z}</math>, on peut toujours fixer le nombre pair à droite et ainsi se ramener à la forme : <math>(u+v)^n+(u-v)^n=(2z)^n</math>, <math>(u,v)</math> premiers entre eux et de parité différente. Avec la première formule du wiki, l'expression devient <math>(u+v)^n+(u-v)^n=2uf_n(u^2,v^2)=z^n</math>. La coprimalité impose de facto <math>u\rightarrow 2^{n-1}u^n </math> . Les nombres invoqués sont trop grands pour des vérifications "à la main". Il est quasiment certain que Fermat est arrivé à appliquera sa méthode de descente pour le cas <math>n=3</math> <ref>voir sa lettre à Carcavi en [[Recherche:L'énigme de Fermat/Annexe/Annexe#cite ref-5|1659]] : "''J’ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :'' ''Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes''."</ref> . Mais il ne donne aucun détail. Plus tard, les mathématiciens les plus brillants peineront à aller plus loin. Réussiront Euler pour <math>n=3</math>, Dirichlet/Legendre pour <math>n=5</math>, Lamé pour <math>n=7 </math> et enfin Dirichlet pour <math>n=14</math> . Si on sait que ces <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne contiennent que des facteurs premiers congrus à <math>1[2n]</math>, l’expérience montre que leur <u>valuation semble toujours valoir 1</u>. C'est en tout cas ce qu'on peut constater en faisant des tables de <math> x^n + y^n</math>, sachant que la décompositions est plus rapide, seuls les premiers en 1[2n] devant être utilisés. Voilà peut-être ce qui aurait pu mettre Fermat sur la voie, sachant qu'à cette époque la course était à la découverte de grands nombres premiers. Or on décomposait "à la main", avec l'infaillible et laborieuse ''"voie ordinaire"'' du [[w:Crible_d'Ératosthène|crible d'Ératosthène]] dont se plaint Fermat. Dans ce contexte, utiliser des nombres dont on sait à l'avance la forme des facteurs premiers est un avantage certain! On peut penser que Fermat a calculé puis décomposé une très grande quantité de <math> \frac{x^n-y^n}{x-y} , ~ n \in \mathbb{P}</math> , afin de se constituer <u>une table de nombres premiers encore inédite à son époque</u>! Peut-on imaginer qu'à force de calcul, il s'est aperçu que les valuations était toujours de 1, le conduisant à l'intuition de son théorème? Cela dit, n'aurait-il pas plutôt annoncé ''"il est impossible de partager une puissance supérieure à 2 en une somme de cube, bicarrés, ...''? On rappelle que cette conjecture demeure encore irrésolue à ce jour!<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref> . Encore une fois, on est loin de la "fulgurance" de l'énoncé de Fermat. La chronologie est troublante : on ne sait pas s'il a découvert son théorème d'un coup. Ou si à partir des cas déjà connus en 1636 ( <math>n=3</math> et <math>n=4</math>), il a étendu plus tard aux autres puissances. Voici un début de table pour <math>n=5</math>: aucunes puissances en vue. {{Exemple déroulant|titre=Facteurs premiers de <math>(x^5+y^5)/(x+y)</math> pour<math>(x,y)</math> copremiers :|contenu=<math> \begin{matrix} x~\backslash ~y&1^5&3^5&5^5&7^5&9^5&11^5&13^5&15^5\\ 2{^5}&11&5\times11&11\times41&1871&41\times131&12391&5\times4951&11\times31\times131\\ 4{^5}&5\times41&181&461&1621&4621&5\times2161&11\times11\times181&31\times1291\\ 6{^5}&11\times101&---&991&31\times61&---&9931&71\times281&---\\ 8{^5}&11\times331&3001&11\times251&5\times661&11\times491&101\times101&71\times271&11\times31\times101\\ 10{^5}&9091&11\times701&---&6871&11\times761&31\times401&31\times661&---\\ 12{^5}&19141&---&14821&11\times31\times41&---&71\times251&5\times11\times11\times41&---\\ 14{^5}&5\times71\times101&31\times1021&71\times401&---&25951&5\times5591&11\times3061&41\times1091\\ \end{matrix} </math>}}{{Exemple déroulant|titre=Facteurs premiers de <math>(x^5-y^5)/(x-y)</math> pour<math>(x,y)</math> copremiers:|contenu=<math> \begin{matrix} x~\backslash~y&1^5&3^5&5^5&7^5&9^5&11^5&13^5&15^5\\ 2{^5}&31&211&1031&5\times11\times61&8431&17891&33751&58411\\ 4{^5}&11\times31&11\times71&11\times191&5261&5\times11\times211&22861&41141&71\times971\\ 6{^5}&5\times311&---&4651&11\times821&---&5\times6131&11\times4721&---\\ 8{^5}&31\times151&5\times1301&41\times241&11\times1451&41\times641&61\times701&5\times11\times1231&103801\\ 10{^5}&41\times271&14251&---&11\times2521&31\times1321&61051&11\times8221&---\\ 12{^5}&22621&---&11\times3191&5\times9281&---&41\times2141&151\times811&---\\ 14{^5}&11\times3761&48871&11\times11\times491&---&5\times11\times1741&125591&241\times691&11\times11\times1831\\ \end{matrix} </math>}} Fermat a-t-il réalisé ce genre de tables? On pourrait le penser si on s'en tient à son obstination sur la primalité des <math>F_n=2^{2^n}+1</math>. Qui n'aurait pas l'idée avec une présentation dans ce genre? {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{l} \color{red}M_{ 2 }&\color{red}= 5\\ M_{ 3 }&= 3\times3\\ \color{red}M_{ 4 }&\color{red}= 17\\ M_{ 5 }&= 3\times11\\ M_{ 6 }&= 5\times13\\ M_{ 7 }&= 3\times43\\ \color{red}M_{ 8 }&\color{red}= 257\\ M_{ 9 }&= 3\times3\times3\times19\\ M_{ 10 }&= 5\times5\times41\\ M_{ 11 }&= 3\times683\\ M_{ 12 }&= 17\times241\\ M_{ 13 }&= 3\times2731\\ M_{ 14 }&= 5\times29\times113\\ M_{ 15 }&= 3\times3\times11\times331\\ \color{red}M_{ 16 }&\color{red}= 65537\\ M_{ 17 }&= 3\times43691\\ M_{ 18 }&= 5\times13\times37\times109\\ M_{ 19 }&= 3\times174763\\ M_{ 20 }&= 17\times61681\\ M_{ 21 }&= 3\times3\times43\times5419\\ M_{ 22 }&= 5\times397\times2113\\ M_{ 23 }&= 3\times2796203\\ M_{ 24 }&= 97\times257\times673\\ M_{ 25 }&= 3\times11\times251\times4051\\ M_{ 26 }&= 5\times53\times157\times1613\\ M_{ 27 }&= 3\times3\times3\times3\times19\times87211\\ M_{ 28 }&= 17\times15790321\\ M_{ 29 }&= 3\times59\times3033169\\ M_{ 30 }&= 5\times5\times13\times41\times61\times1321\\ M_{ 31 }&= 3\times715827883\\ \color{red}M_{ 32 }&\color{red}=? \end{array} </math>|titre=Nombres <math>2^n+1</math>}} == La preuve ? == Nous donnons une trame historique sur Pierre de Fermat et la découverte de son "grand" théorème <math>c^n \ne a^n+b^n</math>. - A une date inconnue, Fermat écrit son théorème dans le commentaire d'une question de Diophante concernant la division d'un carré (rationnel) en somme de deux carrés (rationnels). Ce problème, <math>c^2=a^2+b^2</math>, est connu et résolu depuis longtemps. Si <math>(a,b,c)</math> sont des nombres entiers, on parle de triplet pythagoricien. Les solutions sont <math>(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)_{m,n}</math> . Ces triplets <math>(a,b,c)</math> ont de nombreuses propriétés, dont une importante pour la suite de notre exposé: le produit <math>abc</math> est forcément multiple de 3 et de 5. Fermat rentre dans l'histoire car à ce sujet il surpasse ces prédécesseurs. Il découvre notamment que <math>c</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[4]</math>. Encore mieux, il va en déduire que si p est premier <math>1[4]</math>, alors il existe une unique façon d'écrire <math>p=a^2+b^2</math>. C'est son théorème des 2 carrés énoncé en 1640. - Toujours dans le livre de Diophante, Fermat commente les questions concernant la réécriture de la somme de 2 cubes en une somme de 2 autres cubes, à savoir <math>a^3+b^3=c^3 + d^3</math>. Il complète les travaux de Bachet qui utilise la technique d'élimination <math>a^3+b^3=(a+\alpha n )^3+(b+n)^3</math>. Il est est très probable qu'à ce moment Fermat se pose alors la question de la division d'un cube, à savoir <math>c^3=a^3+b^3</math> . Sa correspondance montre qu'il a en trouvé la preuve de l'impossibilité dès 1937. Ces 2 questions sont concomitantes. En effet, dans ses dernières lettres à Digby En 1958, Fermat soumet les lui soumet au même moment: "Diviser <math>9=2^3+1^3</math> en 2 autres cubes rationnels". Et "trouver un cube somme de 2 cubes", problème qu'il dira beaucoup plus difficile! Cette double évocation montre la prise de recul de Fermat 20 ans après, et 7 ans avant sa mort en 1665. Ce sont des résultats très importants à ses yeux. Et surtout cela indique à tout nouvel interlocuteur, comme Digby, que c'est le point de départ pour comprendre le fil de ses travaux en arithmétique. - Au regard des formules qu'il trouve pour <math>a^3+b^3=c^3 + d^3</math>, il n'y a qu'un pas pour établir des formules de partage de cube: Par exemple, de <math>(a+b)^3=\dfrac{a}{b-a}(2b-a)^3 + \dfrac{b}{b-a}(b-2a)^3</math> ou <math>(b+2a)^3=\dfrac{a+b}{b}(b-a)^3 + \dfrac{a}{b}(a+2b)^3</math> On y est "presque". Si on réécrit tout cela sans fractions, la 2ème relation donne: <math>\left(b(b^3+2a^3)\right)^3={\color{green}(a^3+b^3)}\left(b^3-a^3\right)^3 + \left(a(a^3+2b^3)\right)^3</math> Ainsi, celui qui trouvera une solution <math>{\color{green}a^3+b^3=c^3}</math> pourra en déduire d'autres. Il en faut juste une. Qu'on n'arrive pas à deviner. Les calcul usuels sont fastidieux, tant les nombres à manipuler sont grands. Fermat demandera à tous ses correspondant de réfléchir au problème. On imagine qu'il va sérieusement s'intéresser à cette question <math>c^3 = a^3+b^3</math>. Car il se doute bien de son impossibilité, sinon un exemple, une formule, seraient accessibles. Personne ne lui répond. Dans la suite, il annoncera avoir démontré cela avec beaucoup de difficulté, grâce à une technique inédite appelée descente infinie. C'est une démonstration par l'absurde. Il a dû très probablement s'appuyer sur la stabilité par multiplication des nombres de la forme <math>a^2+3b^2</math>. Sûrement le même chemin qu'Euler débusquera un siècle plus tard, avec la réécriture du problème en <math>x^3+y^3=(u+v)^3+(u-v)^3=2u(u^2+3v^2)=z^3</math>. Fermat fera uniquement l'annonce de sa trouvaille, sans laisser de trace écrite. Il expliquera une seule fois comment il utilise sa technique de descente, au moment de montrer qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. C'est ce problème qui implique directement l'impossibilité de <math>c^4 = a^4+b^4</math>. La technique est un peu différente. Elle passe par les triplets pythagoriciens. Voilà. Fermat est tombé sur deux cas qui se ressemblent beaucoup dans la forme: <math>c^3 \ne a^3+b^3</math> et <math>c^4 \ne a^4+b^4</math>. A priori ces questions n'étaient pas liées, et sont arrivées par des voies totalement différentes. Naturellement, quiconque se demanderait si ça continue pour les puissances supérieures! Ça paraît logique à ce moment là de l'histoire. Et pour Fermat, c'est clair: le problème continue à être impossible, à savoir <math>c^n \ne a^n+b^n, n \in \mathbb{P}, n \ge 5</math>. Intuition étrange, car ni la méthode pour <math>n=3</math> ni celle pour <math>n=4</math> ne fonctionne pour <math>n\ge 5</math> . En pionnier, il continuera à étudier ces formes <math>a^2+nb^2</math>, en les associant à certaines familles de nombres premiers. Mais ici autre chose se trame. Et c'est maintenant qu'arrivent les suppositions. Car il n'y a pas d'autres traces écrites. Fermat n'en fera plus jamais mention dans ses lettres avec ses contemporains. Que s'est-il passé ? Il s'avère que Fermat est aussi pionnier dans les méthodes d'élimination (à traduire et étudier: https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat/I/M%C3%A9thode_d%E2%80%99%C3%A9limination ). Ces techniques consiste à éliminer des inconnues dans des équations polynomiales, et à abaisser les degrés pour les rendre plus simple. Dès 1640, on sait qu'il travaille sur les puissances, notamment sur les nombres de Mersenne <math>2^n-1</math>. Il découvre par exemple que ces nombres n'ont que des facteurs premiers congrus à <math>1[2n]</math>. On peut résolument penser que Fermat avait découvert la formule des carrés <math>(u+v)^n=u \cdot a^2 + v \cdot b^2</math> , avec <math>(a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm 1[2n]</math>. Une preuve est qu'il a travaillé sur les cubiques <math>x^3=y^2+2</math> et <math>x^3=y^2+4</math>. Or ce problème vient de la formule des carrés pour <math>n =3</math>, à savoir <math>(a+b)^3=a \cdot (a-3b)^2 + b \cdot (b-3a)^2</math> , qui donne <math>x^3=(3x-4)^2+(x-1)(x-4)^2</math>. Par identification, on obtient les uniques solutions "premières", respectivement (3,5) et <math>\{(5,11),(2,2)\}</math>. Fermat, en 1957, reparlera de ce problème à Digby. Il lui annonce qu'il a même réussi à montrer que les solutions trouvées sont les seules. Pour <math>x^3=y^2+4</math>, il cite les solutions <math>x=2</math> et ''<math>x=5</math>'' et précise'': "toute l'infinité des nombres n'en sauroit fournir un troisième qui ait la même propriété"''. Que ce passe-t-il pour <math>z^n=x^n+y^n, n \ge 5</math> ? Pourquoi Fermat n'en reparle-t-il pas dans ses correspondances? Pense-t-il que c'est juste évident? Qu'il n'y a pas besoin de la descente pour montrer cela, donc que ça ne vaut pas le coup de s'y attarder? Ou a-t-il repéré une erreur dans son raisonnement pour ne plus jamais en parler, comme le pense l'historien Jean Itard? Quelle serait cette preuve "merveilleuse" qui lui aurait donné l'intuition géniale de son théorème? '''Voici mon hypothèse:''' Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Or par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une contradiction! Car on a vu au tout début que dans la relation <math>c^2=a^2+b^2</math>, 3 et 5 divisent forcément le produit <math>abc</math> Certes c'est une preuve farfelue car identifier sur <math>w</math> n'est pas possible. Mais sachant que ça fonctionne pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée est séduisante. On peut même penser qu'il existe un certain <math>w</math> qui fasse l'affaire. Fermat serait-il tombé dans cette affaire si tentante? Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez explicative du contexte: - ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , le cas <math>n =3</math> restant à part. En effet, avec la formule des carrés, les facteurs premiers sont annoncés en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre démonstration. En l’occurrence celle par descente infinie, dont l'inventeur est Fermat. Et c'est plutôt là qu'est l'exploit! - c'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "merveilleux". Qu'avec du recul Fermat a pu se dire que finalement c'était faux. Ou que c'est suffisamment trivial pour qu'il n'ait besoin de le "vendre" à ses lecteurs. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver. C'est Dirichlet et Legendre qui vont en venir à bout en 1825. Ensuite, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs. Or c'était la fierté de Fermat. On le voit bien dans sa correspondance. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à Wallis, Digby, ou Carcavi, il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres ne comptent pas. == Formes quadratiques == D'après Yves Hellegouarch, Fermat devait associer l'équation à la forme quadratique <math>X^2+(-1)^{(p+1)/2}p Y^2</math>. Effectivement, ça fonctionne toujours <ref>{{Lien web|langue=en|titre=Fermat, Hellegouarch, sum of powers, quadratic forms|url=https://math.stackexchange.com/questions/5144009/fermat-hellegouarch-sum-of-powers-quadratic-forms|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2026-07-19}}</ref>. Mais Fermat était-il allé aussi loin dans les calculs? Même par induction, il n'est pas évident de généraliser à toutes les puissances. En effet, pour les premiers exposants premiers, on a : <math>(u+v)^3+(u-v)^3=2u\left( X^2+3Y^2 \right)</math>avec <math>(X,Y)=(u,v)</math> <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( X^2-5Y^2 \right)</math> avec <math>(X,Y)=(u^2+5v^2, 2v )</math> <math>(u+v)^7+(u-v)^7= 2u\left(X^2 + 7Y^2\right) </math> avec <math>(X,Y)=(u(u^2 + 7 v^2), v(u^2 - v^2))</math> <math>(u + v)^{11} + (u - v)^{11} = 2 u (X^2+11Y^2)</math> avec <math>(X,Y)= ( u(u^4 - 22 u^2 v^2 - 11 v^4), v(3 u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) )</math> On a ensuite <math>(u + v)^{13} + (u - v)^{13} = 2 u (X^2-13Y^2)</math> mais il y a alors plusieurs formes possibles pour <math>(X,Y)</math>. Ça devient très compliqué. Mais imaginons quand même que Fermat avait généralisé la forme <math>x^p+y^p=(x+y)(X^2\pm pY^2)</math>. Que cela implique-t-il ? Fermat savait que la forme <math>X^2\pm pY^2</math>était stable par multiplication. Et donc par stabilité si <math>Z^p=X^2\pm pY^2</math>, alors <math>Z=X'\pm pY'^2</math> Pour <math>p=3</math>: <math>(u+v)^3+(u-v)^3=2u\left( u^2+3v^2\right)=z^3</math>et on a nécessairement u pair et v impair si <math>Z=a^2+3b^2</math> alors on sait que <math>Z^3=X^2+3Y^2=(af_3(a^2,-3b^2))^2+3(bf_3(3b^2,-a^2))^2</math> avec <math>f_3(x,y)=x+3y</math> <math>f_3(a^2,-3b^2)=a^2-9b^2= (a-3b)(a+3b)</math> donc <math>u=a(a+3b)(a-3b)</math> On utilise <math>(a,b) \rightarrow (b\sqrt3,a/\sqrt3)</math> pour éviter de recalculer <math>f_3(3b^2,-a^2)=3(b-a)(b+a)</math> donc <math>v=3a(b-a)(b+a)</math> Là ça se goupille très bien car tout se factorise magnifiquement. Par coprimalité <math>2u=m^3</math> et <math> u^2+3v^2=n^3</math> . C'est donc surtout la '''structure de u''' qui nous intéresse Ici ça donne <math>2u=2a(a+3b)(a-3b)=m^3</math> A nouveau par coprimalité, <math>(2a,a+3b,a-3b)=(r^3,s^3,t^3)</math> avec <math>r^3=s^3+t^3</math> et <math>rst=2u=m^3<z^3</math> qui amorce la descente Que ce passe-t-il pour <math>p=5</math> ? <math>(u+v)^5+(u-v)^5=2u\left( (u^2+5v^2)^2-5(2v)^2 \right)</math>avec toujours avec u pair et v impair si <math>Z=a^2-5b^2</math> alors <math>Z^5=X^2-5Y^2=(af_5(a^2,5b^2))^2-5(bf_5(5b^2,a^2))^2</math> avec <math>f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy</math> On a nécessairement b pair et a impair <math>f_5(a^2,5b^2)=a^4+125b^4 +50a^2b^2</math> donc <math>u^2+5v^2=a(a^4+5^3b^4 +50a^2b^2)\quad (E1)</math> on utilise <math>(a,b) \rightarrow (b\sqrt5,a/\sqrt5)</math> <math>f_5(5b^2,a^2)=5a^4+25b^4+50a^2b^2</math> donc <math>2v=b(25b^4+5a^4 +50a^2b^2)</math> Peut-on avoir une expression de u ? Et dans l'idéal factorisée? d'après (E1): <math>(2u)^2=4a(a^4+5^3b^4 +50a^2b^2)-5\left(b(25b^4+5a^4 +50a^2b^2)\right)^2</math> Cette expression est compliquée. Avec un logiciel de calcul formel, on trouve <math>-125a^8 b^2-2500a^6 b^4+4a^5-13750 a^4 b^6+200 a^3 b^2-12500 a^2 b^8+500a b^4-3125 b^{10}</math> Qui n'est pas factorisable.La technique de <math>p=3</math> ne fonctionne plus. <references /> hssjzkwjgddpiw74vohxx7m339xn629 0 84512 985092 982302 2026-07-21T21:45:27Z Solstag 13856 maj 985092 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Eurybia Lycisca.jpg|sans_cadre|bordure|droite]]Organisation du Groupe Thématique I du Laboratoire Interdisciplinaire Sciences Innovations Sociétés. Le groupe étudie les transitions sociotechniques et les régimes d’innovation en société, avec une focalisation sur les processus de généralisation des technologies, d’expérimentation et de déstabilisation des régimes sociotechniques.[https://umr-lisis.fr/recherches/axe/thematiques-de-recherche/] Par régime d'innovation, nous entendons un ensemble de normes, de pratiques, de dispositifs politiques, scientifiques, techniques, informationnels et organisationnels qui conditionnent la dynamique des couplages entre science, politique, industrie, société et nature. Ces régimes structurent les trajectoires sociotechniques et organisationnelles. Ces régimes sont constitués par les relations entre pratiques et institutions. Ils peuvent être déstabilisés par des changements de pratiques, des crises, des tensions ; par exemple lorsque différents régimes – et donc pratiques – coexistent. Les travaux du groupe prennent au sérieux les questions d'interdisciplinarité, entre sciences sociales et avec les sciences biotechniques, et de transdisciplinarité, en analysant et en participant activement à des formes renouvelées de production de connaissances, impliquant par exemple les tiers lieux ou autres acteurs intermédiaires. Les travaux du groupe se déploient autour de trois sous-thématiques: * Processus sociotechniques * Politiques, gouvernance, évaluation * Contradictions, conflits, crises L'animation pour l'année 2025-2026 est assurée par François Charrier, Bruno Turnheim et Mireille Matt. == Agenda == [[Fichier:Regime Change Witch (24910523).jpg|droite|sans_cadre]] === Rencontres régulières === Nos rencontres ont lieu le deuxième et quatrième mardi du mois et s'alternent entre deux formats: * Court — en mode déjeuner, pour discuter l'actualité de projets, conférences et du GT; * Long — pour approfondir une thématique, travail de recherche ou dialogue interdisciplinaire à partir de textes, interventions et autres activités. Les rencontres peuvent être accompagnés d'une courte présentation méthodologique en début de séance organisée avec la plateforme Cortext. ==== '''🗓️ 7 septembre 2026 (long) ⏰ 9:00–10:30''' ==== Discussion sur le programme et organisation de l'année 2026-2027 === Activités libres === ==== Atelier du vivant ==== ''Voir [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]]'' Rencontres les 2èmes mardis du mois, 14h-16h, à partir d'octobre, sauf 1er mardi du Février et 3ème mardi en avril. == Appels et conférences == {| class="wikitable" |+ !Conférence !Quand !Où !Soumission |- | | | | |} == Animations == [[Fichier:Juliesvegetables.jpg|droite|sans_cadre]] Pour 2026-2027, nous avançons sur les chantiers suivants. === Méthodes === Méthodes de participation et recherche embarquée dans des collectifs (Renée, Allison, Séverine, Mireille, Ale) * Multi-acteur * Animation très pragmatique: * Une séance jeu-sérieux, possiblement avec (négociation, conflit, réflexivité...), GAMAE === Futurs === Futurs sociotechniques: construction, variété, modalités d’expérimentation (Baptiste, Marc, Ale, Renée, Lucas) === Contradictions, conflits, crises. === Contradictions, conflits, crises. De quoi s'agit-il? Comment les identifier? Qu’est-ce qu’on peut en faire ? Comment rendent-elles les problèmes traitables ? Construire le répertoire des contradictions (François, Bruno, Julie) === Métriques et mesurabilités === Métriques et mesurabilités des transformations durables: référentiels, outils, critiques (Bruno, Mireille, Lionel, Allison, Séverine, Ale, Lucas, Renée, Matthias) === STS/STI urbains === STS/STI urbains: transformations, innovations, action urbaine (Lucas, Matthias, Marc, Mireille, Allison) === Transitions en France === Transitions en France: développement de communauté académique, conférence, etc. (Bruno, Marc) == Projets == Projets de membres du GT ayant une documentation ou présence en ligne, sur Wikiversité ou ailleurs * [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]] === Conclus === * [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative|Vers un agenda pour la recherche participative co-construite avec les Suds]] (2024) * [[Recherche:OpenLabs|OpenLabs]] (2017-2019) == Documentation == === Activités passées === ==== 2025-2026 ==== * Rencontre des permanents du GTI 🗓️ 2025-09-04 ⏰ 09:00–17:30 ==== 2024-2025 ==== * Atelier du Vivant: Infravies et bio-objets 🗓️ 2025-04-01 ⏰ 14:00–16:00 *WAYS-OUT: Conclusion 🗓️ 2025-03-24,25 * Séminaire « Recherches participatives en Amérique du Sud » ([[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-12-16,17 Séminaire-atelier au LISIS|wiki]], [https://umr-lisis.fr/actualites/evenement/seminaire-recherches-participatives-en-amerique-du-sud-a-14h-salle-109-au-lisis/ annonce]) 🗓️ 2024-12-16 ==== 2022-2023 ==== * [[Recherche:Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche|Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche]] 🗓️ 2022-10-04 * [[LISIS/Club déstabilisation|Club déstabilisation]] 🗓️ 2022-05 === Rencontres passées === ==== '''🗓️ 7 juillet 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Discussion de fin d'année au Muguet (Lucas, Ale, Julie, Lidia) ==== '''🗓️ 14 avril 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance jeux sérieux (Renée, Séverine) ==== '''🗓️ 7 avril 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Contradictions: Poursuite des discussions autour de propositions de recherche collective ==== '''🗓️ 10 février 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance contradictions, conflits, crises (Julie, François, Bruno) ==== '''🗓️ 13 janvier 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance de présentation du papier TFSC (Allison et al.) '''🗓️ 9 décembre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' Discussion des animations et du programme du GTI pour 2026. ==== '''🗓️ 18 novembre 2025 (long) ⏰ 15:00–18:00''' ==== Soutenance HDR Bruno Turnheim (CSI/Ecole des Mines): "Things falling apart: Handling destabilisation and its patterns" ==== '''🗓️ 7 octobre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== François Charrier (INRAE/LISIS): "Gouvernementalité des maladies infectieuses animales - l'organisation du bio-pouvoir biosécuritaire" ==== '''🗓️ 9 septembre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Présentation de Lenn Gorissen : « Socio-techno-ecological imaginaries: a framework for understanding future-making for and with ecology ». ==== 🗓️ 01 juillet 2025 (long) '''⏰ 16:00–18:00+''' ==== Séance hors les murs lors d'école jeune chercheur sur "contradictions de régime" organisée par Allison et co-organisée par Julie, Bruno, Marc, Francois?. Au programme: * <u>16h00–17h00</u>: Échanges entre les participants du Summer School et les membres de GTI (pendant une pause-café). * <u>17h00–18h00</u>: Séminaire donné par Jessica Duncan, Wageningen University: ''Beware of systems: Opportunities and challenges of global food systems governance.'' * Rencontre au Centre Universitaire de Norvège à Paris, dans les locaux de l’EHESS, 105 Bd Raspail, 75006 Paris. * <u>20h00:</u> Dîner à la Crêperie Port-Manech, 52 Rue du Montparnasse, 75014 Paris. ==== 🗓️ 27 mai 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance organisée par les doctorants et post-docs : Jim Sion sur l'imaginaire agro-industriel à La Réunion. Présentation des collègues sénégalais travaillant sur l'agroécologie : Ibrahima Diallo, avec des perspectives issues de la sociologie du travail, et Modou Fall, avec des perspectives issue de l’économie et de la modélisation économique. ==== 🗓️ 13 mai 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== Personne d'autre n'est venue donc Marc et Ale ont bitché aux pauvres doctorants à propos de trucs sans issue. ==== 🗓️ 29 avril 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Les IRs du GTI, le métier, les contributions, les attentes. ==== 🗓️ 3-4 avril 2025 (séminaire résidentiel) ==== * Présentations et discussions autour des thématiques du GTI * Présentations de doctorants ==== 🗓️ 18 mars 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Une présentation par Géraldine et Lionel du travail réaliser avec TSARA * Tour de tables des nouvelles (conférences à venir, projets, ….) * Préparation du séminaire résidentiel ==== [?] 🗓️ 04 mars 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Session Science-Policy dialogue * Retour sur la formation Mission-Oriented Science Policy dialogue (Eu-SPRI). * Interventions de membres du GTI sur activités Science-Policy. ==== [?] 🗓️ 18 février 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Mise à jour des listes du GT. * Invitations d'externes pour septembre, octobre. ==== [?] 🗓️ 11 février 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== * Le 11 février : « La transition agroécologique : nos travaux actuels et questions de recherche ». ==== 🗓️ 20 janvier 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Proposition et discussion du programme GTI pour le semestre. * Discussion autour d'abstracts et échéances Eu-SPRI, IST etc. ==== 🗓️ 07 janvier 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== 📝 [[LISIS/GTI/Comptes rendus/2025-01-07 Séminaire|Compte rendu]] * Discussion proposée par les doctorants - Thème de la session: Explorer le changement socio-technique. * Lecture de deux textes : ** Geels (2007) – Feelings of Discontent and the Promise of Middle-Range Theory for STS ** Schot & Kanger (2018) – Deep Transitions: Emergence, Acceleration, Stabilization, and Directionality * Déroulement : introduction sur le thème général du changement; présentation des deux textes; échange interactif; réflexions individuelles de la part des doctorant·es; discussion ouverte. ==== 🗓️ 26 novembre 2024 (court) '''⏰ 12:30–13:30''' ==== * Organisation de la journée « construction participative du GTI ». ==== 🗓️ 12 novembre 2024 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== * Kewan Mertens, postdoctorant au CSI, nous présentera son parcours interdisciplinaire et son projet de recherche autour du titre « habiter, connaître et agir (politiquement) sur son environnement ». * Présentation éclair : introduction à Wikiversité et aux pages wiki du GTI. [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] 73n6e4373imsf5g39p2qlxfbxg7tqmb 985093 985092 2026-07-21T21:53:37Z Solstag 13856 images pour chaque section 985093 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Eurybia Lycisca.jpg|sans_cadre|bordure|droite]]Organisation du Groupe Thématique I du Laboratoire Interdisciplinaire Sciences Innovations Sociétés. Le groupe étudie les transitions sociotechniques et les régimes d’innovation en société, avec une focalisation sur les processus de généralisation des technologies, d’expérimentation et de déstabilisation des régimes sociotechniques.[https://umr-lisis.fr/recherches/axe/thematiques-de-recherche/] Par régime d'innovation, nous entendons un ensemble de normes, de pratiques, de dispositifs politiques, scientifiques, techniques, informationnels et organisationnels qui conditionnent la dynamique des couplages entre science, politique, industrie, société et nature. Ces régimes structurent les trajectoires sociotechniques et organisationnelles. Ces régimes sont constitués par les relations entre pratiques et institutions. Ils peuvent être déstabilisés par des changements de pratiques, des crises, des tensions ; par exemple lorsque différents régimes – et donc pratiques – coexistent. Les travaux du groupe prennent au sérieux les questions d'interdisciplinarité, entre sciences sociales et avec les sciences biotechniques, et de transdisciplinarité, en analysant et en participant activement à des formes renouvelées de production de connaissances, impliquant par exemple les tiers lieux ou autres acteurs intermédiaires. Les travaux du groupe se déploient autour de trois sous-thématiques: * Processus sociotechniques * Politiques, gouvernance, évaluation * Contradictions, conflits, crises L'animation pour l'année 2025-2026 est assurée par François Charrier, Bruno Turnheim et Mireille Matt. == Agenda == [[Fichier:Regime Change Witch (24910523).jpg|droite|sans_cadre]] === Rencontres régulières === Nos rencontres ont lieu le deuxième et quatrième mardi du mois et s'alternent entre deux formats: * Court — en mode déjeuner, pour discuter l'actualité de projets, conférences et du GT; * Long — pour approfondir une thématique, travail de recherche ou dialogue interdisciplinaire à partir de textes, interventions et autres activités. Les rencontres peuvent être accompagnés d'une courte présentation méthodologique en début de séance organisée avec la plateforme Cortext. ==== '''🗓️ 7 septembre 2026 (long) ⏰ 9:00–10:30''' ==== Discussion sur le programme et organisation de l'année 2026-2027 === Activités libres === ==== Atelier du vivant ==== ''Voir [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]]'' Rencontres les 2èmes mardis du mois, 14h-16h, à partir d'octobre, sauf 1er mardi du Février et 3ème mardi en avril. === Appels et conférences === {| class="wikitable" |+ !Conférence !Quand !Où !Soumission |- | | | | |} == Animations == [[Fichier:Juliesvegetables.jpg|droite|sans_cadre]] Pour 2026-2027, nous avançons sur les chantiers suivants. === Méthodes === Méthodes de participation et recherche embarquée dans des collectifs (Renée, Allison, Séverine, Mireille, Ale) * Multi-acteur * Animation très pragmatique: * Une séance jeu-sérieux, possiblement avec (négociation, conflit, réflexivité...), GAMAE === Futurs === Futurs sociotechniques: construction, variété, modalités d’expérimentation (Baptiste, Marc, Ale, Renée, Lucas) === Contradictions, conflits, crises. === Contradictions, conflits, crises. De quoi s'agit-il? Comment les identifier? Qu’est-ce qu’on peut en faire ? Comment rendent-elles les problèmes traitables ? Construire le répertoire des contradictions (François, Bruno, Julie) === Métriques et mesurabilités === Métriques et mesurabilités des transformations durables: référentiels, outils, critiques (Bruno, Mireille, Lionel, Allison, Séverine, Ale, Lucas, Renée, Matthias) === STS/STI urbains === STS/STI urbains: transformations, innovations, action urbaine (Lucas, Matthias, Marc, Mireille, Allison) === Transitions en France === Transitions en France: développement de communauté académique, conférence, etc. (Bruno, Marc) == Projets == [[Fichier:Un agenda pour la recherche participative - Rencontre 2024-06-11 - All post-its.jpg|droite|sans_cadre]] Projets de membres du GT ayant une documentation ou présence en ligne, sur Wikiversité ou ailleurs * [[Recherche:Atelier du Vivant|Atelier du Vivant]] === Conclus === * [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative|Vers un agenda pour la recherche participative co-construite avec les Suds]] (2024) * [[Recherche:OpenLabs|OpenLabs]] (2017-2019) == Documentation == [[Fichier:Bayeux Tapestry Scene 43.png|droite|sans_cadre]] === Activités passées === ==== 2025-2026 ==== * Rencontre des permanents du GTI 🗓️ 2025-09-04 ⏰ 09:00–17:30 ==== 2024-2025 ==== * Atelier du Vivant: Infravies et bio-objets 🗓️ 2025-04-01 ⏰ 14:00–16:00 *WAYS-OUT: Conclusion 🗓️ 2025-03-24,25 * Séminaire « Recherches participatives en Amérique du Sud » ([[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-12-16,17 Séminaire-atelier au LISIS|wiki]], [https://umr-lisis.fr/actualites/evenement/seminaire-recherches-participatives-en-amerique-du-sud-a-14h-salle-109-au-lisis/ annonce]) 🗓️ 2024-12-16 ==== 2022-2023 ==== * [[Recherche:Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche|Journée d'étude — Nouvelles intermédiations dans les dispositifs de co-recherche]] 🗓️ 2022-10-04 * [[LISIS/Club déstabilisation|Club déstabilisation]] 🗓️ 2022-05 === Rencontres passées === ==== '''🗓️ 7 juillet 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Discussion de fin d'année au Muguet (Lucas, Ale, Julie, Lidia) ==== '''🗓️ 14 avril 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance jeux sérieux (Renée, Séverine) ==== '''🗓️ 7 avril 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Contradictions: Poursuite des discussions autour de propositions de recherche collective ==== '''🗓️ 10 février 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance contradictions, conflits, crises (Julie, François, Bruno) ==== '''🗓️ 13 janvier 2026 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance de présentation du papier TFSC (Allison et al.) '''🗓️ 9 décembre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' Discussion des animations et du programme du GTI pour 2026. ==== '''🗓️ 18 novembre 2025 (long) ⏰ 15:00–18:00''' ==== Soutenance HDR Bruno Turnheim (CSI/Ecole des Mines): "Things falling apart: Handling destabilisation and its patterns" ==== '''🗓️ 7 octobre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== François Charrier (INRAE/LISIS): "Gouvernementalité des maladies infectieuses animales - l'organisation du bio-pouvoir biosécuritaire" ==== '''🗓️ 9 septembre 2025 (long) ⏰ 14:00–16:00''' ==== Présentation de Lenn Gorissen : « Socio-techno-ecological imaginaries: a framework for understanding future-making for and with ecology ». ==== 🗓️ 01 juillet 2025 (long) '''⏰ 16:00–18:00+''' ==== Séance hors les murs lors d'école jeune chercheur sur "contradictions de régime" organisée par Allison et co-organisée par Julie, Bruno, Marc, Francois?. Au programme: * <u>16h00–17h00</u>: Échanges entre les participants du Summer School et les membres de GTI (pendant une pause-café). * <u>17h00–18h00</u>: Séminaire donné par Jessica Duncan, Wageningen University: ''Beware of systems: Opportunities and challenges of global food systems governance.'' * Rencontre au Centre Universitaire de Norvège à Paris, dans les locaux de l’EHESS, 105 Bd Raspail, 75006 Paris. * <u>20h00:</u> Dîner à la Crêperie Port-Manech, 52 Rue du Montparnasse, 75014 Paris. ==== 🗓️ 27 mai 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Séance organisée par les doctorants et post-docs : Jim Sion sur l'imaginaire agro-industriel à La Réunion. Présentation des collègues sénégalais travaillant sur l'agroécologie : Ibrahima Diallo, avec des perspectives issues de la sociologie du travail, et Modou Fall, avec des perspectives issue de l’économie et de la modélisation économique. ==== 🗓️ 13 mai 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== Personne d'autre n'est venue donc Marc et Ale ont bitché aux pauvres doctorants à propos de trucs sans issue. ==== 🗓️ 29 avril 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Les IRs du GTI, le métier, les contributions, les attentes. ==== 🗓️ 3-4 avril 2025 (séminaire résidentiel) ==== * Présentations et discussions autour des thématiques du GTI * Présentations de doctorants ==== 🗓️ 18 mars 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Une présentation par Géraldine et Lionel du travail réaliser avec TSARA * Tour de tables des nouvelles (conférences à venir, projets, ….) * Préparation du séminaire résidentiel ==== [?] 🗓️ 04 mars 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== Session Science-Policy dialogue * Retour sur la formation Mission-Oriented Science Policy dialogue (Eu-SPRI). * Interventions de membres du GTI sur activités Science-Policy. ==== [?] 🗓️ 18 février 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Mise à jour des listes du GT. * Invitations d'externes pour septembre, octobre. ==== [?] 🗓️ 11 février 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== * Le 11 février : « La transition agroécologique : nos travaux actuels et questions de recherche ». ==== 🗓️ 20 janvier 2025 (court) '''⏰ 12:30–13:45''' ==== * Proposition et discussion du programme GTI pour le semestre. * Discussion autour d'abstracts et échéances Eu-SPRI, IST etc. ==== 🗓️ 07 janvier 2025 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== 📝 [[LISIS/GTI/Comptes rendus/2025-01-07 Séminaire|Compte rendu]] * Discussion proposée par les doctorants - Thème de la session: Explorer le changement socio-technique. * Lecture de deux textes : ** Geels (2007) – Feelings of Discontent and the Promise of Middle-Range Theory for STS ** Schot & Kanger (2018) – Deep Transitions: Emergence, Acceleration, Stabilization, and Directionality * Déroulement : introduction sur le thème général du changement; présentation des deux textes; échange interactif; réflexions individuelles de la part des doctorant·es; discussion ouverte. ==== 🗓️ 26 novembre 2024 (court) '''⏰ 12:30–13:30''' ==== * Organisation de la journée « construction participative du GTI ». ==== 🗓️ 12 novembre 2024 (long) '''⏰ 14:00–16:00''' ==== * Kewan Mertens, postdoctorant au CSI, nous présentera son parcours interdisciplinaire et son projet de recherche autour du titre « habiter, connaître et agir (politiquement) sur son environnement ». * Présentation éclair : introduction à Wikiversité et aux pages wiki du GTI. [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] ryftkuf5yf317wnucrvcyp07bqeeuqs 104 85166 985075 965136 2026-07-21T11:23:08Z Lidotchek 77921 intégration de l'image 985075 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cowscape-1.jpg|vignette|Ce paysage surréaliste composé du le dos de vache Holstein (race bovine la plus industrialisée et mondialisée) dont la robe évoque les figures humaines, et des éléments de notre monde techno-industriel, illustre l'engagement interdisciplinaire de notre Atelier du Vivant pour mieux saisir les enchevêtrements socio-bio-techniques de l'Anthropocène(c)Lidia Chavinskaia]] L'atelier du vivant est une activité de l'UMR [[LISIS]] animé par Lidia Chavinskaia, Julie Labatut, François Charrier. ==== Travaux en cours ==== * [[Recherche:Atelier du Vivant/Cartographie|Cartographie]] == Argumentaire == Il paraît dorénavant évident que le rapport au vivant au sein de notre société change et ce changement s’accélère et devient perceptible à plusieurs niveaux : social, politique, économique, scientifique, etc. De nombreux mouvements sociaux en faveur de la protection des espèces animales et végétales, revendiquent le changement de leur statut et de leurs droits dans la société. Les questions de protection de l’environnement et du droit des animaux intègrent activement les agendas politiques aussi bien localement qu’à l’international. Les entreprises, et en particulier des filières agro-alimentaires, se voient obligées d’adapter leurs stratégies aux nouvelles exigences sociétales vis-à-vis du traitement des animaux et des plantes. La gestion des risques sanitaires oblige à élargir leur cadrage en tenant compte de la transversalité et de la dynamique des vecteurs des maladies (concept « one health »). Les disciplines '''biologiques''' revoient leurs questions de recherche, leurs méthodes, leurs résultats. La façon de voir, de penser et d’étudier les organismes vivants dans le périmètre propre de leurs corps laisse de plus en plus la place à l’approche interactionniste et relationnelle du vivant (cf., par exemple, Heams 2019). Le déterminisme génétique comme idéal du vivant prédictible s’assouplie avec les connaissances sur les mécanismes épigénétiques et laisse sa place à l’effet de l’environnement dans le sens très large du terme comme co-déterminant (rappelons-nous ici Lamarck) mais peu prédictible et peu saisissable avec les outils scientifiques développés jusqu’au là. Le vivant est décrit comme « anarchique » notamment dans les travaux du biologiste Jean-Jacques Kupiec (2017, 2019) qui questionne les outils et les méthodes de la biologie moderne. Dans les '''SHS''', le dépassement épistémologique des frontières de la société humaine est relativement récent. '''Animal studies''' (Kalof 2017) et plus récentes '''Plant studies''' (Woodward & Lemmer 2019), champs d’études interdisciplinaires, explorent la relation respectivement homme-animal et homme-plante dans l’histoire et au travers des différentes pratiques sociétales. On y adopte une approche critique de l’anthropocentrisme et cherche à montrer « l’agency » des animaux et des plantes en tant qu’êtres sensibles et dotés d’intelligence.   Dans le champ des « '''management and organization studies''' », on observe également une augmentation significative des travaux s’intéressant au vivant. Ces contributions ont participé à développer une pensée critique au-delà des concepts classiques dans ce champ disciplinaire tels que le développement durable ou la responsabilité sociale et environnementale des entreprises. Depuis les travaux sur les animaux de compagnie dans le Journal of Business Research en 2008, de nombreux numéros spéciaux et articles ont été produits, notamment dans les revues Organization et Organization Studies, autour du changement climatique, de l’Anthropocène, des animal studies, appelant cette communauté à adopter une « Earth-centered perspective » et à s’engager dans de nouvelles réflexions épistémologiques, ontologiques et méthodologiques autour du vivant. Si les '''STS''' '''(Science and Technology Studies)''' étaient précurseurs dans la prise en compte rationnelle des éléments non-humains dans les sciences humaines et sociales, le vivant (bios) en tant qu’actant à part entière dans les systèmes sociotechniques a eu relativement peu d’attention jusqu’à présent. Lorsque Bruno Latour écrit en 1984 que Louis Pasteur en découvrant les microorganismes ''« recompose la société différemment'' », il appelle justement à penser notre société différemment, en tenant compte des éléments non-humains et en particulier d’autres organismes vivants. Il nous le rappelle et en 2020 à l’occasion de la pandémie : ''«… la définition classique de la société – les humains entre eux – n’a aucun sens. […] Une fois pris en compte tout le réseau dont il n’est qu’un maillon, le même virus n’agit pas de la même façon à Taïwan, Singapour, New York ou Paris.»'' Des cadres théoriques et la méthodologie analytique des STS sont appliqués aussi bien dans Animal et Plant studies que dans les Management and Organization studies. Mais le vivant en tant qu’objet systémique et systématique d’étude nous semble mériter plus d’attention en lien avec les pratiques scientifiques et technologiques, en particulier à l’heure actuelle où certains paradigmes et régimes de production de connaissances sur la vie sont en train d’évoluer. L’INRAE, organisme de recherche finalisée et appliquée, nous offre un terrain favorable pour observer et analyser ces évolutions en mettant en œuvre les changements épistémologiques nécessaires à ce tournant vers le vivant, notamment l’interdisciplinarité. La transition du paradigme productiviste au paradigme agroécologique où le vivant-objet (outil) laisse plus de place au vivant-sujet (acteur), apporte à la recherche de nouveaux enjeux, questions, méthodes, résultats, ouvertures et organisations (exemples : la génétique, l’expérimentation, transgénèse et biologie de synthèse…). Comment, par quel biais cognitif, le vivant se manifeste-t-il à nous? Que produit-il comme changement au sein de la société? Comment s’intègre-t-il dans les systèmes/réseaux/agencements socio(bio)techniques ? Comment cette intégration est vécue par d’autres acteurs ? Comment enfin penser le vivant non seulement dans son ontologie biologique mais aussi sociale ? ... Nos nombreux cas d'étude peuvent probablement éclairer ces questionnements si on les met à réflexion ensemble. === Tentative de définition conceptuelle === ''Le vivant'' par sa forme grammaticale (participe présent du verbe ''vivre'' transformé en substantif) traduit la volonté de concrétiser la notion trop abstraite de ''vie'' en lui procurant une forme d’agentivité. Ainsi, le vivant définit les manifestations de la vie contextualisées, situées, incarnées dans les pratiques et les imaginaires des acteurs. Mettre cette notion au centre d’un discours/projet signifie (i) d’admettre l’existence dans nos objets d’attention de ce que les biologistes eux-mêmes caractérisent comme complexe, incertain, imprédictible et même portant une certaine forme « d’anarchisme » (Teams 2019, Kupiec 2019, Hamant 2022), (ii) de questionner les approches mécanistiques, déterministes et de ce point de vue réductionnistes des êtres et des phénomènes étudiés et/ou mis en utilisation et (iii) de tenir compte de leurs dimensions de dynamisme constant, d’incertitude ontologique (Callon 2012), de cyclicité, d’interactivité relationnelle tant biologique que sociale. == Séances == === A venir === '''Mardi 3 juin 2025, 10h30-12h30 :''' Isabelle Arpin (sociologue, INRAE) et François Sarrazin (écologue, MNHN). === Historique des séances === * <u>Juin 2023</u> ** Evelyne Lhoste (STS, INRAE), et Davi Savietto (sciences animales, INRAE): LAPOESIE - projet transdisciplinaire analyse la faisabilité et la plus-value de l'association arboriculture-élevage de lapins en agriculture biologique (AB) ** T'anime Adamji (doctorante en sociologie, INRAE) et Simon Fellous (écologue INRAE): TIS : insectes stériles comme lutte biologique * <u>14 octobre 2023</u> ** Céline Lafontaine (sociologue, professeure à l'Université de Montréal): "Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant" * <u>5 décembre 2023</u> ** Christian Ducrot (épidémiologiste, INRAE): reflexions méthodologiques sur le travail interdisciplinaire entre l'épidémiologie et les SHS * <u>5 mars 2024</u> ** Lidia Chavinskaia (STS, INRAE) et Vincent Ducrocq (génétique animale, INRAE): "La Vache globale": retour sur l'expérience interdisciplinaire de la thèse entre SHS et génétique ** Alice Dupré la Tour (sciences de gestion, post-doctorante INRAE) et Alain Charcosset (génétique végétale, INRAE): entre l'agronomie et la génétique végétale * <u>14 mai 2024</u> - Approche systémique du vivant ** Pierre Cornu (historien, ENS Lyon et INRAE): histoire de l'approche systémique en sciences animales à l'INRAE ** Olivier Hamant (biologie végétale, ENS Lyon et INRAE): besoin de l'approche systémique en sciences végétales, discussion de son livre "La troisième voie du vivant" * <u>2 juillet 2024</u> ** Marc Barbier (sociologue, INRAE) et Séverine Bord (ingénieure statisticienne, INRAE): SOTIQUE projet collaboratif sur les tiques dans l’espace urbain ** Bilan de l'année * <u>11 février 2025</u> ** Baptiste Bedessem (sociologue, INRAE): recherche participative et transdisciplinaire en écologie de la vigne * <u>1er avril 2025</u> ** "Le vivant versus le non-humain : regards croisés entre biologie et sociologie", Céline Lafontaine, Université Montréal, Thomas Heams, AgroParisTech, UMR GABI INRAE == Bibliographie générale == à venir... 6gpdfzvt63nul551pi73umhsn6cm3j3 985081 985075 2026-07-21T12:10:44Z Lidotchek 77921 intégrer la bibliographie 985081 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cowscape-1.jpg|vignette|Ce paysage surréaliste composé du le dos de vache Holstein (race bovine la plus industrialisée et mondialisée) dont la robe évoque les figures humaines, et des éléments de notre monde techno-industriel, illustre l'engagement interdisciplinaire de notre Atelier du Vivant pour mieux saisir les enchevêtrements socio-bio-techniques de l'Anthropocène(c)Lidia Chavinskaia]] L'atelier du vivant est une activité de l'UMR [[LISIS]] animé par Lidia Chavinskaia, Julie Labatut, François Charrier. ==== Travaux en cours ==== * [[Recherche:Atelier du Vivant/Cartographie|Cartographie]] == Argumentaire == Il paraît dorénavant évident que le rapport au vivant au sein de notre société change et ce changement s’accélère et devient perceptible à plusieurs niveaux : social, politique, économique, scientifique, etc. De nombreux mouvements sociaux en faveur de la protection des espèces animales et végétales, revendiquent le changement de leur statut et de leurs droits dans la société. Les questions de protection de l’environnement et du droit des animaux intègrent activement les agendas politiques aussi bien localement qu’à l’international. Les entreprises, et en particulier des filières agro-alimentaires, se voient obligées d’adapter leurs stratégies aux nouvelles exigences sociétales vis-à-vis du traitement des animaux et des plantes. La gestion des risques sanitaires oblige à élargir leur cadrage en tenant compte de la transversalité et de la dynamique des vecteurs des maladies (concept « one health »). Les disciplines '''biologiques''' revoient leurs questions de recherche, leurs méthodes, leurs résultats. La façon de voir, de penser et d’étudier les organismes vivants dans le périmètre propre de leurs corps laisse de plus en plus la place à l’approche interactionniste et relationnelle du vivant (cf., par exemple, Heams 2019). Le déterminisme génétique comme idéal du vivant prédictible s’assouplie avec les connaissances sur les mécanismes épigénétiques et laisse sa place à l’effet de l’environnement dans le sens très large du terme comme co-déterminant (rappelons-nous ici Lamarck) mais peu prédictible et peu saisissable avec les outils scientifiques développés jusqu’au là. Le vivant est décrit comme « anarchique » notamment dans les travaux du biologiste Jean-Jacques Kupiec (2017, 2019) qui questionne les outils et les méthodes de la biologie moderne. Dans les '''SHS''', le dépassement épistémologique des frontières de la société humaine est relativement récent. '''Animal studies''' (Kalof 2017) et plus récentes '''Plant studies''' (Woodward & Lemmer 2019), champs d’études interdisciplinaires, explorent la relation respectivement homme-animal et homme-plante dans l’histoire et au travers des différentes pratiques sociétales. On y adopte une approche critique de l’anthropocentrisme et cherche à montrer « l’agency » des animaux et des plantes en tant qu’êtres sensibles et dotés d’intelligence.   Dans le champ des « '''management and organization studies''' », on observe également une augmentation significative des travaux s’intéressant au vivant. Ces contributions ont participé à développer une pensée critique au-delà des concepts classiques dans ce champ disciplinaire tels que le développement durable ou la responsabilité sociale et environnementale des entreprises. Depuis les travaux sur les animaux de compagnie dans le Journal of Business Research en 2008, de nombreux numéros spéciaux et articles ont été produits, notamment dans les revues Organization et Organization Studies, autour du changement climatique, de l’Anthropocène, des animal studies, appelant cette communauté à adopter une « Earth-centered perspective » et à s’engager dans de nouvelles réflexions épistémologiques, ontologiques et méthodologiques autour du vivant. Si les '''STS''' '''(Science and Technology Studies)''' étaient précurseurs dans la prise en compte rationnelle des éléments non-humains dans les sciences humaines et sociales, le vivant (bios) en tant qu’actant à part entière dans les systèmes sociotechniques a eu relativement peu d’attention jusqu’à présent. Lorsque Bruno Latour écrit en 1984 que Louis Pasteur en découvrant les microorganismes ''« recompose la société différemment'' », il appelle justement à penser notre société différemment, en tenant compte des éléments non-humains et en particulier d’autres organismes vivants. Il nous le rappelle et en 2020 à l’occasion de la pandémie : ''«… la définition classique de la société – les humains entre eux – n’a aucun sens. […] Une fois pris en compte tout le réseau dont il n’est qu’un maillon, le même virus n’agit pas de la même façon à Taïwan, Singapour, New York ou Paris.»'' Des cadres théoriques et la méthodologie analytique des STS sont appliqués aussi bien dans Animal et Plant studies que dans les Management and Organization studies. Mais le vivant en tant qu’objet systémique et systématique d’étude nous semble mériter plus d’attention en lien avec les pratiques scientifiques et technologiques, en particulier à l’heure actuelle où certains paradigmes et régimes de production de connaissances sur la vie sont en train d’évoluer. L’INRAE, organisme de recherche finalisée et appliquée, nous offre un terrain favorable pour observer et analyser ces évolutions en mettant en œuvre les changements épistémologiques nécessaires à ce tournant vers le vivant, notamment l’interdisciplinarité. La transition du paradigme productiviste au paradigme agroécologique où le vivant-objet (outil) laisse plus de place au vivant-sujet (acteur), apporte à la recherche de nouveaux enjeux, questions, méthodes, résultats, ouvertures et organisations (exemples : la génétique, l’expérimentation, transgénèse et biologie de synthèse…). Comment, par quel biais cognitif, le vivant se manifeste-t-il à nous? Que produit-il comme changement au sein de la société? Comment s’intègre-t-il dans les systèmes/réseaux/agencements socio(bio)techniques ? Comment cette intégration est vécue par d’autres acteurs ? Comment enfin penser le vivant non seulement dans son ontologie biologique mais aussi sociale ? ... Nos nombreux cas d'étude peuvent probablement éclairer ces questionnements si on les met à réflexion ensemble. === Tentative de définition conceptuelle === ''Le vivant'' par sa forme grammaticale (participe présent du verbe ''vivre'' transformé en substantif) traduit la volonté de concrétiser la notion trop abstraite de ''vie'' en lui procurant une forme d’agentivité. Ainsi, le vivant définit les manifestations de la vie contextualisées, situées, incarnées dans les pratiques et les imaginaires des acteurs. Mettre cette notion au centre d’un discours/projet signifie (i) d’admettre l’existence dans nos objets d’attention de ce que les biologistes eux-mêmes caractérisent comme complexe, incertain, imprédictible et même portant une certaine forme « d’anarchisme » (Teams 2019, Kupiec 2019, Hamant 2022), (ii) de questionner les approches mécanistiques, déterministes et de ce point de vue réductionnistes des êtres et des phénomènes étudiés et/ou mis en utilisation et (iii) de tenir compte de leurs dimensions de dynamisme constant, d’incertitude ontologique (Callon 2012), de cyclicité, d’interactivité relationnelle tant biologique que sociale. == Séances == === A venir === '''Mardi 3 juin 2025, 10h30-12h30 :''' Isabelle Arpin (sociologue, INRAE) et François Sarrazin (écologue, MNHN). === Historique des séances === * <u>Juin 2023</u> ** Evelyne Lhoste (STS, INRAE), et Davi Savietto (sciences animales, INRAE): LAPOESIE - projet transdisciplinaire analyse la faisabilité et la plus-value de l'association arboriculture-élevage de lapins en agriculture biologique (AB) ** Tasnime Adamji (doctorante en sociologie, INRAE) et Simon Fellous (écologue INRAE): TIS : insectes stériles comme lutte biologique * <u>14 octobre 2023</u> ** Céline Lafontaine (sociologue, professeure à l'Université de Montréal): "Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant" * <u>5 décembre 2023</u> ** Christian Ducrot (épidémiologiste, INRAE): reflexions méthodologiques sur le travail interdisciplinaire entre l'épidémiologie et les SHS * <u>5 mars 2024</u> ** Lidia Chavinskaia (STS, INRAE) et Vincent Ducrocq (génétique animale, INRAE): "La Vache globale": retour sur l'expérience interdisciplinaire de la thèse entre SHS et génétique ** Alice Dupré la Tour (sciences de gestion, post-doctorante INRAE) et Alain Charcosset (génétique végétale, INRAE): entre l'agronomie et la génétique végétale * <u>14 mai 2024</u> - Approche systémique du vivant ** Pierre Cornu (historien, ENS Lyon et INRAE): histoire de l'approche systémique en sciences animales à l'INRAE ** Olivier Hamant (biologie végétale, ENS Lyon et INRAE): besoin de l'approche systémique en sciences végétales, discussion de son livre "La troisième voie du vivant" * <u>2 juillet 2024</u> ** Marc Barbier (sociologue, INRAE) et Séverine Bord (ingénieure statisticienne, INRAE): SOTIQUE projet collaboratif sur les tiques dans l’espace urbain ** Bilan de l'année * <u>11 février 2025</u> ** Baptiste Bedessem (sociologue, INRAE): recherche participative et transdisciplinaire en écologie de la vigne * <u>1er avril 2025</u> ** "Le vivant versus le non-humain : regards croisés entre biologie et sociologie", Céline Lafontaine, Université Montréal, Thomas Heams, AgroParisTech, UMR GABI INRAE == Bibliographie générale == '''Interdisciplinarité SHS-Sciences biologiques:''' Berlivet, L. (2018). « Chassez le naturel… » : Les sciences sociales aux prises avec le déterminisme biologique (note critique). ''Annales. Histoire, Sciences Sociales'', ''73''(2), 443‑473. <nowiki>https://doi.org/10.1017/ahss.2019.7</nowiki> Cornu, P. (2023). Un historien en interdisciplinarité. Essai d’épistémologie située. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(1), 103‑109. <nowiki>https://doi.org/10.1051/nss/2023016</nowiki> Dedeurwaerdere, T. (2023). ''Transdisciplinary Research, Sustainability, and Social Transformation : Governance and Knowledge Co-Production'' (1^re éd.). Routledge. <nowiki>https://doi.org/10.4324/9781032624297</nowiki> Demeulenaere, É. (2022). Trois expériences et un enseignement. De quelques inconforts de la recherche interdisciplinaire et participative autour d’enjeux de biodiversité. ''Tracés'', (#22), 97‑116. <nowiki>https://doi.org/10.4000/traces.14821</nowiki> Ducrot, C., Barrio, M. B., Boissy, A., Casabianca, F., Pinard-van Der Laan, M.-H., & Maillet, I. (2021). Comment faciliter la construction et la conduite des projets interdisciplinaires : Retour d’expérience d’un programme de recherche sur la gestion intégrée de la santé des animaux en élevage. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 213‑222. <nowiki>https://doi.org/10.1051/nss/2021035</nowiki> Garin, P., Arpin, I., Barreteau, O., Caranta, C., Ducrot, C., Hannachi, M., & Maillet, I. (2021). Réfléchir l’interdisciplinarité à INRAE. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 206‑212. <nowiki>https://doi.org/10.1051/nss/2021034</nowiki> Guillo, D. (2012). Les usages de la biologie en sciences sociales : Comparaison entre le naturalisme socio-anthropologique du dix-neuvième siècle et celui d’aujourd’hui. ''Revue européenne des sciences sociales'', ''50‑1'', 191‑226. <nowiki>https://doi.org/10.4000/ress.1194</nowiki> Hubert, B., & Mathieu, N. (Éds.). (2016). ''Interdisciplinarités entre Natures et Sociétés''. Peter Lang B. <nowiki>https://doi.org/10.3726/978-3-0352-6633-7</nowiki> Newton, T. 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Ne voudrais-tu pas contribuer l'une de tes belles photos pour embellir notre page? ;-) Abraço, [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 6 mai 2025 à 15:49 (UTC) :hello! :je redécouvre notre page wiki )) et je vois ton message d'il y a un an :je veux bien intégrer une image, mais je ne vois pas où pour l'instant [[Utilisateur:Lidotchek|Lidotchek]] ([[Discussion utilisateur:Lidotchek|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:01 (UTC) :j'ai trouvé [[Utilisateur:Lidotchek|Lidotchek]] ([[Discussion utilisateur:Lidotchek|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:21 (UTC) 501y5wgrikc7xwtcxjkco7rzqj34hbo 985084 985074 2026-07-21T15:15:16Z Solstag 13856 /* Illustration */ Réponse 985084 wikitext text/x-wiki == Illustration == Ni! Coucou @[[Utilisateur:Lidotchek|Lidotchek]]. Ne voudrais-tu pas contribuer l'une de tes belles photos pour embellir notre page? ;-) Abraço, [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 6 mai 2025 à 15:49 (UTC) :hello! :je redécouvre notre page wiki )) et je vois ton message d'il y a un an :je veux bien intégrer une image, mais je ne vois pas où pour l'instant [[Utilisateur:Lidotchek|Lidotchek]] ([[Discussion utilisateur:Lidotchek|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:01 (UTC) :j'ai trouvé [[Utilisateur:Lidotchek|Lidotchek]] ([[Discussion utilisateur:Lidotchek|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:21 (UTC) ::Ha @[[Utilisateur:Lidotchek|Lidotchek]], trop bienǃ =) [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 15:15 (UTC) hmq7ipwzjfceq88zj84b5as4andrvz5 4 86052 985056 984617 2026-07-20T18:53:14Z Lionel Scheepmans 11392 /* Wikimania Paris 2026 */ nouvelle section 985056 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|07}}{{Clr}}</noinclude> == Un RAW bien frais pour juillet == {| style="width:100%;" | valign="top" align="center" style="border:1px gray solid; padding:1em;" | {| align="center" |- | style="text-align: center;" | <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:4.5em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em;text-align:center; color: #fff; font-style:italic;">Regards sur l’actualité du mouvement Wikimédia.</div> <div style="text-align: center;">{{#ifeq:{{FULLPAGENAME}}|Wikipédia:RAW/Rédaction}}</div> </div><br /> <hr /> <div style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;">[[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05|<span style="color:darkslategray;">Le numéro de juillet 2026 est sorti.</span>]]</div> <hr /><br /> |- style="text-align: center;" | <span style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman;"> '''❖ Au menu de ce numéro ❖'''</span> |- style="font-size:10pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <div style="text-align:center; column-count:1; column-width:28em; vertical-align:top;"> '''L'Édito'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Édito|Fêtons notre mouvement !]] '''Échos francophones'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Résidence|Un nouveau vigneron dans la résidence]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Logo_WP25|Wikipédia en français aux couleurs des 25 ans]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#DAF|Wikipédia dans le ''Dictionnaire de l'Académie française'']]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Millésime_Wiktionnaire|Quelles sont les nouvelles entrées en français sur le Wiktionnaire ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#ADS|Relance de l'Article de la semaine]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#sans_pagEs|Le projet des sans pagEs fête ses dix ans]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#contributions_rémunérées|Faut-il faire évoluer les règles sur les contributions rémunérées ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#wikification|Le mois de la wikification fait son retour pour une septième édition]] '''Ailleurs dans le mouvement'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Txikipedia|Txikipedia franchit le cap des 10 000 articles]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Concours_santé_2026|Un concours sur la santé]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Commons_et_IA|Commons se penche sur l'IA]] '''Nouveautés techniques et outils'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#VIZWP|VIZWP : un outil pour visualiser les lacunes dans les sujets climatiques sur Wikipédia, mais pas que…]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#AI_Source_Verification|Examiner la vérifiabilité grâce à l'IA ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Icônes|Les icônes de l'interface ont changé]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Sous-références|Ça y est, les sous-références sont là]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#ConvoCompass|ConvoCompass, pour moins d'attaques personnelles]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#LSV-Tools|LSV-Tools : faciliter la gestion des anecdotes « Le saviez-vous ? »]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#LegendAndDot|Semi-automatiser l'ajout de ponctuation dans les légendes d'images]] '''Du côté de la recherche'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#COMSAV|COMSAV : la contribution à Wikipédia fait-elle d'un ensemble d'individus un ensemble de pairs ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#JourneyMap|Où commence la contribution et où s'arrête-t-elle ?]] '''Le POV'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Le_POV|Guide survie pour la Wikimania 2026]] par Trizek '''L'Atelier'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Atelier|Le point sur la diversité de genre dans les articles]] par PAC2 '''L'Analyse'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Analyse|Larry Sanger is back... and fired!]] par Madelgarius, Trizek et Jules* '''L'interview'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'interview|Pronoia : de Byzance aux réseaux sociaux, un œil sur Wikipédia et le monde]] par Antimuonium '''Le wik’hit-parade'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Wikit|Articles les plus vus en juin 2026]] par Ælfgar </div> |- | style="font-family:Times New Roman; text-align:center; font-size:90%;" | [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05|Lire tout le numéro]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding:0.5em; font-family:Times New Roman;text-align:center; font-size:100%;" | Venez rédiger le prochain numéro, y parler de ce qui se fait dans votre communauté : [[w:fr:Discussion_Wikipédia:RAW/Rédaction|Salle de rédaction]].</br>Les anciens numéros sont retrouvables [[w:fr:Modèle:Palette RAW|ici]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[w:fr:Wikipédia:RAW/Inscription|Abonnez-vous !]] [[Utilisateur:L&#39;embellie|L&#39;embellie]] ([[Discussion utilisateur:L&#39;embellie|discuter]]) 4 juillet 2026 à 23:57 (UTC)</div> == Actualités techniques n° 2026-28 == <section begin="technews-2026-W28"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:34|la tâche soumise|les {{formatnum:34}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:34||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, les résultats de la barre de recherche sur Wikidata étaient en anglais au lieu d’utiliser la bonne langue de repli pour les utilisateurs de variantes de langues. Ce problème a maintenant été corrigé : les suggestions de recherche suivront désormais correctement la chaîne des langues de repli. [https://phabricator.wikimedia.org/T429769] '''Actualités pour la contribution technique''' * En préparation de la [[m:Special:MyLanguage/Event:Celebrate Women|campagne Célébrons les femmes]] prévues pour mars 2027, l’[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Advancement/Community Growth/Content Enablement|équipe Activation du contenu]] de Wikimedia Foundation a lancé un sondage composé de 22 questions pour mieux comprendre les contributions techniques des personnes s’identifiant comme femmes sur les projets Wikimedia. Répondre au sondage prend environ 15 à 20 minutes ; il restera ouvert jusqu’au 20 juillet 2026. Les [[m:Special:MyLanguage/Celebrate Women/Technical contributions survey|questions]] sont aussi sur wiki pour les regarder auparavant. * L’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Score|extension Partitions]] prend désormais en charge le rendu de partition musicales comme images SVG, en plus du format PNG. Cela répond à [[:phab:T49578|une vieille demande]] et résout des problèmes anciens de qualité de l’image. Les deux formats sont désormais fournis aux clients web : PNG dans l’attribut <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>src</nowiki></code></bdi> et SVG dans l’attribut <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>srcset</nowiki></code></bdi>. * Le nouvel analyseur syntaxique [[wikitech:Parsoid|Parsoid]] continue [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser_Unification/Updates|d’être déployé sur d’autres wikis]], ce qui rend plus facile l’introduction de nouvelles fonctionnalités de lecture et de modification. Il a été activé sur Wikipédia en français, amenant la couverture totale à 78,9 % des pages vues de Wikipédia. Le déploiement sur Wikipédia en anglais sur ordinateur va progresser cette semaine. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.10|MediaWiki]] '''En détails''' * La [[diffblog:2026/06/29/wikimedia-hackathon-2026-building-collaborating-and-shaping-the-future-together/|publication sur le blog récapitulant]] le Hackathon Wikimedia 2026 est désormais en ligne. Il met en avant les projets, séances et activités sociales de l’évènement de cette année et présente les premières grandes lignes du Hackathon Wikimedia 2027. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W28"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 6 juillet 2026 à 13:57 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30773578 --> == Actualités techniques n° 2026-29 == <section begin="technews-2026-W29"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone|Revise Tone]] aide les nouveaux contributeurs à identifier les passages des articles de Wikipédia susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les encourage à envisager d'en réviser le ton. Cette fonctionnalité a fait l'objet d'un [[w:en:A/B_testing|test A/B]] sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, où le taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone#Experiment_Results|a augmenté de 38,7 %]] par rapport à la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet et la fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle est configurable via la configuration communautaire. [[phab:T426364|Il est prévu]] de déployer « Revise Tone » sur d’autres wikis. * La configuration communautaire permettant la [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|suppression automatique des mentors inactifs]] selon des critères configurables sera activée le jeudi 16, [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Deployment|sur certains wikis]], afin de maintenir à jour les listes de mentors. Les mentors sont des contributeurs expérimentés qui choisissent d'aider les nouveaux utilisateurs sur le wiki grâce aux [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]]. Les administrateurs peuvent désormais préparer les paramètres via [[w:Special:CommunityConfiguration/Mentorship|Special:CommunityConfiguration/Mentorship]] ; ces fonctionnalités prendront effet à partir de jeudi. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:38|la tâche soumise|les {{formatnum:38}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:38||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où certains utilisateurs de l'application Android Wikipedia ont été déconnectés immédiatement après leur connexion, les empêchant de rester connectés et de modifier les pages, a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T316916] '''Actualités pour la contribution technique''' * La modification d'une page à l'aide de scripts utilisateur ou de gadgets entraînait la réinitialisation des étiquettes de liste de suivi que l'utilisateur avait attribuées à cette page. Ce problème a désormais été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T423778] * Pour contourner un bug de Safari (voir [[phab:T425211]]), sur les wikis utilisant Parsoid, wikilink hrefs utilise désormais des URL absolues au lieu d'URL relatives au protocole. La sortie de l'API REST reste inchangée et continue d'utiliser des URL relatives au protocole. Les gadgets, les scripts utilisateur, les bots et les feuilles de style CSS devront probablement être adaptés s'ils s'appuyaient sur la présence d'URL relatives au protocole dans wikilink hrefs. [https://phabricator.wikimedia.org/T431358] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.11|MediaWiki]] '''En détails''' * L'équipe chargée de la plateforme d'expérimentation de la Fondation Wikimedia a publié un article de blog faisant le bilan de sa première année d'expérimentation structurée. Cet article met en avant des expériences couronnées de succès, telles que « Paste Check », « Reference Check » et « Tone Check », qui ont permis d'améliorer les résultats des modifications et ont été étendues à un plus grand nombre d'utilisateurs, ainsi que des expériences qui n'ont pas abouti à des changements au niveau du produit. [[diffblog:2026/07/07/moving-the-needle-how-we-test-new-ideas-across-wikimedia-projects|En savoir plus]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W29"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 13 juillet 2026 à 16:11 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30804401 --> == Wikimania Paris 2026 == Bonjour. Un petit message pour vous dire que je suis à Wikimania et donc à Paris déjà ce soir et jusque samedi matin. Du coup. Si d'autres contributeurs qui liront ce message s'y trouvent, on pourrait peut-être se fixer un rendez-vous. Cela peut se faire aussi pour les gens qui habitent la Paris ou les environs. Je vais en profiter pour rencontrer des gens pour voir comment gèrer le problème de cette salle café qui continue à s'afficher et fonctionner anormalement quand je suis sur PC alors que la version mobile que j'utilise actuellement fonctionne normalement. Si vous avez des choses à me demander et que je pourrais peut-être chercher à résoudre avec des gens du hackathon, n'hésitez pas. Belle fin de journée à tous ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 juillet 2026 à 18:53 (UTC) lpzggt9aik1k10qpe9j77zshgdo89ss 985059 985056 2026-07-21T05:46:48Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-30 */ nouvelle section 985059 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|07}}{{Clr}}</noinclude> == Un RAW bien frais pour juillet == {| style="width:100%;" | valign="top" align="center" style="border:1px gray solid; padding:1em;" | {| align="center" |- | style="text-align: center;" | <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:4.5em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em;text-align:center; color: #fff; font-style:italic;">Regards sur l’actualité du mouvement Wikimédia.</div> <div style="text-align: center;">{{#ifeq:{{FULLPAGENAME}}|Wikipédia:RAW/Rédaction}}</div> </div><br /> <hr /> <div style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;">[[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05|<span style="color:darkslategray;">Le numéro de juillet 2026 est sorti.</span>]]</div> <hr /><br /> |- style="text-align: center;" | <span style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman;"> '''❖ Au menu de ce numéro ❖'''</span> |- style="font-size:10pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <div style="text-align:center; column-count:1; column-width:28em; vertical-align:top;"> '''L'Édito'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Édito|Fêtons notre mouvement !]] '''Échos francophones'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Résidence|Un nouveau vigneron dans la résidence]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Logo_WP25|Wikipédia en français aux couleurs des 25 ans]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#DAF|Wikipédia dans le ''Dictionnaire de l'Académie française'']]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Millésime_Wiktionnaire|Quelles sont les nouvelles entrées en français sur le Wiktionnaire ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#ADS|Relance de l'Article de la semaine]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#sans_pagEs|Le projet des sans pagEs fête ses dix ans]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#contributions_rémunérées|Faut-il faire évoluer les règles sur les contributions rémunérées ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#wikification|Le mois de la wikification fait son retour pour une septième édition]] '''Ailleurs dans le mouvement'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Txikipedia|Txikipedia franchit le cap des 10 000 articles]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Concours_santé_2026|Un concours sur la santé]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Commons_et_IA|Commons se penche sur l'IA]] '''Nouveautés techniques et outils'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#VIZWP|VIZWP : un outil pour visualiser les lacunes dans les sujets climatiques sur Wikipédia, mais pas que…]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#AI_Source_Verification|Examiner la vérifiabilité grâce à l'IA ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Icônes|Les icônes de l'interface ont changé]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Sous-références|Ça y est, les sous-références sont là]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#ConvoCompass|ConvoCompass, pour moins d'attaques personnelles]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#LSV-Tools|LSV-Tools : faciliter la gestion des anecdotes « Le saviez-vous ? »]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#LegendAndDot|Semi-automatiser l'ajout de ponctuation dans les légendes d'images]] '''Du côté de la recherche'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#COMSAV|COMSAV : la contribution à Wikipédia fait-elle d'un ensemble d'individus un ensemble de pairs ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#JourneyMap|Où commence la contribution et où s'arrête-t-elle ?]] '''Le POV'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Le_POV|Guide survie pour la Wikimania 2026]] par Trizek '''L'Atelier'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Atelier|Le point sur la diversité de genre dans les articles]] par PAC2 '''L'Analyse'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Analyse|Larry Sanger is back... and fired!]] par Madelgarius, Trizek et Jules* '''L'interview'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'interview|Pronoia : de Byzance aux réseaux sociaux, un œil sur Wikipédia et le monde]] par Antimuonium '''Le wik’hit-parade'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Wikit|Articles les plus vus en juin 2026]] par Ælfgar </div> |- | style="font-family:Times New Roman; text-align:center; font-size:90%;" | [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05|Lire tout le numéro]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding:0.5em; font-family:Times New Roman;text-align:center; font-size:100%;" | Venez rédiger le prochain numéro, y parler de ce qui se fait dans votre communauté : [[w:fr:Discussion_Wikipédia:RAW/Rédaction|Salle de rédaction]].</br>Les anciens numéros sont retrouvables [[w:fr:Modèle:Palette RAW|ici]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[w:fr:Wikipédia:RAW/Inscription|Abonnez-vous !]] [[Utilisateur:L&#39;embellie|L&#39;embellie]] ([[Discussion utilisateur:L&#39;embellie|discuter]]) 4 juillet 2026 à 23:57 (UTC)</div> == Actualités techniques n° 2026-28 == <section begin="technews-2026-W28"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:34|la tâche soumise|les {{formatnum:34}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:34||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, les résultats de la barre de recherche sur Wikidata étaient en anglais au lieu d’utiliser la bonne langue de repli pour les utilisateurs de variantes de langues. Ce problème a maintenant été corrigé : les suggestions de recherche suivront désormais correctement la chaîne des langues de repli. [https://phabricator.wikimedia.org/T429769] '''Actualités pour la contribution technique''' * En préparation de la [[m:Special:MyLanguage/Event:Celebrate Women|campagne Célébrons les femmes]] prévues pour mars 2027, l’[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Advancement/Community Growth/Content Enablement|équipe Activation du contenu]] de Wikimedia Foundation a lancé un sondage composé de 22 questions pour mieux comprendre les contributions techniques des personnes s’identifiant comme femmes sur les projets Wikimedia. Répondre au sondage prend environ 15 à 20 minutes ; il restera ouvert jusqu’au 20 juillet 2026. Les [[m:Special:MyLanguage/Celebrate Women/Technical contributions survey|questions]] sont aussi sur wiki pour les regarder auparavant. * L’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Score|extension Partitions]] prend désormais en charge le rendu de partition musicales comme images SVG, en plus du format PNG. Cela répond à [[:phab:T49578|une vieille demande]] et résout des problèmes anciens de qualité de l’image. Les deux formats sont désormais fournis aux clients web : PNG dans l’attribut <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>src</nowiki></code></bdi> et SVG dans l’attribut <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>srcset</nowiki></code></bdi>. * Le nouvel analyseur syntaxique [[wikitech:Parsoid|Parsoid]] continue [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser_Unification/Updates|d’être déployé sur d’autres wikis]], ce qui rend plus facile l’introduction de nouvelles fonctionnalités de lecture et de modification. Il a été activé sur Wikipédia en français, amenant la couverture totale à 78,9 % des pages vues de Wikipédia. Le déploiement sur Wikipédia en anglais sur ordinateur va progresser cette semaine. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.10|MediaWiki]] '''En détails''' * La [[diffblog:2026/06/29/wikimedia-hackathon-2026-building-collaborating-and-shaping-the-future-together/|publication sur le blog récapitulant]] le Hackathon Wikimedia 2026 est désormais en ligne. Il met en avant les projets, séances et activités sociales de l’évènement de cette année et présente les premières grandes lignes du Hackathon Wikimedia 2027. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W28"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 6 juillet 2026 à 13:57 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30773578 --> == Actualités techniques n° 2026-29 == <section begin="technews-2026-W29"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone|Revise Tone]] aide les nouveaux contributeurs à identifier les passages des articles de Wikipédia susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les encourage à envisager d'en réviser le ton. Cette fonctionnalité a fait l'objet d'un [[w:en:A/B_testing|test A/B]] sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, où le taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone#Experiment_Results|a augmenté de 38,7 %]] par rapport à la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée. Le test s'est achevé le 9 juillet et la fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle est configurable via la configuration communautaire. [[phab:T426364|Il est prévu]] de déployer « Revise Tone » sur d’autres wikis. * La configuration communautaire permettant la [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|suppression automatique des mentors inactifs]] selon des critères configurables sera activée le jeudi 16, [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Deployment|sur certains wikis]], afin de maintenir à jour les listes de mentors. Les mentors sont des contributeurs expérimentés qui choisissent d'aider les nouveaux utilisateurs sur le wiki grâce aux [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]]. Les administrateurs peuvent désormais préparer les paramètres via [[w:Special:CommunityConfiguration/Mentorship|Special:CommunityConfiguration/Mentorship]] ; ces fonctionnalités prendront effet à partir de jeudi. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:38|la tâche soumise|les {{formatnum:38}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:38||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où certains utilisateurs de l'application Android Wikipedia ont été déconnectés immédiatement après leur connexion, les empêchant de rester connectés et de modifier les pages, a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T316916] '''Actualités pour la contribution technique''' * La modification d'une page à l'aide de scripts utilisateur ou de gadgets entraînait la réinitialisation des étiquettes de liste de suivi que l'utilisateur avait attribuées à cette page. Ce problème a désormais été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T423778] * Pour contourner un bug de Safari (voir [[phab:T425211]]), sur les wikis utilisant Parsoid, wikilink hrefs utilise désormais des URL absolues au lieu d'URL relatives au protocole. La sortie de l'API REST reste inchangée et continue d'utiliser des URL relatives au protocole. Les gadgets, les scripts utilisateur, les bots et les feuilles de style CSS devront probablement être adaptés s'ils s'appuyaient sur la présence d'URL relatives au protocole dans wikilink hrefs. [https://phabricator.wikimedia.org/T431358] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.11|MediaWiki]] '''En détails''' * L'équipe chargée de la plateforme d'expérimentation de la Fondation Wikimedia a publié un article de blog faisant le bilan de sa première année d'expérimentation structurée. Cet article met en avant des expériences couronnées de succès, telles que « Paste Check », « Reference Check » et « Tone Check », qui ont permis d'améliorer les résultats des modifications et ont été étendues à un plus grand nombre d'utilisateurs, ainsi que des expériences qui n'ont pas abouti à des changements au niveau du produit. [[diffblog:2026/07/07/moving-the-needle-how-we-test-new-ideas-across-wikimedia-projects|En savoir plus]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W29"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 13 juillet 2026 à 16:11 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30804401 --> == Wikimania Paris 2026 == Bonjour. Un petit message pour vous dire que je suis à Wikimania et donc à Paris déjà ce soir et jusque samedi matin. Du coup. Si d'autres contributeurs qui liront ce message s'y trouvent, on pourrait peut-être se fixer un rendez-vous. Cela peut se faire aussi pour les gens qui habitent la Paris ou les environs. Je vais en profiter pour rencontrer des gens pour voir comment gèrer le problème de cette salle café qui continue à s'afficher et fonctionner anormalement quand je suis sur PC alors que la version mobile que j'utilise actuellement fonctionne normalement. Si vous avez des choses à me demander et que je pourrais peut-être chercher à résoudre avec des gens du hackathon, n'hésitez pas. Belle fin de journée à tous ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 juillet 2026 à 18:53 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-30 == <section begin="technews-2026-W30"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/30|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Reader/Reader Experience|équipe chargée de l'expérience utilisateur]] a pris en compte les commentaires de la communauté concernant l'emplacement des boutons « Watchstar » et « Watchlist » pour la [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|fonctionnalité bêta « Listes de lecture »]], qui permettrait d'enregistrer des articles pour les lire plus tard – un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W102|élément de la liste de souhaits]] visant à intégrer cette fonctionnalité sur le site web. Les contributeurs sont invités à activer cette fonctionnalité bêta pour la tester et [[phab:T426453|partager leurs impressions]]. * Le [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|mode Suggestions]] propose des suggestions d'édition au sein de l'éditeur visuel afin d'améliorer les articles de Wikipédia. [[Special:EditChecks|Toutes les suggestions]] sont [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#For administrators – local customization|configurables par la communauté]]. La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/TextMatch|TextMatch]] permet aux bénévoles de créer des suggestions locales personnalisées. Cette fonctionnalité recherche des chaînes de texte dans les articles et prend désormais en charge les expressions régulières. Cela offre aux bénévoles davantage de précision et de flexibilité quant aux types de suggestions locales qu’ils peuvent créer. Remarque : les suggestions [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Configuration#:~:text=maximumEditcount|peuvent être ciblées]] en fonction du nombre de modifications effectuées par la personne qui édite, ainsi que d’autres aspects de la page. Vous pouvez [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#Create custom local types of Suggestions|trouver des exemples provenant d’autres communautés]] pour vous inspirer, notamment des TextMatches qui détectent : les fautes de frappe, les erreurs grammaticales, les publicités potentielles, les clichés, l’utilisation incorrecte des tirets ou des traits d’union, les mots-clés temporels non spécifiques, les noms obsolètes, et bien plus encore. Tout [[mw:Special:MyLanguage/Talk:VisualEditor/Suggestion Mode|retour]] est le bienvenu. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:27|la tâche soumise|les {{formatnum:27}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:27||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème lié à l'outil SVG Translate, qui pouvait utiliser une version obsolète d'un fichier, entraînant ainsi le remplacement des traductions existantes lors du téléchargement de nouvelles traductions, a désormais [[phab:T430577|été résolu]]. Au total, au cours du dernier trimestre, d'avril à juin 2026, environ 337 tâches communautaires ont été résolues par la Fondation Wikimedia. '''Actualités pour la contribution technique''' * Sur les wikis utilisant Parsoid, ce dernier affiche désormais un maximum de 1 250 images par page. Une nouvelle catégorie de suivi, « media-limit-reached », sera bientôt disponible pour identifier les pages où cette limite est atteinte, ce qui facilitera la recherche des contenus dont l'affichage des médias a pu être restreint lors du rendu. Consultez [[phab:T430854]] pour plus d'informations et pour nous faire part de vos commentaires. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.12|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/30|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W30"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 21 juillet 2026 à 05:46 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30836091 --> sa9cckl1fk8dk741657dx1ccp1sic81 4 86053 985055 983897 2026-07-20T18:46:21Z Lionel Scheepmans 11392 /* Gestion des ébauches */ 985055 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) :Pourquoi pas ? Je vais d'abord parcourir ces catégories avant de te donner ma réponse [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])</bdi> 23 juin 2026 à 17:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Des vidéos s'il vous plaît je veux Les vidéos 😭😭😭 == s'il vous plaît je veux regarder des vidéos [[Spécial:Contributions/&#126;2026-36667-76|&#126;2026-36667-76]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-36667-76|discussion]]) 24 juin 2026 à 22:26 (UTC) == Intégration du lien vers les contacts juridiques et de sécurité dans le pied de page de votre wiki == <section begin="Message"/> '''Contacts juridiques et de sécurité''' Bonjour à toute la communauté, la Fondation Wikimedia a mis à disposition une [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|page unique dédiée aux mentions légales et à la sécurité]], à ajouter en pied de page de votre wiki, afin de garantir l'accès à des informations juridiques exactes. Il s'agit d'une exigence réglementaire. Nous avons déjà mis en place des liens vers les wikis en anglais, allemand, italien, espagnol et d'autres langues de Wikipedia, et nous les déploierons bientôt sur votre wiki. Pour en savoir plus, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|consultez la page du projet]] et n'hésitez pas à laisser vos commentaires dans ce fil de discussion ou sur la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|page de discussion]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 25 juin 2026 à 13:31 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Sannita (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == Actualités techniques n° 2026-27 == <section begin="technews-2026-W27"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Dans le cadre des [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences sur la création de comptes]], l'équipe Growth a testé l'ajout d'une icône de compte utilisateur dans l'en-tête du site mobile pour les utilisateurs non connectés, offrant ainsi un accès direct aux actions « Créer un compte » et « Se connecter ». Cette expérience a permis d'augmenter le nombre de créations de comptes d'environ 20 % sans nuire à la qualité des modifications ni au taux de modifications constructives. Cette fonctionnalité sera désormais déployée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia sur le site mobile au cours de la première semaine de juillet. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220] * À la suite d'une [[phab:T426248|expérience concluante]], les utilisateurs connectés qui n'ont pas [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirmé leur adresse e-mail]] lors de la création de leur compte voient s'afficher une nouvelle bannière leur demandant de finaliser cette procédure. Cela permet de réduire le risque que les utilisateurs se retrouvent bloqués hors de leur compte et rend les adresses e-mail associées aux comptes globalement plus fiables. Cette mesure s'inscrit dans le cadre du projet [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Sécurité des comptes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292] * Une mise à jour de [[Special:Search|Recherche]] affine le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> lorsqu'il est utilisé pour exclure des résultats. Auparavant, l'utilisation de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> avec la négation pouvait élargir involontairement les résultats de recherche en ajoutant les espaces de noms inclus dans le champ de recherche, ce qui entraînait un comportement déroutant pour les utilisateurs s'attendant à un filtre d'exclusion simple. Avec cette mise à jour, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> exclura désormais strictement les titres de pages correspondants comme prévu et pourra afficher un avertissement si l'espace de noms concerné n'a pas été explicitement sélectionné. Le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>prefix:</nowiki></code></bdi> sans négation reste toutefois inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:33|la tâche soumise|les {{formatnum:33}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:33||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème qui empêchait les réviseurs utilisant la barre d'outils « Page Curation » d'être automatiquement abonnés aux discussions qu'ils avaient lancées sur les pages de discussion a désormais été résolu. Les réviseurs recevront désormais des notifications lorsqu'une personne répondra à ces discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346] '''Actualités pour la contribution technique''' * À compter du 29 juin, les téléchargements automatisés depuis le site web « dumps.wikimedia.org » seront soumis à la [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative aux user-agents]]. Les requêtes automatisées utilisant un user-agent générique ou vide seront bloquées. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services n'est pas affecté. Cette mesure fait suite à l'annonce publiée dans le [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|numéro 2026/25 de Tech News]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W27"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 29 juin 2026 à 11:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30744833 --> b4zklqeuy7mshpkkemuofvtpgn9nh35 985063 985055 2026-07-21T07:06:13Z JackPotte 2411 /* Gestion des ébauches */ 985063 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) :Pourquoi pas ? Je vais d'abord parcourir ces catégories avant de te donner ma réponse [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ::Bonjour, OK pour fusionner [[:Catégorie:Pas fini]] et [[:Catégorie:En cours]] dans [[:Catégorie:Ébauche]] qui est le standard interwiki. ::Par contre pour les leçons par avancement, je pense que l'on devrait plutôt ajouter [[:Catégorie:Ébauche]] à côté des catégories existantes, afin de conserver les informations des nombres de leçons par état de complétude. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 juillet 2026 à 07:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])</bdi> 23 juin 2026 à 17:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Des vidéos s'il vous plaît je veux Les vidéos 😭😭😭 == s'il vous plaît je veux regarder des vidéos [[Spécial:Contributions/&#126;2026-36667-76|&#126;2026-36667-76]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-36667-76|discussion]]) 24 juin 2026 à 22:26 (UTC) == Intégration du lien vers les contacts juridiques et de sécurité dans le pied de page de votre wiki == <section begin="Message"/> '''Contacts juridiques et de sécurité''' Bonjour à toute la communauté, la Fondation Wikimedia a mis à disposition une [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|page unique dédiée aux mentions légales et à la sécurité]], à ajouter en pied de page de votre wiki, afin de garantir l'accès à des informations juridiques exactes. Il s'agit d'une exigence réglementaire. Nous avons déjà mis en place des liens vers les wikis en anglais, allemand, italien, espagnol et d'autres langues de Wikipedia, et nous les déploierons bientôt sur votre wiki. Pour en savoir plus, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|consultez la page du projet]] et n'hésitez pas à laisser vos commentaires dans ce fil de discussion ou sur la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|page de discussion]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 25 juin 2026 à 13:31 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Sannita (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == Actualités techniques n° 2026-27 == <section begin="technews-2026-W27"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Dans le cadre des [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences sur la création de comptes]], l'équipe Growth a testé l'ajout d'une icône de compte utilisateur dans l'en-tête du site mobile pour les utilisateurs non connectés, offrant ainsi un accès direct aux actions « Créer un compte » et « Se connecter ». Cette expérience a permis d'augmenter le nombre de créations de comptes d'environ 20 % sans nuire à la qualité des modifications ni au taux de modifications constructives. Cette fonctionnalité sera désormais déployée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia sur le site mobile au cours de la première semaine de juillet. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220] * À la suite d'une [[phab:T426248|expérience concluante]], les utilisateurs connectés qui n'ont pas [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirmé leur adresse e-mail]] lors de la création de leur compte voient s'afficher une nouvelle bannière leur demandant de finaliser cette procédure. Cela permet de réduire le risque que les utilisateurs se retrouvent bloqués hors de leur compte et rend les adresses e-mail associées aux comptes globalement plus fiables. Cette mesure s'inscrit dans le cadre du projet [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Sécurité des comptes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292] * Une mise à jour de [[Special:Search|Recherche]] affine le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> lorsqu'il est utilisé pour exclure des résultats. Auparavant, l'utilisation de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> avec la négation pouvait élargir involontairement les résultats de recherche en ajoutant les espaces de noms inclus dans le champ de recherche, ce qui entraînait un comportement déroutant pour les utilisateurs s'attendant à un filtre d'exclusion simple. Avec cette mise à jour, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> exclura désormais strictement les titres de pages correspondants comme prévu et pourra afficher un avertissement si l'espace de noms concerné n'a pas été explicitement sélectionné. Le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>prefix:</nowiki></code></bdi> sans négation reste toutefois inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:33|la tâche soumise|les {{formatnum:33}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:33||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème qui empêchait les réviseurs utilisant la barre d'outils « Page Curation » d'être automatiquement abonnés aux discussions qu'ils avaient lancées sur les pages de discussion a désormais été résolu. Les réviseurs recevront désormais des notifications lorsqu'une personne répondra à ces discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346] '''Actualités pour la contribution technique''' * À compter du 29 juin, les téléchargements automatisés depuis le site web « dumps.wikimedia.org » seront soumis à la [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative aux user-agents]]. Les requêtes automatisées utilisant un user-agent générique ou vide seront bloquées. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services n'est pas affecté. Cette mesure fait suite à l'annonce publiée dans le [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|numéro 2026/25 de Tech News]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W27"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 29 juin 2026 à 11:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30744833 --> odrz35ojkwxwu65bv9qvm1rhw4uvh2t 985064 985063 2026-07-21T07:07:23Z JackPotte 2411 /* Gestion des ébauches */ 985064 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) :Pourquoi pas ? Je vais d'abord parcourir ces catégories avant de te donner ma réponse [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ::Bonjour, OK pour fusionner [[:Catégorie:Pas fini]] et [[:Catégorie:En cours]] dans [[:Catégorie:Ébauche]] qui est le standard interwiki. ::Par contre pour les leçons par avancement, je pense que l'on devrait plutôt ajouter [[:Catégorie:Ébauche]] à côté des catégories existantes, afin de conserver les informations des nombres de leçons par état de complétude, et conserver le cas d'utilisation de quelqu'un qui voudrait en reprendre une de zéro ou juste finaliser une trame. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 juillet 2026 à 07:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])</bdi> 23 juin 2026 à 17:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Des vidéos s'il vous plaît je veux Les vidéos 😭😭😭 == s'il vous plaît je veux regarder des vidéos [[Spécial:Contributions/&#126;2026-36667-76|&#126;2026-36667-76]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-36667-76|discussion]]) 24 juin 2026 à 22:26 (UTC) == Intégration du lien vers les contacts juridiques et de sécurité dans le pied de page de votre wiki == <section begin="Message"/> '''Contacts juridiques et de sécurité''' Bonjour à toute la communauté, la Fondation Wikimedia a mis à disposition une [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|page unique dédiée aux mentions légales et à la sécurité]], à ajouter en pied de page de votre wiki, afin de garantir l'accès à des informations juridiques exactes. Il s'agit d'une exigence réglementaire. Nous avons déjà mis en place des liens vers les wikis en anglais, allemand, italien, espagnol et d'autres langues de Wikipedia, et nous les déploierons bientôt sur votre wiki. Pour en savoir plus, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|consultez la page du projet]] et n'hésitez pas à laisser vos commentaires dans ce fil de discussion ou sur la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|page de discussion]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 25 juin 2026 à 13:31 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Sannita (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == Actualités techniques n° 2026-27 == <section begin="technews-2026-W27"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Dans le cadre des [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences sur la création de comptes]], l'équipe Growth a testé l'ajout d'une icône de compte utilisateur dans l'en-tête du site mobile pour les utilisateurs non connectés, offrant ainsi un accès direct aux actions « Créer un compte » et « Se connecter ». Cette expérience a permis d'augmenter le nombre de créations de comptes d'environ 20 % sans nuire à la qualité des modifications ni au taux de modifications constructives. Cette fonctionnalité sera désormais déployée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia sur le site mobile au cours de la première semaine de juillet. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220] * À la suite d'une [[phab:T426248|expérience concluante]], les utilisateurs connectés qui n'ont pas [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirmé leur adresse e-mail]] lors de la création de leur compte voient s'afficher une nouvelle bannière leur demandant de finaliser cette procédure. Cela permet de réduire le risque que les utilisateurs se retrouvent bloqués hors de leur compte et rend les adresses e-mail associées aux comptes globalement plus fiables. Cette mesure s'inscrit dans le cadre du projet [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Sécurité des comptes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292] * Une mise à jour de [[Special:Search|Recherche]] affine le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> lorsqu'il est utilisé pour exclure des résultats. Auparavant, l'utilisation de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> avec la négation pouvait élargir involontairement les résultats de recherche en ajoutant les espaces de noms inclus dans le champ de recherche, ce qui entraînait un comportement déroutant pour les utilisateurs s'attendant à un filtre d'exclusion simple. Avec cette mise à jour, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> exclura désormais strictement les titres de pages correspondants comme prévu et pourra afficher un avertissement si l'espace de noms concerné n'a pas été explicitement sélectionné. Le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>prefix:</nowiki></code></bdi> sans négation reste toutefois inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:33|la tâche soumise|les {{formatnum:33}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:33||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème qui empêchait les réviseurs utilisant la barre d'outils « Page Curation » d'être automatiquement abonnés aux discussions qu'ils avaient lancées sur les pages de discussion a désormais été résolu. Les réviseurs recevront désormais des notifications lorsqu'une personne répondra à ces discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346] '''Actualités pour la contribution technique''' * À compter du 29 juin, les téléchargements automatisés depuis le site web « dumps.wikimedia.org » seront soumis à la [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative aux user-agents]]. Les requêtes automatisées utilisant un user-agent générique ou vide seront bloquées. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services n'est pas affecté. Cette mesure fait suite à l'annonce publiée dans le [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|numéro 2026/25 de Tech News]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W27"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 29 juin 2026 à 11:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30744833 --> p6bpb2y9cwjbb2mbjj8vf1j0e4pbl9y 985065 985064 2026-07-21T07:07:48Z JackPotte 2411 /* Gestion des ébauches */ 985065 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) :Pourquoi pas ? Je vais d'abord parcourir ces catégories avant de te donner ma réponse [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ::Bonjour, OK pour fusionner [[:Catégorie:Pas fini]] et [[:Catégorie:En cours]] dans [[:Catégorie:Ébauche]] qui est le standard interwiki. ::Par contre pour les leçons par avancement, je pense que l'on devrait plutôt ajouter [[:Catégorie:Ébauche]] à côté des catégories existantes, afin de conserver les informations des nombres de leçons par état de complétude, et aussi le cas d'utilisation de quelqu'un qui voudrait en reprendre une de zéro ou juste finaliser une trame. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 juillet 2026 à 07:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])</bdi> 23 juin 2026 à 17:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Des vidéos s'il vous plaît je veux Les vidéos 😭😭😭 == s'il vous plaît je veux regarder des vidéos [[Spécial:Contributions/&#126;2026-36667-76|&#126;2026-36667-76]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-36667-76|discussion]]) 24 juin 2026 à 22:26 (UTC) == Intégration du lien vers les contacts juridiques et de sécurité dans le pied de page de votre wiki == <section begin="Message"/> '''Contacts juridiques et de sécurité''' Bonjour à toute la communauté, la Fondation Wikimedia a mis à disposition une [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|page unique dédiée aux mentions légales et à la sécurité]], à ajouter en pied de page de votre wiki, afin de garantir l'accès à des informations juridiques exactes. Il s'agit d'une exigence réglementaire. Nous avons déjà mis en place des liens vers les wikis en anglais, allemand, italien, espagnol et d'autres langues de Wikipedia, et nous les déploierons bientôt sur votre wiki. Pour en savoir plus, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|consultez la page du projet]] et n'hésitez pas à laisser vos commentaires dans ce fil de discussion ou sur la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|page de discussion]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 25 juin 2026 à 13:31 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Sannita (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == Actualités techniques n° 2026-27 == <section begin="technews-2026-W27"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Dans le cadre des [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences sur la création de comptes]], l'équipe Growth a testé l'ajout d'une icône de compte utilisateur dans l'en-tête du site mobile pour les utilisateurs non connectés, offrant ainsi un accès direct aux actions « Créer un compte » et « Se connecter ». Cette expérience a permis d'augmenter le nombre de créations de comptes d'environ 20 % sans nuire à la qualité des modifications ni au taux de modifications constructives. Cette fonctionnalité sera désormais déployée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia sur le site mobile au cours de la première semaine de juillet. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220] * À la suite d'une [[phab:T426248|expérience concluante]], les utilisateurs connectés qui n'ont pas [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirmé leur adresse e-mail]] lors de la création de leur compte voient s'afficher une nouvelle bannière leur demandant de finaliser cette procédure. Cela permet de réduire le risque que les utilisateurs se retrouvent bloqués hors de leur compte et rend les adresses e-mail associées aux comptes globalement plus fiables. Cette mesure s'inscrit dans le cadre du projet [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Sécurité des comptes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292] * Une mise à jour de [[Special:Search|Recherche]] affine le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> lorsqu'il est utilisé pour exclure des résultats. Auparavant, l'utilisation de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> avec la négation pouvait élargir involontairement les résultats de recherche en ajoutant les espaces de noms inclus dans le champ de recherche, ce qui entraînait un comportement déroutant pour les utilisateurs s'attendant à un filtre d'exclusion simple. Avec cette mise à jour, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> exclura désormais strictement les titres de pages correspondants comme prévu et pourra afficher un avertissement si l'espace de noms concerné n'a pas été explicitement sélectionné. Le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>prefix:</nowiki></code></bdi> sans négation reste toutefois inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:33|la tâche soumise|les {{formatnum:33}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:33||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème qui empêchait les réviseurs utilisant la barre d'outils « Page Curation » d'être automatiquement abonnés aux discussions qu'ils avaient lancées sur les pages de discussion a désormais été résolu. Les réviseurs recevront désormais des notifications lorsqu'une personne répondra à ces discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346] '''Actualités pour la contribution technique''' * À compter du 29 juin, les téléchargements automatisés depuis le site web « dumps.wikimedia.org » seront soumis à la [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative aux user-agents]]. Les requêtes automatisées utilisant un user-agent générique ou vide seront bloquées. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services n'est pas affecté. Cette mesure fait suite à l'annonce publiée dans le [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|numéro 2026/25 de Tech News]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W27"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 29 juin 2026 à 11:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30744833 --> r4yuxxrx1imy6q0e9u0x0yiluvtvw5k 985066 985065 2026-07-21T07:08:04Z JackPotte 2411 /* Gestion des ébauches */ 985066 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2026-23 == <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois. * L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 1 juin 2026 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café == Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur " répondre" et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:43 (UTC) Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 juin 2026 à 11:46 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-24 == <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (<i lang="en">On-demand</i>) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (<i lang="en">Snapshot</i>) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Actualités pour la contribution''' * La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia. * Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia. * La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe. * L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La signature de la fonction <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi>, utilisez <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 8 juin 2026 à 21:30 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == Gestion des ébauches == Bonjour, Je propose de fusionner les catégories suivantes : * [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]] * [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]] * [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe) * [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]] L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer. Qu'en dites-vous ? Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC) :Pourquoi pas ? Je vais d'abord parcourir ces catégories avant de te donner ma réponse [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} ::Bonjour, OK pour fusionner [[:Catégorie:Pas fini]] et [[:Catégorie:En cours]] dans [[:Catégorie:Ébauche]] qui est le standard interwiki. ::Par contre pour les leçons par avancement, je pense que l'on devrait plutôt ajouter [[:Catégorie:Ébauche]] à côté des catégories existantes, afin de conserver les informations des nombres de leçons par état de complétude, et aussi le cas d'utilisation de quelqu'un qui voudrait en reprendre une de zéro ou juste finaliser une trame déjà avancée. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 21 juillet 2026 à 07:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-25 == <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit <code>class=notpageimage</code> pour l'exclure des aperçus miniatures, soit <code>class=noviewer</code> pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. * Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Actualités pour la contribution''' * La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet. * Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé. * La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit. * Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia]. * La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4). * Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15 juin 2026 à 16:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == Actualités techniques n° 2026-26 == <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire. '''Actualités pour la contribution''' * La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit <code>skipcaptcha</code>, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit <code>skipcaptcha</code> continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif. * Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23 juin 2026 à 13:05 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])</bdi> 23 juin 2026 à 17:12 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Des vidéos s'il vous plaît je veux Les vidéos 😭😭😭 == s'il vous plaît je veux regarder des vidéos [[Spécial:Contributions/&#126;2026-36667-76|&#126;2026-36667-76]] ([[Discussion utilisateur:&#126;2026-36667-76|discussion]]) 24 juin 2026 à 22:26 (UTC) == Intégration du lien vers les contacts juridiques et de sécurité dans le pied de page de votre wiki == <section begin="Message"/> '''Contacts juridiques et de sécurité''' Bonjour à toute la communauté, la Fondation Wikimedia a mis à disposition une [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|page unique dédiée aux mentions légales et à la sécurité]], à ajouter en pied de page de votre wiki, afin de garantir l'accès à des informations juridiques exactes. Il s'agit d'une exigence réglementaire. Nous avons déjà mis en place des liens vers les wikis en anglais, allemand, italien, espagnol et d'autres langues de Wikipedia, et nous les déploierons bientôt sur votre wiki. Pour en savoir plus, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|consultez la page du projet]] et n'hésitez pas à laisser vos commentaires dans ce fil de discussion ou sur la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|page de discussion]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 25 juin 2026 à 13:31 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Sannita (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == Actualités techniques n° 2026-27 == <section begin="technews-2026-W27"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Dans le cadre des [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences sur la création de comptes]], l'équipe Growth a testé l'ajout d'une icône de compte utilisateur dans l'en-tête du site mobile pour les utilisateurs non connectés, offrant ainsi un accès direct aux actions « Créer un compte » et « Se connecter ». Cette expérience a permis d'augmenter le nombre de créations de comptes d'environ 20 % sans nuire à la qualité des modifications ni au taux de modifications constructives. Cette fonctionnalité sera désormais déployée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia sur le site mobile au cours de la première semaine de juillet. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220] * À la suite d'une [[phab:T426248|expérience concluante]], les utilisateurs connectés qui n'ont pas [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirmé leur adresse e-mail]] lors de la création de leur compte voient s'afficher une nouvelle bannière leur demandant de finaliser cette procédure. Cela permet de réduire le risque que les utilisateurs se retrouvent bloqués hors de leur compte et rend les adresses e-mail associées aux comptes globalement plus fiables. Cette mesure s'inscrit dans le cadre du projet [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Sécurité des comptes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292] * Une mise à jour de [[Special:Search|Recherche]] affine le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> lorsqu'il est utilisé pour exclure des résultats. Auparavant, l'utilisation de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> avec la négation pouvait élargir involontairement les résultats de recherche en ajoutant les espaces de noms inclus dans le champ de recherche, ce qui entraînait un comportement déroutant pour les utilisateurs s'attendant à un filtre d'exclusion simple. Avec cette mise à jour, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> exclura désormais strictement les titres de pages correspondants comme prévu et pourra afficher un avertissement si l'espace de noms concerné n'a pas été explicitement sélectionné. Le comportement de <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>prefix:</nowiki></code></bdi> sans négation reste toutefois inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:33|la tâche soumise|les {{formatnum:33}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:33||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème qui empêchait les réviseurs utilisant la barre d'outils « Page Curation » d'être automatiquement abonnés aux discussions qu'ils avaient lancées sur les pages de discussion a désormais été résolu. Les réviseurs recevront désormais des notifications lorsqu'une personne répondra à ces discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346] '''Actualités pour la contribution technique''' * À compter du 29 juin, les téléchargements automatisés depuis le site web « dumps.wikimedia.org » seront soumis à la [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative aux user-agents]]. Les requêtes automatisées utilisant un user-agent générique ou vide seront bloquées. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services n'est pas affecté. Cette mesure fait suite à l'annonce publiée dans le [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|numéro 2026/25 de Tech News]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W27"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 29 juin 2026 à 11:48 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30744833 --> 0u2swgv7hgb9h67wc9cae145l0e2j69 104 86219 984968 984949 2026-07-20T14:14:25Z Rbmn 54342 984968 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = Histoire | département = | niveau = 16 | titre = Arthur Constantin KREBS (1850-1935) - Pionnier de l'aéronautique, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, de l'automobile et gestionnaire de grands projets technologiques | parent = | image = }} {{Travail de recherche | idfaculté = Sciences de l'ingénieur }} {| class="wikitable centre" style="border:left; border:right; text-align:center; width:50%;" ! colspan="2"|Biographie intellectuelle |- !style="background: #C0C0C0;" colspan="2"| '''<big>Arthur Constantin Krebs </big>'''(1850-1935) |- |style="border:none;" colspan="2"|[[File:Arthur Constantin Krebs.png]] |- |style="border:none;" colspan="2"|'''Officier et industriel français, pionnier de la navigation aérienne et sous-marine et de l'ingénierie automobile'''<br> |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Naissance''' ||style="border:none; text-align:left;"| 16 novembre 1850 à Vesoul |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Décès''' ||style="border:none; text-align:left;"| 21 mars 1935 à Quimperlé |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Sépulture''' ||style="border:none; text-align:left;"| Cimetière Saint-David de Quimperlé |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Nationalité''' ||style="border:none; text-align:left;"| Française |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Domiciles''' ||style="border:none; text-align:left;"| Parc aérostatique de Chalais-Meudon<br>État-major des Pompiers (9 Bd du Palais, Paris)<br>Usine Panhard & Levassor (19 av. d'Ivry, Paris) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Formation''' ||style="border:none; text-align:left;"| École spéciale militaire de Saint-Cyr (1872-1873) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Activités''' || style="border:none; text-align:left;"| Inventeur, ingénieur militaire, aviateur, ingénieur aéronautique, ingénieur en construction automobile, industriel, motorboat racer, pompier |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Œuvres notables''' ||style="border:none; text-align:left;"| Les [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#A._C._KREBS_pilote_les_premiers_vols_pleinement_contr%C3%B4l%C3%A9s premiers vols aériens contrôlés] avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_dirigeable_%22La_France%22_avec_Charles_RENARD_et_Henri_DUPUY-de-L%C3%94ME le dirigeable '''''La France''''']<br>Le premier sous-marin pleinement fonctionnel avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_sous-marin_%22Gymnote%22_avec_Gustave_ZEDE le sous-marin expérimental '''''Gymnote''''']<br>Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_%22carburateur_Krebs%22 premier '''''carburateur automatique''''']<br>Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_joint_%C3%A9lastique_FLECTOR joint élastique '''''FLECTOR'''''] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Distinctions'''||style="border:none; text-align:left;"| Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 '''''prix Ponti'''''] de l'[[W:Académie des sciences (France)|académie des sciences]] (avec [[W:Charles_Renard|C. Renard]])<br>Commandeur de la Légion d'honneur |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Employé par''' ||style="border:none; text-align:left;"| Armée de terre française<br>Brigade de sapeurs-pompiers de Paris<br>Panhard & Levassor |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"|'''Conjoint'''||style="border:none; text-align:left;"| Marie de Fréminville (1858-1938) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Enfants''' ||style="border:none; text-align:left;"| Antoine, Hervé, [[W:Louis Krebs|'''Louis''']], Anne-Marie, Arthur, [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Jean_Krebs_(1896-1916)_et_Georges_GUYNEMER_(1894-1917) '''Jean'''], Alain, [[W:Petit Navire|'''Marguerite''']] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Parentèle''' ||style="border:none; text-align:left;"| [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) '''Commandant Léonce Krebs''']<small>(frère aîné)</small><br>[[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Charles de Fréminville''']] <small>(beau-frère)</small> |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"|'''Signature'''||style="border:none;|[[File:1902 - Panhard & Levassor - signature A. C. KREBS.png|250px]] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Site Web'''||style="border:none; text-align:left;"| [http://rbmn.free.fr ''rbmn.free.fr''] |- |} [[File:La france vd66w081t 0 h702q745p.tiff |thumb|right|250px|Artist's depiction of ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'', 1884]] [[Image:Gymnote1889.jpg|thumb|250px|Le sous-marin ''[[w:Gymnote|Gymnote]]'' en 1888. Arthur Krebs tient le mât d'aération. Le périscope est visible]] '''Arthur Constantin Krebs''' (16 November 1850 à [[w:Vesoul|Vesoul]] ([[w:Haute-Saône|Haute-Saône]]), [[w:France|France]] – 22 mars [[w:1935|1935]] à [[w:Quimperlé|Quimperlé]] ([[w:Finistère|Finistère]]), [[w:France|France]]) est un officier et industriel français, pionnier de l'aéronautique, des moteurs électriques, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, des bateaux à moteur, de l'ingénierie automobile et gestionnaire de grands projets technologiques.<br> '''Catégorie''' : [[commons:Category:Arthur Constantin Krebs|'''''Arthur Constantin Krebs''''']] == Enfance et jeunesse == '''Voir aussi''' : [[w:Philosophie naturelle|Philosophie naturelle]], [[w:Géométrie descriptive|Géométrie descriptive]], [[w:Dessin technique|Dessin technique]] :::[https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=true&exactSearch=false&query=%28%28dc.creator%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Physique%20exp%C3%A9rimentale%22%20%29%20sortby%20dc.date%2Fsort.ascending Adolphe GANOT] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58470644/f1.item.r=lotz%20locomotive La locomotive routière de M. LOTZ] "''Mon cher cousin, vous me demandez, dans votre aimable lettre du 25 mai ''[1924]'', de vous expliquer comment, simple officier d'infanterie, j'ai été amené à remplir les rôles et effectuer des travaux peu en rapport avec la carrière où j'étais entré.'' ''Ceci m’oblige à faire remonter mes souvenirs et à me rappeler que dès l’âge où je commençais à apprécier les jouets mécaniques, ma plus grande distraction consistait à réparer et mettre en état tous ceux qui me tombaient entre les mains''. '''1861''' - ''Plus tard mes lectures portaient toujours sur des livres décrivant des mécaniques, si bien qu’à 11 ans, la Physique de [[w:Adolphe_Ganot|Ganot]] m’étant tombée sous la main, je l’étudiai avec le plus grand intérêt, m’initiant à tous les mystères de la machine à vapeur et de ses applications.''" <ref name="Krebs_1924" /> "''Etant enfant, le jeune Krebs avait fait une machine à vapeur qui faisait marcher toute une scierie mécanique installée dans une vieille machine à coudre.''" <ref name=1884_de-Grilleau /> <gallery> 1850 Arthur Constantin KREBS=acte de naissance.pdf|'''1850''' - [https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta7633bbf978e35653/daogrp/0#id:527817281?gallery=true&center=1435.927,-2845.150&zoom=9&rotation=0.000&brightness=100.00&contrast=100.00 Acte de naissance] de Arthur Constantin KREBS. 1862~Famille-Constantin-KREBS=Léonce+Arthur+Marie.jpg|'''1862 ~''' Les enfants de Constantin & Elodie KREBS : Léonce-Vital (~14), Arthur (~12), Marie (~10). <ref name=Krebs-archives /> 1868_Ganot-Adolphe='Traité_élémentaire_de_physique_expérimentale_et_appliquée_et_de_météorologie'.jpg |'''1860''' - [[w:Adolphe_Ganot |'''Adolphe Ganot''']] : [https://archive.org/details/introductorycou00unkngoog/page/n8/mode/2up ''Introductory course of natural philosophy: for the use of high schools and academies, edited from GANOT'S POPULAR PHYSICS.''] </gallery> "''Cette aptitude particulière ne fut pas sans nuire, un peu, à mes études classiques, car mon esprit, plus préoccupé de ce qu’il avait appris par lui-même, cherchait à les réaliser pratiquement. ''Ceci me conduisit naturellement, à dessiner avec précision ce qui, par la suite, me rendit les plus grands services. Un croquis bien fait traduit mieux, pour les autres, la pensée de l’auteur, que toutes les descriptions ou explications qui peuvent être données quand il s’agit d’une construction ou d’une machine quelconque.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1875 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Palais(Belle-île) dessin de machine à coudre les voiles.jpg|'''1875''' - '''Dessin d'imitation''' d'une machine à coudre les voiles des thoniers de ''Belle-île'' par A. C. KREBS qui a eu '''20/20 à St Cyr'''.<ref name=Krebs-archives /> 1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la machine à éprouver les cordages de Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''machine à éprouver les cordages''' de Renard, signé "Krebs". <ref name=Krebs-archives /> 1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la soupape Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''soupape de ballon Renard''', signé "Krebs". <ref name=Krebs-archives /> </gallery> "''En '''1867''' j'ai vu pour la première fois le véhicule automobile de M. [[W:Brissonneau_et_Lotz|Lotz]]. ''[...]'' Le véhicule de Lotz consistait essentiellement en une chaudière à vapeur portée par un avant-train avec une cinquième roue <ref>'''Le concept de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.image.r=locomotive "cinquième roue"]''' semble dû, en France, à M. Lotz de Nantes qui a développé des "locomotives routières" dans les années '''1860'''. Il définit ce concept comme " [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.item.r=locomotive ''une cinquième roue, roue directrice, au moyen de laquelle le cocher pourra tourner ou obliquer à discrétion'']". Confronté aux problèmes de direction de ses engins, il dépose le 03/01/'''1865''' un brevet ([https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf '''FR'''65729]) pour l’ "[https://archives.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=65729&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=25&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=1033&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 ''application de la roue hélicoïdale à la direction des locomotives pour routes ordinaires'']". Dans ce brevet Lotz expose très précisément son souhait de rendre la direction irréversible face aux cahots de la route. Il s’agit d’un "[[w:Volant directionnel|volant]] de manœuvre" vertical, comme la [[w:Barre (bateau)|barre à roue]] d’un navire. A. C. Krebs reprendra ce concept d’irréversibilité avec son système de direction à secteur denté et vis sans fin en '''1898'''. Il faut noter que le concept de cinquième roue n’est pas le même en Amérique. Le "[https://en.wikipedia.org/wiki/Fifth-wheel_coupling fifth wheel coupling]" était un système de plateforme pour l’attelage d’une calèche avec un chariot à quatre roues, apparu dès '''1850'''. Ce système est aujourd’hui le standard de liaison entre une semi-remorque et son tracteur routier. Il est désigné en français par le terme "[[w:Sellette (transport)|Sellette]]". Dans son [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/002617903/publication/US549160A?q=pn%3DUS549160 brevet], [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden Selden] utilise l’expression "fifth-wheel" pour décrire la plateforme horizontale munie d’un engrenage à vis sans fin entraîné par le volant de direction ([https://en.wikipedia.org/wiki/Steering_wheel steering wheel]) et permettant d’orienter les roues directrices. A. C. Krebs utilise ici la notion de cinquième roue dans le même sens que Selden. Noter que, pour désigner cette plateforme mécanique, dans son brevet Lotz utilise le terme de "cercle", et que A. C. Krebs utilise le terme de "rond" dans son brevet de '''1896''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344].</ref> d'accouplement à pivot central <ref>Le système de direction d’un véhicule où le train-avant complet tourne est dit à "[[w:Direction_(automobile)#Historique|cheville ouvrière]]". A. C. Krebs conservera ce système issu de la traction hippomobile sur sa voiture de '''1896''', et en '''1898''' sur la voiture [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#La_%22Voiture_Cl%C3%A9ment-Panhard_(VCP)%22_et_Adolphe_CLEMENT Clément-Panhard (VCP)] qui en est la version commerciale. De son côté, sur sa voiture à vapeur, Bollée utilisera le système de l’ "essieu brisé".</ref> et une remorque composée d'un arbre et de deux roues. L'une d'elles pouvant être connectée ou déconnectée de l'arbre de façon à permettre à une vis sans fin de s'engrener avec une roue dentée munie de chaînes aux extrémités de l'arbre avant. J'ai vu ce véhicule rouler à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]], en vue d'un essai réalisé avec cette machine sous la direction de M. Lotz, lors d'un voyage effectué à des fins publicitaires en 1867.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1868''' - "''Cette habitude à traduire ma pensée par un dessin avait développé en moi la faculté de bien voir dans l'espace, et je me souviens qu'en Math-spé, mon professeur m’envoyait toujours au tableau pour l’exécution des épures de descriptive dans lesquelles il s’embrouillait souvent.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1864-1867 Locomotive routière LOTZ=vue par Krebs.png|La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53749599/f118.item.r=lotz locomotive routière] de [[W:Brissonneau_et_Lotz|M. LOTZ]] que A. C. KREBS vit à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]] en '''1867'''. 1868 Arthur Constantin Krebs=projet de voiture automobile.jpg|'''1868''' - A. C. KREBS :'' "'''Projet de voiture automobile'''" : ''sans doute pour un cours de math-spé. La colonne de direction très inclinée suggère une réelle intention de vitesse'''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> == La guerre franco-allemande de '''1870''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Guerre franco-allemande de 1870|'''''Guerre franco-allemande de 1870''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Guerre franco-allemande de 1870|Guerre franco-allemande de 1870]] <br>"''En '''1870''', je me présentais aux examens de [[w:École_Polytechnique|Polytechnique]], et à ceux de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. Mais la [[w:Guerre franco-allemande de 1870|guerre]] survenue avant que les examens oraux d’admissibilité pour l’[[w:École_Polytechnique|X]] furent passés à [[w:Besançon|Besançon]], où je terminais mes études, je ne pus les subir et suivis le sort des admissibles à St-Cyr''". <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1871-01 Sous-lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Villefranche-sur-mer près de Nice.png|'''1871-01''' - '''Le sous-lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[W:Villefranche-sur-Mer|Villefranche-sur-mer]] près de [[W:Nice|Nice]]. <ref name=Krebs-archives /> 1871-01-04 Aquarelle d'A-C KREBS=Baie de Villefranche vue de la route de la corniche.pdf|'''1871-01-04''' - '''Aquarelle''' de A. C. KREBS : ''"'''Baie de Villefranche vue de la route de la corniche'''"''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> == '''Ingénieur Militaire''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:École spéciale militaire de Saint-Cyr|'''''École spéciale militaire de Saint-Cyr''''']], [[commons:Category:Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest|'''''Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest''''']], [[commons:Category:Plateau des Capucins|'''''Plateau des Capucins''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:École spéciale militaire de Saint-Cyr|École spéciale militaire de Saint-Cyr]], [[w:Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan|Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan]], [[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]] <br>'''1873''' - "''Après la guerre et le temps passé à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]], je vins en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]]. Comme officier, l’[[w:arsenal|arsenal]] m’était ouvert. J’en profitais largement pour approfondir mes connaissances en mécanique et continuer mes études techniques.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Brest, vue des ateliers des Capucins num-2006-5-11-a-2.jpg|L' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314587/f87.item.r=brest '''arsenal militaire de Brest''']: Les ateliers des Capucins, l'atelier de la mâture et le viaduc. File:1873-1874 carnet de dessins=Brest et Nantes.pdf|page 3|'''1873-1874''' - A. C. KREBS : '''carnets de dessins''' de [[w:Brest,_France|Brest]] et [[W:Nantes|Nantes]]: La '''grue revolver''' de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. <ref name=Krebs-archives /> File:Btv1b531186107 port militaire de Brest.jpg|'''1900''' - La [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Num-2009-2-51-a-0313-4.jpg '''grue revolver'''] de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. File:Viaduc de la grue revolver-Capucins-BREST.jpg|'''2011''' - Le Viaduc de la '''grue revolver''' du [[W:Ateliers_du_Plateau_des_Capucins_(Brest)|Plateau des Capucins]]. File:1875 le Lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Brest.png|'''1875''' - Le '''Lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]] après sa formation à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. File:Chantiers Goün, Prairie-au-Duc.jpg|'''1875''' - Le [[W:Ernest_Go%C3%BCin_et_Cie|chantier Ernest Goüin]] à Nantes sur l'[[W:%C3%8Ele_de_la_Prairie-au-Duc|"Île de la Prairie-au-Duc"]] sur la [[W:Histoire_de_la_construction_navale_dans_l%27estuaire_de_la_Loire|Loire]]. File:1878 - Exposition Universelle de Paris - Chantiers Jollet et Babin.png|'''1878''' - Exposition Universelle de Paris : Le '''chantier Jollet and Babin''' à Nantes. <ref>'''1878''' - '''Les chantiers Jollet et Babin''' : "''P. D. JOLLET et L. BABIN, Constructeurs-Mécaniciens à Nantes. Navires en Bois et en Fer - Armements complets de navires. La maison P. D. Jollet et Babin (ancienne maison Jollet et Fils) remonte à plus d'un siècle. Mais depuis 20 ans la nouvelle maison s'est progressivement développée en prévision de la construction de grands bâtiments de mer, en bois et en fer, de la construction de machines à vapeur, marines et autres, et de tous les travaux métallurgiques. Aujourd'hui, son matériel, son personnel, ses ateliers de forge, de chaudronnerie, d'ajustage, de menuiserie, de pouliage et de gréement, lui permettent d'entreprendre la construction et la livraison complète, barre en main, des bâtiments en fer et en bois du plus grand tonnage. Elle peut livrer des machins à vapeur marines et des machines de terre (système Corliss ou autres), jusqu'à une puissance de huit cent chevaux, indiqués. Enfin, grâce à un outillage très-complet, elle entreprend les gros travaux de chaudronnerie, les ponts, les charpentes, les travaux d'artillerie, tous les travaux de chaudronnerie en cuivre pour les raffineries et les autres usines. Elle possède, en outre, un atelier de galvanisage, une fabrication de chaînes spéciales pour la marine, les chemins de fer, les fonderies, etc., etc. MM. Jollet et Babin ont une succursale pour les réparations à Saint-Nazaire et sont fermiers du bassin de carénage de Paimboeuf. En temps de travail ordinaire ils occupent 800 ouvriers.''"</ref> <ref>'''1881''' - À la fin du roman de '''Jules Verne''' "[[w:La_Jangada|La Jangada]]", son frère Paul Verne décrit son bateau le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6513563v/f339.item.r=jollet Saint-Michel III], construit par le chantier '''[[W:Louis_Mathurin_Babin-Chevaye|Jollet et Babin]]'''. </ref> File:1885~St-CYR=uniforme.png|'''1885''' - Uniforme d'un '''élève de l'école spéciale militaire de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]'''. File:1875 Ecole Militaire de Saint-Cyr.jpg |'''1893''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1412878r/f1.item "''Exercices gradués de dessin topographique à l'usage des candidats à l'Ecole spéciale militaire de Saint-Cyr''."] </gallery> === Cartes de Brest === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Maps of Brest, France by Arthur Constantin Krebs|'''''Cartes de Brest par A. C. KREBS''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:cartographie|cartographie]], [[w:Hachures#Cartographie|Hachures]], [[w:Carte|Carte]] <br>'''1873''' - "''Pendant mon séjour à Brest, j'ai relevé des plans de Brest et de ses environs, et j'eus l'autorisation de fabriquer, avec l'aide d'ouvriers du régiment, une presse <ref>'''1860''' - '''Dictionnaire français illustré et encyclopédie universelle''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58175678/f314.image.r=lithographie Litographie] : "''Le tirage lithographique exige des précautions très-minutieuses; en outre, ses résultats sont entièrement subordonnés à l'habileté de l'ouvrier. Ainsi, par ex., en ce qui concerne le nombre des épreuves, le bon ouvrier réussit à en obtenir 4 à 5000 avec la même pierre, tandis qu'un autre peut à peine arriver à 5 ou 600''."</ref> avec laquelle je pus tirer à quelques milliers d'exemplaires la carte que j'avais établie et qui servit pendant de nombreuses années.''" <ref name="1935_Dépêche_de_Brest /> <gallery> 1873 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=carte de Brest (centre).jpg |'''1873''' - '''Carte du centre de [[w:Brest,_France|Brest]]''' gravée et imprimée par A. C. KREBS. <ref name=Krebs-archives /> 1873 Arthur Constantin KREBS=Carte topographique de Brest.jpg|'''1873''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84439718.r '''''Carte topographique des environs de Brest'''''] gravée par A. C. KREBS quand il était au 19ème Regiment d'infanterie (signée A. Krebs). <ref name=Krebs-archives /> </gallery> === Dessin de carènes === '''Catégories''' : [[commons:Category:Construction navale|'''''Construction navale''''']], [[commons:Category:Architecture navale|'''''Architecture navale''''']], [[commons:Category:Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement|'''''Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement''''']], [[commons:Category:Vehicle hulls|'''''Coques de véhicules''''']], [[commons:Category:Cross sections of ships|'''''Sections transversales de navires''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carène (bateau)|Carène (bateau)]], [[w:Coque (bateau)|Coque (bateau)]], [[w:Proue|Proue]], [[w:Étrave|Étrave]], [[w:Construction navale|Construction navale]], [[w:Génie maritime|Génie maritime]], [[w:Corps des ingénieurs de l'armement|Corps des ingénieurs de l'armement]] <br>'''1875''' - "''Mon futur beau-père ''[[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]]'', camarade d’enfance de mon père, m’avait donné des ouvrages sur les '''Machines à vapeur marines''' <ref>'''1861''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f9.item Cours pratique de machines à vapeur marines] : professé à l'École d'application du génie maritime / par M. A. de Fréminville. '''1870''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k146769f.r= Cours de machines à vapeur : année 1870-1871] par M. de Fréminville, professeur à l'École centrale des arts et manufactures.</ref> et la '''construction des navires''' <ref> '''1863''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97347690.r Guide du marin] : résumé des connaissances les plus utiles aux marins. '''1864''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p.r= Traité pratique de construction navale] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858754f.r ATLAS]) par Mr. A. de Fréminville.</ref> qu’il professait à l’École du Génie Maritime à [[w:Brest|Brest]]. ''J’en fit mon profit et plus tard, en garnison à [[w:Nantes|Nantes]], en ''[[w:1875|1875]]'', je rédigeai les plans d’un navire qui fut construit par un industriel avec lequel j’avais fait connaissance.''" <ref name="Krebs_1924" /> ''Une difficulté s'étant présentée un jour dans la construction d'un nouveau modèle, ce fut le lieutenant Krebs qui se chargea de la résoudre. Il fit à lui seul les plans du navire, et son projet fut exécuté de point en point.''" <ref name=1884_de-Grilleau /> <gallery> File:1883-ALBUM-16 SHD-DE-2014-PA-40 Carène du canot l'Ampère.jpg|'''1883''' - '''La coque à bulbe du canot électrique "L'Ampère"''' : Ce canot est conçu et construit par A. C. KREBS '''pour tirer dans l'eau les maquettes du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - L'enveloppe du dirigeable "La France" gonflée à l'air.jpg|'''1884''' - '''L'enveloppe du dirigeable "La France"''' gonflée à l'air, dont '''les fuseaux ont été tracés par A. C. KREBS'''. File:1888-04-17 - Sous-marin Gymnote - le canot électrique d'essai préalable.pdf|'''17/04/1888''' - '''Sous-marin Gymnote''' - le '''canot électrique d'essai''' préalable : '''Spécifications rédigées par A. C. KREBS'''. File:1889 Le-bateau-L'Etincelle=dessiné par A.C.KREBS.pdf|'''1889''' - Le bateau à vapeur "L'Etincelle"''' dessiné par A. C. KREBS''', propulsé avec un moteur à vapeur '''Durenne & Krebs'''. File:1899-06-03 Le Yacht=KREBS dessine les plans du canot PHOENIX.jpg|'''1899-12-16''' - "Le '''''PHOENIX - Canot à essence de pétrole'''''" : "''L'auteur de ces plans, ainsi que de ceux du moteur est'' '''''M. le commandant Krebs''''' [...]" <ref>'''1899-12-16''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7123311z/f4.image.r=krebs '''Le Yacht''']: "''Le PHOENIX - Canot à essence de pétrole à la société des anciens établissements Panhard and Levassor''" : "Il évolue facilement, grâce aux formes spéciales que l'auteur des plans a donné à sa carène, le gratifiant ainsi d'une vitesse, d'une stabilité et d'une facilité d'évolution parfaites."</ref> File:1903-1911 Les-bateaux à essence L'Etincelle=dessinés par A.C.KREBS.pdf|'''1903-1911''' - '''Les bateaux à pétrole''' "''L'Etincelle" I et II''" '''dessinés par A. C. KREBS''', qui a également conçu les moteurs alors qu'il est directeur de '''Panhard & Levassor'''. File:1913 - Panhard & Levassor - le bateau "Parcifal" dessiné par A. C. KREBS et construit par les chantiers KRAFF à Quimper.jpg|'''1913''' - '''Le bateau''' "Parcifal" '''de 14 mètres dessiné par A. C. KREBS''' et construit par les [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t557169x/f7.image.r=kraff chantiers Kraff] de Quimper. </gallery> == '''Le parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''' avec '''[[w:Charles_Renard|Charles RENARD]]''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|'''''Parc aérostatique de Chalais-Meudon''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Chalais-Meudon|Chalais-Meudon]], [[w:Aérostation|Aérostation]], [[w:Dirigeable militaire|Dirigeable militaire]], [[w:Aérostat|Aérostat]], [[w:Dirigeable à enveloppe souple|Dirigeable à enveloppe souple]], [[w:Flottabilité|Flottabilité]], [[w:Portance|Portance]], [[w:Ballonnet|Ballonnet]], [[w:Hangar Y|Hangar Y]], [[w:Histoire de l'aérostation|Histoire de l'aérostation]], [[w:Histoire de l'aviation|Histoire de l'aviation]], [[w:Chronologie de l'aéronautique|Chronologie de l'aéronautique]] :::[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55364253/f6.item.r=krebs 1884-10-01 - Les aérostats dirigeables] '''1876''' - "''À la fin de [[w:1876|1876]], mon bataillon vint à [[w:Paris|Paris]]. Mis en rapport par un ami commun, avec le [[w:Charles_Renard|Capitaine Renard]], j’entrai en relation avec lui et il me mit au courant des travaux qu’il avait entrepris à la Commission des Communications Aériennes et me demanda ma collaboration.'' ''Le [[w:Aimé_Laussedat|Colonel Laussedat]], qui présidait cette commission, m’y fit nommer par le ministre, et je fus détaché à la Direction du Génie, de laquelle dépendaient les Ateliers de Chalais-Meudon. Mes vœux les plus chers étaient ainsi comblés, mais pour donner confiance et obtenir des crédits, il fallait réussir et ne promettre que ce que l’on était sûr de pouvoir réaliser.'' ''Renard avait déjà construit un [[w:Ballon captif|ballon captif]], seule la partie mécanique permettant d’effectuer des ascensions, n’était qu’à l’état embryonnaire. Je me chargeai de la réaliser, et grâce à l’[[w:Exposition universelle de 1878|Exposition de 1878]], je réunis rapidement tous les éléments nécessaires à l’établissement d’un treuil à vapeur'' [fixe] ''qui fonctionna à notre plus grande satisfaction dès le mois d’août.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Train de ballons captifs === '''Catégories''' : [[commons:Category:Type ou modèle d'aérostat|'''''Type ou modèle d'aérostat''''']], [[commons:Category:Aerostation|'''''Aérostation''''']], [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']], [[commons:Category:Aerostats|'''''Aérostats''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Aérostat|Ballon captif]] <br>"''Les expériences et les démonstrations se succédèrent alors brillamment en toute sécurité et nous permirent d’y intéresser des membres de la Commission du budget, car il fallait obtenir des crédits pour pouvoir continuer les études et réaliser les projets faisant l’objet de la Commission des Communications Aériennes''. ''[[w:Léon_Gambetta | Gambetta]], puis [[w:Georges_Clemenceau | Clémenceau]], vinrent successivement assister aux expériences et promirent leur appuis''." '''1880''' - '''Rapport de la Commission du budget''' de la Chambre des députés "''Sur le budget des dépenses extraordinaires sur ressources extraordinaires de l'exercice 1880''" : "''Pour le ministère de la Guerre, reconstitution du matériel militaire'' [...] ''Votre Commission estime que l'oeuvre entreprise doit être complétée. C'est dans cet esprit qu'elle a examiné les diverses demandes présentées s'efforçant de maintenir les crédits dans les limites absolument nécessaires pour arriver à ce complet achèvement.'' [...] '''''Télégraphie militaire et communications aériennes''''' [...] ''Nous avons visité, Messieurs, l'école d'aérostation militaire du parc de Chalais. Nous avons constaté avec le plus vif intérêt les progrès accomplis, les résultats obtenus, dus aux constantes études de '''''deux jeunes officiers, aussi modestes que distingués et capables'''''. Vous ne sauriez faire des fonds de l'État un emploi plus judicieux qu'en encourageant, par l'adoption du crédit demandé, des efforts qui permettent d'espérer encore dans l'avenir des résultats précieux pour la science et pour l'art de la guerre''." "''Deux buts étaient à poursuivre : :''1/ Étude et construction d’un matériel de ballon captif transportable en campagne ; :''2/ Étude et construction d’un ballon dirigeable. ''Le premier me parut facile à réaliser. Il se réduisit à la construction d’un treuil à vapeur sur roues pour les manœuvres de ballons, et à celle de deux autres voitures pour le transport des agrès et des accessoires de la machine à vapeur (eau et charbon), puis d’un appareil, également sur roues, pour la production du gaz hydrogène. Renard s’occupa de cette dernière question et je pris la première.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Charles Renard.jpg|'''1876''' - '''Charles Renard''' (1847-1905) directeur de l'établissement aérostatique de Chalais-meudon. File:1879 - LA NATURE (1884) - expériences de [[w:Victor Tatin|Victor TATIN] (1843-1913)] à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs.png|thumb|1879 - LA NATURE (1884) : expériences de Victor TATIN à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs]]|'''1879''' - Expériences de '''Victor TATIN''' à Chalais-Meudon ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.23/333/100/432/8/420 en présence de Renard et Krebs]'''. File:1880~Aimé-Laussédat (1819-1907) par A. Gerschel.jpg|'''1880''' ~ '''Aimé Laussédat''' (1819-1907) directeur de la commission des communications aériennes. File:Gambetta par Étienne Carjat (photo recadrée).jpg|'''1881''' - [[w:Léon_Gambetta |'''Léon Gambetta''']] (1838-1882) vient assister aux expériences de Krebs & Renard et promet son soutien financier. File:Georges Clemenceau Nadar.jpg|'''1881''' - [[w:Georges_Clemenceau | '''Georges Clémenceau''']] (1841-1929) vient assister aux expériences de Krebs & Renard et promet son soutien financier. File:1882-ALBUM-14 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Chaudière Krebs.jpg | '''1882''' - '''Chaudière à vapeur système KREBS''' pour la manœuvre du treuil de campagne pour ballons captifs. <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-07 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=treuil à vapeur.jpg | '''1882''' - '''Voiture treuil de A. C. KREBS''' pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. Le treuil met en oeuvre, pour la première fois en aérostation, le principe du touage à 2 tambours parallèles. <ref name=Krebs-archives /> File:1883-ALBUM-08 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Fourgon.jpg | '''1883''' - '''Voiture fourgon''' conçue par A.C. KREBS pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. <ref name=Krebs-archives /> File:1883-ALBUM-09 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=voiture aux agrais.jpg | '''1883''' - '''Voiture d'agrés''' designed by A.C. KREBS for the captive balloon train in the field. <ref name=Krebs-archives /> File:1906~Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 en opération.jpg|'''1906''' - Treuil d'aérostation à vapeur modèle '''1882''' de KREBS en opération.'''. File:1916 - The A. C. KREBS Aerostation Steam Winch System of 1882 practical mechanics course.png|'''1916''' - Le système KREBS de treuil à vapeur d'aérostation modèle 1882 : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1916_-_The_1882_A._C._KREBS_steam_winch_system.pdf&page=2 '''''Cours de mécanique pratique''''']. <ref name=Krebs-archives /> File:1914GDOC 01418B - SERIE SPECIALE (SUITE)=treuil à vapeur système Krebs (modèle 1882).webm|'''1914-1918''' - '''Vidéo''' : ''Le '''treuil d'aérostation à vapeur système A. C. Krebs''' (modèle '''1882''') en action''. '''Vitesse du câble''' : 10 m/s. </gallery> === Générateur d'hydrogène === '''Catégories''' : [[commons:Category:Hydrogen production|'''''Production d'hydrogène''''']], [[commons:Category:Mobile engine-generators|'''''Groupe électrogène''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de la production d'hydrogène|Histoire de la production d'hydrogène]], [[w:Technologie de l'hydrogène|Technologie de l'hydrogène]], [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]], [[w:Groupe électrogène|Groupe électrogène]] <br>'''1879-1880''' - Ch. RENARD conçoit des générateurs d'hydrogène stationnaires ou mobiles, et A. C. KREBS conçoit les machines à vapeur qui les animent. <gallery> 1878 A-C Krebs=machine électrique à lumière.jpg|'''1878''' - '''Groupe électrogène mobile à vapeur de A. C. KREBS''' : "''Machine électrique à lumière''" destinée en particulier à l' '''électrolyse de l'eau''' (signé Krebs). <ref name=Krebs-archives /> File:1879-11-00 MAE Lettre-Rapport-Hydrogène.jpg | '''1879-11''' - '''Ch. RENARD : Générateur d'hydrogène stationnaire''' à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur qui l'anime. <ref name=Krebs-archives /> File:1880-10 MAE cahiers-Krebs Hydrogène moteur-vapeur.pdf | '''1880-10''' - '''A. C. KREBS''' conçoit la '''machine à vapeur''' qui anime le générateur d'hydrogène conçu par Ch. RENARD à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. <ref name=Krebs-archives /> File:1882 C.RENARD et A.C.KREBS = voiture générateur d'hydrogène.jpg | '''1882''' - '''Voiture à hydrogène de Ch. RENARD & A. C.KREBS''' pour le gonflement des ballons en campagne. <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-13 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Production de gaz.jpg | '''1882''' - '''Production de gaz hydrogène en campagne''' avec le train de ballons captifs de A. C. KREBS & Ch. RENARD. Le treuil à vapeur de A. C. KREBS est visible en arrière-plan. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> "''Pour mener à bien et rapidement ces travaux, nous fûmes conduits à établir '''un laboratoire''' et à installer '''un atelier mécanique''' pourvus l’un et l’autre des outils et outillages nécessaires. Nous avions comme ouvriers des Sapeurs du Génie provenant du Régiment de Versailles. <ref name="Krebs_1924" /> '''1906''' - "''Tous les travaux de mécanique ont fait l'objet d'une étude particulière de ma part, et pour y parvenir j'ai construit et organisé un atelier situé dans [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Parc_a%C3%A9rostatique_de_Chalais-Meudon le parc de Chalais-Meudon], atelier qui existe toujours''". <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1879-1880''' - "''L’année suivante ('''juin 1879'''), un premier parc était réalisé et permit de faire des expériences de transport de ballons et d’ascensions sur le plateau qui domine [[w:Meudon|Meudon]] au sud. À la suite de ces essais, le ministre décida que ce parc assisterait aux Grandes Manœuvres qui devaient se dérouler aux environs de Silliers-le-Guillaume ('''22 et 23 septembre 1880'''). Pendant ces manœuvres, les renseignements donnés par le ballon sur la marche des opérations, contrôlé par un officier d’État-major'' [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) [Léonce Krebs]] ''qui avait été adjoint au parc, furent si probants que la construction de 4 parcs semblables fut décidée et nous fut confiée.''" "''Les crédits alloués nous permirent d’agrandir les ateliers, de perfectionner l’outillage et d’établir une fabrication qui a servi de modèle aux 25 parcs de ballons captifs qui se trouvaient dans les différents Corps d’Armée et places fortes en 1914.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Ascensions libres === <gallery> 1878-06 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=le ballon captif à Chalais-Meudon.jpg |'''1878-06''' - Album photo de A. C. KREBS : "''Le ballon captif à Chalais-Meudon''". <ref name=Krebs-archives /> File:1868 L'AERONAUTE=page de garde.jpg |'''1879-08-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699161r/f22.image.r=krebs '''Ascension libre''' de C. RENARD et A. C. KREBS]. File:1882 Aéronaute-article-Renard&Krebs-KREBS signature.jpg |'''1882''' - L'Aéronaute : "'''''Considérations générales sur les ascensions de longue durée'''''" (signé KREBS.) <ref>"'''''Mr Poitevin a signé cet article pour moi''''' ''qui, n'ayant pas deandé d'autorisation au ministre de la Guerre ne pouvait faire paraître mon nom'' (signé KREBS.)</ref> [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58276296/f1.item#] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827634h/f5.item.r=] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827635x/f4.item] </gallery> === Mariage === '''1881''' - A. C. KREBS se marie avec Marie de Fréminville, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. <gallery> File:1881-A-C-KREBS=portrait de mariage.jpg|'''1881''' - '''A. C. KREBS''' portrait de mariage. <ref name=Krebs-archives /> File:1881 portrait Marie de Fréminville.jpg|'''1881''' - '''Melle Marie de Fréminville''' portrait de mariage, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. <ref name=Krebs-archives /> File:1881 - A. C. KREBS - "mon habitation à Chalais-Meudon".jpg|'''1881''' - A. C. KREBS: "'''''Mon habitation à Chalais-Meudon'''''" dans le parc de recherche aérostatique. <ref>Il faut souligner que A. C. KREBS a toujours habité, avec sa famille, sur son lieu de travail : dans le parc de Chalais-meudon, à l'état-major des pompiers au 9 Bd du Palais sur l'île de la cité à Paris, et dans la maison de Levassor agrandie, dans l'usine Panhard, avenue d'Ivry.</ref> </gallery> === Le dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" avec [[w:Charles_Renard|Charles RENARD]] et [[w:Henri_Dupuy_de_Lôme|'''Henri DUPUY-de-LÔME''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:La France (airship)|'''''Le dirigeable "La France"''''']], [[commons:Category:Balloon history|'''''Histoire des ballons''''']], [[commons:Category:Airship technology|'''''Technologie aérostatique''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ballon dirigeable|Ballon dirigeable]], [[w:Base aérienne 107 Villacoublay|Base aérienne 107 Villacoublay]] <br>'''1884''' - Collaborant avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], il pilote [[w:XIXe siècle en aéronautique|le premier vol pleinement contrôlé]] en 1884, effectué à bord du [[w:dirigeable|dirigeable]] militaire français "''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''", qu'ils ont conçu. Le vol <ref>[http://rbmn.free.fr/Ballon_photos_10.html Plans, croquis et photos du dirigeable "La France"].</ref> a parcouru 8 km en 23 minutes. Ce fut <ref>'''XIX° siècle en aéronautique''' : [[w:XIXe_siècle_en_aéronautique|le 9 août 1884]], le dirigeable "La France" réalise [http://rbmn.free.fr/Dirigeable_LA_FRANCE_1884.HTML Le premier vol pleinement dirigé].</ref> le premier vol mécanisé avec retour au point de départ. Sur sept vols, le dirigeable "''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''" reviendra cinq fois à son point de départ. "''Entre temps, se poursuivaient les études et expériences pour la construction du ballon dirigeable. Sa réalisation était pour nous le comble de nos aspirations et faisait l’objet de nos plus profondes méditations. La forme du ballon, la disposition de la nacelle et la détermination de l’espèce d’énergie à employer pour constituer la force motrice nécessaire à sa propulsion, firent l'objet d'un long examen et de discussions approfondies.''" ==== Recherche d'un moteur léger : vapeur, hydrogène, électricité ==== '''Voir aussi''' : [[w:Machine à vapeur|Machine à vapeur]], [[w:Histoire de la machine à vapeur|Histoire de la machine à vapeur]], [[w:Chaudière à tubes de fumées|Chaudière à tubes de fumées]], [[w:Chaudière à tubes d'eau|Chaudière à tubes d'eau]], [[w:Locomotive compound|Locomotive compound]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à hydrogène|Moteur à hydrogène]], [[w:Machine électrique|Machine électrique]] <gallery> File:1876 - moteur à gaz Otto construit par Périn-Panhard.png|'''1876''' - '''[https://www.youtube.com/watch?v=5F6q-i_nuYs Moteur à gaz Otto]''' acheté par A.C. KREBS et construit par '''Périn-Panhard'''. File:1878-04-25 MAE A-C-KREBS=Brevet-FR124.078 Générateur de vapeur à circulation directe dit générateur RENHAYE Renard+Krebs+Delahaye.pdf|'''25-04-1878''' - A. C. KREBS : Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=124078&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''124078] "''Générateur de vapeur à circulation directe, dit'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs '''''générateur RENHAYE''''']''" de de la Haye, Renard et Krebs. File:1882-SHD-DE-2014-PA-40=moteur à hydrogène de A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - Le '''moteur à hydrogène''' conçu par A. C. KREBS. 1883-12 Arthur Constantin KREBS=Cahier de recherche 'Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'.pdf|'''1883-12''' - A. C. KREBS : Cahier de recherche "'''Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'''" pour le moteur électrique du dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" de '''1884'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - A. C. KREBS electric motor for the 'La France' airship.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS : Le '''moteur électrique''' pour le dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''". </gallery> '''1878''' - "''Avant l'Exposition de 1878, alors que j'étais au parc aéronautique, j'ai acheté et accepté, aux ateliers [[w:Panhard & Levassor|Panhard & Levassor]], un moteur à quatre temps Otto de deux chevaux ''[au gaz de ville]'' pour l'installer dans l'atelier de couture des ballons.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1879''' - "''Ainsi, MM. Renard et Krebs ont obtenu'' '''''une machine de trois chevaux qui contient à peine trois litres d'eau''''', ce qui leur donne '''''une chaudière légère et non à faible surface'''''. ''Des organes d'une grande sensibilité règlent et assurent le jeu de la machine, bien que peu d'eau soit employée''. '''''La pompe alimentaire a été étudiée avec soin par M. Krebs''''' ; ''le thermo-régulateur actuel s'appuie sur le même principe que celui indiqué au brevet ; mais il emploie la dilatation du mercure''". <ref>'''01/06/1879''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs L'Aéronaute].</ref> '''1881''' - "''À cette époque, l’industrie électrique se développait. Le [[w:Exposition internationale d'Électricité | Congrès International de l’Électricité]] de '''1881''' venait de déterminer les unités de mesure nécessaires à l’étude et aux applications de cette branche nouvelle d’énergie. Les moteurs à essence, si répandus maintenant, n’étaient pas encore connus, nous décidâmes l’emploi de l’électricité pour constituer la force motrice du ballon.''" "''Renard se consacra à la recherche de la source électrique capable de développer dans un poids très faible l’énergie nécessaire au fonctionnement pendant 2 heures environ, d’un moteur de 10 CV. Moi, '''''je me chargeai de l’établissement du moteur et de tous les organes mécaniques faisant manœuvrer l’hélice'''''. C’est ainsi que je fus conduit à étudier l’électricité au moment où cette science se développait industriellement.''" <ref name="Krebs_1924" /> '''1882''' - "''En 1882, dans le but de propulser un ballon dirigeable, qui était alors étudié par le ministère de la Guerre'', '''''j'entrepris la mise au point d'un moteur à combustion interne qui devait utiliser comme combustible l'hydrogène qui gonflait le ballon'''''. ''C'est à cette occasion que j'abordai pour la première fois de manière approfondie une étude complète des moteurs à combustion interne.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1884''' - "''C'est donc vers 1884 que j'ai suivi avec grand intérêt la construction des [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0058/100/512/10/458 petits moteurs à essence] de Mr [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1878''' || [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=610115&positionResult=32&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B1%5D=haye&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afba49a2c3d/arko_default_63f47e41d68c8/image/591913|0|5 '''FR'''124078] || De la Haye, Renard et Krebs: ''Générateur de vapeur à circulation directe, dit générateur RENHAYE'' |- |} ==== Recherches aérodynamiques : la forme du ballon ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Aerodynamics diagrams|'''''Diagrammes d'aérodynamique''''']], [[commons:Category:Fluid_dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']], [[commons:Category:Aircraft_wake_turbulence |'''''Turbulences de sillage d'aéronefs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Bulbe d'étrave|Bulbe d'étrave]], [[w:Aérodynamique|Aérodynamique]], [[w:Maquette|Maquette]], [[w:Modèle|Modèle]], [[w:Aérodynamique de la pointe avant|Aérodynamique de la pointe avant]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]], [[w:Corps de moindre traînée|Corps de moindre traînée]], [[w:Empennage|Empennage]], [[w:Dérive (empennage)|Dérive (empennage)]], [[w:Aérostatique|Aérostatique]] <br>'''1883''' - "''Ce ne fut pas sans peine que M. Renard consentit à abandonner le ballon tubulaire, dont la forme le séduisait à cause de ses avantages théoriques. Pour décider son collègue, '''''M. Krebs fit faire des modèles en bois de diverses formes''''', que l'on essaya successivement dans l'étang de Chalais : ces essais prouvèrent que pour obtenir de la régularité dans la marche,'' '''''il est nécessaire de donner au mobile une forme dissymétrique'''''. ''C'est ainsi que la forme ovoïde, proposée par le capitaine Krebs, fut définitivement adoptée pour l'aéronef de Chalais'' [...] ''L'aéronef doit nager dans l'air, comme poisson dans l'eau, dit le capitaine Krebs. La nature nous démontre que nous avons choisi pour notre aérostat une forme rationnelle''". <ref>[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 1884-de-Grilleau]: ''Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir. Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''.</ref> '''1884''' - "''L'évaluation du travail nécessaire pour imprimer à l'aérostat une vitesse donnée a été faite de deux manières :<br> :"''1° En partant des données posées par [[w:Henri Dupuy de Lôme|Dupuy de Lôme]] et sensiblement vérifiées dans [[w:Aérostat dirigeable Dupuy de Lôme|ses expériences de février 1872]] ;<br> :"''2° En appliquant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f53.image.r=carene la formule admise dans la marine] pour passer d'un navire connu à un autre de formes très peu différentes et en admettant que, dans le cas du ballon, les travaux sont dans le rapport des densités des deux fluides.''" <ref name=1884_ACAD-Krebs /> <ref>'''1864''' - [[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]], (beau-père de A. C. KREBS) : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p/f84.image.r=carene ''Traité pratique de construction navale'']".</ref> <gallery> File:1883-ALBUM-17 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=L'Ampère sur l'étang.jpg|'''1883''' - "''L'Ampère sur l'étang ''". Ce canot électrique est conçu et construit par A. C. KREBS pour tirer des modèles en bois du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique (voir supra). <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-26 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Modèle en bois de La France.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS: ''Modèle en bois du ballon [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''. Ce modèle est conçu et construit par A. C. KREBS pour être tiré par le canot l'Ampère, et déterminer sa forme aérodynamique. <ref name=Krebs-archives /> File:1882 - Machine à découper les fuseaux des ballons conçues par A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - '''Machine à découper les fuseaux des ballons''' conçue par A. C. KREBS. File:1883 - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon La France gonflé à l'air.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon '''''La France''''' gonflé à l'air, et dont il a tracé les fuseaux'''. File:1883-SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS-to-do book='Boat test in front of Mr. Dupuy de Lôme and Zédé'.pdf|'''1883-03-24''' - '''Carnet''' de A. C. KREBS : ''"Essai du bateau devant MM. '''[[w:Henri_Dupuy_de_Lôme| Dupuy-de-Lôme]]''' et '''[[w:Gustave_Zédé|Zédé]]'''"''. <ref name=Krebs-archives /> File:Henri Dupuy de Lôme.png|'''1883''' - '''Henri Dupuy de Lôme''' (1816-1885) : Architecte naval. <ref>'''1872''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046138b/f9.image.r=dupuy%20de%20lome Les Ballons dirigeables], par Gaston Tissandier.</ref> File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur, gendre de M. Dupuy de Lôme. </gallery> '''Catégories''' : [[commons:Category:Hélice|'''''Hélice''''']], [[commons:Category:Propellers|'''''Hélices''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Nacelles|Nacelles]], [[w:Hélice|Hélice]], [[w:Hélice (aéronautique)|Hélice (aéronautique)]] <gallery> File:1884-design of La-France dirigible of Renard & Krebs-first fully controlled airtrip.pdf|'''1884''' - La conception du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' de Ch. RENARD & A. C. KREBS. <ref name=Krebs-archives /> File:1884-ALBUM-29 SHD-DE-2014-PA-40 = A-C-KREBS pose devant l'hélice du dirigeable La France.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS pose devant l'hélice du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''', qu'il a conçue et construite lui-même. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - Dirigeable "La France" - Plan de la nacelle de A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''": '''Plans de la nacelle par A. C. KREBS'''. File:1884 - Dirigeable "La France" - La nacelle conçue par A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''": '''La nacelle conçue par A. C. KREBS'''. </gallery> ==== '''A. C. KREBS pilote les [https://archive.org/details/americanengineer67newy/page/472/mode/2up?q=krebs premiers vols pleinement contrôlés]''' ==== '''Voir aussi''' : [[w:Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air|Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air]] <br>'''1884''' - "''La première ascension du ballon "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''", qui eut lieu le 9 août 1884, et dans laquelle'' '''''un aérostat décrivit pour la première fois par ses propres moyens une courbe fermée en revenant à son point de départ''''', ''fut le couronnement de nos travaux. On ne pouvait alors prétendre obtenir une durée de fonctionnement dépassant 2 h à cause du poids des moteurs. Ce ne fut donc qu’une expérience intéressante mais sans lendemain''." "''En effet, 15 ans devaient s’écouler avant que, grâce aux perfectionnements apportés par l’automobile aux moteurs à essence, on put doter un ballon semblable à "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" d’un moteur assez léger'' [[w:Lebaudy_Frères|[voir Ballons Lebaudy]]] ''pour lui permettre de tenir l’air pendant 10 heures''." <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1884 Arthur Constantin KREBS=portrait.jpg|'''1884''' - Arthur Constantin KREBS. File:The 1884 Krebs & Renard first fully controllable free-flights with the LA FRANCE dirigible near Paris (Krebs arch.).jpg |Les '''premiers vols pleinement contrôlés de Krebs & Renard de 1884''' avec le dirigeable électrique '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' près de Paris (Krebs arch.). File:1884-09-27 Scientific-American=Renard & Krebs first fully controlled free-flight (from l'Illustration).pdf |'''1884-09-27''' - Scientific-American: Renard & Krebs '''first fully controlled free-flight''' (from l'Illustration). File:Popular science monthly (1872) (14763679411).jpg |'''1884''' - THE POPULAR SCIENCE MONTHLY: "''the balloon returning each time to its point of departure, and attaining a speed of nearly fifteen miles an hour''". 1884-de-Grilleau=Les aérostats dirigeables leur passé, leur présent, leur avenir. Le ballon de Meudon.gif|'''1884''' - de Grilleau: "'''''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, un contraste frappant''''' [...] <ref name=1884_de-Grilleau /> File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris. File:1884 A-C-KREBS=portrait en gravure.jpg|'''1886''' - '''A. C. KREBS & Ch. RENARD''' reçoivent le ''' Prix Ponti''' de '''l'Académie des sciences''' : "''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''" <ref>'''1886''' - '''A. C. KREBS & C. RENARD''' reçoivent [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 le '''Prix Ponti'''] de '''l'Académie des sciences''' : "''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''"</ref> File:Gill Hugo.jpg | '''23-08-1884''' - [[w:Victor Hugo|'''Victor Hugo''']] - La direction des ballons : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7540223d/f1.item.r=%22victor%20hugo%22.zoom "''Est-ce l'aimant qui s'est fait aider par l'éclair Pour bâtir un esquif céleste avec de l'air ?''"] File:'Robur the Conqueror' by Léon Benett 48.jpg|'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''', dans son roman '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : "[...] ''même après les expériences retentissantes des '''capitaines Krebs et Renard''' '' [...]" <ref>'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''' dans '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : "''Il était donc constant que, même après les expériences retentissantes des [https://fr.wikisource.org/wiki/Robur_le_conqu%C3%A9rant/2 '''capitaines Krebs et Renard'''], si les aérostats dirigeables avaient gagné un peu de vitesse, c’était juste ce qu’il fallait pour se maintenir contre une simple brise. D’où [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t51169574w/f98.image.r=krebs l’impossibilité d’user pratiquement jusqu’alors de ce mode de locomotion aérienne].''"</ref> File:1886 - Catalogue plantes John-Saul - Géranium 'capitaine Krebs'.png|'''1886''' - [https://archive.org/details/johnsaulscatalog18john_12/page/4/mode/2up?q=capitaine+krebs '''Geranium "''capitaine Krebs''"''']: "''Fine, large, well-shaped trusses, cinnabar-crimson, white centre, extra''". </gallery> == Le sous-marin "'''''[[w:Gymnote (1888)|Gymnote]]'''''" avec [[w:Gustave_Zédé|'''Gustave ZEDE''']] == '''Catégories''' : [[commons:Category:Gymnote (submarine, 1888)|'''''Gymnote (1888)''''']], [[commons:Category:Gustave Zédé|'''''Gustave Zédé''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Gymnote (1888)|Gymnote (1888)]], [[w:Histoire des sous-marins|Histoire des sous-marins]], [[w:Coque_(bateau)#Sous-marins|Coque de sous-marins]] <br>'''1884''' - "''L’expérience du dirigeable était révolue sans laisser l’espoir de pouvoir mieux faire à courte échéance. C’est alors que le général Zédé, frère de [[w:Gustave_Zédé | M. Zédé]], directeur des Constructions Navales, dont j’avais fait la connaissance par mon beau-père, me proposa de quitter la Direction du Génie, où je n’avais aucun avenir à espérer, et de me nommer au Régiment des Sapeurs-Pompiers dont on voulait modifier et perfectionner les moyens d’action pour les mettre à la hauteur de ce qui existait à l’étranger.''" '''1885''' - "''M. Gustave Zédé, ancien Directeur des Constructions Navales et Administrateur à la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]], avait entrepris'', en 1885, '''''l’étude d’un sous-marin''''' ''pour le compte de la Marine militaire''. '''''Ce navire devait être propulsé par un moteur électrique alimenté par des [[w:Camille_Desmazures#L’inventeur_d’un_nouveau_type_d’accumulateur_électrique|accumulateurs]]'''''. ''Toute cette partie mécanique était à étudier et à exécuter. Il me fit part de son projet et me demanda de collaborer avec lui.''" "''La coque était construite par l’Arsenal de Toulon, et toute la partie mécanique et électrique devait être exécutée dans les Ateliers des [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Forges et Chantiers]] au Havre.''" <ref name="Krebs_1924"/> === Le moteur électrique du sous-marin ''Gymnote'' === "''J’acceptai l’offre avec plaisir bien que'' '''''les conditions de construction d’une machine électrique de 50 CV à 200 tours''''' [exigé par Zédé] ''''' présentât de sérieuses difficultés'''''. ''Il y avait, en réalité, à réaliser des dispositions tout à fait nouvelles pour arriver à disposer, dans un espace très restreint : machine, accumulateurs et appareils de manœuvres. Sur la demande du Ministre de la Marine, je fus autorisé par le Ministre de la Guerre à prêter mon concours à la Marine tout en conservant mes fonctions au Régiment des Sapeurs-Pompiers.''" <ref name="Krebs_1924"/> <ref>Noter que les règlements actuels sur le personnel militaire n'autoriseraient plus ce type de mise à disposition interarmées.</ref> <gallery> File:1886-01-12 Brevet A-C-KREBS FR173487=Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires.pdf|page 6|'''1886-01-12''' - Brevet A. C. KREBS [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487] : "'''''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'''''". File:1888 - Plans du moteur électrique multipolaire KREBS du Sous-marin GYMNOTE.pdf|'''1888''' - Plans du '''moteur électrique multipôlaire de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1880-1889-ALBUM-41 SHD-DE-2014-PA-40 (moteur Gymnote).jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique à 16 pôles et 2 balais de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1888-04 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Plans de l'atelier d'essai''' du moteur électrique multipôlaire pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France). File:1888-04 - SHD-DE-2014-PA-40 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Essais du moteur électrique multipôlaire A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France). File:1886-1889 - Moteur électrique de A. C. KREBS en place dans le sous-marin Gymnote.jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place dans le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1889 - "Gymnote" submarine plan - cutaway view.png|thumb|'''1889''' - Vue en coupe du '''sous-marin GYMNOTE''' avec le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1886''' || [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487A] || ''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'' |- |} === [[w:Canot|Le canot électrique d'essai]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Launch (boat)|'''''Canot''''']] <br>'''1887''' - "''Une première expérience, consistant à propulser un'' [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1887-12-10_24_623/page/9954/mode/2up?q=krebs '''''canot de la Marine'''''] ''au moyen d’une dynamo et d’accumulateurs, dut d’abord être préparée pour convaincre le Ministre de la Marine de la possibilité du fonctionnement. Cette première expérience (1887) eut lieu au Havre et réussit pleinement. Les travaux pour le sous-marin purent alors être entrepris.''" <ref name="Krebs_1924" /> <br>'''1888''' - "'''''Note sur un canot de 7 mètres avec machine électrique et accumulateurs''''' : [...] ''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis''." <gallery> File:1887-10-15 LA-NATURE-n°750 Canot de la marine p309.jpg|'''1887''' - '''[https://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?4KY28.29/313/100/432/5/420 Le canot électrique de la marine]'''. La coque (métallique) et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t513859334/f13.item.r=krebs '''le moteur électrique conçu par A. C. KREBS'''] ont servi de test avant le sous-marin '''[[w:Gymnote (1888)|''Gymnote'']]'''. <ref>'''1887''' - L'Année scientifique et industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201116k/f174.item.r=krebs "''Le canot électrique''"]. '''Le Génie civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64825793/f9.image.r=krebs "''Canot électrique de 8m85''"].</ref> File:Théophile Aube.jpg|'''1886''' - Le vice-admiral [[w:Théophile_Aube|Theophile Aube (1826-1890)]], ministre de la marine. File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur (Atelier Nadar). </gallery> === '''Le premier sous-marin pleinement fonctionnel''' === "''Les années '''1887''' et '''1888''' furent employées à leur exécution. Le montage des machines, essayées préalablement au Havre où elles donnèrent entière satisfaction, eut lieu à Toulon sous la direction de [[w:Gaston_Romazzotti | M. Romazzotti]], ingénieur de la Marine chargé de la construction du sous-marin 'Le Gymnote'.''" "''En '''décembre 1888''', je fus envoyé à Toulon pour assister aux essais. L’année '''1889''', fut employée à doter le sous-marin de dispositions particulières pour '''améliorer la vision''', et d‘un '''gyroscope électrique''' dont je fournit les plans, pour remplacer la boussole qui se trouve indifférente quand elle est à l’intérieur d’une coque en fer." "''En '''décembre 1889''' j’assistai de nouveaux à différents essais, tout à fait concluants, à la suite desquels on mit en chantier un navire plus grand, étudié et construit directement par les Constructions Navales.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Gymnote1889.jpg|'''1888''' - 1ère version du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4774644w/f1.image.r=submarine '''sous-marin GYMNOTE''']. '''A. C. KREBS tient le mât d'aération'''. Il est peint au minium pour être mieux aperçu en plongée. <ref>'''1888-02-23''' - Scientific American: "[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1889-02-23_27_686/page/10952/mode/2up '''''The torpedoe boat Gymnotus''''']"</ref> File:1889 Arthur Krebs & Jean Rey periscope for the french Gymnote submarine.jpg|'''1889''' - Le périscope de A. C. KREBS & [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.image.r=gymnote| Jean REY] '''à lentille torique''' pour le sous-marin GYMNOTE. File:1889 Gymnote Gyroscope.jpg|'''1889''' - A. C. KREBS ajoute un moteur électrique de sa conception sur le [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n112/mode/2up?q=gyroscope '''gyroscope'''] de marine manuel [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&page=428 Dumoulin] pour doter d'un [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n108/mode/2up?q=gyroscope gyrocompas] le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:Gaston ROMAZZOTTI (1855-1915).jpg|'''Gaston ROMAZZOTTI''' (1855-1915) : ingénieur du génie maritime. File:1880-1889 - Essais du sous-marin Gymnote en rade de Toulon.pdf|'''1888-1889''' - Essais du '''sous-marin Gymnote en rade de Toulon'''. <ref>'''1890-02-02''' - The Daily Colonist: "[https://archive.org/details/dailycolonist18900202uvic/page/n3/mode/2up?q=gunboat '''''A Submarine Gunboat''''']"</ref> File:1890 - Sous-marin Gymnote - Forçage d'un blocus en rade de Toulon.tif|'''1890''' - Sous-marin Gymnote : '''Succès d'un forçage de blocus naval''' en rade de Toulon, '''grâce au gyroscope électrique conçu par A. C. KREBS'''. <ref>'''1894-09-08''' - Scientific American: "'''''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up The problem of submarine navigation] [...] is in the hands of electrical engineers'''''".</ref> File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''', le grand [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|'''''Gustave Zédé''''']] est construit par la marine : ici côte-à-côte dans le bassin de Toulon. <ref>'''1894-09-08''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up "'''''French submarine torpedo boats (Gymnote & Gustave Zédé)'''''"].</ref> File:Verne-face.jpg|'''1896''' - [[w:Jules Verne|Jules VERNE]] - "[https://fr.wikisource.org/wiki/Face_au_drapeau/Chapitre_X '''''Face au drapeau''''']": "''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:%27Facing_the_Flag%27_by_L%C3%A9on_Benett_22.jpg il dépassait, et de beaucoup, les successeurs] des [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goubet_submarine Goubet], [[w:Gymnote (1888)|Gymnote]], [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|Zédé]]''". File:1899-11-04 - Le Rire - le député veut faire un tour sur le sous-marin Gymnote mais il est trop gros.png|'''1899''' - '''Le Rire''' : Le député veut faire '''un tour sur le sous-marin Gymnote''' mais '''il est trop gros'''. File:FMIB 47799 Sous-Marin Gymnote, construit en 1888, sur les plans de l'ingenieur Zede.jpeg|'''1902''' - Le sous-marin GYMNOTE '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-11-01_87_18/page/292/mode/2up?q=gymnote torpille avec succès] le [[w:Jauréguiberry (cuirassé)|cuirassé "Jaureguiberry"]] et le [[w:Amiral Charner (croiseur cuirassé)|croiseur "Amiral Charner"]]'''. </gallery> === Le moteur électrique transportable === '''Catégories''' : [[commons:Category:Canet artillery|'''''Artillerie Canet''''']], [[commons:Category:Arme militaire fabriquée en France|'''''Arme militaire fabriquée en France''''']] '''1885-1890''' - "''C’est pendant cette période que j’étudiai un moteur électrique portatif pour actionner les perceuses employées sur les navires en construction à percer les trous dans les tôles qui doivent être ensuite réunies par des rivets. De même, des moteurs électriques actionnant les ventilateurs faisant circuler l’air dans toutes les parties des navires etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1885-03-18 - Moteur électrique transportable 60kgm - plans de A. C .KREBS.pdf|'''1885-03-18''' - '''Moteur électrique transportable''' de 60 kgm : Plans de A. C.KREBS. File:1886-03-21 Brevet A-C-KREBS FR175023=Moteurs dynamo-électriques légers transportables.pdf|page 6|'''1886-03-21''' - Brevet A. C. KREBS '''FR'''175023 : '''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'''. File:1890-10-18 Génie-Civil canon-CANET moteur-électrique-Krebs.png|'''1890''' - Génie-Civil : Le [[w:Canon Canet|'''canon de marine CANET''']] de 15 cm à tir rapide avec '''les moteurs de pointage électriques''' conçus par A. C. KREBS'''. <ref>'''1890''' - Le Génie civil : '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6473131x/f1.item.r=krebs ''Application de l'électricité au pointage des canons''.]'''</ref> File:1893-05-20 - Moteur électrique transportable pour perceuses de A. C .KREBS.pdf|'''1893-05-20''' - Moteur électrique transportable '''pour perceuses''' de A. C. KREBS. <ref>'''07/01/1893''' - La revue industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98228384/f114.item Les perceuses électriques]. </ref> File:1896 - Ventilateur électrique de A. C. KREBS sur les navires de guerre.jpg|'''1896''' - '''Ventilateur électrique''' de A. C. KREBS '''sur les navires de guerre'''. <ref>'''1896''' - Les applications mécaniques de l'énergie électrique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k124730z/f278.item "'''Ventilateur électrique''' à bord du croiseur ''Dupuy-de-Lôme''"]</ref> </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1886''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1886-03-21_Brevet_A-C-KREBS_FR175023%3DMoteurs_dynamo-%C3%A9lectriques_l%C3%A9gers_transportables.pdf '''FR'''175023A] || ''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'' |- |} == [[w:Exposition universelle de 1889|'''L'Exposition Universelle de Paris - 1889''']] == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1889)|'''''Exposition Universelle (1889)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de 1889]] <gallery> File:1888-09-17 - Pelurier de KREBS - dynamo de l'Exposition Universelle de 1889.pdf|page 2|'''1888''' - Pelurier de A. C. KREBS: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f266.image.r=krebs '''dynamo de l'Exposition universelle de 1889''']. File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - La chaudière à vapeur DURENNE & KREBS de l'Exposition de 1889.jpg|'''1888''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f287.image.r= '''La chaudière DURENNE & KREBS'''] de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']]. File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - Machine à vapeur compound et dynamo électrique de A. C. KREBS.jpg|'''1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f306.item.r=krebs&durenne '''Le moteur à vapeur compound et la dynamo'''] de A. C. KREBS de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']]. File:Béroud - Le dôme central de la galerie des machines à l'exposition universelle de 1889 - P2314 - Musée Carnavalet.jpg |'''1889''' - A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur et la dynamo qui ont produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines''']. File:Exposition Universelle, Paris, France, 1889 (2852571017).jpg|'''1889''' - Exposition Universelle de Paris : '''Le dôme central du Palais de l'industrie''' et de la Galerie des Machines. File:Alexandre-Georges Roux - Fête de nuit à l'Exposition universelle de 1889, sous la tour Eiffel - P1994 - Musée Carnavalet.jpg | Fête de nuit à l' [https://archive.org/details/cu31924107177093/page/n7/mode/2up?q=krebs Exposition universelle de '''1889'''] sous la Tour Eiffel. File:Panorama du Champ de Mars, Paris Exposition, 1889 (illuminated) (14197259007).jpg|'''Panorama du Champ de Mars''', [https://www.loc.gov/pictures/search/?q=exposition+1889&sp=1&sg=true&st=gallery Exposition Universelle de Paris, '''1889'''] avec la Tour Eiffel illuminée. File:Eiffel Tower and Exposition Universelle at night, Paris, 1889.jpg|'''1889''' - Vue de la Tour Eiffel et du terrain de l'Exposition Universelle du Champ de Mars la nuit. File:Georges Garen embrasement tour Eiffel.jpg|'''1889''' - "'''''Embrasement de la Tour Eiffel pendant l’Exposition universelle de 1889'''''": tableau de Georges Garen. File:L'Exposition universelle de 1889 - grand ouvrage illustré, historique, encyclopédique, descriptif (IA lexpositionunive02mono).pdf|page 36|'''1889''' - Exposition de '''l'établissement central d'aérostation militaire''' de Chalais-Meudon avec '''le dirigeable de Renard et Krebs'''. </gallery> '''1889''' - Lors de l'Exposition Universelle , A. C. KREBS : * Est membre du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476583z/f15.image.r=krebs "Comité Technique des Machines"]. * Organise [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f436.image.r=pompiers la sécurité incendie dans toute l'Exposition] et saisit cette occasion pour tester son nouvel avertisseur d'incendie. * Est nommé membre du comité d'organisation du [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8XAE331.24/5/100/38/0/0 Congrès International des pompiers officiers et sous-officiers]. * Conçoit le '''moteur à vapeur compound''' DURENNE & KREBS et la '''dynamo électrique''' construite par la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]] dont [[w:Gustave Zédé|Gustave Zédé]] est administrateur, qui produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''] de l'Exposition Universelle de Paris en '''1889''', exposition qui inaugure la tour de l'ingénieur [[w:Tour Eiffel|'''Gustave EIFFEL''']]. == La réorganisation du service incendie de la "'''''Ville de Paris'''''" == '''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|'''''Brigade de sapeurs-pompiers de Paris''''']], [[commons:Category:History of firefighting|'''''Histoire de la lutte contre l'incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|Brigade de sapeurs-pompiers de Paris]], [[w:Lutte contre l'incendie|Lutte contre l'incendie]] <br>'''1884-1897''' - "''Il serait trop long de m’étendre sur les travaux réalisés pendant les 12 années (1885-1897) que j’ai passées dans ce corps. Après [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Voyages_d'%C3%A9tudes_en_Europe_et_en_Am%C3%A9rique plusieurs voyages d’études aux États-Unis d’Amérique] ''['''1885''' and '''1895''']'' et en Europe ''['''1884''', '''1885''' et '''1891''']'', je fus conduit à faire des propositions : mais cette fois, la tâche n’était plus la même.''" "''Les propositions étaient discutées dans des commissions et, avant d’arriver à l’exécution, il fallait les faire triompher. Je réussit à les faire accepter et le résultat fut'' ''''' de transformer complètement l’organisation du Service Incendie ainsi que son matériel'''''." <ref name="Krebs_1924" /> <ref>'''1901''' - Revue municipale : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61398922/f1.item.r=%22sapeurs-pompiers%22 Sapeurs-pompiers de la ville de Paris]", [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k54352216/f2.item.r=casque suite.] .</ref><ref>'''2023''' - '''Damien Grenèche''' (thèse) : "[https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1 ''Sapeurs-Pompiers de Paris, '''1811-1967''' : construction d'une élite et d'une identité singulière]." </ref> <gallery> File:1891-A-C-KREBS=portrait en uniforme de pompier.jpg |'''1891''' - '''A. C. KREBS''' : portrait en uniforme de pompier à l'occasion de ses 10 ans de mariage et de sa nomination de '''Major Ingénieur''' au Régiment de sapeurs-pompiers de Paris. File:1900~Pompiers=sauvetage-1.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Sauvetage'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=la grande échelle-2.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''La grande échelle'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=manoeuvre d'ensemble-3.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''manœuvres d'ensemble'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=poste central-4.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Poste central, appel au feu'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=le gymnase-6.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Le gymnase'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. <ref>Depuis '''1895''' réussir le test de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96376025/f89.image la planche à rétablissement] est devenu [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940510p/f365.item.r=planche obligatoire chaque matin] pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5422697h/f5.item.r=%22planche%20a%20retablissement%22 les pompiers parisiens], jusqu'à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BSPP_-_Test_de_la_planche_%C3%A0_r%C3%A9tablissement.webp aujourd'hui].</ref> </gallery> === La pompe d'incendie à vapeur '''[https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/130621 DURENNE] & KREBS''' === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Durenne & Krebs fire engine|'''''Pompe d'incendie Durenne & Krebs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]] <gallery> File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-1.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-2.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-3.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-4.jpg| '''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:1892 Portefeuille-économique=Pompe Durenne & Krebs 1888.pdf|'''1892''' - "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f243.item.r Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle de '''1888''')]'' de '''MM. Durenne & Krebs'''." File:Jean-François Durenne Durenne Constructeur 1897.jpg|'''1897''' - '''Jean-François DURENNE''' (1821-1909) près du moteur à vapeur DURENNE & KREBS File:La voiture Pompe à vapeur Durenne et Krebs.jpg|'''1900''' ~ La voiture Pompe à vapeur DURENNE & KREBS '''attelée'''. File:1903 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS.pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris utilise la chaudière à vapeur '''DURENNE & KREBS'''. <ref>'''1904''' - The Engineering Magazine - The International Automobile Exposition at Paris : '''''[https://archive.org/details/factoryindustria27newy/page/76/mode/2up?view=theater Automobile Fire Engine of the Paris Fire Department]'''''.</ref> <ref>'''1904''' - The Engineer: "''The boiler is of the type invented by [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/130/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 M. Durenne and Commandant Krebs] and improved by M.M. [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/n3/mode/2up?q=weyher Weyher et Richemond] to facilitate the cleaning of the tubes''".</ref> <ref>'''1904''' - La Nature: ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.62/238/70/536/5/420 Les pompes à incendie automobiles]'''.</ref> File:1904 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS (schemas).pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris ('''schemas''') qui utilise la chaudière DURENNE & KREBS. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1888''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf '''FR'''189962] || ''Chaudière multitubulaire à tubes curvilignes dilatables à circulation automatique et rapide'' |- | '''1889''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-21_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] || |- | || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-29_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] |- | '''1890''' || [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=208718&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''208718] || [https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n104/mode/2up?q=durenne ''M. DURENNE, pour une pompe à vapeur, système Durenne & Krebs''] ([https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n182/mode/2up?q=durenne Dessins]). |- |} === [https://archive.org/details/BSG_8VSUP2176 Voyages d'études en Europe et en Amérique] === '''1885-11-26''' - '''New York Times''' : "''Parmi les passagers du paquebot français [[w:La_Normandie_(paquebot_de_1883)|'''Normandie''']], qui ont embarqué hier pour le Havre, on comptait le Contre-amiral Baldwin, de la marine américaine ; [[w:Auguste Bartholdi|'''A. Bartholdi''']], le scuplteur ; le baron Hulot, le '''Capt. Krebs''', l'Abbé Gaudin, le Capt. Garcin, M. Martin Clerc, M. [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']].''" '''1895-09-10''' - '''New York Times''' : "''Trois Français qui étudieront les méthodes utilisées dans ce pays: le [https://fr.wikipedia.org/wiki/Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris#Liste_des_chefs_de_corps_commandant_le_r%C3%A9giment_de_sapeurs_pompiers_de_Paris_(de_1866_%C3%A0_1967) Col. Varigault], le '''Commandant Krebs''', et le [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/90324#show Capt. Cordier], officiers du [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|corps des sapeurs-pompiers de Paris]], arrivés dans cette ville samedi dernier avec le paquebot [[w:La Touraine (paquebot)|'''La Touraine''']] pour commencer une tournée des principales villes des États-Unis dans le but d'enquêter sur les méthodes adoptées dans divers services d'incendie.''" '''1895-11-06'''- '''Quebec Morning Chronicle''' : "Le ''Colonel Varigault, le '''Commandant Krebs''' et le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Capitaine Cordier], du Service des sapeurs-pompiers de Paris, sont revenus hier à New York après une tournée de deux mois aux États-Unis et au Canada dans le but d’inspecter les services d’incendie des grandes villes. Le colonel Varigault a été vu ce matin. Il a déclaré : « Nous avons visité New York, Boston, Montréal, Cleveland, Chicago, Saint-Louis, la Nouvelle-Orléans, Cincinnati, Pittsburg et Washington. Nous avons été reçus partout avec la plus grande gentillesse et notre voyage a été un succès complet. Le Service des sapeurs-pompiers de New York est bien en avance sur tous ceux que nous avons vus dans ce pays, tant en termes d’équipement que de discipline. Ensuite, je devrais nommer Boston, bien que Montréal ne soit pas loin derrière. Chicago et San Francisco sont également bons. Mais je ne vois pas comment le Service des sapeurs-pompiers de Chicago pourrait lutter contre un incendie dans l’un de ses hauts immeubles. »''" <gallery> File:1885-10-03=1885-11-25 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1885''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Couston, du capitaine-ingénieur A. C. Krebs des pompiers de Paris, et de son beau-frère [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]], '''du 3 octobre au 18 novembre 1885'''. File:1895 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1895''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Varigault, du Commandant A. C. Krebs et du capitaine-ingénieur Cordier des pompiers de Paris, '''d'août à octobre 1895'''. File:1895-10-31-Evening-Star=voyage des pompiers de Paris en Amérique=Varigault+Krebs+Cordier 'amis-des-cubains'.png |'''1895-10-31''' - Evening-Star (Washington) : Col. Varigault, Commandant Krebs and Capitan Cordier "'''''leaders among the friends of Cuban freedom in the south'''''". File:1895-11-18 The New York herald-Paris='Changes for Paris firemen'.png |'''1895-11-18''' - The_New-York herald Paris: "'''''Changers for Paris firemen'''''" (Colonel Varigault, Commander Arthur Constantin Krebs and Captain Cordier). </gallery> ==== L'avertisseur d'incendie ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Fire alarms|'''''Alarmes incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Alarme incendie|Alarme incendie]], [[w:Téléphone|Téléphone]], [[w:Louis_Lépine|Louis_Lépine]] <gallery> File:1888 A-C-KREBS=système Krebs de téléphone pour les avertisseurs du service incendie de la ville de Paris.jpg|'''1888''' - [https://archive.org/details/electricalengin05unkngoog/page/n14/mode/2up?q=krebs Le '''téléphone système A. C. KREBS'''] pour les bornes d'appel incendie de la ville de Paris, sert aussi de "'''ronfleur'''" pour prévenir les passants de son utilisation. File:1888-07-27 Brevet A-C-KREBS FR192070=Système de téléphone.pdf|page=7|'''1888-07-27''' - A. C. KREBS Brevet '''FR'''192070: "''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques, concentriques égales''". File:1892-05-28 Génie-Civil Pompiers=avertisseur-Digeon+téléphone-Krebs.jpg|'''1892''' - '''Col. Varigault''' :"''A Paris, chacun de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6474130t/f2.item.r=krebs '''nos avertisseurs publics d'incendie'''] est relié à un centre de secours qui, en même temps que l'alarme est donnée, reçoit, grâce à un téléphone ''[A. C. KREBS]'' installé dans l'avertisseur lui-même, des informations sur la nature du sinistre et le lieu où il s'est déclaré.''" <ref>'''1896-03-19''' - Procès verbal du '''Comité de perfectionnement''' du régiment de sapeurs-pompiers de Paris : [http://rytmo.net/ACK/1896-03-19_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf Rapport du voyage du colonel Varigault, du commandant Krebs et du capitaine Cordier en Amérique pour les pompiers de Paris en '''1895'''].</ref> <ref>'''1893-11-25''' - Scientific American: [https://archive.org/details/scientific-american-1893-11-25/page/n3/mode/2up?q=alarms '''New Fire Alarm'''].</ref> File:1894-12-27 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=plan de la répartition des avertisseurs.jpg|'''1894-12-27''' - Comité de perfectionnement des sapeurs-pompiers de Paris : plan de la '''répartition des avertisseurs d'incendie conçus par A. C. KREBS'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1888''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-07-27_Brevet_A-C-KREBS_FR192070%3DSyst%C3%A8me_de_t%C3%A9l%C3%A9phone.pdf '''FR'''192070A] || ''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques concentriques égales'' |- |} ==== Le compresseur d'air hydraulique ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Trompes|'''''Trompes hydrauliques''''']], [[commons:Category:Venturi effect|'''''Effet Venturit''''']], [[commons:Category:Bernoulli's principle|'''''Théorème de Bernoulli''''']], [[commons:Category:Fluid dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Trompe hydraulique|Trompe hydraulique]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]] <gallery> File:1889-02-16 Brevet A-C-KREBS FR196134=Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels.pdf|page 10|'''1889''' - Pompiers de Paris : Le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS (Brevet [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] ). File:1893 - Pompiers de Paris - casque respiratoire.png|'''1893''' - Pompiers de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f244.image.r=casque%20respiratoire '''le casque respiratoire'''] alimenté avec le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS. File:1900 ~ Pompiers de Paris - Le compresseur d'air pour 'un feu de cave'.jpg|'''1900''' ~ Pompiers de Paris - Le '''compresseur d'air''' pour "'''un feu de cave'''" conçu par A. C. KREBS'''. File:1900_-_Le_mat%C3%A9riel_des_Pompiers_%C3%A0_l%27Exposition_Universelle.jpg|'''1900''' - La lampe électrique, '''le compresseur d'air et le ventilateur hydrauliques conçus par A. C. KREBS''', le casque respiratoire. File:St. Nicholas (serial) (IA stnicholasserial402dodg).pdf|page 552|'''1913''' - Coups-d'œil sur les services incendies à l'étranger : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASt._Nicholas_(serial)_(IA_stnicholasserial402dodg).pdf&page=551 "'''''Un casque respiratoire à Paris'''''"]. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1889''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] || ''Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels'' |- |} ==== Théorie de la pompe [à piston creux] à un seul clapet ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Pumps|'''''Pompes''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Pompe|Pompe]] <gallery> File:1888-11-03 Revue-Industrielle=Pompe mono-clapet.jpg |'''1886-01''' - Alors qu'il est major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9788785q/f449.image.r=krebs A. C. KREBS décrit '''la théorie complète de la pompe à un seul clapet''']. File:1886 LA-NATURE=Théorie de Arthur Constantin KREBS de la pompe à un seul clapet.png |'''1886''' - A. C. KREBS, major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris décrit '''la théorie de [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/265/100/432/5/420 la pompe à piston creux à un seul clapet]'''. <ref>'''1885''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.24/115/100/432/8/420 La pompe sans piston] ou pompe chinoise. '''1886''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/179/100/432/5/420 La pompe sans piston].</ref> </gallery> ==== Autres appareils d'incendie ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris equipment|'''''Équipement de la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris ''''']], [[commons:Category:Équipement anti-incendie|'''''Équipement anti-incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Hydrant|Hydrant]], [[w:Tuyau d'incendie|Tuyau d'incendie]] <gallery> File:1900 - Exposition Universelle - La chèvre de levage des Pompiers de Paris.png|'''1900''' - La '''chèvre de levage''' et le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.item.r=krebs matériel d'incendie exposé lors de l'Exposition universelle] de Paris. File:La voiture Grande échelle.jpg|'''1900''' ~ La voiture Grande échelle. File:Grande échelle Gugumus en action.jpg|'''1900''' ~ La grande échelle en action. File:Lances à l'exercice.jpg|'''1900''' ~ Lances à l'exercice. File:Le départ attelé réglementaire.jpg|'''1900''' ~ Le départ attelé réglementaire. File:Le dévidoir.jpg|'''1900''' ~ Le dévidoir. File:10 Entretien des tuyaux.jpg|'''1900''' ~ Entretien des tuyaux. File:1900~Pompiers=Le ventilateur hydraulique inventé par A-C KREBS.jpg| '''1895''' ~ Le '''ventilateur hydraulique''' conçu par A. C. KREBS restera utilisé jusqu'en '''1935'''. </gallery> === La réorganisation des périmètres d'incendie === '''Catégories''' : [[commons:Category:Firefighting|'''''La lutte contre l’incendie''''']], [[commons:Category:Pompier|'''''Pompier''''']], [[commons:Category:Service de secours en France|'''''Service de secours en France''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Service départemental d'incendie et de secours|Service départemental d'incendie et de secours]], [[w:Lutte contre l’incendie|Lutte contre l’incendie]], [[w:Pompier|Pompier]], [[w:Sapeur (pompier)|Sapeur (pompier)]] <br>'''2015''' - "''La réponse que Krebs propose pour résoudre l’équation porteuse de toutes les variables qu’il a identifiées se nomme « vitesse ». Ce n’est plus la position de proximité physique du pompier près du sinistre qui va lui assurer son efficacité maximum, c’est la vitesse avec laquelle l’organisation globale du service saura faire parvenir sur les lieux du sinistre la juste quantité de matériel et de personnel, d’où que proviennent ce matériel et ce personnel. Si la proximité fige l’organisation et limite les possibilités d’adaptation, les capacités de la vitesse sont, quant à elles, potentiellement illimitées''." <ref>'''2015''' - Philippe Krebs, "'''''L’ingénieur Krebs (1850-1935) ou comment traduire le fluide électrique'''''", Artefact [En ligne], HS 01 | 2015, mis en ligne le 30 avril 2021, consulté le 09 avril 2026. URL : http://journals.openedition.org/artefact/7663 ; DOI : https://doi.org/10.4000/artefact.7663</ref> <br> '''1889''' - '''Comité de perfectionnement du régiment de sapeurs-pompiers de Paris''' : "''Les surfaces des périmètres défendus chacun par un poste sont proportionnelles au carré des vitesses avec lesquelles ces postes peuvent se transporter et, comme conséquence immédiate et très importante, le nombre des postes à placer sur une surface donnée est inversement proportionnel au carré de ces mêmes vitesses de déplacement. Ainsi, un système de transport qui permettrait d'aller deux fois plus vite qu'un autre exigera quatre fois moins de postes pour arriver dans le même temps.''" <ref name=1889_Comité /> '''1896-05-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7510386f/f2.item.zoom '''L'accident de l'Opéra'''] - Le câble d'un contre-poids de 625 kg du lustre de l' [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|Opéra de Paris]] se rompt au milieu d'une représentation et fait une chute de 12m en traversant plusieurs niveaux et en tuant une personne : "''La version du major Krebs, du régiment des sapeurs-pompiers, paraît toutefois des plus vraisemblable : sous l'action d'un contact de courant, les fils supportant le contrepoids de l'appareil de ventilation se sont échauffés, sont devenus élastiques et, chaque fil, n'ayant plus que la consistance de macaroni cuit, s'est rempu sous le poids qu'il était chargé de supporter. Les fils du câble n'ont pas été chauffés jusqu'à la fusion, mais ils sont étirés et les sections sont inégalement placées.''" <ref>'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4683851/f2.item.r=krebs Journal des débats politiques et littéraires]: "''Accident à l'Opéra''".</ref> "''Par une coïncidence bizarre, [[w:Charles Garnier (architecte)|M. Garnier]], l'architecte de l'Opéra, est rentré à Paris ce matin. Il a assisté aux délibérations de la commission.''" <ref>'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k548084f/f4.image.r=garnier La Presse]: "''L'accident de l'Opéra''".</ref> <br><br>'''2023''' - Le plan Krebs de réorganisation des secours est toujours en application à Paris : "'''Couverture opérationnelle''' : ''Stratégie mise en place dès '''1885''' avec l’adoption d’un plan de modernisation matérielle et organisationnelle. Le découpage de la capitale en 24 secteurs, le maillage formé par les bornes avertisseurs et les bouches incendie, la mise en place du départ attelé et la construction des nouveaux postes de secours ont contribué à élever ce plan de défense contre les incendies''." <ref>'''Damien Grenèche'''. ''Sapeurs-Pompiers de Paris, 1811-1967 : construction d’une élite et d’une identité singulière''. Thèse d'Histoire. Université de Lorraine, 2023. Français. NNT : 2023LORR0323. tel-04661041 : https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1</ref> <gallery> 1881 'Le Feu à Paris et en Amérique' par le colonel Paris commandant le régiment des sapeurs-pompiers de Paris-.png|'''1881''' - "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f237.item.r=%22Le%20Feu%20%C3%A0%20Paris%20et%20en%20Am%C3%A9rique%22 '''''Le Feu à Paris et en Amérique''''']" par le colonel Paris commandant le régiment des Sapeurs-pompuiers de Paris - carte de la répartition des secours incendie à Paris avant la réorganisation de A. C. KREBS : "''Les parties teintées sont celles qui sont incomplètement protégées aujourd'hui''". 1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''. File:1903 Larousse=Pompiers.png |'''1903''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris. File:1923 Larousse=Pompiers.jpg |'''1923''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris (suite). File:1894-04-28 Pompiers tableau-Detaille 'Victimes-du-devoir' esquisse-couleur RMN.png |'''1894-04-28''' [http://www2.culture.gouv.fr/Wave/image/archim/0007/dafanch99_76630603_2.jpg "''Victimes-du-devoir''"] esquisse du [https://archive.org/details/douarddetaille00detauoft/page/n25/mode/2up tableau] de [[W:%C3%89douard_Detaille|Edouard Detaille]] qui représente une intervention des sapeurs-pompiers de Paris à l'époque de la réorganisation de A. C. KREBS. Deux pompes Durenne & Krebs sont visibles en arrière-plan. <ref>''Les victimes du devoir'' - [https://www.photo.rmn.fr/CS.aspx?VP3=SearchResult&VBID=2CMFCI7M9AE4D&SMLS=1&RW=1600&RH=789 Detaille Jean-Baptiste-Edouard (1848-1912)] - Réunion des musées nationaux - Grand-Palais (Paris)</ref> File:The Opera House, Paris, France ca. 1890-1900.jpg |'''1896-05-20''' - Un contrepoids de 625 kg counterweight du [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|chandelier]] de [[W:Op%C3%A9ra_national_de_Paris|l'Opéra de Paris]] chute en pleine représentation et tue une personne. [[W:Gaston_Leroux|Gaston Leroux]] reprendra cet événement dans son roman [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Phantom_of_the_Opera "'''Le fantôme de l'Opéra'''"]. File:Le Petit Journal - Bazar de la Charité.jpg | '''1897-05-04''' - '''[[w:Bazar de la Charité|L'incendie du Bazar de la Charité]]''' : "''Les sapeurs-pompiers de Paris arrivent sur les lieux en à peine dix minutes pendant que des grappes humaines surgissent du bazar transformé en brasier, par les deux seules portes d'accès dont l'une, celle de gauche, sera rapidement bloquée par des corps.''" File:Btv1b8433337w-p014.jpg |'''1900-03-08''' - "''L'incendie du Théâtre-Français''": La pompe d'incendie [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Durenne_%26_Krebs_fire_engine '''"Durenne & Krebs"'''] (fabriquée par [https://data.bnf.fr/14536469/societe_des_etablissements_weyher_et_richemond/ Weyher & Richemond]) en opération. File:Btv1b8433337w-p015.jpg |'''1900-03-08''' - "''L'incendie du Théâtre-Français''": La '''grande échelle "[[W:Gugumus|Gugumus]] & Krebs"''' en opération. </gallery> === La '''voiture système KREBS''' et [[w:Émile_Levassor|'''Émile LEVASSOR''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Voiture système Krebs|'''''Voiture système Krebs''''']] <br>'''1894''' - [[w:Paris-Rouen (automobile)|'''La course Paris-Rouen''']] : "''J'étais présent le 18 juillet 1894, le matin, au départ des véhicules automobiles engagés dans la course du Petit Journal. Le départ a eu lieu à la Porte Maillot. Au moins 20 véhicules se sont présentés au départ.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> Le 28 novembre '''1894''', le Conseil municipal de Paris accepte la proposition de A. C. KREBS d’étudier l’application des moteurs à pétrole à la traction des voitures d’incendie, en remplacement des chevaux. Le Conseil alloue les crédits et ajoute : "''Il ne faut pas craindre de demander largement le nécessaire''." <ref> '''28/11/1894''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des sapeurs pompiers de Paris.</ref> '''1895''' - A. C. KREBS est '''présent lors du retour de Levassor''' pour la '''course Paris-Bordeaux-Paris'''. <ref>'''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=30 '''Témoignage d'A. C. KREBS'''] lors du '''procès Selden à New-York''' :'' '''Q35'''. Were you at one or more automobile races in 1895? '''A35'''. Yes, I recall well in the Paris-Bordeaux-Paris race the return of the two passenger vehicle which was driven by Monsieur Levassor. That vehicle and its driver had made the trip there and return, 1175 kilometers, without stops other than those necessary to replenish with fuel, in about 48 hours. Unfortunately the first prize for the performance could not be given to it because it could not be awarded a vehicle with two passengers. Nevertheless the performance of this vehicle was considered most successful''.</ref> '''1896''' - "''Vers 1894 parurent les premières voitures automobiles mues par des moteurs à essence. La locomotion automobile ayant déjà frappé mon imagination au point de vue de son application au Service Incendie, je me procurai un petit moteur auprès de la maison Panhard & Levassor pour en bien étudier le fonctionnement et construisis dans l’atelier des Sapeurs-Pompiers une petite voiture d’expérience dont les changements de vitesse étaient obtenus par des embrayages magnétiques'' [brevetée en 1896]. ''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1896-05-02 A.C.KREBS automobile-patent=FR256344.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : Dessin du '''brevet d'automobile'''. File:1896-05-13 A.C.KREBS=Brevet FR256344-'voiture-automobile'.pdf|page=10|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet d'automobile''' ('''FR'''256344). File:Krebs Electromagnetic-Gear 1896.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Boîte de vitesse électromagnétique''' du brevet d'automobile ('''GB'''189619774A). File:1896-11-09 BE124538=brevet belge de la voiture de A. C. KREBS.pdf|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet belge''' ('''BE'''124538). File:Voiture système Krebs 1896.jpg |'''1896''' - '''A. C. KREBS est au guidon''' de sa voiture au Bois de Boulogne à Paris. File:1900~Grde-Encycl=Velocipede-Angle-de-chasse.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS introduit '''l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]]''' dans la technologie de '''la direction automobile'''. File:1882-1898 – A. C. KREBS metallic wheel hubs.pdf|'''1882-1898''' – A. C. KREBS introduit [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9810086j/f94.item '''le moyeu métallique d'artillerie français'''] dans la '''technologie automobile mondiale'''. <ref>'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n298/mode/2up '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]]: "'''Raisons d'adopter des roues en bois''' : ''Le public, cependant, finit par apprendre et, une fois informé, ses préférences sont généralement judicieuses ; ainsi, en quelques années, la roue à fil de fer fut condamnée, non pas parce qu'elle était impossible à fabriquer de façon satisfaisante, mais parce qu'elle ne l'était pas, et la roue en bois devint la forme acceptée. En se tournant vers la roue en bois, cependant, les fabricants tombèrent dans l'autre extrême et adoptèrent généralement la roue désormais universelle [https://en.wikipedia.org/wiki/Artillery_wheel du type artillerie]'''''. Cette roue est utilisée pour sa robustesse, plutôt que pour sa légèreté ou son faible coût, et '''''a été largement adoptée en raison de son utilisation à l'étranger.'''''."</ref> File:1899 - Panhard-Levassor - roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. <ref name=Rolls-1899/> File:1899 - Panhard-Levassor - artillery wheel axle stub of C. S. Rolls' car.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Arbre de la Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. <ref name=Rolls-1899/> File:Roue.jpg|'''1900''' ~ '''Roue d'artillerie''' de type français sur un essieu d'automobile. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 72|'''1913''' - La stabilité de route : "'''''L'angle de chasse'''''". File:Émile Levassor peu avant sa mort.jpg|'''1896-09-03''' - '''Émile Levassor''' (1843-1897) achète la licence du '''brevet d'automobile système Krebs'''. File:WP-Rene Panhard.jpg|'''René Panhard''' (1841-1908). </gallery> ==== Sept innovations dans la technologie automobile ==== :Brevets de la voiture système Krebs : '''FR'''256344, '''GB'''189619774A, '''BE'''124538 * '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' : (voir infra) : "''Puisque l'on sait que 3 points suffisent pour déterminer un plan.''" <ref name=1896_voiturette_Krebs/> : "''Suspension de bâti du mécanisme au châssis de la voiture par 3 points munis d'articulations, à l'effet de soustraire le mécanisme aux déformations que le châssis de la voiture peut avoir à supporter pendant le roulement du véhicule.''" * '''La boîte de vitesse électromagnétique avec les engrenages toujours en prise''' : : "''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''" * '''Le changement de vitesses au volant''' : : "''Le régulateur de vitesse comprend un commutateur électrique disposé sur un disque fixé au-dessous du guidon de direction sur un tube fixe renfermant la tige de direction. Un plateau mobile, muni d'un bourrelet à sa circonférence, recouvre le commutateur et établit suivant 5 positions, les communications et embrayages suivants : 1° - position de repos, circuit coupé, aucun embrayage ; 2° - 1er cran à droite, petite vitesse ; 3° - 2ème cran à droite, vitesse moyenne ; 4° - 3ème cran à droite, grande vitesse ; 5° - cran à gauche de la position de repos, marche en arrière.''" * '''La direction à crémaillère amortie''' : : "''La direction est obtenue au moyen d'un pignon denté monté sur le rond supérieur engrenant avec un secteur denté fixé au rond inférieur. L'axe du pignon porte une roue à dents logée dans une boîte cylindrique reliée par deux tubes à la caisse de la voiture. Une seconde roue à dents, montée sur la tige de direction située à la portée du conducteur, est reliée à la première au moyen d'une chaîne sans fin passant dans les deux tubes indiqués plus haut. Dans la partie rectiligne des tubes, la chaîne est remplacée par deux tiges élestiques formées de tubes contenant des ressorts à boudin. Cette disposition a pour but de maintenir constamment la chaîne tendue et de créer un amortisseur entre les vibrations transmises à la chaîne par le roulement des roues d'avant sur un sol inégal et la tige de direction placée dans les mains du conducteur.''" * '''L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur le train avant''' : : "''L'avant-train est formé du rond inférieur, de deux armons, de 3 ressorts et d'un essieu situé en arrière de la projection de l'axe de la cheville ouvrière d'une quantité qui peut varier du 1/7 au 1/20 de la distance qui sépare les points de contact des 2 roues d'avant avec le sol. Cette disposition a pour objet d'assurer la stabilité de route, c'est-à-dire de ramener automatiquement, en marche, le parallélisme des deux essieux, lorqu'aucune force ne tend à les maintenir dans une autre position ou qu'un effort momentané les en a écartés.''([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538]) * '''La roue d'artillerie française à moyeu métallique''' : voir supra. **'''1896''' - '''Émile LEVASSOR''' à '''A. C KREBS''' : "''Vous nous autoriseriez gracieusement à employer '''votre système de moyeux de roues''' <ref>'''1890''' - Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=706217&positionResult=19&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=durenne&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afd8be44c19/arko_default_63f47e41d68c8/image/687860|0|8 '''FR2'''00439] - "'''Pompe, à incendie à vapeur, système Durenne et Krebs'''" : "''Le moyeu est en bronze, il porte deux tourteaux tournés sur le périmètre desquels sont percés des trous taraudés pour recevoir les rais. L'extrémité du moyeu du côté intérieur porte une gorge formant réservoir d'huile, entre cette extrémité et la rondelle d'essieu on interpose un cuir d'étanchéité destiné à retenir l'huile et à empêcher la rentrée des sables. L'autre extrémité porte une fraisure et un filetage dans lequel on visse un écrou complètement étanche à l'huile dans laquelle frotte la fusée d'essieu. Les rais sont en acier filetés à un bout s'implantant dans le moyeu, l'autre bout est terminé par une tête tournée, noyée sur le pourtour de la jante en fer profilé. La jante entre librement dans le bandage en fer laminé, l'embattage se faisant à froid. La jante et le bandage sont reliés par autant de boulons à têtes fraisées qu'il y a de rais, l'écrou étant à l'intérieur du bandage''". </ref> pour lequel, puisque vous dites qu'il est très bon, il pourrait être intéressant de prendre un brevet.''" <ref name=1896_Krebs_Levassor /> ** '''1897''' - '''Levassor''' introduit [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 le moyeu] [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 métallique] de A. C. KREBS [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf&page=4 dans son catalogue], et la roue d'artillerie sur sa [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-07_-_Panhard_et_Levassor_-_voiture_de_la_course_Paris-Dieppe_6cv,_2cyl_et_roues_d%27artillerie.jpg voiture de course Paris-Dieppe] en juillet. ** '''1898''' - '''A. C. KREBS''' introduit son propre système de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898_A.C.KREBS_Album-Courses%3D8cv-4cyl_-_Paris-Amsterdam.jpg?uselang=fr roue d'artillerie pour sa voiture de course Paris-Amsterdam]. ** '''1900''' - '''La controverse au sujet des roulements à billes''' ::'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rolling element bearings|'''''Roulements à billes''''']] <br> ::"''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes ne donnaient aucun gain'' [...] ''Sans aucun doute, les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes défectueuses de roulements à billes.''" <ref> '''1900''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/349/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F349%2FstTxt%2F%26&catsel1=stTxt&mot_cat1=krebs&ope5=AND&catsel5=id&mot_cat5=8XAE505&var_solr_qs=2#l-349 '''Congrès International d'automobilisme''']: "''M. le commandant Krebs prétend qu’il a fait monter en course 5 voitures dont deux étaient munies d’essieux patents et trois d’essieux à billes et qu’il n’a trouvé aucune espèce de différence. Les essieux à billes ne présenteraient d’avantages que dans les petites vitesses, ce qui est original''". '''1900''' - [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/794/mode/2up?q=panhard '''Automobile Magazine''']: "''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail réel et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes n'apportaient aucun gain à basse vitesse, et ont également annoncé en termes généraux que la résistance de frottement des roulements de voiture ne constituait qu'une très petite partie de la résistance totale à la propulsion des voitures et que les roulements à billes pour les pièces de voiture, de moteur et de transmission sont presque universellement considérés comme inadaptés à toute utilisation dans les voitures, sauf dans les véhicules les plus légers. Il est certain qu'aucun cycliste n'utiliserait une bicyclette sans roulements à billes, et nos voitures légères américaines à vapeur, qui peuvent être considérées comme ayant atteint une forme standard plus que tout autre véhicule à propulsion mécanique, utilisent des roulements à billes dans les roues, pour le régulateur, pour le vilebrequin et pour les extrémités des manivelles des bielles. Il ne fait aucun doute que les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes de roulements défectueuses''". '''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f49.item.r=l '''OMNIA'''] - "[...] ''Or l'on s'accorde à juger que l'amélioration d'une friction par les billes est de 10 pour 100. Par conséquent le bénéfice procuré par les billes dans ce cas ne pouvait s'appliquer qu'à 500 grammes sur 15000, c'est-à-dire faire descendre l'effort de 15 kilogrammes à 14.950 ''[?!?]''. Le résultat est donc assez pitoyable. Mais la bille ne vaut pas seulement par cette amélioration illusoire du rendement. Son mérite principal consiste dans la commodité de son emploi ; elle rend le roulement pratique. Non seulement elle permet le raccourcissement de la fusée, diminue par conséquent l'encombrement et les chances d'accrochage, mais elle n'exige plus (dans la forme "annulaire" tout au moins) aucun réglage ni pour l'ouvrier qui monte le roulement, ni pour le client qui l'emploie. Son entretien est à peu près nul puisque, si la fusée Brevet demande une nouvelle charge d'huile tous les 150 à 200 kilomètres environ, une fusée à billes roule parfaitement 2 à 3000 kilomètres sans qu'on ait à se soucier d'elle.''"</ref> * '''L'abaissement du centre de gravité du châssis''' : '''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne & Krebs''' : "''Rapprocher le plus possible, du centre de gravité de la voiture, les masses qui la composent, afin de diminuer le moment d'inertie du véhicule dans le plan horizontal. Il en résulte pendant la traction, et, surtout dans les tournants aux grandes allures, une moindre fatigue des essieux et des roues.'''.''" <ref name=portefeuille/> '''1896-09-03''' - '''Emile LEVASSOR''' achète la licence du brevet d'automobile ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538]) de A. C. KREBS avec la boîte de vitesses électromagnétique, la suspension par 3 points, l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] et d'autres innovations. <ref name=1896_Krebs_Levassor /> '''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : "''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique'' [...] ''en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''" <ref>'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : "''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique, je vous assure que c'est une chose à examiner. Et il est bien fâcheux qu'à votre dernier voyage vous n'ayez pu avoir le temps nécessaire pour cet examen. Nous pensons que vous pourriez traiter avec l'inventeur en donnant une somme fixe et en payant une Royalty par voiture. C'est ainsi que nous avons traité. J'espère que vous trouverez occasion de venir à Paris pour établir votre jugement et en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''" ([https://recherche-anmt.culture.gouv.fr/archives/archives/fonds/FRANMT_IR_186_AQ_2006_47/view:fonds/n:3 Archives Nationales du monde du Travail])</ref> ==== La suspension par trois points ==== *'''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne & Krebs''' : "''Le mécanisme est relié au châssis par trois points avec interposition d'une matière élastique permettant la déformation des châssis sans fausser les pièces de l'ensemble. La chaudière est aussi fixée par '''trois points seulement'''.''" <ref name=portefeuille/> *'''1896''' - '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' sur la ''voiture système Krebs'' (voir supra). *'''1898''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) (voir infra). *'''1901''' - Brevet de la boîte de vitesses suspendue par trois points (voir infra). ==== Les systèmes de direction des véhicules ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Steering|'''''Direction (automobile)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Direction (automobile)|Direction (automobile)]] <br>En '''1898''' A. C. KREBS remplace '''la queue de vache de Levassor''' par '''un volant incliné''' dans les voitures de course qu'il conçoit pour la course [[W:Paris-Amsterdam-Paris|'''Paris-Amsterdam-Paris''']] qui se déroule du 7 au 13 juillet 1898. Fernand Charron gagne cette course sur une 4 cylindres Panhard & Levassor. <ref>'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n18/mode/2up?q=lever+steering '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]] : '''''Direction au volant et à levier''''' — "''La direction au volant est la forme la plus répandue et la plus adaptée à la vitesse ou au service en ligne droite, mais pour une utilisation en ville ou sur de courts trajets, le levier, utilisé sur pratiquement tous les véhicules électriques, est le plus pratique. L'impression que la direction à levier ne convient pas, sauf pour les véhicules les plus légers, est fausse, comme le prouve cette utilisation électrique. La maniabilité avec laquelle on peut accélérer avec un levier le place loin devant le volant, tandis que son action est plus rapide et plus sûre en ville et en conduite rapprochée. Qu'il ne faille pas le craindre pour les travaux rapides est prouvé par le fait que la voiture à vapeur Stanley qui a fait le mile le plus rapide en ligne droite il y a quelques années, à Ormond Beach, était une voiture à direction par levier.''"</ref> A cette occasion A. C. KREBS introduit [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard '''la direction irréversible'''] dans la technologie automobile. <gallery> File:1896 - A. C. KREBS Steering-Systems - the electromagnetic gearbox.pdf| '''1896-1903''' - Les systèmes de direction de A. C. KREBS : La [https://www.babordnum.fr/items/show/14115 boîte de vitesse électromagnétique (p. 473)] et [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=US757815A%20panhard le contrôle des vitesses au volant]. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 77|'''1913''' - La "'''''direction irréversible à vis'''''" de A. C. KREBS (p.77). </gallery> === '''Le fourgon électrique d'incendie''' === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Véhicule de lutte contre l'incendie|'''''Véhicule de lutte contre l'incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]], [https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fire_engine Camion de pompier électrique] <br>Dès le 5 juillet '''1895''' A. C. KREBS annonce au Conseil de Paris : "''L’industrie ne construit actuellement que des moteurs de 2 à 3 chevaux. Or, c’est d‘une force de 12 à 15 chevaux qu’il faut au Corps''." <ref> '''05/07/1895''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1895-07-05_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des sapeurs pompiers de Paris.</ref> En conséquuence il conçoit le '''fourgon électrique d'incendie des sapeurs-pompiers de Paris''' qui entrera en service en '''1899''', date de la fin du contrat avec le loueur de chevaux. <gallery> File:Le fourgon électrique (face avant).jpg|'''1899''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.53/0321/100/532/5/416 Le fourgon électrique] (face avant) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''. File:Le fourgon électrique (face arrière).jpg|'''1899''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55325271/f21.item Le fourgon électrique] (face arrière) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''. File:1899 - Pompiers de Paris - Le fourgon d'incendie électrique en reconnaissance avec des lampes à arcs.jpg|'''1899''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62201848/f14.image.r=sapeurs%20pompiers '''fourgon d'incendie électrique'''] conçu par A. C. KREBS '''en reconnaissance avec des lampes à arcs'''. File:1899-The Automobile MAGAZINE The Horseless Fire Engine By Captain Cordier-French Electric Fire Department Wagon.pdf |'''1899''' - "'''The Horseless Fire Engine''' By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier] - '''''French Electric Fire Department Wagon'''''". <ref>'''1899''' - [https://archive.org/details/automobilemaga1189919newy/page/234 The Automobile MAGAZINE]: "''The Horseless Fire Engine By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier]'' - French Electric Fire Department Wagon: '''French Electric Fire Department Wagon''' : "''Paris firemen have also lately been out making successful experiments with the automotor constructed especially for the fire service, after the plans of Colonel Krebs.''".</ref> </gallery> == L'ingénierie automobile chez '''[[w:Panhard|Panhard & Levassor]]''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor|'''''Panhard & Levassor''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Panhard|Panhard]], [[w:Paris-Rouen (automobile)|Paris-Rouen (automobile)]], [[w:Transmission non synchronisée|Transmission non synchronisée]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]], [[w:Chronologie de l'automobile|Chronologie de l'automobile]] <br>'''A. C. KREBS succède à Emile LEVASSOR''' à la direction générale de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f474.image.r=krebs Panhard & Levassor]. De '''1897''' à '''1916''' il transforme la société Panhard & Levassor en fabricant d'automobile le plus profitable avant la 1ère guerre mondiale. "''Au début de '''1897''' ''[en fait le '''03/09/1896'''] <ref name="1896_Krebs_Levassor" />'', je montrai ma voiture terminée et fonctionnant à M. Levassor. Il en fut vivement frappé et me demanda de lui permettre d’en mettre plusieurs en construction dans ses ateliers et de bien vouloir en suivre la fabrication. <ref name=1896_Krebs_Levassor /> Deux mois plus tard ''[le 14/03/1897],'' M. Levassor mourait subitement. Son associé, M. Panhard, transforma son association en Société Anonyme et me demanda d’en prendre la direction.''" <ref name="Krebs_1924" /> Le jour même de cette entrevue [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf '''Emile LEVASSOR achète la licence'''] de la boîte de vitesses électromagnétique du brevet de A. C. KREBS. Cette boîte de vitesses sera construite au moins jusqu'en '''1903'''. "''L’industrie automobile était à ses débuts, son avenir n’était pas douteux et la Maison Panhard & Levassor tenait la tête. Encouragé par la réussite de mes travaux antérieurs et mes goûts personnels'', '''je n’hésitai pas à accepter et à abandonner la carrière militaire pour entrer dans l’industrie'''". <ref name="Krebs_1924" /> <ref> '''1897''' - '''Les dernières appréciations hiérarchiques''' sur A. C. KREBS lors de l'inspection générale des pompiers de Paris. '''Le chef de corps''' : "''Officier supérieur d’une grande valeur qui, sans négliger en rien son instruction militaire, continue à faire bénéficier le régiment de sapeurs-pompiers de ses connaissances scientifiques variées et très étendues en apportant au matériel d’incendie tous les perfectionnements dont il est susceptible. M. le Commandant Krebs est, en somme, un très bon militaire doublé d’un ingénieur distingué''". '''Le général de brigade''' : "''Intelligence vive. Connaissances scientifiques très étendues. Possède, au point de vue de leur application, des aptitudes remarquables. Vigoureux, actif, décidé, et très bien doué aussi, sous le rapport de l’aptitude au commandement, des qualités militaires et des connaissances professionnelles. En résumé c’est un officier d’un mérite supérieur qu’il y a intérêt à faire avancer rapidement.''"</ref> "''J'ai connu '''M. [[w:Gottlieb Daimler|Daimler]] en 1897, lorsque je suis allé lui rendre visite à Cannstadt, en Allemagne''', en octobre. Dans la maison où il habitait, il m'a montré le laboratoire et l'atelier où il avait étudié et construit son premier petit moteur, puis le premier véhicule sur lequel il a fait ses premiers essais.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> === '''Voitures de course''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor racing automobiles|'''''Voitures de course Panhard & Levassor''''']], [[commons:Category:Compétition automobile|'''''Compétition automobile''''']], [[commons:Category:Sport automobile en France|'''''Sport automobile en France''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Compétition_automobile#Histoire|Histoire de la compétition_automobile]], [[w:Compétition automobile avant 1906|Compétition automobile avant 1906]] <br>"''Les débuts ne furent pas sans difficulté. Il fallut d’abord acquérir la sympathie d’un personnel technique très fermé et jaloux de son expérience. Quelques perfectionnements que j’introduisais de suite dans certains organes mécaniques et l’année suivante le succès des 4 voitures de la Maison dans la course "[[w:Paris-Amsterdam-Paris|Paris-Amsterdam]]" (les voitures arrivant premières à toutes les étapes), me gagnèrent la confiance du personnel.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1898 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl - Paris-Amsterdam.jpg|'''1898''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl - Paris-Amsterdam'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''12cv Paris-Bordeaux'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl-80x120-1000rpm.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl 80x120 1000rpm'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=16cv Tour de France.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''16cv Tour de France'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=20cv Paris-Toulouse.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''20cv Paris-Toulouse'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère Paris-Bordeaux.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère - Paris-Bordeaux'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-1.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-2.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=60cv-avec ressort AV transversal.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''60cv with transverse front spring'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=70cv Paris-Madrid.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=vue du moteur.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid - view of the engine'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903~A.C.KREBS Album-Courses=40cv.jpg|'''1903''' ~ Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv'''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> '''Catégories''' : [[commons:Category:1898_Paris-Amsterdam-Paris_race|'''''1898 course Paris-Amsterdam-Paris''''']], [[commons:Category:1904 Vanderbilt Cup|'''''1904 Coupe Vanderbilt''''']], [[commons:Category:1906 French Grand Prix (photographs)|'''''1906 Grand Prix''''']], [[commons:Category:1907 French Grand Prix|'''''1907 Grand Prix''''']], [[commons:Category:Panhard & Levassor type 120CV (1908)|'''''Panhard & Levassor type 120CV (1908)''''']] ==== '''1898''' - [[w:Paris-Amsterdam-Paris|Course '''Paris-Amsterdam-Paris''']] ==== Premiers perfectionnements : * Le volant de direction * La [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0155/100/512/10/458 direction irréversible à vis sans fin et secteur denté] * L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur l'essieu directeur * Les pneus * L'abaissement du centre de gravité ==== '''1904''' - 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] ==== L'américain [[w:George Heath|George Heath]] gagne la 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] à New York sur une [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/search/catch_all_fields_mt%3A%28vanderbilt%201904%29%20OR%20catch_all_fields_et%3A%28vanderbilt%201904%29 voiture Panhard & Levassor] à cardan conçue par A. C. KREBS. <gallery> File:Maurice Farman, vainqueur du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur Panhard.jpg|'''1901''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur une Panhard. File:Maurice Farman, vainqueur du circuit du Nord en mai 1902 (sur Panhard).jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du 'Circuit du Nord' en mai 1902 sur une Panhard. File:Maurice Farman sur Panhard, cinquième au Paris-Vienne 1902.jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], 5° sur la [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Paris-Vienna_race course Paris-Vienne] sur une Panhard. File:Pierre de Crawhez, vainqueur du Circuit des Ardennes en juin 1903.jpg|'''1903''' - Pierre de Crawhez, vainqueur du [[w:Circuit_automobile_des_Ardennes|'''Circuit des Ardennes''']] sur voiture Panhard & Levassor. File:Henri Farman, sur Panhard 100 hp en 1904.jpg|'''1904''' - La [[w:Coupe_automobile_Gordon_Bennett|'''coupe Gordon Bennett''']] : Henri Farman sur Panhard 100 hp. File:George Heath, vainqueur de la première Coupe Vanderbilt 1904 sur Panhard, au circuit de Manhattan (La Vie au Grand Air du 27 octobre 1904).jpg|'''1904''' - '''[[w:George Heath|George Heath]] (N°7), gagnant''' de la première [[w:https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_Vanderbilt|'''coupe Vanderbilt]] sur une Panhard à cardan''', à Manhattan.<ref>'''1904''' - The Automobile MAGAZINE : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1904-11_6_11/page/n5/mode/2up ''"Winning of the Vanderbilt Cup"''].</ref> File:1904 Vanderbilt-Cup=Heath winner on n°7.png|'''1904''' - '''Video''' : [https://www.loc.gov/item/00564552/ Automobile race for the '''Vanderbilt Cup'''] in New-York. File:1905-01-07 - La Vie Parisienne - caricature Heath sur Panhard & Levassor.jpg|'''1905''' - Caricature du '''conducteur de voitures américain, [[w:George Heath|George Heath]]''' sur Panhard & Levassor. File:1905-01 - The AUTOMOTOR JOURNAL - The 120-h.p. Four-cylinder engine of the Panhard-Levassor Gordon-Bennett race car.pdf|'''1905''' - La voiture '''120hp Panhard-Levassor avec transmission à cardan''' de la course Gordon-Bennett. File:Principales victoires Panhard de 1894 à 1905.jpg |'''1894-1905''' - '''Histoire de l'automobile''' ([[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]]) : ''"'''Principales victoires Panhard & Levassor'''"''. <ref>'''1907''' - [[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]] : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5495467j/f784.item.r ''Histoire de l'automobile'']</ref> File:Henry Farman, George Heath and Henri Cissac at the 1908 French Grand Prix at Dieppe.jpg|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henry Farman], [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath] et [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] au '''Grand Prix de Dieppe''' de 1908 sur voitures de course Panhard de 120cv. File:Panhard & Levassor "Biplace Course" - 1908.jpg|'''1908''' - '''Video''' : Le moteur de [https://www.youtube.com/watch?v=JBDunOxO8IY la voiture de course Panhard du Grand Prix] '''conçu par A. C. KREBS'''. File:Paris - Retromobile 2012 - Grand Prix Panhard – Levassor 12.5 Litres - 1908 - 005.jpg|'''1908''' - '''Video''' : [https://www.youtube.com/watch?v=1CmYKxIhJU8 la voiture de course Panhard & Levassor du Grand Prix] '''conçue par A. C. KREBS'''. </gallery> "''Pendant mes 18 années de Direction, je n’ai eu qu’à me louer du concours dévoué de tous mes collaborateurs, que j’ai toujours trouvés disposés à me seconder pour mener à bien les modifications ou dispositions nouvelles introduites dans les organes mécaniques des voitures. ''Il est inutile de les rappeler ici en détail. Celles que je signale volontiers parce qu’elles m’ont procuré de grandes satisfactions personnelles sont : * ''L'[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/121/100/512/10/458 '''équilibrage des moteurs''']; * ''Le '''carburateur automatique''' permettant de faire varier la vitesse du moteur et de lui donner une souplesse que le réglage par tout ou rien ne permettait pas ; * ''Le '''frein dynamométrique''' pour l’essai des moteurs à grande vitesse de rotation, donnant la mesure du travail sur l’arbre suivant la formule de [[w:Frein de Prony|Prony]], en récupérant sous forme électrique 90% environ de l’énergie produite, etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Equilibrage des moteurs === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Mechanical vibrations|'''''Vibrations méchaniques''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Vilebrequin (moteur)|Vilebrequin (moteur)]], [[w:Vibration|Vibration]], [[w:Système bielle-manivelle|Système bielle-manivelle]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1901''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-08_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR306968_-_%27Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quilibrage_des_moteurs_%C3%A0_deux_cylindres%27.pdf '''FR'''306968A] || ''Système d'équilibrage des moteurs à deux cylindres'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423830/publication/GB190114881A?q=GB190114881A '''GB'''190114881A] || ''A System of Equilibrium for Motors Having Two Cylinders'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513025/publication/AT13992B?q=AT13992B '''AT'''13992B] || ''Device for balancing masses in engines with two adjacent cylinders'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002847027/publication/US778542A?q=US778542A '''US'''778542A] || ''System of Equilibrium For Motors'' |- |} === Le "'''''carburateur Krebs'''''" === '''Catégories''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']], [[commons:Category:Engine fuel system technology|'''''Systèmes d'alimentation des moteurs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]] <br>Le carburateur Krebs peut être considéré comme '''le premier [[w:Carburateur|carburateur automatique]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A brevet 1902]) et '''le premier [[W:Carburateur#Carburateur_%C3%A0_d%C3%A9pression|carburateur à membrane]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A brevet 1908]). '''1906''' - "''A l'heure actuelle nous ne maîtrisons pas suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il est possible de transformer en travail seulement une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''" <ref>'''1906''' - Le : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=61 témoignade de A. C. KREBS au procès Selden à New York] : "''XQ96. Vous n'avez cité que le nom de Beau de Rochas. Connaissez-vous d'autres autorités ? R96. Tous ceux qui étudient ce sujet en vue d'en établir la théorie sont intéressants, mais nous ne possédons pas encore suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il n'est possible de transformer en travail qu'une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''" </ref> <gallery> File:1902-11-24 – Académie des sciences - la théorie du carburateur KREBS.jpg|'''1902-11-24''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&page=900 '''La théorie du carburateur Krebs''']: En permettant au moteur à combustion de développer sa puissance en fonction du nombre de tours, le carburateur Krebs lui permet en 1902 '''de gagner la bataille contre les moteurs électriques et à vapeur'''. <ref>Nous pourrions également dire que le carburateur KREBS introduit "'''l'épure de la Tour Eiffel dans la carburation automobile'''".</ref> File:1902-10-11 Krebs Automatic Carburetor (FR325241, GB190222655, US734421A).png|'''1902''' - Le "'''carburateur Krebs'''" est le premier carburateur à dépression constante automatique. File:1903-02-14. scientific-american-v88-n07=Krebs carburetor.pdf |'''1903-02-14''' - '''Scientific-American''' : "The Krebs '''automatic carbureter''' for gasoline engines". File:1910-11-24 motor-age 1910-11-24 18 21=le carburateur Krebs de 1908 est en vogue aux US.png|'''1910''' - '''Motor Age''' : Le [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''carburateur Krebs de 1908'''] avec '''"metering pin"''' est "'''''en vogue'''''" en Amérique. <ref>[https://archive.org/details/sim_motor-age_1910-11-24_18_21/mode/2up?q=krebs '''1910'''-11-24 - '''Motor-Age'''] : "''Le carburateur de type Krebs est en vogue ; il est conçu pour réguler le débit d'essence au moyen d'un pointeau relié à une soupape à membrane.''."</ref> File:1915-09-02 motor-age 1915-09-02 28 10=pub carburateur Longuemare aux US 'En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile' - Copie.png|'''1915''' - '''Motor-Age''' - Publicité [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65121561/f66.image.r=Longuemare Longuemare] : '''En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile'''"''. File:1912 - Brevet Panhard & Levassor FR458736A - Carburateur Krebs sans pièce mobile.pdf|page 3|'''1912''' - Brevet A. C. Krebs de '''carburateur sans pièce mobile''' : [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A]. File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manoeuvre=le carburateur double-corps.pdf|'''1913''' - Le '''carburateur double-corps''' de A. C. KREBS. </gallery> '''1903''' - '''The automobile''' : "''Le but visé est '''un degré constant de carburation à toutes les vitesses''', chaque coup de piston développant la même quantité de puissance, et '''la puissance totale du moteur étant par conséquent directement proportionnelle à sa vitesse'''. De plus, la carburation peut être maintenue à ses limites les plus basses possibles, et elle est parfaitement automatique et indépendante des variations de la température atmosphérique. La carburation est toujours bonne. Le réglage habituel du tableau de bord pour l'air supplémentaire et une alimentation spéciale en air chaud ne sont pas nécessaires : le réchauffement de la chambre de mélange avec l'eau de la chemise du moteur maintient une température constante. '''Le moteur peut fonctionner à une très faible vitesse sans diminuer son efficacité'''. Par exemple, comme le rapporte le ''Automotor Journal'', si le levier de changement de vitesse est placé sur la troisième vitesse, ce qui pourrait normalement donner une vitesse de 50 km à l'heure, et que l'on souhaite tourner à seulement un cinquième de cette vitesse, la vitesse du moteur est réduite à un cinquième, disons de 1 000 à 200 tours par minute ; Bien sûr, la puissance totale est diminuée, mais '''la puissance de chaque coup reste la même'''. '''Le nouveau carburateur Krebs répond donc largement à l'un des principaux besoins du moteur à essence : la flexibilité'''.''" <ref>'''1903''' - '''The automobile''' : [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/140/mode/2up?q=krebs ''The Krebs carburetter''.]</ref> '''1913-05-26''' - Comité de direction Panhard & Levassor : "'' '''Les États-Unis demandent à acheter notre brevet de carburateur 1903''', brevet qui a encore une validité de 5 ans. Nous adressons 2 propositions : 1° Vente du brevet pour 10.000 $, 2° licence pour cash 2000 $, plus 1 $ par carburateur''." <ref>'''1913-05-26''' - [http://rytmo.net/ACK/1913-1915_P&L_CR.html Comité de direction Panhard & Levassor]</ref> '''1919''' - "''Au début du XXe siècle, l'ingénieur français '''Krebs''' inventa ce que l'on peut appeler '''le premier carburateur automatique''' dans lequel le mélange était réglé automatiquement par la vitesse du moteur ; '''une souplesse''' jusqu'alors insoupçonnée était ainsi obtenue. Cette invention a ouvert la voie et inspiré un grand nombre d'autres inventions plus ou moins méritantes'' [...] '''Le type Krebs peut aujourd'hui être considéré comme la forme la plus simple de carburateur qui fonctionne de manière satisfaisante''' et il existe aujourd'hui plusieurs modèles différents fabriqués sur la base du seul principe de la soupape d'air auxiliaire. Dans ces modèles, le problème est résolu de différentes manières.'' [...] ''Bien qu'ils diffèrent tous dans les détails de la conception, ils sont néanmoins '''basés sur le principe de la soupape d'air auxiliaire telle qu'elle a été élaborée à l'origine par Krebs'''. <ref>'''1919''' - '''Motor truck and automobile motors and mechanism''' : "[https://archive.org/details/motortruckandau01rathgoog/page/n90/mode/2up?q=krebs ''A practical illustrated treatise on the power plant and motive parts of the modern vehicle, for owners, operators and repairmen'']."</ref> voir infra: [[w:Arthur_Constantin_Krebs#Carburateurs|Tous les brevets de carburateurs de A. C. KREBS]]. {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] || '''Le carburateur Krebs ''' ([https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 voir supra]) : ''Un carburateur à réglage automatique'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A] || ''Improvements in Oil Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C] || ''A carburator for internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A] || ''Fuel-governor for oil-engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''778542A + '''CA'''83889A] || ''Oil Machine'' |- |} === Frein dynamométrique === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Dynamometers|'''''Dynamomètres''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Dynamomètre|Dynamomètre]], [[w:Frein de Prony|Frein de Prony]] <br>'''1905-11-13''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&page=757 '''Académie des sciences''']: "''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé.''". <gallery> File:1905-12-09 La-Revue-Industrielle=le dynamo-dynamomètre de Krebs.jpg|'''1905''' - La Revue Industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774687p/f572.image.r=krebs '''Le dynamo-dynamomètre de A. C. KREBS''' chez Panhard & Levassor]. File:1907-1908 - Cashier's Magazine - the A. C. KREBS dynamo-dynamometer at Panhard & Levassor.png|'''1907''' - Le '''dynamo-dynamomètre''' de A. C. KREBS : "''Le moteur Panhard & Levassor 24 CV 4 cylindres [https://archive.org/details/cassiersmagazi331907newy/page/272/mode/2up?q=panhard ''connecté au frein et à la dynamo dans la salle d'essai'']". <ref>'''1906-12''' - '''The Electrician''' Vol 58 : [https://archive.org/details/the-electrician-vol-58/page/302/mode/2up?q=%22commander+krebs%22 "'''UN DYNAMOMETRE ELECTRIQUE'''"]. </ref> File:1909-09-02 MOTOR-AGE=SKETCH OF ELECTRIC CRADLE DYNAMOMETER.pdf|'''1909''' - '''MOTOR-AGE''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs Schéma d'un dynamomètre à berceau électrique]: "Le '''''commandant Krebs''''' ''semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau.''". <ref>'''1909-08-26''' - '''Motor Age''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs SCHÉMA D'UN DYNAMOMÈTRE ÉLECTRIQUE À BERCEAU] [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-09-02_16_10/page/30/mode/2up?q=dynamometer suite] : "''Le commandant Krebs, de la société Panhard & Levassor, semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau pour tester les moteurs à essence de voitures, et plusieurs membres de cette société l'ont utilisé avec succès pendant de nombreuses années.''". </ref> File:ITALTEC=5180=dynamomètre.jpg|'''Aujourd'hui''' - De nombreux [http://www.italtec.it/enemm07.htm '''freins et & couplemètres'''] utilisent les principes du frein dynamométrique de A. C. KREBS. </gallery> === La "'''''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''''" et [[w:Adolphe_Clément-Bayard|'''Adolphe CLEMENT''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Clément-Panhard vehicles|'''''Véhicules Clément-Panhard''''']], [[commons:Category:Adolphe Clément-Bayard|'''''Adolphe Clément-Bayard''''']] '''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f516 ''La voiturette Krebs (Panhard & Levassor)''] avec une carrosserie en [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/38/100/512/10/458 partinium]. '''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333426/f16.item 2 VCP au stand Clément] du salon de l'auto à Paris. '''1902-05''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f103.item une VCP exposée au Salon de l'alcool] sur le stand P&L. <gallery> File:Adolphe Clément au Tour de France auto 1899 (cropped).jpg|'''1899''' - '''Adolphe Clément-Bayard''' (1855-1928). File:1899-05-06 THE-AUTOCAR='The light Panhard car' la VCP de P&L.pdf |'''1899-05-06''' - THE-AUTOCAR: "''The light Panhard car''". La ''Voiture Clément-Panhard'' (VCP) est la version mécanique de la voiture système A. C. KREBS à boîte de vitesses électromagnétique. File:1900 VCP=Voiturette Clément créée par le commandant Krebs (Ferrus et Genty=photo du bloc-moteur.jpg |'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v/f177.image.r=krebs Photo du bloc-moteur de la VCP] : "''La Voiturette Clément-Panhard créée par le Commandant Krebs possède les mêmes qualités de fond que les grosses voitures construites dans l'usine dirigée par ce savant ingénieur.''" File:1900~Clément-Panhard-on-1900~the-web=Herbert Farthing collected his Clément-Panhard from the docks at Southampton.jpg |'''1900''' - M. Herbert Farthing a récupéré sa Clément-Panhard (VCP) sur les quais de Southampton. <ref name=VCP /> File:1901 Cycles Automobiles Clément=pub VCP.jpg |'''1901''' - "''Cycles Automobiles Clément''" - Catalogue des voitures '''Clément-Panhard''' (Brevets Panhard & Levassor) conçues par A. C. KREBS. <ref>'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52503781s/f1.item.zoom '''Cycles Automobiles Clément'''] - Publicité pour les voitures '''Clément-Panhard (VCP)''' conçues par A. C. KREBS.</ref> File:1901 - Voiture Clément-Panhard (VCP) - manuel complet et nouvelle carrosserie.pdf|'''1901''' - Voiture Clément-Panhard (VCP) : '''Manuel d'utilisation complet et nouvelle carrosserie'''. File:1901 Panhard & Levassor - advertising postcards for the Voiture Clément-Panhard (VCP).png |'''1901''' - Cartes postales publicitaires pour la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) : "''Qu'attendent-ils ? Ah ! ça ne peut être qu'une ... voiture Clément-Panhard''". File:1899 Panhard et Levassor - la Voiture Clement-Panhard 'The mechanical nightmare'.webm |'''2004''' - Panhard & Levassor '''1899''' - la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) de A. C. KREBS : "'''''Un cauchemard mécanique !'''''".<ref name=VCP /> File:Clement-Panhard Phaeton VGP (1900) jm63708.jpg|'''1898-1902''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) : [http://rbmn.free.fr/TheVoitureClement-Panhard.pdf '''''Article détaillé''''']. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] || '''L'embrayage Krebs à friction''' : ''Perfectionnements aux embrayages'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] || ''Improvements in Friction Couplings'' |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || '''La boîte de vitesses mécanique Krebs [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f235.image.r=panhard à engrenages toujours en prise]''' : ''Perfectionnements aux transmissions avec changement de vitesse'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars'' |- | '''1898''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] || '''Le brevet de Voiture Clément-Panhard avec la régulation du moteur sur l'admission''' : ''Un système de voiture légère à moteur à pétrole'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] || ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- |} === La "''stabilité de route''" === '''Catégories''' : [[commons:Category:Steering|Direction]], [[commons:Category:Direction_(automobile)|'''''Direction (automobile)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Direction_(automobile)|Direction_(automobile)]], [[w:Sécurité active|Sécurité active]], [[w:Tenue de route|Tenue de route]] <br>"''La question de la direction est une de celles que j'ai abordées vers la fin de 1897, dès que j'eus acquis une connaissance suffisante du fonctionnement et de l'organisation de la maison Panhard & Levassor. Ce nouveau dispositif de direction [[w:Panhard|P&L]] n'était autre chose qu'une adaptation de moyens déjà connus et utilisés depuis fort longtemps pour le même objet.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> En ce qui concerne la direction automobile '''A. C. KREBS préconise''' : * La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f389 '''direction irreversible'''] * Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476571r/f8.item '''quadrilatère Jeantaud extérieur'''] de Panhard & Levassor * '''1898''' - A. C. KREBS implémente ses solutions sur ses voitures de la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f662.item.r=panhard '''course Paris-Amsterdam-Paris'''] (cf. infra). === '''L'Exposition Universelle de Paris - 1900''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1900)|'''''Exposition Universelle (1900)''''']], [[commons:Category:Moving sidewalk, Exposition Universelle (1900)|'''''Trottoir roulant, Exposition Universelle (1900)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1900|Exposition universelle de 1900]] <gallery> File:S03 06 01 015 image 1918.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : Vue aérienne, Paris, France. File:Historical images of Place de la Concorde.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : '''Place de la Concorde'''. File:Paris Exposition rolling platform, Paris, France, 1900.jpg|'''1900''' - '''Le trottoir roulant''' à 7 mètres de hauteur, doublé par un chemin de fer électrique circulant en sens inverse. File:Plateforme_mobile,_station_du_pont_des_Invalides.jpg|'''1900''' - '''Plateforme mobile, station du pont des Invalides''' : Les deux trottoirs ne se déplacent pas à la même vitesse. File:1900 - The Paris Exposition Universelle.webm|'''1900''' - '''Video''' : Compilation de séquences de l' '''Exposition universelle de Paris''' constituées de bobines subsistantes. File:Exposition Universelle internationale de 1900 (11Fi 1289).jpg|'''1900''' - '''Hall des Machines''' : La section française. File:1900 - Pompiers de Paris - Les fourgons électriques.jpg|'''1900''' - Sapeurs-pompiers de Paris - '''Les fourgons électriques''' conçus par A. C. KREBS. <ref>'''1901''' - [https://archive.org/details/reportofcommissi05unit_0/page/n285/mode/2up Report of the Commissioner-General for the United States] to the '''International universal exposition, Paris, 1900''' : "''Les véhicules de pompiers exposés en France étaient très nombreux, mais en règle générale, ils n'étaient pas à la hauteur des normes établies par d'autres nations. La seule exception était l'exposition de la ville de Paris, qui contenait plusieurs '''bonnes machines fabriquées dans les ateliers des pompiers'''. Une nouveauté dans cette exposition était '''le véhicule de pompiers électrique'''. La pompe était entraînée électriquement et sur le fourgon se trouvait une batterie de stockage capable de fournir un courant suffisant pour faire fonctionner la pompe pendant dix minutes, après quoi on espère pouvoir établir une connexion avec des fils électriques à proximité de l'incendie et conserver un courant approprié. L'appareil fonctionnait de manière très satisfaisante et il semble à l'auteur '''que de telles pompes électriques devraient trouver un usage étendu dans les villes où les fils électriques se trouvent presque partout'''. La ville de Paris a également exposé une échelle à incendie de fabrication française qui était un modèle à bien des égards.''".</ref> File:S03 06 01 015 image 9903.jpg|'''1900''' - '''La Tour Eiffel''' illuminée. File:Les courses de ballons à Vincennes.jpg|'''1900''' - Les '''courses de ballons''' à Vincennes. File:1908 - Pierre Bonnard et Octave Mirbeau - La-628-E8.jpg|'''1905''' - '''[[w:La 628-E8|La 628-E8]]''' : Premiers raids automobiles. </gallery> ==== Pendant l'Exposition A. C. KREBS est ... ==== * Membre de la [https://archive.org/details/reportofcommissi06unit_0/page/346/mode/2up?q=krebs '''Commission scientifique d'aérostation'''] (Classe 34, Groupe VI) * Membre du comité d'études des [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.image.r=krebs '''mesures de sécurité contre l'incendie'''] * Membre des [https://digital.la84.org/digital/collection/p17103coll8/id/6432 Concours Internationaux d'exercices physiques et de sports]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v.r=%22%20%20Les%20Automobiles%20%C3%A0%20l%27Exposition%20de%201900%22?rk=64378;0# '''Automobilisme'''] (Section VII) * Membre de la '''Commission Internationale de courses Automobiles''' * Secretaire du '''Jury de la commission de mécanique générale, des matériaux et procédés''' (Classe 20, group IV) : Panhard & Levassor standout * Membre du '''Jury des compétitions nautiques''' * Licencié du brevet de voiture [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9395781/f113.item.r=lohner '''pétrole-electrique Lohner-Porsche'''] pour Panhard & Levassor. * Membre du [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/7/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F6%2FstTxt%2F%26&catsel1=stTxt&mot_cat1=krebs&ope5=AND&catsel5=id&mot_cat5=8XAE505&var_solr_qs=2#l-7 '''Congrès international d'automobilisme''' de 1900] et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f10.image.r=krebs 1903] * Nommé '''officier de la Légion d'honneur'''. ==== La rumeur sur le moteur extra-léger du commandant Krebs ==== * '''22/07/1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96060679/f3.image.r=krebs '''La Vie au grand air'''] : "''Il paraît que le commandant Krebs vient de mettre la dernière main à un moteur fort curieux, basé sur des principes tout à fait originaux. Le moteur qui pèseerait à peine le poids d'un douze chevaux ordinaire ferait cinquante bons chevaux''.[...]" * '''27/07/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k560406z/f4.item '''Le Petit parisien'''] : "[...] ''Laissant aujourd'hui de côté le ballon gonflé de gaz et, partant, plus léger que l'air, le commandant Krebs adopte la théorie du plus lourd que l'air. L'aéroplane c'est tout ce que nous avons pu savoir sera composé de plans inclinés et d'hélices mues par un moteur à pétrole de grande puissance. Et, c'est la que réside la difficulté, et qui, nous assure-t-on serait résolue ce moteur extra-léger, ne pèsera que cinq kilos par cheval de force. Disons enfin que l'appareil une fois construit sera probablement piloté par Maurice Farman, bien connu déjà pour ses nombreuses ascensions en hallons libres et ses tentatives de records aéronautiques. Est-ce cette fois que l'atmosphère définitivement vaincue devra, comme les autres éléments, se plier à la volonté du génie humain ? Souhaitons-le, en attendant les expériences du nouveau navire aérien !''" * '''07/08/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5381135s/f2.item '''L'Express du Midi'''] : "[...] ''En l'absence de M. Krebs, un de ses intimes [Ch. de Fréminville] a déclaré à notre confrère [le Figaro] que le commandant a complètement cessé de s'occuper de navigation aérienne, qu'il ne se soucie donc pas de prendre part à la lutte ouverte par les différentes personnalités qui travaillaient à découvrir la direction des ballons. Enfin, que le moteur dont a parlé le Figaro fonctionne déjà, mais n'est pas autre chose qu'un moteur de voiture que les aéronautes évidemment pourront, s'ils le veulent, employer''." ==== La polémique entre les ballons de Santos-Dumont et de Renard & Krebs ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Alberto Santos-Dumont|'''''Alberto Santos-Dumont''''']] * '''11/06/1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6508500m/f13.item '''Le Génie civil'''] - "[...] ''Laissons à chacun son mérite : à [[w:Alberto_Santos-Dumont|M. Santos-Dumont]], le sang-froid, l'agilité qui le font sortir indemne de tous les périls, et que surexite sans doute un certain amour de la renommée ; à MM. Renard et Krebs, la science réfléchie qui n'accepte que les solutions mûries sagement et ne sacrifie pas à la vaine réclame. On aura beau faire et dire, ce n'est pas ce qui leur enlèvera l'honneur d'être, et pour toujours, les véritables créateurs du ballon automobile'' [...]." * '''1905''' - [https://archive.org/details/standardlibraryo00unse/page/36/mode/2up?q=krebs '''Standard libray of knowledge'''] : "''Not only M. Santos-Dumont, but the whole body of airship inventors through¬ out the world are profoundly interested in the subject. France is the leading country in practical aerial navigation, but Germany,England and other countries are giving much attention to the subject. One of the most notable air vehicles is the balloon “ La France,” the invention of the brothers Colonel and Major Renard and of Major Krebs, of the French army. '''It is claimed that this machine in 1884 fulfilled the conditions established for the Deutsch prize, which Santos-Dumont won in Paris'''. Motors were at that time only in a rudimentary stage of develop¬ ment. Many Frenchmen declare that if “La France”could have taken part in this competition it would incontestably have won the prize of twenty thousand dollars. Colonel Renard was occupied with his military duties and was absolutely prevented from taking part''." === Recherches métallurgiques avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de FREMINVILLE''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Fractography|'''''Fractographie''''']], [[commons:Category:Material cracks|'''''Rupture des matériaux''''']], [[commons:Category:Vanadium|'''''Vanadium''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fragilité|Fragilité]], [[w:Faciès de rupture|Faciès de rupture]], [[w:Fatigue (matériau)|Fatigue (matériau)]], [[w:Rupture (matériau)|Rupture (matériau)]], [[w:Vanadium|Vanadium]] <br>"''En '''1898''', je pris auprès de moi, pour me seconder, mon beau-frère M. [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|Charles de Fréminville]], ingénieur des Arts et Manufactures, qui s’occupa plus spécialement de la partie administrative des ateliers, de l’organisation du travail, du choix et traitement des métaux employés dans la fabrication, etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> "''Il lui fallut faire son choix parmi des métaux alors nouveaux et dont les qualités et les défauts étaient peu connus et souvent mal compris. La construction et le fonctionnement de l'automobile firent naître une nouvelle conception de la résistance des matériaux.''." <ref> '''1926''' - '''Mechanical engineering''' : [https://archive.org/details/mechanicalengine42amer/page/72/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 CHARLES DE FREMINVILLE ÉLU MEMBRE HONORAIRE DE LA A.S.M.E.]</ref> <gallery> File:1909 FORD-T=publicité avec l'acier au vanadium.png|'''1905''' - '''Henry FORD''' : ''"'''Il me semblait que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que ce que nous pensions.'''. Après l'accident ''['''d'une voiture de course Panhard''']'' J'ai récupéré une petite tige de soupape ''['''fabriquée avec du vanadium''']''. C'était très léger et très solide.''" <ref name=vanadium /> File:1906-12-06 Motor-Age=analyse des métaux utilisés dans les voitures P&L.png|'''1906''' - '''TEST OF A PANHARD GEAR''' : "''Il arriva bientôt que les ingénieurs automobiles américains commencèrent à se demander pourquoi, dans une voiture étrangère, une pièce donnée fonctionnait parfaitement alors que dans une voiture américaine, la même pièce de même taille, effectuant un travail identique, se déformait.''" [<small>...</small>] <ref>[https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-06_10_23/page/n113/mode/2up?q=panhard '''1906'''-12-06 - '''Motor-Age'''], [https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-13_10_24/page/16/mode/2up (Suite)] : "''Produits sidérurgiques étrangers pour moteurs''".</ref> File:1913-03-20 Ch-de-Fréminville=croquis de la vue de sa chambre du 12° étage de l'hôtel Belmont à New York.jpg|'''1913''' - While in the United States to study the Taylor method, '''Ch. de Fréminville''' to his wife:"'''''All these people''''' [the Packard factory in Detroit] '''''slavishly copied the parts that Arthur ''[KREBS]'' designed, and executed them with the metals that I chose'''''". [<small>...</small>] <ref name=Fréminville /> File:1919 - Charles de Fréminville=Portrait.jpg|'''1919''' - '''Charles de Fréminville''' (1856-1936) : Ce portrait a été exécuté par un photographe américain pendant son séjour aux USA dans le cadre de ses recherches sur la méthode Taylor, peu après son départ des usines '''Panhard & Levassor''' où il travaillait depuis '''1899''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''. [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville'']. File:2009 G. Quinn='A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS'=chronology with Charles de Fréminville.jpg|'''2009''' - [https://www.scientific.net/KEM.409.1 'A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS' (G. Quinn)]: Chronologie avec '''Charles de Fréminville''' quand il travaillait chez '''Panhard & Levassor''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''. </gallery> '''1904''' - '''The brittleness of steel''' ([[w:Henry_Le_Chatelier|H. Le Chatelier]]) : "''M. '''de Fréminville''' a découvert cette particularité qu'après avoir été soumis à un certain traitement thermique, certains aciers spéciaux nécessitaient pour être rompus transversalement au choc, une quantité d'énergie bien supérieure à celle requise dans les essais de traction ordinaires''." <ref>'''1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61950g/f9.item.r=freminville '''The brittleness of steel'''] (H. Le Chatelier)</ref> '''1913-04-04''' - '''Ch. de Fréminville à sa femme''' : "J'ai réalisé ''' le projet que j'avais fait de mouler le trou fait par une balle dans la glace du [https://carriagemuseumlibrary.org/wp-content/uploads/2014/06/heal16.jpg building du Général Healey] [à New York]'''. Le [https://carriagemuseumlibrary.org/home/library-archives/carriage-manufacturers/healey-company-of-new-york/ General Healey] m'a du reste fait remarquer qu'il y en avait autant sur presque toutes les glaces de son building. Il y a un grand choix. J'avais été hier faire ma provision de plâtre chez un italien. Quel quartier ! C'est pourtant à deux pas du quartier chic et ce n'est pas un quartier mal réputé. Mon moulage a admirablement réussi. J'ai cru qu'il allait y avoir un attroupement considérable derrière la glace pendant que j'opérais en manches de chemise - comme un bon Américain. '''Et tous ces gens là ne savaient pas ce qu'ils regardaient et n'auraient jamais regardé une cassure'''. Heureusement que deux pompes à vapeur [d'incendie] ont passé coup sur coup. Tous ces admirateurs m'ont abandonné." <ref name=Fréminville /> '''1915''' - C. DE FREMINVILLE quitte Panhard & Levassor <ref name=CdF/> Chevalier légion d'honneur * 1899: Laboratoire de mécanique et laboratoire de chimie * 1900: Essais de résistance des aciers durs aux chocs * 1901-06-03 - L'acier au nickel * 1902: cylindres en acier forgé * L'acier au vanadium * L'acier au cobalt (stellite) {| class="wikitable" |- ! Date !! Review !! Article |- | '''1903''' || Association internationale des Méthodes d'essais des matériaux de construction || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475620g/f15.image.r=FREl%20IINVILLE L'essai au choc ou choix des métaux] |- | '''1906''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/07/metal19060307p423/metal19060307p423.html Essai d'une scie sans dents pour le sectionnement d'aciers durs ordinaires et d'aciers à outils] |- | '''1906''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/03/metal19060303p109/metal19060303p109.html Influence des vibrations dans les phénomènes de fragilité] |- | '''1907''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1907/09/metal19070409p833/metal19070409p833.html Caractères des vibrations accompagnant le choc déduits de l'examen des cassures] |- | '''1908''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1908/06/metal19080506p329/metal19080506p329.html Remarques sur les rebondissements d’une bille et les renseignements qu’ils peuvent donner sur la dureté et l’élasticité des corps] |- | '''1914''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1914/09/metal19141109p971/metal19141109p971.html Recherches sur la fragilité — L’Éclatement] |- |- | '''1918''' || Scientific American Supplement || [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] |- |- | || || [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-26_86_2234/page/264/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—II - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] |} === Bateaux à moteur et bateaux de course avec [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_aéronautique)|'''Alphonse TELLIER''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Motorboats|'''''Bateaux à moteur''''']], [[commons:Category:Hull speed|'''''Vitesse de coque''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Bateau à moteur|Bateau à moteur]], [[w:Motonautisme (sport)|Motonautisme (sport)]], [[w:Coque_(bateau)|Coque_(bateau)]], [[w:Vitesse de coque|Vitesse de coque]], [[w:Hélice#Hélice_marine|Hélice_marine]], [[w:Hélice à pas variable (marine)|Hélice à pas variable (marine)]] <br>'''1895''' - A. C. KREBS fut le principal promoteur de la navigation automobile en Europe dès '''1895'''. <ref>'''1902''' - [https://archive.org/details/lemondemoderne15pari/page/344/mode/2up?q=krebs '''Le Monde moderne''', p345]: "''Il faut attendre '''1895''' pour assister à l'entrée en scène sensationnelle d'un canot automobile dans les concours. '''Le commandant Krebs fut l'un des promoteurs les plus hardis de la navigation mécanique''' : ce fut en effet grâce à ses études et à ses encouragements que la société Panhard et Levassor construisit un moteur de 16 chevaux, capable de donner une vitesse de 18 kilomètres au canot sur lequel il était monté ; le jour où on le vit à Meulan, aux régates du "[https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_la_voile_de_Paris Cercle de la Voile]", fut une date importante dans l'histoire de ce sport.''"</ref> '''1903-12''' - '''Automobile Magazine''' : "''Là où la vitesse prime : Prenons comme excellent exemple ce nouveau type de bateau de course, le '''Lutece'''''".<ref>'''1903-12''' - Automobile Magazine : " [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1903-12_5_12/page/1128/mode/2up?q=panhard ''Là où la vitesse prime'']."</ref> 1904-02-27_10_The-Automobile='Auto Boats at the Sportsmen’s Show.' : The Panhard boat furnishes the same tune in its engines as in automobiles. When running, the four-cylinder motor throbs with that rythmic sound so soothing to the motorist. <gallery> File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - le canot PHENIX à moteur Panhard & Levassor.jpg|'''1900''' - Industrial '''uses of alcohol''' : the '''''PHENIX launch''''' with Panhard & Levassor motor '''designed by A. C. KREBS'''. File:1901-11-08 - Yachting-gazette - le canot automobile "Rolla V" à moteur Panhard & Levassor.png|'''1901''' - Yachting-gazette: the motorboat "'''''Rolla V'''''" with '''Panhard & Levassor engine''' designed by A. C. KREBS. <ref>'''1902-03-01''' - Scientific American - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard '''THE MARINE AUTOMOBILE''']: ''LA RÉCENTE INVENTION FRANÇAISE DU CANOT AUTOMOBILE''.</ref> File:Btv1b84333441-p094.jpg |'''1902-05-20''' - A. C. KREBS est à la barre du canot de course '''''Centaure''''' à moteur Panhard & Levassor. <ref>'''1902''' - [[w:Jules_Beau|Jules Beau]] - Photographie sportive : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f93.item '''LUTECE'''] 60cv (Panhard & Levassor), "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f92.item ''La course des bateaux automobiles.] Sont présents : MM. Rives, [[W:Louis_Pierron|Pierron]], venus en automobile avec le '''Commandant Krebs''', Famechon, [[W:Charles_Renard|Colonel Renard]] ''[en chapeau clair]'', [[W:Auguste_Trillat|Trillat]], Amiot, [[W:Gaston_Menier|Gaston Menier]] venu avec son Yacht, [[W:Henri_Paillard|Paillard]], [[W:Pierre_Lafitte|Lafitte]], [[W:Alfred_Morel-Fatio|Morel-Fatio]], etc.''"</ref> File:1902 A. C. KREBS=Hélice réversible (FR306968).jpg|'''1902''' - Le système Krebs d' '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs hélice à pas variable] : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A]. File:1902-03-01 - Scientific American (v86-n09) - canot Rollo à moteur Panhard & Levassor.png|'''1902''' - Scientific American : Le canot "'''Rollo'''" à moteur Panhard & Levassor. <ref>'''1902-03-01''' - '''Scientific American''' : [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard The Marine Automobile] : "''Il est tout à fait naturel que le sport des courses de vedettes ait été baptisé en France, berceau de l'automobile pour les Français, même si, en tant que nation, ils ne sont pas très doués en voile, mais jouissent d'une réputation bien méritée dans le domaine des embarcations légères de plaisance''.".</ref> File:1903-11 - Panhard & Levassor - Motorboat 'Vingt et Un'.jpg|'''1903''' - Four views of the motorboat '''''Vingt et Un Ist''''' in '''New-York''' while A. C. KREBS was managing the '''Panhard & Levassor''' Co. <ref>'''1903-11''' - '''''Vingt-et-un I''''' motorboat : 4 cyl. '''Panhard & Levassor''' conçu par A. C. KREBS - '''42 km à l'heure'''. Architecte : [https://hydroplanehistory.com/other/clinton_cranes_yachting_memories_1952.html#1 Clinton CRANE]. Propriétaire : [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/object/islandora%3A226649 Smith & Mabley].</ref> File:1904 the PANHARD II motor-boat plans.jpg |'''1904''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-03-12_90_11/page/212/mode/2up?q=panhard '''''PANHARD II''''' : "''A complete French auto boat equipment in an American hull.''"] <ref>[[W:Mystic_Seaport|'''Mystic Seaport Museum''']] : "''Le [https://store.mysticseaport.org/products/panhard-i-racing-launch canot de course Panhard de 1904] est un bateau en bois construit à la main, dont '''la coque en forme de nacelle, parfaitement arrondie, semble d'une modernité incroyable pour une construction de cette époque'''. Il illustre comment les formes nécessaires à la vitesse, fruit naturel de l'ingénierie hydrodynamique, sont devenues aussi belles que fonctionnelles. Utiliser les bateaux de la collection pour montrer l'évolution de ces formes et leur influence sur les innovations dans la conception des avions, des bus, des trains et des automobiles est une excellente façon de relier la collection au monde extérieur. Le Panhard vaut à lui seul le détour lors de cette exposition. D'une beauté à couper le souffle, il est unique en son genre parmi les vestiges de 1904. Il m'a fait reconsidérer complètement ma conception du démodé''."</ref> File:1904 Jules-Beau - La Rapée III aux courses de canots automobiles à Juvisy.jpg|'''1904''' - La '''''Rapée III''''' à '''moteurs Panhard & Levassor''' aux courses de canots automobiles à Juvisy. File:Hydroplane, comte de Lambert (essais sur la Seine) - btv1b53114139t.jpg|'''1904''' - '''Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46265842/f3.image.r=krebs bateau glisseur] du [[w:Charles_de_Lambert|comte de Lambert]]''' avec '''l'hélice à pas variable''' de A. C. KREBS. File:1904 'Auto boat race on the Hudson'.jpg |'''1905''' - Video: The motor-boat '''''PANHARD II''''' participating in '''nautical races in America'''. <ref>'''1905''' - "[https://www.loc.gov/item/00563586/ ''Auto boat race on the hudson'']."</ref> File:1905 - AUTOMOTOR - The new 6-cylinder Panhard-Levassor petrol marine engine 150HP.png|'''1905''' - The '''6-cylinder''' Panhard-Levassor petrol '''marine engine 150HP''' for racingboats. File:1905-04-20 - La Vie Au Grand Ai - les canots "Panhard & Levassor" et "Rapière I" à Monaco.jpg|'''1905''' - La Vie Au Grand Air - The launchs "'''Panhard & Levassor'''" and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96066073.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=21459;2# "'''Rapière I'''"] in Monaco. File:1906-01-05 - La Locomotion Automobile - le bateau de course "La Rapière I".jpg|'''1906''' - Automobile Locomotion: the racing boat [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53730474/f240.image.r=rapiere “'''La Rapière I'''”]. File:1907-01-01 Le Monde Illustré - le bateau de course Panhard-Tellier I et La Rapière II à Monaco.jpg|'''1907''' - Le Monde Illustré: the racing boats [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f280.image.r=rapiere '''''Panhard-Tellier I'''''] and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96395619.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=171674;4 '''''La Rapière II'''''] in Monaco with '''Panhard & Levassor engines'''. File:1907-01-05 Le Monde illustré - la vedette Récopé avec l'hélice réversible de A. C. Krebs.jpg|'''1907''' - Le Monde illustré : "'''''La vedette lance-torpille du [[w:Edmond_Récopé|Comte Récopé]]'''''" avec '''l'hélice réversible de A. C. KREBS'''. <ref>'''1907''' - '''''Le Monde illustré''''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f386.image.r=recope# La vedette lance-torpille du Comte Récopé]". '''''La Nature''''' : "[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.72/240/60/671/5/660 La vedette : lance-torpille]". '''''La Locomotion automobile''''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f13.image.r=recope La vedette Récopé en vitesse]" ; "Une application de la locomotion automobile : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f39.image.r=recope la vedette Récopé]". '''''Scientific American Supplement''''' : "[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs A torpedo-boat driven by kerozene]".</ref> File:1907-1908 - The Alphonse Tellier glider « La Rapière III » with 1 Panhard & Levassor engine.pdf|'''1907-1908''' - The Alphonse Tellier glider '''''La Rapière III''''' with a '''Panhard & Levassor engine''' designed by A. C KREBS. File:1908-04-09 - 1er tour du Panhard-Tellier (la-Rapière III) à Monaco.jpg|'''1908''' - 1st lap of the Panhard-Tellier '''''la Rapière III''''' glider in Monaco. File:1909-04-02 - Pall Mall illustration - Le Panhard & Levassor 56,250 kmh.jpg|'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4522079j/f1.item.r=rapiere Pall Mall illustration]: The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98156242/f257.image.r=panhard "'''Panhard & Levassor'''"] (35 mi/h) in Monaco. File:Meeting de Reims - le constructeur Tellier - btv1b9019310s.jpg|'''1910''' - '''Alphonse Tellier''' (1879-1929). File:1913 - Monaco - l'hydroplane 'MOTOCRATIC' avec 2x8cyl. 75kmh Panhard & Levassor.jpg|'''1913''' - Monaco: the hydroplane '''''MOTOCRATIE''''' with '''2x8cyl. 75kmh Panhard & Levassor''' designed by A. C. KREBS. File:1914-04-18 - La Vi e Au Grand Air - Le canot Panhard-Tellier II à moteur 24cyl.pdf|'''1914''' - La Vie Au Grand Air : The '''''Panhard-Tellier II''''' racer. 2 Panhard & Levassor 12cyl. engines: '''24cyl''', '''1400hp'''. </gallery> '''1902''' - L' '''hélice à pas variable''' system A. C. KREBS : {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1903''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382609/publication/FR332993A?q=FR332993A '''FR'''306968A] || The Krebs variable pitch propeller: ''Variable -to -step propeller'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A] || ''Improvements in and relating to Screw Propellers'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A] || ''Screw-Propeller'' |- |} === La voiture hybride avec [[w:Ferdinand_Porsche|'''Ferdinand PORSCHE''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Hybrid-powered vehicles|'''''Véhicules hybrides''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Véhicule hybride|Véhicule hybride]], [[w:Automobile hybride électrique|Automobile hybride électrique]], [[w:Liste d'automobiles hybrides électriques|Liste d'automobiles hybrides électriques]] <br>'''07-07-1900''' - A. C. KREBS dépose le brevt [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] : "''Système de régulateur électromagnétique agissant sur les soupapes d'admission pour moteurs à hydrocarbure''" ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 '''US'''691638], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149303/publication/GB190016291A?q=GB190016291 '''GB'''190016291]). '''10-1900''' - A l' '''Exposition Universelle de Paris''' A. C. KREBS remarque la voiture hybride "''Semper vivus''" de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lohner%E2%80%93Porsche Lohner-Porsche] et achète la license du brevet de moteur électrique dans les roues [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149816/publication/GB190018099A?q=pn%3DGB190018099A ('''GB'''190018099)] pour Panhard & Levassor, pour la France, la Grande-Bretagne et l'Italie. <ref>'''1903''' - Le congrès international de l'automobile de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f368 Rapport de M. Louis Lohner sur les voitures pétroléo-électriques].</ref> '''24/01/1903''' Scientific-american - '''La Panhard et Levassor système Lohner-Porsche''' : "''... La plus novatrice de toutes est une voiture-tonneau '''Lohner-Porsche''', de 28 chevaux, à essence et électrique, avec des moteurs électriques dans les moyeux des roues avant, qui dirigent également la machine. Un moteur à essence directement relié à une dynamo fournit l'énergie nécessaire à la production d'électricité pour faire fonctionner la voiture, tout courant superflu étant envoyé dans une batterie de stockage, qui fournit l'énergie supplémentaire en fonction des besoins. La voiture aurait 14 vitesses différentes, dont la vitesse maximale est de 77 km par heure. Ce système a connu un tel succès que la '''société Panhard''' a acheté les brevets et fabrique des machines''". <ref>'''1903-01-24''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1903-01-24_88_4/page/62/mode/2up?q=lohner Scientific American] : "''[...] La voiture posséderait 14 vitesses différentes, la vitesse maximale étant de 77 km à l'heure''."</ref> <gallery> File:Ferdinand Porsche.jpg|'''Ferdinand porsche''' (1875-1951). File:1903 Lohner-Porsche=Krebs achète la licence du brevet Lohner-Porsche.pdf |'''1900''' - The [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GenevaMotorShow2011.jpg "''Semper Vivus''" hybrid car] seen by A. C. KREBS during the Paris Exposition Universelle. Krebs acquired the Brevet licence for Panhard & Levassor. File:1903-01 AUTOMOTOR-JOURNAL= "A 15-HP LOHNER-PORSCHE PETROL-ELECTRIC CAR" with Panhard & Levassor engine.jpg |'''1903-01''' - "''A 15-HP Lohner-Porsche petrol-electric car''" with Panhard & Levassor engine and [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 the KREBS "''Electromagnetic regulator for admission-valves''" (Brevet '''US'''691638)]. <ref>'''1904''' - YEARBOOK OF THE AUTOMOTIVE AND MOTORBOAT INDUSTRY (Berlin) : [https://archive.org/details/bub_gb_aTpNAAAAMAAJ/page/285/mode/2up?q=panhard '''Automobiles à transmission électrique de Lohner-Porsche et Panhard & Levassor''']</ref> </gallery> === [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard La '''technologie automobile'''] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:History of technology|'''''History of technology''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de l'automobile|Histoire de l'automobile]] et [https://en.wikipedia.org/wiki/Brass_Era_car Brass Era car] ===='''A. C. KREBS perfectionne le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f473.image.r=panhard "Type Panhard"''']==== A. C. KREBS marque '''une profonde emprunte dans l'architecture de l'automobile''' jusqu'à aujourd'hui. :{| class="wikitable" |- | '''Moteur vertical à l'avant''' || Levassor |- | '''Radiateur devant le moteur''' || Krebs |- | '''Transmission en ligne''' || Levassor |- | '''Propulsion arrière''' || Levassor |- | '''Embrayage dans le volant moteur''' || Levassor |- | '''Moteur équilibré''' || Krebs |- | '''Régulation sur l'admission''' || Krebs |- | '''Volant de direction''' || Krebs |- | '''Direction irréversible''' || Krebs |- | '''L'angle de chasse''' || Krebs |- | '''Boîte de vitesses à train baladeur''' || Levassor |- | '''Emplacement des pédales''' || Levassor |- | '''Levier de changement de vitesse et de marche''' || Levassor et Krebs |- | '''Chassis en bois armé''' || Levassor |- | '''Roues en bois''' || Levassor |- | '''Roue d'artillerie''' || Krebs |- | '''Freins à mâchoires''' || Krebs |- | '''Carburateur automatique''' || Krebs |- | '''Joints élastiques''' || Krebs |- |} '''1899''' - A. C. KREBS introduit dans l'architecture de l'automobile '''le radiateur à l'avant, devant le moteur''' sur sa voiture de course Paris-Bordeaux. Il étend ce choix à toute la gamme Panhard & Levassor. <ref> À l'orée de la guerre de 1914 la position du radiateur n'est pas tranchée : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f58.image.r=radiateur 1909], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f289.image.r=radiateur%20a%20l 1912].</ref> <gallery> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - La voiture de course Paris-Bordeaux conçue par A. C. KREBS avec '''le radiateur à l'avant'''. </gallery> '''1904''' - "[...] ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai conduit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. '''Sans fausse modestie, '''je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme'''. ''[...] ''Répétons-le constamment, soyez prudents''." <ref>'''1904-07-09''' - '''L'Auto-vélo''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4626643g/f3.image.r=krebs '''L'Enquête sur le pneumatique'''] : ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai condit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme''. [...] Malheureusement, je dois le dire, beaucoup de chauffeurs connaissent peu ou prou leur voiture. Sur une belle route de campagne, ils cèdent à la griserie de vitesse, perdant la notion exacte des choses, virent court sans ralentir, sont ebntraînés par la force centrifuge, le pneu, cette fois, subit un travail d'échauffement et d'arrachement ausuel il semble naturel qu'il ne puisse résister. Alors, dans ce cas, c'est évident, l'homme devient encore plus affolé que sa machine, et c'est la cabriole finale qui se termine plus ou moins mal. En somme s'il n'y avait pas de pneumatiques, les imprudents ou les maladroits seraient victimes des mêmes accidents. Répétons-le constamment, soyez prudents''."</ref> '''1911''' - Panhard & Levassor introduit en France la '''''"voiture complète"''''', avec '''carrosserie de série'''. ==== Recherches sur la régulation des moteurs à essence ==== * '''1898''' - La régulation sur l'admission : '''FR'''284596 : Sur son moteur de la Voiture Clément-Panhard A. C. KREBS ajoute sur la soupape d'admission automatique un étranglement commandé par un régulateur à boule. * '''1899''' - Le carburateur à niveau constant : '''FR'''295792 * '''1900''' - La régulation électromagnétique des soupapes d'admission : '''FR'''301991 * '''1900''' - Le carburateur Centaure à étranglement : '''GB'''190016467A * '''1902''' - Les soupapes à cames extensibles : '''FR'''322489A * '''1902''' - Le carburateur automatique : '''FR'''325241A * '''1902''' - L'avance à l'allumage au volant : '''FR'''327527A * '''1903''' - Perfectionnements au carburateur automatique : '''FR'''333127A * '''1906''' - Le régulateur hydraulique sur le carburateur * '''1908''' - Le carburateur automatique à aiguille : '''FR'''401546A * '''1909''' - Les soupapes concentriques pour l'aviation : '''FR'''414413A * '''1912''' - Le système de sans-soupapes à boisseaux : '''FR'''440438A * '''1913''' - Le carburateur automatique sans pièce mobile : '''FR'''458736A * '''1913''' - Le carburateur double-corps : cf. infra ==== [https://fra.wiki/wiki/Categoria:Motori_Panhard Moteurs] ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']], [[commons:Category:Internal combustion engine|'''''Internal combustion engine''''']], [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à quatre temps|Moteur à quatre temps]] <br>In '''1900''', A. C. KREBS designed the '''''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure Centaure engine]''''' with the aim of freeing itself from the royalties owed to Mme Levassor on the Daimler engine. '''1902''' - À la demande d'une commission parlementaire, A. C. KREBS fait [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64676929/f871.image.r=krebs '''une étude sur l'utilisation de l'alcool dans l'automobile''']. Suite à ce rapport il est décoré [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k286013f/f3.image.r=krebs chevalier du Mérite agricole]. In '''1909''', he became interested in the '''Knight Brevet''' ([[w:Soupape_(moteur)#Système_Charles_Yale_Knight|moteur sans-soupape]] engine) and was first in France to build that type of engine which Panhard et Levassor would produce during the thirty years leading up to World War II. <gallery> File:1900 - Manuel théorique et pratique de l'automobile (Lavergne) - moteur Phenix.jpg|'''1895''' - The Daimler-Maybach [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&page=164 '''Panhard-Phenix''' engine]. <ref>'''1897''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1897-01-30_43_1100/page/17588/mode/2up?q=panhard Some '''New Horseless Carriages''' - "''Le Phénix de MM. Panhard & Levassor, qui, de l'avis des experts en la matière, peut être considéré comme approchant la perfection''"]. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/306/mode/2up?q=phenix Self-propelled vehicles].</ref> File:1900 - Les automobiles à l'Exposition - Le moteur KREBS.jpg|'''1898''' - "'''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9780698h/f613.image.r=krebs The KREBS engine]" with intake regulation''' before the appearance of the butterfly valve. File:1900-07-21 - Brevet du moteur "Centaure" Panhard & Levassor (FR302402, GB190200673A).png|'''1900''' - Panhard & Levassor "[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/214/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']" motor Brevet ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''FR'''302402] , [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] ) designed par A. C. KREBS. File:1901 - Moteur Centaure de Panhard & Levassor.jpg|'''1901''' - " [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']" engine from Panhard & Levassor '''designed by A. C. KREBS'''.<ref>'''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=centaure Self-propelled vehicles]: "''La demande de voitures rapides et puissantes a très vite conduit à la production de moteurs à quatre cylindres, parmi lesquels https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=centaure '''''le Centaure de Panhard-Levassor est le type]'''''." </ref> File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 57|'''1901''' - The A. C. KREBS "'''''engine three points suspension system'''''". File:1903-1916 - Cours complet d'automobilisme - le moteur 3 cyl. Panhard & Levassor.jpg|'''1903''' - The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5863731g/f22.item.r=panhard# Panhard & Levassor '''3 cyl. engine'''] designed by A. C. KREBS. <ref>'''1904'''-01-30- Scientific American: "''Les avantages du moteur à trois cylindres sont depuis longtemps mis en avant dans ce pays par M. '''Charles E. Duryea''', qui utilise ce type de moteur avec succès depuis sept ans ; tandis qu’en France,[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-01-30_90_5/page/80/mode/2up?q=panhard '''Panhard & Levassor''' a lancé l’année dernière une voiture à trois cylindres], et '''la déclaration en faveur du moteur à trois cylindres par cette firme renommée a largement contribué à attirer l’attention des automobilistes sur ses atouts'''''."</ref> File:1905 - Les Sports Modernes - le moteur Panhard & Levassor Centaure allégé.jpg|'''1905''' - The Panhard & Levassor '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure_all%C3%A9g%C3%A9 lightweight Centaure engine]''' designed by A. C. KREBS. File:1909 - Salon de l'Olympia - le moteur 6 cylindres de Panhard & Levassor.jpg|'''1909''' - le moteur 6 cylindres Panhard & Levassor, conçu par A. C. Krebs, au Salon de l'Olympia File:1910-07-15 - La Locomotion - Le moteur Sans-soupapes Panhard & Levassor.pdf|'''1910''' - [https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_avalve_Panhard_a_4_cilindri The Panhard & Levassor '''valveless engine'''] chain driven designed by A. C. KREBS from the Knight Brevet. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 36|'''1910''' - Panhard & Levassor valveless engine "'''''distribution plan'''''". File:1911 - FR440438A - A. C. KREBS valveless engine patent.pdf|'''1911''' - [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A]: The '''valveless engine Brevet of A. C. KREBS''' for Panhard & Levassor. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 53|'''1912''' - Panhard & Levassor valveless engine "'''''splash lubrication'''''". File:1912-07 - Omnia - 18 HP 6-cyl Panhard & Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f42.image.r=panhard 18 HP 6-cyl.] Panhard & Levassor. File:1912-07 - Omnia - 10 HP (X19) Panhard & Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805926n/f246.item.r=panhard 12 HP] the first A. C. KREBS "'''Motor block'''". File:Panhard & Levassor 6 Zyl. Motor um 1913 2.pdf|'''1913''' - [https://bibliotheques-specialisees.paris.fr/ark:/73873/pf0002119031/v0053 28-35 HP 6-cyl.] Panhard & Levassor. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || ''Improvements to transmissions with speed change '' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars'' |- | '''1898''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] || '''The VCP Brevet''' (voir supra) : ''A petroleum-powered light car system'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] || ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f389.image.r=panhard '''Electromagnetic intake valves''']: ''Electromagnetic regulator system acting on the intake valves for hydrocarbon engines'' (voir supra) |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003503578/publication/AT9519B?q=AT9519B '''AT'''9519B] || ''Electromagnetic control device for hydrocarbon engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638A '''US'''691638A] || ''ELECTROMAGNETIC REGULATOR FOR ADMISSION-VALVES OF HYDROCARBON-MOTORS'' |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''FR'''302402] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/168/100/512/10/458 '''Le moteur Centaure de A. C. KREBS'''] : ''New internal combustion engine consuming gas, petroleum gasoline or ordinary petroleum'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k17077f/f819.item.r=panhard '''The CENTAURE carburetor''']: ''voir supra'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516552/publication/AT15838B?q=AT15838B '''AT'''15838B] || ''Valve control for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149365/publication/GB190016627A?q=GB190016627A '''GB'''190016627A] || ''Improvements in Gas or Oil Motors'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003506585/publication/AT11006B?q=AT11006B '''AT'''11006B] || '''Suspension of the gearbox by three points''' : ''Suspension of the housing enclosing the change and reversing gear of motor vehicles'' (voir supra) |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] || '''Centaure engine lightened & Water-jackets''' : ''Improvements in Internal Combustion Engines'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001372844/publication/FR322489A?q=FR322489A '''FR'''322489A] || '''Stretch cams''' :''Improvement in the construction of internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513981/publication/AT14430B?q=AT14430B '''AT'''14430B] || ''Controllable valve control for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032621397/publication/GB190224250A?q=GB190224250A '''GB'''190224250A] || ''Improvement in the Construction of Explosion Motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002801728/publication/US733220A?q=US733220A '''US'''733220A] || ''VALVE-GEAR FOR EXPLOSIVE-ENGINES'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001376300/publication/FR326199A?q=pn%3DFR326199A '''FR'''326199A] || '''Engine cooling''' : ''A device for cooling internal combustion engines'' |- | '''1909''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001453744/publication/FR409630A?q=pn%3DFR409630A '''FR'''409630A] || '''Valve cooling''' : ''Improvement in internal combustion engines'' |- | '''1909''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001458114/publication/FR414413A?q=FR414413A '''FR'''414413A] || '''Krebs concentric valves''' : ''Device for suction and exhaust valves and their control for internal combustion engines operating on combustible gases or liquids'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004290136/publication/CH52317A?q=pn%3DCH52317A '''CH'''52317A] || ''Arrangement and control of the inflow and outflow valves on explosion or internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008686590/publication/AT51827B?q=AT51827B '''AT'''51827B] || ''Control for combined intake and exhaust valves of internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525746/publication/GB191014278A?q=GB191014278A '''GB'''191014278A] || ''Improvements in or relating to Valves and Valve-gear for Internal-combustion Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003087787/publication/US1019488A?q=US1019488A '''US'''1019488A] || ''VALVE FOR EXPLOSION-ENGINES'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A] || '''Krebs valveless engine''' : ''Internal combustion engine distribution'' |- | '''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001500505/publication/FR461176A?q=FR461176A '''FR'''461176A] || '''Helical gear transmission''' : ''Internal combustion engine transmission'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001517855/publication/FR480650A?q=FR480650A '''FR'''480650A] || ''Connection device between connecting rod and piston'' |- | '''1916''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001520866/publication/FR484035A?q=FR484035A '''FR'''484035A] || ''Valve train'' |- |} ==== Carburateurs ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]], [[w:Papillon (mécanique)|Papillon (mécanique)]], [[w:Boîtier papillon|Boîtier papillon]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]] <br>Voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 ''Krebs carburetor'']. '''1866-1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39790g/f376.item.r=carburateur# Dictionnaire Larousse du XIX° siècle] : "'''Carburateur, trice adj.''' Se dit des appareils destinés à carburer certains corps et particulièrement le gaz d'éclairage." '''1900''' - Automobile Magazine: '''Alcohol in Automobile Practice''' : "''In December, at the instance of the Society for the Industrial Utilization of Alcohol, M. '''Krebs''', of the '''Panhard et Levassor''' Company, experimented with a three horse-power Phoenix auto mobile, the only alteration being the widening of the opening to the carbureter. With the Dusart alcohol 4.2 horse-power was developed, and with ordinary 95 per cent. alcohol 3.6 horse- power; with benzine at full speed, 4.4 horse-power. According to Araschaquene it would be sufficient to abolish the tax on alcohol in order to cause it to replace benzine''". <ref>'''1900-05''' - Automobile Magazine: [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1900-05_2_2/page/178/mode/2up?q=krebs ''L'alcool dans la pratique automobile''].</ref> '''1916''' – Panhard & Levassor catalog: "''We have adopted on all our engines a carburetor based on '''an entirely new principle of automaticity''', which rigorously doses the mixture at all speeds and offers the advantage of no longer having any intake additional air, no moving parts. The rubber membrane of our old models is thereby eliminated. In our '''20 HP''' and '''35 HP''' engines, '''the carburetor is double''' and controlled by two accelerator pedals. The ordinary accelerator pedal ensures walking in town and at medium speeds, while the second pedal, actuated with the left foot, brings into play the second carburetor which is added to the first to provide very high speeds, and at this time to provide additional lubrication.''" {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1899''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-12-30_Brevet_KREBS_pour_Panhard_%26_Levassor_-_%22Carburateur_%C3%A0_niveau_constant%22.pdf '''FR'''295792] || ''A constant level carburettor for petrol engines'' |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] || '''The CENTAURE carburetor''' : ''A self-adjusting carburetor'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''GB'''190000471A] || ''An Improved in Air Carburators for Petroleum Motors'' |- | || || voir infra: '''Alcohol in Automobile Practice''' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032420366/publication/GB190016467A?q=GB190016467A '''GB'''190016467A] || ''A Regulating Charging Valve for Gas or Oil Motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003500824/publication/AT8337B?q=AT8337B '''AT'''8337B] || ''Adjustable input device for explosion power machines from the controller'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] || '''The Krebs automatic carburetor''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=panhard ''A self-adjusting carburetor''] (voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 Krebs carburetor].) |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C] || ''A carburator for internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064172006/publication/ES30512A1?q=ES30512A1 '''ES'''30512A1] || ''A graduation and automatic action carburetor'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A] || ''Improvements in Oil Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A] || ''Fuel-governor for oil-engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''83889A] || ''Oil Machine'' |- | '''1903''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382733/publication/FR333127A?q=FR333127A '''FR'''333127A] || '''Improvements to the Krebs carburetor''' : ''Improvements to carburettors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000424916/publication/DE158769C?q=DE158769C '''DE'''158769C] || ''Device for automatic regulation of secondary air in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516141/publication/AT15655B?q=AT15655B '''AT'''15655B] || ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516518/publication/AT15822B?q=AT15822B '''AT'''15822B] || ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A '''US'''785558A] || ''Oil-engine'' |- | '''1908''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001446345/publication/FR401546A?q=FR401546A '''FR'''401546A] || '''The Krebs metering pin carburetor''' : ''Improvements to carburettors for motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064221871/publication/ES45533A1?q=ES45533A1 '''ES'''45533A1] || ''Engine Carburetor Improvements'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''GB'''190912043A] || ''Improvements in Carburettors for Explosion Motors'' |- | '''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A] || '''Le carburateur hydrostatique''' sans pièces mobiles : ''Perfectionnement apporté aux carburateurs pour moteurs à explosions'' |- | '''1913''' || || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_Artillerie_St-Chamond_R%C3%A8glement_de_manoeuvre%3Dle_carburateur_double-corps.pdf '''The double barrel Krebs carburetor'''] (voir infra : 1916–Panhard & Levassor catalog) |- | '''1916''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008906792/publication/FR502997A?q=num%20%3D%20%22FR502997A%22%20AND%20ia%20%3D%20%22PANHARD%22 '''FR'''502997A] || '''The Krebs carburetor for airships and aiplanes''' : ''Automatic carburetion corrector for internal combustion engine operating at different altitudes.'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001522872/publication/FR486245A?q=FR486245A '''FR'''486245A ] || ''Improvement brought to the constant level of the carburettors'' |- | '''1917''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001529312/publication/FR493577A?q=pn%3DFR493577A '''FR'''493577A] || '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/008921858/publication/FR528180A?q=pn%3DFR528180A '''FR'''528180A] || '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.'' |- |} ==== Allumage ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Ignition|Ignition]], [[commons:Category:Ignition systems|Ignition systems]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Allumage (moteur)|Allumage (moteur)]] <br>'''1903''' - "''[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/216/mode/2up?q=panhard Panhard & Levassor firm has a new method of distributing] or directing the current successively to the induction coils of a multicylinder motor''." {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' || || '''L'allumage électrique Krebs''' : ''[https://www.babordnum.fr/items/show/14115 Allumage électrique mixte pour moteurs à explosion (p. 432)]'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426473/publication/GB190200452A?q=GB190200452A '''GB'''190200452A] || ''An Improvement in Electrical Ignition Apparatus for Internal Combustion Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003514525/publication/AT14673B?q=AT14673B '''AT'''14673B] || ''Switching device for the primary current in electric ignition devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002776582/publication/US708053A?q=US708053A '''US'''708053A] || ''Apparatus for distributing the primary current for electric ignition by coils and igniters in explosive-engines'' |- | '''1904''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/043348598/publication/FR343448A?q=FR343448A '''FR'''343448A] || '''The Krebs magneto ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348105/publication/FR4936E?q=FR4936E '''FR'''4936E] || Addition: ''Mixed electrical ignition for explosion motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032626177/publication/GB190412741A?q=GB190412741A '''GB'''190412741A] || ''Improvements in Electric Ignition Apparatus for Internal Combustion Motors'' |- |} ==== Embrayages ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Clutches|Embrayages]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Embrayage|Embrayage]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57007322/f446.image.r=panhard '''The Krebs friction clutch''']: ''Improvements in clutches'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] || '' Improvements in Friction Couplings'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002762089/publication/US693551A?q=US693551A '''US'''693551A] || ''Cone clutch'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003497343/publication/AT6940B?q=AT6940B '''AT'''6940B] || ''Friction clutch, especially for motor vehicles'' |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] || ''An Improvement in Cone Clutches'' |- |'''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426525/publication/GB190200574A?q=GB190200574A '''GB'''190200574A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9782584r/f469.image.r=krebs ''Improvements in Cone Clutches''] |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002803400/publication/US734893A?q=pn%3DUS734893A '''US'''734893A] || ''CONE-CLUTCH'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513026/publication/AT13993B?q=AT13993B '''AT'''734893A] || ''cone friction clutch'' |- |'''1904''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389315/publication/FR340185A?q=FR340185A '''FR'''340185A] || '''Multidisk clutch''' : ''Friction washer clutch'' |- |'''1906''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] || '''The Krebs ''Panhard type'' gearbox''' : ''Improvements to claw clutches'' |- |'''1907''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] || '''Multidisk coupling''' : ''Clutch connecting two shafts, one of which rotates at a variable speed and the other at a constant speed'' |- |'''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485567/publication/FR444601A?q=FR444601A '''FR'''444601A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f57.image.r=panhard '''Multidisk clutches''']: ''Improvements to disc clutches'' |- |'''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001490629/publication/FR450180A?q=FR450180A '''FR'''450180A] || ''Improvement brought to the construction of the clutches'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526219/publication/GB191226137A?q=GB191226137A '''GB'''191226137A] || ''Improvements in or relating to Clutches'' |- |} ==== Boîtes de vitesses et transmission ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Transmission|Transmission]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Transmission (mécanique)|Transmission (mécanique)]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]] <br>The '''Panhard Type''' of Gearbox is enhanced by A. C. KREBS. <gallery> File:1901-07 - Automobile-Magazine - boite de vitesse Panhard & Levassor 'The Panhard system'.jpg| '''1901-07''' - Automobile Magazine: "''Transmission gears of some European cars - [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1901-07_3_7/page/612/mode/2up?q=panhard the Panhard system]''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 61|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''single-plate clutch and gearbox'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 67|'''1913''' - The 35HP Panhard & Levassor "'''''double disc clutch'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 81|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''differential with bevel satellites and conical couple'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 83|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''differential with straight satellites and conical couple'''''". File:1917 The original Panhard transmission.png|'''1917''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Study_and_test_to_confirm_automobile_drivetrain_components_to_improve_fuel_economy_-_interim_report_(IA_studytesttoconfi00hurt).pdf&page=12 The Original '''Panhard transmission''']: "''It came into nearly '''universal use''' in the United States by the '''1920's for cars, trucks and buses'''.''" </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0148/100/512/10/458 '''La boîte de vitesses mécanique Krebs "à verrou" à engrenages toujours en prise''']: ''Improvements to transmissions with speed change'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791A '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''Un nuevo sistema de transmisión, particularmente aplicable a los coches automáticos'' |- | '''1898''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960] || '''VCP''' : ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- | '''1899''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-11-11_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR294232_-_%27Syst%C3%A8me_combin%C3%A9_de_changement_de_marche_et_changement_de_vitesse_pour_voiture_automobile%27.pdf '''FR'''294232] || ''Combined shifting and gear shifting system for motor car'' <ref>'''1900''' - Revue de mécanique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5700759q/f661.item.r=PANHARD La transmission Panhard & Levassor].</ref> |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032537942/publication/GB189923564A?q=GB189923564A '''GB'''189923564A] || ''Improvements in Driving Gear for Motor Cars''<ref>'''1902''' - The automobile: "[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/386/mode/2up?q=panhard ''The Panhard type'']". '''1904''' - Self-propelled vehicles: "[https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/354/mode/2up?q=panhard ''Détails du changement de vitesse Panhard-Levassor'']".</ref> |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] || ''An Improvement in Cone Clutches'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423811/publication/GB190114824A?q=GB190114824A '''GB'''190114824A] || ''Improvements in connection with the Mechanism for Change of Speed and Direction of Motion of Motor Cars'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950A '''US'''700950A ] || '''Change speed box''' : ''MOTOR-VEHICLE'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR351743A '''FR'''351743A] || ''Automatic locking system'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003534007/publication/AT24197B?q=AT24197B '''AT'''24197B] || ''Coupling device'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032188031/publication/GB190515737A?q=GB190515737A '''GB'''190515737A] || ''Improvements in Interlocking Mechanism for Change Speed Gears and the like'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002890537/publication/US822057A?q=US822057A '''US'''822057A] || ''SYSTEM OF LOCKING'' |- | || [[w:Engrenage|'''''Harmonic gears''''']] || "''In certain cars, particularly '''Panhards''', [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:California_Digital_Library_(IA_completemotorist00youn).pdf&page=334 '''''the musical note caused by the gear wheels'''''] is itself a very fair guide to the changing of speed''." |- |'''1906''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f300.image.r=panhard '''The Krebs Panhard type gearbox''']: ''Improvements to claw clutches'' |- | '''1910''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001472555/publication/FR430298A?q=pn%3DFR430298A '''FR'''430298A] || ''Automobile tipping dumper with front-wheel drive and steering'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525843/publication/GB191113942A?q=pn%3DGB191113942A '''GB'''191113942A] || ''Improvements in and relating to Tip Wagons and the like'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480297/publication/FR438815A?q=FR438815A '''FR'''438815A] || ''Device for shifting and declutching using a single lever'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008695767/publication/AT62323B?q=AT62323B '''AT'''62323B] || ''Speed change gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032339729/publication/GB191200983A?q=GB191200983A '''GB'''191200983A] || ''Improvements in and relating to Variable Speed Transmission Mechanism'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003180995/publication/US1112810A?q=US1112810A '''US'''1112810A] || ''Clutch and Gear Shifter'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480878/publication/FR439445A?q=FR439445A '''FR'''439445A] || ''Direct drive device applicable to fluid gear shifting devices'' |- | '''1913''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001511415/publication/FR473344A?q=FR473344A '''FR'''473344A] || ''Improvement in motion transmissions in motor cars'' |- | '''1914''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513323/publication/FR475432A?q=FR475432A '''FR'''475432A ] || ''Transmission system for driving and steering vehicle wheels'' |- | '''1915''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519384/publication/FR482374A?q=FR482374A '''FR'''482374A ] || ''Cardan joint lubrication device by oil circulation'' |- | || || ''The globoïd worm gear rear axle differential'' |- |} ==== Freins ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Brakes|Brakes]], [[commons:Category:Automobile drum brakes|Automobile drum brakes]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Frein à tambour|Frein à tambour]], [[w:Frein moteur|Frein moteur]] <gallery> File:1900 Lavergne- Gérard Manuel théorique et pratique de l'automobile sur route='the double-acting krebs brake'p433.png|''The '''1898''' [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&page=381 '''Krebs double-acting brake on the differential axle.'''] File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 91|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''double brake on rear wheels'''''". </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1898''' ||[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf&page=1 '''FR'''284596] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/157/100/512/10/458 '''Le frein à double effet sur l'arbre du différentiel'''] : "''A two-pronged clamp fixed to the frame, which clamps a pulley mounted on the differential shaft''" |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960A '''GB'''189902960A] || ''A two armed clamp fixed to the frame which grips the periphery of a disc mounted on the shaft of the differential coupling'' |- | '''1900''' || || [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/172/mode/2up?q=panhard "'''The water-cooled Krebs brake'''"] |- | '''1901''' ||[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-14_Brevet_A.C.KREBS_FR307114%3Dsuspension_par_3_points_%2B_frein_sur_le_diff%C3%A9rentiel.pdf '''FR'''30714] || '''Three point suspension gearbox''' : "Improvements in shifting and running mechanisms'' (voir supra) |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950 '''US'''700950A] || ''MOTOR-VEHICLE'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369586/publication/FR318975A?q=FR318975 '''FR'''318975] || '''Cam brake''' : ''Brake for automobile or other car wheels'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032116936/publication/GB190304167A?q=GB190304167A '''GB'''190304167A] || ''Improvements in Brakes for Vehicles'' |- | '''1904''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389316/publication/FR340186A?q=FR340186 '''FR'''340186] || '''Expansion brake''' : ''Brake on rear wheels'' |- | || || [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/148/mode/2up?q=panhard Slack adjuster brake.] |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422561/publication/FR376040A?q=FR376040 '''FR'''376040] || '''Krebs motor brake''' : ''Device for obtaining the braking of a motor vehicle by the engine'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003548691/publication/AT33177B?q=AT33177B '''AT'''33177B] || ''Method and device for braking motor vehicles by means of the prime mover'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] || ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117222/publication/GB190802328A?q=GB190802328A '''GB'''190802328A] || ''Improvements in and relating to Braking Means for Automobile Vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003002970/publication/US934547A?q=US934547A '''US'''934547A] || ''Braking means for automobile vehicles'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001430057/publication/FR384090A?q=FR384090 '''FR'''384090A] || ''Brake lever'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003553988/publication/AT36868B?q=AT36868B '''AT'''36868B] || ''Device for the simultaneous activation of two brakes for all types of vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525450/publication/GB190818853A?q=GB190818853 '''GB'''190818853] || ''Improvements in or relating to Braking Mechanism'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] || ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine'' |- | '''1911''' || || [https://archive.org/details/TheAutomotorJournal2ndHalf1904/page/n643/mode/2up "''Rear-brake drums with a second pair of shoes in their interior.''"] |- |} ==== Graissage ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:lubrication|lubrication]], [[commons:Category:Internal combustion piston engine lubrication systems|Internal combustion piston engine lubrication systems]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Lubrification|Lubrification]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369628/publication/FR319026A?q=FR319026A '''FR'''319026A] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/159/100/512/10/458 ''Système de graissage des moteurs par une pompe actionnée au moyen des gaz de l'échappement''] |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606192/publication/GB190304379A?q=GB190304379A '''GB'''190304379A] || ''Improved Method of Lubricating Motors and Apparatus therefor'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002821059/publication/US752566A?q=US752566A '''US'''752566A] || ''Device for Lubricating Motors and Machinery Driven Thereby'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377157/publication/FR327150A?q=FR327150A '''FR'''327150A] || ''Lubrication system for engines and components'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422632/publication/FR376118A?q=FR376118A '''FR'''376118A] || ''Lubricator with adjustable flow for internal combustion engine proportioning the oil flow to the developed power'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003549848/publication/AT33929B?q=AT33929B '''AT'''33929B] || ''Device for controlling the supply of lubricant for internal combustion engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117223/publication/GB190802334A?q=GB190802334A '''GB'''190802334A] || ''Improvements in and relating to the Lubrication of Internal Combustion Engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002995978/publication/US927552A?q=US927552A '''US'''927552A] || ''Engine-Lubricating Device'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=CH42771A '''CH'''42771A] || ''Lubricator for internal combustion engine'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429283/publication/FR383261A?q=FR383261A '''FR'''383261A] || ''Engine lubricating oil cooling system'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525449/publication/GB190818852A?q=GB190818852 '''GB'''190818852A] || ''Improvements in or relating to the Lubrication of Moving Parts of Engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004277622/publication/CH45206A?q=CH45206A '''CH'''45206A] || ''Device for cooling the lubricating oil contained in the crankcase of an engine'' |- | '''1912''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001494995/publication/FR455065A?q=FR455065A '''FR'''455065A] || ''Improvements to engine lubrication'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526351/publication/GB191305951A?q=GB191305951A '''GB'''191305951A] || ''Improvements in or relating to the Lubrication of Engines'' |- | '''1915''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519141/publication/FR482110A?q=FR482110A '''FR'''482110A] || ''Automatic lubricating device by oil circulation of wheel hubs'' |- | '''1915''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519143/publication/FR482112A?q=FR482112A '''FR'''482112A] || ''Device for lubricating the bearings of a heat engine, by oil circulation at an equal flow rate for all the bearings and at variable pressure'' |- |} ==== Direction et Suspension ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive suspension technologies|Automotive suspension technologies]], [[commons:Category:Shock absorbers|Shock absorbers]], [[commons:Category:Vehicle dynamics|Vehicle dynamics]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Suspension de véhicule|Suspension de véhicule]], [[w:Dynamique du véhicule|Dynamique du véhicule]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001370512/publication/FR319975A?q=FR319975A '''FR'''319975A] || '''Transversal spring suspension''' : ''Axle system and fore-carriage spring for motor vehicles'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377508/publication/FR327527A?q=FR327527A4 '''FR'''327527A] || '''Steering wheel controls''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/288/mode/2up?q=panhard ''A maneuvering device for the control of the motor car engines''] |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=pn%3DUS757815A '''US'''757815A] || ''APPARATUS FOR CONTROLLING THE SPEED OF MOTOR-CAR ENGINES'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525118/publication/GB190309077A?q=GB190309077A '''GB'''190309077A] || ''Improvements in Apparatus for Controlling the Speed of Motor Car Engines'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404739/publication/FR356801A?q=FR356801A '''FR'''356801A] || '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804444j/f52.item Multidisk friction shock absorber]''' : ''Suspension brake for vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348928/publication/FR5900E?q=FR5900E '''FR'''5900E] || Addition: ''Suspension brake for vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032198455/publication/GB190516354A?q=GB190516354A '''GB'''190516354A] || ''Improvements in the Method of Checking the Vibrations Imparted to Vehicles Suspended by Springs and in Apparatus therefor'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002928275/publication/US859822A?q=pn%3DUS859822A '''US'''859822A] || ''SHOCK-ABSORBER'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002941272/publication/US872825A?q=US872825A '''US'''872825A] || ''APPARATUS FOR CHECKING OR DEADENING THE VIBRATIONS IMPARTED TO SUSPENDED VEHICLES'' |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481137/publication/FR439730A?q=FR439730A '''FR'''439730A] || ''Screw and nut steering for motor vehicles'' |- | '''1914''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513700/publication/FR475854A?q=FR475854A '''FR'''475854A] || ''Suspension system for four-wheel motor cars'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513396/publication/FR475517A?q=FR475517A '''FR'''475517A] || ''Improvement in the construction of automobile steering axles'' |- | '''1915''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519144/publication/FR482114A?q=FR482114A '''FR'''482114A] || '''Disk hub''' : ''Driving device for driving wheels of motor vehicles'' |- |} ==== '''Accouplements flexibles''' ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Accouplement (mécanique)|Accouplements]], [[commons:Category:Rotating shaft couplers|Accouplements d'arbres]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement (mécanique)|Accouplement (mécanique)]], [[w:Joint de transmission|Joint de transmission]] ===== Premières recherches ===== {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-04-09_Brevet_KREBS-P%26L_FR299088_-_%27Palier_%C3%A0_rotule%27.pdf '''FR'''299088] || ''Palier à rotule'' |- | '''1905''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001399995/publication/FR351702A?q=pn%3DFR351702A '''FR'''351702A] || ''Palier de butée à billes et à rotule'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003533722/publication/AT24046B?q=AT24046B '''AT'''24046B] || ''Thrust bearing'' |- |'''1907''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] || ''Embrayage reliant deux arbres dont l'un tourne à une vitesse variable et l'autre à une vitesse constante'' |- |} ===== Le joint monodisque ===== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Disc couplings|Accouplements à disque]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement_(mécanique)#Accouplement_à_disque|Accouplement_à_disque]] <br>'''1909''' - '''The single disc coupling''' : "''The device in question is substantially as follows: The ends of the shafts to be joined, facing each other, are provided with circular or cylindrical extended portions to which is secured alternately a membrane of suitable shape, '''of strong and flexible material such as leather, flexible fiber, suitably woven and prepared canvas''' or any other similar material. The dimensions of the said widened portions and the number of the points at which the material used for effecting the connection indicated is secured to them are in proportion to the strain to be transmitted.''" <gallery> File:1910-11-22 US976187A=device for coupling two transmission shafts=first FLECTOR invented by A.C. KREBS.png | [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=US976187A '''1909''' - first FLECTOR Brevet '''US'''976187A "'''''Device for coupling two transmission-shafts'''''".] File:1933-10-01 La Dépêche de Brest=PEUGEOT 'le joint FLECTOR de direction'.jpg | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348891q/f8 '''1933''' PEUGEOT advertising: "'''''the steering FLECTOR joint'''''" invented by A. C. KREBS (Brevet 1910-11-22 US976187A).] File:1937-1938 Cours d'automobile=disc coupling+FLECTOR.jpg |'''1937''' - Automobile course'' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9758588f/f124.item.r=%22Cours%20d'automobile%22 "'''Deformation joints are the Flectors''']. They consist of a stack of discs made of thin sheet steel, rubberized canvas or leather, on which are bolted forks with two or three branches carried by the shafts.''" File:Single Disk Coupling (with metal disc), invented by A.C. KREBS (patent 1910-11-22 US976187A).webm|Video: '''The single Disk Coupling''' (with metal disc) invented by A.C. KREBS '''is universally used today'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1909''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-01-04_Brevet_KREBS-P%26L_FR407594_-_%27Dispositif_de_connexion_de_deux_arbres_de_transmission%27.pdf '''FR'''407594] || '''Disc coupling''' : ''Device for connecting two transmission shafts'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032407241/publication/GB190926602A?q=GB190926602 '''GB'''190926602] || ''Improvements in or relating to Shaft Couplings'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=pd%20%3D%20%221910-11-22%22%20AND%20ctxt%20%3D%20%22KREBS%22 '''US'''976187A] || ''Device for coupling two transmission-shafts'' |- |} ===== Le joint élastique '''FLECTOR''' ===== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Rag joints|Rag joints]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Joint_de_transmission#Joints_à_axes_concourants|Joints à axes concourants]] <br>'''1911''' - '''Le joint FLECTOR''' : "''Dans nos modèles 10, 12 et 16 HP Tourisme, ce joint universel est constitué par l'organe élastique que nous nommons "Flector" et qui, formé de toile et de caoutchouc, permet le déplacement relatif des arbres '''sans frottement, sans usure et sans bruit'''. Son adoption donne à la voiture qui en est munie une grande douceur d'entraînement, et il ne réclame aucun entretien''." <ref>'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor'''].</ref> <gallery> File:1911-09-04 Flector joint invented by A. C. KREBS (patents FR445.494, GB17.174, US1.107.315).jpg|'''1911''' - '''FLECTOR Brevet''' [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''. |'''1911''' - '''FLECTOR Brevet''' [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''. File:1913-02-25 La Revue Commerciale=le joint FLECTOR inventé par A. C. KREBS.pdf | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805914f/f6.item '''1913''' - The '''FLECTOR joint''' on the 10hp Panhard & Levassor]: "'''''no friction, no wear, no noise, no lubrication'''''" File:Tyre-coupling.jpg |'''The flexible FLECTOR joint''' invented by A. C. KREBS (Brevet [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A]) '''is universally used today under the name of ''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FLECTOR_-_Tyre-Couplings.ogg '''Tire coupling (Video)''']. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001486381/publication/FR445494A?q=FR445494A '''FR'''445494A] || '''Tire coupling''' : ''Flexible joint for connecting two drive shafts'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606753/publication/GB191217174A?q=GB191217174 '''GB'''191217174A] || ''Improvements in or relating to Shaft Couplings'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] || ''Flexible joint for coupling two transmission-shafts'' |- |} ==== Camions et moteurs industriels ==== <gallery> File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - camion Panhard & Levassor.jpg|'''1903''' - Industrial '''uses of alcohol''' : '''Panhard & Levassor truck'''. File:1904 - Panhard & Levassor - moteur fixe 3cyl.jpg|'''1904''' - Panhard & Levassor: '''3cyl stationary engine designed by A. C. KREBS'''. File:1906 - Panhard & Levassor - Groupe moto-pompe industriel.jpg|'''1906''' - Panhard & Levassor - '''Industrial motor-pump unit'''. File:1907-01-05 Omnia - camion Panhard & Levassor au concours de véhicules industriels.jpg|'''1907''' - '''Panhard & Levassor truck''' at the industrial vehicle competition. File:1908 - Panhard & Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard & Levassor '''trucks catalog''']. File:1910 - Groupe moteur Panhard & Levassor - "Force motrice et lumière".jpg|'''1910''' - Groupe moteur Panhard & Levassor: "'''''Force motrice et lumière'''''". <ref>'''1910''' - '''Groupe moteur''' Panhard & Levassor : "'''''Force motrice et lumière'''''". "''Ville - Campagne - Atelier : MAXIMUM Rendement, Simplicité, Solidité - MINIMUM Consommation, Usure, Encombrement - FONCTIONNE SANS SURVEILLANCE au gaz de ville, à l'alcool, benzol, à l'essence de pétrole, gaz pauvre''".</ref> File:1910-07-10 - La Revue Commerciale - Le groupe électrogène et le moteur industriel Panhard & Levassor.jpg|'''1910''' - The Panhard & Levassor [https://archive.org/details/Theautomobile22/theautomobile16/page/n583/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''generator'''] and the '''industrial engine'''. File:Chatillon-Panhard heavy artillery tractor prototype 1911.jpg|'''1911''' - '''Prototype of the Châtillon-Panhard heavy artillery tractor''', all wheel drive and all wheel steering. File:1913 - Panhard & Levassor - voiture de Livraison.jpg|'''1913''' - Panhard & Levassor: '''Delivery van'''. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 88|'''1913''' - The 16HP van chassis Panhard & Levassor: "'''''engine block and swing axle'''''". File:1914-1918 - Panhard & Levassor - camion K16.jpg|'''1914-1918''' - Panhard & Levassor: '''K15 truck'''. File:1919 - Panhard Motors Co - the Panhard-truck.pdf|'''1918''' - Motor-age: The [https://archive.org/details/sim_motor-age_1918-11-28_34_22/page/34/mode/2up?q=%22panhard+truck%22 '''Panhard Truck Built for Durability'''] : usurpateurs américains du nom de Panhard. <ref>'''1919''' - '''Apex''' ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton_(automobile_company) Hamilton Motors Company]) - [https://archive.org/details/saturdayeveningp1922unse/page/384/mode/2up?q=%22Panhard+Motors+Co%22 The twin-frame truck]: ''"At the request of the Panhard-Levassor Co., of Paris, France, we have relinquished the name "Panhard", and since September 1, '''1919''', our truck has been known as the "Apex". Hamilton Motors Co., formerly '''Panhard Motors Co.'''"''</ref> </gallery> ==== Machines à bois ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Scierie|Scierie]], [[commons:Category:Sciage|Sciage]], [[commons:Category:Scie pour le bois et l'ameublement|Scie pour le bois et l'ameublement]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Scierie|Scierie]], [[w:Sciage|Sciage]], [[w:Débit (bois)|Débit (bois)]], [[w:Usine_municipale_Pavage_de_bois|Usine municipale Pavage de bois]] <gallery> File:1889 - Panhard & Levassor Large band saw for metal cutting.pdf|'''1889''' - Panhard & Levassor: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Reports_of_the_United_States_Commissioners_to_the_Universal_Exposition_of_1889_at_Paris_(IA_cu31924107177085).pdf&page=364 "'''Large band saw for metal cutting'''"] at the Paris universal exposition. File:1905 - Panhard & Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (cartes postales) - machines à bois.pdf|page=7|'''1905''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1905_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_anniversaire-50-ans_usine_(cartes_postales)_-_machines_%C3%A0_bois.pdf&page=1 '''Wood working machine tools''' and '''Band Saws''']. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf&page=1 '''Catalog of woodworking machine-tools for car wheels''']. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines-à-bois - scies à ruban.pdf|'''1906''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C KREBS: Catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines-%C3%A0-bois_-_scies_%C3%A0_ruban.pdf '''woodworking machine-tools - band saws''']. File:1915 - Publicité en Amérique pour les scies à ruban Périn fabriquées à Paris par les usines Panhard & Levassor dirigées par A. C. KREBS.pdf|'''1915''' - Advertisement in America for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915_-_Publicit%C3%A9_en_Am%C3%A9rique_pour_les_scies_%C3%A0_ruban_P%C3%A9rin_fabriqu%C3%A9es_%C3%A0_Paris_par_les_usines_Panhard_%26_Levassor_dirig%C3%A9es_par_A._C._KREBS.pdf '''Périn band-saws'''] manufactured in Paris by the '''Panhard & Levassor works''' managed by A. C. KREBS. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1899''' ||[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f243.image.r=panhard '''FR'''288849A] || ''Sharpener'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR359604A '''FR'''359604A] || ''Automatic circuit breaker'' |- | '''1906''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR362842A '''FR'''362842A] || ''Locking system for tool trolleys and others'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR365473A '''FR'''365473A] || ''Automatic tool release system in trolley machines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003539644/publication/AT27469B?q=AT27469B '''AT'''27469B] || ''Device for automatically removing the tool from the workpiece in machine tools with a reciprocating carriage'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/027826630/publication/DK10576C?q=DK10576C '''DK'''10576C] || ''Self-propelled device for putting the tool out of business in machine tools with reciprocating carriage'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DCH40671A '''CH'''40671A] || ''Machine tool carriage with device for automatically disengaging tool and work piece'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DGB190707906A '''GB'''190707906A] || ''Improvements in or relating to Machine Tools with Sliding Tables or Carriages'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002961283/publication/US892854A?q=US892854A '''US'''892854A] || ''SLIDING TABLE OR CARRIAGE FOR METAL-CUTTING MACHINES'' |- | '''1908''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001449977/publication/FR405501A?q=pn%3DFR405501A '''FR'''405501A] || ''Protective finger for sawing machines for wood or any other material'' |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485566/publication/FR444600A?q=pn%3DFR444600A '''FR'''444600A] || ''Gear Profile Checking Machine'' |- | '''1912''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032242055/publication/FR451001A?q=pn%3DFR451001A '''FR'''451001A] || ''Log sawing machine, automatic'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191214154A?q=GB191214154A '''GB'''191214154A] || ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber'' |- | '''1913''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032299533/publication/FR19438E?q=FR19438E '''FR'''19438E] || Addition: ''Log sawing machine, automatic'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191324475A?q=GB191324475A '''GB'''191324475A] || ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001512578/publication/FR474617A?q=pn%3DFR474617A '''FR'''474617A] || ''Apparatus for grinding the teeth of band saw blades'' |- |} ==== Autres brevets ==== {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1903''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001379309/publication/FR329471A?q=FR329471A '''FR'''329471A] || ''Silent exhaust tank'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002815022/publication/US746527A?q=US746527A '''US'''746527A] || ''EXHAUST-BOX OR SILENCER FOR EXPLOSION-ENGINES'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032541423/publication/GB190306365A?q=GB190306365A '''GB'''190306365A] || ''Improvements in Exhaust Boxes or Silencers for Explosion Engines'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001423213/publication/FR376739A?q=pn%3DFR376739A '''FR'''376739A] || ''Detachable tire rim'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032633977/publication/GB190715724A?q=GB190715724A '''GB'''190715724A] || ''An Improved Fitting or Attachment for the Wheels of Motor Cars and similar Vehicles'' |- | '''1913''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001498438/publication/FR458896A?q=FR458896A '''FR'''458896A] || ''Removable wheel fixing device'' |- |} === '''Aviation''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Aéronautique|Aéronautique]], [[commons:Category:Activité aérienne|Activité aérienne]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Aéronautique|Aéronautique]], [[w:Aviation|Aviation]] <br>'''1910''' - [https://archive.org/details/aircraft219111912newy/page/200/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Aircraft''']: "''On June 14th. among the visitors to the Farman School at Buc, was '''Commandant Krebs''', the director of the Panhard-Levassor firm. He was taken for a lenthy trip by Mr. '''Maurice Farman''', who afterwards carried M. Defly, an engineer of the Panhard firm.''" ==== Le moteur du monoplan Tellier ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Alphonse Tellier|Alphonse Tellier]], [[commons:Category:Tellier 1910 monoplane|Tellier 1910 monoplane]], [[commons:Category:Tellier aircraft|Tellier aircraft]], [[commons:Category:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]] :[[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Alphonse Tellier (constructeur aéronautique)]] <gallery> File:1909 - Le moteur d'aviation Panhard & Levassor à soupapes concentriques de A. C. KREBS.pdf|'''1909''' - The Panhard & Levassor '''aviation engine with concentric valves''' designed by A. C. KREBS. File:1910-04-23 - Dubonnet survole Paris sur avion Tellier à moteur Panhard & Levassor.png|'''1910''' - '''Dubonnet flies over Paris''' on a Tellier plane with a Panhard & Levassor engine designed by A. C. KREBS. File:1910-04-26 - Théodore-Roosevelt regardant voler Dubonnet à Issy.jpg|'''1910''' - '''Theodore Roosevelt watching Dubonnet fly''' to Issy on '''Tellier plane''' with '''Panhard & Levassor''' engine. File:1910-04-23 - A. C. Krebs et Emile Dubonnet à Bagatelle après la traversée de Paris sur avion Tellier.png|'''1910''' - '''A. C. KREBS''' (left) and '''Emile DUBONNET''' (1882-1950) '''after crossing Paris on a Tellier plane''' with the Panhard & Levassor engine designed by KREBS. File:1910-05-25 - Avion Tellier modifié - le moteur Panhard & Levassor de A. C. KREBS.png|'''1910''' - '''Modified Tellier aircraft''' : the Panhard & Levassor engine with concentric valves designed by A. C. KREBS. File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard & Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - '''''Dubonnet wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a Tellier monoplane powered by Panhard & Levassor''''', whose engine is designed by A. C. KREBS (by GAMY). File:1911 - Monoplanes and biplanes - The Tellier monoplane.pdf|'''1911''' - '''Monoplanes and biplanes''' : The '''Tellier monoplane''' powered with the Panhard & Levassor concentric valves engine designed by A. C. KREBS. </gallery> ==== Moteurs d'avions ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:'''''Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs]] <br>'''1902''' - '''Wilbur Wright''' to '''Octave Chanute''' : "''I also enclose a letter from France which I take to be from '''Capt. Krebs''', though my acquaintance with foreign customs of signing names leaves me in some doubt as to who it is from. Can you enlighten me?''" <ref> [https://www.loc.gov/item/wright002807/ '''1902'''-04-12 - W. Wright to O. Chanute letter]</ref> '''O. Chanute''' to '''W. Wright''' : "''I return the French letter, which is from '''Commandant Krebs''', formerly associated with [[w:Charles_Renard|Colonel Renard]].''" <ref>[https://archive.org/details/correspondenceo00chan '''1902'''-05-05 - O Chanute to W. Wright letter]</ref> <gallery> File:1909-08-13 - Biplan Obre à moteur Panhard & Levassor 60cv.png|'''1909''' - Obre biplane with '''Panhard & Levassor 60hp engine''' designed by A. C. KREBS. File:1909 - Moteur Panhard & Levassor 100cv pour l'avion Voisin-Bolotoff.png|'''1909''' - Panhard & Levassor 100hp engine designed by A. C. KREBS for the '''Voisin-Bolotoff aircraft'''. File:1909 - Moteur Panhard & Levassor 120cv sur le Biplan-Henry FARMAN.png|'''1909''' - Panhard & Levassor 120hp engine designed by A. C. KREBS on the '''Henry FARMAN biplane'''. File:1909-09-25 - 1ère Exposition de Locomotion Aérienne - le stand Panhard & Levassor.png|'''1909''' - '''1st Air Locomotion Exhibition''' : the '''concentric valve engine''' designed by A. C. KREBS on the Panhard & Levassor stand. File:1910-11-01 - La Revue de l'Aviation à Paris.jpg|'''1910-11-01''' - The '''Revue de l'Aviation in Paris''' - Exhibition of aircraft manufacturers. File:1910 - Panhard & Levassor - moteur-120HP du dirigeable Morning Post.jpg|'''1910''' - L'un des 2 moteurs Panhard & Levassor de '''120HP''' pour le dirigeable '''Morning-Post'''. File:1912 - Moteur d'aviation Panhard & Levassor V8 100HP.jpg|'''1912''' - Panhard & Levassor '''V8 100HP aviation engine''' designed by A. C. KREBS. File:1917 - Panhard & Levassor - Moteur V12J du Glisseur Tellier.jpg|'''1915''' - Panhard & Levassor [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98100943/f220.image.r=panhard '''V12J aviation engine'''] of the '''Glisseur Tellier''' designed by A. C. KREBS. </gallery> ==== Hélicoptères avec [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/300955 Gustave PLAISANT] ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Helicopters|'''''Helicopters''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Hélicoptère|Hélicoptère]] <br>'''1912''' - Gustave PLAISANT: "''During fixed-point tensile tests that I recently carried out on a cycloidal thruster '''at the Laboratoire des Etablissements Panhard et Levassor''' with the gracious authorization of '''Commander Krebs''', I was led to study different combinations of propellers [...]''" <ref> '''1912-01-01''' - L'Aérophile: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6552332d/f276.image.r=krebs ''Vers l'hélicoptère''].</ref> <gallery> File:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 155, 1912.djvu|page 1608|'''1912''' - Académie des Sciences - '''Aeronautics''' : "''On a cycloidal air attack mode by M. '''Gustave PLAISANT'''.''" File:1913-01-01 L'Aérophile=essais d'hélicoptères à l'usine P&L avec Gustave PLAISANT.jpg|'''1912''' - L'Aérophile: '''helicopter tests in the laboratory of the Panhard & Levassor factory''' by Gustave PLAISANT with the help of Arthur Constantin KREBS </gallery> === '''Le procès [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden SELDEN]''' avec [[w:Henry_Ford|'''Henry FORD''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:US549160|'''''US549160''''']], [[commons:Category:Association of licenced Automobile Manufacturers|'''''Association of licenced Automobile Manufacturers''''']], [[commons:Category:Henry Ford|'''''Henry Ford''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:George_Brayton#Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden|Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden]] <br>En '''1906''' A. C. Krebs s'est rendu aux États-Unis pour témoigner dans l'affaire Selden, dans laquelle Panhard & Levassor était associé à Henry Ford en tant que partie adverse. Il a probablement rencontré Henry Ford lors de la présentation des preuves pour le brevet Selden ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002617903/publication/US549160A?q=US549160 '''US'''549160]) les 29-30 octobre 1906 dans un garage de New York. <ref>'''1906''' [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=192 témoignage de A. C. Krebs au procès Selden]: "''XQ426. Vous n'aviez jamais vu les moteurs Selden, ni le moteur à trois cylindres ni le moteur à un cylindre que vous avez inspecté au garage de New York les 29 et 30 octobre, en fonctionnement, n'est-ce pas ?''" </ref> Il convient de noter les nombreuses similitudes de principe entre la '''voiture Clément-Panhard''' de '''1898''' et la [[W:Ford_T|'''Ford model T''']] of '''1908''' (voir supra). <gallery> File:1877 Brevet-Rosenwald FR116871'=système de locomotion par le gaz'.pdf|'''1877''' - '''Brevet Rosenwald''' ('''FR'''116871) : "'''''Système de locomotion par le gaz'''''" est cité dans l'affaire Selden. File:1882-1884 - Delamare Deboutteville Malandin car.pdf|'''1882-1884''' - [[w:Édouard_Delamare-Deboutteville|Édouard Delamare-Deboutteville & Malandin]]: '''La première voiture à 4 roues avec un moteur à 4 temps brevetée''' : [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Delamare-Debouttevile-et-Malandrin_vehicles Brevet '''FR'''160267 du 12-02-1884] – ( [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9803886z/f152.image.r=deboutteville '''8cv - 10km/h avec allumage électrique et volant''']). File:1906 Arthur Constantin KREBS testimony during the Selden case (annotated transcript).pdf|'''1906''' - '''Témoignage de A. C. KREBS à New-York''' lors de l'affaire Selden ('''transcription annotée'''). File:Portrait of Henry Ford.jpg|'''1913''' - '''Henry Ford''' (1863-1947). </gallery> === L'Organisation scientifique du travail avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Ch. de Fréminville]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]] '''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Organisation scientifique du travail|Organisation scientifique du travail]] <br>'''1904''' - '''Ways to combat or prevent dust''' : [https://archive.org/details/mmoiresetcompte04unkngoog/page/716/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Commandant Krebs''' requests the tarring of the street of the establishments on Avenue d'Ivry.]. {| class="wikitable" |- ! Date !! Review !! Article |- | '''1911''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1911/10/metal19110810p786/metal19110810p786.html Le jeune ingénieur] |- | '''1914''' || Société d'économie sociale (in ''La Réforme Sociale'') || [https://archive.org/details/etudessociales6719unse/page/316/mode/2up?q=fr%C3%A9minville+panhard Le Système Taylor et l'orqanisation scientifique du travail dans les ateliers] |- |- | '''1915''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1915/09/metal19151209p729/metal19151209p729.html James Hartness: Le facteur humain dans l’organisation du travail (Translation and introduction by charles de Fréminville)] |- |- | '''1917''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1917/07/metal19171407p586/metal19171407p586.html L’utilisation des mutilés pour l’organisation du travail] |- |- | '''1926''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/04/metal19262304p199/metal19262304p199.html 1-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] |- |- | || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/05/metal19262305p269/metal19262305p269.html 2-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] |- |} === Les innovations avec le [[w:Arsène d'Arsonval|'''Pr Arsène d'ARSONVAL''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]] <br>A. C. KREBS et [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Pr Arsène d'ARSONVAL]], médecin, physicien et académicien, sont amis de longue date. <gallery> File:1889~Album Course 01 'première voiture de course'.jpg | '''1891''' - '''D'Arsonval''' : "''Nous décidâmes, un beau jour de 1891, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile'''"[...] <ref>'''1937''' - [https://archive.org/details/d-arsonval-soixante-cinq-ans-a-travers-la-science/page/232/mode/2up?q=panhard "D'Arsonval - 65 ans à travers la science"], Louis Chauvois, Paris.: "''Dans les ateliers ''[[W:Panhard|Panhard & Levassor]]'' un moteur à essence '''[[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]]''' de 2CV établi sur un bâti fixe, faisait fonctionner la scie débitant les pièces de bois. Qu'à cela ne tienne ! "Nous décidâmes, un beau jour de 1891'' [plutôt 1890]'', nous dit M. d'Arsonval, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile''' et nous construisîmes ainsi l'un des premiers engins à rouler sur le sol".</ref> File:Collège de France. M. le professeur d'Arsonval, membre de l'Institut.jpg| '''1902''' - ''A. D'Arsonval (1851-1940) prète son laboratoire au Collège de France à A. C. KREBS pour lui permettre de développer sa théorie sur le carburateur automatique pour automobiles''. File:Panhard & Levassor Break 1898 (CNAM-IMG 0624).jpg |[[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Arsène d'ARSONVAL]] commande cette voiture à son ami A. C. KREBS, directeur des usines '''Panhard & Levassor''' le [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AGetty_Research_Institute_(IA_laretrospectived00expo).pdf&page=56 '''07-09-1897'''], en demandant qu'une dynamo soit ajoutée pour permettre de générer de l'électricité pour ses expériences. <ref>'''1898''' Panhard-M2F d'Arsène d'ARSONVAL presentée au [https://collections.arts-et-metiers.net/?queryId=28f7ab4d-a8b2-45e9-82f1-785523e4f7c6 musée du Cnam (Paris)].</ref> File:1905 LA-NATURE=Voiture-radiologique-Gaiffe-d'Arsonval-Panhard.jpg |'''1904''' - A. C. KREBS construit la '''voiture radiologique''' GAIFFE et d'ARSONVAL qui produit le courant alternatif et le courant continu pour les appareils médicaux. <ref>'''1905''' - [http://cnum.cnam.fr/CGI/sresrech.cgi?4KY28.64/104 La voiture radiologique Gaiffe-Panhard], ''[[W:La_Nature|LA NATURE]]'', p100, Paris]. </ref> File:1909 Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques = Documents sur Eusapia Palladino avec d'Arsonval Krebs (1905) Curie.pdf|page 11|'''1905''' - A. C. Krebs participe à des '''séances de spiritisme scientifique''' organisées par [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|A. d'Arsonval]], aux côtés de personnalités scientifique comme [[W:Marie_Curie|Mme Curie]]. <ref>'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57730276/f82.image.r=krebs Institut général psychologique]: Section des recherches psychiques et physiologiques : documents sur [[w:Eusapia Palladino|Eusapia Palladino]] : "''[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf&page=83 J'ai senti une pression faite sur mon bras gauche, comme avec une boule de coton]''".</ref> </gallery> '''1891''' : Pr s'Arsonval aide Levassor pour son brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=719065&positionResult=20&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=levassor&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afdc541dd82/arko_default_63f47e41d68c8/image/700691|0|2 '''FR'''215695] du 21-08-'''1891''' : "'''Perfectionnements aux moteurs à gaz'''". '''1894''' - [https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=arsonval '''Société Française de Physique''']: Pr d'Arsonval demonstrates that the Panhard & Levassor petroleum engine is "''the real engine applicable to road traction''". <ref>[https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=panhard '''1894-03-02''' - '''Société française de physique''']: "''M. d'Arsonval operates in front of the Company a petroleum engine built by the Panhard and Levassor Cy on the data of M. [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''"</ref> '''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL ayant prouvé que le [[w:benzol|benzol]] ne présentait pas de risque d'explosion dans un environnement confiné, la Marine commande des '''moteurs au benzol''' à A. C. KREBS pour ses sous-marins de la [[w:Classe Naïade|classe Naïade]] (voir infra). '''1902''' - A. d'ARSONVAL prète son laboratoire au '''Collège de France''' à A. C. KREBS pour effectuer ses expériences sur son '''carburateur automatique'''. '''1905''' - A. d'Arsonval présente à l'Académie des sciences la note d'A. C. KREBS sur son '''frein dynamométrique électrique''' (voir ci-dessus) permettant de mesurer précisément la puissance des moteurs à pétrole. <ref>'''1905-11-13''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3095m/f757.item.r=krebs Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]: ''MÉCANIQUE APPLIQUÉE. Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé. Note de M. A. Krebs, presentée par M. d'Arsonval''. </ref> '''1905''' - A. C. KREBS a participé à des séances de spiritualisme scientifique organisées par l'académicien A. d'ARSONVAL dans le cadre de l' '''Institut Général de psychologie'''. <ref>'''1909''' - Séances de spiritualisme organisées par l'académicien Arsène d'Arsonval dans le cadre de l' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf "'''Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques'''"].</ref> === Le '''Rhéomètre''' de A. C. KREBS === '''Voir aussi''' : [[w:Rhéomètre|Rhéomètre]], [[w:Viscosimètre|Viscosimètre]], [[w:Rhéologie|Rhéologie]], [[w:Fluide (matière)|Fluide (matière)]] <gallery> File:1907-04-20 Génie-Civil - le rhéomètre de A. C. KREBS.jpg|''''1907''' - '''Le Génie Civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488843c/f12.image.r=krebs "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"] (rhéomètre). File:1909-01-15 La Technique Automobile - le voluliquimètre (rhéomètre) de Krebs.jpg|'''1909''' - '''La technique Automobile''' : "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''" (rhéomètre). </gallery> '''1907''' – '''Communication à l'académie des Sciences''' de A. C. KREBS (cf. infra) : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&page=747 "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"]. '''1909''' - '''La Technique automobile''' : "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''". === A. C. KREBS et [[w:Ettore Bugatti|'''Ettore BUGATTI''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Ettore Bugatti|'''''Ettore Bugatti''''']], [[commons:Category:Bugatti|'''''Bugatti''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ettore Bugatti|Ettore Bugatti]] <br>'''1913-01-24''' : '''Panhard & Levassor board''' - "Mr. Director [A. C. KREBS] reports '''on the visit he made to Mr. Bugatti in his factory''' in Molsheim [Alsace] where he was able to test the cars built by Mr. Bugatti and engines on dynamometric break. Mr. Director noticed different '''very interesting construction processes'''; However, he thinks that Mr. Bugatti, to achieve this result, '''makes the material work at its greatest limit of resistance''', which is contrary to the ways of proceeding in our company which always tend to keep a fairly large margin in the resistance of the metal". === Les '''véhicules militaires''' === Krebs utilized his former military membership to supply the French Army with engines and vehicles including the '''1904''' Genty [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]], the '''1911''' Châtillon-Panhard 4x4 truck, the [[w:Saint-Chamond (char)|'''1916''' char Saint-Chamond]], and others. ==== Les automobiles à Madagascar pour le '''Général Galliéni''' ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Joseph Gallieni|'''''Joseph Gallieni''''']], [[commons:Category:French Madagascar|'''''French Madagascar''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Joseph Gallieni|Joseph Gallieni]] <br>'''1899''' - General Gallieni, governor of Madagascar, brought three Panhard & Levassor cars from Paris, two 12hp cars and one 6hp car. <ref>'''1908''' - Neuf ans à Madagascar (General Galliéni) : "''[https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/170/mode/2up?q=panhard Le premier essai d'automobilisme en pays malgache]'' [...] ''Une voiturette six-chevaux et deux voitures douze-chevaux Panhard-Levassor, essayées sur les deux routes de Tamatave et de Majunga, donnèrent [https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/n371/mode/2up?q=panhard des résultats aussi satisfaisants que je pouvais l'espérer]''". </ref> <gallery> File:Gallieni.jpg|'''1897''' - '''Gallieni''' (1849-1916) (seated) and his staff in Madagascar: Hubert '''Lyautey''' (left) and Jean-Noël '''Savelli''' (center). File:1900 - Panhard & Levassor - Construction d'une route avec une rampe à 15% à Madagascar.jpg|'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5687124k/f2.item '''Construction of a road'''] with a 15% ramp in Madagascar. File:1900 - Panhard & Levassor - Arrivée des officiels à Tananarive.jpg|'''1900''' - Arrival of General Galliéni in Tananarive with the '''6cv Panhard & Levassor'''. File:1901 - Panhard & Levassor sur la route de l'est.jpg|'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k104768j/f80.image.r=panhard '''Panhard & Levassor 12hp car'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni on the eastern route. File:1902 - Panhard & Levassor - Personnel et matériel à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://archive.org/details/sim_industrial-management-1916_engineering-magazine_1905-03_28_6/page/910/mode/2up?q=panhard '''Panhard & Levassor vehicles'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni in Madagascar. File:1902 - Panhard & Levassor - Service de la Poste à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5737277x/f119.image.r=panhard Postal service in Madagascar] with a '''Panhard & Levassor break 15hp adapted to high temperatures'''. </gallery> ==== Les moteurs pour '''les dirigeables [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy]]''' & [[w:Société Astra|Astra]] ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Lebaudy airships|'''''Lebaudy airships''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy Frères]] A. C. KREBS built all the '''engines for Lebaudy military airships'''. <gallery> File:Lebaudy airship RAE-O426.jpg|'''1910''' - The Lebaudy airship [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65639070/f565.image "'''''Morning Post '''''"], with '''2 Panhard & Levassor engines''', in flight. File:1968 Chitty-Chitty-Bang-Bang dirigible inspired by the French Lebaudy dirigible.pdf|'''1968''' - '''A. C. KREBS''' will provide all the '''Panhard & Levassor engines''' for the '''Lebaudy-type french military airships'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Year !! Airship !! Comments |- | '''1905''' || '''Jaune III''' || '''Lebaudy''', 2950m3, '''50HP Panhard & Levassor''', 33km/h |- | '''1906''' || '''Jaune IV''' || '''Lebaudy''', 3300m3, '''50HP Panhard & Levassor''', 36km/h |- | '''1906''' || [[w:Patrie (dirigeable)|'''Patrie''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m30 diam., 3250m3, '''70HP Panhard & Levassor''', 41km/h |- | '''1908''' || [[w:République (dirigeable)|'''République''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard & Levassor''', 42km/h |- | '''1909''' || '''Russie''' || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard & Levassor''' |- | '''1909''' || '''Liberté''' || '''Lebaudy''', 65m80, 11m45 diam., 4600m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 41km/h |- | '''1909''' || '''Colonel Renard''' || '''Astra''', 65m50, 10m80 diam., 4200m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 38km/h |- | '''1909''' || '''España''' || '''Astra''', 65m50, 12m66 diam., 4200m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 40km/h |- | '''1910''' || [[w:Lebaudy Morning Post|'''Morning Post''']] || '''Lebaudy''', 103m, 12m diam., 10000m3, '''2x135HP Panhard & Levassor''' |- | '''1910''' || '''Lebedi''' || '''Lebaudy''', 61m, 11m diam., 3700m3, '''2x70HP Panhard & Levassor''' |- | '''1911''' || '''Capitaine Marchal''' || '''Lebaudy''', 85m, 12m80 diam., 7200m3, '''2x70HP Panhard & Levassor''', 45km/h |- | '''1911''' || '''Lieutenant Selle de Beauchamp''' || '''Lebaudy''', 89m, 14m60 diam., 10000m3, '''2x80HP Panhard & Levassor''', 45km/h |- | '''1912''' || '''Adjudant Réau''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard & Levassor''', 50km/h |- | '''1912''' || '''Lieutenant Chauré''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard & Levassor''', 50km/h |- |} ==== Les moteurs pour '''sous-marins''' au benzol ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Naiade class submarine (1903)|Naiade class submarine (1903)]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]] <br>A. C. KREBS built all the engines for the '''Naïade class submarines'''. <gallery> File:Sous-marin Thon.JPG|'''1908''' - Naïade-class submarine '''Thon'''. </gallery> '''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade||sous-marins]. {| class="wikitable nowraplinks" |+ '''''Naïade''-class submarines equiped with Panhard & Levassor benzol engines''' ! Name !! Pennant number !! Namesake !! Builder !! Launched !! Comments |- | [[w:Alose (sous-marin)|Alose]] || Q33 || "[[w:Shad]]" || [[w:Arsenal de Toulon]] || 12 October 1904 || [[w:Navy List|Stricken]] May 1914; preserved as museum ship |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Anguille_(1904) Anguille] || Q32 || "[[w:Eel]]" || Arsenal de Toulon || 8 August 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Bonite_(1904) Bonite] || Q19 || "[[w:Bonito]]" || Arsenal de Toulon || 6 February 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Castor_(1903) Castor] || Q26 || "[[w:Castor (genus)|Beaver]]" || [[w:Arsenal de Rochefort]] || 5 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Dorade_(1903) Dorade] || Q22 || "[[w:Dolphinfish|Dorado]]" || Arsenal de Toulon || 5 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Esturgeon_(1904) Esturgeon] || Q18 || "[[w:Sturgeon]]" || Arsenal de Toulon || 8 January 1904 || Stricken 1912 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Grondin_(1904) Grondin] || Q31 || "[[w:Sea robin|Gurnard]]" || Arsenal de Toulon || 15 July 1904 || Stricken 1913 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Loutre_(1903) Loutre] || Q25 || "[[w:Otter]]" || Arsenal de Rochefort || 25 August 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludion_(1904) Ludion] || Q24 || "[[w:Cartesian diver|Diver]]" || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lynx_(1903) Lynx] || Q23 || "[[w:Lynx]]" || [[w:Arsenal de Cherbourg]] || 24 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9duse_(1904) Méduse] || Q29 || "[[w:Medusa (biology)|Jellyfish]]" || Arsenal de Rochefort || 15 June 1904 || Stricken May 1914 |- | [[w:Naïade (1904)|Naïade]] || Q15 || "[[w:Naiad]]" || Arsenal de Cherbourg || 20 February 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Otarie_(1904) Otarie] || Q28 || "[[w:Sea lion|Sealion]]" || Arsenal de Rochefort || 16 April 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Oursin_(1904) Oursin] || Q30 || "[[w:Sea urchin|Urchin]]" || Arsenal de Rochefort || 26 September 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Perle_(1903) Perle]|| Q17 || "[[w:Pearl]]" || Arsenal de Toulon || 1 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Phoque_(1904) Phoque] || Q27 || "[[w:Pinniped|Seal]]" || Arsenal de Rochefort || 16 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%A9e_(1903) Protée] || Q16 || "[[w:Proteus]]" || Arsenal de Cherbourg || 8 October 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Souffleur_(1903) Souffleur] || Q21 || "[[Common bottlenose dolphin|Dolphin]]" (lit. "Blower") || Arsenal de Toulon || 20 April 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Thon_(1904) Thon] || Q20 || "[[w:Tuna]]" || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Truite_(1905) Truite] || Q34 || "[[w:Trout]]" || Arsenal de Toulon || 14 April 1905 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/X_(1904) X (Dauphin)]|| Q35 || "[[w:Dolphin]]" || Arsenal de Toulon || 15 November 1904 || '''First french submarine equipped with two propellers'''. Stricken May 1914 |- |} ==== L'automitrailleuse '''Genty''' pour le '''Général Lyautey''' au Maroc ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard-Genty 24 HP|Panhard-Genty 24 HP]], [[commons:Category:Henri Genty|Henri Genty]], [[commons:Category:Automitrailleuse|Automitrailleuse]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]] <br>A. C. KREBS construit les automitrailleuses Genty. <gallery> File:De la Touloubre (au volant d'une Bayard-Clément) - btv1b53225700r.jpg|'''1906''' - '''Henri Genty De la Touloubre''' racing driver on Bayard-Clément. File:Иллюстрация к статье «Автомобиль». Фиг. № 8. Военная энциклопедия Сытина. Том 1 (СПб., 1911—1915).jpg|'''1906''' - [[W:Panhard-Genty_24_HP|The Panhard 24 HP Automitrailleuse]] '''built by A. C. KREBS''' at the Panhard & Levassor factory '''as a former officer'''. File:1907-12-21 - La Vie Au Grand Air - auto-mitrailleuse Panhard & Levassor du Cap. Genty.jpg| '''1907''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97968382/f9.image.r=genty La Vie Au Grand Air] - '''Panhard & Levassor Automitrailleuse of Cap. Genty''' in operation '''in Morocco'''. File:1907 - Général Lyautey - Commandant général d'Algérie.png|'''1907''' - '''[[w:Hubert Lyautey|General Lyautey]]''' (1854-1934) : General Commander of [[w:Algérie française|Algerie]]. File:Photos-General-Dalbiez-Boite-4-008.jpg|'''1912-07''' - Appointed Resident General of Morocco '''General Lyautey''' visited Fez and Meknes with the '''Genty automobile'''. File:Lyautey reaches Marrakesh in armored car (1912, Le Petit Journal).jpg|'''1912-10''' - "'''General Lyautey''' went to Marrakech in '''an auto-machine gun'''". </gallery> '''1913''' - [https://armoredcars-ww-one.blogspot.com/2012/04/panhard-genty-machine-gun-car.html L'automitrailleuse Panhard-Genty]: "''Modification de '''1912''' sur le modèle Panhard 24 HP '''1907'''.''" Une [[W:Panhard-Genty_24_HP|Panhard 24 HP]] fut acquise par le ministère de la Guerre en '''1904''' afin d'expérimenter les capacités militaires des automobiles, notamment pour la reconnaissance. Suite aux manœuvres militaires de septembre '''1905''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] fut autorisé à installer des affûts de mitrailleuses sur la Panhard 24 HP, dont il était le pilote. Après transformation en '''1906''', la Panhard 24 HP fut envoyée en décembre '''1907''' au Maroc et mise en service à la frontière algéro-marocaine. Le général Maurice Bailloud, du 19e corps d'armée algérien, réclama de nouveaux véhicules. Des voitures [[w:Adolphe_Clément-Bayard|Clément-Bayard]] furent expédiées en '''1908''' et '''1910''', mais se révélèrent inadaptées. '''Trois Panhard 24 HP''' furent alors livrées à nouveau en '''1912'''. En '''1903''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] proposa, conjointement avec A. C. KREBS, de modifier un châssis Panhard & Levassor pour en faire '''une automitrailleuse opérationnelle'''. Il surélève la garde au sol du châssis de 32 cm grâce à des ressorts de 0,90 m à l'avant et de 1,30 m à l'arrière. L'essence est répartie dans deux réservoirs cylindriques indépendants de 45 litres formant les sièges, offrant une autonomie de 400 km sur route en bon état et de 250 km sur route en mauvais état. Le moteur de 35 ch permet au véhicule d'atteindre 65 km/h en vitesse de pointe. Il est équipé d'un carburateur automatique Krebs, d'un double allumage (batterie et magnéto), d'une lubrification automatique, d'un refroidissement par pompe et radiateur avec réservoir isolé, d'un échappement libre "à la demande", d'un embrayage à cône de cuir, d'une boîte de vitesses à baladeur et d'une transmission par chaîne. La direction est irréversible, avec un angle de braquage de 25°. Le freinage est assuré par des freins à mâchoires sur le différentiel et des freins à ruban sur les roues arrière. Les roues sont équipées de jantes démontables, système Michelin, permettant un changement de pneu en 4 minutes maximum. Le risque de crevaison est réduit grâce au choix de pneus 920 x 120 à semelle renforcée, résistants aux pierres et aux épines. Deux roues de secours sont fixées à droite du véhicule. L'armement du véhicule comprenait '''2 mitrailleuses Hotchkiss''' : une sur son affût et une de rechange sur ses supports, à droite du véhicule. La mitrailleuse utilisée pouvait être placée sur l'un des deux supports situés à l'arrière et au centre du véhicule. Les munitions étaient réparties dans neuf caisses d'une capacité totale de '''20.000 cartouches''', dont 3.600 dans les coffres du véhicule. ==== Le tracteur d'artillerie '''Châtillon-Panhard''' ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Tracteur Panhard-Châtillon|'''''Tracteur Châtillon-Panhard''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Châtillon-Panhard|Châtillon-Panhard]] <br>En '''1911''' - A. C. KREBS conçoit, conjointement avec la Sté Chatillon, un '''véhicule tout terrain''' à quatre roues motrices et directrices ["'''''à adhérence totale'''''", '''avec un seul différentiel'''. Ce camion destiné à des fins militaires et civiles, a été utilisé pendant la Première Guerre mondiale comme '''tracteur d'artillerie'''. <gallery> File:Artillery Tractor Chatillon-Panhard 1914.jpg|Le [[w:Châtillon-Panhard|'''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' à quatre roues motrices et directrices]]. File:1913 Tracteur-Chatillon-Panhard=plans.jpg|'''1911''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f282.image '''tracteur 4X4 Châtillon-Panhard''' à "adhérence totale"]. <ref>'''1914''' - '''The Field Artillery Journal''' : [https://archive.org/details/sim_field-artillery_october-december-1914_4_4/page/526/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 "The Châtillon-Panhard traction-motor of total adhesion"], par le Commandant L. Ferrus.</ref> File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 109|'''1913''' - La "'''''transmission à vis'''''" du Châtillon-Panhard. File:1914-1918 Tracteur-Chatillon-Panhard - Artillerie lourde, un groupe de 120 long.ogg|'''Video''' : '''1916''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://imagesdefense.gouv.fr/fr/artillerie-lourde-un-groupe-de-120-long-a-tracteur.html# "'''''Artillerie lourde, un groupe de 120 long'''''"]. File:WWI French army Panhard truck.jpg|'''1916''' - '''Tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' : 35HP K11. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 16|'''1917''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f313.image.r=panhard# "'''''Transmission par vis sans fin et engrenages coniques'''''"]. </gallery> ==== Le char '''Saint-Chamond''' ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Saint_Chamond_tank|'''''Char Saint-Chamond''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]] <br>A. C. KREBS construit les moteurs sans soupapes des chars Saint-Chamond. <gallery> File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manœuvre - gravure.jpg|'''1916''' - Le '''Char Saint-Chamond''' à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65523451/f13.item.r=Artillerie%20St-Chamond '''moteur Panhard & Levassor sans-soupape''']. File:1914-1918 - P&L- Char-Saint-Chamond.pdf|'''1916-1918''' - Le [[w:Saint-Chamond (char)|'''Char Saint-Chamond''']] à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:1914-1918_-_P%26L-_Char-Saint-Chamond.pdf moteur '''Panhard & Levassor''']. File:St. Chamond.jpg|'''1917''' ~ '''chars St. Chamond''' à l'exercice. </gallery> ==== Les '''treuils de ballons captifs''' à moteurs à essence ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ballon captif|Ballon captif]] <br>'''1916''' - A. C. Krebs transpose son treuil à vapeur hippomobile de '''1882''' sur ses camions Panhard & Levassor, en ajoutant un bloc-moteur et un poste de manœuvre du ballon afin de permettre au dispositif de rester opérationnel au cours du déplacement. <ref name=treuil-Krebs/> <ref name=treuil-Krebs>. '''1921''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555734j/f22.item.r=panhard# '''Treuils de ballons captifs'''] : toutes les variantes de treuils basées sur le système Krebs de touage à 2 tambours parallèles. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555735z/f45.image.r=treuil (Suite)].</ref> '''1921''' - "''Avant la guerre il était couramment admis que, seule la machine à vapeur possédait l'élasticité de puissance nécessaire pour manœuvrer un ballon captif''." <ref name=treuil-Krebs/> <gallery> File:1916 - Poste d'aérostation=Treuil A. C.KREBS à vapeur modèle 1882.jpg|'''1916''' - Poste d'aérostation : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_%C3%A0_vapeur.pdf '''Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882 en opération'''] en France (voir supra). File:Aérostation - la voiture-treuil permettant de monter et descendre le ballon captif, avec le générateur d'hydrogène pour le gonfler - Marasesti - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - AP62T122957.jpg|'''1917''' - Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882''' (voir supra) '''en opération en Roumanie'''. File:1916-07-24 Près de La Neuville-au-Pont=un camion treuil Panhard K19 SS camouflé de l'aérostation sort de son abri=treuil Krebs.jpg|'''1916''' - Près de La Neuville-au-Pont, un '''camion treuil''' d'aérostation ('''treuil système KREBS''') '''PANHARD K19 SS''' camouflé, sort de son abri. File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&L.jpg|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_Panhard_%26_Levassor.pdf '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence adapté par lui-même] sur son camion T4 RKV '''Panhard & Levassor'''. File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&L en opération.png|'''1916''' - '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence '''sur son camion T4 RKV Panhard & Levassor''' en operation. </gallery> ==== La '''locomotive automotrice''' Leroux ==== '''Voir aussi''' : [[w:Crochat|Crochat]] <br>A. C. KREBS poursuit l'orientation de Levassor vers '''le petit matériel ferroviaire''' dès '''1896'''. <br>'''1898''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5711501d/f6.item '''Notes sur les voitures automobile'''] : Le "''camion à marchandises''", et l' "''automobile postale du Nord''" avec son schéma. <br>'''1913''' - A. C. KREBS construit la [https://www.musee-du-genie-angers.fr/fpdb/202922-42-locotracteurblindecrochattypelc81916.pdf '''locomotive automotrice pétroléo-électrique'''] Leroux destinée au ministère de la guerre : moteur de 150 cv et transmission électrique. <ref>'''1913''' - '''Comité de direction P&L''' - '''1913-13-01''' - "''Monsieur Krebs donne connaissance d’un projet de contrat entre la Sté P&L et M. Leroux de Valenciennes pour la construction de locomotives automotrices. Les clauses de ce projet de contrat sont analogues à celles du projet de contrat relatif aux accumulateurs Edison''". '''1913-12-22''' - "''La locomotive pour la Guerre étudiée avec le concours de M. Leroux (agent Fives) est commandée. Cette locomotive doit être livrée le 22 juin. On prendra, pour arriver à faire la livraison en temps voulu, l’un des moteurs [de canot de course] de 150 chevaux en construction pour M. Despujols. Malicet et Blin pourrait se charger de la taille des engrenages de la boîte''". '''1914-05-12''' - '''État de Production''' : "''Locomotive BT4N²-BT4 - Commande des ventilateurs de radiateurs avec débrayage automatique. Boîte BT4 - Dessins d’exécution terminés. BT4N² - Hausse pour essai du moteur sur VIMA. BS3-4MF - Groupe électrogène dynamo [https://fr.wikipedia.org/wiki/Compagnie_fran%C3%A7aise_pour_l'exploitation_des_proc%C3%A9d%C3%A9s_Thomson-Houston Thomson Houston]''". '''1914-07-22''' - "''M. Leroux nous demande de presser la construction des locomotives militaires. Il aurait voulu voir devancer la date de livraison en vue des manoeuvres d’Epinal.''" [...] "''On nous demande de faire des propositions pour une automotrice pour voie de 0,60 m pour le Maroc. Le prix de revient d’une pareille automotrice serait de 15.629 frs. Nous demanderons 20.000 frs. Nous n’avons pas un grand intérêt à nous lancer dans cette voie nouvelle''". </ref> <gallery> File:1899 - Panhard & Levassor - catalogue avec bateau, draisine postale et tramway.pdf|page=42|'''1897''' - La '''draisine postale''' P&L pour la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5527474m/f5.item Compagnie du chemin de fer du Nord]. File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|page=41|'''1899''' - '''Tramway à 24 places''' de Panhard & Levassor. File:1901-01-19 - Scientific-American-v84-n03 - la draisine à pétrole Panhard & Levassor.png|'''1901''' - Une '''draisine postale à pétrole''' conçue par A. C. KREBS. File:Crochat Type L.jpg|'''1913''' - Cette [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6244610g/f49# '''locomotive Crochat'''] date de la même année que la '''locomotive Leroux''' à moteur Panhard de A. C. KREBS. </gallery> == '''Gestionnaire de grands projets technologiques (1876-1916)''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor|'''''Panhard & Levassor''''']] <br>'''Voir aussi''' : [https://de.wikipedia.org/wiki/Panhard_%26_Levassor Panhard & Levassor] (Deutsch), [https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Panhard%26Levassor-Pkw liste des types]. <br>'''1871''' - "''Après la guerre, j'ai été détaché à l'école de Saint-Cyr, où je suis resté un an ''[18 mois]'' pour compléter mon éducation militaire. Depuis lors, je me suis continuellement occupé de questions mécaniques et '''je me suis consacré à des études me permettant de me former en tant qu'ingénieur, par mes propres efforts, en me tenant au courant des nouveaux développements dans les arts mécaniques'''.''" <ref> '''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf&page=11 Témoignage de A. C. KREBS au procès Selden] : "''After the war I was transferred to St. Cyr School, where I remained for one year in order to complete my military education. Since then I have continually been occupied with mechanical matters, and I applied myself to studies to equip myself as engineer, by my own efforts, keeping myself in close touch with new developments in the mechanical arts''."</ref> '''1877''' - '''A. C. KREBS (27 ans)''' à '''Ch. Renard (30 ans)''' : "''Il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'' [...]". <ref>'''Fin 1877''' - '''A. C. KREBS''' à '''Ch. Renard''' : "''Mon cher capitaine, Venez demain à Poissy ''[où stationne le régiment de A. C. KREBS]'' dans la soirée dîner avec moi, parce qu'il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. '''Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'''. C’est pourquoi, si vous pouviez venir demain, nous arrêterions définitivement la forme du moteur à exécuter immédiatement, puis les études seront poursuivies ensuite. J’ai complètement fini la chaudière. Je vous ferai voir les tentatives et les résultats des derniers essais, soit de distribution, soit de dispositifs de machines, et '''les avantages et inconvénients''' qui en résultent. Ceci est très important à savoir '''pour ne pas recommencer inutilement des choses déjà faites'''. C’est surtout comme distribution par robinet que l’on est exposé à des consommations de vapeur énormes ou à des usures prématurées. Pour moi, en ce moment, l’idéal comme machine est celle fonctionnant avec une vapeur légèrement surchauffée pour éviter à l’intérieur du cylindre toute espèce de condensation et obtenir ainsi une économie de combustible. Il ne faudrait pas dépasser, comme température, 200°. On aurait à craindre aucun grippement, et '''en équilibrant par des ressorts les masses en mouvement on pourrait atteindre de grandes vitesses de rotation, en faisant vibrer pour ainsi dire à l’unissons toutes les pièces en mouvement'''. Enfin, à demain. Tout à vous. Venez avec de la Haye.''"</ref> '''1888-04-17''' - '''A. C. KREBS''' : "''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis.''" '''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : "''L'attitude du constructeur britannique a en effet été bien décrite comme celle d'un '''marché aux portes de Panhard''', une position également avantageuse pour le constructeur américain.''. <ref>'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : ''Indeed the attitude of the British maker has been well described as [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-02_4_2/page/n3/mode/2up?q=panhard 'sitting on '''Panhard''''s doorstep'], a good place also for the American maker''".</ref> '''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : "''L'automobile française est le fruit d'une longue expérimentation et d'une réflexion approfondie consacrée à chaque pièce, de l'axe, du boulon de blocage et de la rondelle, jusqu'au moulage du cylindre et aux segments de piston''". <ref>'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-04_4_4/page/320/mode/2up?q=panhard "''Le soin du travail français''"] By C. R. Mabley.</ref> <gallery> File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris. File:1886 Renard & Krebs plan du parc aérostatique de Chalais-Meudon.jpg |'''1886''' - Renard & Krebs : plan du [[W:Chalais-Meudon|'''Parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''']]. 1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''. File:1900~Pompiers depart-attele.jpg| '''1895''' - '''Pompiers de Paris''' : Le départ attelé de la réorganisation de A. C. KREBS avec la '''pompe à vapeur Durenne & Krebs''' (modèle 1888) visible en arrière plan. File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental "'''''Gymnote'''''" (à gauche), le grand sous-marin "'''''Gustave Zédé'''''" (à droite) est construit par la Marine française. File:1895 - Panhard & Levassor - 'The first Petrol car introduced into England' by Hon. Evelyn Ellis.png|'''1895''' - Panhard & Levassor - "'''''La première voiture à essence introduite en Angleterre'''''" par l'honorable Evelyn Ellis. <ref>'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMotors_and_motor-driving_(IA_motorsmotordrivi00nortiala).pdf&page=45 Motors and motor-driving]: "'''''The first Petrol car introduced into England", the Hon. Evelyn Ellis's 4HP Panhard & Levassor Car'''''".</ref> File:1896-09-03 rencontre Levassor-Krebs=prise de licence sur le brevet Krebs.pdf |'''1896-09-03''' - Lettre de prise de licence de '''Émile LEVASSOR''' adressée à Arthur C. KREBS pour son brevet d'automobile '''FR'''256344. File:Panhard & Levassor catalogue 1896-7.pdf|'''1897''' - catalogue des voitures [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf '''Panhard & Levassor''']. File:Automotive diagrams 01 En.png|'''1898''' - A. C. KREBS complète le "[[W:Moteur_%C3%A0_l%27avant_et_roues_arri%C3%A8re_motrices|'''système panhard''']]". File:1898-04-16 - La France Automobile - 'The first car in Japan'.pdf|'''1898''' - La France Automobile : '''''[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E8%87%AA%E5%8B%95%E8%BB%8A%E3%81%AE%E6%B8%A1%E6%9D%A5 La première voiture à pétrole au Japon]''''', une Panhard & Levassor type M2E, n°941, livrée le 11-08-'''1897'''. File:Panhard & Levassor catalogue 1898.pdf|'''1898''' - Catalogue des [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1898.pdf voitures '''Panhard & Levassor'''] alors que A.C. KREBS dirige la société. File:1898-Panhard race car=The first car in Britain fitted with wheel steering.png |'''1898''' - La '''voiture de course Paris-Amsterdam-Paris''' Panhard & Levassor 6HP exportée de France par Henry Rolls : "'''''Première voiture en Grande-Bretagne équipée d'un volant'''''". <ref name=Rolls /> File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|'''1899''' - Catalogue des voitures Panhard & Levassor avec '''bateau''', '''draisine postale''' et '''tramway'''. File:1899-10 - Horseless age - Steinway Daimler-Panhard Phenix advertisement.png|'''1899''' - [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Steinway#Daimler_cars '''Steinway'''] : publicité '''Daimler-Panhard Phénix''' : "'''''Le standard automobile mondial'''''". File:Les usines Panhard d'Ivry en 1900.jpg |'''1900-05-27''' - La Vie au Grand Air: "'''les usines Panhard'''". File:1900 VCP=1° en Espagne (PM-1 + PM-2 + PM-5).jpg|'''1900''' - La [https://en.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9ment-Panhard '''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''] est la 1ère voiture à pétrole à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900_VCP%3D1%C2%B0_en_Espagne_(PM-1_%2B_PM-2_%2B_PM-5).jpg Palma de Majorque], au [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Santa_Casa_de_Miseric%C3%B3rdia_Salvador_Bahia_VCP_Voiture_Cl%C3%A9ment_Panhard_1898-0553.jpg Brésil], en [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_P%26L_VCP_Capitaine_Fjodorovi_1%C2%B0-Tallin_Estonie.jpg Estonie] etc. File:1904 - Self-propelled vehicles - Panhard & Levassor - "the foremost in the automobile world".jpg|'''1901''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1901-02-16_51_1311/page/21014/mode/2up?q=panhard Scientific American] : "'''''L'automobile Panhard & Levassor'''''". '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/350/mode/2up?q=panhard Véhicules automoteurs] : "'''''Le leader du monde automobile'''''". 1901-04-13 The Autocar='A visit to the Panhard works'.pdf |'''1901-04-13''' - The Autocar: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-04-13_The_Autocar%3D%27A_visit_to_the_Panhard_works%27.pdf "'''Une visite aux usines Panhard''']: ''Il ne faut pas s'imaginer que nous désespérons de l'industrie anglaise ; loin de là, car il existe chez nous des entreprises qui produisent un travail au moins égal à celui de '''Panhard and Levassor''', mais '''aucune entreprise n'est comparable à elle en termes d'ampleur'''.''" File:1902 Fiat 12-16 HP Museo Nazionale dell'Automobile di Torino 01.jpg|'''1901-06-21''' - [[W:Fiat|'''FIAT''']] prend la décision '''de copier la voiture légère Panhard & Levassor''', ainsi l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Giovanni Enrico] conçoit la [[W:Fiat|'''FIAT 12HP''']]. <ref>[https://www.byterfly.eu/islandora/object/librib%3A632795#page/166/mode/2up '''Procès-verbaux du conseil d'administration FIAT (1899-1915)''']. '''1900-10-09''' - <small>"[L'ingénieur Marchesi] ''estime qu'il serait judicieux d'acheter une bonne voiture française, et peut-être même une Panhard Levassor de dernier modèle, afin de pouvoir les étudier, notamment les détails de leur construction''". '''1900-10-16''' - "''Faccioli dit que bien que le système actuel fonctionne correctement, il estime qu'il y aurait d'énormes avantages à placer le moteur à l'avant, tant pour des raisons de facilité que pour des raisons de perfectionnement de la construction, et pour standardiser les modèles. Il affirme avoir déjà étudié un projet qui répondrait aux besoins actuels. Agnelli propose de conserver le type Panhard Levassor. Après une longue et animée discussion, le Président demande l'avis du Conseil sur les deux propositions''". La proposition de Faccioli est approuvée. '''1901-11-12''' - "''Goria Gatti partageait l'avis de Ceriana, mais après avoir étudié la question en profondeur, il était convaincu de la validité des arguments du Président. Notre usine, occupée à produire 100 Fiat cette année, ne serait absolument pas en mesure de fabriquer la petite voiture. Or, les petites voitures étant très recherchées et le marché saturé de voitures étrangères, il est nécessaire de leur proposer un modèle tout aussi performant et moins cher, afin d'attirer une nouvelle clientèle, qui serait alors peut-être disposée à acheter une Fiat. Il fut donc judicieux de faire construire pour nous, par une usine étrangère, une voiture équipée d'une boîte de vitesses de type Darracq et d'un moteur De Dion de 4,2 CV. C'est une question d'opportunité, et il estime qu'il n'est pas pertinent de parler du caractère italien de l'usine ni de la simple revente de voitures. Même le grand constructeur français, Panhard-Levassor, avait une petite voiture anglaise, la Krebs, fabriquée par les ateliers Clément''[pour ce faux bruit voir la Voiture Clément-Panhard supra]''. Quoi qu'il en soit, puisque nous n'abandonnerons pas le modèle Fiat, mais le limiterons aux grandes voitures, personne ne pourra dire que nous avons renié notre propre moteur. Il conseille de ne pas engager plus de 50 petites voitures.''". '''1901-06-21''' - "''Le président informe le Conseil que le conseiller Agnelli et l'ingénieur Enrico, s'étant rendus à Paris, ont examiné un véhicule léger qu'ils comptaient acquérir auprès de l'usine comme modèle pour l'année suivante. Cependant, faute d'explications de la part du fournisseur, l'achat n'a pu être effectué. Il demande à M. Agnelli de s'expliquer. ''[[W:Giovanni_Agnelli_(1866-1945)|'''M. Agnelli''']] explique que, lors de son séjour à Paris en compagnie de l'ingénieur Enrico, envoyé par l'usine sur ordre du président, ils ont examiné un nouveau véhicule léger provenant de l'une des meilleures usines parisiennes (Panhard & Levassor). Ce véhicule, très simple, économique, pratique et facile à construire, leur a semblé opportun. Ils ont donc jugé bon de proposer son acquisition par télégramme au Conseil. Cette proposition visait à mettre fin à des études interminables et coûteuses, et à pouvoir entreprendre sans délai une production sérieuse, productive tant en quantité qu'en qualité. Il se souvient avoir déjà formulé une proposition similaire à plusieurs reprises, notamment en juin et septembre de l'année dernière et en mars de cette année. Il estime cependant qu'il n'appartient pas au Conseil de délibérer sur le fond de la question, cette décision relevant de la compétence exclusive de la Direction technique''".</small></ref> File:1902 Catalogue Panhard & Levassor.pdf|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_Catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1902-03-01 - Scientific American supplement - "THE NEW LIGHT PANHARD & LEVASSOR AUTOMOBILE".pdf|'''1902''' - Scientific American : [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1902-03-01_53_1365/page/21873/mode/1up?q=panhard "'''THE NEW LIGHT PANHARD & LEVASSOR AUTOMOBILE'''"]. File:1902 - The Panhard & Levassor car of Dr-LEHWESS for his word tour.png|'''1902''' - La voiture Panhard & Levassor du Dr LEHWESS pour son '''tour du monde''' : "[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:The_Enterprise_1902-10-04_(IA_cssf_000378).pdf&page=2 '''''La voiture doit être capable de bien grimper les côtes pour franchir les Rocheuses !''''']". File:1903-04-09 - Counterfeiting by Mercedes of the Panhard & Levassor Centaure carburetor transaction between the parties.pdf|'''1903''' - '''contrefaçon par Mercedes''' du '''carburateur Centaure''' de Panhard & Levassor (transaction). File:1912 - Panhard & Levassor - usine de Reims.jpg|'''1904''' - A. C KREBS fonde '''l'[[W:Usine_Panhard-Levassor_de_Reims|usine Panhard & Levassor de Reims]]'''. File:1909 NYPL=P&L agence-New-York american-branch-Broadway+62°rue-NW US-01.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS crée '''''l'American Branch''''' située '''sur Broadway à New York'''. File:1905 - Panhard & Levassor - Manuel de conduite et d'entretien Phénix, Centaure, modèle 1904.pdf|'''1905''' - Manuel de conduite et d'entretien '''''Phénix''''', '''''Centaure''''', '''''Type 1904'''''. File:1905-08-04 The-Engineer=The Panhard & Levassor Motor Car Works.jpg|'''1905''' - The Engineer : [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up "'''''Quelques usines automobiles françaises'''''"] - PANHARD AND LEVASSOR. <ref>'''1905-08-04''' - [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up?q=panhard '''The Engineer'''] : "''L'industrie automobile s'est donc développée très lentement jusqu'à ce qu'il soit constaté que le '''type Panhard original''' de '''moteur vertical''' et de '''boîte de vitesses''' représentait véritablement '''une norme de conception permanente'''.''"</ref> File:1905 P&L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|'''1905''' - Panhard & Levassor : ''' catalogue anniversaire des 50 ans de l'usine''' dirigée par A. C. KREBS. <ref>'''1905''' - [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/The_Engineering_and_Mining_Journal_1905-05-25-_Vol_79_Iss_21_%28IA_sim_engineering-and-mining-journal_1905-05-25_79_21%29.pdf The Engineering and Mining Journal]: "''La machine à vapeur a été utilisée pour le transport de marchandises sur les vastes plaines du Sud-Ouest, notamment pour le commerce du borax. Plus récemment, l'automobile a été mise en service au Nevada, et l'un de nos confrères nous a confié effectuer le trajet de 160 kilomètres (100 miles) entre Tonopah et Bullfrog en sept heures. Cela nous rappelle les voyages d'inspection de plusieurs centaines de kilomètres (plusieurs centaines de miles) que MM. H. C. Hoover et J. H. Curie ont effectués l'an dernier '''à bord d'une Panhard, sur le plateau désertique d'Australie-Occidentale'''. L'idée même d'un tel confort de déplacement adoucira les mauvais souvenirs de ceux qui ont dû chevaucher le chameau à bascule ou la mule récalcitrante sur le sable et les spinifex d'Australie-Occidentale, ou encore sur les terres alcalines et les armoises du Grand Bassin.''".</ref> File:1905 P&L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|page 23|'''1905''' - A. C. KREBS introduit '''l'entrée latérale dans la carrosserie automobile'''. <ref>'''1906''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906-01-06_-_OMNIA_-_Standardisation_des_carrosseries_%C3%A0_entr%C3%A9e_lat%C3%A9rale_demand%C3%A9e_par_A._C._KREBS_en_1904.pdf&page=4 OMNIA] : "''À l’heure actuelle, on peut dire que toute carrosserie, de route ou de ville, couverte ou découverte, doit être à entrée latérale. Cette disposition présente de tels agréments pour le voyageur, que l’on se demande comment on a pu s’en passer si longtemps ! ''". '''01/1933''' - '''Le carrossier Labourdette''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3067216z/f38.image.r=krebs "''L'entrée latérale fut réalisée sur l'insistance de plusieurs constructeurs. Je me souviens des conversations que mon père eut alors, sur ce sujet, avec le commandant Krebs de la maison Panhard''"]. Notons qu'au XXI° siècle l'entrée latérale avec échancrure sur le passage de roues arrière reste le standard de la carrosserie automobile.</ref> File:1905 - Palais de l'Automobile - catalogue Panhard & Levassor (New-York).pdf|thumb|'''1905''' - '''Palais de l'Automobile''' : catalogue Panhard & Levassor à ('''New-York'''). File:1905-11-18 – The AUTOMOTOR JOURNAL - The 50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine.pdf|'''1905''' – The AUTOMOTOR JOURNAL: [https://archive.org/details/AutomotorJournalSecondHalf1905/page/n665/mode/2up?q=panhard voiture Panhard-Levassor 50-h.p. 6 cyl.]. File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf|page 2|'''1906''' - A. C. KREBS se rend '''à New York''' pour témoigner en tant qu'expert dans le cadre du procès Selden qui oppose les propriétaires du '''brevet Selden''' et conjointement '''Ford''' et '''Panhard & Levassor''' ([https://hal.science/hal-05527435 transcription traduite et annotée]). File:1910 Le jeune premier de l'Europe=caricature du roi Alphonse XIII d'Espagne qui vient de visiter les usines P&L avec KREBS.jpg|'''1905-11''' - Caricature du jeune [https://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso_XIII '''roi Alphonse XIII d'Espagne'''] qui vient de visiter les '''usines Panhard & Levassor''' guidé par '''A. C. KREBS'''. <ref>'''1905-11-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46271521/f1.image.r=krebs '''L'Auto-vélo''']: "''Le '''nouvel amortisseur progressif''' que la maison Panhard adapte sur ses véhicules de '''1906''' intéresse particulièrement le Roi'' ['''[[W:Alphonse_XIII|Alfonse XIII]] d'Espagne''']. ''À deux reprises il sollicite du commandant Krebs le nom de l'inventeur de cet ingénieux dispositif, mais le commandant - dont la modestie bien connue a durci l'oreille - néglige de répondre...''"</ref> File:1905 - P&L catalogue-Harvey-du-Cros GB - 'HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS'.pdf|'''1905''' - Catalogue Panhard & Levassor de '''Harvey-du-Cros - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf "''HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS''"] au Royaume-Uni''' quand A. C. KREBS dirige la société. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - Panhard & Levassor : "[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf '''Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures''']". File:1906-04-22 La Stampa Sportiva=leçon d'automobilisme chez P&L.jpg|'''1906''' - "''L' [https://www.byterfly.eu/islandora/object/libria%3A37036#mode/2up '''école moderne de l'automobiliste''']: Une leçon pratique donnée aux élèves de '''l'école du mécanicien et du conducteur d'automobile de Paris''', visitant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46272650/f1.image.r=%22nos%20cours%20d# '''l'usine Panhard and Levassor''']" dirigée par '''A. C. KREBS'''. File:1907 - Panhard & Levassor catalogue in New-York.pdf|'''1907''' - La gamme des '''voitures Panhard & Levassor''' proposée par A. C. Krebs '''à New York'''. File:1907 The Highland Association Bazaar - Panhard advertisement.pdf|'''1907''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASouvenir_and_handbook_of_Feill_a%27_Chomuinn_Ghaidhealaich_(The_Highland_Association_Bazaar)_1907_(IA_souvenirhandbook00comu).pdf&page=12 Publicité à Glasgow] : "'''''PANHARD—Best French Car. Runs well after 120,000 miles'''''". File:1908 - Panhard & Levassor- catalogue.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1908 - Panhard & Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf '''catalogue des poids lourds'''] Panhard & Levassor. File:1909 - Panhard & Levassor - catalogue.pdf|'''1909''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1909-Panhard & Levassor automobile catalogue for the 'American Branch' in Broadway in NewYork.pdf|'''1909''' - Panhard & Levassor : Catalogue de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-Panhard_%26_Levassor_automobile_catalogue_for_the_%27American_Branch%27_in_Broadway_in_NewYork.pdf '''l'American Branch''']. File:1909-1914 - L'Auto-vélo - les "Vendredi" de Panhard & Levassor.pdf|'''1909-1914''' - L'auto-Vélo : '''''Les "Vendredi" de Panhard & Levassor'''''. File:1910 Salon-de-l'Automobile-de-Paris=le nouveau moteur sans-soupapes au stand Panhard&Levassor.jpg|'''1910''' - '''Salon de l'auto de Paris''' : présentation du '''nouveau moteur sans soupapes''' au stand Panhard & Levassor. Ce moteur est '''conçu par A. C. KREBS sous licence Knight'''. File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard & Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - [[w:Émile Dubonne|Émile Dubonnet]] gagne le prix de [[W:La_Nature|LA NATURE]] sur un avion monoplan [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Tellier]] à moteur Panhard & Levassor conçu par A. C. KREBS (GAMY). File:1910 - Usine Panhard & Levassor vue depuis un ballon à 700m d'altitude.png|'''1910''' - '''L'usine Panhard & Levassor''' vue depuis un ballon à 700m d'altitude. File:1910 - Panhard & Levassor - Catalogue de pièces de rechange.pdf|'''1910''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1910_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_pi%C3%A8ces_de_rechange.pdf '''Catalogue de pièces de rechange'''] Panhard & Levassor. File:1911 - Life Magazine - The Silent-Knight.pdf|'''1911''' - '''A. C. KREBS''' developpe la version Panhard & Levassor du brevet '''Knight : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404174/publication/FR356196A?q=FR356196 '''FR'''356196], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032197949/publication/GB190514729A?q=GB190514729 '''GB'''190514729], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003159208/publication/US1090991A?q=pn%3DUS1090991A '''US'''1090991A]'''. File:1911 - Exposition de Turin - catalogue Panhard & Levassor.pdf|'''1911''' - '''Catalogue Panhard & Levassor''' pour [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1911_-_Exposition_de_Turin_-_catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''l'Exposition de Turin''']. File:Dassault Marcel.jpg|'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' (1892-1986) décide de faire un stage dans l'usine '''Panhard & Levassor'''. <ref>'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' décide de faire un stage chez '''Panhard''', et note : "''Pendant les grandes vacances suivantes, je fis un stage comme ouvrier chez Panhard. Après être passé par les différents ateliers, j'arrivai au stade de la mise au point des voitures 24CV sans soupapes. Ce travail consistait, après réglage du moteur, à faire un essai sur route du châssis, le siège étant composé d'une simple caisse à outils. J'ai ainsi appris à connaître l'organisation d'une grande usine de mécanique. J'ai aussi apprécié le travail des ouvriers, leur esprit d'équipe, leur joie quand la firme gagnait une course ou battait un record, ou lors de la sortie d'un nouveau type de voiture particulièrement réussi.''" ([https://archive.org/details/talismanautobiog0000dass/page/n3/mode/2up 'Le Talisman'], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1970_Marcel-DASSAULT%3D%27Le_Talisman%27_(ed._J%27ai_Lu).jpg Paris, 1970, ed. J'ai Lu]).</ref> File:1912 Panhard & Levassor - Arthur Constantin KREBS entouré de Charles de Fréminville de Paul Panhard et de ses directeurs.jpg|'''1912''' - Panhard & Levassor : '''A. C. KREBS''' entouré de [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|'''Charles de Fréminville''']] (à sa droite), par '''Paul Panhard''' (à sa gauche) et d'autres directeurs. <ref>[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''1912''' - '''Usines Panhard & Levassor''' dirigées par A. C. KREBS]: les ateliers et le personnel de Paris (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).</ref> File:1912 Usine-Panhard et Levassor - les ateliers et le personnel de Paris.pdf|'''1912''' - Les usines Panhard & Levassor dirigées par A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''Les ateliers et le personnel de Paris'''] (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers). File:1912 - Panhard & Levassor - Catalogue couleur.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_couleur.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor''']. File:1912 - Panhard & Levassor - Catalogue-luxe.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue-luxe.pdf ''' Catalogue de luxe Panhard & Levassor''']. File:1913 - Panhard & Levassor - catalogue de luxe.pdf|'''1913''' - Catalogue de luxe Panhard & Levassor : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1913_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_de_luxe.pdf '''"''S'ils avaient eu l'automobile !''"''']. File:1914 - Panhard & Levassor - Catalogue de luxe.pdf|'''1914''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_luxe.pdf '''Catalogue de luxe Panhard & Levassor''']. File:Gazette du Bon Ton, 1914 - No. 7, Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée (titel op object), RP-P-2009-1940-12.jpg|'''1914''' - Publicité Panhard & Levassor : "''Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée''". File:1914 - Panhard & Levassor - Tracteur d'artillerie (aquarelle Gamy).jpg|'''1914''' - Le '''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' (aquarelle Gamy) conçu A. C. KREBS. File:Panhard Oil-Motoring Magazine-1915-031.jpg|'''1915''' - Publicité : '''L'huile Panhard pour cylindres'''", "'''''La logique d'une bonne huile pour cylindres'''''". File:1916 - Panhard & Levassor - Catalogue.pdf|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor''']. File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg Une voiture Panhard & Levassor 24HP de 1908] est transformée en '''véhicule ferroviaire''' pour le transport de personnes et de marchandises sur la ligne [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 Normanton-Croydon en northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') jusqu'en '''1929'''. File:1915-1917 - Panhard & Levassor - usine en guerre.pdf|'''1914-1918''' - '''WWI''' : Panhard & Levassor: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915-1917_-_Panhard_%26_Levassor_-_usine_en_guerre.pdf?uselang=fr '''Usine en guerre dirigée par A. C. Krebs''']. File:1917-05-17 - Automotive-industries - The Chatillon-Panhard truck in Italy.jpg|'''1917''' - Automotive-industries : '''Le [https://archive.org/details/sim_country-life_1915-06-26_37_964/page/n293/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 camion Châtillon-Panhard] en Italie'''. File:Panhard & Levassor enamel advert sign at the den hartog ford museum pic-099.JPG|'''1920''' ~ Le logo Panhard & Levassor. File:1914-1918 - WWI - voiture Panhard & Levassor.webm|Video: '''1918''' - '''WWI''' : Une '''voiture Panhard & Levassor démarre'''. File:Ant-pen-map-Danco.PNG|'''1960''' - Le [[w:Krebs Glacier|'''Glacier Krebs''']] : s'écoulant dans [[w:Charlotte Bay|Charlotte Bay]], nommé d'après [[w:Arthur Constantin Krebs|A. C. Krebs]], "''qui a construit et piloté le premier [[w:Ballon dirigeable|dirigeable]] capable d'un vol stable et contrôlé, en '''1884'''"''. File:Alose french submarine 1907 02.jpg|'''1975''' - Sous-marin [[w:Alose (sous-marin)|'''Alose''']] (1904), '''renfloué et restauré''' (France). File:Saint-Chamond.Saumur.0004fq2z.jpg|'''2006''' - '''Tank Saint-Chamond''' exposé au ''[[w:Musée des Blindés de Saumur|Musée des Blindés]]'' de [[w:Saumur|Saumur]]. File:Panhard & Levassor Type E im Museum Valencay.JPG|'''2011''' - '''Panhard & Levassor Type E''' au [[w:Musée de l'automobile de Valençay|'''Musée de l'automobile''']] de [[w:Valençay|Valençay]]. File:Panhard & Levassor Type X 25 1914.JPG|'''2011''' - '''Véhicule d'incendie Panhard & Levassor Type X 25''' (1914) au [http://www.musee-sapeurs-pompiers.org/ '''Musée des Sapeurs-Pompiers'''] à Montville. File:1901 Panhard & Levassor type B2 in Toyota Automobile Museum (6817203419).jpg|'''2012''' - '''Panhard & Levassor type B2''' (1901) au [https://toyota-automobile-museum.jp/en/ '''Toyota Automobile Museum'''], Nagakute, Aichi Prefecture (Japon). File:Panhard & Levassor Type X19 at Den Haag Louwman Museum 061.jpg|'''2015''' - '''Panhard & Levassor X19''' (1912) Labourdette Skiff-Torpedo au [https://www.louwmanmuseum.nl/en/ '''Louwman Museum'''] (Pays-bas). File:1900 Clement-Panhard Phaeton VCP, 765cc 3,5cv 35kmh (inv 1901) photo 2.jpg|'''2016''' - '''Clement-Panhard (VCP)''' Phaeton (1900) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse (France). File:Panhard & Levassor Type U2 1907 at Monaco Top Cars Collection 2016-537.jpg|'''2016''' - '''Panhard & Levassor Type U2''' (1907) dans la [https://www.mtcc.mc/galerie-automobile/#* '''Collection de voitures anciennes'''] de Monaco. File:2017 - Durenne & Krebs 1888 lightweight fire steam pump at the fire headquarters in Paris.png|'''2017''' - '''Pompe à vapeur d'incendie légère Durenne & Krebs''' (1888) exposée à [[w:Caserne_Champerret|'''l'état-major des pompiers de Paris''']. File:Panhard-Levassor Biplace Course (1908) jm64358.jpg|'''2018''' - '''Panhard-Levassor biplace de course''' (1908) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse. File:Panhard & Levassor Landaulet Type A1 (1898) jm63748.jpg|'''2018''' - '''Panhard & Levassor type A2''' (1899) tonneau fermé au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France). File:Panhard & Levassor Coupé Chauffeur Type X8 (1912) jm63952.jpg|'''2018''' - '''Panhard & Levassor type X8 coupé chauffeur''' (1911) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse. File:1899 - Panhard-Levassor owned by C. S. Rolls restored.jpg|'''2019''' La '''Panhard-Levassor''' (1899) '''de C. S. Rolls''' est au [https://www.museums.norfolk.gov.uk/gressenhall-farm-and-workhouse '''Gressenhall Farm and Workhouse Museum''']. <ref name=Rolls-1899/> File:Hangar Y mai 2023 (27).jpg|'''2023''' - Le [[w:Hangar Y|'''Hangar Y''']] du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' est '''restauré et ouvert au public''' à Meudon. File:Balloon winch vehicule, Musee de l'Air et de l'Espace, Le Bourget, Paris. (8127530854).jpg|'''2024''' - '''Voiture treuil à ballons (WWI)''' ([[w:Musée_de_l'Air_et_de_l'Espace|Musée de l'Air et de l'Espace]], Le Bourget, Paris) utilisant le '''système de touage à 2 tambours parallèles de A. C. KREBS'''. File:Panhard & Levassor, BL 539, London to Brighton Veteran Car Run 2011, 15 CV 1904 (6323222535).jpg|'''2026''' - Video : "[https://www.youtube.com/watch?v=t2Ygu-IsLeg '''Comment se servir d'une Panhard & Levassor 1904''']". </gallery> == Communications à '''l'Académie des sciences''' == <br>'''1886''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_Lefebvre_de_Laboulaye#XIXe_si%C3%A8cle Charles-Pierre Lefebvre de LABOULAYE (1813-1886)], membre de la parentèle de Fréminville ([https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=LEFEBVRE-LABOULAYE&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 brevets]) : "'''''LA SCIENCE ET L'ART SONT LES DEUX BASES DE L'INDUSTRIE'''''". <ref>'''1886''' - Charles LABOULAYE - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3041024d/f1131.item.r= '''Dictionnaire des arts et manufactures'''].</ref> <br>'''1898''' - [[w:Henry_Le_Chatelier|Henri Le Chatelier]] (collaborateur de Charles de Fréminville pour la recherche sur la chimie des métaux) et la '''''Science industrielle''''' : "'''''En fait il n'y a pas de différence essentielle entre les besoins de la science pure et ceux de la science étudiée en vue de ses applications'''''." <br>'''1901''' - "''Les préoccupations d'ordre pratique, en maintenant forcément l'attention tournée vers l'observation des phénomènes naturels, obligent l'homme, en quelque sorte malgré lui, à voir les lois du monde matériel et à ne pas laisser son esprit se concentrer exclusivement, comme il est porté à le faire, sur ses propres imaginations''." <ref>'''1898''' - Henri Le Chatelier : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170732/f102.image.r=le%20chatelier '''L'enseignement scientifique général dans ses rapports avec l'industrie''']". '''1901''' - "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170763/f1103.image.r=le%20chatelier '''Du rôle des préoccupations industrielles dans les progès de la science pure''']."</ref> * 1884-08-18 – A. C. KREBS & Ch. RENARD : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=316 "''On an airship''"]. Au sujet du dirigeable "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]" . * 1884-08-25 - M. DUPUY de LÔME : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_099,_1884.djvu&page=341 "''Note sur les aérostats dirigeables''"]. * 1884-08-31 - M. A. LAUSSEDAT : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=413 "''Sur les tentatives effectuées à diverses époques pour la direction des aérostats''"]. * 1884-11-10 - M. Hervé MANGON : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=772 "''Note sur l'aérostat dirigeable de MM. Renard et Krebs''"]. * 1886 - Prix PONTI : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_103%2C_1886.djvu&page=1395 "''pour les progrès accomplis dans la navigation aérienne.''"] * 1886-04-05 - M. ZEDE : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_102%2C_1886.djvu&page=808 "''Sur les navires sous-marins''"]. * 1888-07-30 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_107%2C_1888.djvu&page=325 "''Sur un téléphone à champ magnétique fermé, avec plaque à sections cylindriques, concentriques égales''"]. * 1888-03-26 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_106%2C_1888.djvu&page=932 "''Essai d'un moteur électrique alimenté par des accumulateurs destinés à un bateau sous-marin''"]. * 1890-09-15 – MM. Dumoulin-Froment and Dubois: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&page=428 Sur le premier gyrocompas électrique pour le sous-marin Gymnote conçu par A. C. KREBS]. * 1902-11-24 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&page=900 "''Sur un carburateur automatique pour moteurs à explosions''"]. * 1905-11-13 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&page=757 "''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé''"]. * 1906-01-15 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_142%2C_1906.djvu&page=143 "''Conditions d'établissement d'un amortisseur progressif à la suspension des véhicules sur route''"]. * 1907-04-08 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&page=747 "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"]. * 1931-12-07 - M. Jean Rey : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.item# "''De l'invention du périscope''], au sujet du périscope commandé par A. C. KREBS pour le sous-marin '''''Gymnote'''''. == Retraite == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Retirement by country|Retraite par pays]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Retraite|Retraite]] <br>"''En '''1916''', arrivé à l’âge où le besoin de repos commence à se faire sentir et où on ne peut plus développer la même activité physique, je résiliai mes fonctions de Directeur en conservant celles d’ingénieur conseil. ''L’année précédente M. de Fréminville devait quitter la Maison Panhard & Levassor pour entrer au Creusot.''" <ref name="Krebs_1924" /> === A. C. KREBS et [[w:André Citroën|André CITROËN]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:André Citroën|André Citroën]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:André Citroën|André Citroën]] <br>A la demande des banques, A. C. KREBS établit un rapport sur le projet de première automobile construite à la chaîne par André Citroën après la Première Guerre mondiale. A. C. KREBS établit un rapport favorable et André Citroën a pu lancer la fabrication de son '''Type A'''. <gallery> File:Citroen1921typeA.jpg|'''1921''' - André Citroën construit sa '''type A''' avec l'aide de A. C. KREBS. File:André Citroën 1932.jpg|'''1932''' - '''André CITROËN''' (1878-1935). </gallery> === Administrateur de la société '''Savary-Rivière''' === Dans les années 1920, A. C. KREBS est administrateur de la société Savary-Rivière, dont il est actionnaire, et qui est un fabricant de machines agricoles et de mobilier scolaire à Quimperlé, où il prend sa retraite. Sous sa direction, la compagnie diversifie ses activités vers la fabrication de matériel ferroviaire, de matériel militaire, de postes et télégraphes.<ref>'''1935-03-26''' - Lettre de '''Georges Rivière''' à Marie Krebs veuve de A. C. Krebs : "''Le colonel Krebs avait accepté de présider aux destinées des Ets Savary-Rivière pendant plusieurs années et j'ai eu l'honneur de pouvoir apprécier '''ses exceptionnelles qualités d'intelligence'''. Sa vie restera l'exemple parfait de droiture et de dignité dans toutes leurs manifestations.''"</ref> <gallery> File:1901 Savary Gautier=Machines agricoles (Quimperlé).jpg|'''1901''' - Savary et Gautier - '''Machines Agricoles''' (Quimperlé). File:1925~Sté Savary et Rivière.pdf|'''1925''' ~ '''A. C. KREBS''' dirige la société '''Savary-Rivière''' pendant plusieurs années pendant sa retraite à '''Quimperlé'''. File:1928 Savary-Rivière=catalogue mobilier scolaire.pdf|'''1928''' - Savary et Rivière - '''Catalogue de mobiliers scolaires''' (Quimperlé). </gallery> === La commémoration des '''50 ans du dirigeable "[[w:La France (ballon dirigeable)|'''''La France''''']]"''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Legion of Honour|Légion d'honneur]], [[commons:Category:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]] <br>'''1934''' - À 83 ans, A. C. KREBS voyage de Quimperlé (Bretagne) à Paris pour assister à la commémoration du 50ème anniversaire du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] en '''1884'''. Il est alors le seul survivant de cette épopée technologique historique. <gallery> File:1934 - 50 ans du dirigeable La France en présence de A. C. KREBS à Meudon.jpg|'''1934''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4610494z/f1.image.r=krebs Les 50 ans du dirigeable ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''] en présence de '''A. C. KREBS, à Meudon'''. File:Chevalier légion d'honneur 2.png | '''1935''' - A. C. KREBS est [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201840 '''décoré Commandeur de la Légion d'honneur''']. File:1935~Arthur-Constantin-KREBS=portrait à Quimperlé.jpg|'''1935''' ~ Arthur Constantin KREBS: '''Portrait à Quimperlé'''. </gallery> '''1935''' - Deux mois avant son décès, A. C. KREBS est nommé '''Commandeur de la [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Légion d'honneur]]''' : "''Pour son travail en Aéronautique et pour sa contribution à l'industrie automobile''". === Le glacier Krebs === '''Catégories''' : [[commons:Category:Antarctica|Antarctique]], [[commons:Category:Peninsulas of Antarctica|Péninsule Antarctique]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Côte de Danco|Côte de Danco]], [https://archive.org/details/GeographicNamesOfTheAntarctic2ndEdition/page/n405/mode/2up?q=%22krebs+glacier%22 Geographic Names of the Antarctic], [https://en.wikipedia.org/wiki/UK_Antarctic_Place-Names_Committee UK Antarctic Place-Names Committee], [https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay Charlotte Bay] <br>'''1960''' - Le '''United Kingdom Antarctic Place-Names Committee''' (UK-APC) nomme "[https://en.wikipedia.org/wiki/Krebs_Glacier glacier Krebs]" un glacier s'écoulant vers l'ouest, à la pointe de la '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay baie de Charlotte]''' sur la côte ouest de la '''Terre de Graham''' sur le continent '''Antarctique''', d'après le nom de "'''''Arthur C. Krebs qui a construit et piloté, avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], le premier dirigeable capable d'un vol stable et contrôlé, en 1884'''''". == Famille == <gallery> File:Konstantinpaulowrussland(crop).jpg|'''1812''' - '''Nicolas Krebs''' (grand-père de A. C. KREBS) est précepteur des enfants du '''[[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie Grand|Duc Constantin de Russie]]''' à '''Saint Pétersbourg'''. File:1894-07-07 Cmdt-Léonce-Krebs chalet-Bellevue St-Gervais-les-bains Haute-Savoie Paul-Lancrenon.jpg |'''1894-07-07''' Silhouette du '''Commandant Léonce KREBS''' (1849-1922), frère aîné de A. C. KREBS, au chalet de Bellevue à Saint-Gervais-les-Bains (Haute-Savoie) [https://www.pop.culture.gouv.fr/notice/memoire/APLCR03619?auteur=%5B%22Lancrenon%2C%20Paul%20%281857-1922%29%22%5D&mainSearch=%22krebs%22&last_view=%22list%22&idQuery=%22c46e1b2-f281-ddf4-f145-3300fbc003%22 par Paul LANCRENON] File:1915-1916 Jean-KREBS+Georges GUYNEMER EN.pdf |'''1914-1916''' - '''Jean KREBS''' et '''[[W:Georges_GuynemerGeorges|Georges GUYNEMER]]''' amis de collège : [https://archive.org/details/cu31924027834732/page/n47/mode/2up?q=krebs "''Jean Krebs a cristallisé la vocation de Georges GUYNEMER''"]. File:1918-05-30 Motor-Age='France's Greatest Aviator Georges Guynemer'+Jean-KREBS.jpg|'''1918-05-30''' - Motor-Age: "''France's Greatest Aviator '''Georges GUYNEMER'''" and '''Jean KREBS''', son of A. C. KREBS''". File:1939-04 - Revue générale du froid - La chambre froide Krebs & Alliot (1931) pour la conservation du poisson sur les thoniers.jpg|'''1939-04''' - Revue générale du froid - La '''chambre froide Krebs & Alliot (1931)''' pour la conservation du poisson sur les thoniers. File:Marie Chamming's.jpg|'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, résistante et autrice. File:Thon Germon.jpg|Le logo de la boîte [[W:Petit_Navire|'''Petit Navire''']], d'après l'aquarelle de '''Marguerite Paulet''', fille de A. C. Krebs. File:Manureva StMalo 1978-11 2.jpeg|'''Dominique Paulet''' dirige les CAP du '''chantier naval La Perrière''' de 1960 à 1971, qui conçoit et construit les '''Pen Duick''' d''''Eric Tabarly'''. </gallery> === '''Nicolas Krebs''' (1786-1839) === [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3050419f/f462.image.r=krebs Nicolas KREBS] est un grand-père de A. C. KREBS. Né à [[W:Boppard|Boppard]] sur la rive gauche du [[W:Rhin|Rhin]] en '''1786''', il s'engage dans la garde impériale de [[W:Napoléon Ier|Napoléon]] et prend part à ses [[W:Guerres napoléoniennes|campagnes]] militaires. Blessé à [[W:Vilnius|Wilna]] en '''1812''', il est recueilli et retenu prisonnier par le [[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie|Grand Duc Constantin de Russie]], et devient le précepteur de ses enfants pendant 2 ans à [[W:Saint-Pétersbourg|Saint-Pétersbourg]]. De retour en France [[W:France|France]] en '''1814''' il se marie avec Elisa Marie [[W:Liste_des_maires_d%27%C3%89vreux#XIXe_si%C3%A8cle|Dureau de la Buffardière]]. Il a été décoré de la [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201850#show ''Legion d'honneur''] le 05/06/'''1809'''. === [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13204050f '''Commandant Léonce Krebs'''] (1849-1922) === * '''1878''' - Officier d'état-major * '''1891''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9608718v.r=%22l%C3%A9once%20krebs%22?rk=21459;2 '''Campagnes dans les Alpes pendant la Révolution'''], d'après les archives des états-majors français et austro-sarde, avec Henri Moris. <ref>[[w:Armée d'Italie|Armée d'Italie]].</ref> * '''1898''' - [https://bmvr.nice.fr/Default/search.aspx?SC=DEFAULT&QUERY=Authority_id_idx%3a72405&QUERY_LABEL=Krebs%2c+Leonce.+Auteur#/Search/(query:(InitialSearch:!t,Page:0,PageRange:3,QueryString:'Authority_id_idx:72405',ResultSize:-1,ScenarioCode:DEFAULT,SearchContext:0,SearchLabel:'Krebs,%20Leonce.%20Auteur')) Archiviste de la ville de Nice] * '''1909''' - [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201854 Commandeur de la Légion d'honneur]. === '''Jean Krebs''' (1896-1916) et [[w:Georges_Guynemer|'''Georges GUYNEMER''']] (1894-1917) === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Georges Guynemer|Georges Guynemer]] '''1918''' - '''Henry Bordeaux''' : “'''''Jean Krebs''''' ''a orienté la vocation de [[W:Georges_Guynemer|'''Georges Guynemer''']]. Il a précisé et développé le goût de celui-ci pour la mécanique. Il l'a sorti des vagues abstractions pour le précipiter vers les réalisations matérielles, pour lui faire désirer l'élargissement de vie qu'elles procurent. Il méritait d'être cité dans une biographie de Guynemer. Avant de le quitter, ne convient-il pas de déplorer sa perte prématurée ? Aviateur estimé au cours de la guerre, il trouva dans l'observation l'emploi de ses facultés solides et sûres. La chasse ne l'attirait pas, mais il savait regarder. Il fut tué d'un accident d'atterrissage presque dans le même temps que disparaissait Guynemer. Un de ses compagnons d'escadrille le juge ainsi : — D'une intelligence remarquable, d'un caractère toujours égal, il avait su s'imposer à ses chefs par son sang-froid, son coup d'oeil, la connaissance exacte des services qu'il pouvait rendre. Toutes les fois qu'on lui confiait une mission, on était sûr qu'il revenait l'ayant remplie, quelles que fussent les conditions dans lesquelles il la fallait accomplir. Il avait eu souvent à tenir tête à des avions ennemis mieux armés que lui, et avait même été blessé au cours d'un vol par éclat d'obus à la cuisse. Il n'en avait pas moins continué à voler et n'était rentré que longtemps après et seulement sa tâche terminée. Sa mort a fait un grand vide dans cette escadrille. Des hommes comme celui-là sont difficiles à remplacer...''" <ref>'''1918''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9807613m/f50.image.r=krebs# '''Henry Bordeaux''']: "''Jean Krebs a orienté la vocation de Georges Guynemer''".</ref> === [[W:Louis_Krebs|'''Louis Krebs''']] (1886-1944) : le chantier naval à Concarneau === '''Voir aussi''' : [[w:Construction navale|Construction navale]] <br>'''1911''' - Louis krebs presente une thèse en droit pour laquelle il est aidé par son oncle, Charles de Fréminville, intitulée [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5521697f/f6.item.r=KREBS "Le rendement du travail dans les arsenaux"]. En '''1933''', Louis Krebs rachète le chantier ''Le Roy Frères'' à Concarneau, qu'il nomme [https://studiolemerdy-collection.com/?s=krebs&post_type=product "Chantier Krebs"]. Nous lui devons [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97160383/f123.image.r=krebs en '''1931''', avec le spécialiste de la réfrigération Henri Alliot], l'idée et la conception [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348885w/f7.image.r=KREBS de la chambre froide des thoniers], de même que la création du concept de chalutiers-thoniers, ces "bateaux mixtes" qui pratiquaient la pêche au chalut pendant l'hiver et la pêche au thon en été. <ref> ['''1933'''-08-02 - L'Ouest-Éclair : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k659358k/f10.image.r=KREBS "A propos de la conservation du thon à bord"]. ''1936''-11-07 - Le Génie civil : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64923180/f3.image.r=krebs "Installation d'une chambre froide sur un bateau thonier"].</ref> '''1943'''-'''1944''' : Il est élu maire de [[W:Lanriec|Lanriec]]. '''Marie Krebs-Chamming's''' : "''Il a un rôle très actif dans la résistance dès le début de la guerre en étant en liaison avec Alex, l'agent du réseau Notre-Dame Castille du Colonel Rémy pour les départs clandestins en Angleterre par bateau, allant jusqu'à faire des cachettes dans deux thoniers, et fournissant tous les renseignements qu'il peut obtenir. Et il remplace le Docteur Nicolas à la tête de Libération-Nord à Concarneau, quand celui-ci est fusillé par les Allemands, devenant Monsieur Charles. Avec le professeur Legendre, il discute inlassablement avec le Capitaine Otto, commandant de la place, pour épargner des vies et éviter des destructions qui auraient pu être catastrophiques; s'occupant sans relâche des populations, en particulier de celles de Lanriec et de Douric-ar-Zin, et restant en liaison avec Quimper. Il était appelé à jouer un rôle important dans toute la région après la libération, qu'il n'a pas connue, ayant été tué chez lui par une balle de fusil-mitrailleur dirigé sur sa maison, le matin où les Allemands sont partis par mer pour Lorient le 24 août 1944.''" <ref>'''1945'''-04-01 - Le Yacht : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83719510/f12.image.r=krebs "La mort tragique de Mr. Louis krebs"]</ref> '''1962''' - Vidéo de la construction d'un thonier en bois au Passage-Lanriec au chantier Krebs : [https://www.youtube.com/watch?v=CGRF0d8Mo4k le Porsguir], thonier canneur à l'appât vivant, commandé par l'armement Dhellemmes de Concarneau. === [[w:Marie Chamming's|'''Marie Krebs-Chamming's''']] (1923-2022) : résistante et autrice === '''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, décrit ses années au service de la [[w:Résistance intérieure française|Résistance intérieure française]] pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] dans son livre [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3384299k.r=%22louis%20krebs%22?rk=1502153;2 "J'ai choisi la tempête"] qui recevra le prix Vérité en '''1964'''. === [http://mp.forumfamilia.net/Biographie-de-Marguerite-Paulet-b1.html '''Marguerite Paulet''', née Krebs (1900-1979)] : les œuvres remarquables === * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-jeunesse-jusqu-en-1920-p1.html Jeunesse, jusqu'en 1920] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-port-de-bouc-sous-le-soleil-mediterranee-p2.html Port de Bouc, sous le soleil méditerranéen, 1920/1922] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-quimperle-et-un-peu-nantes-23-30-p3.html Quimperlé (et un peu Nantes), 1923/1930] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-douarnenez-essentiellement-les-beaux-bat-p4.html Douarnenez essentiellement, les beaux bateaux, 1930/1940] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-l-apres-guerre-40-55-p5.html L'après-guerre 1940/1955] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-fleurs-et-arbres-56-79-p6.html Fleurs et arbres ... 1956/1979] === [https://www.ouest-france.fr/bretagne/lorient-56100/d-paulet-architecte-naval-et-humaniste-5174463 '''Dominique Paulet''' (1931-2017)] : architecte naval pour '''Éric Tabarly''' === Petit-fils d'Arthur Constantin KREBS, Dominique Paulet est un architecte naval et ingénieur de formation. Il a été responsable de la conception de navires au sein de plusieurs chantiers navals dont [[w:Chantiers_et_ateliers_de_la_Perrière|La Perriere]] à [[w:Lorient|Lorient]] et [[W:Chantiers_Dubigeon|Dubigeon-Normandie]]. Il a enseigné à l'Ecole centrale de Nantes et à l'Ecole nationale supérieure des techniques avancées de Paris. Il a notamment travaillé pour la marine et les [[w:Pen_Duick_III|'''Pen Duick III''']] (aluminium), [[w:Pen_Duick_IV|'''Pen Duick IV''']] (multicoque en aluminium) et [[w:Pen_Duick_V|'''Pen Duick V''']] (avec ballasts) d'[[W:Éric_Tabarly|'''Éric Tabarly''']]. <ref>Dominique Paulet : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2007_-_Dominique_PAULET_-_%22Tabarly_et_Lorient%22_aux_chantiers_La_Perri%C3%A8re.pdf#%7B%7Bint%3Afiledesc%7D%7D '''Tabarly et Lorient'''] </ref> <ref>La cité de la voile à Lorient : [https://www.citevoile-tabarly.com/fr/pen-duick "''Trois des Pen Duick furent construits aux Chantiers de la Perrière à Lorient''"]</ref> Il a développé une méthode universelle de calcul des navires à partir d'un ensemble restreint de variables : '''''Architecture navale - Connaissance et pratique''''' <ref>'''2023''' - Dunod : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 "''C’est la bible de l’architecture navale. Un ouvrage complet, pointu, écrit par des architectes aussi reconnus pour leur talent que pour leur pédagogie''"].</ref> * '''1998''' : [https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/architecture-navale-9782903539467/ 1ère édition chez Eyrolles] * '''2023''' : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 2nde édition chez Dunod] '''Voir aussi''' : * '''1971''' - '''Dominique Paulet''' : [https://03c7d5f4-b82d-47fb-af48-cbbdfcd3d2e9.filesusr.com/ugd/4f0a4d_aca70bb3be0f4a6fb05f5edcb49ba7ba.pdf l'architecte naval aux chantiers La perrière] * '''Dominique Paulet''' : [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=%22dominique+paulet%22&title=Sp%C3%A9cial:Recherche&profile=advanced&fulltext=1&ns0=1 dans Wikipedia] == Voir aussi == * [[w:Dirigeable fantôme|Dirigeable fantôme]] * [[w:Blimp|Blimp]] * [[w:Charles Renard|Charles Renard]] * [[w:Pierre Jules César Janssen|Pierre Jules César Janssen]] * [[w:XIXe siècle en aéronautique|XIXe siècle en aéronautique]] * [[w:Panhard|Panhard et Levassor]] * [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]] * [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]] == References == <ref name=Krebs-archives>Archives de la famille Krebs déposées au [https://www.servicehistorique.sga.defense.gouv.fr/ark/1643327 Service historique de la Défense (DE 2014 PA 40 1)].</ref> <ref name=1884_ACAD-Krebs> '''1884-08''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h/f316 '''Académie des sciences'''] : NAVIGATION AÉRIENNE. ''Sur un aérostat dirigeable''. Note de MM. CH. RENARD and A. C. KREBS, presentée par M. Hervé Mangon.</ref> <ref name=portefeuille> '''1892''' - '''Portefeuille économique des machines''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1892_Portefeuille-%C3%A9conomique%3DPompe_Durenne_%26_Krebs_1888.pdf "''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris ('''modèle de 1888''')''] - ''Chaudière à vapeur multitubulaire à tubes curvilignes à circulation automatique et dilatation libre de MM. Durenne & Krebs''".</ref> <ref name=1889_Comité> '''28/02/1889''' - Comptes-rendus du [http://rytmo.net/ACK/1889-02-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des Pompiers de Paris.</ref> <ref name=1896_Krebs_Levassor> '''1896-09-03''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf Lettre de prise de license d''''Émile LEVASSOR'''] adressée à Arthur C. KREBS pour son '''Brevet d'automobile''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538].</ref> <ref name=1896_voiturette_Krebs> "'''LA VOITURETTE KREBS'''" par Louis Lockaert, ingénieur École Centrale de Paris, LA FRANCE AUTOMOBILE, p.305, Paris, '''1896'''.</ref> <ref name=Rolls> Site: [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&screenwidth=1600&pixperpage=50&searchtxtkeys=Panhard&lastsearchtxtkeys=&withinresults=&searchphotographer=&wwwflag=&lstformats=&lstorients=All+Orientations&captions= '''Science & Society''' - Picture Library:] ''C. S. ROLLS et ses voitures de course Panhard & Levassor''.</ref> <ref name=Rolls-1899>Photos de 1900 de la voiture de C. S. Rolls de 1899 conçue par A. C. KREBS sur [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&screenwidth=1600&pixperpage=50&searchtxtkeys=Panhard&lastsearchtxtkeys=&withinresults=&searchphotographer=&wwwflag=&lstformats=&lstorients=All+Orientations&captions science and society].</ref> <ref name=1906_Krebs_Selden> '''1906''' - [https://hal.science/hal-05527435 Témoignage d'Arthur Constantin KREBS] lors du procès Selden à New-York. </ref> <ref name=1884_de-Grilleau> '''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]": "''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''"</ref> '''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]": "''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''"</ref> <ref name=Fréminville>'''2001''' - Voyages de Charles de Fréminville aux Etats-Unis: 1885-1898-1913-1919 (Yves Le Quesne).</ref> <ref name=vanadium>[https://archive.org/details/mylifeandwork00crowgoog/page/n78/mode/2up?q=vanadium '''1923''' - '''Henry Ford''' "''Ma vie et mon œuvre"]: "''En '''1905''', j'assistais à une course automobile à Palm Beach. Un grave carambolage se produisit et une voiture française [une voiture de course Panhard] fut détruite. Nous avions engagé notre "[https://fr.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_K Modèle K]" — la six cylindres à grande puissance. Je pensais que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que celles que nous connaissions. Après l'accident, je ramassai une petite tige de soupape. Elle était très légère et très résistante. Je demandai de quoi elle était faite. Personne ne le savait. Je confiai la tige à mon assistant. 'Renseignez-vous sur ce matériau', lui dis-je. 'C'est le genre de matériau que nous devrions utiliser dans nos voitures.' Il finit par découvrir qu'il s'agissait d'un acier français contenant du vanadium. Nous avons contacté tous les aciéristes américains — aucun n'était capable de produire de l'acier au vanadium. J'ai fait venir d'Angleterre un homme qui savait comment fabriquer cet acier à l'échelle industrielle. L'étape suivante consistait à trouver une usine'' ['''la [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_kr%C3%B3m-van%C3%A1diumac%C3%A9l_sz%C3%BClet%C3%A9se.jpg United Alloy Steel de Canton, Ohio'''] ]'' pour le produire.''"</ref> <ref name=Krebs_1924> '''1924-06''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1924-06_SHD-DE-2014-PA-40_Lettre-Arthur-KREBS_au_G%C3%A9n%C3%A9ral_de_Montluisant.pdf Lettre autobiographique] d'Arthur Constantin KREBS à son cousin le Général de Montluisant (SHD-DE-2014-PA-40) lui demandant d'expliquer sa carrière, suite à l'article de Paul Renard dans la "Revue Aéronautique" à l'occasion des 40 ans du dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" (Arch. Krebs).</ref> <ref name=1935_Dépêche_de_Brest> '''1935-02-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3478635/f3.image.r=krebs ''La Dépêche de Brest'']: "Une visite à M. Arthur Krebs, qui vient d'être promu commandeur de la Légion d'honneur".</ref> <ref name=VCP> Site: [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web].</ref> <ref name=CdF>'''1915-11-11''' - Lettre de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']] à [[w:René_de_Knyff|René_de_Knyff]] (administrateur de Panhard & Levassor).</ref> == Liens externes == * Charles Renard and Arthur Krebs in the [https://web.archive.org/web/20100528024835/http://www.centennialofflight.gov/essay/Lighter_than_air/Beginning_of_the_Dirigible/LTA6.htm US Centennial of Flight Commission] * [http://rbmn.free.fr/Krebs_EN.html The site dedicated to Arthur KREBS (in English)] * [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web] * Hydroplane History: [http://www.lesliefield.com/other_history/development_of_the_high.htm The Development of the High-Speed Launch or Automobile Boat – 1904] * Jules Verne: [http://www.gutenberg.org/ebooks/3808 ''Robur The Conqueror''] * ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum]], Le Bourget, Paris) : [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/328-dirigeable-renard-et-kreps-la-france museum reserves-1], [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/53-equipements-d-aerostation-militaire-renard museum reserves-2] == Autres categories == [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Births_in_Vesoul Births_in_Vesoul] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Deaths_in_Quimperlé Deaths_in_Quimperlé] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Knights_of_the_Legion_of_Honour_Knights_of_the_Legion_of_Honour] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Dupuy_de_L%C3%B4me Henri Dupuy de Lôme] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gustave_Z%C3%A9d%C3%A9 Gustave zédé] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Charles_Renard_(aviation_pioneer) Charles_Renard_(aviation_pioneer)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:La_France_(airship) La France (airship)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Société_Nouvelle_des_Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée Société_Nouvelle_des_Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Canet_artillery Canet_artillery] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gymnote_(submarine,_1888) Gymnote_(submarine,_1888)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_people Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_people] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_equipment Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_equipment] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Steam_engine_inventors Steam_engine_inventors] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Jean-François_Durenne Jean-François_Durenne] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Automobile_industry_entrepreneurs Automobile_industry_entrepreneurs] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:People_associated_with_the_automotive_industry People_associated_with_the_automotive_industry] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Designers_of_automobiles Designers_of_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:People_associated_with_automobile_racing People_associated_with_automobile_racing] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Émile_Levassor Émile_Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Monument_à_Émile_Levassor Monument à Émile Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:René_Panhard René_Panhard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hippolyte_Panhard Hippolyte Panhard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Émile_Mayade Émile Mayade] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor Panhard_&_Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:History_of_automobiles History of automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Panhard_&_Levassor_automobiles Panhard_&_Levassor_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Anciennes_usines_Panhard_et_Levassor Anciennes usines Panhard et Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_vehicles Panhard_&_Levassor_vehicles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Clément-Panhard_vehicles Clément-Panhard_vehicles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_automobile_engines Panhard_&_Levassor_automobile_engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_racing_automobiles Panhard_&_Levassor_racing_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:1898_Paris_Amsterdam-Paris_race 1898 Paris-Amsterdam-Paris race] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:1898_racing_automobiles 1898 racing automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_Type_U3 Panhard & Levassor Type U3] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Auto_shows_in_Paris Auto shows in Paris] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Charles_de_Fréminville Charles de Fréminville] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Adolphe_Clément-Bayard Adolphe Clément-Bayard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Baldwin_Selden George Baldwin Selden] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:La_République_(airship) La République (airship)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Saint_Chamond_tank Saint Chamond tank] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Georges_Guynemer Georges Guynemer] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Arsène_d'Arsonval Arsène d'Arsonval] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ettore_Bugatti Ettore Bugatti] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:André_Citroën André Citroën] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Georges_Guynemer Georges Guynemer] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henri Farman] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath (racing driver)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Robert_de_Vogüé_1870-1936) Robert de Vogüé (1870-1936)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Antarctica Antarctica] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Steering_wheels Steering_wheels] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Sleeve_valve_engines Sleeve valve engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gyrocompasses Gyrocompasses] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differentials Differentials] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Worm_gears Worm gears] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Couplings Couplings] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rag_joints Rag joints] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Giubo Giubo] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rotating_shaft_couplers Rotating shaft couplers] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Transmissions Transmissions] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Final_drives Final drives] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Automobile_axles Automobile axles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Mechanisms_(engineering) Mechanisms (engineering)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Glaciers Glaciers] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hydrogen_technologies Hydrogen technologies] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vélizy-Villacoublay Vélizy-Villacoublay] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alberto_Santos-Dumont Alberto Santos-Dumont] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Santos_Dumont_Collection Santos Dumont Collection] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Early_aircraft Early aircraft] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Historical_gas_balloons Historical gas balloons] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Internal_combustion_engines Internal combustion engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Combustion_engine_inventors Combustion engine inventors] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Chalais-Meudon Chalais-Meudon] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Type_ou_modèle_de_dirigeable Type ou modèle de dirigeable] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Dirigeable Dirigeable] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Office_national_d'études_et_de_recherches_aérospatiales_in_Meudon_Office national d'études et de recherches aérospatiales in Meudon] <!-- Commentaire [[Catégorie:19th-century French inventors]] [[Catégorie:20th-century French inventors]] [[Catégorie:French automotive pioneers]] [[Catégorie:French inventors]] [[Catégorie:1850 births]] [[Catégorie:People from Vesoul]] [[Catégorie:1935 deaths]] [[Catégorie:Aéronaute]] [[Catégorie:Dirigeable]] [[Catégorie:Pilote de dirigeable]] [[Catégorie:Aviation pioneers]] [[Catégorie:Automotive pioneers]] [[Catégorie:French automotive engineers]] [[Catégorie:French automotive pioneers]] [[Catégorie:École Spéciale Militaire de Saint-Cyr alumni]] [[Catégorie:Officers of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Knights of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Commanders of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Ballooning]] [[Catégorie:Parc aérostatique de Chalais-Meudon]] [[Catégorie:Jules Verne]] [[Catégorie:Automotive engineers]] [[Catégorie:Car layouts]] [[Catégorie:Ferdinand Porsche]] [[Catégorie:Henry Ford]] --> en4c3izg9d6j226gfaks3md9ld9guwx 985104 984968 2026-07-22T15:45:49Z Rbmn 54342 985104 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = Histoire | département = | niveau = 16 | titre = Arthur Constantin KREBS (1850-1935) - Pionnier de l'aéronautique, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, de l'automobile et gestionnaire de grands projets technologiques | parent = | image = }} {{Travail de recherche | idfaculté = Sciences de l'ingénieur }} {| class="wikitable centre" style="border:left; border:right; text-align:center; width:50%;" ! colspan="2"|Biographie intellectuelle |- !style="background: #C0C0C0;" colspan="2"| '''<big>Arthur Constantin Krebs </big>'''(1850-1935) |- |style="border:none;" colspan="2"|[[File:Arthur Constantin Krebs.png]] |- |style="border:none;" colspan="2"|'''Officier et industriel français, pionnier de la navigation aérienne et sous-marine et de l'ingénierie automobile'''<br> |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Naissance''' ||style="border:none; text-align:left;"| 16 novembre 1850 à Vesoul |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Décès''' ||style="border:none; text-align:left;"| 21 mars 1935 à Quimperlé |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Sépulture''' ||style="border:none; text-align:left;"| Cimetière Saint-David de Quimperlé |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Nationalité''' ||style="border:none; text-align:left;"| Française |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Domiciles''' ||style="border:none; text-align:left;"| Parc aérostatique de Chalais-Meudon<br>État-major des Pompiers (9 Bd du Palais, Paris)<br>Usine Panhard & Levassor (19 av. d'Ivry, Paris) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Formation''' ||style="border:none; text-align:left;"| École spéciale militaire de Saint-Cyr (1872-1873) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Activités''' || style="border:none; text-align:left;"| Inventeur, ingénieur militaire, aviateur, ingénieur aéronautique, ingénieur en construction automobile, industriel, motorboat racer, pompier |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Œuvres notables''' ||style="border:none; text-align:left;"| Les [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#A._C._KREBS_pilote_les_premiers_vols_pleinement_contr%C3%B4l%C3%A9s premiers vols aériens contrôlés] avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_dirigeable_%22La_France%22_avec_Charles_RENARD_et_Henri_DUPUY-de-L%C3%94ME le dirigeable '''''La France''''']<br>Le premier sous-marin pleinement fonctionnel avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_sous-marin_%22Gymnote%22_avec_Gustave_ZEDE le sous-marin expérimental '''''Gymnote''''']<br>Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_%22carburateur_Krebs%22 premier '''''carburateur automatique''''']<br>Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_joint_%C3%A9lastique_FLECTOR joint élastique '''''FLECTOR'''''] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Distinctions'''||style="border:none; text-align:left;"| Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 '''''prix Ponti'''''] de l'[[W:Académie des sciences (France)|académie des sciences]] (avec [[W:Charles_Renard|C. Renard]])<br>Commandeur de la Légion d'honneur |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Employé par''' ||style="border:none; text-align:left;"| Armée de terre française<br>Brigade de sapeurs-pompiers de Paris<br>Panhard & Levassor |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"|'''Conjoint'''||style="border:none; text-align:left;"| Marie de Fréminville (1858-1938) |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Enfants''' ||style="border:none; text-align:left;"| Antoine, Hervé, [[W:Louis Krebs|'''Louis''']], Anne-Marie, Arthur, [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Jean_Krebs_(1896-1916)_et_Georges_GUYNEMER_(1894-1917) '''Jean'''], Alain, [[W:Petit Navire|'''Marguerite''']] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Parentèle''' ||style="border:none; text-align:left;"| [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) '''Commandant Léonce Krebs''']<small>(frère aîné)</small><br>[[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Charles de Fréminville''']] <small>(beau-frère)</small> |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"|'''Signature'''||style="border:none;|[[File:1902 - Panhard & Levassor - signature A. C. KREBS.png|250px]] |- |style="border:none; text-align:right; vertical-align:top;"| '''Site Web'''||style="border:none; text-align:left;"| [http://rbmn.free.fr ''rbmn.free.fr''] |- |} [[File:La france vd66w081t 0 h702q745p.tiff |thumb|right|250px|Artist's depiction of ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'', 1884]] [[Image:Gymnote1889.jpg|thumb|250px|Le sous-marin ''[[w:Gymnote|Gymnote]]'' en 1888. Arthur Krebs tient le mât d'aération. Le périscope est visible]] '''Arthur Constantin Krebs''' (16 November 1850 à [[w:Vesoul|Vesoul]] ([[w:Haute-Saône|Haute-Saône]]), [[w:France|France]] – 22 mars [[w:1935|1935]] à [[w:Quimperlé|Quimperlé]] ([[w:Finistère|Finistère]]), [[w:France|France]]) est un officier et industriel français, pionnier de l'aéronautique, des moteurs électriques, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, des bateaux à moteur, de l'ingénierie automobile et gestionnaire de grands projets technologiques.<br> '''Catégorie''' : [[commons:Category:Arthur Constantin Krebs|'''''Arthur Constantin Krebs''''']] == Enfance et jeunesse == '''Voir aussi''' : [[w:Philosophie naturelle|Philosophie naturelle]], [[w:Géométrie descriptive|Géométrie descriptive]], [[w:Dessin technique|Dessin technique]] :::[https://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=true&exactSearch=false&query=%28%28dc.creator%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20or%20dc.contributor%20all%20%22Adolphe%20Ganot%22%20%29%20and%20dc.title%20all%20%22Physique%20exp%C3%A9rimentale%22%20%29%20sortby%20dc.date%2Fsort.ascending Adolphe GANOT] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58470644/f1.item.r=lotz%20locomotive La locomotive routière de M. LOTZ] "''Mon cher cousin, vous me demandez, dans votre aimable lettre du 25 mai ''[1924]'', de vous expliquer comment, simple officier d'infanterie, j'ai été amené à remplir les rôles et effectuer des travaux peu en rapport avec la carrière où j'étais entré.'' ''Ceci m’oblige à faire remonter mes souvenirs et à me rappeler que dès l’âge où je commençais à apprécier les jouets mécaniques, ma plus grande distraction consistait à réparer et mettre en état tous ceux qui me tombaient entre les mains''. '''1861''' - ''Plus tard mes lectures portaient toujours sur des livres décrivant des mécaniques, si bien qu’à 11 ans, la Physique de [[w:Adolphe_Ganot|Ganot]] m’étant tombée sous la main, je l’étudiai avec le plus grand intérêt, m’initiant à tous les mystères de la machine à vapeur et de ses applications.''" <ref name="Krebs_1924" /> "''Etant enfant, le jeune Krebs avait fait une machine à vapeur qui faisait marcher toute une scierie mécanique installée dans une vieille machine à coudre.''" <ref name=1884_de-Grilleau /> <gallery> 1850 Arthur Constantin KREBS=acte de naissance.pdf|'''1850''' - [https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta7633bbf978e35653/daogrp/0#id:527817281?gallery=true&center=1435.927,-2845.150&zoom=9&rotation=0.000&brightness=100.00&contrast=100.00 Acte de naissance] de Arthur Constantin KREBS. 1862~Famille-Constantin-KREBS=Léonce+Arthur+Marie.jpg|'''1862 ~''' Les enfants de Constantin & Elodie KREBS : Léonce-Vital (~14), Arthur (~12), Marie (~10). <ref name=Krebs-archives /> 1868_Ganot-Adolphe='Traité_élémentaire_de_physique_expérimentale_et_appliquée_et_de_météorologie'.jpg |'''1860''' - [[w:Adolphe_Ganot |'''Adolphe Ganot''']] : [https://archive.org/details/introductorycou00unkngoog/page/n8/mode/2up ''Introductory course of natural philosophy: for the use of high schools and academies, edited from GANOT'S POPULAR PHYSICS.''] </gallery> "''Cette aptitude particulière ne fut pas sans nuire, un peu, à mes études classiques, car mon esprit, plus préoccupé de ce qu’il avait appris par lui-même, cherchait à les réaliser pratiquement. ''Ceci me conduisit naturellement, à dessiner avec précision ce qui, par la suite, me rendit les plus grands services. Un croquis bien fait traduit mieux, pour les autres, la pensée de l’auteur, que toutes les descriptions ou explications qui peuvent être données quand il s’agit d’une construction ou d’une machine quelconque.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1875 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Palais(Belle-île) dessin de machine à coudre les voiles.jpg|'''1875''' - '''Dessin d'imitation''' d'une machine à coudre les voiles des thoniers de ''Belle-île'' par A. C. KREBS qui a eu '''20/20 à St Cyr'''.<ref name=Krebs-archives /> 1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la machine à éprouver les cordages de Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''machine à éprouver les cordages''' de Renard, signé "Krebs". <ref name=Krebs-archives /> 1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la soupape Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''soupape de ballon Renard''', signé "Krebs". <ref name=Krebs-archives /> </gallery> "''En '''1867''' j'ai vu pour la première fois le véhicule automobile de M. [[W:Brissonneau_et_Lotz|Lotz]]. ''[...]'' Le véhicule de Lotz consistait essentiellement en une chaudière à vapeur portée par un avant-train avec une cinquième roue <ref>'''Le concept de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.image.r=locomotive "cinquième roue"]''' semble dû, en France, à M. Lotz de Nantes qui a développé des "locomotives routières" dans les années '''1860'''. Il définit ce concept comme " [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.item.r=locomotive ''une cinquième roue, roue directrice, au moyen de laquelle le cocher pourra tourner ou obliquer à discrétion'']". Confronté aux problèmes de direction de ses engins, il dépose le 03/01/'''1865''' un brevet ([https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf '''FR'''65729]) pour l’ "[https://archives.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=65729&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=25&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=1033&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 ''application de la roue hélicoïdale à la direction des locomotives pour routes ordinaires'']". Dans ce brevet Lotz expose très précisément son souhait de rendre la direction irréversible face aux cahots de la route. Il s’agit d’un "[[w:Volant directionnel|volant]] de manœuvre" vertical, comme la [[w:Barre (bateau)|barre à roue]] d’un navire. A. C. Krebs reprendra ce concept d’irréversibilité avec son système de direction à secteur denté et vis sans fin en '''1898'''. Il faut noter que le concept de cinquième roue n’est pas le même en Amérique. Le "[https://en.wikipedia.org/wiki/Fifth-wheel_coupling fifth wheel coupling]" était un système de plateforme pour l’attelage d’une calèche avec un chariot à quatre roues, apparu dès '''1850'''. Ce système est aujourd’hui le standard de liaison entre une semi-remorque et son tracteur routier. Il est désigné en français par le terme "[[w:Sellette (transport)|Sellette]]". Dans son [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/002617903/publication/US549160A?q=pn%3DUS549160 brevet], [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden Selden] utilise l’expression "fifth-wheel" pour décrire la plateforme horizontale munie d’un engrenage à vis sans fin entraîné par le volant de direction ([https://en.wikipedia.org/wiki/Steering_wheel steering wheel]) et permettant d’orienter les roues directrices. A. C. Krebs utilise ici la notion de cinquième roue dans le même sens que Selden. Noter que, pour désigner cette plateforme mécanique, dans son brevet Lotz utilise le terme de "cercle", et que A. C. Krebs utilise le terme de "rond" dans son brevet de '''1896''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344].</ref> d'accouplement à pivot central <ref>Le système de direction d’un véhicule où le train-avant complet tourne est dit à "[[w:Direction_(automobile)#Historique|cheville ouvrière]]". A. C. Krebs conservera ce système issu de la traction hippomobile sur sa voiture de '''1896''', et en '''1898''' sur la voiture [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#La_%22Voiture_Cl%C3%A9ment-Panhard_(VCP)%22_et_Adolphe_CLEMENT Clément-Panhard (VCP)] qui en est la version commerciale. De son côté, sur sa voiture à vapeur, Bollée utilisera le système de l’ "essieu brisé".</ref> et une remorque composée d'un arbre et de deux roues. L'une d'elles pouvant être connectée ou déconnectée de l'arbre de façon à permettre à une vis sans fin de s'engrener avec une roue dentée munie de chaînes aux extrémités de l'arbre avant. J'ai vu ce véhicule rouler à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]], en vue d'un essai réalisé avec cette machine sous la direction de M. Lotz, lors d'un voyage effectué à des fins publicitaires en 1867.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1868''' - "''Cette habitude à traduire ma pensée par un dessin avait développé en moi la faculté de bien voir dans l'espace, et je me souviens qu'en Math-spé, mon professeur m’envoyait toujours au tableau pour l’exécution des épures de descriptive dans lesquelles il s’embrouillait souvent.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1864-1867 Locomotive routière LOTZ=vue par Krebs.png|La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53749599/f118.item.r=lotz locomotive routière] de [[W:Brissonneau_et_Lotz|M. LOTZ]] que A. C. KREBS vit à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]] en '''1867'''. 1868 Arthur Constantin Krebs=projet de voiture automobile.jpg|'''1868''' - A. C. KREBS :'' "'''Projet de voiture automobile'''" : ''sans doute pour un cours de math-spé. La colonne de direction très inclinée suggère une réelle intention de vitesse'''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> == La guerre franco-allemande de '''1870''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Guerre franco-allemande de 1870|'''''Guerre franco-allemande de 1870''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Guerre franco-allemande de 1870|Guerre franco-allemande de 1870]] <br>"''En '''1870''', je me présentais aux examens de [[w:École_Polytechnique|Polytechnique]], et à ceux de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. Mais la [[w:Guerre franco-allemande de 1870|guerre]] survenue avant que les examens oraux d’admissibilité pour l’[[w:École_Polytechnique|X]] furent passés à [[w:Besançon|Besançon]], où je terminais mes études, je ne pus les subir et suivis le sort des admissibles à St-Cyr''". <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1871-01 Sous-lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Villefranche-sur-mer près de Nice.png|'''1871-01''' - '''Le sous-lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[W:Villefranche-sur-Mer|Villefranche-sur-mer]] près de [[W:Nice|Nice]]. <ref name=Krebs-archives /> 1871-01-04 Aquarelle d'A-C KREBS=Baie de Villefranche vue de la route de la corniche.pdf|'''1871-01-04''' - '''Aquarelle''' de A. C. KREBS : ''"'''Baie de Villefranche vue de la route de la corniche'''"''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> == '''Ingénieur Militaire''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:École spéciale militaire de Saint-Cyr|'''''École spéciale militaire de Saint-Cyr''''']], [[commons:Category:Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest|'''''Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest''''']], [[commons:Category:Plateau des Capucins|'''''Plateau des Capucins''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:École spéciale militaire de Saint-Cyr|École spéciale militaire de Saint-Cyr]], [[w:Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan|Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan]], [[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]] <br>'''1873''' - "''Après la guerre et le temps passé à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]], je vins en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]]. Comme officier, l’[[w:arsenal|arsenal]] m’était ouvert. J’en profitais largement pour approfondir mes connaissances en mécanique et continuer mes études techniques.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Brest, vue des ateliers des Capucins num-2006-5-11-a-2.jpg|L' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314587/f87.item.r=brest '''arsenal militaire de Brest''']: Les ateliers des Capucins, l'atelier de la mâture et le viaduc. File:1873-1874 carnet de dessins=Brest et Nantes.pdf|page 3|'''1873-1874''' - A. C. KREBS : '''carnets de dessins''' de [[w:Brest,_France|Brest]] et [[W:Nantes|Nantes]]: La '''grue revolver''' de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. <ref name=Krebs-archives /> File:Btv1b531186107 port militaire de Brest.jpg|'''1900''' - La [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Num-2009-2-51-a-0313-4.jpg '''grue revolver'''] de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. File:Viaduc de la grue revolver-Capucins-BREST.jpg|'''2011''' - Le Viaduc de la '''grue revolver''' du [[W:Ateliers_du_Plateau_des_Capucins_(Brest)|Plateau des Capucins]]. File:1875 le Lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Brest.png|'''1875''' - Le '''Lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]] après sa formation à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. File:Chantiers Goün, Prairie-au-Duc.jpg|'''1875''' - Le [[W:Ernest_Go%C3%BCin_et_Cie|chantier Ernest Goüin]] à Nantes sur l'[[W:%C3%8Ele_de_la_Prairie-au-Duc|"Île de la Prairie-au-Duc"]] sur la [[W:Histoire_de_la_construction_navale_dans_l%27estuaire_de_la_Loire|Loire]]. File:1878 - Exposition Universelle de Paris - Chantiers Jollet et Babin.png|'''1878''' - Exposition Universelle de Paris : Le '''chantier Jollet and Babin''' à Nantes. <ref>'''1878''' - '''Les chantiers Jollet et Babin''' : "''P. D. JOLLET et L. BABIN, Constructeurs-Mécaniciens à Nantes. Navires en Bois et en Fer - Armements complets de navires. La maison P. D. Jollet et Babin (ancienne maison Jollet et Fils) remonte à plus d'un siècle. Mais depuis 20 ans la nouvelle maison s'est progressivement développée en prévision de la construction de grands bâtiments de mer, en bois et en fer, de la construction de machines à vapeur, marines et autres, et de tous les travaux métallurgiques. Aujourd'hui, son matériel, son personnel, ses ateliers de forge, de chaudronnerie, d'ajustage, de menuiserie, de pouliage et de gréement, lui permettent d'entreprendre la construction et la livraison complète, barre en main, des bâtiments en fer et en bois du plus grand tonnage. Elle peut livrer des machins à vapeur marines et des machines de terre (système Corliss ou autres), jusqu'à une puissance de huit cent chevaux, indiqués. Enfin, grâce à un outillage très-complet, elle entreprend les gros travaux de chaudronnerie, les ponts, les charpentes, les travaux d'artillerie, tous les travaux de chaudronnerie en cuivre pour les raffineries et les autres usines. Elle possède, en outre, un atelier de galvanisage, une fabrication de chaînes spéciales pour la marine, les chemins de fer, les fonderies, etc., etc. MM. Jollet et Babin ont une succursale pour les réparations à Saint-Nazaire et sont fermiers du bassin de carénage de Paimboeuf. En temps de travail ordinaire ils occupent 800 ouvriers.''"</ref> <ref>'''1881''' - À la fin du roman de '''Jules Verne''' "[[w:La_Jangada|La Jangada]]", son frère Paul Verne décrit son bateau le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6513563v/f339.item.r=jollet Saint-Michel III], construit par le chantier '''[[W:Louis_Mathurin_Babin-Chevaye|Jollet et Babin]]'''. </ref> File:1885~St-CYR=uniforme.png|'''1885''' - Uniforme d'un '''élève de l'école spéciale militaire de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]'''. File:1875 Ecole Militaire de Saint-Cyr.jpg |'''1893''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1412878r/f1.item "''Exercices gradués de dessin topographique à l'usage des candidats à l'Ecole spéciale militaire de Saint-Cyr''."] </gallery> === Cartes de Brest === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Maps of Brest, France by Arthur Constantin Krebs|'''''Cartes de Brest par A. C. KREBS''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:cartographie|cartographie]], [[w:Hachures#Cartographie|Hachures]], [[w:Carte|Carte]] <br>'''1873''' - "''Pendant mon séjour à Brest, j'ai relevé des plans de Brest et de ses environs, et j'eus l'autorisation de fabriquer, avec l'aide d'ouvriers du régiment, une presse <ref>'''1860''' - '''Dictionnaire français illustré et encyclopédie universelle''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58175678/f314.image.r=lithographie Litographie] : "''Le tirage lithographique exige des précautions très-minutieuses; en outre, ses résultats sont entièrement subordonnés à l'habileté de l'ouvrier. Ainsi, par ex., en ce qui concerne le nombre des épreuves, le bon ouvrier réussit à en obtenir 4 à 5000 avec la même pierre, tandis qu'un autre peut à peine arriver à 5 ou 600''."</ref> avec laquelle je pus tirer à quelques milliers d'exemplaires la carte que j'avais établie et qui servit pendant de nombreuses années.''" <ref name="1935_Dépêche_de_Brest /> <gallery> 1873 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=carte de Brest (centre).jpg |'''1873''' - '''Carte du centre de [[w:Brest,_France|Brest]]''' gravée et imprimée par A. C. KREBS. <ref name=Krebs-archives /> 1873 Arthur Constantin KREBS=Carte topographique de Brest.jpg|'''1873''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84439718.r '''''Carte topographique des environs de Brest'''''] gravée par A. C. KREBS quand il était au 19ème Regiment d'infanterie (signée A. Krebs). <ref name=Krebs-archives /> </gallery> === Dessin de carènes === '''Catégories''' : [[commons:Category:Construction navale|'''''Construction navale''''']], [[commons:Category:Architecture navale|'''''Architecture navale''''']], [[commons:Category:Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement|'''''Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement''''']], [[commons:Category:Vehicle hulls|'''''Coques de véhicules''''']], [[commons:Category:Cross sections of ships|'''''Sections transversales de navires''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carène (bateau)|Carène (bateau)]], [[w:Coque (bateau)|Coque (bateau)]], [[w:Proue|Proue]], [[w:Étrave|Étrave]], [[w:Construction navale|Construction navale]], [[w:Génie maritime|Génie maritime]], [[w:Corps des ingénieurs de l'armement|Corps des ingénieurs de l'armement]] <br>'''1875''' - "''Mon futur beau-père ''[[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]]'', camarade d’enfance de mon père, m’avait donné des ouvrages sur les '''Machines à vapeur marines''' <ref>'''1861''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f9.item Cours pratique de machines à vapeur marines] : professé à l'École d'application du génie maritime / par M. A. de Fréminville. '''1870''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k146769f.r= Cours de machines à vapeur : année 1870-1871] par M. de Fréminville, professeur à l'École centrale des arts et manufactures.</ref> et la '''construction des navires''' <ref> '''1863''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97347690.r Guide du marin] : résumé des connaissances les plus utiles aux marins. '''1864''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p.r= Traité pratique de construction navale] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858754f.r ATLAS]) par Mr. A. de Fréminville.</ref> qu’il professait à l’École du Génie Maritime à [[w:Brest|Brest]]. ''J’en fit mon profit et plus tard, en garnison à [[w:Nantes|Nantes]], en ''[[w:1875|1875]]'', je rédigeai les plans d’un navire qui fut construit par un industriel avec lequel j’avais fait connaissance.''" <ref name="Krebs_1924" /> ''Une difficulté s'étant présentée un jour dans la construction d'un nouveau modèle, ce fut le lieutenant Krebs qui se chargea de la résoudre. Il fit à lui seul les plans du navire, et son projet fut exécuté de point en point.''" <ref name=1884_de-Grilleau /> <gallery> File:1883-ALBUM-16 SHD-DE-2014-PA-40 Carène du canot l'Ampère.jpg|'''1883''' - '''La coque à bulbe du canot électrique "L'Ampère"''' : Ce canot est conçu et construit par A. C. KREBS '''pour tirer dans l'eau les maquettes du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - L'enveloppe du dirigeable "La France" gonflée à l'air.jpg|'''1884''' - '''L'enveloppe du dirigeable "La France"''' gonflée à l'air, dont '''les fuseaux ont été tracés par A. C. KREBS'''. File:1888-04-17 - Sous-marin Gymnote - le canot électrique d'essai préalable.pdf|'''17/04/1888''' - '''Sous-marin Gymnote''' - le '''canot électrique d'essai''' préalable : '''Spécifications rédigées par A. C. KREBS'''. File:1889 Le-bateau-L'Etincelle=dessiné par A.C.KREBS.pdf|'''1889''' - Le bateau à vapeur "L'Etincelle"''' dessiné par A. C. KREBS''', propulsé avec un moteur à vapeur '''Durenne & Krebs'''. File:1899-06-03 Le Yacht=KREBS dessine les plans du canot PHOENIX.jpg|'''1899-12-16''' - "Le '''''PHOENIX - Canot à essence de pétrole'''''" : "''L'auteur de ces plans, ainsi que de ceux du moteur est'' '''''M. le commandant Krebs''''' [...]" <ref>'''1899-12-16''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7123311z/f4.image.r=krebs '''Le Yacht''']: "''Le PHOENIX - Canot à essence de pétrole à la société des anciens établissements Panhard and Levassor''" : "Il évolue facilement, grâce aux formes spéciales que l'auteur des plans a donné à sa carène, le gratifiant ainsi d'une vitesse, d'une stabilité et d'une facilité d'évolution parfaites."</ref> File:1903-1911 Les-bateaux à essence L'Etincelle=dessinés par A.C.KREBS.pdf|'''1903-1911''' - '''Les bateaux à pétrole''' "''L'Etincelle" I et II''" '''dessinés par A. C. KREBS''', qui a également conçu les moteurs alors qu'il est directeur de '''Panhard & Levassor'''. File:1913 - Panhard & Levassor - le bateau "Parcifal" dessiné par A. C. KREBS et construit par les chantiers KRAFF à Quimper.jpg|'''1913''' - '''Le bateau''' "Parcifal" '''de 14 mètres dessiné par A. C. KREBS''' et construit par les [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t557169x/f7.image.r=kraff chantiers Kraff] de Quimper. </gallery> == '''Le parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''' avec '''[[w:Charles_Renard|Charles RENARD]]''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|'''''Parc aérostatique de Chalais-Meudon''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Chalais-Meudon|Chalais-Meudon]], [[w:Aérostation|Aérostation]], [[w:Dirigeable militaire|Dirigeable militaire]], [[w:Aérostat|Aérostat]], [[w:Dirigeable à enveloppe souple|Dirigeable à enveloppe souple]], [[w:Flottabilité|Flottabilité]], [[w:Portance|Portance]], [[w:Ballonnet|Ballonnet]], [[w:Hangar Y|Hangar Y]], [[w:Histoire de l'aérostation|Histoire de l'aérostation]], [[w:Histoire de l'aviation|Histoire de l'aviation]], [[w:Chronologie de l'aéronautique|Chronologie de l'aéronautique]] :::[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55364253/f6.item.r=krebs 1884-10-01 - Les aérostats dirigeables] '''1876''' - "''À la fin de [[w:1876|1876]], mon bataillon vint à [[w:Paris|Paris]]. Mis en rapport par un ami commun, avec le [[w:Charles_Renard|Capitaine Renard]], j’entrai en relation avec lui et il me mit au courant des travaux qu’il avait entrepris à la Commission des Communications Aériennes et me demanda ma collaboration.'' ''Le [[w:Aimé_Laussedat|Colonel Laussedat]], qui présidait cette commission, m’y fit nommer par le ministre, et je fus détaché à la Direction du Génie, de laquelle dépendaient les Ateliers de Chalais-Meudon. Mes vœux les plus chers étaient ainsi comblés, mais pour donner confiance et obtenir des crédits, il fallait réussir et ne promettre que ce que l’on était sûr de pouvoir réaliser.'' ''Renard avait déjà construit un [[w:Ballon captif|ballon captif]], seule la partie mécanique permettant d’effectuer des ascensions, n’était qu’à l’état embryonnaire. Je me chargeai de la réaliser, et grâce à l’[[w:Exposition universelle de 1878|Exposition de 1878]], je réunis rapidement tous les éléments nécessaires à l’établissement d’un treuil à vapeur'' [fixe] ''qui fonctionna à notre plus grande satisfaction dès le mois d’août.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Train de ballons captifs === '''Catégories''' : [[commons:Category:Type ou modèle d'aérostat|'''''Type ou modèle d'aérostat''''']], [[commons:Category:Aerostation|'''''Aérostation''''']], [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']], [[commons:Category:Aerostats|'''''Aérostats''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Aérostat|Ballon captif]] <br>"''Les expériences et les démonstrations se succédèrent alors brillamment en toute sécurité et nous permirent d’y intéresser des membres de la Commission du budget, car il fallait obtenir des crédits pour pouvoir continuer les études et réaliser les projets faisant l’objet de la Commission des Communications Aériennes''. ''[[w:Léon_Gambetta | Gambetta]], puis [[w:Georges_Clemenceau | Clémenceau]], vinrent successivement assister aux expériences et promirent leur appuis''." '''1880''' - '''Rapport de la Commission du budget''' de la Chambre des députés "''Sur le budget des dépenses extraordinaires sur ressources extraordinaires de l'exercice 1880''" : "''Pour le ministère de la Guerre, reconstitution du matériel militaire'' [...] ''Votre Commission estime que l'oeuvre entreprise doit être complétée. C'est dans cet esprit qu'elle a examiné les diverses demandes présentées s'efforçant de maintenir les crédits dans les limites absolument nécessaires pour arriver à ce complet achèvement.'' [...] '''''Télégraphie militaire et communications aériennes''''' [...] ''Nous avons visité, Messieurs, l'école d'aérostation militaire du parc de Chalais. Nous avons constaté avec le plus vif intérêt les progrès accomplis, les résultats obtenus, dus aux constantes études de '''''deux jeunes officiers, aussi modestes que distingués et capables'''''. Vous ne sauriez faire des fonds de l'État un emploi plus judicieux qu'en encourageant, par l'adoption du crédit demandé, des efforts qui permettent d'espérer encore dans l'avenir des résultats précieux pour la science et pour l'art de la guerre''." "''Deux buts étaient à poursuivre : :''1/ Étude et construction d’un matériel de ballon captif transportable en campagne ; :''2/ Étude et construction d’un ballon dirigeable. ''Le premier me parut facile à réaliser. Il se réduisit à la construction d’un treuil à vapeur sur roues pour les manœuvres de ballons, et à celle de deux autres voitures pour le transport des agrès et des accessoires de la machine à vapeur (eau et charbon), puis d’un appareil, également sur roues, pour la production du gaz hydrogène. Renard s’occupa de cette dernière question et je pris la première.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Charles Renard.jpg|'''1876''' - '''Charles Renard''' (1847-1905) directeur de l'établissement aérostatique de Chalais-meudon. File:1879 - LA NATURE (1884) - expériences de [[w:Victor Tatin|Victor TATIN] (1843-1913)] à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs.png|thumb|1879 - LA NATURE (1884) : expériences de Victor TATIN à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs]]|'''1879''' - Expériences de '''Victor TATIN''' à Chalais-Meudon ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.23/333/100/432/8/420 en présence de Renard et Krebs]'''. File:1880~Aimé-Laussédat (1819-1907) par A. Gerschel.jpg|'''1880''' ~ '''Aimé Laussédat''' (1819-1907) directeur de la commission des communications aériennes. File:Gambetta par Étienne Carjat (photo recadrée).jpg|'''1881''' - [[w:Léon_Gambetta |'''Léon Gambetta''']] (1838-1882) vient assister aux expériences de Krebs & Renard et promet son soutien financier. File:Georges Clemenceau Nadar.jpg|'''1881''' - [[w:Georges_Clemenceau | '''Georges Clémenceau''']] (1841-1929) vient assister aux expériences de Krebs & Renard et promet son soutien financier. File:1882-ALBUM-14 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Chaudière Krebs.jpg | '''1882''' - '''Chaudière à vapeur système KREBS''' pour la manœuvre du treuil de campagne pour ballons captifs. <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-07 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=treuil à vapeur.jpg | '''1882''' - '''Voiture treuil de A. C. KREBS''' pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. Le treuil met en oeuvre, pour la première fois en aérostation, le principe du touage à 2 tambours parallèles. <ref name=Krebs-archives /> File:1883-ALBUM-08 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Fourgon.jpg | '''1883''' - '''Voiture fourgon''' conçue par A.C. KREBS pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. <ref name=Krebs-archives /> File:1883-ALBUM-09 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=voiture aux agrais.jpg | '''1883''' - '''Voiture d'agrés''' designed by A.C. KREBS for the captive balloon train in the field. <ref name=Krebs-archives /> File:1906~Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 en opération.jpg|'''1906''' - Treuil d'aérostation à vapeur modèle '''1882''' de KREBS en opération.'''. File:1916 - The A. C. KREBS Aerostation Steam Winch System of 1882 practical mechanics course.png|'''1916''' - Le système KREBS de treuil à vapeur d'aérostation modèle 1882 : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1916_-_The_1882_A._C._KREBS_steam_winch_system.pdf&page=2 '''''Cours de mécanique pratique''''']. <ref name=Krebs-archives /> File:1914GDOC 01418B - SERIE SPECIALE (SUITE)=treuil à vapeur système Krebs (modèle 1882).webm|'''1914-1918''' - '''Vidéo''' : ''Le '''treuil d'aérostation à vapeur système A. C. Krebs''' (modèle '''1882''') en action''. '''Vitesse du câble''' : 10 m/s. </gallery> === Générateur d'hydrogène === '''Catégories''' : [[commons:Category:Hydrogen production|'''''Production d'hydrogène''''']], [[commons:Category:Mobile engine-generators|'''''Groupe électrogène''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de la production d'hydrogène|Histoire de la production d'hydrogène]], [[w:Technologie de l'hydrogène|Technologie de l'hydrogène]], [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]], [[w:Groupe électrogène|Groupe électrogène]] <br>'''1879-1880''' - Ch. RENARD conçoit des générateurs d'hydrogène stationnaires ou mobiles, et A. C. KREBS conçoit les machines à vapeur qui les animent. <gallery> 1878 A-C Krebs=machine électrique à lumière.jpg|'''1878''' - '''Groupe électrogène mobile à vapeur de A. C. KREBS''' : "''Machine électrique à lumière''" destinée en particulier à l' '''électrolyse de l'eau''' (signé Krebs). <ref name=Krebs-archives /> File:1879-11-00 MAE Lettre-Rapport-Hydrogène.jpg | '''1879-11''' - '''Ch. RENARD : Générateur d'hydrogène stationnaire''' à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur qui l'anime. <ref name=Krebs-archives /> File:1880-10 MAE cahiers-Krebs Hydrogène moteur-vapeur.pdf | '''1880-10''' - '''A. C. KREBS''' conçoit la '''machine à vapeur''' qui anime le générateur d'hydrogène conçu par Ch. RENARD à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. <ref name=Krebs-archives /> File:1882 C.RENARD et A.C.KREBS = voiture générateur d'hydrogène.jpg | '''1882''' - '''Voiture à hydrogène de Ch. RENARD & A. C.KREBS''' pour le gonflement des ballons en campagne. <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-13 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Production de gaz.jpg | '''1882''' - '''Production de gaz hydrogène en campagne''' avec le train de ballons captifs de A. C. KREBS & Ch. RENARD. Le treuil à vapeur de A. C. KREBS est visible en arrière-plan. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> "''Pour mener à bien et rapidement ces travaux, nous fûmes conduits à établir '''un laboratoire''' et à installer '''un atelier mécanique''' pourvus l’un et l’autre des outils et outillages nécessaires. Nous avions comme ouvriers des Sapeurs du Génie provenant du Régiment de Versailles. <ref name="Krebs_1924" /> '''1906''' - "''Tous les travaux de mécanique ont fait l'objet d'une étude particulière de ma part, et pour y parvenir j'ai construit et organisé un atelier situé dans [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Parc_a%C3%A9rostatique_de_Chalais-Meudon le parc de Chalais-Meudon], atelier qui existe toujours''". <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1879-1880''' - "''L’année suivante ('''juin 1879'''), un premier parc était réalisé et permit de faire des expériences de transport de ballons et d’ascensions sur le plateau qui domine [[w:Meudon|Meudon]] au sud. À la suite de ces essais, le ministre décida que ce parc assisterait aux Grandes Manœuvres qui devaient se dérouler aux environs de Silliers-le-Guillaume ('''22 et 23 septembre 1880'''). Pendant ces manœuvres, les renseignements donnés par le ballon sur la marche des opérations, contrôlé par un officier d’État-major'' [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) [Léonce Krebs]] ''qui avait été adjoint au parc, furent si probants que la construction de 4 parcs semblables fut décidée et nous fut confiée.''" "''Les crédits alloués nous permirent d’agrandir les ateliers, de perfectionner l’outillage et d’établir une fabrication qui a servi de modèle aux 25 parcs de ballons captifs qui se trouvaient dans les différents Corps d’Armée et places fortes en 1914.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Ascensions libres === <gallery> 1878-06 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=le ballon captif à Chalais-Meudon.jpg |'''1878-06''' - Album photo de A. C. KREBS : "''Le ballon captif à Chalais-Meudon''". <ref name=Krebs-archives /> File:1868 L'AERONAUTE=page de garde.jpg |'''1879-08-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699161r/f22.image.r=krebs '''Ascension libre''' de C. RENARD et A. C. KREBS]. File:1882 Aéronaute-article-Renard&Krebs-KREBS signature.jpg |'''1882''' - L'Aéronaute : "'''''Considérations générales sur les ascensions de longue durée'''''" (signé KREBS.) <ref>"'''''Mr Poitevin a signé cet article pour moi''''' ''qui, n'ayant pas deandé d'autorisation au ministre de la Guerre ne pouvait faire paraître mon nom'' (signé KREBS.)</ref> [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58276296/f1.item#] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827634h/f5.item.r=] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827635x/f4.item] </gallery> === Mariage === '''1881''' - A. C. KREBS se marie avec Marie de Fréminville, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. <gallery> File:1881-A-C-KREBS=portrait de mariage.jpg|'''1881''' - '''A. C. KREBS''' portrait de mariage. <ref name=Krebs-archives /> File:1881 portrait Marie de Fréminville.jpg|'''1881''' - '''Melle Marie de Fréminville''' portrait de mariage, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. <ref name=Krebs-archives /> File:1881 - A. C. KREBS - "mon habitation à Chalais-Meudon".jpg|'''1881''' - A. C. KREBS: "'''''Mon habitation à Chalais-Meudon'''''" dans le parc de recherche aérostatique. <ref>Il faut souligner que A. C. KREBS a toujours habité, avec sa famille, sur son lieu de travail : dans le parc de Chalais-meudon, à l'état-major des pompiers au 9 Bd du Palais sur l'île de la cité à Paris, et dans la maison de Levassor agrandie, dans l'usine Panhard, avenue d'Ivry.</ref> </gallery> === Le dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" avec [[w:Charles_Renard|Charles RENARD]] et [[w:Henri_Dupuy_de_Lôme|'''Henri DUPUY-de-LÔME''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:La France (airship)|'''''Le dirigeable "La France"''''']], [[commons:Category:Balloon history|'''''Histoire des ballons''''']], [[commons:Category:Airship technology|'''''Technologie aérostatique''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ballon dirigeable|Ballon dirigeable]], [[w:Base aérienne 107 Villacoublay|Base aérienne 107 Villacoublay]] <br>'''1884''' - Collaborant avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], il pilote [[w:XIXe siècle en aéronautique|le premier vol pleinement contrôlé]] en 1884, effectué à bord du [[w:dirigeable|dirigeable]] militaire français "''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''", qu'ils ont conçu. Le vol <ref>[http://rbmn.free.fr/Ballon_photos_10.html Plans, croquis et photos du dirigeable "La France"].</ref> a parcouru 8 km en 23 minutes. Ce fut <ref>'''XIX° siècle en aéronautique''' : [[w:XIXe_siècle_en_aéronautique|le 9 août 1884]], le dirigeable "La France" réalise [http://rbmn.free.fr/Dirigeable_LA_FRANCE_1884.HTML Le premier vol pleinement dirigé].</ref> le premier vol mécanisé avec retour au point de départ. Sur sept vols, le dirigeable "''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''" reviendra cinq fois à son point de départ. "''Entre temps, se poursuivaient les études et expériences pour la construction du ballon dirigeable. Sa réalisation était pour nous le comble de nos aspirations et faisait l’objet de nos plus profondes méditations. La forme du ballon, la disposition de la nacelle et la détermination de l’espèce d’énergie à employer pour constituer la force motrice nécessaire à sa propulsion, firent l'objet d'un long examen et de discussions approfondies.''" ==== Recherche d'un moteur léger : vapeur, hydrogène, électricité ==== '''Voir aussi''' : [[w:Machine à vapeur|Machine à vapeur]], [[w:Histoire de la machine à vapeur|Histoire de la machine à vapeur]], [[w:Chaudière à tubes de fumées|Chaudière à tubes de fumées]], [[w:Chaudière à tubes d'eau|Chaudière à tubes d'eau]], [[w:Locomotive compound|Locomotive compound]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à hydrogène|Moteur à hydrogène]], [[w:Machine électrique|Machine électrique]] <gallery> File:1876 - moteur à gaz Otto construit par Périn-Panhard.png|'''1876''' - '''[https://www.youtube.com/watch?v=5F6q-i_nuYs Moteur à gaz Otto]''' acheté par A.C. KREBS et construit par '''Périn-Panhard'''. File:1878-04-25 MAE A-C-KREBS=Brevet-FR124.078 Générateur de vapeur à circulation directe dit générateur RENHAYE Renard+Krebs+Delahaye.pdf|'''25-04-1878''' - A. C. KREBS : Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=124078&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''124078] "''Générateur de vapeur à circulation directe, dit'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs '''''générateur RENHAYE''''']''" de de la Haye, Renard et Krebs. File:1882-SHD-DE-2014-PA-40=moteur à hydrogène de A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - Le '''moteur à hydrogène''' conçu par A. C. KREBS. 1883-12 Arthur Constantin KREBS=Cahier de recherche 'Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'.pdf|'''1883-12''' - A. C. KREBS : Cahier de recherche "'''Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'''" pour le moteur électrique du dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" de '''1884'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - A. C. KREBS electric motor for the 'La France' airship.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS : Le '''moteur électrique''' pour le dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''". </gallery> '''1878''' - "''Avant l'Exposition de 1878, alors que j'étais au parc aéronautique, j'ai acheté et accepté, aux ateliers [[w:Panhard & Levassor|Panhard & Levassor]], un moteur à quatre temps Otto de deux chevaux ''[au gaz de ville]'' pour l'installer dans l'atelier de couture des ballons.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1879''' - "''Ainsi, MM. Renard et Krebs ont obtenu'' '''''une machine de trois chevaux qui contient à peine trois litres d'eau''''', ce qui leur donne '''''une chaudière légère et non à faible surface'''''. ''Des organes d'une grande sensibilité règlent et assurent le jeu de la machine, bien que peu d'eau soit employée''. '''''La pompe alimentaire a été étudiée avec soin par M. Krebs''''' ; ''le thermo-régulateur actuel s'appuie sur le même principe que celui indiqué au brevet ; mais il emploie la dilatation du mercure''". <ref>'''01/06/1879''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs L'Aéronaute].</ref> '''1881''' - "''À cette époque, l’industrie électrique se développait. Le [[w:Exposition internationale d'Électricité | Congrès International de l’Électricité]] de '''1881''' venait de déterminer les unités de mesure nécessaires à l’étude et aux applications de cette branche nouvelle d’énergie. Les moteurs à essence, si répandus maintenant, n’étaient pas encore connus, nous décidâmes l’emploi de l’électricité pour constituer la force motrice du ballon.''" "''Renard se consacra à la recherche de la source électrique capable de développer dans un poids très faible l’énergie nécessaire au fonctionnement pendant 2 heures environ, d’un moteur de 10 CV. Moi, '''''je me chargeai de l’établissement du moteur et de tous les organes mécaniques faisant manœuvrer l’hélice'''''. C’est ainsi que je fus conduit à étudier l’électricité au moment où cette science se développait industriellement.''" <ref name="Krebs_1924" /> '''1882''' - "''En 1882, dans le but de propulser un ballon dirigeable, qui était alors étudié par le ministère de la Guerre'', '''''j'entrepris la mise au point d'un moteur à combustion interne qui devait utiliser comme combustible l'hydrogène qui gonflait le ballon'''''. ''C'est à cette occasion que j'abordai pour la première fois de manière approfondie une étude complète des moteurs à combustion interne.''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> '''1884''' - "''C'est donc vers 1884 que j'ai suivi avec grand intérêt la construction des [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0058/100/512/10/458 petits moteurs à essence] de Mr [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''" <ref name=1906_Krebs_Selden/> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1878''' || [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=610115&positionResult=32&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B1%5D=haye&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afba49a2c3d/arko_default_63f47e41d68c8/image/591913|0|5 '''FR'''124078] || De la Haye, Renard et Krebs: ''Générateur de vapeur à circulation directe, dit générateur RENHAYE'' |- |} ==== Recherches aérodynamiques : la forme du ballon ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Aerodynamics diagrams|'''''Diagrammes d'aérodynamique''''']], [[commons:Category:Fluid_dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']], [[commons:Category:Aircraft_wake_turbulence |'''''Turbulences de sillage d'aéronefs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Bulbe d'étrave|Bulbe d'étrave]], [[w:Aérodynamique|Aérodynamique]], [[w:Maquette|Maquette]], [[w:Modèle|Modèle]], [[w:Aérodynamique de la pointe avant|Aérodynamique de la pointe avant]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]], [[w:Corps de moindre traînée|Corps de moindre traînée]], [[w:Empennage|Empennage]], [[w:Dérive (empennage)|Dérive (empennage)]], [[w:Aérostatique|Aérostatique]] <br>'''1883''' - "''Ce ne fut pas sans peine que M. Renard consentit à abandonner le ballon tubulaire, dont la forme le séduisait à cause de ses avantages théoriques. Pour décider son collègue, '''''M. Krebs fit faire des modèles en bois de diverses formes''''', que l'on essaya successivement dans l'étang de Chalais : ces essais prouvèrent que pour obtenir de la régularité dans la marche,'' '''''il est nécessaire de donner au mobile une forme dissymétrique'''''. ''C'est ainsi que la forme ovoïde, proposée par le capitaine Krebs, fut définitivement adoptée pour l'aéronef de Chalais'' [...] ''L'aéronef doit nager dans l'air, comme poisson dans l'eau, dit le capitaine Krebs. La nature nous démontre que nous avons choisi pour notre aérostat une forme rationnelle''". <ref>[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 1884-de-Grilleau]: ''Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir. Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''.</ref> '''1884''' - "''L'évaluation du travail nécessaire pour imprimer à l'aérostat une vitesse donnée a été faite de deux manières :<br> :"''1° En partant des données posées par [[w:Henri Dupuy de Lôme|Dupuy de Lôme]] et sensiblement vérifiées dans [[w:Aérostat dirigeable Dupuy de Lôme|ses expériences de février 1872]] ;<br> :"''2° En appliquant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f53.image.r=carene la formule admise dans la marine] pour passer d'un navire connu à un autre de formes très peu différentes et en admettant que, dans le cas du ballon, les travaux sont dans le rapport des densités des deux fluides.''" <ref name=1884_ACAD-Krebs /> <ref>'''1864''' - [[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]], (beau-père de A. C. KREBS) : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p/f84.image.r=carene ''Traité pratique de construction navale'']".</ref> <gallery> File:1883-ALBUM-17 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=L'Ampère sur l'étang.jpg|'''1883''' - "''L'Ampère sur l'étang ''". Ce canot électrique est conçu et construit par A. C. KREBS pour tirer des modèles en bois du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique (voir supra). <ref name=Krebs-archives /> File:1882-ALBUM-26 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Modèle en bois de La France.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS: ''Modèle en bois du ballon [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''. Ce modèle est conçu et construit par A. C. KREBS pour être tiré par le canot l'Ampère, et déterminer sa forme aérodynamique. <ref name=Krebs-archives /> File:1882 - Machine à découper les fuseaux des ballons conçues par A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - '''Machine à découper les fuseaux des ballons''' conçue par A. C. KREBS. File:1883 - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon La France gonflé à l'air.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon '''''La France''''' gonflé à l'air, et dont il a tracé les fuseaux'''. File:1883-SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS-to-do book='Boat test in front of Mr. Dupuy de Lôme and Zédé'.pdf|'''1883-03-24''' - '''Carnet''' de A. C. KREBS : ''"Essai du bateau devant MM. '''[[w:Henri_Dupuy_de_Lôme| Dupuy-de-Lôme]]''' et '''[[w:Gustave_Zédé|Zédé]]'''"''. <ref name=Krebs-archives /> File:Henri Dupuy de Lôme.png|'''1883''' - '''Henri Dupuy de Lôme''' (1816-1885) : Architecte naval. <ref>'''1872''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046138b/f9.image.r=dupuy%20de%20lome Les Ballons dirigeables], par Gaston Tissandier.</ref> File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur, gendre de M. Dupuy de Lôme. </gallery> '''Catégories''' : [[commons:Category:Hélice|'''''Hélice''''']], [[commons:Category:Propellers|'''''Hélices''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Nacelles|Nacelles]], [[w:Hélice|Hélice]], [[w:Hélice (aéronautique)|Hélice (aéronautique)]] <gallery> File:1884-design of La-France dirigible of Renard & Krebs-first fully controlled airtrip.pdf|'''1884''' - La conception du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' de Ch. RENARD & A. C. KREBS. <ref name=Krebs-archives /> File:1884-ALBUM-29 SHD-DE-2014-PA-40 = A-C-KREBS pose devant l'hélice du dirigeable La France.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS pose devant l'hélice du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''', qu'il a conçue et construite lui-même. <ref name=Krebs-archives /> File:1884 - Dirigeable "La France" - Plan de la nacelle de A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''": '''Plans de la nacelle par A. C. KREBS'''. File:1884 - Dirigeable "La France" - La nacelle conçue par A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''": '''La nacelle conçue par A. C. KREBS'''. </gallery> ==== '''A. C. KREBS pilote les [https://archive.org/details/americanengineer67newy/page/472/mode/2up?q=krebs premiers vols pleinement contrôlés]''' ==== '''Voir aussi''' : [[w:Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air|Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air]] <br>'''1884''' - "''La première ascension du ballon "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''", qui eut lieu le 9 août 1884, et dans laquelle'' '''''un aérostat décrivit pour la première fois par ses propres moyens une courbe fermée en revenant à son point de départ''''', ''fut le couronnement de nos travaux. On ne pouvait alors prétendre obtenir une durée de fonctionnement dépassant 2 h à cause du poids des moteurs. Ce ne fut donc qu’une expérience intéressante mais sans lendemain''." "''En effet, 15 ans devaient s’écouler avant que, grâce aux perfectionnements apportés par l’automobile aux moteurs à essence, on put doter un ballon semblable à "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" d’un moteur assez léger'' [[w:Lebaudy_Frères|[voir Ballons Lebaudy]]] ''pour lui permettre de tenir l’air pendant 10 heures''." <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> 1884 Arthur Constantin KREBS=portrait.jpg|'''1884''' - Arthur Constantin KREBS. File:The 1884 Krebs & Renard first fully controllable free-flights with the LA FRANCE dirigible near Paris (Krebs arch.).jpg |Les '''premiers vols pleinement contrôlés de Krebs & Renard de 1884''' avec le dirigeable électrique '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' près de Paris (Krebs arch.). File:1884-09-27 Scientific-American=Renard & Krebs first fully controlled free-flight (from l'Illustration).pdf |'''1884-09-27''' - Scientific-American: Renard & Krebs '''first fully controlled free-flight''' (from l'Illustration). File:Popular science monthly (1872) (14763679411).jpg |'''1884''' - THE POPULAR SCIENCE MONTHLY: "''the balloon returning each time to its point of departure, and attaining a speed of nearly fifteen miles an hour''". 1884-de-Grilleau=Les aérostats dirigeables leur passé, leur présent, leur avenir. Le ballon de Meudon.gif|'''1884''' - de Grilleau: "'''''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, un contraste frappant''''' [...] <ref name=1884_de-Grilleau /> File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris. File:1884 A-C-KREBS=portrait en gravure.jpg|'''1886''' - '''A. C. KREBS & Ch. RENARD''' reçoivent le ''' Prix Ponti''' de '''l'Académie des sciences''' : "''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''" <ref>'''1886''' - '''A. C. KREBS & C. RENARD''' reçoivent [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 le '''Prix Ponti'''] de '''l'Académie des sciences''' : "''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''"</ref> File:Gill Hugo.jpg | '''23-08-1884''' - [[w:Victor Hugo|'''Victor Hugo''']] - La direction des ballons : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7540223d/f1.item.r=%22victor%20hugo%22.zoom "''Est-ce l'aimant qui s'est fait aider par l'éclair Pour bâtir un esquif céleste avec de l'air ?''"] File:'Robur the Conqueror' by Léon Benett 48.jpg|'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''', dans son roman '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : "[...] ''même après les expériences retentissantes des '''capitaines Krebs et Renard''' '' [...]" <ref>'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''' dans '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : "''Il était donc constant que, même après les expériences retentissantes des [https://fr.wikisource.org/wiki/Robur_le_conqu%C3%A9rant/2 '''capitaines Krebs et Renard'''], si les aérostats dirigeables avaient gagné un peu de vitesse, c’était juste ce qu’il fallait pour se maintenir contre une simple brise. D’où [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t51169574w/f98.image.r=krebs l’impossibilité d’user pratiquement jusqu’alors de ce mode de locomotion aérienne].''"</ref> File:1886 - Catalogue plantes John-Saul - Géranium 'capitaine Krebs'.png|'''1886''' - [https://archive.org/details/johnsaulscatalog18john_12/page/4/mode/2up?q=capitaine+krebs '''Geranium "''capitaine Krebs''"''']: "''Fine, large, well-shaped trusses, cinnabar-crimson, white centre, extra''". </gallery> == Le sous-marin "'''''[[w:Gymnote (1888)|Gymnote]]'''''" avec [[w:Gustave_Zédé|'''Gustave ZEDE''']] == '''Catégories''' : [[commons:Category:Gymnote (submarine, 1888)|'''''Gymnote (1888)''''']], [[commons:Category:Gustave Zédé|'''''Gustave Zédé''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Gymnote (1888)|Gymnote (1888)]], [[w:Histoire des sous-marins|Histoire des sous-marins]], [[w:Coque_(bateau)#Sous-marins|Coque de sous-marins]] <br>'''1884''' - "''L’expérience du dirigeable était révolue sans laisser l’espoir de pouvoir mieux faire à courte échéance. C’est alors que le général Zédé, frère de [[w:Gustave_Zédé | M. Zédé]], directeur des Constructions Navales, dont j’avais fait la connaissance par mon beau-père, me proposa de quitter la Direction du Génie, où je n’avais aucun avenir à espérer, et de me nommer au Régiment des Sapeurs-Pompiers dont on voulait modifier et perfectionner les moyens d’action pour les mettre à la hauteur de ce qui existait à l’étranger.''" '''1885''' - "''M. Gustave Zédé, ancien Directeur des Constructions Navales et Administrateur à la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]], avait entrepris'', en 1885, '''''l’étude d’un sous-marin''''' ''pour le compte de la Marine militaire''. '''''Ce navire devait être propulsé par un moteur électrique alimenté par des [[w:Camille_Desmazures#L’inventeur_d’un_nouveau_type_d’accumulateur_électrique|accumulateurs]]'''''. ''Toute cette partie mécanique était à étudier et à exécuter. Il me fit part de son projet et me demanda de collaborer avec lui.''" "''La coque était construite par l’Arsenal de Toulon, et toute la partie mécanique et électrique devait être exécutée dans les Ateliers des [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Forges et Chantiers]] au Havre.''" <ref name="Krebs_1924"/> === Le moteur électrique du sous-marin ''Gymnote'' === "''J’acceptai l’offre avec plaisir bien que'' '''''les conditions de construction d’une machine électrique de 50 CV à 200 tours''''' [exigé par Zédé] ''''' présentât de sérieuses difficultés'''''. ''Il y avait, en réalité, à réaliser des dispositions tout à fait nouvelles pour arriver à disposer, dans un espace très restreint : machine, accumulateurs et appareils de manœuvres. Sur la demande du Ministre de la Marine, je fus autorisé par le Ministre de la Guerre à prêter mon concours à la Marine tout en conservant mes fonctions au Régiment des Sapeurs-Pompiers.''" <ref name="Krebs_1924"/> <ref>Noter que les règlements actuels sur le personnel militaire n'autoriseraient plus ce type de mise à disposition interarmées.</ref> <gallery> File:1886-01-12 Brevet A-C-KREBS FR173487=Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires.pdf|page 6|'''1886-01-12''' - Brevet A. C. KREBS [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487] : "'''''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'''''". File:1888 - Plans du moteur électrique multipolaire KREBS du Sous-marin GYMNOTE.pdf|'''1888''' - Plans du '''moteur électrique multipôlaire de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1880-1889-ALBUM-41 SHD-DE-2014-PA-40 (moteur Gymnote).jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique à 16 pôles et 2 balais de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1888-04 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Plans de l'atelier d'essai''' du moteur électrique multipôlaire pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France). File:1888-04 - SHD-DE-2014-PA-40 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Essais du moteur électrique multipôlaire A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France). File:1886-1889 - Moteur électrique de A. C. KREBS en place dans le sous-marin Gymnote.jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place dans le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:1889 - "Gymnote" submarine plan - cutaway view.png|thumb|'''1889''' - Vue en coupe du '''sous-marin GYMNOTE''' avec le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1886''' || [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487A] || ''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'' |- |} === [[w:Canot|Le canot électrique d'essai]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Launch (boat)|'''''Canot''''']] <br>'''1887''' - "''Une première expérience, consistant à propulser un'' [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1887-12-10_24_623/page/9954/mode/2up?q=krebs '''''canot de la Marine'''''] ''au moyen d’une dynamo et d’accumulateurs, dut d’abord être préparée pour convaincre le Ministre de la Marine de la possibilité du fonctionnement. Cette première expérience (1887) eut lieu au Havre et réussit pleinement. Les travaux pour le sous-marin purent alors être entrepris.''" <ref name="Krebs_1924" /> <br>'''1888''' - "'''''Note sur un canot de 7 mètres avec machine électrique et accumulateurs''''' : [...] ''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis''." <gallery> File:1887-10-15 LA-NATURE-n°750 Canot de la marine p309.jpg|'''1887''' - '''[https://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?4KY28.29/313/100/432/5/420 Le canot électrique de la marine]'''. La coque (métallique) et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t513859334/f13.item.r=krebs '''le moteur électrique conçu par A. C. KREBS'''] ont servi de test avant le sous-marin '''[[w:Gymnote (1888)|''Gymnote'']]'''. <ref>'''1887''' - L'Année scientifique et industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201116k/f174.item.r=krebs "''Le canot électrique''"]. '''Le Génie civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64825793/f9.image.r=krebs "''Canot électrique de 8m85''"].</ref> File:Théophile Aube.jpg|'''1886''' - Le vice-admiral [[w:Théophile_Aube|Theophile Aube (1826-1890)]], ministre de la marine. File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur (Atelier Nadar). </gallery> === '''Le premier sous-marin pleinement fonctionnel''' === "''Les années '''1887''' et '''1888''' furent employées à leur exécution. Le montage des machines, essayées préalablement au Havre où elles donnèrent entière satisfaction, eut lieu à Toulon sous la direction de [[w:Gaston_Romazzotti | M. Romazzotti]], ingénieur de la Marine chargé de la construction du sous-marin 'Le Gymnote'.''" "''En '''décembre 1888''', je fus envoyé à Toulon pour assister aux essais. L’année '''1889''', fut employée à doter le sous-marin de dispositions particulières pour '''améliorer la vision''', et d‘un '''gyroscope électrique''' dont je fournit les plans, pour remplacer la boussole qui se trouve indifférente quand elle est à l’intérieur d’une coque en fer." "''En '''décembre 1889''' j’assistai de nouveaux à différents essais, tout à fait concluants, à la suite desquels on mit en chantier un navire plus grand, étudié et construit directement par les Constructions Navales.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:Gymnote1889.jpg|'''1888''' - 1ère version du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4774644w/f1.image.r=submarine '''sous-marin GYMNOTE''']. '''A. C. KREBS tient le mât d'aération'''. Il est peint au minium pour être mieux aperçu en plongée. <ref>'''1888-02-23''' - Scientific American: "[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1889-02-23_27_686/page/10952/mode/2up '''''The torpedoe boat Gymnotus''''']"</ref> File:1889 Arthur Krebs & Jean Rey periscope for the french Gymnote submarine.jpg|'''1889''' - Le périscope de A. C. KREBS & [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.image.r=gymnote| Jean REY] '''à lentille torique''' pour le sous-marin GYMNOTE. File:1889 Gymnote Gyroscope.jpg|'''1889''' - A. C. KREBS ajoute un moteur électrique de sa conception sur le [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n112/mode/2up?q=gyroscope '''gyroscope'''] de marine manuel [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&page=428 Dumoulin] pour doter d'un [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n108/mode/2up?q=gyroscope gyrocompas] le '''sous-marin GYMNOTE'''. File:Gaston ROMAZZOTTI (1855-1915).jpg|'''Gaston ROMAZZOTTI''' (1855-1915) : ingénieur du génie maritime. File:1880-1889 - Essais du sous-marin Gymnote en rade de Toulon.pdf|'''1888-1889''' - Essais du '''sous-marin Gymnote en rade de Toulon'''. <ref>'''1890-02-02''' - The Daily Colonist: "[https://archive.org/details/dailycolonist18900202uvic/page/n3/mode/2up?q=gunboat '''''A Submarine Gunboat''''']"</ref> File:1890 - Sous-marin Gymnote - Forçage d'un blocus en rade de Toulon.tif|'''1890''' - Sous-marin Gymnote : '''Succès d'un forçage de blocus naval''' en rade de Toulon, '''grâce au gyroscope électrique conçu par A. C. KREBS'''. <ref>'''1894-09-08''' - Scientific American: "'''''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up The problem of submarine navigation] [...] is in the hands of electrical engineers'''''".</ref> File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''', le grand [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|'''''Gustave Zédé''''']] est construit par la marine : ici côte-à-côte dans le bassin de Toulon. <ref>'''1894-09-08''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up "'''''French submarine torpedo boats (Gymnote & Gustave Zédé)'''''"].</ref> File:Verne-face.jpg|'''1896''' - [[w:Jules Verne|Jules VERNE]] - "[https://fr.wikisource.org/wiki/Face_au_drapeau/Chapitre_X '''''Face au drapeau''''']": "''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:%27Facing_the_Flag%27_by_L%C3%A9on_Benett_22.jpg il dépassait, et de beaucoup, les successeurs] des [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goubet_submarine Goubet], [[w:Gymnote (1888)|Gymnote]], [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|Zédé]]''". File:1899-11-04 - Le Rire - le député veut faire un tour sur le sous-marin Gymnote mais il est trop gros.png|'''1899''' - '''Le Rire''' : Le député veut faire '''un tour sur le sous-marin Gymnote''' mais '''il est trop gros'''. File:FMIB 47799 Sous-Marin Gymnote, construit en 1888, sur les plans de l'ingenieur Zede.jpeg|'''1902''' - Le sous-marin GYMNOTE '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-11-01_87_18/page/292/mode/2up?q=gymnote torpille avec succès] le [[w:Jauréguiberry (cuirassé)|cuirassé "Jaureguiberry"]] et le [[w:Amiral Charner (croiseur cuirassé)|croiseur "Amiral Charner"]]'''. </gallery> === Le moteur électrique transportable === '''Catégories''' : [[commons:Category:Canet artillery|'''''Artillerie Canet''''']], [[commons:Category:Arme militaire fabriquée en France|'''''Arme militaire fabriquée en France''''']] '''1885-1890''' - "''C’est pendant cette période que j’étudiai un moteur électrique portatif pour actionner les perceuses employées sur les navires en construction à percer les trous dans les tôles qui doivent être ensuite réunies par des rivets. De même, des moteurs électriques actionnant les ventilateurs faisant circuler l’air dans toutes les parties des navires etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1885-03-18 - Moteur électrique transportable 60kgm - plans de A. C .KREBS.pdf|'''1885-03-18''' - '''Moteur électrique transportable''' de 60 kgm : Plans de A. C.KREBS. File:1886-03-21 Brevet A-C-KREBS FR175023=Moteurs dynamo-électriques légers transportables.pdf|page 6|'''1886-03-21''' - Brevet A. C. KREBS '''FR'''175023 : '''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'''. File:1890-10-18 Génie-Civil canon-CANET moteur-électrique-Krebs.png|'''1890''' - Génie-Civil : Le [[w:Canon Canet|'''canon de marine CANET''']] de 15 cm à tir rapide avec '''les moteurs de pointage électriques''' conçus par A. C. KREBS'''. <ref>'''1890''' - Le Génie civil : '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6473131x/f1.item.r=krebs ''Application de l'électricité au pointage des canons''.]'''</ref> File:1893-05-20 - Moteur électrique transportable pour perceuses de A. C .KREBS.pdf|'''1893-05-20''' - Moteur électrique transportable '''pour perceuses''' de A. C. KREBS. <ref>'''07/01/1893''' - La revue industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98228384/f114.item Les perceuses électriques]. </ref> File:1896 - Ventilateur électrique de A. C. KREBS sur les navires de guerre.jpg|'''1896''' - '''Ventilateur électrique''' de A. C. KREBS '''sur les navires de guerre'''. <ref>'''1896''' - Les applications mécaniques de l'énergie électrique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k124730z/f278.item "'''Ventilateur électrique''' à bord du croiseur ''Dupuy-de-Lôme''"]</ref> </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1886''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1886-03-21_Brevet_A-C-KREBS_FR175023%3DMoteurs_dynamo-%C3%A9lectriques_l%C3%A9gers_transportables.pdf '''FR'''175023A] || ''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'' |- |} == [[w:Exposition universelle de 1889|'''L'Exposition Universelle de Paris - 1889''']] == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1889)|'''''Exposition Universelle (1889)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de 1889]] <gallery> File:1888-09-17 - Pelurier de KREBS - dynamo de l'Exposition Universelle de 1889.pdf|page 2|'''1888''' - Pelurier de A. C. KREBS: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f266.image.r=krebs '''dynamo de l'Exposition universelle de 1889''']. File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - La chaudière à vapeur DURENNE & KREBS de l'Exposition de 1889.jpg|'''1888''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f287.image.r= '''La chaudière DURENNE & KREBS'''] de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']]. File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - Machine à vapeur compound et dynamo électrique de A. C. KREBS.jpg|'''1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f306.item.r=krebs&durenne '''Le moteur à vapeur compound et la dynamo'''] de A. C. KREBS de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']]. File:Béroud - Le dôme central de la galerie des machines à l'exposition universelle de 1889 - P2314 - Musée Carnavalet.jpg |'''1889''' - A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur et la dynamo qui ont produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines''']. File:Exposition Universelle, Paris, France, 1889 (2852571017).jpg|'''1889''' - Exposition Universelle de Paris : '''Le dôme central du Palais de l'industrie''' et de la Galerie des Machines. File:Alexandre-Georges Roux - Fête de nuit à l'Exposition universelle de 1889, sous la tour Eiffel - P1994 - Musée Carnavalet.jpg | Fête de nuit à l' [https://archive.org/details/cu31924107177093/page/n7/mode/2up?q=krebs Exposition universelle de '''1889'''] sous la Tour Eiffel. File:Panorama du Champ de Mars, Paris Exposition, 1889 (illuminated) (14197259007).jpg|'''Panorama du Champ de Mars''', [https://www.loc.gov/pictures/search/?q=exposition+1889&sp=1&sg=true&st=gallery Exposition Universelle de Paris, '''1889'''] avec la Tour Eiffel illuminée. File:Eiffel Tower and Exposition Universelle at night, Paris, 1889.jpg|'''1889''' - Vue de la Tour Eiffel et du terrain de l'Exposition Universelle du Champ de Mars la nuit. File:Georges Garen embrasement tour Eiffel.jpg|'''1889''' - "'''''Embrasement de la Tour Eiffel pendant l’Exposition universelle de 1889'''''": tableau de Georges Garen. File:L'Exposition universelle de 1889 - grand ouvrage illustré, historique, encyclopédique, descriptif (IA lexpositionunive02mono).pdf|page 36|'''1889''' - Exposition de '''l'établissement central d'aérostation militaire''' de Chalais-Meudon avec '''le dirigeable de Renard et Krebs'''. </gallery> '''1889''' - Lors de l'Exposition Universelle , A. C. KREBS : * Est membre du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476583z/f15.image.r=krebs "Comité Technique des Machines"]. * Organise [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f436.image.r=pompiers la sécurité incendie dans toute l'Exposition] et saisit cette occasion pour tester son nouvel avertisseur d'incendie. * Est nommé membre du comité d'organisation du [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8XAE331.24/5/100/38/0/0 Congrès International des pompiers officiers et sous-officiers]. * Conçoit le '''moteur à vapeur compound''' DURENNE & KREBS et la '''dynamo électrique''' construite par la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]] dont [[w:Gustave Zédé|Gustave Zédé]] est administrateur, qui produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''] de l'Exposition Universelle de Paris en '''1889''', exposition qui inaugure la tour de l'ingénieur [[w:Tour Eiffel|'''Gustave EIFFEL''']]. == La réorganisation du service incendie de la "'''''Ville de Paris'''''" == '''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|'''''Brigade de sapeurs-pompiers de Paris''''']], [[commons:Category:History of firefighting|'''''Histoire de la lutte contre l'incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|Brigade de sapeurs-pompiers de Paris]], [[w:Lutte contre l'incendie|Lutte contre l'incendie]] <br>'''1884-1897''' - "''Il serait trop long de m’étendre sur les travaux réalisés pendant les 12 années (1885-1897) que j’ai passées dans ce corps. Après [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Voyages_d'%C3%A9tudes_en_Europe_et_en_Am%C3%A9rique plusieurs voyages d’études aux États-Unis d’Amérique] ''['''1885''' and '''1895''']'' et en Europe ''['''1884''', '''1885''' et '''1891''']'', je fus conduit à faire des propositions : mais cette fois, la tâche n’était plus la même.''" "''Les propositions étaient discutées dans des commissions et, avant d’arriver à l’exécution, il fallait les faire triompher. Je réussit à les faire accepter et le résultat fut'' ''''' de transformer complètement l’organisation du Service Incendie ainsi que son matériel'''''." <ref name="Krebs_1924" /> <ref>'''1901''' - Revue municipale : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61398922/f1.item.r=%22sapeurs-pompiers%22 Sapeurs-pompiers de la ville de Paris]", [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k54352216/f2.item.r=casque suite.] .</ref><ref>'''2023''' - '''Damien Grenèche''' (thèse) : "[https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1 ''Sapeurs-Pompiers de Paris, '''1811-1967''' : construction d'une élite et d'une identité singulière]." </ref> <gallery> File:1891-A-C-KREBS=portrait en uniforme de pompier.jpg |'''1891''' - '''A. C. KREBS''' : portrait en uniforme de pompier à l'occasion de ses 10 ans de mariage et de sa nomination de '''Major Ingénieur''' au Régiment de sapeurs-pompiers de Paris. File:1900~Pompiers=sauvetage-1.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Sauvetage'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=la grande échelle-2.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''La grande échelle'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=manoeuvre d'ensemble-3.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''manœuvres d'ensemble'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=poste central-4.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Poste central, appel au feu'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. File:1900~Pompiers=le gymnase-6.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : "'''Le gymnase'''" dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. <ref>Depuis '''1895''' réussir le test de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96376025/f89.image la planche à rétablissement] est devenu [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940510p/f365.item.r=planche obligatoire chaque matin] pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5422697h/f5.item.r=%22planche%20a%20retablissement%22 les pompiers parisiens], jusqu'à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BSPP_-_Test_de_la_planche_%C3%A0_r%C3%A9tablissement.webp aujourd'hui].</ref> </gallery> === La pompe d'incendie à vapeur '''[https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/130621 DURENNE] & KREBS''' === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Durenne & Krebs fire engine|'''''Pompe d'incendie Durenne & Krebs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]] <gallery> File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-1.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-2.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-3.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:Pompe à vapeur Durenne & Krebs, modèle 1888-4.jpg| '''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE & KREBS. File:1892 Portefeuille-économique=Pompe Durenne & Krebs 1888.pdf|'''1892''' - "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f243.item.r Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle de '''1888''')]'' de '''MM. Durenne & Krebs'''." File:Jean-François Durenne Durenne Constructeur 1897.jpg|'''1897''' - '''Jean-François DURENNE''' (1821-1909) près du moteur à vapeur DURENNE & KREBS File:La voiture Pompe à vapeur Durenne et Krebs.jpg|'''1900''' ~ La voiture Pompe à vapeur DURENNE & KREBS '''attelée'''. File:1903 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS.pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris utilise la chaudière à vapeur '''DURENNE & KREBS'''. <ref>'''1904''' - The Engineering Magazine - The International Automobile Exposition at Paris : '''''[https://archive.org/details/factoryindustria27newy/page/76/mode/2up?view=theater Automobile Fire Engine of the Paris Fire Department]'''''.</ref> <ref>'''1904''' - The Engineer: "''The boiler is of the type invented by [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/130/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 M. Durenne and Commandant Krebs] and improved by M.M. [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/n3/mode/2up?q=weyher Weyher et Richemond] to facilitate the cleaning of the tubes''".</ref> <ref>'''1904''' - La Nature: ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.62/238/70/536/5/420 Les pompes à incendie automobiles]'''.</ref> File:1904 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS (schemas).pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris ('''schemas''') qui utilise la chaudière DURENNE & KREBS. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1888''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf '''FR'''189962] || ''Chaudière multitubulaire à tubes curvilignes dilatables à circulation automatique et rapide'' |- | '''1889''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-21_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] || |- | || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-29_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] |- | '''1890''' || [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=208718&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''208718] || [https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n104/mode/2up?q=durenne ''M. DURENNE, pour une pompe à vapeur, système Durenne & Krebs''] ([https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n182/mode/2up?q=durenne Dessins]). |- |} === [https://archive.org/details/BSG_8VSUP2176 Voyages d'études en Europe et en Amérique] === '''1885-11-26''' - '''New York Times''' : "''Parmi les passagers du paquebot français [[w:La_Normandie_(paquebot_de_1883)|'''Normandie''']], qui ont embarqué hier pour le Havre, on comptait le Contre-amiral Baldwin, de la marine américaine ; [[w:Auguste Bartholdi|'''A. Bartholdi''']], le scuplteur ; le baron Hulot, le '''Capt. Krebs''', l'Abbé Gaudin, le Capt. Garcin, M. Martin Clerc, M. [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']].''" '''1895-09-10''' - '''New York Times''' : "''Trois Français qui étudieront les méthodes utilisées dans ce pays: le [https://fr.wikipedia.org/wiki/Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris#Liste_des_chefs_de_corps_commandant_le_r%C3%A9giment_de_sapeurs_pompiers_de_Paris_(de_1866_%C3%A0_1967) Col. Varigault], le '''Commandant Krebs''', et le [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/90324#show Capt. Cordier], officiers du [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|corps des sapeurs-pompiers de Paris]], arrivés dans cette ville samedi dernier avec le paquebot [[w:La Touraine (paquebot)|'''La Touraine''']] pour commencer une tournée des principales villes des États-Unis dans le but d'enquêter sur les méthodes adoptées dans divers services d'incendie.''" '''1895-11-06'''- '''Quebec Morning Chronicle''' : "Le ''Colonel Varigault, le '''Commandant Krebs''' et le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Capitaine Cordier], du Service des sapeurs-pompiers de Paris, sont revenus hier à New York après une tournée de deux mois aux États-Unis et au Canada dans le but d’inspecter les services d’incendie des grandes villes. Le colonel Varigault a été vu ce matin. Il a déclaré : « Nous avons visité New York, Boston, Montréal, Cleveland, Chicago, Saint-Louis, la Nouvelle-Orléans, Cincinnati, Pittsburg et Washington. Nous avons été reçus partout avec la plus grande gentillesse et notre voyage a été un succès complet. Le Service des sapeurs-pompiers de New York est bien en avance sur tous ceux que nous avons vus dans ce pays, tant en termes d’équipement que de discipline. Ensuite, je devrais nommer Boston, bien que Montréal ne soit pas loin derrière. Chicago et San Francisco sont également bons. Mais je ne vois pas comment le Service des sapeurs-pompiers de Chicago pourrait lutter contre un incendie dans l’un de ses hauts immeubles. »''" <gallery> File:1885-10-03=1885-11-25 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1885''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Couston, du capitaine-ingénieur A. C. Krebs des pompiers de Paris, et de son beau-frère [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]], '''du 3 octobre au 18 novembre 1885'''. File:1895 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1895''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Varigault, du Commandant A. C. Krebs et du capitaine-ingénieur Cordier des pompiers de Paris, '''d'août à octobre 1895'''. File:1895-10-31-Evening-Star=voyage des pompiers de Paris en Amérique=Varigault+Krebs+Cordier 'amis-des-cubains'.png |'''1895-10-31''' - Evening-Star (Washington) : Col. Varigault, Commandant Krebs and Capitan Cordier "'''''leaders among the friends of Cuban freedom in the south'''''". File:1895-11-18 The New York herald-Paris='Changes for Paris firemen'.png |'''1895-11-18''' - The_New-York herald Paris: "'''''Changers for Paris firemen'''''" (Colonel Varigault, Commander Arthur Constantin Krebs and Captain Cordier). </gallery> ==== L'avertisseur d'incendie ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Fire alarms|'''''Alarmes incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Alarme incendie|Alarme incendie]], [[w:Téléphone|Téléphone]], [[w:Louis_Lépine|Louis_Lépine]] <gallery> File:1888 A-C-KREBS=système Krebs de téléphone pour les avertisseurs du service incendie de la ville de Paris.jpg|'''1888''' - [https://archive.org/details/electricalengin05unkngoog/page/n14/mode/2up?q=krebs Le '''téléphone système A. C. KREBS'''] pour les bornes d'appel incendie de la ville de Paris, sert aussi de "'''ronfleur'''" pour prévenir les passants de son utilisation. File:1888-07-27 Brevet A-C-KREBS FR192070=Système de téléphone.pdf|page=7|'''1888-07-27''' - A. C. KREBS Brevet '''FR'''192070: "''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques, concentriques égales''". File:1892-05-28 Génie-Civil Pompiers=avertisseur-Digeon+téléphone-Krebs.jpg|'''1892''' - '''Col. Varigault''' :"''A Paris, chacun de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6474130t/f2.item.r=krebs '''nos avertisseurs publics d'incendie'''] est relié à un centre de secours qui, en même temps que l'alarme est donnée, reçoit, grâce à un téléphone ''[A. C. KREBS]'' installé dans l'avertisseur lui-même, des informations sur la nature du sinistre et le lieu où il s'est déclaré.''" <ref>'''1896-03-19''' - Procès verbal du '''Comité de perfectionnement''' du régiment de sapeurs-pompiers de Paris : [http://rytmo.net/ACK/1896-03-19_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf Rapport du voyage du colonel Varigault, du commandant Krebs et du capitaine Cordier en Amérique pour les pompiers de Paris en '''1895'''].</ref> <ref>'''1893-11-25''' - Scientific American: [https://archive.org/details/scientific-american-1893-11-25/page/n3/mode/2up?q=alarms '''New Fire Alarm'''].</ref> File:1894-12-27 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=plan de la répartition des avertisseurs.jpg|'''1894-12-27''' - Comité de perfectionnement des sapeurs-pompiers de Paris : plan de la '''répartition des avertisseurs d'incendie conçus par A. C. KREBS'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1888''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-07-27_Brevet_A-C-KREBS_FR192070%3DSyst%C3%A8me_de_t%C3%A9l%C3%A9phone.pdf '''FR'''192070A] || ''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques concentriques égales'' |- |} ==== Le compresseur d'air hydraulique ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Trompes|'''''Trompes hydrauliques''''']], [[commons:Category:Venturi effect|'''''Effet Venturit''''']], [[commons:Category:Bernoulli's principle|'''''Théorème de Bernoulli''''']], [[commons:Category:Fluid dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Trompe hydraulique|Trompe hydraulique]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]] <gallery> File:1889-02-16 Brevet A-C-KREBS FR196134=Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels.pdf|page 10|'''1889''' - Pompiers de Paris : Le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS (Brevet [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] ). File:1893 - Pompiers de Paris - casque respiratoire.png|'''1893''' - Pompiers de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f244.image.r=casque%20respiratoire '''le casque respiratoire'''] alimenté avec le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS. File:1900 ~ Pompiers de Paris - Le compresseur d'air pour 'un feu de cave'.jpg|'''1900''' ~ Pompiers de Paris - Le '''compresseur d'air''' pour "'''un feu de cave'''" conçu par A. C. KREBS'''. File:1900_-_Le_mat%C3%A9riel_des_Pompiers_%C3%A0_l%27Exposition_Universelle.jpg|'''1900''' - La lampe électrique, '''le compresseur d'air et le ventilateur hydrauliques conçus par A. C. KREBS''', le casque respiratoire. File:St. Nicholas (serial) (IA stnicholasserial402dodg).pdf|page 552|'''1913''' - Coups-d'œil sur les services incendies à l'étranger : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASt._Nicholas_(serial)_(IA_stnicholasserial402dodg).pdf&page=551 "'''''Un casque respiratoire à Paris'''''"]. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1889''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] || ''Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels'' |- |} ==== Théorie de la pompe [à piston creux] à un seul clapet ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Pumps|'''''Pompes''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Pompe|Pompe]] <gallery> File:1888-11-03 Revue-Industrielle=Pompe mono-clapet.jpg |'''1886-01''' - Alors qu'il est major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9788785q/f449.image.r=krebs A. C. KREBS décrit '''la théorie complète de la pompe à un seul clapet''']. File:1886 LA-NATURE=Théorie de Arthur Constantin KREBS de la pompe à un seul clapet.png |'''1886''' - A. C. KREBS, major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris décrit '''la théorie de [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/265/100/432/5/420 la pompe à piston creux à un seul clapet]'''. <ref>'''1885''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.24/115/100/432/8/420 La pompe sans piston] ou pompe chinoise. '''1886''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/179/100/432/5/420 La pompe sans piston].</ref> </gallery> ==== Autres appareils d'incendie ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris equipment|'''''Équipement de la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris ''''']], [[commons:Category:Équipement anti-incendie|'''''Équipement anti-incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Hydrant|Hydrant]], [[w:Tuyau d'incendie|Tuyau d'incendie]] <gallery> File:1900 - Exposition Universelle - La chèvre de levage des Pompiers de Paris.png|'''1900''' - La '''chèvre de levage''' et le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.item.r=krebs matériel d'incendie exposé lors de l'Exposition universelle] de Paris. File:La voiture Grande échelle.jpg|'''1900''' ~ La voiture Grande échelle. File:Grande échelle Gugumus en action.jpg|'''1900''' ~ La grande échelle en action. File:Lances à l'exercice.jpg|'''1900''' ~ Lances à l'exercice. File:Le départ attelé réglementaire.jpg|'''1900''' ~ Le départ attelé réglementaire. File:Le dévidoir.jpg|'''1900''' ~ Le dévidoir. File:10 Entretien des tuyaux.jpg|'''1900''' ~ Entretien des tuyaux. File:1900~Pompiers=Le ventilateur hydraulique inventé par A-C KREBS.jpg| '''1895''' ~ Le '''ventilateur hydraulique''' conçu par A. C. KREBS restera utilisé jusqu'en '''1935'''. </gallery> === La réorganisation des périmètres d'incendie === '''Catégories''' : [[commons:Category:Firefighting|'''''La lutte contre l’incendie''''']], [[commons:Category:Pompier|'''''Pompier''''']], [[commons:Category:Service de secours en France|'''''Service de secours en France''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Service départemental d'incendie et de secours|Service départemental d'incendie et de secours]], [[w:Lutte contre l’incendie|Lutte contre l’incendie]], [[w:Pompier|Pompier]], [[w:Sapeur (pompier)|Sapeur (pompier)]] <br>'''2015''' - "''La réponse que Krebs propose pour résoudre l’équation porteuse de toutes les variables qu’il a identifiées se nomme « vitesse ». Ce n’est plus la position de proximité physique du pompier près du sinistre qui va lui assurer son efficacité maximum, c’est la vitesse avec laquelle l’organisation globale du service saura faire parvenir sur les lieux du sinistre la juste quantité de matériel et de personnel, d’où que proviennent ce matériel et ce personnel. Si la proximité fige l’organisation et limite les possibilités d’adaptation, les capacités de la vitesse sont, quant à elles, potentiellement illimitées''." <ref>'''2015''' - Philippe Krebs, "'''''L’ingénieur Krebs (1850-1935) ou comment traduire le fluide électrique'''''", Artefact [En ligne], HS 01 | 2015, mis en ligne le 30 avril 2021, consulté le 09 avril 2026. URL : http://journals.openedition.org/artefact/7663 ; DOI : https://doi.org/10.4000/artefact.7663</ref> <br> '''1889''' - '''Comité de perfectionnement du régiment de sapeurs-pompiers de Paris''' : "''Les surfaces des périmètres défendus chacun par un poste sont proportionnelles au carré des vitesses avec lesquelles ces postes peuvent se transporter et, comme conséquence immédiate et très importante, le nombre des postes à placer sur une surface donnée est inversement proportionnel au carré de ces mêmes vitesses de déplacement. Ainsi, un système de transport qui permettrait d'aller deux fois plus vite qu'un autre exigera quatre fois moins de postes pour arriver dans le même temps.''" <ref name=1889_Comité /> '''1896-05-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7510386f/f2.item.zoom '''L'accident de l'Opéra'''] - Le câble d'un contre-poids de 625 kg du lustre de l' [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|Opéra de Paris]] se rompt au milieu d'une représentation et fait une chute de 12m en traversant plusieurs niveaux et en tuant une personne : "''La version du major Krebs, du régiment des sapeurs-pompiers, paraît toutefois des plus vraisemblable : sous l'action d'un contact de courant, les fils supportant le contrepoids de l'appareil de ventilation se sont échauffés, sont devenus élastiques et, chaque fil, n'ayant plus que la consistance de macaroni cuit, s'est rempu sous le poids qu'il était chargé de supporter. Les fils du câble n'ont pas été chauffés jusqu'à la fusion, mais ils sont étirés et les sections sont inégalement placées.''" <ref>'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4683851/f2.item.r=krebs Journal des débats politiques et littéraires]: "''Accident à l'Opéra''".</ref> "''Par une coïncidence bizarre, [[w:Charles Garnier (architecte)|M. Garnier]], l'architecte de l'Opéra, est rentré à Paris ce matin. Il a assisté aux délibérations de la commission.''" <ref>'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k548084f/f4.image.r=garnier La Presse]: "''L'accident de l'Opéra''".</ref> <br><br>'''2023''' - Le plan Krebs de réorganisation des secours est toujours en application à Paris : "'''Couverture opérationnelle''' : ''Stratégie mise en place dès '''1885''' avec l’adoption d’un plan de modernisation matérielle et organisationnelle. Le découpage de la capitale en 24 secteurs, le maillage formé par les bornes avertisseurs et les bouches incendie, la mise en place du départ attelé et la construction des nouveaux postes de secours ont contribué à élever ce plan de défense contre les incendies''." <ref>'''Damien Grenèche'''. ''Sapeurs-Pompiers de Paris, 1811-1967 : construction d’une élite et d’une identité singulière''. Thèse d'Histoire. Université de Lorraine, 2023. Français. NNT : 2023LORR0323. tel-04661041 : https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1</ref> <gallery> 1881 'Le Feu à Paris et en Amérique' par le colonel Paris commandant le régiment des sapeurs-pompiers de Paris-.png|'''1881''' - "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f237.item.r=%22Le%20Feu%20%C3%A0%20Paris%20et%20en%20Am%C3%A9rique%22 '''''Le Feu à Paris et en Amérique''''']" par le colonel Paris commandant le régiment des Sapeurs-pompuiers de Paris - carte de la répartition des secours incendie à Paris avant la réorganisation de A. C. KREBS : "''Les parties teintées sont celles qui sont incomplètement protégées aujourd'hui''". 1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''. File:1903 Larousse=Pompiers.png |'''1903''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris. File:1923 Larousse=Pompiers.jpg |'''1923''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris (suite). File:1894-04-28 Pompiers tableau-Detaille 'Victimes-du-devoir' esquisse-couleur RMN.png |'''1894-04-28''' [http://www2.culture.gouv.fr/Wave/image/archim/0007/dafanch99_76630603_2.jpg "''Victimes-du-devoir''"] esquisse du [https://archive.org/details/douarddetaille00detauoft/page/n25/mode/2up tableau] de [[W:%C3%89douard_Detaille|Edouard Detaille]] qui représente une intervention des sapeurs-pompiers de Paris à l'époque de la réorganisation de A. C. KREBS. Deux pompes Durenne & Krebs sont visibles en arrière-plan. <ref>''Les victimes du devoir'' - [https://www.photo.rmn.fr/CS.aspx?VP3=SearchResult&VBID=2CMFCI7M9AE4D&SMLS=1&RW=1600&RH=789 Detaille Jean-Baptiste-Edouard (1848-1912)] - Réunion des musées nationaux - Grand-Palais (Paris)</ref> File:The Opera House, Paris, France ca. 1890-1900.jpg |'''1896-05-20''' - Un contrepoids de 625 kg counterweight du [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|chandelier]] de [[W:Op%C3%A9ra_national_de_Paris|l'Opéra de Paris]] chute en pleine représentation et tue une personne. [[W:Gaston_Leroux|Gaston Leroux]] reprendra cet événement dans son roman [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Phantom_of_the_Opera "'''Le fantôme de l'Opéra'''"]. File:Le Petit Journal - Bazar de la Charité.jpg | '''1897-05-04''' - '''[[w:Bazar de la Charité|L'incendie du Bazar de la Charité]]''' : "''Les sapeurs-pompiers de Paris arrivent sur les lieux en à peine dix minutes pendant que des grappes humaines surgissent du bazar transformé en brasier, par les deux seules portes d'accès dont l'une, celle de gauche, sera rapidement bloquée par des corps.''" File:Btv1b8433337w-p014.jpg |'''1900-03-08''' - "''L'incendie du Théâtre-Français''": La pompe d'incendie [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Durenne_%26_Krebs_fire_engine '''"Durenne & Krebs"'''] (fabriquée par [https://data.bnf.fr/14536469/societe_des_etablissements_weyher_et_richemond/ Weyher & Richemond]) en opération. File:Btv1b8433337w-p015.jpg |'''1900-03-08''' - "''L'incendie du Théâtre-Français''": La '''grande échelle "[[W:Gugumus|Gugumus]] & Krebs"''' en opération. </gallery> === La '''voiture système KREBS''' et [[w:Émile_Levassor|'''Émile LEVASSOR''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Voiture système Krebs|'''''Voiture système Krebs''''']] <br>'''1894''' - [[w:Paris-Rouen (automobile)|'''La course Paris-Rouen''']] : "''J'étais présent le 18 juillet 1894, le matin, au départ des véhicules automobiles engagés dans la course du Petit Journal. Le départ a eu lieu à la Porte Maillot. Au moins 20 véhicules se sont présentés au départ.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> Le 28 novembre '''1894''', le Conseil municipal de Paris accepte la proposition de A. C. KREBS d’étudier l’application des moteurs à pétrole à la traction des voitures d’incendie, en remplacement des chevaux. Le Conseil alloue les crédits et ajoute : "''Il ne faut pas craindre de demander largement le nécessaire''." <ref> '''28/11/1894''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des sapeurs pompiers de Paris.</ref> '''1895''' - A. C. KREBS est '''présent lors du retour de Levassor''' pour la '''course Paris-Bordeaux-Paris'''. <ref>'''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=30 '''Témoignage d'A. C. KREBS'''] lors du '''procès Selden à New-York''' :'' '''Q35'''. Were you at one or more automobile races in 1895? '''A35'''. Yes, I recall well in the Paris-Bordeaux-Paris race the return of the two passenger vehicle which was driven by Monsieur Levassor. That vehicle and its driver had made the trip there and return, 1175 kilometers, without stops other than those necessary to replenish with fuel, in about 48 hours. Unfortunately the first prize for the performance could not be given to it because it could not be awarded a vehicle with two passengers. Nevertheless the performance of this vehicle was considered most successful''.</ref> '''1896''' - "''Vers 1894 parurent les premières voitures automobiles mues par des moteurs à essence. La locomotion automobile ayant déjà frappé mon imagination au point de vue de son application au Service Incendie, je me procurai un petit moteur auprès de la maison Panhard & Levassor pour en bien étudier le fonctionnement et construisis dans l’atelier des Sapeurs-Pompiers une petite voiture d’expérience dont les changements de vitesse étaient obtenus par des embrayages magnétiques'' [brevetée en 1896]. ''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1896-05-02 A.C.KREBS automobile-patent=FR256344.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : Dessin du '''brevet d'automobile'''. File:1896-05-13 A.C.KREBS=Brevet FR256344-'voiture-automobile'.pdf|page=10|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet d'automobile''' ('''FR'''256344). File:Krebs Electromagnetic-Gear 1896.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Boîte de vitesse électromagnétique''' du brevet d'automobile ('''GB'''189619774A). File:1896-11-09 BE124538=brevet belge de la voiture de A. C. KREBS.pdf|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet belge''' ('''BE'''124538). File:Voiture système Krebs 1896.jpg |'''1896''' - '''A. C. KREBS est au guidon''' de sa voiture au Bois de Boulogne à Paris. File:1900~Grde-Encycl=Velocipede-Angle-de-chasse.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS introduit '''l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]]''' dans la technologie de '''la direction automobile'''. File:1882-1898 – A. C. KREBS metallic wheel hubs.pdf|'''1882-1898''' – A. C. KREBS introduit [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9810086j/f94.item '''le moyeu métallique d'artillerie français'''] dans la '''technologie automobile mondiale'''. <ref>'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n298/mode/2up '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]]: "'''Raisons d'adopter des roues en bois''' : ''Le public, cependant, finit par apprendre et, une fois informé, ses préférences sont généralement judicieuses ; ainsi, en quelques années, la roue à fil de fer fut condamnée, non pas parce qu'elle était impossible à fabriquer de façon satisfaisante, mais parce qu'elle ne l'était pas, et la roue en bois devint la forme acceptée. En se tournant vers la roue en bois, cependant, les fabricants tombèrent dans l'autre extrême et adoptèrent généralement la roue désormais universelle [https://en.wikipedia.org/wiki/Artillery_wheel du type artillerie]'''''. Cette roue est utilisée pour sa robustesse, plutôt que pour sa légèreté ou son faible coût, et '''''a été largement adoptée en raison de son utilisation à l'étranger.'''''."</ref> File:1899 - Panhard-Levassor - roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. <ref name=Rolls-1899/> File:1899 - Panhard-Levassor - artillery wheel axle stub of C. S. Rolls' car.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Arbre de la Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. <ref name=Rolls-1899/> File:Roue.jpg|'''1900''' ~ '''Roue d'artillerie''' de type français sur un essieu d'automobile. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 72|'''1913''' - La stabilité de route : "'''''L'angle de chasse'''''". File:Émile Levassor peu avant sa mort.jpg|'''1896-09-03''' - '''Émile Levassor''' (1843-1897) achète la licence du '''brevet d'automobile système Krebs'''. File:WP-Rene Panhard.jpg|'''René Panhard''' (1841-1908). </gallery> ==== Sept innovations dans la technologie automobile ==== :Brevets de la voiture système Krebs : '''FR'''256344, '''GB'''189619774A, '''BE'''124538 * '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' : (voir infra) : "''Puisque l'on sait que 3 points suffisent pour déterminer un plan.''" <ref name=1896_voiturette_Krebs/> : "''Suspension de bâti du mécanisme au châssis de la voiture par 3 points munis d'articulations, à l'effet de soustraire le mécanisme aux déformations que le châssis de la voiture peut avoir à supporter pendant le roulement du véhicule.''" * '''La boîte de vitesse électromagnétique avec les engrenages toujours en prise''' : : "''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''" * '''Le changement de vitesses au volant''' : : "''Le régulateur de vitesse comprend un commutateur électrique disposé sur un disque fixé au-dessous du guidon de direction sur un tube fixe renfermant la tige de direction. Un plateau mobile, muni d'un bourrelet à sa circonférence, recouvre le commutateur et établit suivant 5 positions, les communications et embrayages suivants : 1° - position de repos, circuit coupé, aucun embrayage ; 2° - 1er cran à droite, petite vitesse ; 3° - 2ème cran à droite, vitesse moyenne ; 4° - 3ème cran à droite, grande vitesse ; 5° - cran à gauche de la position de repos, marche en arrière.''" * '''La direction à crémaillère amortie''' : : "''La direction est obtenue au moyen d'un pignon denté monté sur le rond supérieur engrenant avec un secteur denté fixé au rond inférieur. L'axe du pignon porte une roue à dents logée dans une boîte cylindrique reliée par deux tubes à la caisse de la voiture. Une seconde roue à dents, montée sur la tige de direction située à la portée du conducteur, est reliée à la première au moyen d'une chaîne sans fin passant dans les deux tubes indiqués plus haut. Dans la partie rectiligne des tubes, la chaîne est remplacée par deux tiges élestiques formées de tubes contenant des ressorts à boudin. Cette disposition a pour but de maintenir constamment la chaîne tendue et de créer un amortisseur entre les vibrations transmises à la chaîne par le roulement des roues d'avant sur un sol inégal et la tige de direction placée dans les mains du conducteur.''" * '''L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur le train avant''' : : "''L'avant-train est formé du rond inférieur, de deux armons, de 3 ressorts et d'un essieu situé en arrière de la projection de l'axe de la cheville ouvrière d'une quantité qui peut varier du 1/7 au 1/20 de la distance qui sépare les points de contact des 2 roues d'avant avec le sol. Cette disposition a pour objet d'assurer la stabilité de route, c'est-à-dire de ramener automatiquement, en marche, le parallélisme des deux essieux, lorqu'aucune force ne tend à les maintenir dans une autre position ou qu'un effort momentané les en a écartés.''([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538]) * '''La roue d'artillerie française à moyeu métallique''' : voir supra. **'''1896''' - '''Émile LEVASSOR''' à '''A. C KREBS''' : "''Vous nous autoriseriez gracieusement à employer '''votre système de moyeux de roues''' <ref>'''1890''' - Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=706217&positionResult=19&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=durenne&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afd8be44c19/arko_default_63f47e41d68c8/image/687860|0|8 '''FR2'''00439] - "'''Pompe, à incendie à vapeur, système Durenne et Krebs'''" : "''Le moyeu est en bronze, il porte deux tourteaux tournés sur le périmètre desquels sont percés des trous taraudés pour recevoir les rais. L'extrémité du moyeu du côté intérieur porte une gorge formant réservoir d'huile, entre cette extrémité et la rondelle d'essieu on interpose un cuir d'étanchéité destiné à retenir l'huile et à empêcher la rentrée des sables. L'autre extrémité porte une fraisure et un filetage dans lequel on visse un écrou complètement étanche à l'huile dans laquelle frotte la fusée d'essieu. Les rais sont en acier filetés à un bout s'implantant dans le moyeu, l'autre bout est terminé par une tête tournée, noyée sur le pourtour de la jante en fer profilé. La jante entre librement dans le bandage en fer laminé, l'embattage se faisant à froid. La jante et le bandage sont reliés par autant de boulons à têtes fraisées qu'il y a de rais, l'écrou étant à l'intérieur du bandage''". </ref> pour lequel, puisque vous dites qu'il est très bon, il pourrait être intéressant de prendre un brevet.''" <ref name=1896_Krebs_Levassor /> ** '''1897''' - '''Levassor''' introduit [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 le moyeu] [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0012/100/512/0010/0458 métallique] de A. C. KREBS [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf&page=4 dans son catalogue], et la roue d'artillerie sur sa [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-07_-_Panhard_et_Levassor_-_voiture_de_la_course_Paris-Dieppe_6cv,_2cyl_et_roues_d%27artillerie.jpg voiture de course Paris-Dieppe] en juillet. ** '''1898''' - '''A. C. KREBS''' introduit son propre système de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898_A.C.KREBS_Album-Courses%3D8cv-4cyl_-_Paris-Amsterdam.jpg?uselang=fr roue d'artillerie pour sa voiture de course Paris-Amsterdam]. ** '''1900''' - '''La controverse au sujet des roulements à billes''' ::'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rolling element bearings|'''''Roulements à billes''''']] <br> ::"''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes ne donnaient aucun gain'' [...] ''Sans aucun doute, les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes défectueuses de roulements à billes.''" <ref> '''1900''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/349/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F349%2FstTxt%2F%26&catsel1=stTxt&mot_cat1=krebs&ope5=AND&catsel5=id&mot_cat5=8XAE505&var_solr_qs=2#l-349 '''Congrès International d'automobilisme''']: "''M. le commandant Krebs prétend qu’il a fait monter en course 5 voitures dont deux étaient munies d’essieux patents et trois d’essieux à billes et qu’il n’a trouvé aucune espèce de différence. Les essieux à billes ne présenteraient d’avantages que dans les petites vitesses, ce qui est original''". '''1900''' - [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/794/mode/2up?q=panhard '''Automobile Magazine''']: "''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail réel et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes n'apportaient aucun gain à basse vitesse, et ont également annoncé en termes généraux que la résistance de frottement des roulements de voiture ne constituait qu'une très petite partie de la résistance totale à la propulsion des voitures et que les roulements à billes pour les pièces de voiture, de moteur et de transmission sont presque universellement considérés comme inadaptés à toute utilisation dans les voitures, sauf dans les véhicules les plus légers. Il est certain qu'aucun cycliste n'utiliserait une bicyclette sans roulements à billes, et nos voitures légères américaines à vapeur, qui peuvent être considérées comme ayant atteint une forme standard plus que tout autre véhicule à propulsion mécanique, utilisent des roulements à billes dans les roues, pour le régulateur, pour le vilebrequin et pour les extrémités des manivelles des bielles. Il ne fait aucun doute que les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes de roulements défectueuses''". '''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f49.item.r=l '''OMNIA'''] - "[...] ''Or l'on s'accorde à juger que l'amélioration d'une friction par les billes est de 10 pour 100. Par conséquent le bénéfice procuré par les billes dans ce cas ne pouvait s'appliquer qu'à 500 grammes sur 15000, c'est-à-dire faire descendre l'effort de 15 kilogrammes à 14.950 ''[?!?]''. Le résultat est donc assez pitoyable. Mais la bille ne vaut pas seulement par cette amélioration illusoire du rendement. Son mérite principal consiste dans la commodité de son emploi ; elle rend le roulement pratique. Non seulement elle permet le raccourcissement de la fusée, diminue par conséquent l'encombrement et les chances d'accrochage, mais elle n'exige plus (dans la forme "annulaire" tout au moins) aucun réglage ni pour l'ouvrier qui monte le roulement, ni pour le client qui l'emploie. Son entretien est à peu près nul puisque, si la fusée Brevet demande une nouvelle charge d'huile tous les 150 à 200 kilomètres environ, une fusée à billes roule parfaitement 2 à 3000 kilomètres sans qu'on ait à se soucier d'elle.''"</ref> * '''L'abaissement du centre de gravité du châssis''' : '''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne & Krebs''' : "''Rapprocher le plus possible, du centre de gravité de la voiture, les masses qui la composent, afin de diminuer le moment d'inertie du véhicule dans le plan horizontal. Il en résulte pendant la traction, et, surtout dans les tournants aux grandes allures, une moindre fatigue des essieux et des roues.'''.''" <ref name=portefeuille/> '''1896-09-03''' - '''Emile LEVASSOR''' achète la licence du brevet d'automobile ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538]) de A. C. KREBS avec la boîte de vitesses électromagnétique, la suspension par 3 points, l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] et d'autres innovations. <ref name=1896_Krebs_Levassor /> '''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : "''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique'' [...] ''en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''" <ref>'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : "''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique, je vous assure que c'est une chose à examiner. Et il est bien fâcheux qu'à votre dernier voyage vous n'ayez pu avoir le temps nécessaire pour cet examen. Nous pensons que vous pourriez traiter avec l'inventeur en donnant une somme fixe et en payant une Royalty par voiture. C'est ainsi que nous avons traité. J'espère que vous trouverez occasion de venir à Paris pour établir votre jugement et en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''" ([https://recherche-anmt.culture.gouv.fr/archives/archives/fonds/FRANMT_IR_186_AQ_2006_47/view:fonds/n:3 Archives Nationales du monde du Travail])</ref> ==== La suspension par trois points ==== *'''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne & Krebs''' : "''Le mécanisme est relié au châssis par trois points avec interposition d'une matière élastique permettant la déformation des châssis sans fausser les pièces de l'ensemble. La chaudière est aussi fixée par '''trois points seulement'''.''" <ref name=portefeuille/> *'''1896''' - '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' sur la ''voiture système Krebs'' (voir supra). *'''1898''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) (voir infra). *'''1901''' - Brevet de la boîte de vitesses suspendue par trois points (voir infra). ==== Les systèmes de direction des véhicules ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Steering|'''''Direction (automobile)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Direction (automobile)|Direction (automobile)]] <br>En '''1898''' A. C. KREBS remplace '''la queue de vache de Levassor''' par '''un volant incliné''' dans les voitures de course qu'il conçoit pour la course [[W:Paris-Amsterdam-Paris|'''Paris-Amsterdam-Paris''']] qui se déroule du 7 au 13 juillet 1898. Fernand Charron gagne cette course sur une 4 cylindres Panhard & Levassor. <ref>'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n18/mode/2up?q=lever+steering '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]] : '''''Direction au volant et à levier''''' — "''La direction au volant est la forme la plus répandue et la plus adaptée à la vitesse ou au service en ligne droite, mais pour une utilisation en ville ou sur de courts trajets, le levier, utilisé sur pratiquement tous les véhicules électriques, est le plus pratique. L'impression que la direction à levier ne convient pas, sauf pour les véhicules les plus légers, est fausse, comme le prouve cette utilisation électrique. La maniabilité avec laquelle on peut accélérer avec un levier le place loin devant le volant, tandis que son action est plus rapide et plus sûre en ville et en conduite rapprochée. Qu'il ne faille pas le craindre pour les travaux rapides est prouvé par le fait que la voiture à vapeur Stanley qui a fait le mile le plus rapide en ligne droite il y a quelques années, à Ormond Beach, était une voiture à direction par levier.''"</ref> A cette occasion A. C. KREBS introduit [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard '''la direction irréversible'''] dans la technologie automobile. <gallery> File:1896 - A. C. KREBS Steering-Systems - the electromagnetic gearbox.pdf| '''1896-1903''' - Les systèmes de direction de A. C. KREBS : La [https://www.babordnum.fr/items/show/14115 boîte de vitesse électromagnétique (p. 473)] et [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=US757815A%20panhard le contrôle des vitesses au volant]. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 77|'''1913''' - La "'''''direction irréversible à vis'''''" de A. C. KREBS (p.77). </gallery> === '''Le fourgon électrique d'incendie''' === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Véhicule de lutte contre l'incendie|'''''Véhicule de lutte contre l'incendie''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]], [https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fire_engine Camion de pompier électrique] <br>Dès le 5 juillet '''1895''' A. C. KREBS annonce au Conseil de Paris : "''L’industrie ne construit actuellement que des moteurs de 2 à 3 chevaux. Or, c’est d‘une force de 12 à 15 chevaux qu’il faut au Corps''." <ref> '''05/07/1895''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1895-07-05_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des sapeurs pompiers de Paris.</ref> En conséquuence il conçoit le '''fourgon électrique d'incendie des sapeurs-pompiers de Paris''' qui entrera en service en '''1899''', date de la fin du contrat avec le loueur de chevaux. <gallery> File:Le fourgon électrique (face avant).jpg|'''1899''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.53/0321/100/532/5/416 Le fourgon électrique] (face avant) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''. File:Le fourgon électrique (face arrière).jpg|'''1899''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55325271/f21.item Le fourgon électrique] (face arrière) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''. File:1899 - Pompiers de Paris - Le fourgon d'incendie électrique en reconnaissance avec des lampes à arcs.jpg|'''1899''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62201848/f14.image.r=sapeurs%20pompiers '''fourgon d'incendie électrique'''] conçu par A. C. KREBS '''en reconnaissance avec des lampes à arcs'''. File:1899-The Automobile MAGAZINE The Horseless Fire Engine By Captain Cordier-French Electric Fire Department Wagon.pdf |'''1899''' - "'''The Horseless Fire Engine''' By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier] - '''''French Electric Fire Department Wagon'''''". <ref>'''1899''' - [https://archive.org/details/automobilemaga1189919newy/page/234 The Automobile MAGAZINE]: "''The Horseless Fire Engine By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier]'' - French Electric Fire Department Wagon: '''French Electric Fire Department Wagon''' : "''Paris firemen have also lately been out making successful experiments with the automotor constructed especially for the fire service, after the plans of Colonel Krebs.''".</ref> </gallery> == L'ingénierie automobile chez '''[[w:Panhard|Panhard & Levassor]]''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor|'''''Panhard & Levassor''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Panhard|Panhard]], [[w:Paris-Rouen (automobile)|Paris-Rouen (automobile)]], [[w:Transmission non synchronisée|Transmission non synchronisée]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]], [[w:Chronologie de l'automobile|Chronologie de l'automobile]] <br>'''A. C. KREBS succède à Emile LEVASSOR''' à la direction générale de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f474.image.r=krebs Panhard & Levassor]. De '''1897''' à '''1916''' il transforme la société Panhard & Levassor en fabricant d'automobile le plus profitable avant la 1ère guerre mondiale. "''Au début de '''1897''' ''[en fait le '''03/09/1896'''] <ref name="1896_Krebs_Levassor" />'', je montrai ma voiture terminée et fonctionnant à M. Levassor. Il en fut vivement frappé et me demanda de lui permettre d’en mettre plusieurs en construction dans ses ateliers et de bien vouloir en suivre la fabrication. <ref name=1896_Krebs_Levassor /> Deux mois plus tard ''[le 14/03/1897],'' M. Levassor mourait subitement. Son associé, M. Panhard, transforma son association en Société Anonyme et me demanda d’en prendre la direction.''" <ref name="Krebs_1924" /> Le jour même de cette entrevue [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf '''Emile LEVASSOR achète la licence'''] de la boîte de vitesses électromagnétique du brevet de A. C. KREBS. Cette boîte de vitesses sera construite au moins jusqu'en '''1903'''. "''L’industrie automobile était à ses débuts, son avenir n’était pas douteux et la Maison Panhard & Levassor tenait la tête. Encouragé par la réussite de mes travaux antérieurs et mes goûts personnels'', '''je n’hésitai pas à accepter et à abandonner la carrière militaire pour entrer dans l’industrie'''". <ref name="Krebs_1924" /> <ref> '''1897''' - '''Les dernières appréciations hiérarchiques''' sur A. C. KREBS lors de l'inspection générale des pompiers de Paris. '''Le chef de corps''' : "''Officier supérieur d’une grande valeur qui, sans négliger en rien son instruction militaire, continue à faire bénéficier le régiment de sapeurs-pompiers de ses connaissances scientifiques variées et très étendues en apportant au matériel d’incendie tous les perfectionnements dont il est susceptible. M. le Commandant Krebs est, en somme, un très bon militaire doublé d’un ingénieur distingué''". '''Le général de brigade''' : "''Intelligence vive. Connaissances scientifiques très étendues. Possède, au point de vue de leur application, des aptitudes remarquables. Vigoureux, actif, décidé, et très bien doué aussi, sous le rapport de l’aptitude au commandement, des qualités militaires et des connaissances professionnelles. En résumé c’est un officier d’un mérite supérieur qu’il y a intérêt à faire avancer rapidement.''"</ref> "''J'ai connu '''M. [[w:Gottlieb Daimler|Daimler]] en 1897, lorsque je suis allé lui rendre visite à Cannstadt, en Allemagne''', en octobre. Dans la maison où il habitait, il m'a montré le laboratoire et l'atelier où il avait étudié et construit son premier petit moteur, puis le premier véhicule sur lequel il a fait ses premiers essais.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> === '''Voitures de course''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor racing automobiles|'''''Voitures de course Panhard & Levassor''''']], [[commons:Category:Compétition automobile|'''''Compétition automobile''''']], [[commons:Category:Sport automobile en France|'''''Sport automobile en France''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Compétition_automobile#Histoire|Histoire de la compétition_automobile]], [[w:Compétition automobile avant 1906|Compétition automobile avant 1906]] <br>"''Les débuts ne furent pas sans difficulté. Il fallut d’abord acquérir la sympathie d’un personnel technique très fermé et jaloux de son expérience. Quelques perfectionnements que j’introduisais de suite dans certains organes mécaniques et l’année suivante le succès des 4 voitures de la Maison dans la course "[[w:Paris-Amsterdam-Paris|Paris-Amsterdam]]" (les voitures arrivant premières à toutes les étapes), me gagnèrent la confiance du personnel.''" <ref name="Krebs_1924" /> <gallery> File:1898 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl - Paris-Amsterdam.jpg|'''1898''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl - Paris-Amsterdam'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''12cv Paris-Bordeaux'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl-80x120-1000rpm.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl 80x120 1000rpm'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=16cv Tour de France.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''16cv Tour de France'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=20cv Paris-Toulouse.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''20cv Paris-Toulouse'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère Paris-Bordeaux.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère - Paris-Bordeaux'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-1.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-2.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=60cv-avec ressort AV transversal.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''60cv with transverse front spring'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=70cv Paris-Madrid.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=vue du moteur.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid - view of the engine'''. <ref name=Krebs-archives /> File:1903~A.C.KREBS Album-Courses=40cv.jpg|'''1903''' ~ Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv'''. <ref name=Krebs-archives /> </gallery> '''Catégories''' : [[commons:Category:1898_Paris-Amsterdam-Paris_race|'''''1898 course Paris-Amsterdam-Paris''''']], [[commons:Category:1904 Vanderbilt Cup|'''''1904 Coupe Vanderbilt''''']], [[commons:Category:1906 French Grand Prix (photographs)|'''''1906 Grand Prix''''']], [[commons:Category:1907 French Grand Prix|'''''1907 Grand Prix''''']], [[commons:Category:Panhard & Levassor type 120CV (1908)|'''''Panhard & Levassor type 120CV (1908)''''']] ==== '''1898''' - [[w:Paris-Amsterdam-Paris|Course '''Paris-Amsterdam-Paris''']] ==== Premiers perfectionnements : * Le volant de direction * La [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0155/100/512/10/458 direction irréversible à vis sans fin et secteur denté] * L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur l'essieu directeur * Les pneus * L'abaissement du centre de gravité ==== '''1904''' - 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] ==== L'américain [[w:George Heath|George Heath]] gagne la 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] à New York sur une [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/search/catch_all_fields_mt%3A%28vanderbilt%201904%29%20OR%20catch_all_fields_et%3A%28vanderbilt%201904%29 voiture Panhard & Levassor] à cardan conçue par A. C. KREBS. <gallery> File:Maurice Farman, vainqueur du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur Panhard.jpg|'''1901''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur une Panhard. File:Maurice Farman, vainqueur du circuit du Nord en mai 1902 (sur Panhard).jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du 'Circuit du Nord' en mai 1902 sur une Panhard. File:Maurice Farman sur Panhard, cinquième au Paris-Vienne 1902.jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], 5° sur la [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Paris-Vienna_race course Paris-Vienne] sur une Panhard. File:Pierre de Crawhez, vainqueur du Circuit des Ardennes en juin 1903.jpg|'''1903''' - Pierre de Crawhez, vainqueur du [[w:Circuit_automobile_des_Ardennes|'''Circuit des Ardennes''']] sur voiture Panhard & Levassor. File:Henri Farman, sur Panhard 100 hp en 1904.jpg|'''1904''' - La [[w:Coupe_automobile_Gordon_Bennett|'''coupe Gordon Bennett''']] : Henri Farman sur Panhard 100 hp. File:George Heath, vainqueur de la première Coupe Vanderbilt 1904 sur Panhard, au circuit de Manhattan (La Vie au Grand Air du 27 octobre 1904).jpg|'''1904''' - '''[[w:George Heath|George Heath]] (N°7), gagnant''' de la première [[w:https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_Vanderbilt|'''coupe Vanderbilt]] sur une Panhard à cardan''', à Manhattan.<ref>'''1904''' - The Automobile MAGAZINE : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1904-11_6_11/page/n5/mode/2up ''"Winning of the Vanderbilt Cup"''].</ref> File:1904 Vanderbilt-Cup=Heath winner on n°7.png|'''1904''' - '''Video''' : [https://www.loc.gov/item/00564552/ Automobile race for the '''Vanderbilt Cup'''] in New-York. File:1905-01-07 - La Vie Parisienne - caricature Heath sur Panhard & Levassor.jpg|'''1905''' - Caricature du '''conducteur de voitures américain, [[w:George Heath|George Heath]]''' sur Panhard & Levassor. File:1905-01 - The AUTOMOTOR JOURNAL - The 120-h.p. Four-cylinder engine of the Panhard-Levassor Gordon-Bennett race car.pdf|'''1905''' - La voiture '''120hp Panhard-Levassor avec transmission à cardan''' de la course Gordon-Bennett. File:Principales victoires Panhard de 1894 à 1905.jpg |'''1894-1905''' - '''Histoire de l'automobile''' ([[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]]) : ''"'''Principales victoires Panhard & Levassor'''"''. <ref>'''1907''' - [[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]] : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5495467j/f784.item.r ''Histoire de l'automobile'']</ref> File:Henry Farman, George Heath and Henri Cissac at the 1908 French Grand Prix at Dieppe.jpg|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henry Farman], [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath] et [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] au '''Grand Prix de Dieppe''' de 1908 sur voitures de course Panhard de 120cv. File:Panhard & Levassor "Biplace Course" - 1908.jpg|'''1908''' - '''Video''' : Le moteur de [https://www.youtube.com/watch?v=JBDunOxO8IY la voiture de course Panhard du Grand Prix] '''conçu par A. C. KREBS'''. File:Paris - Retromobile 2012 - Grand Prix Panhard – Levassor 12.5 Litres - 1908 - 005.jpg|'''1908''' - '''Video''' : [https://www.youtube.com/watch?v=1CmYKxIhJU8 la voiture de course Panhard & Levassor du Grand Prix] '''conçue par A. C. KREBS'''. </gallery> "''Pendant mes 18 années de Direction, je n’ai eu qu’à me louer du concours dévoué de tous mes collaborateurs, que j’ai toujours trouvés disposés à me seconder pour mener à bien les modifications ou dispositions nouvelles introduites dans les organes mécaniques des voitures. ''Il est inutile de les rappeler ici en détail. Celles que je signale volontiers parce qu’elles m’ont procuré de grandes satisfactions personnelles sont : * ''L'[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/121/100/512/10/458 '''équilibrage des moteurs''']; * ''Le '''carburateur automatique''' permettant de faire varier la vitesse du moteur et de lui donner une souplesse que le réglage par tout ou rien ne permettait pas ; * ''Le '''frein dynamométrique''' pour l’essai des moteurs à grande vitesse de rotation, donnant la mesure du travail sur l’arbre suivant la formule de [[w:Frein de Prony|Prony]], en récupérant sous forme électrique 90% environ de l’énergie produite, etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> === Equilibrage des moteurs === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Mechanical vibrations|'''''Vibrations méchaniques''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Vilebrequin (moteur)|Vilebrequin (moteur)]], [[w:Vibration|Vibration]], [[w:Système bielle-manivelle|Système bielle-manivelle]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1901''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-08_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR306968_-_%27Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quilibrage_des_moteurs_%C3%A0_deux_cylindres%27.pdf '''FR'''306968A] || ''Système d'équilibrage des moteurs à deux cylindres'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423830/publication/GB190114881A?q=GB190114881A '''GB'''190114881A] || ''A System of Equilibrium for Motors Having Two Cylinders'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513025/publication/AT13992B?q=AT13992B '''AT'''13992B] || ''Device for balancing masses in engines with two adjacent cylinders'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002847027/publication/US778542A?q=US778542A '''US'''778542A] || ''System of Equilibrium For Motors'' |- |} === Le "'''''carburateur Krebs'''''" === '''Catégories''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']], [[commons:Category:Engine fuel system technology|'''''Systèmes d'alimentation des moteurs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]] <br>Le carburateur Krebs peut être considéré comme '''le premier [[w:Carburateur|carburateur automatique]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A brevet 1902]) et '''le premier [[W:Carburateur#Carburateur_%C3%A0_d%C3%A9pression|carburateur à membrane]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A brevet 1908]). '''1906''' - "''A l'heure actuelle nous ne maîtrisons pas suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il est possible de transformer en travail seulement une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''" <ref>'''1906''' - Le : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=61 témoignade de A. C. KREBS au procès Selden à New York] : "''XQ96. Vous n'avez cité que le nom de Beau de Rochas. Connaissez-vous d'autres autorités ? R96. Tous ceux qui étudient ce sujet en vue d'en établir la théorie sont intéressants, mais nous ne possédons pas encore suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il n'est possible de transformer en travail qu'une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''" </ref> <gallery> File:1902-11-24 – Académie des sciences - la théorie du carburateur KREBS.jpg|'''1902-11-24''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&page=900 '''La théorie du carburateur Krebs''']: En permettant au moteur à combustion de développer sa puissance en fonction du nombre de tours, le carburateur Krebs lui permet en 1902 '''de gagner la bataille contre les moteurs électriques et à vapeur'''. <ref>Nous pourrions également dire que le carburateur KREBS introduit "'''l'épure de la Tour Eiffel dans la carburation automobile'''".</ref> File:1902-10-11 Krebs Automatic Carburetor (FR325241, GB190222655, US734421A).png|'''1902''' - Le "'''carburateur Krebs'''" est le premier carburateur à dépression constante automatique. File:1903-02-14. scientific-american-v88-n07=Krebs carburetor.pdf |'''1903-02-14''' - '''Scientific-American''' : "The Krebs '''automatic carbureter''' for gasoline engines". File:1910-11-24 motor-age 1910-11-24 18 21=le carburateur Krebs de 1908 est en vogue aux US.png|'''1910''' - '''Motor Age''' : Le [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''carburateur Krebs de 1908'''] avec '''"metering pin"''' est "'''''en vogue'''''" en Amérique. <ref>[https://archive.org/details/sim_motor-age_1910-11-24_18_21/mode/2up?q=krebs '''1910'''-11-24 - '''Motor-Age'''] : "''Le carburateur de type Krebs est en vogue ; il est conçu pour réguler le débit d'essence au moyen d'un pointeau relié à une soupape à membrane.''."</ref> File:1915-09-02 motor-age 1915-09-02 28 10=pub carburateur Longuemare aux US 'En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile' - Copie.png|'''1915''' - '''Motor-Age''' - Publicité [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65121561/f66.image.r=Longuemare Longuemare] : '''En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile'''"''. File:1912 - Brevet Panhard & Levassor FR458736A - Carburateur Krebs sans pièce mobile.pdf|page 3|'''1912''' - Brevet A. C. Krebs de '''carburateur sans pièce mobile''' : [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A]. File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manoeuvre=le carburateur double-corps.pdf|'''1913''' - Le '''carburateur double-corps''' de A. C. KREBS. </gallery> '''1903''' - '''The automobile''' : "''Le but visé est '''un degré constant de carburation à toutes les vitesses''', chaque coup de piston développant la même quantité de puissance, et '''la puissance totale du moteur étant par conséquent directement proportionnelle à sa vitesse'''. De plus, la carburation peut être maintenue à ses limites les plus basses possibles, et elle est parfaitement automatique et indépendante des variations de la température atmosphérique. La carburation est toujours bonne. Le réglage habituel du tableau de bord pour l'air supplémentaire et une alimentation spéciale en air chaud ne sont pas nécessaires : le réchauffement de la chambre de mélange avec l'eau de la chemise du moteur maintient une température constante. '''Le moteur peut fonctionner à une très faible vitesse sans diminuer son efficacité'''. Par exemple, comme le rapporte le ''Automotor Journal'', si le levier de changement de vitesse est placé sur la troisième vitesse, ce qui pourrait normalement donner une vitesse de 50 km à l'heure, et que l'on souhaite tourner à seulement un cinquième de cette vitesse, la vitesse du moteur est réduite à un cinquième, disons de 1 000 à 200 tours par minute ; Bien sûr, la puissance totale est diminuée, mais '''la puissance de chaque coup reste la même'''. '''Le nouveau carburateur Krebs répond donc largement à l'un des principaux besoins du moteur à essence : la flexibilité'''.''" <ref>'''1903''' - '''The automobile''' : [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/140/mode/2up?q=krebs ''The Krebs carburetter''.]</ref> '''1913-05-26''' - Comité de direction Panhard & Levassor : "'' '''Les États-Unis demandent à acheter notre brevet de carburateur 1903''', brevet qui a encore une validité de 5 ans. Nous adressons 2 propositions : 1° Vente du brevet pour 10.000 $, 2° licence pour cash 2000 $, plus 1 $ par carburateur''." <ref>'''1913-05-26''' - [http://rytmo.net/ACK/1913-1915_P&L_CR.html Comité de direction Panhard & Levassor]</ref> '''1919''' - "''Au début du XXe siècle, l'ingénieur français '''Krebs''' inventa ce que l'on peut appeler '''le premier carburateur automatique''' dans lequel le mélange était réglé automatiquement par la vitesse du moteur ; '''une souplesse''' jusqu'alors insoupçonnée était ainsi obtenue. Cette invention a ouvert la voie et inspiré un grand nombre d'autres inventions plus ou moins méritantes'' [...] '''Le type Krebs peut aujourd'hui être considéré comme la forme la plus simple de carburateur qui fonctionne de manière satisfaisante''' et il existe aujourd'hui plusieurs modèles différents fabriqués sur la base du seul principe de la soupape d'air auxiliaire. Dans ces modèles, le problème est résolu de différentes manières.'' [...] ''Bien qu'ils diffèrent tous dans les détails de la conception, ils sont néanmoins '''basés sur le principe de la soupape d'air auxiliaire telle qu'elle a été élaborée à l'origine par Krebs'''. <ref>'''1919''' - '''Motor truck and automobile motors and mechanism''' : "[https://archive.org/details/motortruckandau01rathgoog/page/n90/mode/2up?q=krebs ''A practical illustrated treatise on the power plant and motive parts of the modern vehicle, for owners, operators and repairmen'']."</ref> voir infra: [[w:Arthur_Constantin_Krebs#Carburateurs|Tous les brevets de carburateurs de A. C. KREBS]]. {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] || '''Le carburateur Krebs ''' ([https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 voir supra]) : ''Un carburateur à réglage automatique'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A] || ''Improvements in Oil Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C] || ''A carburator for internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A] || ''Fuel-governor for oil-engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''778542A + '''CA'''83889A] || ''Oil Machine'' |- |} === Frein dynamométrique === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Dynamometers|'''''Dynamomètres''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Dynamomètre|Dynamomètre]], [[w:Frein de Prony|Frein de Prony]] <br>'''1905-11-13''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&page=757 '''Académie des sciences''']: "''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé.''". <gallery> File:1905-12-09 La-Revue-Industrielle=le dynamo-dynamomètre de Krebs.jpg|'''1905''' - La Revue Industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774687p/f572.image.r=krebs '''Le dynamo-dynamomètre de A. C. KREBS''' chez Panhard & Levassor]. File:1907-1908 - Cashier's Magazine - the A. C. KREBS dynamo-dynamometer at Panhard & Levassor.png|'''1907''' - Le '''dynamo-dynamomètre''' de A. C. KREBS : "''Le moteur Panhard & Levassor 24 CV 4 cylindres [https://archive.org/details/cassiersmagazi331907newy/page/272/mode/2up?q=panhard ''connecté au frein et à la dynamo dans la salle d'essai'']". <ref>'''1906-12''' - '''The Electrician''' Vol 58 : [https://archive.org/details/the-electrician-vol-58/page/302/mode/2up?q=%22commander+krebs%22 "'''UN DYNAMOMETRE ELECTRIQUE'''"]. </ref> File:1909-09-02 MOTOR-AGE=SKETCH OF ELECTRIC CRADLE DYNAMOMETER.pdf|'''1909''' - '''MOTOR-AGE''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs Schéma d'un dynamomètre à berceau électrique]: "Le '''''commandant Krebs''''' ''semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau.''". <ref>'''1909-08-26''' - '''Motor Age''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs SCHÉMA D'UN DYNAMOMÈTRE ÉLECTRIQUE À BERCEAU] [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-09-02_16_10/page/30/mode/2up?q=dynamometer suite] : "''Le commandant Krebs, de la société Panhard & Levassor, semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau pour tester les moteurs à essence de voitures, et plusieurs membres de cette société l'ont utilisé avec succès pendant de nombreuses années.''". </ref> File:ITALTEC=5180=dynamomètre.jpg|'''Aujourd'hui''' - De nombreux [http://www.italtec.it/enemm07.htm '''freins et & couplemètres'''] utilisent les principes du frein dynamométrique de A. C. KREBS. </gallery> === La "'''''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''''" et [[w:Adolphe_Clément-Bayard|'''Adolphe CLEMENT''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Clément-Panhard vehicles|'''''Véhicules Clément-Panhard''''']], [[commons:Category:Adolphe Clément-Bayard|'''''Adolphe Clément-Bayard''''']] '''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f516 ''La voiturette Krebs (Panhard & Levassor)''] avec une carrosserie en [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/38/100/512/10/458 partinium]. '''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333426/f16.item 2 VCP au stand Clément] du salon de l'auto à Paris. '''1902-05''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f103.item une VCP exposée au Salon de l'alcool] sur le stand P&L. <gallery> File:Adolphe Clément au Tour de France auto 1899 (cropped).jpg|'''1899''' - '''Adolphe Clément-Bayard''' (1855-1928). File:1899-05-06 THE-AUTOCAR='The light Panhard car' la VCP de P&L.pdf |'''1899-05-06''' - THE-AUTOCAR: "''The light Panhard car''". La ''Voiture Clément-Panhard'' (VCP) est la version mécanique de la voiture système A. C. KREBS à boîte de vitesses électromagnétique. File:1900 VCP=Voiturette Clément créée par le commandant Krebs (Ferrus et Genty=photo du bloc-moteur.jpg |'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v/f177.image.r=krebs Photo du bloc-moteur de la VCP] : "''La Voiturette Clément-Panhard créée par le Commandant Krebs possède les mêmes qualités de fond que les grosses voitures construites dans l'usine dirigée par ce savant ingénieur.''" File:1900~Clément-Panhard-on-1900~the-web=Herbert Farthing collected his Clément-Panhard from the docks at Southampton.jpg |'''1900''' - M. Herbert Farthing a récupéré sa Clément-Panhard (VCP) sur les quais de Southampton. <ref name=VCP /> File:1901 Cycles Automobiles Clément=pub VCP.jpg |'''1901''' - "''Cycles Automobiles Clément''" - Catalogue des voitures '''Clément-Panhard''' (Brevets Panhard & Levassor) conçues par A. C. KREBS. <ref>'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52503781s/f1.item.zoom '''Cycles Automobiles Clément'''] - Publicité pour les voitures '''Clément-Panhard (VCP)''' conçues par A. C. KREBS.</ref> File:1901 - Voiture Clément-Panhard (VCP) - manuel complet et nouvelle carrosserie.pdf|'''1901''' - Voiture Clément-Panhard (VCP) : '''Manuel d'utilisation complet et nouvelle carrosserie'''. File:1901 Panhard & Levassor - advertising postcards for the Voiture Clément-Panhard (VCP).png |'''1901''' - Cartes postales publicitaires pour la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) : "''Qu'attendent-ils ? Ah ! ça ne peut être qu'une ... voiture Clément-Panhard''". File:1899 Panhard et Levassor - la Voiture Clement-Panhard 'The mechanical nightmare'.webm |'''2004''' - Panhard & Levassor '''1899''' - la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) de A. C. KREBS : "'''''Un cauchemard mécanique !'''''".<ref name=VCP /> File:Clement-Panhard Phaeton VGP (1900) jm63708.jpg|'''1898-1902''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) : [http://rbmn.free.fr/TheVoitureClement-Panhard.pdf '''''Article détaillé''''']. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] || '''L'embrayage Krebs à friction''' : ''Perfectionnements aux embrayages'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] || ''Improvements in Friction Couplings'' |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || '''La boîte de vitesses mécanique Krebs [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f235.image.r=panhard à engrenages toujours en prise]''' : ''Perfectionnements aux transmissions avec changement de vitesse'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars'' |- | '''1898''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] || '''Le brevet de Voiture Clément-Panhard avec la régulation du moteur sur l'admission''' : ''Un système de voiture légère à moteur à pétrole'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] || ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- |} === La "''stabilité de route''" === '''Catégories''' : [[commons:Category:Steering|Direction]], [[commons:Category:Direction_(automobile)|'''''Direction (automobile)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Direction_(automobile)|Direction_(automobile)]], [[w:Sécurité active|Sécurité active]], [[w:Tenue de route|Tenue de route]] <br>"''La question de la direction est une de celles que j'ai abordées vers la fin de 1897, dès que j'eus acquis une connaissance suffisante du fonctionnement et de l'organisation de la maison Panhard & Levassor. Ce nouveau dispositif de direction [[w:Panhard|P&L]] n'était autre chose qu'une adaptation de moyens déjà connus et utilisés depuis fort longtemps pour le même objet.''" <ref name="1906_Krebs_Selden" /> En ce qui concerne la direction automobile '''A. C. KREBS préconise''' : * La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f389 '''direction irreversible'''] * Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476571r/f8.item '''quadrilatère Jeantaud extérieur'''] de Panhard & Levassor * '''1898''' - A. C. KREBS implémente ses solutions sur ses voitures de la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f662.item.r=panhard '''course Paris-Amsterdam-Paris'''] (cf. infra). === '''L'Exposition Universelle de Paris - 1900''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1900)|'''''Exposition Universelle (1900)''''']], [[commons:Category:Moving sidewalk, Exposition Universelle (1900)|'''''Trottoir roulant, Exposition Universelle (1900)''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1900|Exposition universelle de 1900]] <gallery> File:S03 06 01 015 image 1918.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : Vue aérienne, Paris, France. File:Historical images of Place de la Concorde.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : '''Place de la Concorde'''. File:Paris Exposition rolling platform, Paris, France, 1900.jpg|'''1900''' - '''Le trottoir roulant''' à 7 mètres de hauteur, doublé par un chemin de fer électrique circulant en sens inverse. File:Plateforme_mobile,_station_du_pont_des_Invalides.jpg|'''1900''' - '''Plateforme mobile, station du pont des Invalides''' : Les deux trottoirs ne se déplacent pas à la même vitesse. File:1900 - The Paris Exposition Universelle.webm|'''1900''' - '''Video''' : Compilation de séquences de l' '''Exposition universelle de Paris''' constituées de bobines subsistantes. File:Exposition Universelle internationale de 1900 (11Fi 1289).jpg|'''1900''' - '''Hall des Machines''' : La section française. File:1900 - Pompiers de Paris - Les fourgons électriques.jpg|'''1900''' - Sapeurs-pompiers de Paris - '''Les fourgons électriques''' conçus par A. C. KREBS. <ref>'''1901''' - [https://archive.org/details/reportofcommissi05unit_0/page/n285/mode/2up Report of the Commissioner-General for the United States] to the '''International universal exposition, Paris, 1900''' : "''Les véhicules de pompiers exposés en France étaient très nombreux, mais en règle générale, ils n'étaient pas à la hauteur des normes établies par d'autres nations. La seule exception était l'exposition de la ville de Paris, qui contenait plusieurs '''bonnes machines fabriquées dans les ateliers des pompiers'''. Une nouveauté dans cette exposition était '''le véhicule de pompiers électrique'''. La pompe était entraînée électriquement et sur le fourgon se trouvait une batterie de stockage capable de fournir un courant suffisant pour faire fonctionner la pompe pendant dix minutes, après quoi on espère pouvoir établir une connexion avec des fils électriques à proximité de l'incendie et conserver un courant approprié. L'appareil fonctionnait de manière très satisfaisante et il semble à l'auteur '''que de telles pompes électriques devraient trouver un usage étendu dans les villes où les fils électriques se trouvent presque partout'''. La ville de Paris a également exposé une échelle à incendie de fabrication française qui était un modèle à bien des égards.''".</ref> File:S03 06 01 015 image 9903.jpg|'''1900''' - '''La Tour Eiffel''' illuminée. File:Les courses de ballons à Vincennes.jpg|'''1900''' - Les '''courses de ballons''' à Vincennes. File:1908 - Pierre Bonnard et Octave Mirbeau - La-628-E8.jpg|'''1905''' - '''[[w:La 628-E8|La 628-E8]]''' : Premiers raids automobiles. </gallery> ==== Pendant l'Exposition A. C. KREBS est ... ==== * Membre de la [https://archive.org/details/reportofcommissi06unit_0/page/346/mode/2up?q=krebs '''Commission scientifique d'aérostation'''] (Classe 34, Groupe VI) * Membre du comité d'études des [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.image.r=krebs '''mesures de sécurité contre l'incendie'''] * Membre des [https://digital.la84.org/digital/collection/p17103coll8/id/6432 Concours Internationaux d'exercices physiques et de sports]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v.r=%22%20%20Les%20Automobiles%20%C3%A0%20l%27Exposition%20de%201900%22?rk=64378;0# '''Automobilisme'''] (Section VII) * Membre de la '''Commission Internationale de courses Automobiles''' * Secretaire du '''Jury de la commission de mécanique générale, des matériaux et procédés''' (Classe 20, group IV) : Panhard & Levassor standout * Membre du '''Jury des compétitions nautiques''' * Licencié du brevet de voiture [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9395781/f113.item.r=lohner '''pétrole-electrique Lohner-Porsche'''] pour Panhard & Levassor. * Membre du [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/7/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F6%2FstTxt%2F%26&catsel1=stTxt&mot_cat1=krebs&ope5=AND&catsel5=id&mot_cat5=8XAE505&var_solr_qs=2#l-7 '''Congrès international d'automobilisme''' de 1900] et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f10.image.r=krebs 1903] * Nommé '''officier de la Légion d'honneur'''. ==== La rumeur sur le moteur extra-léger du commandant Krebs ==== * '''22/07/1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96060679/f3.image.r=krebs '''La Vie au grand air'''] : "''Il paraît que le commandant Krebs vient de mettre la dernière main à un moteur fort curieux, basé sur des principes tout à fait originaux. Le moteur qui pèseerait à peine le poids d'un douze chevaux ordinaire ferait cinquante bons chevaux''.[...]" * '''27/07/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k560406z/f4.item '''Le Petit parisien'''] : "[...] ''Laissant aujourd'hui de côté le ballon gonflé de gaz et, partant, plus léger que l'air, le commandant Krebs adopte la théorie du plus lourd que l'air. L'aéroplane c'est tout ce que nous avons pu savoir sera composé de plans inclinés et d'hélices mues par un moteur à pétrole de grande puissance. Et, c'est la que réside la difficulté, et qui, nous assure-t-on serait résolue ce moteur extra-léger, ne pèsera que cinq kilos par cheval de force. Disons enfin que l'appareil une fois construit sera probablement piloté par Maurice Farman, bien connu déjà pour ses nombreuses ascensions en hallons libres et ses tentatives de records aéronautiques. Est-ce cette fois que l'atmosphère définitivement vaincue devra, comme les autres éléments, se plier à la volonté du génie humain ? Souhaitons-le, en attendant les expériences du nouveau navire aérien !''" * '''07/08/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5381135s/f2.item '''L'Express du Midi'''] : "[...] ''En l'absence de M. Krebs, un de ses intimes [Ch. de Fréminville] a déclaré à notre confrère [le Figaro] que le commandant a complètement cessé de s'occuper de navigation aérienne, qu'il ne se soucie donc pas de prendre part à la lutte ouverte par les différentes personnalités qui travaillaient à découvrir la direction des ballons. Enfin, que le moteur dont a parlé le Figaro fonctionne déjà, mais n'est pas autre chose qu'un moteur de voiture que les aéronautes évidemment pourront, s'ils le veulent, employer''." ==== La polémique entre les ballons de Santos-Dumont et de Renard & Krebs ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Alberto Santos-Dumont|'''''Alberto Santos-Dumont''''']] * '''11/06/1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6508500m/f13.item '''Le Génie civil'''] - "[...] ''Laissons à chacun son mérite : à [[w:Alberto_Santos-Dumont|M. Santos-Dumont]], le sang-froid, l'agilité qui le font sortir indemne de tous les périls, et que surexite sans doute un certain amour de la renommée ; à MM. Renard et Krebs, la science réfléchie qui n'accepte que les solutions mûries sagement et ne sacrifie pas à la vaine réclame. On aura beau faire et dire, ce n'est pas ce qui leur enlèvera l'honneur d'être, et pour toujours, les véritables créateurs du ballon automobile'' [...]." * '''1905''' - [https://archive.org/details/standardlibraryo00unse/page/36/mode/2up?q=krebs '''Standard libray of knowledge'''] : "''Not only M. Santos-Dumont, but the whole body of airship inventors through¬ out the world are profoundly interested in the subject. France is the leading country in practical aerial navigation, but Germany,England and other countries are giving much attention to the subject. One of the most notable air vehicles is the balloon “ La France,” the invention of the brothers Colonel and Major Renard and of Major Krebs, of the French army. '''It is claimed that this machine in 1884 fulfilled the conditions established for the Deutsch prize, which Santos-Dumont won in Paris'''. Motors were at that time only in a rudimentary stage of develop¬ ment. Many Frenchmen declare that if “La France”could have taken part in this competition it would incontestably have won the prize of twenty thousand dollars. Colonel Renard was occupied with his military duties and was absolutely prevented from taking part''." === Recherches métallurgiques avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de FREMINVILLE''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Fractography|'''''Fractographie''''']], [[commons:Category:Material cracks|'''''Rupture des matériaux''''']], [[commons:Category:Vanadium|'''''Vanadium''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Fragilité|Fragilité]], [[w:Faciès de rupture|Faciès de rupture]], [[w:Fatigue (matériau)|Fatigue (matériau)]], [[w:Rupture (matériau)|Rupture (matériau)]], [[w:Vanadium|Vanadium]] <br>"''En '''1898''', je pris auprès de moi, pour me seconder, mon beau-frère M. [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|Charles de Fréminville]], ingénieur des Arts et Manufactures, qui s’occupa plus spécialement de la partie administrative des ateliers, de l’organisation du travail, du choix et traitement des métaux employés dans la fabrication, etc.''" <ref name="Krebs_1924" /> "''Il lui fallut faire son choix parmi des métaux alors nouveaux et dont les qualités et les défauts étaient peu connus et souvent mal compris. La construction et le fonctionnement de l'automobile firent naître une nouvelle conception de la résistance des matériaux.''." <ref> '''1926''' - '''Mechanical engineering''' : [https://archive.org/details/mechanicalengine42amer/page/72/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 CHARLES DE FREMINVILLE ÉLU MEMBRE HONORAIRE DE LA A.S.M.E.]</ref> <gallery> File:1909 FORD-T=publicité avec l'acier au vanadium.png|'''1905''' - '''Henry FORD''' : ''"'''Il me semblait que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que ce que nous pensions.'''. Après l'accident ''['''d'une voiture de course Panhard''']'' J'ai récupéré une petite tige de soupape ''['''fabriquée avec du vanadium''']''. C'était très léger et très solide.''" <ref name=vanadium /> File:1906-12-06 Motor-Age=analyse des métaux utilisés dans les voitures P&L.png|'''1906''' - '''TEST OF A PANHARD GEAR''' : "''Il arriva bientôt que les ingénieurs automobiles américains commencèrent à se demander pourquoi, dans une voiture étrangère, une pièce donnée fonctionnait parfaitement alors que dans une voiture américaine, la même pièce de même taille, effectuant un travail identique, se déformait.''" [<small>...</small>] <ref>[https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-06_10_23/page/n113/mode/2up?q=panhard '''1906'''-12-06 - '''Motor-Age'''], [https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-13_10_24/page/16/mode/2up (Suite)] : "''Produits sidérurgiques étrangers pour moteurs''".</ref> File:1913-03-20 Ch-de-Fréminville=croquis de la vue de sa chambre du 12° étage de l'hôtel Belmont à New York.jpg|'''1913''' - While in the United States to study the Taylor method, '''Ch. de Fréminville''' to his wife:"'''''All these people''''' [the Packard factory in Detroit] '''''slavishly copied the parts that Arthur ''[KREBS]'' designed, and executed them with the metals that I chose'''''". [<small>...</small>] <ref name=Fréminville /> File:1919 - Charles de Fréminville=Portrait.jpg|'''1919''' - '''Charles de Fréminville''' (1856-1936) : Ce portrait a été exécuté par un photographe américain pendant son séjour aux USA dans le cadre de ses recherches sur la méthode Taylor, peu après son départ des usines '''Panhard & Levassor''' où il travaillait depuis '''1899''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''. [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville'']. File:2009 G. Quinn='A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS'=chronology with Charles de Fréminville.jpg|'''2009''' - [https://www.scientific.net/KEM.409.1 'A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS' (G. Quinn)]: Chronologie avec '''Charles de Fréminville''' quand il travaillait chez '''Panhard & Levassor''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''. </gallery> '''1904''' - '''The brittleness of steel''' ([[w:Henry_Le_Chatelier|H. Le Chatelier]]) : "''M. '''de Fréminville''' a découvert cette particularité qu'après avoir été soumis à un certain traitement thermique, certains aciers spéciaux nécessitaient pour être rompus transversalement au choc, une quantité d'énergie bien supérieure à celle requise dans les essais de traction ordinaires''." <ref>'''1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61950g/f9.item.r=freminville '''The brittleness of steel'''] (H. Le Chatelier)</ref> '''1913-04-04''' - '''Ch. de Fréminville à sa femme''' : "J'ai réalisé ''' le projet que j'avais fait de mouler le trou fait par une balle dans la glace du [https://carriagemuseumlibrary.org/wp-content/uploads/2014/06/heal16.jpg building du Général Healey] [à New York]'''. Le [https://carriagemuseumlibrary.org/home/library-archives/carriage-manufacturers/healey-company-of-new-york/ General Healey] m'a du reste fait remarquer qu'il y en avait autant sur presque toutes les glaces de son building. Il y a un grand choix. J'avais été hier faire ma provision de plâtre chez un italien. Quel quartier ! C'est pourtant à deux pas du quartier chic et ce n'est pas un quartier mal réputé. Mon moulage a admirablement réussi. J'ai cru qu'il allait y avoir un attroupement considérable derrière la glace pendant que j'opérais en manches de chemise - comme un bon Américain. '''Et tous ces gens là ne savaient pas ce qu'ils regardaient et n'auraient jamais regardé une cassure'''. Heureusement que deux pompes à vapeur [d'incendie] ont passé coup sur coup. Tous ces admirateurs m'ont abandonné." <ref name=Fréminville /> '''1915''' - C. DE FREMINVILLE quitte Panhard & Levassor <ref name=CdF/> Chevalier légion d'honneur * 1899: Laboratoire de mécanique et laboratoire de chimie * 1900: Essais de résistance des aciers durs aux chocs * 1901-06-03 - L'acier au nickel * 1902: cylindres en acier forgé * L'acier au vanadium * L'acier au cobalt (stellite) {| class="wikitable" |- ! Date !! Review !! Article |- | '''1903''' || Association internationale des Méthodes d'essais des matériaux de construction || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475620g/f15.image.r=FREl%20IINVILLE L'essai au choc ou choix des métaux] |- | '''1906''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/07/metal19060307p423/metal19060307p423.html Essai d'une scie sans dents pour le sectionnement d'aciers durs ordinaires et d'aciers à outils] |- | '''1906''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/03/metal19060303p109/metal19060303p109.html Influence des vibrations dans les phénomènes de fragilité] |- | '''1907''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1907/09/metal19070409p833/metal19070409p833.html Caractères des vibrations accompagnant le choc déduits de l'examen des cassures] |- | '''1908''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1908/06/metal19080506p329/metal19080506p329.html Remarques sur les rebondissements d’une bille et les renseignements qu’ils peuvent donner sur la dureté et l’élasticité des corps] |- | '''1914''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1914/09/metal19141109p971/metal19141109p971.html Recherches sur la fragilité — L’Éclatement] |- |- | '''1918''' || Scientific American Supplement || [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] |- |- | || || [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-26_86_2234/page/264/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—II - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] |} === Bateaux à moteur et bateaux de course avec [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_aéronautique)|'''Alphonse TELLIER''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Motorboats|'''''Bateaux à moteur''''']], [[commons:Category:Hull speed|'''''Vitesse de coque''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Bateau à moteur|Bateau à moteur]], [[w:Motonautisme (sport)|Motonautisme (sport)]], [[w:Coque_(bateau)|Coque_(bateau)]], [[w:Vitesse de coque|Vitesse de coque]], [[w:Hélice#Hélice_marine|Hélice_marine]], [[w:Hélice à pas variable (marine)|Hélice à pas variable (marine)]] <br>'''1895''' - A. C. KREBS fut le principal promoteur de la navigation automobile en Europe dès '''1895'''. <ref>'''1902''' - [https://archive.org/details/lemondemoderne15pari/page/344/mode/2up?q=krebs '''Le Monde moderne''', p345]: "''Il faut attendre '''1895''' pour assister à l'entrée en scène sensationnelle d'un canot automobile dans les concours. '''Le commandant Krebs fut l'un des promoteurs les plus hardis de la navigation mécanique''' : ce fut en effet grâce à ses études et à ses encouragements que la société Panhard et Levassor construisit un moteur de 16 chevaux, capable de donner une vitesse de 18 kilomètres au canot sur lequel il était monté ; le jour où on le vit à Meulan, aux régates du "[https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_la_voile_de_Paris Cercle de la Voile]", fut une date importante dans l'histoire de ce sport.''"</ref> '''1903-12''' - '''Automobile Magazine''' : "''Là où la vitesse prime : Prenons comme excellent exemple ce nouveau type de bateau de course, le '''Lutece'''''".<ref>'''1903-12''' - Automobile Magazine : " [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1903-12_5_12/page/1128/mode/2up?q=panhard ''Là où la vitesse prime'']."</ref> 1904-02-27_10_The-Automobile='Auto Boats at the Sportsmen’s Show.' : The Panhard boat furnishes the same tune in its engines as in automobiles. When running, the four-cylinder motor throbs with that rythmic sound so soothing to the motorist. <gallery> File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - le canot PHENIX à moteur Panhard & Levassor.jpg|'''1900''' - Industrial '''uses of alcohol''' : the '''''PHENIX launch''''' with Panhard & Levassor motor '''designed by A. C. KREBS'''. File:1901-11-08 - Yachting-gazette - le canot automobile "Rolla V" à moteur Panhard & Levassor.png|'''1901''' - Yachting-gazette: the motorboat "'''''Rolla V'''''" with '''Panhard & Levassor engine''' designed by A. C. KREBS. <ref>'''1902-03-01''' - Scientific American - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard '''THE MARINE AUTOMOBILE''']: ''LA RÉCENTE INVENTION FRANÇAISE DU CANOT AUTOMOBILE''.</ref> File:Btv1b84333441-p094.jpg |'''1902-05-20''' - A. C. KREBS est à la barre du canot de course '''''Centaure''''' à moteur Panhard & Levassor. <ref>'''1902''' - [[w:Jules_Beau|Jules Beau]] - Photographie sportive : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f93.item '''LUTECE'''] 60cv (Panhard & Levassor), "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f92.item ''La course des bateaux automobiles.] Sont présents : MM. Rives, [[W:Louis_Pierron|Pierron]], venus en automobile avec le '''Commandant Krebs''', Famechon, [[W:Charles_Renard|Colonel Renard]] ''[en chapeau clair]'', [[W:Auguste_Trillat|Trillat]], Amiot, [[W:Gaston_Menier|Gaston Menier]] venu avec son Yacht, [[W:Henri_Paillard|Paillard]], [[W:Pierre_Lafitte|Lafitte]], [[W:Alfred_Morel-Fatio|Morel-Fatio]], etc.''"</ref> File:1902 A. C. KREBS=Hélice réversible (FR306968).jpg|'''1902''' - Le système Krebs d' '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs hélice à pas variable] : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A]. File:1902-03-01 - Scientific American (v86-n09) - canot Rollo à moteur Panhard & Levassor.png|'''1902''' - Scientific American : Le canot "'''Rollo'''" à moteur Panhard & Levassor. <ref>'''1902-03-01''' - '''Scientific American''' : [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard The Marine Automobile] : "''Il est tout à fait naturel que le sport des courses de vedettes ait été baptisé en France, berceau de l'automobile pour les Français, même si, en tant que nation, ils ne sont pas très doués en voile, mais jouissent d'une réputation bien méritée dans le domaine des embarcations légères de plaisance''.".</ref> File:1903-11 - Panhard & Levassor - Motorboat 'Vingt et Un'.jpg|'''1903''' - Four views of the motorboat '''''Vingt et Un Ist''''' in '''New-York''' while A. C. KREBS was managing the '''Panhard & Levassor''' Co. <ref>'''1903-11''' - '''''Vingt-et-un I''''' motorboat : 4 cyl. '''Panhard & Levassor''' conçu par A. C. KREBS - '''42 km à l'heure'''. Architecte : [https://hydroplanehistory.com/other/clinton_cranes_yachting_memories_1952.html#1 Clinton CRANE]. Propriétaire : [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/object/islandora%3A226649 Smith & Mabley].</ref> File:1904 the PANHARD II motor-boat plans.jpg |'''1904''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-03-12_90_11/page/212/mode/2up?q=panhard '''''PANHARD II''''' : "''A complete French auto boat equipment in an American hull.''"] <ref>[[W:Mystic_Seaport|'''Mystic Seaport Museum''']] : "''Le [https://store.mysticseaport.org/products/panhard-i-racing-launch canot de course Panhard de 1904] est un bateau en bois construit à la main, dont '''la coque en forme de nacelle, parfaitement arrondie, semble d'une modernité incroyable pour une construction de cette époque'''. Il illustre comment les formes nécessaires à la vitesse, fruit naturel de l'ingénierie hydrodynamique, sont devenues aussi belles que fonctionnelles. Utiliser les bateaux de la collection pour montrer l'évolution de ces formes et leur influence sur les innovations dans la conception des avions, des bus, des trains et des automobiles est une excellente façon de relier la collection au monde extérieur. Le Panhard vaut à lui seul le détour lors de cette exposition. D'une beauté à couper le souffle, il est unique en son genre parmi les vestiges de 1904. Il m'a fait reconsidérer complètement ma conception du démodé''."</ref> File:1904 Jules-Beau - La Rapée III aux courses de canots automobiles à Juvisy.jpg|'''1904''' - La '''''Rapée III''''' à '''moteurs Panhard & Levassor''' aux courses de canots automobiles à Juvisy. File:Hydroplane, comte de Lambert (essais sur la Seine) - btv1b53114139t.jpg|'''1904''' - '''Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46265842/f3.image.r=krebs bateau glisseur] du [[w:Charles_de_Lambert|comte de Lambert]]''' avec '''l'hélice à pas variable''' de A. C. KREBS. File:1904 'Auto boat race on the Hudson'.jpg |'''1905''' - Video: The motor-boat '''''PANHARD II''''' participating in '''nautical races in America'''. <ref>'''1905''' - "[https://www.loc.gov/item/00563586/ ''Auto boat race on the hudson'']."</ref> File:1905 - AUTOMOTOR - The new 6-cylinder Panhard-Levassor petrol marine engine 150HP.png|'''1905''' - The '''6-cylinder''' Panhard-Levassor petrol '''marine engine 150HP''' for racingboats. File:1905-04-20 - La Vie Au Grand Ai - les canots "Panhard & Levassor" et "Rapière I" à Monaco.jpg|'''1905''' - La Vie Au Grand Air - The launchs "'''Panhard & Levassor'''" and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96066073.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=21459;2# "'''Rapière I'''"] in Monaco. File:1906-01-05 - La Locomotion Automobile - le bateau de course "La Rapière I".jpg|'''1906''' - Automobile Locomotion: the racing boat [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53730474/f240.image.r=rapiere “'''La Rapière I'''”]. File:1907-01-01 Le Monde Illustré - le bateau de course Panhard-Tellier I et La Rapière II à Monaco.jpg|'''1907''' - Le Monde Illustré: the racing boats [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f280.image.r=rapiere '''''Panhard-Tellier I'''''] and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96395619.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=171674;4 '''''La Rapière II'''''] in Monaco with '''Panhard & Levassor engines'''. File:1907-01-05 Le Monde illustré - la vedette Récopé avec l'hélice réversible de A. C. Krebs.jpg|'''1907''' - Le Monde illustré : "'''''La vedette lance-torpille du [[w:Edmond_Récopé|Comte Récopé]]'''''" avec '''l'hélice réversible de A. C. KREBS'''. <ref>'''1907''' - '''''Le Monde illustré''''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f386.image.r=recope# La vedette lance-torpille du Comte Récopé]". '''''La Nature''''' : "[https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.72/240/60/671/5/660 La vedette : lance-torpille]". '''''La Locomotion automobile''''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f13.image.r=recope La vedette Récopé en vitesse]" ; "Une application de la locomotion automobile : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5733956x/f39.image.r=recope la vedette Récopé]". '''''Scientific American Supplement''''' : "[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs A torpedo-boat driven by kerozene]".</ref> File:1907-1908 - The Alphonse Tellier glider « La Rapière III » with 1 Panhard & Levassor engine.pdf|'''1907-1908''' - The Alphonse Tellier glider '''''La Rapière III''''' with a '''Panhard & Levassor engine''' designed by A. C KREBS. File:1908-04-09 - 1er tour du Panhard-Tellier (la-Rapière III) à Monaco.jpg|'''1908''' - 1st lap of the Panhard-Tellier '''''la Rapière III''''' glider in Monaco. File:1909-04-02 - Pall Mall illustration - Le Panhard & Levassor 56,250 kmh.jpg|'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4522079j/f1.item.r=rapiere Pall Mall illustration]: The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98156242/f257.image.r=panhard "'''Panhard & Levassor'''"] (35 mi/h) in Monaco. File:Meeting de Reims - le constructeur Tellier - btv1b9019310s.jpg|'''1910''' - '''Alphonse Tellier''' (1879-1929). File:1913 - Monaco - l'hydroplane 'MOTOCRATIC' avec 2x8cyl. 75kmh Panhard & Levassor.jpg|'''1913''' - Monaco: the hydroplane '''''MOTOCRATIE''''' with '''2x8cyl. 75kmh Panhard & Levassor''' designed by A. C. KREBS. File:1914-04-18 - La Vi e Au Grand Air - Le canot Panhard-Tellier II à moteur 24cyl.pdf|'''1914''' - La Vie Au Grand Air : The '''''Panhard-Tellier II''''' racer. 2 Panhard & Levassor 12cyl. engines: '''24cyl''', '''1400hp'''. </gallery> '''1902''' - L' '''hélice à pas variable''' system A. C. KREBS : {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1903''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382609/publication/FR332993A?q=FR332993A '''FR'''306968A] || The Krebs variable pitch propeller: ''Variable -to -step propeller'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A] || ''Improvements in and relating to Screw Propellers'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A] || ''Screw-Propeller'' |- |} === La voiture hybride avec [[w:Ferdinand_Porsche|'''Ferdinand PORSCHE''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Hybrid-powered vehicles|'''''Véhicules hybrides''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Véhicule hybride|Véhicule hybride]], [[w:Automobile hybride électrique|Automobile hybride électrique]], [[w:Liste d'automobiles hybrides électriques|Liste d'automobiles hybrides électriques]] <br>'''07-07-1900''' - A. C. KREBS dépose le brevt [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] : "''Système de régulateur électromagnétique agissant sur les soupapes d'admission pour moteurs à hydrocarbure''" ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 '''US'''691638], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149303/publication/GB190016291A?q=GB190016291 '''GB'''190016291]). '''10-1900''' - A l' '''Exposition Universelle de Paris''' A. C. KREBS remarque la voiture hybride "''Semper vivus''" de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lohner%E2%80%93Porsche Lohner-Porsche] et achète la license du brevet de moteur électrique dans les roues [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149816/publication/GB190018099A?q=pn%3DGB190018099A ('''GB'''190018099)] pour Panhard & Levassor, pour la France, la Grande-Bretagne et l'Italie. <ref>'''1903''' - Le congrès international de l'automobile de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f368 Rapport de M. Louis Lohner sur les voitures pétroléo-électriques].</ref> '''24/01/1903''' Scientific-american - '''La Panhard et Levassor système Lohner-Porsche''' : "''... La plus novatrice de toutes est une voiture-tonneau '''Lohner-Porsche''', de 28 chevaux, à essence et électrique, avec des moteurs électriques dans les moyeux des roues avant, qui dirigent également la machine. Un moteur à essence directement relié à une dynamo fournit l'énergie nécessaire à la production d'électricité pour faire fonctionner la voiture, tout courant superflu étant envoyé dans une batterie de stockage, qui fournit l'énergie supplémentaire en fonction des besoins. La voiture aurait 14 vitesses différentes, dont la vitesse maximale est de 77 km par heure. Ce système a connu un tel succès que la '''société Panhard''' a acheté les brevets et fabrique des machines''". <ref>'''1903-01-24''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1903-01-24_88_4/page/62/mode/2up?q=lohner Scientific American] : "''[...] La voiture posséderait 14 vitesses différentes, la vitesse maximale étant de 77 km à l'heure''."</ref> <gallery> File:Ferdinand Porsche.jpg|'''Ferdinand porsche''' (1875-1951). File:1903 Lohner-Porsche=Krebs achète la licence du brevet Lohner-Porsche.pdf |'''1900''' - The [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GenevaMotorShow2011.jpg "''Semper Vivus''" hybrid car] seen by A. C. KREBS during the Paris Exposition Universelle. Krebs acquired the Brevet licence for Panhard & Levassor. File:1903-01 AUTOMOTOR-JOURNAL= "A 15-HP LOHNER-PORSCHE PETROL-ELECTRIC CAR" with Panhard & Levassor engine.jpg |'''1903-01''' - "''A 15-HP Lohner-Porsche petrol-electric car''" with Panhard & Levassor engine and [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 the KREBS "''Electromagnetic regulator for admission-valves''" (Brevet '''US'''691638)]. <ref>'''1904''' - YEARBOOK OF THE AUTOMOTIVE AND MOTORBOAT INDUSTRY (Berlin) : [https://archive.org/details/bub_gb_aTpNAAAAMAAJ/page/285/mode/2up?q=panhard '''Automobiles à transmission électrique de Lohner-Porsche et Panhard & Levassor''']</ref> </gallery> === [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard La '''technologie automobile'''] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:History of technology|'''''History of technology''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de l'automobile|Histoire de l'automobile]] et [https://en.wikipedia.org/wiki/Brass_Era_car Brass Era car] ===='''A. C. KREBS perfectionne le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f473.image.r=panhard "Type Panhard"''']==== Émile LEVASSOR et A. C. KREBS ont déterminé [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909-1914_-_L%27Auto-v%C3%A9lo_-_les_%22Vendredi%22_de_Panhard_%26_Levassor.pdf&page=49 '''l'architecture de l'automobile moderne''']. :{| class="wikitable" |- | '''Moteur vertical à l'avant''' || Levassor |- | '''Radiateur devant le moteur''' || Krebs |- | '''Transmission en ligne''' || Levassor |- | '''Propulsion arrière''' || Levassor |- | '''Embrayage dans le volant moteur''' || Levassor |- | '''Moteur équilibré''' || Krebs |- | '''Régulation sur l'admission''' || Krebs |- | '''Volant de direction''' || Krebs |- | '''Direction irréversible''' || Krebs |- | '''L'angle de chasse''' || Krebs |- | '''Boîte de vitesses à train baladeur''' || Levassor |- | '''Emplacement des pédales''' || Levassor |- | '''Levier de changement de vitesse et de marche''' || Levassor et Krebs |- | '''Chassis en bois armé''' || Levassor |- | '''Roues en bois''' || Levassor |- | '''Roue d'artillerie''' || Krebs |- | '''Freins à mâchoires''' || Krebs |- | '''Carburateur automatique''' || Krebs |- | '''Joints élastiques''' || Krebs |- |} '''1899''' - A. C. KREBS introduit dans l'architecture de l'automobile '''le radiateur à l'avant, devant le moteur''' sur sa voiture de course Paris-Bordeaux. Il étend ce choix à toute la gamme Panhard & Levassor. <ref> À l'orée de la guerre de 1914 la position du radiateur n'est pas tranchée : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f58.image.r=radiateur 1909], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f289.image.r=radiateur%20a%20l 1912].</ref> <gallery> File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - La voiture de course Paris-Bordeaux conçue par A. C. KREBS avec '''le radiateur à l'avant'''. </gallery> '''1904''' - "[...] ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai conduit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. '''Sans fausse modestie, '''je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme'''. ''[...] ''Répétons-le constamment, soyez prudents''." <ref>'''1904-07-09''' - '''L'Auto-vélo''' : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4626643g/f3.image.r=krebs '''L'Enquête sur le pneumatique'''] : ''Vous faites une embardée que vous redressez très facilement si vous connaissez réellement votre machine, si, en un mot, vous faites réellement corps avec elle. Faut-il vous le dire, c'est un peu mon cas. J'ai suivi le développement de l'automobile et j'ai condit longtemps une 6-chevaux, puis des voitures de plus en plus fortes. Sans fausse modestie, je connais ma voiture et j'en suis un peu l'âme''. [...] Malheureusement, je dois le dire, beaucoup de chauffeurs connaissent peu ou prou leur voiture. Sur une belle route de campagne, ils cèdent à la griserie de vitesse, perdant la notion exacte des choses, virent court sans ralentir, sont ebntraînés par la force centrifuge, le pneu, cette fois, subit un travail d'échauffement et d'arrachement ausuel il semble naturel qu'il ne puisse résister. Alors, dans ce cas, c'est évident, l'homme devient encore plus affolé que sa machine, et c'est la cabriole finale qui se termine plus ou moins mal. En somme s'il n'y avait pas de pneumatiques, les imprudents ou les maladroits seraient victimes des mêmes accidents. Répétons-le constamment, soyez prudents''."</ref> '''1911''' - Panhard & Levassor introduit en France la '''''"voiture complète"''''', avec '''carrosserie de série'''. ==== Recherches sur la régulation des moteurs à essence ==== * '''1898''' - La régulation sur l'admission : '''FR'''284596 : Sur son moteur de la Voiture Clément-Panhard A. C. KREBS ajoute sur la soupape d'admission automatique un étranglement commandé par un régulateur à boule. * '''1899''' - Le carburateur à niveau constant : '''FR'''295792 * '''1900''' - La régulation électromagnétique des soupapes d'admission : '''FR'''301991 * '''1900''' - Le carburateur Centaure à étranglement : '''GB'''190016467A * '''1902''' - Les soupapes à cames extensibles : '''FR'''322489A * '''1902''' - Le carburateur automatique : '''FR'''325241A * '''1902''' - L'avance à l'allumage au volant : '''FR'''327527A * '''1903''' - Perfectionnements au carburateur automatique : '''FR'''333127A * '''1906''' - Le régulateur hydraulique sur le carburateur * '''1908''' - Le carburateur automatique à aiguille : '''FR'''401546A * '''1909''' - Les soupapes concentriques pour l'aviation : '''FR'''414413A * '''1912''' - Le système de sans-soupapes à boisseaux : '''FR'''440438A * '''1913''' - Le carburateur automatique sans pièce mobile : '''FR'''458736A * '''1913''' - Le carburateur double-corps : cf. infra ==== [https://fra.wiki/wiki/Categoria:Motori_Panhard Moteurs] ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']], [[commons:Category:Internal combustion engine|'''''Internal combustion engine''''']], [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à quatre temps|Moteur à quatre temps]] <br>In '''1900''', A. C. KREBS designed the '''''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure Centaure engine]''''' with the aim of freeing itself from the royalties owed to Mme Levassor on the Daimler engine. '''1902''' - À la demande d'une commission parlementaire, A. C. KREBS fait [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64676929/f871.image.r=krebs '''une étude sur l'utilisation de l'alcool dans l'automobile''']. Suite à ce rapport il est décoré [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k286013f/f3.image.r=krebs chevalier du Mérite agricole]. In '''1909''', he became interested in the '''Knight Brevet''' ([[w:Soupape_(moteur)#Système_Charles_Yale_Knight|moteur sans-soupape]] engine) and was first in France to build that type of engine which Panhard et Levassor would produce during the thirty years leading up to World War II. <gallery> File:1900 - Manuel théorique et pratique de l'automobile (Lavergne) - moteur Phenix.jpg|'''1895''' - The Daimler-Maybach [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&page=164 '''Panhard-Phenix''' engine]. <ref>'''1897''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1897-01-30_43_1100/page/17588/mode/2up?q=panhard Some '''New Horseless Carriages''' - "''Le Phénix de MM. Panhard & Levassor, qui, de l'avis des experts en la matière, peut être considéré comme approchant la perfection''"]. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/306/mode/2up?q=phenix Self-propelled vehicles].</ref> File:1900 - Les automobiles à l'Exposition - Le moteur KREBS.jpg|'''1898''' - "'''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9780698h/f613.image.r=krebs The KREBS engine]" with intake regulation''' before the appearance of the butterfly valve. File:1900-07-21 - Brevet du moteur "Centaure" Panhard & Levassor (FR302402, GB190200673A).png|'''1900''' - Panhard & Levassor "[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/214/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']" motor Brevet ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''FR'''302402] , [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] ) designed par A. C. KREBS. File:1901 - Moteur Centaure de Panhard & Levassor.jpg|'''1901''' - " [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']" engine from Panhard & Levassor '''designed by A. C. KREBS'''.<ref>'''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=centaure Self-propelled vehicles]: "''La demande de voitures rapides et puissantes a très vite conduit à la production de moteurs à quatre cylindres, parmi lesquels https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=centaure '''''le Centaure de Panhard-Levassor est le type]'''''." </ref> File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 57|'''1901''' - The A. C. KREBS "'''''engine three points suspension system'''''". File:1903-1916 - Cours complet d'automobilisme - le moteur 3 cyl. Panhard & Levassor.jpg|'''1903''' - The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5863731g/f22.item.r=panhard# Panhard & Levassor '''3 cyl. engine'''] designed by A. C. KREBS. <ref>'''1904'''-01-30- Scientific American: "''Les avantages du moteur à trois cylindres sont depuis longtemps mis en avant dans ce pays par M. '''Charles E. Duryea''', qui utilise ce type de moteur avec succès depuis sept ans ; tandis qu’en France,[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-01-30_90_5/page/80/mode/2up?q=panhard '''Panhard & Levassor''' a lancé l’année dernière une voiture à trois cylindres], et '''la déclaration en faveur du moteur à trois cylindres par cette firme renommée a largement contribué à attirer l’attention des automobilistes sur ses atouts'''''."</ref> File:1905 - Les Sports Modernes - le moteur Panhard & Levassor Centaure allégé.jpg|'''1905''' - The Panhard & Levassor '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure_all%C3%A9g%C3%A9 lightweight Centaure engine]''' designed by A. C. KREBS. File:1909 - Salon de l'Olympia - le moteur 6 cylindres de Panhard & Levassor.jpg|'''1909''' - le moteur 6 cylindres Panhard & Levassor, conçu par A. C. Krebs, au Salon de l'Olympia File:1910-07-15 - La Locomotion - Le moteur Sans-soupapes Panhard & Levassor.pdf|'''1910''' - [https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_avalve_Panhard_a_4_cilindri The Panhard & Levassor '''valveless engine'''] chain driven designed by A. C. KREBS from the Knight Brevet. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 36|'''1910''' - Panhard & Levassor valveless engine "'''''distribution plan'''''". File:1911 - FR440438A - A. C. KREBS valveless engine patent.pdf|'''1911''' - [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A]: The '''valveless engine Brevet of A. C. KREBS''' for Panhard & Levassor. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 53|'''1912''' - Panhard & Levassor valveless engine "'''''splash lubrication'''''". File:1912-07 - Omnia - 18 HP 6-cyl Panhard & Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f42.image.r=panhard 18 HP 6-cyl.] Panhard & Levassor. File:1912-07 - Omnia - 10 HP (X19) Panhard & Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805926n/f246.item.r=panhard 12 HP] the first A. C. KREBS "'''Motor block'''". File:Panhard & Levassor 6 Zyl. Motor um 1913 2.pdf|'''1913''' - [https://bibliotheques-specialisees.paris.fr/ark:/73873/pf0002119031/v0053 28-35 HP 6-cyl.] Panhard & Levassor. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || ''Improvements to transmissions with speed change '' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars'' |- | '''1898''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] || '''The VCP Brevet''' (voir supra) : ''A petroleum-powered light car system'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] || ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f389.image.r=panhard '''Electromagnetic intake valves''']: ''Electromagnetic regulator system acting on the intake valves for hydrocarbon engines'' (voir supra) |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003503578/publication/AT9519B?q=AT9519B '''AT'''9519B] || ''Electromagnetic control device for hydrocarbon engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638A '''US'''691638A] || ''ELECTROMAGNETIC REGULATOR FOR ADMISSION-VALVES OF HYDROCARBON-MOTORS'' |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''FR'''302402] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/168/100/512/10/458 '''Le moteur Centaure de A. C. KREBS'''] : ''New internal combustion engine consuming gas, petroleum gasoline or ordinary petroleum'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k17077f/f819.item.r=panhard '''The CENTAURE carburetor''']: ''voir supra'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516552/publication/AT15838B?q=AT15838B '''AT'''15838B] || ''Valve control for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149365/publication/GB190016627A?q=GB190016627A '''GB'''190016627A] || ''Improvements in Gas or Oil Motors'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003506585/publication/AT11006B?q=AT11006B '''AT'''11006B] || '''Suspension of the gearbox by three points''' : ''Suspension of the housing enclosing the change and reversing gear of motor vehicles'' (voir supra) |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] || '''Centaure engine lightened & Water-jackets''' : ''Improvements in Internal Combustion Engines'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001372844/publication/FR322489A?q=FR322489A '''FR'''322489A] || '''Stretch cams''' :''Improvement in the construction of internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513981/publication/AT14430B?q=AT14430B '''AT'''14430B] || ''Controllable valve control for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032621397/publication/GB190224250A?q=GB190224250A '''GB'''190224250A] || ''Improvement in the Construction of Explosion Motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002801728/publication/US733220A?q=US733220A '''US'''733220A] || ''VALVE-GEAR FOR EXPLOSIVE-ENGINES'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001376300/publication/FR326199A?q=pn%3DFR326199A '''FR'''326199A] || '''Engine cooling''' : ''A device for cooling internal combustion engines'' |- | '''1909''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001453744/publication/FR409630A?q=pn%3DFR409630A '''FR'''409630A] || '''Valve cooling''' : ''Improvement in internal combustion engines'' |- | '''1909''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001458114/publication/FR414413A?q=FR414413A '''FR'''414413A] || '''Krebs concentric valves''' : ''Device for suction and exhaust valves and their control for internal combustion engines operating on combustible gases or liquids'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004290136/publication/CH52317A?q=pn%3DCH52317A '''CH'''52317A] || ''Arrangement and control of the inflow and outflow valves on explosion or internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008686590/publication/AT51827B?q=AT51827B '''AT'''51827B] || ''Control for combined intake and exhaust valves of internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525746/publication/GB191014278A?q=GB191014278A '''GB'''191014278A] || ''Improvements in or relating to Valves and Valve-gear for Internal-combustion Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003087787/publication/US1019488A?q=US1019488A '''US'''1019488A] || ''VALVE FOR EXPLOSION-ENGINES'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A] || '''Krebs valveless engine''' : ''Internal combustion engine distribution'' |- | '''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001500505/publication/FR461176A?q=FR461176A '''FR'''461176A] || '''Helical gear transmission''' : ''Internal combustion engine transmission'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001517855/publication/FR480650A?q=FR480650A '''FR'''480650A] || ''Connection device between connecting rod and piston'' |- | '''1916''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001520866/publication/FR484035A?q=FR484035A '''FR'''484035A] || ''Valve train'' |- |} ==== Carburateurs ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]], [[w:Papillon (mécanique)|Papillon (mécanique)]], [[w:Boîtier papillon|Boîtier papillon]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]] <br>Voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 ''Krebs carburetor'']. '''1866-1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39790g/f376.item.r=carburateur# Dictionnaire Larousse du XIX° siècle] : "'''Carburateur, trice adj.''' Se dit des appareils destinés à carburer certains corps et particulièrement le gaz d'éclairage." '''1900''' - Automobile Magazine: '''Alcohol in Automobile Practice''' : "''In December, at the instance of the Society for the Industrial Utilization of Alcohol, M. '''Krebs''', of the '''Panhard et Levassor''' Company, experimented with a three horse-power Phoenix auto mobile, the only alteration being the widening of the opening to the carbureter. With the Dusart alcohol 4.2 horse-power was developed, and with ordinary 95 per cent. alcohol 3.6 horse- power; with benzine at full speed, 4.4 horse-power. According to Araschaquene it would be sufficient to abolish the tax on alcohol in order to cause it to replace benzine''". <ref>'''1900-05''' - Automobile Magazine: [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1900-05_2_2/page/178/mode/2up?q=krebs ''L'alcool dans la pratique automobile''].</ref> '''1916''' – Panhard & Levassor catalog: "''We have adopted on all our engines a carburetor based on '''an entirely new principle of automaticity''', which rigorously doses the mixture at all speeds and offers the advantage of no longer having any intake additional air, no moving parts. The rubber membrane of our old models is thereby eliminated. In our '''20 HP''' and '''35 HP''' engines, '''the carburetor is double''' and controlled by two accelerator pedals. The ordinary accelerator pedal ensures walking in town and at medium speeds, while the second pedal, actuated with the left foot, brings into play the second carburetor which is added to the first to provide very high speeds, and at this time to provide additional lubrication.''" {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1899''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-12-30_Brevet_KREBS_pour_Panhard_%26_Levassor_-_%22Carburateur_%C3%A0_niveau_constant%22.pdf '''FR'''295792] || ''A constant level carburettor for petrol engines'' |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] || '''The CENTAURE carburetor''' : ''A self-adjusting carburetor'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''GB'''190000471A] || ''An Improved in Air Carburators for Petroleum Motors'' |- | || || voir infra: '''Alcohol in Automobile Practice''' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032420366/publication/GB190016467A?q=GB190016467A '''GB'''190016467A] || ''A Regulating Charging Valve for Gas or Oil Motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003500824/publication/AT8337B?q=AT8337B '''AT'''8337B] || ''Adjustable input device for explosion power machines from the controller'' |- | '''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] || '''The Krebs automatic carburetor''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=panhard ''A self-adjusting carburetor''] (voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 Krebs carburetor].) |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C] || ''A carburator for internal combustion engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064172006/publication/ES30512A1?q=ES30512A1 '''ES'''30512A1] || ''A graduation and automatic action carburetor'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A] || ''Improvements in Oil Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A] || ''Fuel-governor for oil-engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''83889A] || ''Oil Machine'' |- | '''1903''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382733/publication/FR333127A?q=FR333127A '''FR'''333127A] || '''Improvements to the Krebs carburetor''' : ''Improvements to carburettors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000424916/publication/DE158769C?q=DE158769C '''DE'''158769C] || ''Device for automatic regulation of secondary air in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516141/publication/AT15655B?q=AT15655B '''AT'''15655B] || ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516518/publication/AT15822B?q=AT15822B '''AT'''15822B] || ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A '''US'''785558A] || ''Oil-engine'' |- | '''1908''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001446345/publication/FR401546A?q=FR401546A '''FR'''401546A] || '''The Krebs metering pin carburetor''' : ''Improvements to carburettors for motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064221871/publication/ES45533A1?q=ES45533A1 '''ES'''45533A1] || ''Engine Carburetor Improvements'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''GB'''190912043A] || ''Improvements in Carburettors for Explosion Motors'' |- | '''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A] || '''Le carburateur hydrostatique''' sans pièces mobiles : ''Perfectionnement apporté aux carburateurs pour moteurs à explosions'' |- | '''1913''' || || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_Artillerie_St-Chamond_R%C3%A8glement_de_manoeuvre%3Dle_carburateur_double-corps.pdf '''The double barrel Krebs carburetor'''] (voir infra : 1916–Panhard & Levassor catalog) |- | '''1916''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008906792/publication/FR502997A?q=num%20%3D%20%22FR502997A%22%20AND%20ia%20%3D%20%22PANHARD%22 '''FR'''502997A] || '''The Krebs carburetor for airships and aiplanes''' : ''Automatic carburetion corrector for internal combustion engine operating at different altitudes.'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001522872/publication/FR486245A?q=FR486245A '''FR'''486245A ] || ''Improvement brought to the constant level of the carburettors'' |- | '''1917''' || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001529312/publication/FR493577A?q=pn%3DFR493577A '''FR'''493577A] || '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/008921858/publication/FR528180A?q=pn%3DFR528180A '''FR'''528180A] || '''Perfectionnement au carburateur hydrostatique''' : ''Carburateur pour moteur à explosions.'' |- |} ==== Allumage ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Ignition|Ignition]], [[commons:Category:Ignition systems|Ignition systems]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Allumage (moteur)|Allumage (moteur)]] <br>'''1903''' - "''[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/216/mode/2up?q=panhard Panhard & Levassor firm has a new method of distributing] or directing the current successively to the induction coils of a multicylinder motor''." {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' || || '''L'allumage électrique Krebs''' : ''[https://www.babordnum.fr/items/show/14115 Allumage électrique mixte pour moteurs à explosion (p. 432)]'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426473/publication/GB190200452A?q=GB190200452A '''GB'''190200452A] || ''An Improvement in Electrical Ignition Apparatus for Internal Combustion Engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003514525/publication/AT14673B?q=AT14673B '''AT'''14673B] || ''Switching device for the primary current in electric ignition devices for explosive engines'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002776582/publication/US708053A?q=US708053A '''US'''708053A] || ''Apparatus for distributing the primary current for electric ignition by coils and igniters in explosive-engines'' |- | '''1904''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/043348598/publication/FR343448A?q=FR343448A '''FR'''343448A] || '''The Krebs magneto ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348105/publication/FR4936E?q=FR4936E '''FR'''4936E] || Addition: ''Mixed electrical ignition for explosion motors'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032626177/publication/GB190412741A?q=GB190412741A '''GB'''190412741A] || ''Improvements in Electric Ignition Apparatus for Internal Combustion Motors'' |- |} ==== Embrayages ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Clutches|Embrayages]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Embrayage|Embrayage]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57007322/f446.image.r=panhard '''The Krebs friction clutch''']: ''Improvements in clutches'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] || '' Improvements in Friction Couplings'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002762089/publication/US693551A?q=US693551A '''US'''693551A] || ''Cone clutch'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003497343/publication/AT6940B?q=AT6940B '''AT'''6940B] || ''Friction clutch, especially for motor vehicles'' |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] || ''An Improvement in Cone Clutches'' |- |'''1902''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426525/publication/GB190200574A?q=GB190200574A '''GB'''190200574A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9782584r/f469.image.r=krebs ''Improvements in Cone Clutches''] |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002803400/publication/US734893A?q=pn%3DUS734893A '''US'''734893A] || ''CONE-CLUTCH'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513026/publication/AT13993B?q=AT13993B '''AT'''734893A] || ''cone friction clutch'' |- |'''1904''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389315/publication/FR340185A?q=FR340185A '''FR'''340185A] || '''Multidisk clutch''' : ''Friction washer clutch'' |- |'''1906''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] || '''The Krebs ''Panhard type'' gearbox''' : ''Improvements to claw clutches'' |- |'''1907''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] || '''Multidisk coupling''' : ''Clutch connecting two shafts, one of which rotates at a variable speed and the other at a constant speed'' |- |'''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485567/publication/FR444601A?q=FR444601A '''FR'''444601A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f57.image.r=panhard '''Multidisk clutches''']: ''Improvements to disc clutches'' |- |'''1912''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001490629/publication/FR450180A?q=FR450180A '''FR'''450180A] || ''Improvement brought to the construction of the clutches'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526219/publication/GB191226137A?q=GB191226137A '''GB'''191226137A] || ''Improvements in or relating to Clutches'' |- |} ==== Boîtes de vitesses et transmission ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Transmission|Transmission]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Transmission (mécanique)|Transmission (mécanique)]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]] <br>The '''Panhard Type''' of Gearbox is enhanced by A. C. KREBS. <gallery> File:1901-07 - Automobile-Magazine - boite de vitesse Panhard & Levassor 'The Panhard system'.jpg| '''1901-07''' - Automobile Magazine: "''Transmission gears of some European cars - [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1901-07_3_7/page/612/mode/2up?q=panhard the Panhard system]''". File:1904-1905 - La boîte de vitesses "à verrou" de A. C. KREBS sur Panhard & Levassor.pdf|'''1901''' - A. C. KREBS adapte sa boîte de vitesse de la VCP sur la boîte de vitesse "à verrou" de P&L. File:1904-1905 - L'embrayage électromagnétique Krebs sur boîte de vitesse Panhard & Levassor.jpg|'''1901''' - A. C. KREBS adapte l'embrayage électromagnétique de son brevet FR256344 sur la boîte de vitesses P&L. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 61|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''single-plate clutch and gearbox'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 67|'''1913''' - The 35HP Panhard & Levassor "'''''double disc clutch'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 81|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''differential with bevel satellites and conical couple'''''". File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 83|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''differential with straight satellites and conical couple'''''". File:1917 The original Panhard transmission.png|'''1917''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Study_and_test_to_confirm_automobile_drivetrain_components_to_improve_fuel_economy_-_interim_report_(IA_studytesttoconfi00hurt).pdf&page=12 The Original '''Panhard transmission''']: "''It came into nearly '''universal use''' in the United States by the '''1920's for cars, trucks and buses'''.''" </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1897''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/0148/100/512/10/458 '''La boîte de vitesses mécanique Krebs "à verrou" à engrenages toujours en prise''']: ''Improvements to transmissions with speed change'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791A '''GB'''189730791A] || ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] || ''Un nuevo sistema de transmisión, particularmente aplicable a los coches automáticos'' |- | '''1898''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960] || '''VCP''' : ''Improvements in Light Motor Road Vehicles'' |- | '''1899''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-11-11_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR294232_-_%27Syst%C3%A8me_combin%C3%A9_de_changement_de_marche_et_changement_de_vitesse_pour_voiture_automobile%27.pdf '''FR'''294232] || ''Combined shifting and gear shifting system for motor car'' <ref>'''1900''' - Revue de mécanique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5700759q/f661.item.r=PANHARD La transmission Panhard & Levassor].</ref> |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032537942/publication/GB189923564A?q=GB189923564A '''GB'''189923564A] || ''Improvements in Driving Gear for Motor Cars''<ref>'''1902''' - The automobile: "[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/386/mode/2up?q=panhard ''The Panhard type'']". '''1904''' - Self-propelled vehicles: "[https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/354/mode/2up?q=panhard ''Détails du changement de vitesse Panhard-Levassor'']".</ref> |- | '''1900''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] || ''An Improvement in Cone Clutches'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423811/publication/GB190114824A?q=GB190114824A '''GB'''190114824A] || ''Improvements in connection with the Mechanism for Change of Speed and Direction of Motion of Motor Cars'' |- | '''1901''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950A '''US'''700950A ] || '''Change speed box''' : ''MOTOR-VEHICLE'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR351743A '''FR'''351743A] || ''Automatic locking system'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003534007/publication/AT24197B?q=AT24197B '''AT'''24197B] || ''Coupling device'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032188031/publication/GB190515737A?q=GB190515737A '''GB'''190515737A] || ''Improvements in Interlocking Mechanism for Change Speed Gears and the like'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002890537/publication/US822057A?q=US822057A '''US'''822057A] || ''SYSTEM OF LOCKING'' |- | || [[w:Engrenage|'''''Harmonic gears''''']] || "''In certain cars, particularly '''Panhards''', [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:California_Digital_Library_(IA_completemotorist00youn).pdf&page=334 '''''the musical note caused by the gear wheels'''''] is itself a very fair guide to the changing of speed''." |- |'''1906''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] || [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f300.image.r=panhard '''The Krebs Panhard type gearbox''']: ''Improvements to claw clutches'' |- | '''1910''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001472555/publication/FR430298A?q=pn%3DFR430298A '''FR'''430298A] || ''Automobile tipping dumper with front-wheel drive and steering'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525843/publication/GB191113942A?q=pn%3DGB191113942A '''GB'''191113942A] || ''Improvements in and relating to Tip Wagons and the like'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480297/publication/FR438815A?q=FR438815A '''FR'''438815A] || ''Device for shifting and declutching using a single lever'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008695767/publication/AT62323B?q=AT62323B '''AT'''62323B] || ''Speed change gear'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032339729/publication/GB191200983A?q=GB191200983A '''GB'''191200983A] || ''Improvements in and relating to Variable Speed Transmission Mechanism'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003180995/publication/US1112810A?q=US1112810A '''US'''1112810A] || ''Clutch and Gear Shifter'' |- | '''1911''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480878/publication/FR439445A?q=FR439445A '''FR'''439445A] || ''Direct drive device applicable to fluid gear shifting devices'' |- | '''1913''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001511415/publication/FR473344A?q=FR473344A '''FR'''473344A] || ''Improvement in motion transmissions in motor cars'' |- | '''1914''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513323/publication/FR475432A?q=FR475432A '''FR'''475432A ] || ''Transmission system for driving and steering vehicle wheels'' |- | '''1915''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519384/publication/FR482374A?q=FR482374A '''FR'''482374A ] || ''Cardan joint lubrication device by oil circulation'' |- | || || ''The globoïd worm gear rear axle differential'' |- |} ==== Freins ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Brakes|Brakes]], [[commons:Category:Automobile drum brakes|Automobile drum brakes]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Frein à tambour|Frein à tambour]], [[w:Frein moteur|Frein moteur]] <gallery> File:1900 Lavergne- Gérard Manuel théorique et pratique de l'automobile sur route='the double-acting krebs brake'p433.png|''The '''1898''' [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&page=381 '''Krebs double-acting brake on the differential axle.'''] File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 91|'''1913''' - The Panhard & Levassor "'''''double brake on rear wheels'''''". </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1898''' ||[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf&page=1 '''FR'''284596] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/157/100/512/10/458 '''Le frein à double effet sur l'arbre du différentiel'''] : "''A two-pronged clamp fixed to the frame, which clamps a pulley mounted on the differential shaft''" |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960A '''GB'''189902960A] || ''A two armed clamp fixed to the frame which grips the periphery of a disc mounted on the shaft of the differential coupling'' |- | '''1900''' || || [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/172/mode/2up?q=panhard "'''The water-cooled Krebs brake'''"] |- | '''1901''' ||[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-14_Brevet_A.C.KREBS_FR307114%3Dsuspension_par_3_points_%2B_frein_sur_le_diff%C3%A9rentiel.pdf '''FR'''30714] || '''Three point suspension gearbox''' : "Improvements in shifting and running mechanisms'' (voir supra) |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950 '''US'''700950A] || ''MOTOR-VEHICLE'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369586/publication/FR318975A?q=FR318975 '''FR'''318975] || '''Cam brake''' : ''Brake for automobile or other car wheels'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032116936/publication/GB190304167A?q=GB190304167A '''GB'''190304167A] || ''Improvements in Brakes for Vehicles'' |- | '''1904''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389316/publication/FR340186A?q=FR340186 '''FR'''340186] || '''Expansion brake''' : ''Brake on rear wheels'' |- | || || [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/148/mode/2up?q=panhard Slack adjuster brake.] |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422561/publication/FR376040A?q=FR376040 '''FR'''376040] || '''Krebs motor brake''' : ''Device for obtaining the braking of a motor vehicle by the engine'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003548691/publication/AT33177B?q=AT33177B '''AT'''33177B] || ''Method and device for braking motor vehicles by means of the prime mover'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] || ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117222/publication/GB190802328A?q=GB190802328A '''GB'''190802328A] || ''Improvements in and relating to Braking Means for Automobile Vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003002970/publication/US934547A?q=US934547A '''US'''934547A] || ''Braking means for automobile vehicles'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001430057/publication/FR384090A?q=FR384090 '''FR'''384090A] || ''Brake lever'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003553988/publication/AT36868B?q=AT36868B '''AT'''36868B] || ''Device for the simultaneous activation of two brakes for all types of vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525450/publication/GB190818853A?q=GB190818853 '''GB'''190818853] || ''Improvements in or relating to Braking Mechanism'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] || ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine'' |- | '''1911''' || || [https://archive.org/details/TheAutomotorJournal2ndHalf1904/page/n643/mode/2up "''Rear-brake drums with a second pair of shoes in their interior.''"] |- |} ==== Graissage ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:lubrication|lubrication]], [[commons:Category:Internal combustion piston engine lubrication systems|Internal combustion piston engine lubrication systems]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Lubrification|Lubrification]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369628/publication/FR319026A?q=FR319026A '''FR'''319026A] || [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8DE187.2/159/100/512/10/458 ''Système de graissage des moteurs par une pompe actionnée au moyen des gaz de l'échappement''] |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606192/publication/GB190304379A?q=GB190304379A '''GB'''190304379A] || ''Improved Method of Lubricating Motors and Apparatus therefor'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002821059/publication/US752566A?q=US752566A '''US'''752566A] || ''Device for Lubricating Motors and Machinery Driven Thereby'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377157/publication/FR327150A?q=FR327150A '''FR'''327150A] || ''Lubrication system for engines and components'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422632/publication/FR376118A?q=FR376118A '''FR'''376118A] || ''Lubricator with adjustable flow for internal combustion engine proportioning the oil flow to the developed power'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003549848/publication/AT33929B?q=AT33929B '''AT'''33929B] || ''Device for controlling the supply of lubricant for internal combustion engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117223/publication/GB190802334A?q=GB190802334A '''GB'''190802334A] || ''Improvements in and relating to the Lubrication of Internal Combustion Engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002995978/publication/US927552A?q=US927552A '''US'''927552A] || ''Engine-Lubricating Device'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=CH42771A '''CH'''42771A] || ''Lubricator for internal combustion engine'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429283/publication/FR383261A?q=FR383261A '''FR'''383261A] || ''Engine lubricating oil cooling system'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525449/publication/GB190818852A?q=GB190818852 '''GB'''190818852A] || ''Improvements in or relating to the Lubrication of Moving Parts of Engines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004277622/publication/CH45206A?q=CH45206A '''CH'''45206A] || ''Device for cooling the lubricating oil contained in the crankcase of an engine'' |- | '''1912''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001494995/publication/FR455065A?q=FR455065A '''FR'''455065A] || ''Improvements to engine lubrication'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526351/publication/GB191305951A?q=GB191305951A '''GB'''191305951A] || ''Improvements in or relating to the Lubrication of Engines'' |- | '''1915''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519141/publication/FR482110A?q=FR482110A '''FR'''482110A] || ''Automatic lubricating device by oil circulation of wheel hubs'' |- | '''1915''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519143/publication/FR482112A?q=FR482112A '''FR'''482112A] || ''Device for lubricating the bearings of a heat engine, by oil circulation at an equal flow rate for all the bearings and at variable pressure'' |- |} ==== Direction et Suspension ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive suspension technologies|Automotive suspension technologies]], [[commons:Category:Shock absorbers|Shock absorbers]], [[commons:Category:Vehicle dynamics|Vehicle dynamics]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Suspension de véhicule|Suspension de véhicule]], [[w:Dynamique du véhicule|Dynamique du véhicule]] <br> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001370512/publication/FR319975A?q=FR319975A '''FR'''319975A] || '''Transversal spring suspension''' : ''Axle system and fore-carriage spring for motor vehicles'' |- | '''1902''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377508/publication/FR327527A?q=FR327527A4 '''FR'''327527A] || '''Steering wheel controls''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/288/mode/2up?q=panhard ''A maneuvering device for the control of the motor car engines''] |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=pn%3DUS757815A '''US'''757815A] || ''APPARATUS FOR CONTROLLING THE SPEED OF MOTOR-CAR ENGINES'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525118/publication/GB190309077A?q=GB190309077A '''GB'''190309077A] || ''Improvements in Apparatus for Controlling the Speed of Motor Car Engines'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404739/publication/FR356801A?q=FR356801A '''FR'''356801A] || '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804444j/f52.item Multidisk friction shock absorber]''' : ''Suspension brake for vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348928/publication/FR5900E?q=FR5900E '''FR'''5900E] || Addition: ''Suspension brake for vehicles'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032198455/publication/GB190516354A?q=GB190516354A '''GB'''190516354A] || ''Improvements in the Method of Checking the Vibrations Imparted to Vehicles Suspended by Springs and in Apparatus therefor'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002928275/publication/US859822A?q=pn%3DUS859822A '''US'''859822A] || ''SHOCK-ABSORBER'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002941272/publication/US872825A?q=US872825A '''US'''872825A] || ''APPARATUS FOR CHECKING OR DEADENING THE VIBRATIONS IMPARTED TO SUSPENDED VEHICLES'' |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481137/publication/FR439730A?q=FR439730A '''FR'''439730A] || ''Screw and nut steering for motor vehicles'' |- | '''1914''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513700/publication/FR475854A?q=FR475854A '''FR'''475854A] || ''Suspension system for four-wheel motor cars'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513396/publication/FR475517A?q=FR475517A '''FR'''475517A] || ''Improvement in the construction of automobile steering axles'' |- | '''1915''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519144/publication/FR482114A?q=FR482114A '''FR'''482114A] || '''Disk hub''' : ''Driving device for driving wheels of motor vehicles'' |- |} ==== '''Accouplements flexibles''' ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Accouplement (mécanique)|Accouplements]], [[commons:Category:Rotating shaft couplers|Accouplements d'arbres]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement (mécanique)|Accouplement (mécanique)]], [[w:Joint de transmission|Joint de transmission]] ===== Premières recherches ===== {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1900''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-04-09_Brevet_KREBS-P%26L_FR299088_-_%27Palier_%C3%A0_rotule%27.pdf '''FR'''299088] || ''Palier à rotule'' |- | '''1905''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001399995/publication/FR351702A?q=pn%3DFR351702A '''FR'''351702A] || ''Palier de butée à billes et à rotule'' |- | || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003533722/publication/AT24046B?q=AT24046B '''AT'''24046B] || ''Thrust bearing'' |- |'''1907''' || [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] || ''Embrayage reliant deux arbres dont l'un tourne à une vitesse variable et l'autre à une vitesse constante'' |- |} ===== Le joint monodisque ===== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Disc couplings|Accouplements à disque]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement_(mécanique)#Accouplement_à_disque|Accouplement_à_disque]] <br>'''1909''' - '''The single disc coupling''' : "''The device in question is substantially as follows: The ends of the shafts to be joined, facing each other, are provided with circular or cylindrical extended portions to which is secured alternately a membrane of suitable shape, '''of strong and flexible material such as leather, flexible fiber, suitably woven and prepared canvas''' or any other similar material. The dimensions of the said widened portions and the number of the points at which the material used for effecting the connection indicated is secured to them are in proportion to the strain to be transmitted.''" <gallery> File:1910-11-22 US976187A=device for coupling two transmission shafts=first FLECTOR invented by A.C. KREBS.png | [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=US976187A '''1909''' - first FLECTOR Brevet '''US'''976187A "'''''Device for coupling two transmission-shafts'''''".] File:1933-10-01 La Dépêche de Brest=PEUGEOT 'le joint FLECTOR de direction'.jpg | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348891q/f8 '''1933''' PEUGEOT advertising: "'''''the steering FLECTOR joint'''''" invented by A. C. KREBS (Brevet 1910-11-22 US976187A).] File:1937-1938 Cours d'automobile=disc coupling+FLECTOR.jpg |'''1937''' - Automobile course'' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9758588f/f124.item.r=%22Cours%20d'automobile%22 "'''Deformation joints are the Flectors''']. They consist of a stack of discs made of thin sheet steel, rubberized canvas or leather, on which are bolted forks with two or three branches carried by the shafts.''" File:Single Disk Coupling (with metal disc), invented by A.C. KREBS (patent 1910-11-22 US976187A).webm|Video: '''The single Disk Coupling''' (with metal disc) invented by A.C. KREBS '''is universally used today'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1909''' || [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-01-04_Brevet_KREBS-P%26L_FR407594_-_%27Dispositif_de_connexion_de_deux_arbres_de_transmission%27.pdf '''FR'''407594] || '''Disc coupling''' : ''Device for connecting two transmission shafts'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032407241/publication/GB190926602A?q=GB190926602 '''GB'''190926602] || ''Improvements in or relating to Shaft Couplings'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=pd%20%3D%20%221910-11-22%22%20AND%20ctxt%20%3D%20%22KREBS%22 '''US'''976187A] || ''Device for coupling two transmission-shafts'' |- |} ===== Le joint élastique '''FLECTOR''' ===== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Rag joints|Rag joints]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Joint_de_transmission#Joints_à_axes_concourants|Joints à axes concourants]] <br>'''1911''' - '''Le joint FLECTOR''' : "''Dans nos modèles 10, 12 et 16 HP Tourisme, ce joint universel est constitué par l'organe élastique que nous nommons "Flector" et qui, formé de toile et de caoutchouc, permet le déplacement relatif des arbres '''sans frottement, sans usure et sans bruit'''. Son adoption donne à la voiture qui en est munie une grande douceur d'entraînement, et il ne réclame aucun entretien''." <ref>'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor'''].</ref> <gallery> File:1911-09-04 Flector joint invented by A. C. KREBS (patents FR445.494, GB17.174, US1.107.315).jpg|'''1911''' - '''FLECTOR Brevet''' [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''. |'''1911''' - '''FLECTOR Brevet''' [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''. File:1913-02-25 La Revue Commerciale=le joint FLECTOR inventé par A. C. KREBS.pdf | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805914f/f6.item '''1913''' - The '''FLECTOR joint''' on the 10hp Panhard & Levassor]: "'''''no friction, no wear, no noise, no lubrication'''''" File:Tyre-coupling.jpg |'''The flexible FLECTOR joint''' invented by A. C. KREBS (Brevet [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A]) '''is universally used today under the name of ''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FLECTOR_-_Tyre-Couplings.ogg '''Tire coupling (Video)''']. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001486381/publication/FR445494A?q=FR445494A '''FR'''445494A] || '''Tire coupling''' : ''Flexible joint for connecting two drive shafts'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606753/publication/GB191217174A?q=GB191217174 '''GB'''191217174A] || ''Improvements in or relating to Shaft Couplings'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] || ''Flexible joint for coupling two transmission-shafts'' |- |} ==== Camions et moteurs industriels ==== <gallery> File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - camion Panhard & Levassor.jpg|'''1903''' - Industrial '''uses of alcohol''' : '''Panhard & Levassor truck'''. File:1904 - Panhard & Levassor - moteur fixe 3cyl.jpg|'''1904''' - Panhard & Levassor: '''3cyl stationary engine designed by A. C. KREBS'''. File:1906 - Panhard & Levassor - Groupe moto-pompe industriel.jpg|'''1906''' - Panhard & Levassor - '''Industrial motor-pump unit'''. File:1907-01-05 Omnia - camion Panhard & Levassor au concours de véhicules industriels.jpg|'''1907''' - '''Panhard & Levassor truck''' at the industrial vehicle competition. File:1908 - Panhard & Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard & Levassor '''trucks catalog''']. File:1910 - Groupe moteur Panhard & Levassor - "Force motrice et lumière".jpg|'''1910''' - Groupe moteur Panhard & Levassor: "'''''Force motrice et lumière'''''". <ref>'''1910''' - '''Groupe moteur''' Panhard & Levassor : "'''''Force motrice et lumière'''''". "''Ville - Campagne - Atelier : MAXIMUM Rendement, Simplicité, Solidité - MINIMUM Consommation, Usure, Encombrement - FONCTIONNE SANS SURVEILLANCE au gaz de ville, à l'alcool, benzol, à l'essence de pétrole, gaz pauvre''".</ref> File:1910-07-10 - La Revue Commerciale - Le groupe électrogène et le moteur industriel Panhard & Levassor.jpg|'''1910''' - The Panhard & Levassor [https://archive.org/details/Theautomobile22/theautomobile16/page/n583/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''generator'''] and the '''industrial engine'''. File:Chatillon-Panhard heavy artillery tractor prototype 1911.jpg|'''1911''' - '''Prototype of the Châtillon-Panhard heavy artillery tractor''', all wheel drive and all wheel steering. File:1913 - Panhard & Levassor - voiture de Livraison.jpg|'''1913''' - Panhard & Levassor: '''Delivery van'''. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 88|'''1913''' - The 16HP van chassis Panhard & Levassor: "'''''engine block and swing axle'''''". File:1914-1918 - Panhard & Levassor - camion K16.jpg|'''1914-1918''' - Panhard & Levassor: '''K15 truck'''. File:1919 - Panhard Motors Co - the Panhard-truck.pdf|'''1918''' - Motor-age: The [https://archive.org/details/sim_motor-age_1918-11-28_34_22/page/34/mode/2up?q=%22panhard+truck%22 '''Panhard Truck Built for Durability'''] : usurpateurs américains du nom de Panhard. <ref>'''1919''' - '''Apex''' ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton_(automobile_company) Hamilton Motors Company]) - [https://archive.org/details/saturdayeveningp1922unse/page/384/mode/2up?q=%22Panhard+Motors+Co%22 The twin-frame truck]: ''"At the request of the Panhard-Levassor Co., of Paris, France, we have relinquished the name "Panhard", and since September 1, '''1919''', our truck has been known as the "Apex". Hamilton Motors Co., formerly '''Panhard Motors Co.'''"''</ref> </gallery> ==== Machines à bois ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Scierie|Scierie]], [[commons:Category:Sciage|Sciage]], [[commons:Category:Scie pour le bois et l'ameublement|Scie pour le bois et l'ameublement]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Scierie|Scierie]], [[w:Sciage|Sciage]], [[w:Débit (bois)|Débit (bois)]], [[w:Usine_municipale_Pavage_de_bois|Usine municipale Pavage de bois]] <gallery> File:1889 - Panhard & Levassor Large band saw for metal cutting.pdf|'''1889''' - Panhard & Levassor: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Reports_of_the_United_States_Commissioners_to_the_Universal_Exposition_of_1889_at_Paris_(IA_cu31924107177085).pdf&page=364 "'''Large band saw for metal cutting'''"] at the Paris universal exposition. File:1905 - Panhard & Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (cartes postales) - machines à bois.pdf|page=7|'''1905''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1905_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_anniversaire-50-ans_usine_(cartes_postales)_-_machines_%C3%A0_bois.pdf&page=1 '''Wood working machine tools''' and '''Band Saws''']. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf&page=1 '''Catalog of woodworking machine-tools for car wheels''']. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines-à-bois - scies à ruban.pdf|'''1906''' - '''Panhard & Levassor''' managed by A. C KREBS: Catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines-%C3%A0-bois_-_scies_%C3%A0_ruban.pdf '''woodworking machine-tools - band saws''']. File:1915 - Publicité en Amérique pour les scies à ruban Périn fabriquées à Paris par les usines Panhard & Levassor dirigées par A. C. KREBS.pdf|'''1915''' - Advertisement in America for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915_-_Publicit%C3%A9_en_Am%C3%A9rique_pour_les_scies_%C3%A0_ruban_P%C3%A9rin_fabriqu%C3%A9es_%C3%A0_Paris_par_les_usines_Panhard_%26_Levassor_dirig%C3%A9es_par_A._C._KREBS.pdf '''Périn band-saws'''] manufactured in Paris by the '''Panhard & Levassor works''' managed by A. C. KREBS. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1899''' ||[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f243.image.r=panhard '''FR'''288849A] || ''Sharpener'' |- | '''1905''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR359604A '''FR'''359604A] || ''Automatic circuit breaker'' |- | '''1906''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR362842A '''FR'''362842A] || ''Locking system for tool trolleys and others'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR365473A '''FR'''365473A] || ''Automatic tool release system in trolley machines'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003539644/publication/AT27469B?q=AT27469B '''AT'''27469B] || ''Device for automatically removing the tool from the workpiece in machine tools with a reciprocating carriage'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/027826630/publication/DK10576C?q=DK10576C '''DK'''10576C] || ''Self-propelled device for putting the tool out of business in machine tools with reciprocating carriage'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DCH40671A '''CH'''40671A] || ''Machine tool carriage with device for automatically disengaging tool and work piece'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DGB190707906A '''GB'''190707906A] || ''Improvements in or relating to Machine Tools with Sliding Tables or Carriages'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002961283/publication/US892854A?q=US892854A '''US'''892854A] || ''SLIDING TABLE OR CARRIAGE FOR METAL-CUTTING MACHINES'' |- | '''1908''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001449977/publication/FR405501A?q=pn%3DFR405501A '''FR'''405501A] || ''Protective finger for sawing machines for wood or any other material'' |- | '''1911''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485566/publication/FR444600A?q=pn%3DFR444600A '''FR'''444600A] || ''Gear Profile Checking Machine'' |- | '''1912''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032242055/publication/FR451001A?q=pn%3DFR451001A '''FR'''451001A] || ''Log sawing machine, automatic'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191214154A?q=GB191214154A '''GB'''191214154A] || ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber'' |- | '''1913''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032299533/publication/FR19438E?q=FR19438E '''FR'''19438E] || Addition: ''Log sawing machine, automatic'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191324475A?q=GB191324475A '''GB'''191324475A] || ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001512578/publication/FR474617A?q=pn%3DFR474617A '''FR'''474617A] || ''Apparatus for grinding the teeth of band saw blades'' |- |} ==== Autres brevets ==== {| class="wikitable" |- ! Date !! Brevet !! Intitulé |- | '''1903''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001379309/publication/FR329471A?q=FR329471A '''FR'''329471A] || ''Silent exhaust tank'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002815022/publication/US746527A?q=US746527A '''US'''746527A] || ''EXHAUST-BOX OR SILENCER FOR EXPLOSION-ENGINES'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032541423/publication/GB190306365A?q=GB190306365A '''GB'''190306365A] || ''Improvements in Exhaust Boxes or Silencers for Explosion Engines'' |- | '''1907''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001423213/publication/FR376739A?q=pn%3DFR376739A '''FR'''376739A] || ''Detachable tire rim'' |- | ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032633977/publication/GB190715724A?q=GB190715724A '''GB'''190715724A] || ''An Improved Fitting or Attachment for the Wheels of Motor Cars and similar Vehicles'' |- | '''1913''' ||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001498438/publication/FR458896A?q=FR458896A '''FR'''458896A] || ''Removable wheel fixing device'' |- |} === '''Aviation''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Aéronautique|Aéronautique]], [[commons:Category:Activité aérienne|Activité aérienne]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Aéronautique|Aéronautique]], [[w:Aviation|Aviation]] <br>'''1910''' - [https://archive.org/details/aircraft219111912newy/page/200/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Aircraft''']: "''On June 14th. among the visitors to the Farman School at Buc, was '''Commandant Krebs''', the director of the Panhard-Levassor firm. He was taken for a lenthy trip by Mr. '''Maurice Farman''', who afterwards carried M. Defly, an engineer of the Panhard firm.''" ==== Le moteur du monoplan Tellier ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Alphonse Tellier|Alphonse Tellier]], [[commons:Category:Tellier 1910 monoplane|Tellier 1910 monoplane]], [[commons:Category:Tellier aircraft|Tellier aircraft]], [[commons:Category:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]] :[[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Alphonse Tellier (constructeur aéronautique)]] <gallery> File:1909 - Le moteur d'aviation Panhard & Levassor à soupapes concentriques de A. C. KREBS.pdf|'''1909''' - The Panhard & Levassor '''aviation engine with concentric valves''' designed by A. C. KREBS. File:1910-04-23 - Dubonnet survole Paris sur avion Tellier à moteur Panhard & Levassor.png|'''1910''' - '''Dubonnet flies over Paris''' on a Tellier plane with a Panhard & Levassor engine designed by A. C. KREBS. File:1910-04-26 - Théodore-Roosevelt regardant voler Dubonnet à Issy.jpg|'''1910''' - '''Theodore Roosevelt watching Dubonnet fly''' to Issy on '''Tellier plane''' with '''Panhard & Levassor''' engine. File:1910-04-23 - A. C. Krebs et Emile Dubonnet à Bagatelle après la traversée de Paris sur avion Tellier.png|'''1910''' - '''A. C. KREBS''' (left) and '''Emile DUBONNET''' (1882-1950) '''after crossing Paris on a Tellier plane''' with the Panhard & Levassor engine designed by KREBS. File:1910-05-25 - Avion Tellier modifié - le moteur Panhard & Levassor de A. C. KREBS.png|'''1910''' - '''Modified Tellier aircraft''' : the Panhard & Levassor engine with concentric valves designed by A. C. KREBS. File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard & Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - '''''Dubonnet wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a Tellier monoplane powered by Panhard & Levassor''''', whose engine is designed by A. C. KREBS (by GAMY). File:1911 - Monoplanes and biplanes - The Tellier monoplane.pdf|'''1911''' - '''Monoplanes and biplanes''' : The '''Tellier monoplane''' powered with the Panhard & Levassor concentric valves engine designed by A. C. KREBS. </gallery> ==== Moteurs d'avions ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:'''''Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs]] <br>'''1902''' - '''Wilbur Wright''' to '''Octave Chanute''' : "''I also enclose a letter from France which I take to be from '''Capt. Krebs''', though my acquaintance with foreign customs of signing names leaves me in some doubt as to who it is from. Can you enlighten me?''" <ref> [https://www.loc.gov/item/wright002807/ '''1902'''-04-12 - W. Wright to O. Chanute letter]</ref> '''O. Chanute''' to '''W. Wright''' : "''I return the French letter, which is from '''Commandant Krebs''', formerly associated with [[w:Charles_Renard|Colonel Renard]].''" <ref>[https://archive.org/details/correspondenceo00chan '''1902'''-05-05 - O Chanute to W. Wright letter]</ref> <gallery> File:1909-08-13 - Biplan Obre à moteur Panhard & Levassor 60cv.png|'''1909''' - Obre biplane with '''Panhard & Levassor 60hp engine''' designed by A. C. KREBS. File:1909 - Moteur Panhard & Levassor 100cv pour l'avion Voisin-Bolotoff.png|'''1909''' - Panhard & Levassor 100hp engine designed by A. C. KREBS for the '''Voisin-Bolotoff aircraft'''. File:1909 - Moteur Panhard & Levassor 120cv sur le Biplan-Henry FARMAN.png|'''1909''' - Panhard & Levassor 120hp engine designed by A. C. KREBS on the '''Henry FARMAN biplane'''. File:1909-09-25 - 1ère Exposition de Locomotion Aérienne - le stand Panhard & Levassor.png|'''1909''' - '''1st Air Locomotion Exhibition''' : the '''concentric valve engine''' designed by A. C. KREBS on the Panhard & Levassor stand. File:1910-11-01 - La Revue de l'Aviation à Paris.jpg|'''1910-11-01''' - The '''Revue de l'Aviation in Paris''' - Exhibition of aircraft manufacturers. File:1910 - Panhard & Levassor - moteur-120HP du dirigeable Morning Post.jpg|'''1910''' - L'un des 2 moteurs Panhard & Levassor de '''120HP''' pour le dirigeable '''Morning-Post'''. File:1912 - Moteur d'aviation Panhard & Levassor V8 100HP.jpg|'''1912''' - Panhard & Levassor '''V8 100HP aviation engine''' designed by A. C. KREBS. File:1917 - Panhard & Levassor - Moteur V12J du Glisseur Tellier.jpg|'''1915''' - Panhard & Levassor [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98100943/f220.image.r=panhard '''V12J aviation engine'''] of the '''Glisseur Tellier''' designed by A. C. KREBS. </gallery> ==== Hélicoptères avec [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/300955 Gustave PLAISANT] ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Helicopters|'''''Helicopters''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Hélicoptère|Hélicoptère]] <br>'''1912''' - Gustave PLAISANT: "''During fixed-point tensile tests that I recently carried out on a cycloidal thruster '''at the Laboratoire des Etablissements Panhard et Levassor''' with the gracious authorization of '''Commander Krebs''', I was led to study different combinations of propellers [...]''" <ref> '''1912-01-01''' - L'Aérophile: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6552332d/f276.image.r=krebs ''Vers l'hélicoptère''].</ref> <gallery> File:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 155, 1912.djvu|page 1608|'''1912''' - Académie des Sciences - '''Aeronautics''' : "''On a cycloidal air attack mode by M. '''Gustave PLAISANT'''.''" File:1913-01-01 L'Aérophile=essais d'hélicoptères à l'usine P&L avec Gustave PLAISANT.jpg|'''1912''' - L'Aérophile: '''helicopter tests in the laboratory of the Panhard & Levassor factory''' by Gustave PLAISANT with the help of Arthur Constantin KREBS </gallery> === '''Le procès [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden SELDEN]''' avec [[w:Henry_Ford|'''Henry FORD''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:US549160|'''''US549160''''']], [[commons:Category:Association of licenced Automobile Manufacturers|'''''Association of licenced Automobile Manufacturers''''']], [[commons:Category:Henry Ford|'''''Henry Ford''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:George_Brayton#Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden|Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden]] <br>En '''1906''' A. C. Krebs s'est rendu aux États-Unis pour témoigner dans l'affaire Selden, dans laquelle Panhard & Levassor était associé à Henry Ford en tant que partie adverse. Il a probablement rencontré Henry Ford lors de la présentation des preuves pour le brevet Selden ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002617903/publication/US549160A?q=US549160 '''US'''549160]) les 29-30 octobre 1906 dans un garage de New York. <ref>'''1906''' [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&page=192 témoignage de A. C. Krebs au procès Selden]: "''XQ426. Vous n'aviez jamais vu les moteurs Selden, ni le moteur à trois cylindres ni le moteur à un cylindre que vous avez inspecté au garage de New York les 29 et 30 octobre, en fonctionnement, n'est-ce pas ?''" </ref> Il convient de noter les nombreuses similitudes de principe entre la '''voiture Clément-Panhard''' de '''1898''' et la [[W:Ford_T|'''Ford model T''']] of '''1908''' (voir supra). <gallery> File:1877 Brevet-Rosenwald FR116871'=système de locomotion par le gaz'.pdf|'''1877''' - '''Brevet Rosenwald''' ('''FR'''116871) : "'''''Système de locomotion par le gaz'''''" est cité dans l'affaire Selden. File:1882-1884 - Delamare Deboutteville Malandin car.pdf|'''1882-1884''' - [[w:Édouard_Delamare-Deboutteville|Édouard Delamare-Deboutteville & Malandin]]: '''La première voiture à 4 roues avec un moteur à 4 temps brevetée''' : [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Delamare-Debouttevile-et-Malandrin_vehicles Brevet '''FR'''160267 du 12-02-1884] – ( [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9803886z/f152.image.r=deboutteville '''8cv - 10km/h avec allumage électrique et volant''']). File:1906 Arthur Constantin KREBS testimony during the Selden case (annotated transcript).pdf|'''1906''' - '''Témoignage de A. C. KREBS à New-York''' lors de l'affaire Selden ('''transcription annotée'''). File:Portrait of Henry Ford.jpg|'''1913''' - '''Henry Ford''' (1863-1947). </gallery> === L'Organisation scientifique du travail avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Ch. de Fréminville]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]] '''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Organisation scientifique du travail|Organisation scientifique du travail]] <br>'''1904''' - '''Ways to combat or prevent dust''' : [https://archive.org/details/mmoiresetcompte04unkngoog/page/716/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Commandant Krebs''' requests the tarring of the street of the establishments on Avenue d'Ivry.]. {| class="wikitable" |- ! Date !! Review !! Article |- | '''1911''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1911/10/metal19110810p786/metal19110810p786.html Le jeune ingénieur] |- | '''1914''' || Société d'économie sociale (in ''La Réforme Sociale'') || [https://archive.org/details/etudessociales6719unse/page/316/mode/2up?q=fr%C3%A9minville+panhard Le Système Taylor et l'orqanisation scientifique du travail dans les ateliers] |- |- | '''1915''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1915/09/metal19151209p729/metal19151209p729.html James Hartness: Le facteur humain dans l’organisation du travail (Translation and introduction by charles de Fréminville)] |- |- | '''1917''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1917/07/metal19171407p586/metal19171407p586.html L’utilisation des mutilés pour l’organisation du travail] |- |- | '''1926''' || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/04/metal19262304p199/metal19262304p199.html 1-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] |- |- | || Revue de métallurgie || [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/05/metal19262305p269/metal19262305p269.html 2-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] |- |} === Les innovations avec le [[w:Arsène d'Arsonval|'''Pr Arsène d'ARSONVAL''']] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]] <br>A. C. KREBS et [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Pr Arsène d'ARSONVAL]], médecin, physicien et académicien, sont amis de longue date. <gallery> File:1889~Album Course 01 'première voiture de course'.jpg | '''1891''' - '''D'Arsonval''' : "''Nous décidâmes, un beau jour de 1891, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile'''"[...] <ref>'''1937''' - [https://archive.org/details/d-arsonval-soixante-cinq-ans-a-travers-la-science/page/232/mode/2up?q=panhard "D'Arsonval - 65 ans à travers la science"], Louis Chauvois, Paris.: "''Dans les ateliers ''[[W:Panhard|Panhard & Levassor]]'' un moteur à essence '''[[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]]''' de 2CV établi sur un bâti fixe, faisait fonctionner la scie débitant les pièces de bois. Qu'à cela ne tienne ! "Nous décidâmes, un beau jour de 1891'' [plutôt 1890]'', nous dit M. d'Arsonval, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile''' et nous construisîmes ainsi l'un des premiers engins à rouler sur le sol".</ref> File:Collège de France. M. le professeur d'Arsonval, membre de l'Institut.jpg| '''1902''' - ''A. D'Arsonval (1851-1940) prète son laboratoire au Collège de France à A. C. KREBS pour lui permettre de développer sa théorie sur le carburateur automatique pour automobiles''. File:Panhard & Levassor Break 1898 (CNAM-IMG 0624).jpg |[[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Arsène d'ARSONVAL]] commande cette voiture à son ami A. C. KREBS, directeur des usines '''Panhard & Levassor''' le [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AGetty_Research_Institute_(IA_laretrospectived00expo).pdf&page=56 '''07-09-1897'''], en demandant qu'une dynamo soit ajoutée pour permettre de générer de l'électricité pour ses expériences. <ref>'''1898''' Panhard-M2F d'Arsène d'ARSONVAL presentée au [https://collections.arts-et-metiers.net/?queryId=28f7ab4d-a8b2-45e9-82f1-785523e4f7c6 musée du Cnam (Paris)].</ref> File:1905 LA-NATURE=Voiture-radiologique-Gaiffe-d'Arsonval-Panhard.jpg |'''1904''' - A. C. KREBS construit la '''voiture radiologique''' GAIFFE et d'ARSONVAL qui produit le courant alternatif et le courant continu pour les appareils médicaux. <ref>'''1905''' - [http://cnum.cnam.fr/CGI/sresrech.cgi?4KY28.64/104 La voiture radiologique Gaiffe-Panhard], ''[[W:La_Nature|LA NATURE]]'', p100, Paris]. </ref> File:1909 Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques = Documents sur Eusapia Palladino avec d'Arsonval Krebs (1905) Curie.pdf|page 11|'''1905''' - A. C. Krebs participe à des '''séances de spiritisme scientifique''' organisées par [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|A. d'Arsonval]], aux côtés de personnalités scientifique comme [[W:Marie_Curie|Mme Curie]]. <ref>'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57730276/f82.image.r=krebs Institut général psychologique]: Section des recherches psychiques et physiologiques : documents sur [[w:Eusapia Palladino|Eusapia Palladino]] : "''[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf&page=83 J'ai senti une pression faite sur mon bras gauche, comme avec une boule de coton]''".</ref> </gallery> '''1891''' : Pr s'Arsonval aide Levassor pour son brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=719065&positionResult=20&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=levassor&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afdc541dd82/arko_default_63f47e41d68c8/image/700691|0|2 '''FR'''215695] du 21-08-'''1891''' : "'''Perfectionnements aux moteurs à gaz'''". '''1894''' - [https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=arsonval '''Société Française de Physique''']: Pr d'Arsonval demonstrates that the Panhard & Levassor petroleum engine is "''the real engine applicable to road traction''". <ref>[https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=panhard '''1894-03-02''' - '''Société française de physique''']: "''M. d'Arsonval operates in front of the Company a petroleum engine built by the Panhard and Levassor Cy on the data of M. [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''"</ref> '''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL ayant prouvé que le [[w:benzol|benzol]] ne présentait pas de risque d'explosion dans un environnement confiné, la Marine commande des '''moteurs au benzol''' à A. C. KREBS pour ses sous-marins de la [[w:Classe Naïade|classe Naïade]] (voir infra). '''1902''' - A. d'ARSONVAL prète son laboratoire au '''Collège de France''' à A. C. KREBS pour effectuer ses expériences sur son '''carburateur automatique'''. '''1905''' - A. d'Arsonval présente à l'Académie des sciences la note d'A. C. KREBS sur son '''frein dynamométrique électrique''' (voir ci-dessus) permettant de mesurer précisément la puissance des moteurs à pétrole. <ref>'''1905-11-13''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3095m/f757.item.r=krebs Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]: ''MÉCANIQUE APPLIQUÉE. Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé. Note de M. A. Krebs, presentée par M. d'Arsonval''. </ref> '''1905''' - A. C. KREBS a participé à des séances de spiritualisme scientifique organisées par l'académicien A. d'ARSONVAL dans le cadre de l' '''Institut Général de psychologie'''. <ref>'''1909''' - Séances de spiritualisme organisées par l'académicien Arsène d'Arsonval dans le cadre de l' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf "'''Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques'''"].</ref> === Le '''Rhéomètre''' de A. C. KREBS === '''Voir aussi''' : [[w:Rhéomètre|Rhéomètre]], [[w:Viscosimètre|Viscosimètre]], [[w:Rhéologie|Rhéologie]], [[w:Fluide (matière)|Fluide (matière)]] <gallery> File:1907-04-20 Génie-Civil - le rhéomètre de A. C. KREBS.jpg|''''1907''' - '''Le Génie Civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488843c/f12.image.r=krebs "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"] (rhéomètre). File:1909-01-15 La Technique Automobile - le voluliquimètre (rhéomètre) de Krebs.jpg|'''1909''' - '''La technique Automobile''' : "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''" (rhéomètre). </gallery> '''1907''' – '''Communication à l'académie des Sciences''' de A. C. KREBS (cf. infra) : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&page=747 "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"]. '''1909''' - '''La Technique automobile''' : "''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''". === A. C. KREBS et [[w:Ettore Bugatti|'''Ettore BUGATTI''']] === '''Catégories''' : [[commons:Category:Ettore Bugatti|'''''Ettore Bugatti''''']], [[commons:Category:Bugatti|'''''Bugatti''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ettore Bugatti|Ettore Bugatti]] <br>'''1913-01-24''' : '''Panhard & Levassor board''' - "Mr. Director [A. C. KREBS] reports '''on the visit he made to Mr. Bugatti in his factory''' in Molsheim [Alsace] where he was able to test the cars built by Mr. Bugatti and engines on dynamometric break. Mr. Director noticed different '''very interesting construction processes'''; However, he thinks that Mr. Bugatti, to achieve this result, '''makes the material work at its greatest limit of resistance''', which is contrary to the ways of proceeding in our company which always tend to keep a fairly large margin in the resistance of the metal". === Les '''véhicules militaires''' === Krebs utilized his former military membership to supply the French Army with engines and vehicles including the '''1904''' Genty [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]], the '''1911''' Châtillon-Panhard 4x4 truck, the [[w:Saint-Chamond (char)|'''1916''' char Saint-Chamond]], and others. ==== Les automobiles à Madagascar pour le '''Général Galliéni''' ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Joseph Gallieni|'''''Joseph Gallieni''''']], [[commons:Category:French Madagascar|'''''French Madagascar''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Joseph Gallieni|Joseph Gallieni]] <br>'''1899''' - General Gallieni, governor of Madagascar, brought three Panhard & Levassor cars from Paris, two 12hp cars and one 6hp car. <ref>'''1908''' - Neuf ans à Madagascar (General Galliéni) : "''[https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/170/mode/2up?q=panhard Le premier essai d'automobilisme en pays malgache]'' [...] ''Une voiturette six-chevaux et deux voitures douze-chevaux Panhard-Levassor, essayées sur les deux routes de Tamatave et de Majunga, donnèrent [https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/n371/mode/2up?q=panhard des résultats aussi satisfaisants que je pouvais l'espérer]''". </ref> <gallery> File:Gallieni.jpg|'''1897''' - '''Gallieni''' (1849-1916) (seated) and his staff in Madagascar: Hubert '''Lyautey''' (left) and Jean-Noël '''Savelli''' (center). File:1900 - Panhard & Levassor - Construction d'une route avec une rampe à 15% à Madagascar.jpg|'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5687124k/f2.item '''Construction of a road'''] with a 15% ramp in Madagascar. File:1900 - Panhard & Levassor - Arrivée des officiels à Tananarive.jpg|'''1900''' - Arrival of General Galliéni in Tananarive with the '''6cv Panhard & Levassor'''. File:1901 - Panhard & Levassor sur la route de l'est.jpg|'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k104768j/f80.image.r=panhard '''Panhard & Levassor 12hp car'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni on the eastern route. File:1902 - Panhard & Levassor - Personnel et matériel à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://archive.org/details/sim_industrial-management-1916_engineering-magazine_1905-03_28_6/page/910/mode/2up?q=panhard '''Panhard & Levassor vehicles'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni in Madagascar. File:1902 - Panhard & Levassor - Service de la Poste à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5737277x/f119.image.r=panhard Postal service in Madagascar] with a '''Panhard & Levassor break 15hp adapted to high temperatures'''. </gallery> ==== Les moteurs pour '''les dirigeables [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy]]''' & [[w:Société Astra|Astra]] ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Lebaudy airships|'''''Lebaudy airships''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy Frères]] A. C. KREBS built all the '''engines for Lebaudy military airships'''. <gallery> File:Lebaudy airship RAE-O426.jpg|'''1910''' - The Lebaudy airship [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65639070/f565.image "'''''Morning Post '''''"], with '''2 Panhard & Levassor engines''', in flight. File:1968 Chitty-Chitty-Bang-Bang dirigible inspired by the French Lebaudy dirigible.pdf|'''1968''' - '''A. C. KREBS''' will provide all the '''Panhard & Levassor engines''' for the '''Lebaudy-type french military airships'''. </gallery> {| class="wikitable" |- ! Year !! Airship !! Comments |- | '''1905''' || '''Jaune III''' || '''Lebaudy''', 2950m3, '''50HP Panhard & Levassor''', 33km/h |- | '''1906''' || '''Jaune IV''' || '''Lebaudy''', 3300m3, '''50HP Panhard & Levassor''', 36km/h |- | '''1906''' || [[w:Patrie (dirigeable)|'''Patrie''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m30 diam., 3250m3, '''70HP Panhard & Levassor''', 41km/h |- | '''1908''' || [[w:République (dirigeable)|'''République''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard & Levassor''', 42km/h |- | '''1909''' || '''Russie''' || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard & Levassor''' |- | '''1909''' || '''Liberté''' || '''Lebaudy''', 65m80, 11m45 diam., 4600m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 41km/h |- | '''1909''' || '''Colonel Renard''' || '''Astra''', 65m50, 10m80 diam., 4200m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 38km/h |- | '''1909''' || '''España''' || '''Astra''', 65m50, 12m66 diam., 4200m3, '''120HP Panhard & Levassor''', 40km/h |- | '''1910''' || [[w:Lebaudy Morning Post|'''Morning Post''']] || '''Lebaudy''', 103m, 12m diam., 10000m3, '''2x135HP Panhard & Levassor''' |- | '''1910''' || '''Lebedi''' || '''Lebaudy''', 61m, 11m diam., 3700m3, '''2x70HP Panhard & Levassor''' |- | '''1911''' || '''Capitaine Marchal''' || '''Lebaudy''', 85m, 12m80 diam., 7200m3, '''2x70HP Panhard & Levassor''', 45km/h |- | '''1911''' || '''Lieutenant Selle de Beauchamp''' || '''Lebaudy''', 89m, 14m60 diam., 10000m3, '''2x80HP Panhard & Levassor''', 45km/h |- | '''1912''' || '''Adjudant Réau''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard & Levassor''', 50km/h |- | '''1912''' || '''Lieutenant Chauré''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard & Levassor''', 50km/h |- |} ==== Les moteurs pour '''sous-marins''' au benzol ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Naiade class submarine (1903)|Naiade class submarine (1903)]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]] <br>A. C. KREBS built all the engines for the '''Naïade class submarines'''. <gallery> File:Sous-marin Thon.JPG|'''1908''' - Naïade-class submarine '''Thon'''. </gallery> '''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade||sous-marins]. {| class="wikitable nowraplinks" |+ '''''Naïade''-class submarines equiped with Panhard & Levassor benzol engines''' ! Name !! Pennant number !! Namesake !! Builder !! Launched !! Comments |- | [[w:Alose (sous-marin)|Alose]] || Q33 || "[[w:Shad]]" || [[w:Arsenal de Toulon]] || 12 October 1904 || [[w:Navy List|Stricken]] May 1914; preserved as museum ship |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Anguille_(1904) Anguille] || Q32 || "[[w:Eel]]" || Arsenal de Toulon || 8 August 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Bonite_(1904) Bonite] || Q19 || "[[w:Bonito]]" || Arsenal de Toulon || 6 February 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Castor_(1903) Castor] || Q26 || "[[w:Castor (genus)|Beaver]]" || [[w:Arsenal de Rochefort]] || 5 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Dorade_(1903) Dorade] || Q22 || "[[w:Dolphinfish|Dorado]]" || Arsenal de Toulon || 5 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Esturgeon_(1904) Esturgeon] || Q18 || "[[w:Sturgeon]]" || Arsenal de Toulon || 8 January 1904 || Stricken 1912 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Grondin_(1904) Grondin] || Q31 || "[[w:Sea robin|Gurnard]]" || Arsenal de Toulon || 15 July 1904 || Stricken 1913 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Loutre_(1903) Loutre] || Q25 || "[[w:Otter]]" || Arsenal de Rochefort || 25 August 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludion_(1904) Ludion] || Q24 || "[[w:Cartesian diver|Diver]]" || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lynx_(1903) Lynx] || Q23 || "[[w:Lynx]]" || [[w:Arsenal de Cherbourg]] || 24 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9duse_(1904) Méduse] || Q29 || "[[w:Medusa (biology)|Jellyfish]]" || Arsenal de Rochefort || 15 June 1904 || Stricken May 1914 |- | [[w:Naïade (1904)|Naïade]] || Q15 || "[[w:Naiad]]" || Arsenal de Cherbourg || 20 February 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Otarie_(1904) Otarie] || Q28 || "[[w:Sea lion|Sealion]]" || Arsenal de Rochefort || 16 April 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Oursin_(1904) Oursin] || Q30 || "[[w:Sea urchin|Urchin]]" || Arsenal de Rochefort || 26 September 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Perle_(1903) Perle]|| Q17 || "[[w:Pearl]]" || Arsenal de Toulon || 1 November 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Phoque_(1904) Phoque] || Q27 || "[[w:Pinniped|Seal]]" || Arsenal de Rochefort || 16 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%A9e_(1903) Protée] || Q16 || "[[w:Proteus]]" || Arsenal de Cherbourg || 8 October 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Souffleur_(1903) Souffleur] || Q21 || "[[Common bottlenose dolphin|Dolphin]]" (lit. "Blower") || Arsenal de Toulon || 20 April 1903 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Thon_(1904) Thon] || Q20 || "[[w:Tuna]]" || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/Truite_(1905) Truite] || Q34 || "[[w:Trout]]" || Arsenal de Toulon || 14 April 1905 || Stricken May 1914 |- | [https://pl.wikipedia.org/wiki/X_(1904) X (Dauphin)]|| Q35 || "[[w:Dolphin]]" || Arsenal de Toulon || 15 November 1904 || '''First french submarine equipped with two propellers'''. Stricken May 1914 |- |} ==== L'automitrailleuse '''Genty''' pour le '''Général Lyautey''' au Maroc ==== '''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard-Genty 24 HP|Panhard-Genty 24 HP]], [[commons:Category:Henri Genty|Henri Genty]], [[commons:Category:Automitrailleuse|Automitrailleuse]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]] <br>A. C. KREBS construit les automitrailleuses Genty. <gallery> File:De la Touloubre (au volant d'une Bayard-Clément) - btv1b53225700r.jpg|'''1906''' - '''Henri Genty De la Touloubre''' racing driver on Bayard-Clément. File:Иллюстрация к статье «Автомобиль». Фиг. № 8. Военная энциклопедия Сытина. Том 1 (СПб., 1911—1915).jpg|'''1906''' - [[W:Panhard-Genty_24_HP|The Panhard 24 HP Automitrailleuse]] '''built by A. C. KREBS''' at the Panhard & Levassor factory '''as a former officer'''. File:1907-12-21 - La Vie Au Grand Air - auto-mitrailleuse Panhard & Levassor du Cap. Genty.jpg| '''1907''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97968382/f9.image.r=genty La Vie Au Grand Air] - '''Panhard & Levassor Automitrailleuse of Cap. Genty''' in operation '''in Morocco'''. File:1907 - Général Lyautey - Commandant général d'Algérie.png|'''1907''' - '''[[w:Hubert Lyautey|General Lyautey]]''' (1854-1934) : General Commander of [[w:Algérie française|Algerie]]. File:Photos-General-Dalbiez-Boite-4-008.jpg|'''1912-07''' - Appointed Resident General of Morocco '''General Lyautey''' visited Fez and Meknes with the '''Genty automobile'''. File:Lyautey reaches Marrakesh in armored car (1912, Le Petit Journal).jpg|'''1912-10''' - "'''General Lyautey''' went to Marrakech in '''an auto-machine gun'''". </gallery> '''1913''' - [https://armoredcars-ww-one.blogspot.com/2012/04/panhard-genty-machine-gun-car.html L'automitrailleuse Panhard-Genty]: "''Modification de '''1912''' sur le modèle Panhard 24 HP '''1907'''.''" Une [[W:Panhard-Genty_24_HP|Panhard 24 HP]] fut acquise par le ministère de la Guerre en '''1904''' afin d'expérimenter les capacités militaires des automobiles, notamment pour la reconnaissance. Suite aux manœuvres militaires de septembre '''1905''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] fut autorisé à installer des affûts de mitrailleuses sur la Panhard 24 HP, dont il était le pilote. Après transformation en '''1906''', la Panhard 24 HP fut envoyée en décembre '''1907''' au Maroc et mise en service à la frontière algéro-marocaine. Le général Maurice Bailloud, du 19e corps d'armée algérien, réclama de nouveaux véhicules. Des voitures [[w:Adolphe_Clément-Bayard|Clément-Bayard]] furent expédiées en '''1908''' et '''1910''', mais se révélèrent inadaptées. '''Trois Panhard 24 HP''' furent alors livrées à nouveau en '''1912'''. En '''1903''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] proposa, conjointement avec A. C. KREBS, de modifier un châssis Panhard & Levassor pour en faire '''une automitrailleuse opérationnelle'''. Il surélève la garde au sol du châssis de 32 cm grâce à des ressorts de 0,90 m à l'avant et de 1,30 m à l'arrière. L'essence est répartie dans deux réservoirs cylindriques indépendants de 45 litres formant les sièges, offrant une autonomie de 400 km sur route en bon état et de 250 km sur route en mauvais état. Le moteur de 35 ch permet au véhicule d'atteindre 65 km/h en vitesse de pointe. Il est équipé d'un carburateur automatique Krebs, d'un double allumage (batterie et magnéto), d'une lubrification automatique, d'un refroidissement par pompe et radiateur avec réservoir isolé, d'un échappement libre "à la demande", d'un embrayage à cône de cuir, d'une boîte de vitesses à baladeur et d'une transmission par chaîne. La direction est irréversible, avec un angle de braquage de 25°. Le freinage est assuré par des freins à mâchoires sur le différentiel et des freins à ruban sur les roues arrière. Les roues sont équipées de jantes démontables, système Michelin, permettant un changement de pneu en 4 minutes maximum. Le risque de crevaison est réduit grâce au choix de pneus 920 x 120 à semelle renforcée, résistants aux pierres et aux épines. Deux roues de secours sont fixées à droite du véhicule. L'armement du véhicule comprenait '''2 mitrailleuses Hotchkiss''' : une sur son affût et une de rechange sur ses supports, à droite du véhicule. La mitrailleuse utilisée pouvait être placée sur l'un des deux supports situés à l'arrière et au centre du véhicule. Les munitions étaient réparties dans neuf caisses d'une capacité totale de '''20.000 cartouches''', dont 3.600 dans les coffres du véhicule. ==== Le tracteur d'artillerie '''Châtillon-Panhard''' ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Tracteur Panhard-Châtillon|'''''Tracteur Châtillon-Panhard''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Châtillon-Panhard|Châtillon-Panhard]] <br>En '''1911''' - A. C. KREBS conçoit, conjointement avec la Sté Chatillon, un '''véhicule tout terrain''' à quatre roues motrices et directrices ["'''''à adhérence totale'''''", '''avec un seul différentiel'''. Ce camion destiné à des fins militaires et civiles, a été utilisé pendant la Première Guerre mondiale comme '''tracteur d'artillerie'''. <gallery> File:Artillery Tractor Chatillon-Panhard 1914.jpg|Le [[w:Châtillon-Panhard|'''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' à quatre roues motrices et directrices]]. File:1913 Tracteur-Chatillon-Panhard=plans.jpg|'''1911''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f282.image '''tracteur 4X4 Châtillon-Panhard''' à "adhérence totale"]. <ref>'''1914''' - '''The Field Artillery Journal''' : [https://archive.org/details/sim_field-artillery_october-december-1914_4_4/page/526/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 "The Châtillon-Panhard traction-motor of total adhesion"], par le Commandant L. Ferrus.</ref> File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 109|'''1913''' - La "'''''transmission à vis'''''" du Châtillon-Panhard. File:1914-1918 Tracteur-Chatillon-Panhard - Artillerie lourde, un groupe de 120 long.ogg|'''Video''' : '''1916''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://imagesdefense.gouv.fr/fr/artillerie-lourde-un-groupe-de-120-long-a-tracteur.html# "'''''Artillerie lourde, un groupe de 120 long'''''"]. File:WWI French army Panhard truck.jpg|'''1916''' - '''Tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' : 35HP K11. File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 16|'''1917''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f313.image.r=panhard# "'''''Transmission par vis sans fin et engrenages coniques'''''"]. </gallery> ==== Le char '''Saint-Chamond''' ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Saint_Chamond_tank|'''''Char Saint-Chamond''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]] <br>A. C. KREBS construit les moteurs sans soupapes des chars Saint-Chamond. <gallery> File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manœuvre - gravure.jpg|'''1916''' - Le '''Char Saint-Chamond''' à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65523451/f13.item.r=Artillerie%20St-Chamond '''moteur Panhard & Levassor sans-soupape''']. File:1914-1918 - P&L- Char-Saint-Chamond.pdf|'''1916-1918''' - Le [[w:Saint-Chamond (char)|'''Char Saint-Chamond''']] à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:1914-1918_-_P%26L-_Char-Saint-Chamond.pdf moteur '''Panhard & Levassor''']. File:St. Chamond.jpg|'''1917''' ~ '''chars St. Chamond''' à l'exercice. </gallery> ==== Les '''treuils de ballons captifs''' à moteurs à essence ==== '''Catégorie''' : [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ballon captif|Ballon captif]] <br>'''1916''' - A. C. Krebs transpose son treuil à vapeur hippomobile de '''1882''' sur ses camions Panhard & Levassor, en ajoutant un bloc-moteur et un poste de manœuvre du ballon afin de permettre au dispositif de rester opérationnel au cours du déplacement. <ref name=treuil-Krebs/> <ref name=treuil-Krebs>. '''1921''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555734j/f22.item.r=panhard# '''Treuils de ballons captifs'''] : toutes les variantes de treuils basées sur le système Krebs de touage à 2 tambours parallèles. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555735z/f45.image.r=treuil (Suite)].</ref> '''1921''' - "''Avant la guerre il était couramment admis que, seule la machine à vapeur possédait l'élasticité de puissance nécessaire pour manœuvrer un ballon captif''." <ref name=treuil-Krebs/> <gallery> File:1916 - Poste d'aérostation=Treuil A. C.KREBS à vapeur modèle 1882.jpg|'''1916''' - Poste d'aérostation : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_%C3%A0_vapeur.pdf '''Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882 en opération'''] en France (voir supra). File:Aérostation - la voiture-treuil permettant de monter et descendre le ballon captif, avec le générateur d'hydrogène pour le gonfler - Marasesti - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - AP62T122957.jpg|'''1917''' - Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882''' (voir supra) '''en opération en Roumanie'''. File:1916-07-24 Près de La Neuville-au-Pont=un camion treuil Panhard K19 SS camouflé de l'aérostation sort de son abri=treuil Krebs.jpg|'''1916''' - Près de La Neuville-au-Pont, un '''camion treuil''' d'aérostation ('''treuil système KREBS''') '''PANHARD K19 SS''' camouflé, sort de son abri. File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&L.jpg|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_Panhard_%26_Levassor.pdf '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence adapté par lui-même] sur son camion T4 RKV '''Panhard & Levassor'''. File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&L en opération.png|'''1916''' - '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence '''sur son camion T4 RKV Panhard & Levassor''' en operation. </gallery> ==== La '''locomotive automotrice''' Leroux ==== '''Voir aussi''' : [[w:Crochat|Crochat]] <br>A. C. KREBS poursuit l'orientation de Levassor vers '''le petit matériel ferroviaire''' dès '''1896'''. <br>'''1898''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5711501d/f6.item '''Notes sur les voitures automobile'''] : Le "''camion à marchandises''", et l' "''automobile postale du Nord''" avec son schéma. <br>'''1913''' - A. C. KREBS construit la [https://www.musee-du-genie-angers.fr/fpdb/202922-42-locotracteurblindecrochattypelc81916.pdf '''locomotive automotrice pétroléo-électrique'''] Leroux destinée au ministère de la guerre : moteur de 150 cv et transmission électrique. <ref>'''1913''' - '''Comité de direction P&L''' - '''1913-13-01''' - "''Monsieur Krebs donne connaissance d’un projet de contrat entre la Sté P&L et M. Leroux de Valenciennes pour la construction de locomotives automotrices. Les clauses de ce projet de contrat sont analogues à celles du projet de contrat relatif aux accumulateurs Edison''". '''1913-12-22''' - "''La locomotive pour la Guerre étudiée avec le concours de M. Leroux (agent Fives) est commandée. Cette locomotive doit être livrée le 22 juin. On prendra, pour arriver à faire la livraison en temps voulu, l’un des moteurs [de canot de course] de 150 chevaux en construction pour M. Despujols. Malicet et Blin pourrait se charger de la taille des engrenages de la boîte''". '''1914-05-12''' - '''État de Production''' : "''Locomotive BT4N²-BT4 - Commande des ventilateurs de radiateurs avec débrayage automatique. Boîte BT4 - Dessins d’exécution terminés. BT4N² - Hausse pour essai du moteur sur VIMA. BS3-4MF - Groupe électrogène dynamo [https://fr.wikipedia.org/wiki/Compagnie_fran%C3%A7aise_pour_l'exploitation_des_proc%C3%A9d%C3%A9s_Thomson-Houston Thomson Houston]''". '''1914-07-22''' - "''M. Leroux nous demande de presser la construction des locomotives militaires. Il aurait voulu voir devancer la date de livraison en vue des manoeuvres d’Epinal.''" [...] "''On nous demande de faire des propositions pour une automotrice pour voie de 0,60 m pour le Maroc. Le prix de revient d’une pareille automotrice serait de 15.629 frs. Nous demanderons 20.000 frs. Nous n’avons pas un grand intérêt à nous lancer dans cette voie nouvelle''". </ref> <gallery> File:1899 - Panhard & Levassor - catalogue avec bateau, draisine postale et tramway.pdf|page=42|'''1897''' - La '''draisine postale''' P&L pour la [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5527474m/f5.item Compagnie du chemin de fer du Nord]. File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|page=41|'''1899''' - '''Tramway à 24 places''' de Panhard & Levassor. File:1901-01-19 - Scientific-American-v84-n03 - la draisine à pétrole Panhard & Levassor.png|'''1901''' - Une '''draisine postale à pétrole''' conçue par A. C. KREBS. File:Crochat Type L.jpg|'''1913''' - Cette [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6244610g/f49# '''locomotive Crochat'''] date de la même année que la '''locomotive Leroux''' à moteur Panhard de A. C. KREBS. </gallery> == '''Gestionnaire de grands projets technologiques (1876-1916)''' == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard & Levassor|'''''Panhard & Levassor''''']] <br>'''Voir aussi''' : [https://de.wikipedia.org/wiki/Panhard_%26_Levassor Panhard & Levassor] (Deutsch), [https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Panhard%26Levassor-Pkw liste des types]. <br>'''1871''' - "''Après la guerre, j'ai été détaché à l'école de Saint-Cyr, où je suis resté un an ''[18 mois]'' pour compléter mon éducation militaire. Depuis lors, je me suis continuellement occupé de questions mécaniques et '''je me suis consacré à des études me permettant de me former en tant qu'ingénieur, par mes propres efforts, en me tenant au courant des nouveaux développements dans les arts mécaniques'''.''" <ref> '''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf&page=11 Témoignage de A. C. KREBS au procès Selden] : "''After the war I was transferred to St. Cyr School, where I remained for one year in order to complete my military education. Since then I have continually been occupied with mechanical matters, and I applied myself to studies to equip myself as engineer, by my own efforts, keeping myself in close touch with new developments in the mechanical arts''."</ref> '''1877''' - '''A. C. KREBS (27 ans)''' à '''Ch. Renard (30 ans)''' : "''Il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'' [...]". <ref>'''Fin 1877''' - '''A. C. KREBS''' à '''Ch. Renard''' : "''Mon cher capitaine, Venez demain à Poissy ''[où stationne le régiment de A. C. KREBS]'' dans la soirée dîner avec moi, parce qu'il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. '''Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'''. C’est pourquoi, si vous pouviez venir demain, nous arrêterions définitivement la forme du moteur à exécuter immédiatement, puis les études seront poursuivies ensuite. J’ai complètement fini la chaudière. Je vous ferai voir les tentatives et les résultats des derniers essais, soit de distribution, soit de dispositifs de machines, et '''les avantages et inconvénients''' qui en résultent. Ceci est très important à savoir '''pour ne pas recommencer inutilement des choses déjà faites'''. C’est surtout comme distribution par robinet que l’on est exposé à des consommations de vapeur énormes ou à des usures prématurées. Pour moi, en ce moment, l’idéal comme machine est celle fonctionnant avec une vapeur légèrement surchauffée pour éviter à l’intérieur du cylindre toute espèce de condensation et obtenir ainsi une économie de combustible. Il ne faudrait pas dépasser, comme température, 200°. On aurait à craindre aucun grippement, et '''en équilibrant par des ressorts les masses en mouvement on pourrait atteindre de grandes vitesses de rotation, en faisant vibrer pour ainsi dire à l’unissons toutes les pièces en mouvement'''. Enfin, à demain. Tout à vous. Venez avec de la Haye.''"</ref> '''1888-04-17''' - '''A. C. KREBS''' : "''La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis.''" '''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : "''L'attitude du constructeur britannique a en effet été bien décrite comme celle d'un '''marché aux portes de Panhard''', une position également avantageuse pour le constructeur américain.''. <ref>'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : ''Indeed the attitude of the British maker has been well described as [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-02_4_2/page/n3/mode/2up?q=panhard 'sitting on '''Panhard''''s doorstep'], a good place also for the American maker''".</ref> '''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : "''L'automobile française est le fruit d'une longue expérimentation et d'une réflexion approfondie consacrée à chaque pièce, de l'axe, du boulon de blocage et de la rondelle, jusqu'au moulage du cylindre et aux segments de piston''". <ref>'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-04_4_4/page/320/mode/2up?q=panhard "''Le soin du travail français''"] By C. R. Mabley.</ref> <gallery> File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris. File:1886 Renard & Krebs plan du parc aérostatique de Chalais-Meudon.jpg |'''1886''' - Renard & Krebs : plan du [[W:Chalais-Meudon|'''Parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''']]. 1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''. File:1900~Pompiers depart-attele.jpg| '''1895''' - '''Pompiers de Paris''' : Le départ attelé de la réorganisation de A. C. KREBS avec la '''pompe à vapeur Durenne & Krebs''' (modèle 1888) visible en arrière plan. File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental "'''''Gymnote'''''" (à gauche), le grand sous-marin "'''''Gustave Zédé'''''" (à droite) est construit par la Marine française. File:1895 - Panhard & Levassor - 'The first Petrol car introduced into England' by Hon. Evelyn Ellis.png|'''1895''' - Panhard & Levassor - "'''''La première voiture à essence introduite en Angleterre'''''" par l'honorable Evelyn Ellis. <ref>'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMotors_and_motor-driving_(IA_motorsmotordrivi00nortiala).pdf&page=45 Motors and motor-driving]: "'''''The first Petrol car introduced into England", the Hon. Evelyn Ellis's 4HP Panhard & Levassor Car'''''".</ref> File:1896-09-03 rencontre Levassor-Krebs=prise de licence sur le brevet Krebs.pdf |'''1896-09-03''' - Lettre de prise de licence de '''Émile LEVASSOR''' adressée à Arthur C. KREBS pour son brevet d'automobile '''FR'''256344. File:Panhard & Levassor catalogue 1896-7.pdf|'''1897''' - catalogue des voitures [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf '''Panhard & Levassor''']. File:Automotive diagrams 01 En.png|'''1898''' - A. C. KREBS complète le "[[W:Moteur_%C3%A0_l%27avant_et_roues_arri%C3%A8re_motrices|'''système panhard''']]". File:1898-04-16 - La France Automobile - 'The first car in Japan'.pdf|'''1898''' - La France Automobile : '''''[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E8%87%AA%E5%8B%95%E8%BB%8A%E3%81%AE%E6%B8%A1%E6%9D%A5 La première voiture à pétrole au Japon]''''', une Panhard & Levassor type M2E, n°941, livrée le 11-08-'''1897'''. File:Panhard & Levassor catalogue 1898.pdf|'''1898''' - Catalogue des [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1898.pdf voitures '''Panhard & Levassor'''] alors que A.C. KREBS dirige la société. File:1898-Panhard race car=The first car in Britain fitted with wheel steering.png |'''1898''' - La '''voiture de course Paris-Amsterdam-Paris''' Panhard & Levassor 6HP exportée de France par Henry Rolls : "'''''Première voiture en Grande-Bretagne équipée d'un volant'''''". <ref name=Rolls /> File:1899_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_avec_bateau,_draisine_postale_et_tramway.pdf|'''1899''' - Catalogue des voitures Panhard & Levassor avec '''bateau''', '''draisine postale''' et '''tramway'''. File:1899-10 - Horseless age - Steinway Daimler-Panhard Phenix advertisement.png|'''1899''' - [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Steinway#Daimler_cars '''Steinway'''] : publicité '''Daimler-Panhard Phénix''' : "'''''Le standard automobile mondial'''''". File:Les usines Panhard d'Ivry en 1900.jpg |'''1900-05-27''' - La Vie au Grand Air: "'''les usines Panhard'''". File:1900 VCP=1° en Espagne (PM-1 + PM-2 + PM-5).jpg|'''1900''' - La [https://en.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9ment-Panhard '''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''] est la 1ère voiture à pétrole à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900_VCP%3D1%C2%B0_en_Espagne_(PM-1_%2B_PM-2_%2B_PM-5).jpg Palma de Majorque], au [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Santa_Casa_de_Miseric%C3%B3rdia_Salvador_Bahia_VCP_Voiture_Cl%C3%A9ment_Panhard_1898-0553.jpg Brésil], en [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_P%26L_VCP_Capitaine_Fjodorovi_1%C2%B0-Tallin_Estonie.jpg Estonie] etc. File:1904 - Self-propelled vehicles - Panhard & Levassor - "the foremost in the automobile world".jpg|'''1901''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1901-02-16_51_1311/page/21014/mode/2up?q=panhard Scientific American] : "'''''L'automobile Panhard & Levassor'''''". '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/350/mode/2up?q=panhard Véhicules automoteurs] : "'''''Le leader du monde automobile'''''". 1901-04-13 The Autocar='A visit to the Panhard works'.pdf |'''1901-04-13''' - The Autocar: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-04-13_The_Autocar%3D%27A_visit_to_the_Panhard_works%27.pdf "'''Une visite aux usines Panhard''']: ''Il ne faut pas s'imaginer que nous désespérons de l'industrie anglaise ; loin de là, car il existe chez nous des entreprises qui produisent un travail au moins égal à celui de '''Panhard and Levassor''', mais '''aucune entreprise n'est comparable à elle en termes d'ampleur'''.''" File:1902 Fiat 12-16 HP Museo Nazionale dell'Automobile di Torino 01.jpg|'''1901-06-21''' - [[W:Fiat|'''FIAT''']] prend la décision '''de copier la voiture légère Panhard & Levassor''', ainsi l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Giovanni Enrico] conçoit la [[W:Fiat|'''FIAT 12HP''']]. <ref>[https://www.byterfly.eu/islandora/object/librib%3A632795#page/166/mode/2up '''Procès-verbaux du conseil d'administration FIAT (1899-1915)''']. '''1900-10-09''' - <small>"[L'ingénieur Marchesi] ''estime qu'il serait judicieux d'acheter une bonne voiture française, et peut-être même une Panhard Levassor de dernier modèle, afin de pouvoir les étudier, notamment les détails de leur construction''". '''1900-10-16''' - "''Faccioli dit que bien que le système actuel fonctionne correctement, il estime qu'il y aurait d'énormes avantages à placer le moteur à l'avant, tant pour des raisons de facilité que pour des raisons de perfectionnement de la construction, et pour standardiser les modèles. Il affirme avoir déjà étudié un projet qui répondrait aux besoins actuels. Agnelli propose de conserver le type Panhard Levassor. Après une longue et animée discussion, le Président demande l'avis du Conseil sur les deux propositions''". La proposition de Faccioli est approuvée. '''1901-11-12''' - "''Goria Gatti partageait l'avis de Ceriana, mais après avoir étudié la question en profondeur, il était convaincu de la validité des arguments du Président. Notre usine, occupée à produire 100 Fiat cette année, ne serait absolument pas en mesure de fabriquer la petite voiture. Or, les petites voitures étant très recherchées et le marché saturé de voitures étrangères, il est nécessaire de leur proposer un modèle tout aussi performant et moins cher, afin d'attirer une nouvelle clientèle, qui serait alors peut-être disposée à acheter une Fiat. Il fut donc judicieux de faire construire pour nous, par une usine étrangère, une voiture équipée d'une boîte de vitesses de type Darracq et d'un moteur De Dion de 4,2 CV. C'est une question d'opportunité, et il estime qu'il n'est pas pertinent de parler du caractère italien de l'usine ni de la simple revente de voitures. Même le grand constructeur français, Panhard-Levassor, avait une petite voiture anglaise, la Krebs, fabriquée par les ateliers Clément''[pour ce faux bruit voir la Voiture Clément-Panhard supra]''. Quoi qu'il en soit, puisque nous n'abandonnerons pas le modèle Fiat, mais le limiterons aux grandes voitures, personne ne pourra dire que nous avons renié notre propre moteur. Il conseille de ne pas engager plus de 50 petites voitures.''". '''1901-06-21''' - "''Le président informe le Conseil que le conseiller Agnelli et l'ingénieur Enrico, s'étant rendus à Paris, ont examiné un véhicule léger qu'ils comptaient acquérir auprès de l'usine comme modèle pour l'année suivante. Cependant, faute d'explications de la part du fournisseur, l'achat n'a pu être effectué. Il demande à M. Agnelli de s'expliquer. ''[[W:Giovanni_Agnelli_(1866-1945)|'''M. Agnelli''']] explique que, lors de son séjour à Paris en compagnie de l'ingénieur Enrico, envoyé par l'usine sur ordre du président, ils ont examiné un nouveau véhicule léger provenant de l'une des meilleures usines parisiennes (Panhard & Levassor). Ce véhicule, très simple, économique, pratique et facile à construire, leur a semblé opportun. Ils ont donc jugé bon de proposer son acquisition par télégramme au Conseil. Cette proposition visait à mettre fin à des études interminables et coûteuses, et à pouvoir entreprendre sans délai une production sérieuse, productive tant en quantité qu'en qualité. Il se souvient avoir déjà formulé une proposition similaire à plusieurs reprises, notamment en juin et septembre de l'année dernière et en mars de cette année. Il estime cependant qu'il n'appartient pas au Conseil de délibérer sur le fond de la question, cette décision relevant de la compétence exclusive de la Direction technique''".</small></ref> File:1902 Catalogue Panhard & Levassor.pdf|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_Catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1902-03-01 - Scientific American supplement - "THE NEW LIGHT PANHARD & LEVASSOR AUTOMOBILE".pdf|'''1902''' - Scientific American : [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1902-03-01_53_1365/page/21873/mode/1up?q=panhard "'''THE NEW LIGHT PANHARD & LEVASSOR AUTOMOBILE'''"]. File:1902 - The Panhard & Levassor car of Dr-LEHWESS for his word tour.png|'''1902''' - La voiture Panhard & Levassor du Dr LEHWESS pour son '''tour du monde''' : "[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:The_Enterprise_1902-10-04_(IA_cssf_000378).pdf&page=2 '''''La voiture doit être capable de bien grimper les côtes pour franchir les Rocheuses !''''']". File:1903-04-09 - Counterfeiting by Mercedes of the Panhard & Levassor Centaure carburetor transaction between the parties.pdf|'''1903''' - '''contrefaçon par Mercedes''' du '''carburateur Centaure''' de Panhard & Levassor (transaction). File:1912 - Panhard & Levassor - usine de Reims.jpg|'''1904''' - A. C KREBS fonde '''l'[[W:Usine_Panhard-Levassor_de_Reims|usine Panhard & Levassor de Reims]]'''. File:1909 NYPL=P&L agence-New-York american-branch-Broadway+62°rue-NW US-01.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS crée '''''l'American Branch''''' située '''sur Broadway à New York'''. File:1905 - Panhard & Levassor - Manuel de conduite et d'entretien Phénix, Centaure, modèle 1904.pdf|'''1905''' - Manuel de conduite et d'entretien '''''Phénix''''', '''''Centaure''''', '''''Type 1904'''''. File:1905-08-04 The-Engineer=The Panhard & Levassor Motor Car Works.jpg|'''1905''' - The Engineer : [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up "'''''Quelques usines automobiles françaises'''''"] - PANHARD AND LEVASSOR. <ref>'''1905-08-04''' - [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up?q=panhard '''The Engineer'''] : "''L'industrie automobile s'est donc développée très lentement jusqu'à ce qu'il soit constaté que le '''type Panhard original''' de '''moteur vertical''' et de '''boîte de vitesses''' représentait véritablement '''une norme de conception permanente'''.''"</ref> File:1905 P&L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|'''1905''' - Panhard & Levassor : ''' catalogue anniversaire des 50 ans de l'usine''' dirigée par A. C. KREBS. <ref>'''1905''' - [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/The_Engineering_and_Mining_Journal_1905-05-25-_Vol_79_Iss_21_%28IA_sim_engineering-and-mining-journal_1905-05-25_79_21%29.pdf The Engineering and Mining Journal]: "''La machine à vapeur a été utilisée pour le transport de marchandises sur les vastes plaines du Sud-Ouest, notamment pour le commerce du borax. Plus récemment, l'automobile a été mise en service au Nevada, et l'un de nos confrères nous a confié effectuer le trajet de 160 kilomètres (100 miles) entre Tonopah et Bullfrog en sept heures. Cela nous rappelle les voyages d'inspection de plusieurs centaines de kilomètres (plusieurs centaines de miles) que MM. H. C. Hoover et J. H. Curie ont effectués l'an dernier '''à bord d'une Panhard, sur le plateau désertique d'Australie-Occidentale'''. L'idée même d'un tel confort de déplacement adoucira les mauvais souvenirs de ceux qui ont dû chevaucher le chameau à bascule ou la mule récalcitrante sur le sable et les spinifex d'Australie-Occidentale, ou encore sur les terres alcalines et les armoises du Grand Bassin.''".</ref> File:1905 P&L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|page 23|'''1905''' - A. C. KREBS introduit '''l'entrée latérale dans la carrosserie automobile'''. <ref>'''1906''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906-01-06_-_OMNIA_-_Standardisation_des_carrosseries_%C3%A0_entr%C3%A9e_lat%C3%A9rale_demand%C3%A9e_par_A._C._KREBS_en_1904.pdf&page=4 OMNIA] : "''À l’heure actuelle, on peut dire que toute carrosserie, de route ou de ville, couverte ou découverte, doit être à entrée latérale. Cette disposition présente de tels agréments pour le voyageur, que l’on se demande comment on a pu s’en passer si longtemps ! ''". '''01/1933''' - '''Le carrossier Labourdette''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3067216z/f38.image.r=krebs "''L'entrée latérale fut réalisée sur l'insistance de plusieurs constructeurs. Je me souviens des conversations que mon père eut alors, sur ce sujet, avec le commandant Krebs de la maison Panhard''"]. Notons qu'au XXI° siècle l'entrée latérale avec échancrure sur le passage de roues arrière reste le standard de la carrosserie automobile.</ref> File:1905 - Palais de l'Automobile - catalogue Panhard & Levassor (New-York).pdf|thumb|'''1905''' - '''Palais de l'Automobile''' : catalogue Panhard & Levassor à ('''New-York'''). File:1905-11-18 – The AUTOMOTOR JOURNAL - The 50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine.pdf|'''1905''' – The AUTOMOTOR JOURNAL: [https://archive.org/details/AutomotorJournalSecondHalf1905/page/n665/mode/2up?q=panhard voiture Panhard-Levassor 50-h.p. 6 cyl.]. File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf|page 2|'''1906''' - A. C. KREBS se rend '''à New York''' pour témoigner en tant qu'expert dans le cadre du procès Selden qui oppose les propriétaires du '''brevet Selden''' et conjointement '''Ford''' et '''Panhard & Levassor''' ([https://hal.science/hal-05527435 transcription traduite et annotée]). File:1910 Le jeune premier de l'Europe=caricature du roi Alphonse XIII d'Espagne qui vient de visiter les usines P&L avec KREBS.jpg|'''1905-11''' - Caricature du jeune [https://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso_XIII '''roi Alphonse XIII d'Espagne'''] qui vient de visiter les '''usines Panhard & Levassor''' guidé par '''A. C. KREBS'''. <ref>'''1905-11-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46271521/f1.image.r=krebs '''L'Auto-vélo''']: "''Le '''nouvel amortisseur progressif''' que la maison Panhard adapte sur ses véhicules de '''1906''' intéresse particulièrement le Roi'' ['''[[W:Alphonse_XIII|Alfonse XIII]] d'Espagne''']. ''À deux reprises il sollicite du commandant Krebs le nom de l'inventeur de cet ingénieux dispositif, mais le commandant - dont la modestie bien connue a durci l'oreille - néglige de répondre...''"</ref> File:1905 - P&L catalogue-Harvey-du-Cros GB - 'HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS'.pdf|'''1905''' - Catalogue Panhard & Levassor de '''Harvey-du-Cros - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf "''HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS''"] au Royaume-Uni''' quand A. C. KREBS dirige la société. File:1906 - Panhard & Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - Panhard & Levassor : "[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf '''Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures''']". File:1906-04-22 La Stampa Sportiva=leçon d'automobilisme chez P&L.jpg|'''1906''' - "''L' [https://www.byterfly.eu/islandora/object/libria%3A37036#mode/2up '''école moderne de l'automobiliste''']: Une leçon pratique donnée aux élèves de '''l'école du mécanicien et du conducteur d'automobile de Paris''', visitant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46272650/f1.image.r=%22nos%20cours%20d# '''l'usine Panhard and Levassor''']" dirigée par '''A. C. KREBS'''. File:1907 - Panhard & Levassor catalogue in New-York.pdf|'''1907''' - La gamme des '''voitures Panhard & Levassor''' proposée par A. C. Krebs '''à New York'''. File:1907 The Highland Association Bazaar - Panhard advertisement.pdf|'''1907''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASouvenir_and_handbook_of_Feill_a%27_Chomuinn_Ghaidhealaich_(The_Highland_Association_Bazaar)_1907_(IA_souvenirhandbook00comu).pdf&page=12 Publicité à Glasgow] : "'''''PANHARD—Best French Car. Runs well after 120,000 miles'''''". File:1908 - Panhard & Levassor- catalogue.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1908 - Panhard & Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf '''catalogue des poids lourds'''] Panhard & Levassor. File:1909 - Panhard & Levassor - catalogue.pdf|'''1909''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue.pdf '''catalogue''' Panhard & Levassor]. File:1909-Panhard & Levassor automobile catalogue for the 'American Branch' in Broadway in NewYork.pdf|'''1909''' - Panhard & Levassor : Catalogue de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-Panhard_%26_Levassor_automobile_catalogue_for_the_%27American_Branch%27_in_Broadway_in_NewYork.pdf '''l'American Branch''']. File:1909-1914 - L'Auto-vélo - les "Vendredi" de Panhard & Levassor.pdf|'''1909-1914''' - L'auto-Vélo : '''''Les "Vendredi" de Panhard & Levassor'''''. File:1910 Salon-de-l'Automobile-de-Paris=le nouveau moteur sans-soupapes au stand Panhard&Levassor.jpg|'''1910''' - '''Salon de l'auto de Paris''' : présentation du '''nouveau moteur sans soupapes''' au stand Panhard & Levassor. Ce moteur est '''conçu par A. C. KREBS sous licence Knight'''. File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard & Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - [[w:Émile Dubonne|Émile Dubonnet]] gagne le prix de [[W:La_Nature|LA NATURE]] sur un avion monoplan [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Tellier]] à moteur Panhard & Levassor conçu par A. C. KREBS (GAMY). File:1910 - Usine Panhard & Levassor vue depuis un ballon à 700m d'altitude.png|'''1910''' - '''L'usine Panhard & Levassor''' vue depuis un ballon à 700m d'altitude. File:1910 - Panhard & Levassor - Catalogue de pièces de rechange.pdf|'''1910''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1910_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_pi%C3%A8ces_de_rechange.pdf '''Catalogue de pièces de rechange'''] Panhard & Levassor. File:1911 - Life Magazine - The Silent-Knight.pdf|'''1911''' - '''A. C. KREBS''' developpe la version Panhard & Levassor du brevet '''Knight : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404174/publication/FR356196A?q=FR356196 '''FR'''356196], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032197949/publication/GB190514729A?q=GB190514729 '''GB'''190514729], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003159208/publication/US1090991A?q=pn%3DUS1090991A '''US'''1090991A]'''. File:1911 - Exposition de Turin - catalogue Panhard & Levassor.pdf|'''1911''' - '''Catalogue Panhard & Levassor''' pour [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1911_-_Exposition_de_Turin_-_catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf '''l'Exposition de Turin''']. File:Dassault Marcel.jpg|'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' (1892-1986) décide de faire un stage dans l'usine '''Panhard & Levassor'''. <ref>'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' décide de faire un stage chez '''Panhard''', et note : "''Pendant les grandes vacances suivantes, je fis un stage comme ouvrier chez Panhard. Après être passé par les différents ateliers, j'arrivai au stade de la mise au point des voitures 24CV sans soupapes. Ce travail consistait, après réglage du moteur, à faire un essai sur route du châssis, le siège étant composé d'une simple caisse à outils. J'ai ainsi appris à connaître l'organisation d'une grande usine de mécanique. J'ai aussi apprécié le travail des ouvriers, leur esprit d'équipe, leur joie quand la firme gagnait une course ou battait un record, ou lors de la sortie d'un nouveau type de voiture particulièrement réussi.''" ([https://archive.org/details/talismanautobiog0000dass/page/n3/mode/2up 'Le Talisman'], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1970_Marcel-DASSAULT%3D%27Le_Talisman%27_(ed._J%27ai_Lu).jpg Paris, 1970, ed. J'ai Lu]).</ref> File:1912 Panhard & Levassor - Arthur Constantin KREBS entouré de Charles de Fréminville de Paul Panhard et de ses directeurs.jpg|'''1912''' - Panhard & Levassor : '''A. C. KREBS''' entouré de [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|'''Charles de Fréminville''']] (à sa droite), par '''Paul Panhard''' (à sa gauche) et d'autres directeurs. <ref>[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''1912''' - '''Usines Panhard & Levassor''' dirigées par A. C. KREBS]: les ateliers et le personnel de Paris (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers).</ref> File:1912 Usine-Panhard et Levassor - les ateliers et le personnel de Paris.pdf|'''1912''' - Les usines Panhard & Levassor dirigées par A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''Les ateliers et le personnel de Paris'''] (Paris : 2000 ouvriers) (Reims : 800 ouvriers). File:1912 - Panhard & Levassor - Catalogue couleur.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_couleur.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor''']. File:1912 - Panhard & Levassor - Catalogue-luxe.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue-luxe.pdf ''' Catalogue de luxe Panhard & Levassor''']. File:1913 - Panhard & Levassor - catalogue de luxe.pdf|'''1913''' - Catalogue de luxe Panhard & Levassor : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1913_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_de_luxe.pdf '''"''S'ils avaient eu l'automobile !''"''']. File:1914 - Panhard & Levassor - Catalogue de luxe.pdf|'''1914''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_luxe.pdf '''Catalogue de luxe Panhard & Levassor''']. File:Gazette du Bon Ton, 1914 - No. 7, Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée (titel op object), RP-P-2009-1940-12.jpg|'''1914''' - Publicité Panhard & Levassor : "''Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée''". File:1914 - Panhard & Levassor - Tracteur d'artillerie (aquarelle Gamy).jpg|'''1914''' - Le '''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' (aquarelle Gamy) conçu A. C. KREBS. File:Panhard Oil-Motoring Magazine-1915-031.jpg|'''1915''' - Publicité : '''L'huile Panhard pour cylindres'''", "'''''La logique d'une bonne huile pour cylindres'''''". File:1916 - Panhard & Levassor - Catalogue.pdf|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard & Levassor''']. File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg Une voiture Panhard & Levassor 24HP de 1908] est transformée en '''véhicule ferroviaire''' pour le transport de personnes et de marchandises sur la ligne [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 Normanton-Croydon en northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') jusqu'en '''1929'''. File:1915-1917 - Panhard & Levassor - usine en guerre.pdf|'''1914-1918''' - '''WWI''' : Panhard & Levassor: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915-1917_-_Panhard_%26_Levassor_-_usine_en_guerre.pdf?uselang=fr '''Usine en guerre dirigée par A. C. Krebs''']. File:1917-05-17 - Automotive-industries - The Chatillon-Panhard truck in Italy.jpg|'''1917''' - Automotive-industries : '''Le [https://archive.org/details/sim_country-life_1915-06-26_37_964/page/n293/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 camion Châtillon-Panhard] en Italie'''. File:Panhard & Levassor enamel advert sign at the den hartog ford museum pic-099.JPG|'''1920''' ~ Le logo Panhard & Levassor. File:1914-1918 - WWI - voiture Panhard & Levassor.webm|Video: '''1918''' - '''WWI''' : Une '''voiture Panhard & Levassor démarre'''. File:Ant-pen-map-Danco.PNG|'''1960''' - Le [[w:Krebs Glacier|'''Glacier Krebs''']] : s'écoulant dans [[w:Charlotte Bay|Charlotte Bay]], nommé d'après [[w:Arthur Constantin Krebs|A. C. Krebs]], "''qui a construit et piloté le premier [[w:Ballon dirigeable|dirigeable]] capable d'un vol stable et contrôlé, en '''1884'''"''. File:Alose french submarine 1907 02.jpg|'''1975''' - Sous-marin [[w:Alose (sous-marin)|'''Alose''']] (1904), '''renfloué et restauré''' (France). File:Saint-Chamond.Saumur.0004fq2z.jpg|'''2006''' - '''Tank Saint-Chamond''' exposé au ''[[w:Musée des Blindés de Saumur|Musée des Blindés]]'' de [[w:Saumur|Saumur]]. File:Panhard & Levassor Type E im Museum Valencay.JPG|'''2011''' - '''Panhard & Levassor Type E''' au [[w:Musée de l'automobile de Valençay|'''Musée de l'automobile''']] de [[w:Valençay|Valençay]]. File:Panhard & Levassor Type X 25 1914.JPG|'''2011''' - '''Véhicule d'incendie Panhard & Levassor Type X 25''' (1914) au [http://www.musee-sapeurs-pompiers.org/ '''Musée des Sapeurs-Pompiers'''] à Montville. File:1901 Panhard & Levassor type B2 in Toyota Automobile Museum (6817203419).jpg|'''2012''' - '''Panhard & Levassor type B2''' (1901) au [https://toyota-automobile-museum.jp/en/ '''Toyota Automobile Museum'''], Nagakute, Aichi Prefecture (Japon). File:Panhard & Levassor Type X19 at Den Haag Louwman Museum 061.jpg|'''2015''' - '''Panhard & Levassor X19''' (1912) Labourdette Skiff-Torpedo au [https://www.louwmanmuseum.nl/en/ '''Louwman Museum'''] (Pays-bas). File:1900 Clement-Panhard Phaeton VCP, 765cc 3,5cv 35kmh (inv 1901) photo 2.jpg|'''2016''' - '''Clement-Panhard (VCP)''' Phaeton (1900) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse (France). File:Panhard & Levassor Type U2 1907 at Monaco Top Cars Collection 2016-537.jpg|'''2016''' - '''Panhard & Levassor Type U2''' (1907) dans la [https://www.mtcc.mc/galerie-automobile/#* '''Collection de voitures anciennes'''] de Monaco. File:2017 - Durenne & Krebs 1888 lightweight fire steam pump at the fire headquarters in Paris.png|'''2017''' - '''Pompe à vapeur d'incendie légère Durenne & Krebs''' (1888) exposée à [[w:Caserne_Champerret|'''l'état-major des pompiers de Paris''']. File:Panhard-Levassor Biplace Course (1908) jm64358.jpg|'''2018''' - '''Panhard-Levassor biplace de course''' (1908) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse. File:Panhard & Levassor Landaulet Type A1 (1898) jm63748.jpg|'''2018''' - '''Panhard & Levassor type A2''' (1899) tonneau fermé au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France). File:Panhard & Levassor Coupé Chauffeur Type X8 (1912) jm63952.jpg|'''2018''' - '''Panhard & Levassor type X8 coupé chauffeur''' (1911) au [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''] à Mulhouse. File:1899 - Panhard-Levassor owned by C. S. Rolls restored.jpg|'''2019''' La '''Panhard-Levassor''' (1899) '''de C. S. Rolls''' est au [https://www.museums.norfolk.gov.uk/gressenhall-farm-and-workhouse '''Gressenhall Farm and Workhouse Museum''']. <ref name=Rolls-1899/> File:Hangar Y mai 2023 (27).jpg|'''2023''' - Le [[w:Hangar Y|'''Hangar Y''']] du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' est '''restauré et ouvert au public''' à Meudon. File:Balloon winch vehicule, Musee de l'Air et de l'Espace, Le Bourget, Paris. (8127530854).jpg|'''2024''' - '''Voiture treuil à ballons (WWI)''' ([[w:Musée_de_l'Air_et_de_l'Espace|Musée de l'Air et de l'Espace]], Le Bourget, Paris) utilisant le '''système de touage à 2 tambours parallèles de A. C. KREBS'''. File:Panhard & Levassor, BL 539, London to Brighton Veteran Car Run 2011, 15 CV 1904 (6323222535).jpg|'''2026''' - Video : "[https://www.youtube.com/watch?v=t2Ygu-IsLeg '''Comment se servir d'une Panhard & Levassor 1904''']". </gallery> == Communications à '''l'Académie des sciences''' == <br>'''1886''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_Lefebvre_de_Laboulaye#XIXe_si%C3%A8cle Charles-Pierre Lefebvre de LABOULAYE (1813-1886)], membre de la parentèle de Fréminville ([https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B%5D=LEFEBVRE-LABOULAYE&arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&arko_default_63f395e1547dd--from=0&arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 brevets]) : "'''''LA SCIENCE ET L'ART SONT LES DEUX BASES DE L'INDUSTRIE'''''". <ref>'''1886''' - Charles LABOULAYE - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3041024d/f1131.item.r= '''Dictionnaire des arts et manufactures'''].</ref> <br>'''1898''' - [[w:Henry_Le_Chatelier|Henri Le Chatelier]] (collaborateur de Charles de Fréminville pour la recherche sur la chimie des métaux) et la '''''Science industrielle''''' : "'''''En fait il n'y a pas de différence essentielle entre les besoins de la science pure et ceux de la science étudiée en vue de ses applications'''''." <br>'''1901''' - "''Les préoccupations d'ordre pratique, en maintenant forcément l'attention tournée vers l'observation des phénomènes naturels, obligent l'homme, en quelque sorte malgré lui, à voir les lois du monde matériel et à ne pas laisser son esprit se concentrer exclusivement, comme il est porté à le faire, sur ses propres imaginations''." <ref>'''1898''' - Henri Le Chatelier : "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170732/f102.image.r=le%20chatelier '''L'enseignement scientifique général dans ses rapports avec l'industrie''']". '''1901''' - "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k170763/f1103.image.r=le%20chatelier '''Du rôle des préoccupations industrielles dans les progès de la science pure''']."</ref> * 1884-08-18 – A. C. KREBS & Ch. RENARD : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=316 "''On an airship''"]. Au sujet du dirigeable "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]" . * 1884-08-25 - M. DUPUY de LÔME : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_099,_1884.djvu&page=341 "''Note sur les aérostats dirigeables''"]. * 1884-08-31 - M. A. LAUSSEDAT : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=413 "''Sur les tentatives effectuées à diverses époques pour la direction des aérostats''"]. * 1884-11-10 - M. Hervé MANGON : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&page=772 "''Note sur l'aérostat dirigeable de MM. Renard et Krebs''"]. * 1886 - Prix PONTI : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_103%2C_1886.djvu&page=1395 "''pour les progrès accomplis dans la navigation aérienne.''"] * 1886-04-05 - M. ZEDE : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_102%2C_1886.djvu&page=808 "''Sur les navires sous-marins''"]. * 1888-07-30 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_107%2C_1888.djvu&page=325 "''Sur un téléphone à champ magnétique fermé, avec plaque à sections cylindriques, concentriques égales''"]. * 1888-03-26 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_106%2C_1888.djvu&page=932 "''Essai d'un moteur électrique alimenté par des accumulateurs destinés à un bateau sous-marin''"]. * 1890-09-15 – MM. Dumoulin-Froment and Dubois: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&page=428 Sur le premier gyrocompas électrique pour le sous-marin Gymnote conçu par A. C. KREBS]. * 1902-11-24 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&page=900 "''Sur un carburateur automatique pour moteurs à explosions''"]. * 1905-11-13 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&page=757 "''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé''"]. * 1906-01-15 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_142%2C_1906.djvu&page=143 "''Conditions d'établissement d'un amortisseur progressif à la suspension des véhicules sur route''"]. * 1907-04-08 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&page=747 "''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''"]. * 1931-12-07 - M. Jean Rey : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.item# "''De l'invention du périscope''], au sujet du périscope commandé par A. C. KREBS pour le sous-marin '''''Gymnote'''''. == Retraite == '''Catégorie''' : [[commons:Category:Retirement by country|Retraite par pays]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Retraite|Retraite]] <br>"''En '''1916''', arrivé à l’âge où le besoin de repos commence à se faire sentir et où on ne peut plus développer la même activité physique, je résiliai mes fonctions de Directeur en conservant celles d’ingénieur conseil. ''L’année précédente M. de Fréminville devait quitter la Maison Panhard & Levassor pour entrer au Creusot.''" <ref name="Krebs_1924" /> === A. C. KREBS et [[w:André Citroën|André CITROËN]] === '''Catégorie''' : [[commons:Category:André Citroën|André Citroën]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:André Citroën|André Citroën]] <br>A la demande des banques, A. C. KREBS établit un rapport sur le projet de première automobile construite à la chaîne par André Citroën après la Première Guerre mondiale. A. C. KREBS établit un rapport favorable et André Citroën a pu lancer la fabrication de son '''Type A'''. <gallery> File:Citroen1921typeA.jpg|'''1921''' - André Citroën construit sa '''type A''' avec l'aide de A. C. KREBS. File:André Citroën 1932.jpg|'''1932''' - '''André CITROËN''' (1878-1935). </gallery> === Administrateur de la société '''Savary-Rivière''' === Dans les années 1920, A. C. KREBS est administrateur de la société Savary-Rivière, dont il est actionnaire, et qui est un fabricant de machines agricoles et de mobilier scolaire à Quimperlé, où il prend sa retraite. Sous sa direction, la compagnie diversifie ses activités vers la fabrication de matériel ferroviaire, de matériel militaire, de postes et télégraphes.<ref>'''1935-03-26''' - Lettre de '''Georges Rivière''' à Marie Krebs veuve de A. C. Krebs : "''Le colonel Krebs avait accepté de présider aux destinées des Ets Savary-Rivière pendant plusieurs années et j'ai eu l'honneur de pouvoir apprécier '''ses exceptionnelles qualités d'intelligence'''. Sa vie restera l'exemple parfait de droiture et de dignité dans toutes leurs manifestations.''"</ref> <gallery> File:1901 Savary Gautier=Machines agricoles (Quimperlé).jpg|'''1901''' - Savary et Gautier - '''Machines Agricoles''' (Quimperlé). File:1925~Sté Savary et Rivière.pdf|'''1925''' ~ '''A. C. KREBS''' dirige la société '''Savary-Rivière''' pendant plusieurs années pendant sa retraite à '''Quimperlé'''. File:1928 Savary-Rivière=catalogue mobilier scolaire.pdf|'''1928''' - Savary et Rivière - '''Catalogue de mobiliers scolaires''' (Quimperlé). </gallery> === La commémoration des '''50 ans du dirigeable "[[w:La France (ballon dirigeable)|'''''La France''''']]"''' === '''Catégories''' : [[commons:Category:Legion of Honour|Légion d'honneur]], [[commons:Category:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]] <br>'''1934''' - À 83 ans, A. C. KREBS voyage de Quimperlé (Bretagne) à Paris pour assister à la commémoration du 50ème anniversaire du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] en '''1884'''. Il est alors le seul survivant de cette épopée technologique historique. <gallery> File:1934 - 50 ans du dirigeable La France en présence de A. C. KREBS à Meudon.jpg|'''1934''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4610494z/f1.image.r=krebs Les 50 ans du dirigeable ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''] en présence de '''A. C. KREBS, à Meudon'''. File:Chevalier légion d'honneur 2.png | '''1935''' - A. C. KREBS est [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201840 '''décoré Commandeur de la Légion d'honneur''']. File:1935~Arthur-Constantin-KREBS=portrait à Quimperlé.jpg|'''1935''' ~ Arthur Constantin KREBS: '''Portrait à Quimperlé'''. </gallery> '''1935''' - Deux mois avant son décès, A. C. KREBS est nommé '''Commandeur de la [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Légion d'honneur]]''' : "''Pour son travail en Aéronautique et pour sa contribution à l'industrie automobile''". === Le glacier Krebs === '''Catégories''' : [[commons:Category:Antarctica|Antarctique]], [[commons:Category:Peninsulas of Antarctica|Péninsule Antarctique]] <br>'''Voir aussi''' : [[w:Côte de Danco|Côte de Danco]], [https://archive.org/details/GeographicNamesOfTheAntarctic2ndEdition/page/n405/mode/2up?q=%22krebs+glacier%22 Geographic Names of the Antarctic], [https://en.wikipedia.org/wiki/UK_Antarctic_Place-Names_Committee UK Antarctic Place-Names Committee], [https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay Charlotte Bay] <br>'''1960''' - Le '''United Kingdom Antarctic Place-Names Committee''' (UK-APC) nomme "[https://en.wikipedia.org/wiki/Krebs_Glacier glacier Krebs]" un glacier s'écoulant vers l'ouest, à la pointe de la '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay baie de Charlotte]''' sur la côte ouest de la '''Terre de Graham''' sur le continent '''Antarctique''', d'après le nom de "'''''Arthur C. Krebs qui a construit et piloté, avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], le premier dirigeable capable d'un vol stable et contrôlé, en 1884'''''". == Famille == <gallery> File:Konstantinpaulowrussland(crop).jpg|'''1812''' - '''Nicolas Krebs''' (grand-père de A. C. KREBS) est précepteur des enfants du '''[[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie Grand|Duc Constantin de Russie]]''' à '''Saint Pétersbourg'''. File:1894-07-07 Cmdt-Léonce-Krebs chalet-Bellevue St-Gervais-les-bains Haute-Savoie Paul-Lancrenon.jpg |'''1894-07-07''' Silhouette du '''Commandant Léonce KREBS''' (1849-1922), frère aîné de A. C. KREBS, au chalet de Bellevue à Saint-Gervais-les-Bains (Haute-Savoie) [https://www.pop.culture.gouv.fr/notice/memoire/APLCR03619?auteur=%5B%22Lancrenon%2C%20Paul%20%281857-1922%29%22%5D&mainSearch=%22krebs%22&last_view=%22list%22&idQuery=%22c46e1b2-f281-ddf4-f145-3300fbc003%22 par Paul LANCRENON] File:1915-1916 Jean-KREBS+Georges GUYNEMER EN.pdf |'''1914-1916''' - '''Jean KREBS''' et '''[[W:Georges_GuynemerGeorges|Georges GUYNEMER]]''' amis de collège : [https://archive.org/details/cu31924027834732/page/n47/mode/2up?q=krebs "''Jean Krebs a cristallisé la vocation de Georges GUYNEMER''"]. File:1918-05-30 Motor-Age='France's Greatest Aviator Georges Guynemer'+Jean-KREBS.jpg|'''1918-05-30''' - Motor-Age: "''France's Greatest Aviator '''Georges GUYNEMER'''" and '''Jean KREBS''', son of A. C. KREBS''". File:1939-04 - Revue générale du froid - La chambre froide Krebs & Alliot (1931) pour la conservation du poisson sur les thoniers.jpg|'''1939-04''' - Revue générale du froid - La '''chambre froide Krebs & Alliot (1931)''' pour la conservation du poisson sur les thoniers. File:Marie Chamming's.jpg|'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, résistante et autrice. File:Thon Germon.jpg|Le logo de la boîte [[W:Petit_Navire|'''Petit Navire''']], d'après l'aquarelle de '''Marguerite Paulet''', fille de A. C. Krebs. File:Manureva StMalo 1978-11 2.jpeg|'''Dominique Paulet''' dirige les CAP du '''chantier naval La Perrière''' de 1960 à 1971, qui conçoit et construit les '''Pen Duick''' d''''Eric Tabarly'''. </gallery> === '''Nicolas Krebs''' (1786-1839) === [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3050419f/f462.image.r=krebs Nicolas KREBS] est un grand-père de A. C. KREBS. Né à [[W:Boppard|Boppard]] sur la rive gauche du [[W:Rhin|Rhin]] en '''1786''', il s'engage dans la garde impériale de [[W:Napoléon Ier|Napoléon]] et prend part à ses [[W:Guerres napoléoniennes|campagnes]] militaires. Blessé à [[W:Vilnius|Wilna]] en '''1812''', il est recueilli et retenu prisonnier par le [[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie|Grand Duc Constantin de Russie]], et devient le précepteur de ses enfants pendant 2 ans à [[W:Saint-Pétersbourg|Saint-Pétersbourg]]. De retour en France [[W:France|France]] en '''1814''' il se marie avec Elisa Marie [[W:Liste_des_maires_d%27%C3%89vreux#XIXe_si%C3%A8cle|Dureau de la Buffardière]]. Il a été décoré de la [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201850#show ''Legion d'honneur''] le 05/06/'''1809'''. === [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13204050f '''Commandant Léonce Krebs'''] (1849-1922) === * '''1878''' - Officier d'état-major * '''1891''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9608718v.r=%22l%C3%A9once%20krebs%22?rk=21459;2 '''Campagnes dans les Alpes pendant la Révolution'''], d'après les archives des états-majors français et austro-sarde, avec Henri Moris. <ref>[[w:Armée d'Italie|Armée d'Italie]].</ref> * '''1898''' - [https://bmvr.nice.fr/Default/search.aspx?SC=DEFAULT&QUERY=Authority_id_idx%3a72405&QUERY_LABEL=Krebs%2c+Leonce.+Auteur#/Search/(query:(InitialSearch:!t,Page:0,PageRange:3,QueryString:'Authority_id_idx:72405',ResultSize:-1,ScenarioCode:DEFAULT,SearchContext:0,SearchLabel:'Krebs,%20Leonce.%20Auteur')) Archiviste de la ville de Nice] * '''1909''' - [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201854 Commandeur de la Légion d'honneur]. === '''Jean Krebs''' (1896-1916) et [[w:Georges_Guynemer|'''Georges GUYNEMER''']] (1894-1917) === '''Catégorie''' : [[commons:Category:Georges Guynemer|Georges Guynemer]] '''1918''' - '''Henry Bordeaux''' : “'''''Jean Krebs''''' ''a orienté la vocation de [[W:Georges_Guynemer|'''Georges Guynemer''']]. Il a précisé et développé le goût de celui-ci pour la mécanique. Il l'a sorti des vagues abstractions pour le précipiter vers les réalisations matérielles, pour lui faire désirer l'élargissement de vie qu'elles procurent. Il méritait d'être cité dans une biographie de Guynemer. Avant de le quitter, ne convient-il pas de déplorer sa perte prématurée ? Aviateur estimé au cours de la guerre, il trouva dans l'observation l'emploi de ses facultés solides et sûres. La chasse ne l'attirait pas, mais il savait regarder. Il fut tué d'un accident d'atterrissage presque dans le même temps que disparaissait Guynemer. Un de ses compagnons d'escadrille le juge ainsi : — D'une intelligence remarquable, d'un caractère toujours égal, il avait su s'imposer à ses chefs par son sang-froid, son coup d'oeil, la connaissance exacte des services qu'il pouvait rendre. Toutes les fois qu'on lui confiait une mission, on était sûr qu'il revenait l'ayant remplie, quelles que fussent les conditions dans lesquelles il la fallait accomplir. Il avait eu souvent à tenir tête à des avions ennemis mieux armés que lui, et avait même été blessé au cours d'un vol par éclat d'obus à la cuisse. Il n'en avait pas moins continué à voler et n'était rentré que longtemps après et seulement sa tâche terminée. Sa mort a fait un grand vide dans cette escadrille. Des hommes comme celui-là sont difficiles à remplacer...''" <ref>'''1918''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9807613m/f50.image.r=krebs# '''Henry Bordeaux''']: "''Jean Krebs a orienté la vocation de Georges Guynemer''".</ref> === [[W:Louis_Krebs|'''Louis Krebs''']] (1886-1944) : le chantier naval à Concarneau === '''Voir aussi''' : [[w:Construction navale|Construction navale]] <br>'''1911''' - Louis krebs presente une thèse en droit pour laquelle il est aidé par son oncle, Charles de Fréminville, intitulée [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5521697f/f6.item.r=KREBS "Le rendement du travail dans les arsenaux"]. En '''1933''', Louis Krebs rachète le chantier ''Le Roy Frères'' à Concarneau, qu'il nomme [https://studiolemerdy-collection.com/?s=krebs&post_type=product "Chantier Krebs"]. Nous lui devons [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97160383/f123.image.r=krebs en '''1931''', avec le spécialiste de la réfrigération Henri Alliot], l'idée et la conception [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348885w/f7.image.r=KREBS de la chambre froide des thoniers], de même que la création du concept de chalutiers-thoniers, ces "bateaux mixtes" qui pratiquaient la pêche au chalut pendant l'hiver et la pêche au thon en été. <ref> ['''1933'''-08-02 - L'Ouest-Éclair : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k659358k/f10.image.r=KREBS "A propos de la conservation du thon à bord"]. ''1936''-11-07 - Le Génie civil : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64923180/f3.image.r=krebs "Installation d'une chambre froide sur un bateau thonier"].</ref> '''1943'''-'''1944''' : Il est élu maire de [[W:Lanriec|Lanriec]]. '''Marie Krebs-Chamming's''' : "''Il a un rôle très actif dans la résistance dès le début de la guerre en étant en liaison avec Alex, l'agent du réseau Notre-Dame Castille du Colonel Rémy pour les départs clandestins en Angleterre par bateau, allant jusqu'à faire des cachettes dans deux thoniers, et fournissant tous les renseignements qu'il peut obtenir. Et il remplace le Docteur Nicolas à la tête de Libération-Nord à Concarneau, quand celui-ci est fusillé par les Allemands, devenant Monsieur Charles. Avec le professeur Legendre, il discute inlassablement avec le Capitaine Otto, commandant de la place, pour épargner des vies et éviter des destructions qui auraient pu être catastrophiques; s'occupant sans relâche des populations, en particulier de celles de Lanriec et de Douric-ar-Zin, et restant en liaison avec Quimper. Il était appelé à jouer un rôle important dans toute la région après la libération, qu'il n'a pas connue, ayant été tué chez lui par une balle de fusil-mitrailleur dirigé sur sa maison, le matin où les Allemands sont partis par mer pour Lorient le 24 août 1944.''" <ref>'''1945'''-04-01 - Le Yacht : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83719510/f12.image.r=krebs "La mort tragique de Mr. Louis krebs"]</ref> '''1962''' - Vidéo de la construction d'un thonier en bois au Passage-Lanriec au chantier Krebs : [https://www.youtube.com/watch?v=CGRF0d8Mo4k le Porsguir], thonier canneur à l'appât vivant, commandé par l'armement Dhellemmes de Concarneau. === [[w:Marie Chamming's|'''Marie Krebs-Chamming's''']] (1923-2022) : résistante et autrice === '''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, décrit ses années au service de la [[w:Résistance intérieure française|Résistance intérieure française]] pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] dans son livre [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3384299k.r=%22louis%20krebs%22?rk=1502153;2 "J'ai choisi la tempête"] qui recevra le prix Vérité en '''1964'''. === [http://mp.forumfamilia.net/Biographie-de-Marguerite-Paulet-b1.html '''Marguerite Paulet''', née Krebs (1900-1979)] : les œuvres remarquables === * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-jeunesse-jusqu-en-1920-p1.html Jeunesse, jusqu'en 1920] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-port-de-bouc-sous-le-soleil-mediterranee-p2.html Port de Bouc, sous le soleil méditerranéen, 1920/1922] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-quimperle-et-un-peu-nantes-23-30-p3.html Quimperlé (et un peu Nantes), 1923/1930] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-douarnenez-essentiellement-les-beaux-bat-p4.html Douarnenez essentiellement, les beaux bateaux, 1930/1940] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-l-apres-guerre-40-55-p5.html L'après-guerre 1940/1955] * [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-fleurs-et-arbres-56-79-p6.html Fleurs et arbres ... 1956/1979] === [https://www.ouest-france.fr/bretagne/lorient-56100/d-paulet-architecte-naval-et-humaniste-5174463 '''Dominique Paulet''' (1931-2017)] : architecte naval pour '''Éric Tabarly''' === Petit-fils d'Arthur Constantin KREBS, Dominique Paulet est un architecte naval et ingénieur de formation. Il a été responsable de la conception de navires au sein de plusieurs chantiers navals dont [[w:Chantiers_et_ateliers_de_la_Perrière|La Perriere]] à [[w:Lorient|Lorient]] et [[W:Chantiers_Dubigeon|Dubigeon-Normandie]]. Il a enseigné à l'Ecole centrale de Nantes et à l'Ecole nationale supérieure des techniques avancées de Paris. Il a notamment travaillé pour la marine et les [[w:Pen_Duick_III|'''Pen Duick III''']] (aluminium), [[w:Pen_Duick_IV|'''Pen Duick IV''']] (multicoque en aluminium) et [[w:Pen_Duick_V|'''Pen Duick V''']] (avec ballasts) d'[[W:Éric_Tabarly|'''Éric Tabarly''']]. <ref>Dominique Paulet : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2007_-_Dominique_PAULET_-_%22Tabarly_et_Lorient%22_aux_chantiers_La_Perri%C3%A8re.pdf#%7B%7Bint%3Afiledesc%7D%7D '''Tabarly et Lorient'''] </ref> <ref>La cité de la voile à Lorient : [https://www.citevoile-tabarly.com/fr/pen-duick "''Trois des Pen Duick furent construits aux Chantiers de la Perrière à Lorient''"]</ref> Il a développé une méthode universelle de calcul des navires à partir d'un ensemble restreint de variables : '''''Architecture navale - Connaissance et pratique''''' <ref>'''2023''' - Dunod : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 "''C’est la bible de l’architecture navale. Un ouvrage complet, pointu, écrit par des architectes aussi reconnus pour leur talent que pour leur pédagogie''"].</ref> * '''1998''' : [https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/architecture-navale-9782903539467/ 1ère édition chez Eyrolles] * '''2023''' : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 2nde édition chez Dunod] '''Voir aussi''' : * '''1971''' - '''Dominique Paulet''' : [https://03c7d5f4-b82d-47fb-af48-cbbdfcd3d2e9.filesusr.com/ugd/4f0a4d_aca70bb3be0f4a6fb05f5edcb49ba7ba.pdf l'architecte naval aux chantiers La perrière] * '''Dominique Paulet''' : [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=%22dominique+paulet%22&title=Sp%C3%A9cial:Recherche&profile=advanced&fulltext=1&ns0=1 dans Wikipedia] == Voir aussi == * [[w:Dirigeable fantôme|Dirigeable fantôme]] * [[w:Blimp|Blimp]] * [[w:Charles Renard|Charles Renard]] * [[w:Pierre Jules César Janssen|Pierre Jules César Janssen]] * [[w:XIXe siècle en aéronautique|XIXe siècle en aéronautique]] * [[w:Panhard|Panhard et Levassor]] * [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]] * [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]] == References == <ref name=Krebs-archives>Archives de la famille Krebs déposées au [https://www.servicehistorique.sga.defense.gouv.fr/ark/1643327 Service historique de la Défense (DE 2014 PA 40 1)].</ref> <ref name=1884_ACAD-Krebs> '''1884-08''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h/f316 '''Académie des sciences'''] : NAVIGATION AÉRIENNE. ''Sur un aérostat dirigeable''. Note de MM. CH. RENARD and A. C. KREBS, presentée par M. Hervé Mangon.</ref> <ref name=portefeuille> '''1892''' - '''Portefeuille économique des machines''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1892_Portefeuille-%C3%A9conomique%3DPompe_Durenne_%26_Krebs_1888.pdf "''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris ('''modèle de 1888''')''] - ''Chaudière à vapeur multitubulaire à tubes curvilignes à circulation automatique et dilatation libre de MM. Durenne & Krebs''".</ref> <ref name=1889_Comité> '''28/02/1889''' - Comptes-rendus du [http://rytmo.net/ACK/1889-02-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf "''Comité de perfectionnement''"] des Pompiers de Paris.</ref> <ref name=1896_Krebs_Levassor> '''1896-09-03''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf Lettre de prise de license d''''Émile LEVASSOR'''] adressée à Arthur C. KREBS pour son '''Brevet d'automobile''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&page=1 '''BE'''124538].</ref> <ref name=1896_voiturette_Krebs> "'''LA VOITURETTE KREBS'''" par Louis Lockaert, ingénieur École Centrale de Paris, LA FRANCE AUTOMOBILE, p.305, Paris, '''1896'''.</ref> <ref name=Rolls> Site: [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&screenwidth=1600&pixperpage=50&searchtxtkeys=Panhard&lastsearchtxtkeys=&withinresults=&searchphotographer=&wwwflag=&lstformats=&lstorients=All+Orientations&captions= '''Science & Society''' - Picture Library:] ''C. S. ROLLS et ses voitures de course Panhard & Levassor''.</ref> <ref name=Rolls-1899>Photos de 1900 de la voiture de C. S. Rolls de 1899 conçue par A. C. KREBS sur [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&screenwidth=1600&pixperpage=50&searchtxtkeys=Panhard&lastsearchtxtkeys=&withinresults=&searchphotographer=&wwwflag=&lstformats=&lstorients=All+Orientations&captions science and society].</ref> <ref name=1906_Krebs_Selden> '''1906''' - [https://hal.science/hal-05527435 Témoignage d'Arthur Constantin KREBS] lors du procès Selden à New-York. </ref> <ref name=1884_de-Grilleau> '''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]": "''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''"</ref> '''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur "[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]": "''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''"</ref> <ref name=Fréminville>'''2001''' - Voyages de Charles de Fréminville aux Etats-Unis: 1885-1898-1913-1919 (Yves Le Quesne).</ref> <ref name=vanadium>[https://archive.org/details/mylifeandwork00crowgoog/page/n78/mode/2up?q=vanadium '''1923''' - '''Henry Ford''' "''Ma vie et mon œuvre"]: "''En '''1905''', j'assistais à une course automobile à Palm Beach. Un grave carambolage se produisit et une voiture française [une voiture de course Panhard] fut détruite. Nous avions engagé notre "[https://fr.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_K Modèle K]" — la six cylindres à grande puissance. Je pensais que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que celles que nous connaissions. Après l'accident, je ramassai une petite tige de soupape. Elle était très légère et très résistante. Je demandai de quoi elle était faite. Personne ne le savait. Je confiai la tige à mon assistant. 'Renseignez-vous sur ce matériau', lui dis-je. 'C'est le genre de matériau que nous devrions utiliser dans nos voitures.' Il finit par découvrir qu'il s'agissait d'un acier français contenant du vanadium. Nous avons contacté tous les aciéristes américains — aucun n'était capable de produire de l'acier au vanadium. J'ai fait venir d'Angleterre un homme qui savait comment fabriquer cet acier à l'échelle industrielle. L'étape suivante consistait à trouver une usine'' ['''la [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_kr%C3%B3m-van%C3%A1diumac%C3%A9l_sz%C3%BClet%C3%A9se.jpg United Alloy Steel de Canton, Ohio'''] ]'' pour le produire.''"</ref> <ref name=Krebs_1924> '''1924-06''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1924-06_SHD-DE-2014-PA-40_Lettre-Arthur-KREBS_au_G%C3%A9n%C3%A9ral_de_Montluisant.pdf Lettre autobiographique] d'Arthur Constantin KREBS à son cousin le Général de Montluisant (SHD-DE-2014-PA-40) lui demandant d'expliquer sa carrière, suite à l'article de Paul Renard dans la "Revue Aéronautique" à l'occasion des 40 ans du dirigeable "'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''" (Arch. Krebs).</ref> <ref name=1935_Dépêche_de_Brest> '''1935-02-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3478635/f3.image.r=krebs ''La Dépêche de Brest'']: "Une visite à M. Arthur Krebs, qui vient d'être promu commandeur de la Légion d'honneur".</ref> <ref name=VCP> Site: [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web].</ref> <ref name=CdF>'''1915-11-11''' - Lettre de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']] à [[w:René_de_Knyff|René_de_Knyff]] (administrateur de Panhard & Levassor).</ref> == Liens externes == * Charles Renard and Arthur Krebs in the [https://web.archive.org/web/20100528024835/http://www.centennialofflight.gov/essay/Lighter_than_air/Beginning_of_the_Dirigible/LTA6.htm US Centennial of Flight Commission] * [http://rbmn.free.fr/Krebs_EN.html The site dedicated to Arthur KREBS (in English)] * [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web] * Hydroplane History: [http://www.lesliefield.com/other_history/development_of_the_high.htm The Development of the High-Speed Launch or Automobile Boat – 1904] * Jules Verne: [http://www.gutenberg.org/ebooks/3808 ''Robur The Conqueror''] * ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum]], Le Bourget, Paris) : [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/328-dirigeable-renard-et-kreps-la-france museum reserves-1], [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/53-equipements-d-aerostation-militaire-renard museum reserves-2] == Autres categories == [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Births_in_Vesoul Births_in_Vesoul] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Deaths_in_Quimperlé Deaths_in_Quimperlé] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Knights_of_the_Legion_of_Honour_Knights_of_the_Legion_of_Honour] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Dupuy_de_L%C3%B4me Henri Dupuy de Lôme] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gustave_Z%C3%A9d%C3%A9 Gustave zédé] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Charles_Renard_(aviation_pioneer) Charles_Renard_(aviation_pioneer)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:La_France_(airship) La France (airship)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Société_Nouvelle_des_Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée Société_Nouvelle_des_Forges_et_Chantiers_de_la_Méditerranée] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Canet_artillery Canet_artillery] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gymnote_(submarine,_1888) Gymnote_(submarine,_1888)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_people Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_people] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_equipment Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris_equipment] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Steam_engine_inventors Steam_engine_inventors] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Jean-François_Durenne Jean-François_Durenne] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Automobile_industry_entrepreneurs Automobile_industry_entrepreneurs] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:People_associated_with_the_automotive_industry People_associated_with_the_automotive_industry] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Designers_of_automobiles Designers_of_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:People_associated_with_automobile_racing People_associated_with_automobile_racing] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Émile_Levassor Émile_Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Monument_à_Émile_Levassor Monument à Émile Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:René_Panhard René_Panhard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hippolyte_Panhard Hippolyte Panhard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Émile_Mayade Émile Mayade] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor Panhard_&_Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:History_of_automobiles History of automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Panhard_&_Levassor_automobiles Panhard_&_Levassor_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Anciennes_usines_Panhard_et_Levassor Anciennes usines Panhard et Levassor] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_vehicles Panhard_&_Levassor_vehicles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Clément-Panhard_vehicles Clément-Panhard_vehicles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_automobile_engines Panhard_&_Levassor_automobile_engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_racing_automobiles Panhard_&_Levassor_racing_automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:1898_Paris_Amsterdam-Paris_race 1898 Paris-Amsterdam-Paris race] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:1898_racing_automobiles 1898 racing automobiles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Panhard_&_Levassor_Type_U3 Panhard & Levassor Type U3] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Auto_shows_in_Paris Auto shows in Paris] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Charles_de_Fréminville Charles de Fréminville] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Adolphe_Clément-Bayard Adolphe Clément-Bayard] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Baldwin_Selden George Baldwin Selden] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:La_République_(airship) La République (airship)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Saint_Chamond_tank Saint Chamond tank] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Georges_Guynemer Georges Guynemer] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Arsène_d'Arsonval Arsène d'Arsonval] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ettore_Bugatti Ettore Bugatti] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:André_Citroën André Citroën] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Georges_Guynemer Georges Guynemer] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henri Farman] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath (racing driver)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Robert_de_Vogüé_1870-1936) Robert de Vogüé (1870-1936)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Antarctica Antarctica] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Steering_wheels Steering_wheels] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Sleeve_valve_engines Sleeve valve engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gyrocompasses Gyrocompasses] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Differentials Differentials] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Worm_gears Worm gears] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Couplings Couplings] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rag_joints Rag joints] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Giubo Giubo] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rotating_shaft_couplers Rotating shaft couplers] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Transmissions Transmissions] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Final_drives Final drives] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Automobile_axles Automobile axles] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Mechanisms_(engineering) Mechanisms (engineering)] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Glaciers Glaciers] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hydrogen_technologies Hydrogen technologies] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vélizy-Villacoublay Vélizy-Villacoublay] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alberto_Santos-Dumont Alberto Santos-Dumont] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Santos_Dumont_Collection Santos Dumont Collection] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Early_aircraft Early aircraft] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Historical_gas_balloons Historical gas balloons] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Internal_combustion_engines Internal combustion engines] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Combustion_engine_inventors Combustion engine inventors] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Chalais-Meudon Chalais-Meudon] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Type_ou_modèle_de_dirigeable Type ou modèle de dirigeable] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Dirigeable Dirigeable] [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Office_national_d'études_et_de_recherches_aérospatiales_in_Meudon_Office national d'études et de recherches aérospatiales in Meudon] <!-- Commentaire [[Catégorie:19th-century French inventors]] [[Catégorie:20th-century French inventors]] [[Catégorie:French automotive pioneers]] [[Catégorie:French inventors]] [[Catégorie:1850 births]] [[Catégorie:People from Vesoul]] [[Catégorie:1935 deaths]] [[Catégorie:Aéronaute]] [[Catégorie:Dirigeable]] [[Catégorie:Pilote de dirigeable]] [[Catégorie:Aviation pioneers]] [[Catégorie:Automotive pioneers]] [[Catégorie:French automotive engineers]] [[Catégorie:French automotive pioneers]] [[Catégorie:École Spéciale Militaire de Saint-Cyr alumni]] [[Catégorie:Officers of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Knights of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Commanders of the Legion of Honour]] [[Catégorie:Ballooning]] [[Catégorie:Parc aérostatique de Chalais-Meudon]] [[Catégorie:Jules Verne]] [[Catégorie:Automotive engineers]] [[Catégorie:Car layouts]] [[Catégorie:Ferdinand Porsche]] [[Catégorie:Henry Ford]] --> hd5fdxowgysl6cegwjygskcat288z86 0 86771 985094 982186 2026-07-21T22:00:21Z Solstag 13856 985094 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Alexandria Codex page 7.PNG|droite|sans_cadre|217x217px]] Cours d'« Analyses textuelles » pour la promo 2025-2026 du [[D2SN|Master D2SN]] à l'UGE. Responsable: Alexandre Hannud Abdo (@[[Utilisateur:Solstag|Solstag]]) Le programme ci-dessous est provisionnel et sera adapté en fonction de la progression du cours. Sous-pages : * [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)/Participants|Participants]] * [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)/Évaluation|Évaluation]] {{Créer accéder cahier}} === Matériel === * Adresse: https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn * Mot de passe : <code>R}U0(MFm37nUR<</code> == Séance 1 : Introduction (2026-03-07 15h–18h) == * Parcours et attentes des participants * Consignes d'usage de Wikiversité * Introduction au programme du cours ** La diversité de sources de texte ** La multiplicité d'analyses textuelles ** L'usage en société des analyses textuelles * Présentation ==== Matériel ==== * Présentation [https://solstag.gitlab.io/presentations/analyses-textuelles-2026/ Les analyses textuelles] == Séance 2 : Données (2026-03-17 09h–13h) == === Choix et constitution d'un corpus === * Qu'est-ce qu'un corpus ? Pour quelles questions? * Inclusion et exclusion, extension et délimitation * Exemples de sources données textuelles: ** Magazines, web et autres : [https://archive.org/ archive.org] ** Scientifiques : [https://openalex.org/ OpenAlex], [https://www.webofscience.com/ WebOfScience] ** Presse : [https://www.europresse.com/ Europresse], [https://www.dowjones.com/professional/factiva/ Factiva] ** Littérature : [https://www.gutenberg.org/ Project Gutenberg], [https://wikisource.org/ Wikisource] * Outils de ''scraping'': ** Web crawling : [https://www.scrapy.org/ Scrapy] ([https://docs.scrapy.org/en/latest/intro/tutorial.html tutoriel]) ** Automation de navigateur : [https://www.selenium.dev/ Selenium] ([https://www.selenium.dev/selenium-ide/ extension] pour Chrome ou Firefox) ** Extraction et transformation: [https://docling-project.github.io/docling/ Docling] (multi-format), [https://github.com/grobidOrg/grobid Grobid] (PDFs académiques) === Analyses === * Qu'est-ce qu'il y a dans un mot? * Tokenisation et nettoyage * Distribution temporelle et longueur des textes * Fréquence et présence ==== Matériel ==== * Cahier ''[https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Data.ipynb]'' == Séance 3: Signes, morphosyntaxe et phraseologie (2026-03-30 09h–13h) == Signes * Dictionnaires * Heuristiques de spécificité * Cooccurrence textuelle * Cooccurrence paratextuelle * Graphiques et matrices de couleur Phrases * Nature, fonction syntaxique. Phrases et signification. * Étiquetage et fouille morphosyntaxiques. * Entités nommées. * Résolution de référentiels. * [[wikipedia:N-gram|N-grams]] * [[wikipedia:Distributional_semantics|Hypothèse distributionnelle]] * [[wikipedia:Semantic_differential|Sémantique différentielle]] * [[wikipedia:Word_embedding|Plongement lexical]] === Culture générale sur modèles de langage === * Vecteurs de mots et documents : [[w:en:Latent_semantic_analysis|Latent_semantic_analysis (LSA)]], [https://code.google.com/archive/p/word2vec/ Word2Vec], [https://nlp.stanford.edu/projects/glove/ GloVe] * Modèles probabilistes : [[wikipedia:Probabilistic_latent_semantic_analysis|Probabilistic LSA (pLSA)]] [[wikipedia:Latent_Dirichlet_allocation|Latent_Dirichlet_allocation]], [https://gitlab.com/solstag/sashimi Stochastic Block Model] * Transformers : [https://github.com/huggingface/transformers Transformers], [https://www.sbert.net/ Sentence Transformers], ==== Matériel ==== * Cahier ''[https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Signes.ipynb]'' * Cahier [https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Phrases''.ipynb''] == Séance 4 : Énonciation et discours (2026-03-31 09h–13h) == * Énoncé et sens. Style, thème, tropismes grammaticaux et vocabulaires. Marqueurs de subjectivité ou figures rhétoriques. Intertextualité. Contraintes. * Plongement de documents. Modèles thématiques<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Justin|nom1=Grimmer|prénom2=Brandon M.|nom2=Stewart|titre=Text as Data: The Promise and Pitfalls of Automatic Content Analysis Methods for Political Texts|périodique=Political Analysis|volume=21|numéro=3|date=2013-07|issn=1047-1987|issn2=1476-4989|doi=10.1093/pan/mps028|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/journals/political-analysis/article/text-as-data-the-promise-and-pitfalls-of-automatic-content-analysis-methods-for-political-texts/F7AAC8B2909441603FEB25C156448F20|consulté le=2025-05-19|pages=267–297}}</ref> et domaine-thématiques<ref name=":0">{{Article|langue=en|prénom1=Alexandre|nom1=Hannud Abdo|prénom2=Jean-Philippe|nom2=Cointet|prénom3=Pascale|nom3=Bourret|prénom4=Alberto|nom4=Cambrosio|titre=Domain-topic models with chained dimensions: Charting an emergent domain of a major oncology conference|périodique=Journal of the Association for Information Science and Technology|volume=73|numéro=7|date=2022|issn=2330-1643|pmid=35873705|pmcid=9299004|doi=10.1002/asi.24606|lire en ligne=https://asistdl.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/asi.24606|consulté le=2025-05-19|pages=992–1011}}</ref>. * Cartes domaine-thématiques, leur lecture et manipulation.<ref name=":0" /> * Réseaux hétérogènes et transfert d'apprentissage vers d'autres dimensions. * Le temps comme dimension. Détection de périodes. ==== Matériel ==== * Tutoriel pour [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|explorer un corpus par modélisation domaine-thématique avec Cortext Manager]] * Cahier [https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Documents''.ipynb''] == Séance 5 : Sémiotique & Sociologie de la traduction (2026-04-07 14h–17h) == * Sémiotique<ref>{{Chapitre-B|langue=en|prénom1=Gianfranco|nom1=Marrone|titre chapitre=Introduction to the Semiotics of the Text|titre ouvrage=Introduction to the Semiotics of the Text|éditeur=De Gruyter Mouton|date=2021-11-08|isbn=978-3-11-068898-6|doi=10.1515/9783110688986/html|lire en ligne=https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110688986/html|consulté le=2025-05-19}}</ref> ** L'émergence des signes. Théorie de l'information. Neurobiologie du langage<ref name=":1" />. Signifiants, signifiés, inférences, valeurs, signification, générativité. Sémantique structurale, sémèmes, actants. Sémantique interprétative<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=François|nom1=Rastier|titre=De la sémantique structurale à la sémiotique des cultures|périodique=Actes Sémiotiques|numéro=120|date=2017-01-31|issn=2270-4957|doi=10.25965/as.5734|lire en ligne=https://www.unilim.fr/actes-semiotiques/5734|consulté le=2025-05-19}}</ref>. ** Espaces sémantiques vectoriels, continus et discrets. * Sociologie de la traduction<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Sociologie de la traduction : Textes fondateurs|éditeur=Presses des Mines|collection=Sciences sociales|date=2006|isbn=978-2-35671-023-9|doi=10.4000/books.pressesmines.1181|lire en ligne=https://books.openedition.org/pressesmines/1181|consulté le=2025-05-19}}</ref> ** Acteurs, humains et non-humains, en réseau. Traductions et les choses en train de se faire. Situations, descriptions, traductions, inscriptions, symétries, réflexivités. ** La cartographie comme méthode. Les réseaux hétérogènes socio-sémantiques. Les « Digital Methods ». == Notes == Pour répondre à la question « à quoi ça sert d'analyser les textes ? », il faut d'abord comprendre à quoi sert le texte. Si le langage est une compétence exclusivement humaine et indépendante de tout trait culturel ou historique<ref name=":1">{{Article|langue=en|prénom1=Johan J.|nom1=Bolhuis|prénom2=Ian|nom2=Tattersall|prénom3=Noam|nom3=Chomsky|prénom4=Robert C.|nom4=Berwick|titre=How Could Language Have Evolved?|périodique=PLOS Biology|volume=12|numéro=8|date=26 août 2014|issn=1545-7885|pmid=25157536|pmcid=4144795|doi=10.1371/journal.pbio.1001934|lire en ligne=https://journals.plos.org/plosbiology/article?id=10.1371/journal.pbio.1001934|consulté le=2025-05-18|pages=e1001934}}</ref>, son usage concret le mêle à des rôles et situations diversifiées et variables. Différentes personnes qui s'adressent dans différentes contextes à différents publics par différents médias sur différents sujets pour différentes raisons, à travers sociétés et époques, chacune prête au texte son caractère. De telle manière que le simple comptage de coprésence entre mots peut nous révéler les contours d'une situation, dont le déroulement se reflet dans l'évolution de ces fréquences dans le temps. A son tour, les règles d'une langue nous permettent de distinguer les emplois d'un même signe et de détailler leurs rapports aux autres, apportant de la finesse aux observations. Tandis que la statistique des contextes textuels de chaque signe permet d'établir des abstractions de proximité, complémentarité et comparaison de leurs sens et thématiques. Ce qui permet également de classer lesdits contextes, qu'ils soient au niveau des phrases, paragraphes, chapitres ou documents. Ces derniers, par ailleurs, contiennent toujours des éléments extra-textuels — temporels, sociaux, géographiques ou autres, qu'ils soient renseignés ou extraits du texte — producteurs de statistiques qui peuvent se combiner à celles textuelles. Munis de tout cela face à une question qui se déploie à travers les maintes dimensions d'une situation associée à un corpus, nous pouvons construire itérativement un choix approprié de ces opérations, avec leurs statistiques et représentations descriptives ou produites par des modèles, pour enfin étudier la question sous la lumière des résultats de nos analyses. === L'explicitation d'une question === Peu de questions sont intéressantes. L'idée que la donnée nous servira spontanément une bonne question sans effort qualitatif préalable est dans le meilleur des cas hasardeuse, dans le pire des cas nous conduira à investir dans une question à moindre intérêt. L'illusion qui peuvent donner certaines personnes qui semblent trouver leurs questions au long de l'exploration d'une base de données cache le bagage qualitatif de ces personnes qui ont déjà un grand nombre de questions latentes. Même si parfois elles-mêmes ne le reconnaissent pas. Avant de plonger dans un corpus il est donc important d'être en mesure de formuler un première question sur la base de connaissances qualitatives, empiriques ou théoriques, et de continuer à les approfondir pendant le travail. === La spécificité du corpus === Un corpus est, le plus souvent, une source limitée d'informations pour une question. Autrement dit, peu de questions intéressantes trouvent une réponse directement dans un corpus donnée. Partir d'une question claire permet aussi d'évaluer de quelles données et opérations on aurait besoin pour la répondre. Et donc, le plus souvent, de la modifier pour correspondre aux limites des données dont nous disposons ou que nous pouvons produire, ainsi que d'évaluer quelles enquêtes qualitatives pourraient les compléter. Encore ici, nos connaissances qualitatives sont nos meilleures guides pour identifier ces limites et pour modifier la question en gardant un niveau d'intérêt. === La construction des objets à étudier === Même une simple description se base sur un modèle de comment représenter et comment interpréter ce qui est représenté. Les objets à étudier sont alors à construire sur la base de la donnée et de nos connaissances. Est-ce que la question appelle à un regard par classement sémantique, thématique, ou à l'extraction de certains types d'entités ? Quels contextes servent uniquement à la construction d'autres objets, par exemple quand nous utilisons les phrases pour préciser le sens d'un mot ou des rapports entre mots, et quels sont eux-mêmes des objets d'analyse, comme c'est souvent le cas pour les documents ? Comment rendre compte de la complexité d'objets extra-textuels tels quels auteurs, public, lieu, références, rôles ou organisations ? Et de l'hétérogénéité inter-textuelle dans des corpus mixtes ? C'est souvent dans ce travail que les limitations du corpus deviennent apparentes, et que nous devons revoir nos choix, chercher de nouvelles méthodes, élargir ou délimiter le corpus, ou l'enrichir d'autres informations. === La temporalité ou séquentialité === La chronologie d'un corpus est autant essentielle qu'elle est difficile de saisir correctement. Produire des comparaisons valides exige une attention à plusieurs facteurs comme : la normalisation ou pas de fréquences ; le choix de périodes compatibles en terme leur durée ou distribution de caractéristiques ; la validité statistique des stratifications. Les méthodes d'inférence de périodes sont un outil souvent incontournable, mais doivent être utilisés de façon réfléchie sur les bonnes variables et délimitation. === Les statistiques et représentations === S'il faut célébrer l'existence d'outils d'analyse pratiques à manipuler, reconnaissons aussi la valeur d'une compréhension plus fine des méthodes que nous employons, et d'une préférence pour des méthodes plus transparentes dotées de représentations simples mais puissantes. Pour assister et orienter les chercheurs dans cette démarche, des infrastructures de recherche existent dont [https://www.cortext.net/ Cortext] en est une. === Bien choisir sa perspective === Quand utiliser — ou mélanger — analyse du discours, analyse sémiotique, sociologie de la traduction ? == Références == [[Catégorie:Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)]] 37wip1rmxvlhw00p37dy6z7dkdo7409 0 87207 985073 984087 2026-07-21T11:18:28Z Solstag 13856 réorganisation 985073 wikitext text/x-wiki Découvrons le Web Scraping et comment nous en servir pour constituer des corpus. == Qu’est ce que le webscraping ? == Le '''web scraping''' (ou ''extraction de données web'') est une technique qui consiste à récupérer automatiquement des informations présentes sur des pages web au lieu de les copier manuellement. * Il est utilisé afin de maintenir l'accès lorsque les données sont indisponibles, difficilement accessibles et/ou coûteuses : ** Bases de données préexistantes ** Collecte manuelle vs gros volumes ** Accès par API payants ou limités (ex Twitter/X aujourd’hui) * Un extracteur de données web est un programme ou robot qui : ** accède à une page web ** télécharge son contenu ** extrait les données de ce contenu ** enregistre les données structurées * Il n'existe pas de solution universelle : ** De nombreuses techniques, outils et astuces existent ** Les sites web évoluent (certains plus fréquemment que d'autres) ** Certains sites web rendent la tâche difficile === Définitions === ==== Text and Data Mining ou Fouille de Texte ==== Fouille massive de données textuelles non-structurées pour extraire l’information et en tirer du sens. Les corpus sont des documents ouverts ou propriétaires (non obligatoirement issus du webscraping). ==== Crawling ou spidering ==== Processus automatisé qui consiste à parcourir le web en suivant des liens d’une page à l’autre. Utilisé notamment par les moteurs de recherche qui emploient des robots d’indexation pour découvrir puis indexer des pages web. ==== WebScraping ou Moissonnage du web ==== Technique de collecte massive, ou non, et automatisée de données disponibles sur internet librement accessibles ou protégées par des barrières techniques en vue de leur réutilisation ou de leur analyse. == Les étapes du processus de scraping == # '''Cibler''' précisément le ou les sites à extraire # Envoyer une '''requête http''' au serveur que envoie le contenu brut en réponse # Extraire de manière ciblée les informations de la structure imbriquée = '''parsing''' # Transformer les données brutes en '''format exploitable''' comme un tableau, un CSV... # '''Stocker''' et sécuriser les données dans une base # '''Analyser''', traiter les données selon la question de recherche # '''Documenter''' le processus afin de permettre la '''reproductibilité''' et la validation par les pairs == Différentes méthodes de scraping == # Scraping '''statique''' #* cible : Pages HTML simples et statiques #* méthode : téléchargement direct du code de la page # Scraping '''dynamique''' #* cible : contenu des pages HTML généré via JavaScript / AJAX #* méthode : utilisation de navigateurs « headless » (ie sans interface graphique, tel que Selenium, Puppeteer, Playwright) simulant le comportement de navigation humain # Scraping '''agentique''' #* cible : sites changeants avec structures complexes #* méthode : agents IA capable de s’adapter aux changements, sans reprogrammation des sélecteurs HTML == Différents outils pour réaliser le scraping == {| class="wikitable" !Famille !Avantages !Inconvénients !Exemples d'outils |- |Bibliothèques de parsing HTML |Simples à utiliser, légères, rapides pour extraire des données de pages statiques |Ne gèrent pas l'exécution de JavaScript, nécessitent souvent du code supplémentaire pour télécharger les pages |Beautiful Soup, lxml, Cheerio |- |Frameworks de web scraping |Gestion intégrée des requêtes, du crawling, du stockage et de la parallélisation |Courbe d'apprentissage plus élevée, parfois surdimensionnés pour de petits projets |Scrapy, Colly |- |Navigateurs automatisés |Exécutent JavaScript, reproduisent les actions d'un utilisateur réel (clics, formulaires, authentification) |Consomment davantage de mémoire et de ressources, plus lents que les solutions basées sur le HTML seul |Selenium, Playwright, Puppeteer |- |Outils no-code / low-code |Accessibles aux non-développeurs, mise en œuvre rapide, interfaces visuelles |Flexibilité limitée, coûts d'abonnement, dépendance à la plateforme |Octoparse, ParseHub, WebHarvy |- |Plateformes cloud de scraping |Infrastructure scalable, gestion de la rotation d'IP, planification et surveillance intégrées |Coût potentiellement élevé, dépendance à un fournisseur externe |Apify, Zyte, Bright Data |- |Outils d'extraction via API |Données structurées, robustes et généralement conformes aux règles du fournisseur |Disponibilité limitée aux services proposant une API, quotas et restrictions fréquents |Postman, Insomnia (utilisés pour exploiter les API plutôt que scraper les pages) |- |Solutions de collecte à grande échelle |Adaptées aux gros volumes de données, gestion avancée du parallélisme et de la distribution |Complexité d'architecture, maintenance plus importante |Apache Nutch, Heritrix |- |Services de proxy et anti-blocage |Réduisent les risques de blocage, permettent la collecte sur des sites protégés |Coût élevé, questions juridiques et éthiques à considérer |Bright Data Proxy Network, Oxylabs, Smartproxy |} === Recommandations / Synthèse rapide === * '''Pour les débutants''' : Octoparse, ParseHub. * '''Pour un profil de développeur Python''' : Beautiful Soup + Requests, ou Scrapy. * '''Pour les sites web utilisant JavaScript''' : Playwright ou Selenium. * '''Pour les projets industriels à grande échelle''' : Apify, Zyte, Bright Data, combinés à des proxys spécialisés. j7zr5jt536ryni4249i22rmrtxefjez 985079 985073 2026-07-21T11:30:59Z Solstag 13856 985079 wikitext text/x-wiki Découvrons le Web Scraping et comment nous en servir pour constituer des corpus. == Qu’est ce que le webscraping ? == Le '''web scraping''' (ou ''extraction de données web'') est une technique qui consiste à récupérer automatiquement des informations présentes sur des pages web au lieu de les copier manuellement. * Il est utilisé afin de maintenir l'accès lorsque les données sont indisponibles, difficilement accessibles et/ou coûteuses : ** Bases de données préexistantes ** Collecte manuelle vs gros volumes ** Accès par API payants ou limités (ex Twitter/X aujourd’hui) * Un extracteur de données web (web scraper) est un programme qui : ** accède à une page web ** télécharge son contenu ** extrait les données de ce contenu ** enregistre les données structurées * Il n'existe pas de solution universelle : ** De nombreuses techniques, outils et astuces existent ** Les sites web évoluent (certains plus fréquemment que d'autres) ** Certains sites web rendent la tâche difficile === Définitions === ==== Text and Data Mining ou Fouille de Texte ==== Fouille massive de données textuelles non-structurées pour extraire l’information et en tirer du sens. Les corpus sont des documents ouverts ou propriétaires (non obligatoirement issus du webscraping). ==== Crawling ou spidering ==== Processus automatisé qui consiste à parcourir le web en suivant des liens d’une page à l’autre. Utilisé notamment par les moteurs de recherche qui emploient des robots d’indexation pour découvrir puis indexer des pages web. ==== WebScraping ou Moissonnage du web ==== Technique de collecte massive, ou non, et automatisée de données disponibles sur internet librement accessibles ou protégées par des barrières techniques en vue de leur réutilisation ou de leur analyse. == Les étapes du processus de scraping == # '''Cibler''' précisément le ou les sites à extraire # Envoyer une '''requête http''' au serveur que envoie le contenu brut en réponse # Extraire de manière ciblée les informations de la structure imbriquée = '''parsing''' # Transformer les données brutes en '''format exploitable''' comme un tableau, un CSV... # '''Stocker''' et sécuriser les données dans une base # '''Analyser''', traiter les données selon la question de recherche # '''Documenter''' le processus afin de permettre la '''reproductibilité''' et la validation par les pairs == Différentes méthodes de scraping == # Scraping '''statique''' #* cible : Pages HTML simples et statiques #* méthode : téléchargement direct du code de la page # Scraping '''dynamique''' #* cible : contenu des pages HTML généré via JavaScript / AJAX #* méthode : utilisation de navigateurs « headless » (ie sans interface graphique, tel que Selenium, Puppeteer, Playwright) simulant le comportement de navigation humain # Scraping '''agentique''' #* cible : sites changeants avec structures complexes #* méthode : agents IA capable de s’adapter aux changements, sans reprogrammation des sélecteurs HTML == Différents outils pour réaliser le scraping == {| class="wikitable" !Famille !Avantages !Inconvénients !Exemples d'outils |- |Bibliothèques de parsing HTML |Simples à utiliser, légères, rapides pour extraire des données de pages statiques |Ne gèrent pas l'exécution de JavaScript, nécessitent souvent du code supplémentaire pour télécharger les pages |Beautiful Soup, lxml, Cheerio |- |Frameworks de web scraping |Gestion intégrée des requêtes, du crawling, du stockage et de la parallélisation |Courbe d'apprentissage plus élevée, parfois surdimensionnés pour de petits projets |Scrapy, Colly |- |Navigateurs automatisés |Exécutent JavaScript, reproduisent les actions d'un utilisateur réel (clics, formulaires, authentification) |Consomment davantage de mémoire et de ressources, plus lents que les solutions basées sur le HTML seul |Selenium, Playwright, Puppeteer |- |Outils no-code / low-code |Accessibles aux non-développeurs, mise en œuvre rapide, interfaces visuelles |Flexibilité limitée, coûts d'abonnement, dépendance à la plateforme |Octoparse, ParseHub, WebHarvy |- |Plateformes cloud de scraping |Infrastructure scalable, gestion de la rotation d'IP, planification et surveillance intégrées |Coût potentiellement élevé, dépendance à un fournisseur externe |Apify, Zyte, Bright Data |- |Outils d'extraction via API |Données structurées, robustes et généralement conformes aux règles du fournisseur |Disponibilité limitée aux services proposant une API, quotas et restrictions fréquents |Postman, Insomnia (utilisés pour exploiter les API plutôt que scraper les pages) |- |Solutions de collecte à grande échelle |Adaptées aux gros volumes de données, gestion avancée du parallélisme et de la distribution |Complexité d'architecture, maintenance plus importante |Apache Nutch, Heritrix |- |Services de proxy et anti-blocage |Réduisent les risques de blocage, permettent la collecte sur des sites protégés |Coût élevé, questions juridiques et éthiques à considérer |Bright Data Proxy Network, Oxylabs, Smartproxy |} === Recommandations / Synthèse rapide === * '''Pour les débutants''' : Octoparse, ParseHub. * '''Pour un profil de développeur Python''' : Beautiful Soup + Requests, ou Scrapy. * '''Pour les sites web utilisant JavaScript''' : Playwright ou Selenium. * '''Pour les projets industriels à grande échelle''' : Apify, Zyte, Bright Data, combinés à des proxys spécialisés. 5hiajg52bjm9lqw6r1zf6uxnda0vogz 985095 985079 2026-07-22T06:23:32Z PYB14 80623 /* Différents outils pour réaliser le scraping */ 985095 wikitext text/x-wiki Découvrons le Web Scraping et comment nous en servir pour constituer des corpus. == Qu’est ce que le webscraping ? == Le '''web scraping''' (ou ''extraction de données web'') est une technique qui consiste à récupérer automatiquement des informations présentes sur des pages web au lieu de les copier manuellement. * Il est utilisé afin de maintenir l'accès lorsque les données sont indisponibles, difficilement accessibles et/ou coûteuses : ** Bases de données préexistantes ** Collecte manuelle vs gros volumes ** Accès par API payants ou limités (ex Twitter/X aujourd’hui) * Un extracteur de données web (web scraper) est un programme qui : ** accède à une page web ** télécharge son contenu ** extrait les données de ce contenu ** enregistre les données structurées * Il n'existe pas de solution universelle : ** De nombreuses techniques, outils et astuces existent ** Les sites web évoluent (certains plus fréquemment que d'autres) ** Certains sites web rendent la tâche difficile === Définitions === ==== Text and Data Mining ou Fouille de Texte ==== Fouille massive de données textuelles non-structurées pour extraire l’information et en tirer du sens. Les corpus sont des documents ouverts ou propriétaires (non obligatoirement issus du webscraping). ==== Crawling ou spidering ==== Processus automatisé qui consiste à parcourir le web en suivant des liens d’une page à l’autre. Utilisé notamment par les moteurs de recherche qui emploient des robots d’indexation pour découvrir puis indexer des pages web. ==== WebScraping ou Moissonnage du web ==== Technique de collecte massive, ou non, et automatisée de données disponibles sur internet librement accessibles ou protégées par des barrières techniques en vue de leur réutilisation ou de leur analyse. == Les étapes du processus de scraping == # '''Cibler''' précisément le ou les sites à extraire # Envoyer une '''requête http''' au serveur que envoie le contenu brut en réponse # Extraire de manière ciblée les informations de la structure imbriquée = '''parsing''' # Transformer les données brutes en '''format exploitable''' comme un tableau, un CSV... # '''Stocker''' et sécuriser les données dans une base # '''Analyser''', traiter les données selon la question de recherche # '''Documenter''' le processus afin de permettre la '''reproductibilité''' et la validation par les pairs == Différentes méthodes de scraping == # Scraping '''statique''' #* cible : Pages HTML simples et statiques #* méthode : téléchargement direct du code de la page # Scraping '''dynamique''' #* cible : contenu des pages HTML généré via JavaScript / AJAX #* méthode : utilisation de navigateurs « headless » (ie sans interface graphique, tel que Selenium, Puppeteer, Playwright) simulant le comportement de navigation humain # Scraping '''agentique''' #* cible : sites changeants avec structures complexes #* méthode : agents IA capable de s’adapter aux changements, sans reprogrammation des sélecteurs HTML == Différents outils pour réaliser le scraping == {| class="wikitable" !Famille !Avantages !Inconvénients !Exemples d'outils |- |Bibliothèques de parsing HTML |Simples à utiliser, légères, rapides pour extraire des données de pages statiques |Ne gèrent pas l'exécution de JavaScript, nécessitent souvent du code supplémentaire pour télécharger les pages |[[wikipedia:Beautiful_Soup_(HTML_parser)|Beautiful Soup]], lxml, Cheerio |- |Frameworks de web scraping |Gestion intégrée des requêtes, du crawling, du stockage et de la parallélisation |Courbe d'apprentissage plus élevée, parfois surdimensionnés pour de petits projets |Scrapy, Colly |- |Navigateurs automatisés |Exécutent JavaScript, reproduisent les actions d'un utilisateur réel (clics, formulaires, authentification) |Consomment davantage de mémoire et de ressources, plus lents que les solutions basées sur le HTML seul |Selenium, Playwright, Puppeteer |- |Outils no-code / low-code |Accessibles aux non-développeurs, mise en œuvre rapide, interfaces visuelles |Flexibilité limitée, coûts d'abonnement, dépendance à la plateforme |Octoparse, ParseHub, WebHarvy |- |Plateformes cloud de scraping |Infrastructure scalable, gestion de la rotation d'IP, planification et surveillance intégrées |Coût potentiellement élevé, dépendance à un fournisseur externe |Apify, Zyte, Bright Data |- |Outils d'extraction via API |Données structurées, robustes et généralement conformes aux règles du fournisseur |Disponibilité limitée aux services proposant une API, quotas et restrictions fréquents |Postman, Insomnia (utilisés pour exploiter les API plutôt que scraper les pages) |- |Solutions de collecte à grande échelle |Adaptées aux gros volumes de données, gestion avancée du parallélisme et de la distribution |Complexité d'architecture, maintenance plus importante |Apache Nutch, Heritrix |- |Services de proxy et anti-blocage |Réduisent les risques de blocage, permettent la collecte sur des sites protégés |Coût élevé, questions juridiques et éthiques à considérer |Bright Data Proxy Network, Oxylabs, Smartproxy |} === Recommandations / Synthèse rapide === * '''Pour les débutants''' : Octoparse, ParseHub. * '''Pour un profil de développeur Python''' : Beautiful Soup + Requests, ou Scrapy. * '''Pour les sites web utilisant JavaScript''' : Playwright ou Selenium. * '''Pour les projets industriels à grande échelle''' : Apify, Zyte, Bright Data, combinés à des proxys spécialisés. 0zxju08x21flrz4joanuu7c0phwuaif 985096 985095 2026-07-22T06:27:11Z PYB14 80623 985096 wikitext text/x-wiki Découvrons le Web Scraping et comment nous en servir pour constituer des corpus. == Qu’est ce que le webscraping ? == Le '''web scraping''' (ou ''extraction de données web'') est une technique qui consiste à récupérer automatiquement des informations présentes sur des pages web au lieu de les copier manuellement. * Il est utilisé afin de maintenir l'accès lorsque les données sont indisponibles, difficilement accessibles et/ou coûteuses : ** Bases de données préexistantes ** Collecte manuelle vs gros volumes ** Accès par API payants ou limités (ex Twitter/X aujourd’hui) * Un extracteur de données web (web scraper) est un programme qui : ** accède à une page web ** télécharge son contenu ** extrait les données de ce contenu ** enregistre les données structurées * Il n'existe pas de solution universelle : ** De nombreuses techniques, outils et astuces existent ** Les sites web évoluent (certains plus fréquemment que d'autres) ** Certains sites web rendent la tâche difficile === Définitions === ==== Text and Data Mining ou Fouille de Texte ==== Fouille massive de données textuelles non-structurées pour extraire l’information et en tirer du sens. Les corpus sont des documents ouverts ou propriétaires (non obligatoirement issus du webscraping). ==== Crawling ou spidering ==== Processus automatisé qui consiste à parcourir le web en suivant des liens d’une page à l’autre. Utilisé notamment par les moteurs de recherche qui emploient des robots d’indexation pour découvrir puis indexer des pages web. ==== WebScraping ou Moissonnage du web ==== Technique de collecte massive, ou non, et automatisée de données disponibles sur internet librement accessibles ou protégées par des barrières techniques en vue de leur réutilisation ou de leur analyse. == Les étapes du processus de scraping == # '''Cibler''' précisément le ou les sites à extraire # Envoyer une '''requête http''' au serveur que envoie le contenu brut en réponse # Extraire de manière ciblée les informations de la structure imbriquée = '''parsing''' # Transformer les données brutes en '''format exploitable''' comme un tableau, un CSV... # '''Stocker''' et sécuriser les données dans une base # '''Analyser''', traiter les données selon la question de recherche # '''Documenter''' le processus afin de permettre la '''reproductibilité''' et la validation par les pairs == Différentes méthodes de scraping == # Scraping '''statique''' #* cible : Pages HTML simples et statiques #* méthode : téléchargement direct du code de la page # Scraping '''dynamique''' #* cible : contenu des pages HTML généré via JavaScript / AJAX #* méthode : utilisation de navigateurs « headless » (ie sans interface graphique, tel que Selenium, Puppeteer, Playwright) simulant le comportement de navigation humain # Scraping '''agentique''' #* cible : sites changeants avec structures complexes #* méthode : agents IA capable de s’adapter aux changements, sans reprogrammation des sélecteurs HTML == Différents outils pour réaliser le scraping == {| class="wikitable" !Famille !Avantages !Inconvénients !Exemples d'outils |- |Bibliothèques de parsing HTML |Simples à utiliser, légères, rapides pour extraire des données de pages statiques |Ne gèrent pas l'exécution de JavaScript, nécessitent souvent du code supplémentaire pour télécharger les pages |[https://pypi.org/project/beautifulsoup4/ Beautiful Soup], [https://pypi.org/project/lxml/ lxml], [https://cheerio.js.org/ Cheerio] |- |Frameworks de web scraping |Gestion intégrée des requêtes, du crawling, du stockage et de la parallélisation |Courbe d'apprentissage plus élevée, parfois surdimensionnés pour de petits projets |Scrapy, Colly |- |Navigateurs automatisés |Exécutent JavaScript, reproduisent les actions d'un utilisateur réel (clics, formulaires, authentification) |Consomment davantage de mémoire et de ressources, plus lents que les solutions basées sur le HTML seul |Selenium, Playwright, Puppeteer |- |Outils no-code / low-code |Accessibles aux non-développeurs, mise en œuvre rapide, interfaces visuelles |Flexibilité limitée, coûts d'abonnement, dépendance à la plateforme |Octoparse, ParseHub, WebHarvy |- |Plateformes cloud de scraping |Infrastructure scalable, gestion de la rotation d'IP, planification et surveillance intégrées |Coût potentiellement élevé, dépendance à un fournisseur externe |Apify, Zyte, Bright Data |- |Outils d'extraction via API |Données structurées, robustes et généralement conformes aux règles du fournisseur |Disponibilité limitée aux services proposant une API, quotas et restrictions fréquents |Postman, Insomnia (utilisés pour exploiter les API plutôt que scraper les pages) |- |Solutions de collecte à grande échelle |Adaptées aux gros volumes de données, gestion avancée du parallélisme et de la distribution |Complexité d'architecture, maintenance plus importante |Apache Nutch, Heritrix |- |Services de proxy et anti-blocage |Réduisent les risques de blocage, permettent la collecte sur des sites protégés |Coût élevé, questions juridiques et éthiques à considérer |Bright Data Proxy Network, Oxylabs, Smartproxy |} === Recommandations / Synthèse rapide === * '''Pour les débutants''' : Octoparse, ParseHub. * '''Pour un profil de développeur Python''' : Beautiful Soup + Requests, ou Scrapy. * '''Pour les sites web utilisant JavaScript''' : Playwright ou Selenium. * '''Pour les projets industriels à grande échelle''' : Apify, Zyte, Bright Data, combinés à des proxys spécialisés. 8hqdyzn9bv5x9ueyatx1pexi691haj6 985097 985096 2026-07-22T06:50:29Z PYB14 80623 links 985097 wikitext text/x-wiki Découvrons le Web Scraping et comment nous en servir pour constituer des corpus. == Qu’est ce que le webscraping ? == Le '''web scraping''' (ou ''extraction de données web'') est une technique qui consiste à récupérer automatiquement des informations présentes sur des pages web au lieu de les copier manuellement. * Il est utilisé afin de maintenir l'accès lorsque les données sont indisponibles, difficilement accessibles et/ou coûteuses : ** Bases de données préexistantes ** Collecte manuelle vs gros volumes ** Accès par API payants ou limités (ex Twitter/X aujourd’hui) * Un extracteur de données web (web scraper) est un programme qui : ** accède à une page web ** télécharge son contenu ** extrait les données de ce contenu ** enregistre les données structurées * Il n'existe pas de solution universelle : ** De nombreuses techniques, outils et astuces existent ** Les sites web évoluent (certains plus fréquemment que d'autres) ** Certains sites web rendent la tâche difficile === Définitions === ==== Text and Data Mining ou Fouille de Texte ==== Fouille massive de données textuelles non-structurées pour extraire l’information et en tirer du sens. Les corpus sont des documents ouverts ou propriétaires (non obligatoirement issus du webscraping). ==== Crawling ou spidering ==== Processus automatisé qui consiste à parcourir le web en suivant des liens d’une page à l’autre. Utilisé notamment par les moteurs de recherche qui emploient des robots d’indexation pour découvrir puis indexer des pages web. ==== WebScraping ou Moissonnage du web ==== Technique de collecte massive, ou non, et automatisée de données disponibles sur internet librement accessibles ou protégées par des barrières techniques en vue de leur réutilisation ou de leur analyse. == Les étapes du processus de scraping == # '''Cibler''' précisément le ou les sites à extraire # Envoyer une '''requête http''' au serveur que envoie le contenu brut en réponse # Extraire de manière ciblée les informations de la structure imbriquée = '''parsing''' # Transformer les données brutes en '''format exploitable''' comme un tableau, un CSV... # '''Stocker''' et sécuriser les données dans une base # '''Analyser''', traiter les données selon la question de recherche # '''Documenter''' le processus afin de permettre la '''reproductibilité''' et la validation par les pairs == Différentes méthodes de scraping == # Scraping '''statique''' #* cible : Pages HTML simples et statiques #* méthode : téléchargement direct du code de la page # Scraping '''dynamique''' #* cible : contenu des pages HTML généré via JavaScript / AJAX #* méthode : utilisation de navigateurs « headless » (ie sans interface graphique, tel que Selenium, Puppeteer, Playwright) simulant le comportement de navigation humain # Scraping '''agentique''' #* cible : sites changeants avec structures complexes #* méthode : agents IA capable de s’adapter aux changements, sans reprogrammation des sélecteurs HTML == Différents outils pour réaliser le scraping == {| class="wikitable" !Famille !Avantages !Inconvénients !Exemples d'outils |- |Bibliothèques de parsing HTML |Simples à utiliser, légères, rapides pour extraire des données de pages statiques |Ne gèrent pas l'exécution de JavaScript, nécessitent souvent du code supplémentaire pour télécharger les pages |[https://pypi.org/project/beautifulsoup4/ Beautiful Soup], [https://pypi.org/project/lxml/ lxml], [https://cheerio.js.org/ Cheerio] |- |Frameworks de web scraping |Gestion intégrée des requêtes, du crawling, du stockage et de la parallélisation |Courbe d'apprentissage plus élevée, parfois surdimensionnés pour de petits projets |[https://www.scrapy.org/ Scrapy], [[github:gocolly/colly|Colly]] |- |Navigateurs automatisés |Exécutent JavaScript, reproduisent les actions d'un utilisateur réel (clics, formulaires, authentification) |Consomment davantage de mémoire et de ressources, plus lents que les solutions basées sur le HTML seul |[https://www.selenium.dev/ Selenium], [https://playwright.dev/ Playwright], [https://pptr.dev/ Puppeteer] |- |Outils no-code / low-code |Accessibles aux non-développeurs, mise en œuvre rapide, interfaces visuelles |Flexibilité limitée, coûts d'abonnement, dépendance à la plateforme |[https://www.octoparse.fr/ Octoparse], [https://www.parsehub.com/ ParseHub], [https://www.webharvy.com/ WebHarvy] |- |Plateformes cloud de scraping |Infrastructure scalable, gestion de la rotation d'IP, planification et surveillance intégrées |Coût potentiellement élevé, dépendance à un fournisseur externe |[https://apify.com/ Apify], [https://www.zyte.com/ Zyte], [https://brightdata.com/products/web-scraper Bright Data] |- |Outils d'extraction via API |Données structurées, robustes et généralement conformes aux règles du fournisseur |Disponibilité limitée aux services proposant une API, quotas et restrictions fréquents |[https://www.postman.com/ Postman], [https://insomnia.rest/ Insomnia] (utilisés pour exploiter les API plutôt que scraper les pages) |- |Solutions de collecte à grande échelle |Adaptées aux gros volumes de données, gestion avancée du parallélisme et de la distribution |Complexité d'architecture, maintenance plus importante |[https://nutch.apache.org/ Apache Nutch], [[github:internetarchive/heritrix3/|Heritrix]] |- |Services de proxy et anti-blocage |Réduisent les risques de blocage, permettent la collecte sur des sites protégés |Coût élevé, questions juridiques et éthiques à considérer |[https://brightdata.com/ Bright Data Proxy Network], [https://oxylabs.io/ Oxylabs], [https://www.smartproxy.fr/ Smartproxy] |} === Recommandations / Synthèse rapide === * '''Pour les débutants''' : Octoparse, ParseHub. * '''Pour un profil de développeur Python''' : Beautiful Soup + Requests, ou Scrapy. * '''Pour les sites web utilisant JavaScript''' : Playwright ou Selenium. * '''Pour les projets industriels à grande échelle''' : Apify, Zyte, Bright Data, combinés à des proxys spécialisés. pkmv2glkytm9qpeflnuljuhh6sim2ls 1 87247 985076 2026-07-21T11:23:42Z Solstag 13856 /* Liens? */ nouvelle section 985076 wikitext text/x-wiki == Liens? == Salut @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] ! C'est bien, je viens juste de réorganiser le contenu un peu. Je me dis qu'il manque encore deux choses : # Ajouter des liens vers les pages Wikipédia des concepts qu'on mobilise et vers les sites web des outils et projets qu'on mentionne # Ajouter une colonne au tableau pour indiquer clairement les 'étapes du web scraping auxquelles chaque solution correspond Je te laisse compléter ? Abraços ! [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:23 (UTC) 3d42kdorj4czh9as2mm00hd4kt3nbwa 985077 985076 2026-07-21T11:27:51Z Solstag 13856 /* Docling */ nouvelle section 985077 wikitext text/x-wiki == Liens? == Salut @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] ! C'est bien, je viens juste de réorganiser le contenu un peu. Je me dis qu'il manque encore deux choses : # Ajouter des liens vers les pages Wikipédia des concepts qu'on mobilise et vers les sites web des outils et projets qu'on mentionne # Ajouter une colonne au tableau pour indiquer clairement les 'étapes du web scraping auxquelles chaque solution correspond Je te laisse compléter ? Abraços ! [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:23 (UTC) == Docling == @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] Pour l'extraction de contenus je pense qu'on peut profiter pour mentionner le projet [https://docling-project.github.io/docling/ Docling] que je découvre et qui a l'air de bien marcher. [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:27 (UTC) 07se0h172rv9xev9c6jin8ln635ghhj 985078 985077 2026-07-21T11:28:43Z Solstag 13856 /* Liens? */ 985078 wikitext text/x-wiki == Liens et tableau == Salut @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] ! C'est bien, je viens juste de réorganiser le contenu un peu. Je me dis qu'il manque encore deux choses : # Ajouter des liens vers les pages Wikipédia des concepts qu'on mobilise et vers les sites web des outils et projets qu'on mentionne # Ajouter une colonne au tableau pour indiquer clairement les 'étapes du web scraping auxquelles chaque solution correspond Je te laisse compléter ? Abraços ! [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:23 (UTC) == Docling == @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] Pour l'extraction de contenus je pense qu'on peut profiter pour mentionner le projet [https://docling-project.github.io/docling/ Docling] que je découvre et qui a l'air de bien marcher. [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:27 (UTC) 2n508hrzgs4h2mbj4vnzinjs8c9koo7 985080 985078 2026-07-21T11:34:54Z Solstag 13856 /* Étapes */ nouvelle section 985080 wikitext text/x-wiki == Liens et tableau == Salut @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] ! C'est bien, je viens juste de réorganiser le contenu un peu. Je me dis qu'il manque encore deux choses : # Ajouter des liens vers les pages Wikipédia des concepts qu'on mobilise et vers les sites web des outils et projets qu'on mentionne # Ajouter une colonne au tableau pour indiquer clairement les 'étapes du web scraping auxquelles chaque solution correspond Je te laisse compléter ? Abraços ! [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:23 (UTC) == Docling == @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] Pour l'extraction de contenus je pense qu'on peut profiter pour mentionner le projet [https://docling-project.github.io/docling/ Docling] que je découvre et qui a l'air de bien marcher. [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:27 (UTC) == Étapes == @[[Utilisateur:PYB14|PYB14]] En relisant le texte, je trouve que la description des étapes dans l'item « Un extracteur de données web (web scraper) est un programme qui : » est bien plus didactique et même plus complète que celle de la section « Les étapes du processus de scraping ». Peut-être qu'il faut reprendre la première et la développer dans la section, en ajoutant les détails que s'y trouvent actuellement ? [[Utilisateur:Solstag|Solstag]] ([[Discussion utilisateur:Solstag|discuter]]) 21 juillet 2026 à 11:34 (UTC) nbsm0uqklrnee0coo73ozua1aantdf1 0 87248 985098 2026-07-22T09:02:41Z JackPotte 2411 Page créée avec « {{à faire|Déplacer le chapitre}} {{Leçon | idfaculté = mathématiques | département = | cours = | titre = | niveau = | 1 = [[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] | fiche1 = | annexe1 = | quiz1 = | exo1 = | tp1 = }} » 985098 wikitext text/x-wiki {{à faire|Déplacer le chapitre}} {{Leçon | idfaculté = mathématiques | département = | cours = | titre = | niveau = | 1 = [[Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair]] | fiche1 = | annexe1 = | quiz1 = | exo1 = | tp1 = }} 66nmj9jajd2hxmbkz1fy9iemnw39smc 2 87249 985106 2026-07-22T21:19:11Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3/Présentation de la leçon]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3/Présentation de la leçon]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de 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9ze0phk79es4g275n6zaa3z5r2h8bar 2 87257 985121 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 985121 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3]] exm5eqxvjptgyl4w8mdu307wimv203k 2 87258 985127 2026-07-22T21:19:12Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon4]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon4]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 985127 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon4]] crzbjz7q9vdw3gn9hjl0dcc9p1t5lw9 2 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2026-07-22T21:19:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique /Généralités]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique /Généralités]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 985129 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique /Généralités]] bj2dywt411j05lonaq9vzmm452cawfp 2 87262 985131 2026-07-22T21:19:13Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon3/Référents]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon3/Référents]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 985131 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION 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2026-07-22T21:20:14Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 985164 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Didactique de la basse électrique HEMU Lausanne]] jq03egmn2x12tt7jr07iifm7m7ixstn 2 87279 985166 2026-07-22T21:20:15Z Jules* 10835 Jules* a déplacé la page [[Utilisateur:Marco de Freitas/Brouillon]] vers [[Utilisateur:Le rasoir d'ocram/Brouillon]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Marco de Freitas|Marco de Freitas]] » en « [[Special:CentralAuth/Le rasoir d'ocram|Le rasoir d'ocram]] » 985166 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Le 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